T E O R I A N T R I A N

Dibuat sebagai tugas remedial mata kuliah Riset Operasi

Disusun oleh :

( Kelompok V )

Alniko Abdullah 50411622

Bayu Nurcahyanto 51411433

Dicka Lazuardi Erlangga 52411057

Ezzat A. 58411795

Mala Oktaviyana 54411259

Sandy Mulyawan 56411590

FAKULTAS TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS GUNADARMA

BEKASI

2014

A. Pengertian dan Definisi• Antrian adalah gambaran kondisi kinerja suatu sistem

produksi/pelayanan yang ditandai dengan adanya suatupanjang antrian dan waktu tunggu tertentu.

• Antrian terjadi karena adanya unsur random (memoriless)dalam sistem kedatangan dan pelayanan.

Tujuan Sistem Antrian

Meminimumkan dua biaya :

1) Biaya Langsung dari penyedia Fasilitas/Produsen

2) Biaya Tidak Langsung, karena individu harus menungguuntuk dilayani.

Model Antrian berusaha menciptakan suatu model yangmenguntungkan dari sisi penyedia pelayanan dan sekaligusmengurangi/menghilangkan antrian (waktu menunggu) bagi pihakyang dilayani/customer.

Elemen dasar Model Antrian

• Model antrian adalah model yang menggambarkan kondisielemen suatu antrian secara matematis.

• Komponen Sistem Antrian umumnya terdiri dari:

1. Populasi Pelanggan

Berapa banyak pelanggan potensial yang masuk sistem

antrian

2. Distribusi Kedatangan

Menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu dan

dalam periode waktu tertentu berturut-turut dalam

waktu yang berbeda

3. Disiplin Pelayanan

Pelanggan yang mana yang akan dilayani lebih dulu : a.

FCFS (first come, first served) b. LCFS (last come,

first served) c. Acak d. Prioritas

4. Fasilitas Pelayanan

Mengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang

tersedia :

a. Single-channel

b. Multiple-channel

5. Distribusi Pelayanan

a. Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per

satuan waktu

b. Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani

6. Kapasitas sistem pelayanan

Memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan

masuk dalam sistem

7. Karakteristik sistem lainnya

Pelanggan akan meninggalkan sistem jika antrian

penuh, dsb

Garis Besar Sistem Antrian

Gambar (1.1): Garis besar sistem

B. Jenis – Jenis Sistem AntrianPembagian Terperinci :

a. Single Channel – Single Phase

Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasukisistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. SinglePhase berarti hanya ada satu fasilitas pelayanan. Contohnyaadalah sebuah kantor pos yang hanya mempunyai satu loketpelayananan dengan jalur satu antrian, supermarket yang hanyamemiliki satu kasir sebagai tempat pembayaran, dan lain-lain.

b. Single Chanel – Multiphase

Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda iniatau menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yangdilaksanakan secara fasilitas pelayanan berurutan. Contohnyaadalah: pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya.

c. Multichannel – Single Phase

Sistem Multi Channel-Single Phase terjadi di mana ada duaatau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal.

Contohnya adalah antrian pada sebuah bank dengan beberapa teller,pembelian tiket atau karcis yang dilayani oleh beberapa loket,pembayaran dengan beberapa kasir, dan lain-lain.

d. Multichannel – Multiphase

Sistem Multi Channel-Multi Phase ini menunjukkan bahwasetiap sistem mempunyai beberapa fasilitas pelayanan padasetiap tahap sehingga terdapat lebih dari satu pelanggan yangdapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada model iniadalah: pada pelayanan yang diberikan kepada pasien di rumahsakit dimulai dari pendaftarran, diagnose, tindakan medis,sampai pembayaran, registrasi ulang mahasiswa baru pada sebuahuniversitas, dan lain-lain.

Pembagian Lain:

a. Single Channel Model (M/M/1)

b. Multiple Channel Model (M/M/S)

Contoh Sistem Antrian

POLA KEDATANGAN

Pola kedatangan para pelanggan biasanya dicirikan olehwaktu antar kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan duapelanggan yang berurutan pada suatu fasilitas pelayanan.

Pola ini dapat deterministik (yakni diketahui denganpasti), atau berupa suatu variabel acak yang distribusiprobabilitasnya dianggap telah diketahui.

Yang menarik adalah apakah pelanggan datang satu per satuatau secara berombongan dan apakah penolakan (balking) ataupembatalan (reneging) diperkenankan.

Kelakuan pelanggan

Pelanggan sabar

Menunggu selamanya

Pelanggan tidak sabar

Menunggu untuk suatu periode waktu danmemutuskan untuk pergi (pembatalan atau reneging)

Melihat antrian panjang dan memutuskan tidakbergabung (penolakan atau balking)

Mengubah barisan untuk menunggu

Bila tidak disebutkan secara khusus, maka anggapanstandarnya adalah bahwa semua pelanggan tiba satu persatu dan juga tidak terjadi penolakan atau pembatalan.

POLA PELAYANAN

Pola pelayanan biasanya dicirikan oleh waktu pelayanan(service time), yaitu waktu yang dibutuhkan seorang pelayanuntuk melayani seorang pelanggan.

Waktu pelayanan ini dapat bersifat deterministik, atauberupa variabel acak yang distribusi probabilitasnyadianggap telah diketahui.

Besaran ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan yangtelah berada di dalam fasilitas pelayanan.

Yang menarik adalah apakah seorang pelanggan hanyadilayani oleh satu pelayan atau pelanggan ini membutuhkansuatu barisan pelayan.

Bila tidak disebutkan secara khusus, maka anggapandasarnya adalah bahwa satu pelayan saja dapat melayanisecara tuntas seorang pelanggan.

DISIPLIN ANTRIAN

Disiplin antrian adalah aturan dimana para pelanggan dilayani.Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakanuntuk menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian untukdilayani terlebih dahulu.

Aturan ini dapat didasarkan pada:

Pertama Masuk Pertama Keluar (PMPK) atau First In First Out(FIFO) atau First Come First Served (FCFS) yakni pelayananmenurut urutan kedatangan (datang awal dilayani dulu).

Terakhir Masuk Pertama Keluar (TMPK) atau Last In First Out(LIFO) atau Last Come First Served (LCFS) yakni pelanggan yangdatang paling akhir akan mendapatkan pelayanan yang lebihdahulu.

Acak atau Service In Random Order (SIRO), yaitu panggilandidasarkan pada peluang secara random.

Prioritas atau Priority Served (PS), yaitu prioritaspelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyaiprioritas lebih tinggi dibandingkan dengan mereka yangmempunyai prioritas lebih rendah Meskipun yang terakhirini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam garistunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan disebabkan olehbeberapa hal, misalnya seseorang yang dalam keadaanpenyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalamsuatu tempat praktek dokter.

KAPASITAS SISTEM

Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan,mencakup yang sedang dilayani dan yang berada dalamantrian, yang dapat ditampung oleh fasilitas pelayananpada saat yang sama.

Sebuah sistem yang tidak membatasi jumlah pelanggan didalam fasilitas pelayanannya memiliki kapasitas takberhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi jumlahpelanggan memiliki kapasitas berhingga.

NOTASI DALAM SISTEM ANTRIAN n = jumlah pelanggan dalam sistem Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan

waktu µ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per

satuan waktu Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem p = tingkat intensitas/kegunaan/utilitas fasilitas

pelayanan L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam

sistem Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam

antrian W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam

sistem Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama

menunggu dalam antrian

1/µ = waktu rata-rata pelayanan 1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan S = jumlah fasilitas pelayanan

C. Distribusi Poisson

Definisi Distribusi Poisson

Distribusi poisson adalah distribusi peluang acak poissonx,yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatuselang waktu atau daerah tertentu. Bilangan x yang menyatakanbanyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poissondisebut peubah acak poisson dan sebaran peluangnya disebutsebaran poisson.

Distribusi poisson ini hampir sama dengan distribusibinomial, hanya saja jumlah percobaan yang diulang (sampel)sangat besar dan probabilitasnya terjadi peristiwa suksessangat kecil. Maka distribusi poisson paling tepat untukmenggambarkan struktur probabilitas dari variabel random yangmencakup rentang yang cukup panjang.

Dalam menyatakan distribusi poisson dari sebuah variabelrandom perlu diperhatikan hal-hal sebagai berikut:

1.Nilai peluang atau relasi matematika untuk menyatakanpeluang.

2.Variabel berikut daerahnya.

3.Parameter-parameter dan daerahnya.

Dengan catatan:

Variabel : nilai yang ingin diproleh dari pengamatan. Daerah variabel : semua nilai-nilai variabel yang didapat

atau diperoleh dari pengamatan.

Kemudian mengenai variabel random, yaitu suatu fungsi yangbernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalamruang sampel. Dengan demikian suatu distribusi poisson dapatsaja membangkitkan pengamatan pengamatan bagi peubah acak xpada selang waktu tertentu. Bilangan x yang menyatakanbanyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan/distribusipoisson dinamakan peubah acak poisson. Selain dari itu ragampada distribusi poisson dapat ditunjukkan sama dengan nilaitengahnya.

Karakteristik Distribusi Poisson

Karakteristik distribusi poisson diantaranya:

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selangwaktu atau suatu daerah tertentu, tidak tergantung padabanyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktuatau daerah lain yang terpisah.

2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatuselang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yangkecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebutatau besarnya derah tersebut. Dan tidak tergantung padabanyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar selangwaktu atau daerah tersebut.

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akanterjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut ataudalam daerah yang terkecil tersebut, dapat diabaikan.Namun adapula beberapa sifat dari distribusi poisson,diantaranya :

1. Nilai Tengah 2. Variansi 3. Simpangan Baku 4. Koefisien momen Kemencengan 5. Koefisien momen kurtosis

Kegunaan Aplikasi Distribusi Poisson Dalam Praktek

Kegunaan distribusi poisson untuk mengukur probabilitasdari variabel random yang mencakup rentang yang cukup panjang.Kemudian selain dari pada itu distribusi poisson juga bergunauntuk mengukur peluang yang mungkin terjadi dalam waktu ataudaerah tertentu.Kemudian selain dari pada itu,distribusipoisson juga digunakan untuk menghitung distribusi binominaldengan mean dari distribusi Distribusi poisson memilikiaplikasi, terutama dalam menghitung atau mengolah suatudata.Diantaranya,aplikasi distribusi poisson ini adalahdigunakan dalam menghitung data antrean yang terjadi selamaselang waktu atau daerah tertentu. Sebagai contoh pada RS. YosSudarso dalam menghitung peluang terjadinya antrean pada kasirdengan selang waktu 3 menit dan 4 menit. Kemudian dalammenghitung peluang terjadinya kesuksesan, sebagai contoh rata-rata 4 orang yang lulus dari 400 mahasiswa yang gagal seminar.Jadi dengan menggunakan distribusi poisson ini kita dapatmengetahui peluang yang terjadi pada selang waktu atau daerah

tertentu. poisson ditetapkan sesuai dengan nilai mean n.p daridistribusi binominal yang telah diketahui.

Kesimpulan :

1. Elemen dari sistem antrian adalah pelanggan, pelayan, dan

antrian.

2. Model suatu sistem antrian ditentukan oleh distribusi

waktu kedatangan, distribusi waktu pelayanan, jumlah

server, kapasitas system, dan sumber pemanggilan.

3. Tujuan utama teori antrian adalah mencapai keseimbangan

antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang disebabkan

oleh adanya waktu menunggu. Dengan kata lain tujuan dasar

teori antrian adalah untuk meminimumkan total dua biaya,

yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan

biaya tidak langsung yang timbul karena para konsumen

menunggu untuk dilayani.

4. Distribusi Poisson merupakan distribusi penting dalam

teori antrian, terutama hubungannya dalam penentuan model

antrian.