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SUMÁRIO
1. ETAPA
1........................................................
.........................................................
........2
1.1 Passo
I...................................................
....................................................
....2
1.2 Passo
II..................................................
....................................................
....2
1.3 Passo
III.................................................
....................................................
..26
2. ETAPA
2........................................................
.........................................................
......30
2.1 Passo
I...................................................
2
....................................................
..30
2.2 Passo
II..................................................
....................................................
..30
1. ETAPA 1
1.1 Passo I
3
Conceitue Função e quais suas aplicações?Na matemática, o conceito de função é
inteiramente ligado as questões de dependência entreduas grandezas variáveis. Toda função possui uma lei deformação algébrica que relaciona dois ou mais conjuntosatravés de cálculos matemáticos. Dizemos que para todafunção temos um conjunto denominado domínio e suarespectiva imagem. (MARCOS, 2008, p.1)
As funções possuem grande aplicabilidade nassituações em geral relacionadas ao ensino da matemática.Utilizamos funções na Administração, na Economia, naFísica, na Química, na Engenharia, nas Finanças, entreoutras áreas do conhecimento. (MARCOS, 2008, p.1)
1.2 Passo II
Exercícios Função do 1º Grau
1) Um comerciante compra objetos ao preço unitário de $
4,00, gasta em sua condução diária $ 60,00 e vende cada
unidade a $ 7,00.
a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade
comprada q. Expresse também sua receita R em função da
quantidade vendida q, que se supõe igual à quantidade
comprada. Além disto, expresse seu lucro diário L em função da
quantidade q.
RECEITA
Receita (R = Pv * q) onde,
R = Receita
Pv = Preço Venda
q = Quantidade vendida
portanto,
4
R = 7 * q
CUSTO DIÁRIO
Custo diário (C = Pc * q + Cd) onde
C = Custo diário
Pc = Preço unitário
q = Quantidade vendida
Cd = Condução diária
Portanto,
C = 4 * q + 60
LUCRO DIÁRIO
Lucro diário ( L = R – C) onde
L = Lucro diário
R = Receita Diária
C = Custo Diário
Portanto,
L = (7 * q) – (4 * q + 60)
L = 3 * q – 60
b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das
funções de seu custo diário C e de sua receita R, determinando
e indicando o break-even point. Qual o significado de tal ponto?
5
L = 0 R = 7 * 20
3 * q – 60 = 0 R = 140
3 * q = 60
q = 603
q = 20
Break-even point é o ponto de equilíbrio, ou seja, custo (C) e
receita (R) são iguais, portanto o lucro é zero.
c) Esboce o gráfico da função Lucro L e, observando os
gráficos esboçados no item anterior. Determine e indique, no
gráfico do item (b), bem como no gráfico da função L, qual(is)
a(s) quantidade(s) que proporciona(m) lucro positivo e lucro
negativo.
R,C
140
20 (L =0) q
Break-evenpoint (20,140)
R = 7 * q
C = 4 * q + 60
Lucro Positivo
Lucro Negativo
6
c) Podemos obter as funções Custo Médio, Cme, e Lucro
Médio, Lme (ou Custo Unitário, Cu, e Lucro Unitário, Lu)
dividindo a função do custo e do lucro pela quantidade. Então
obtenha a função Cme e esboce seu gráfico, indicando se
existirem limitantes superior ou inferior.
Cme=Cq
Cme=4∗q+60q
R,C
4020 (L =0) q
L= 3q - 60
60
Lucro Positivo
-60
Lucro Negativo
7
Cme=4+60q
QCme (R$)
1 6410 10
100 4,61000 4,0610000 4,006
0 2000 4000 6000 8000 10000 120000
10
20
30
40
50
60
70
Cme
Cme
Cme = $ 4,00 (limitante inferior)
2) Podemos enunciar a lei da oferta de um produto em
relação ao preço da seguinte forma: “A predisposição para a
oferta ou a demanda de um produto pelos fornecedores no
mercado geralmente aumenta quando o preço aumenta e diminui
quando o preço diminui”.
Em uma safra, a oferta e o preço de uma fruta estão
relacionados de acordo com a tabelaOferta (q) 10 25 40 55
8
Preço (p) 4,50 4,80 5,10 5,40
a) Determine a expressão que relaciona preço a oferta
Y = A*x + B ou P = A*q + B
A=∆p∆q
A=4,80−4,5025−10
A=0,3015
A=0,02
P = A*q + B
4,50 = 0,02 * 10 + B
4,50 = 0,20 + B
4,50 – 0,20 = B
B = 4,30
Portanto
P = 0,02*q + 4,30
9
b) Esboce o gráfico da função do item anterior. A função
é crescente ou decrescente?
3) Uma locadora de automóveis aluga um “carro popular” ao
preço de $ 30,00 a diária, mais $ 4,00 por quilômetro rodado.
Outra locadora aluga o mesmo modelo de carro ao preço de $
80,00 a diária, mais $ 2,00 por quilômetro rodado.
a) Escreva as funções que descrevem, para cada locadora,
o valor a ser pago de aluguel em função do quilômetro rodado
considerando o carro locado em um dia
Locadora 1 Locadora 2P1 = Valor Aluguel
A1 = Valor Km rodado
P2 = Valor Aluguel
A2 = Valor Km rodado
P
$
$
10 55
$
0 q
Função Crescente
10
k1 = Km rodado
B1 = Diária
P1 = A1 * k1 + B1
P1 = 4*k + 30
k2 = Km rodado
B2 = Diária
P2 = A2 * k2 + B2
P2 = 2*k + 80
b) Represente graficamente, em um mesmo sistema de eixos,
as funções determinadas no item anterior
Locadora 1 Locadora 2P1 = 4 * 0 + 30 = 30 P2 = 2 * 0 + 80 = 80P1 = 4 * 5 + 30 = 50 P2 = 2 * 5 + 80 = 90P1 = 4 * 10 + 30 = 70 P2 = 2 * 10 + 80 = 100P1 = 4 * 15 + 30 = 90 P2 = 2 * 15 + 80 = 110P1 = 4 * 20 + 30 = 110 P2 = 2 * 20 + 80 = 120P1 = 4 * 25 + 30 = 130 P2 = 2 * 25 + 80 = 130P1 = 4 * 30 + 30 = 150 P2 = 2 * 30 + 80 = 140
0 5 10 15 20 25 300
20
40
60
80
100
120
140
160
Locadora 1 em $Locadora 2 em $
11
c) Qual das duas locadoras apresenta uma melhor opção
para uma pessoa alugar um carro popular na locação em um único
dia? Justifique sua resposta.
De acordo com a tabela do item b, até uma distancia de
25km a Locadora 1 é compensatória, acima desta distância
torna-se lucrativo o serviço da locadora 2.
4) Um botijão de cozinha contem 13K de gás. Na casa A, em
média, é consumido, por dia, 0,5 kg de gás. Na casa B, em
média, é consumido por dia, 0,3 kg de gás. Supondo que na casa
A o botijão está cheio e que na casa B já foram gastos 5 kg de
gás:
a) Expresse, para cada uma das casas, a massa m de gás
no botijão, em função de t (dias de consumo). Depois de quanto
tempo os botijões estarão vazios?
Casa A Casa BMa = Massa Botijão
Ca = Consumo diário
ta = Tempo consumo
Mb = Massa Botijão
Cb = Consumo Diário
tb = Tempo consumo
12
Pa = Peso Botijão
Ma = Pa – Ca* ta
Ma = 13 – 0,5 * ta
Pb = Peso Botijão
Mb = Pb - Cb * tb
M2b = 8 – 0,3 * tb
Ma = Pa – Ca* ta
0 = 13 – 0,5 * ta
0,5 * ta = 13
ta= 130,5
ta = 26 dias
Mb = Pb – Cb * tb
0 = 8 – 0,3 * tb
0,3 * tb = 8
tb= 80,3
tb = 26,66 dias
b) Esboce o gráfico, em um mesmo sistema de eixos, das
funções determinadas no item anterior. Nessa situação, as
funções são crescentes ou decrescentes? A quer tipo de taxa?
13
0 5 10 15 20 25 26 26.660
2
4
6
8
10
12
14
Casa A em massaCasa B em massa
Função Crescente e Taxa Constante
c) Depois de quanto tempo as quantidades de gás nos dois
botijões serão iguais?
Consumo Casa A
Em kg
Consumo Casa B
Em kgM1 = 13 – 0,5 * 0 = 13 M2 = 8 – 0,3 * 0 = 8M1 = 13 – 0,5 * 5 = 10,5 M2 = 8 – 0,3 * 5 = 6,5M1 = 13 – 0,5 * 10 = 8 M2 = 8 – 0,3 * 10 = 5M1 = 13 – 0,5 * 15 = 5,5 M2 = 8 – 0,3 * 15 = 3,5M1 = 13 – 0,5 * 20 = 3 M2 = 8 – 0,3 * 20 = 2M1 = 13 – 0,5 * 25 = 0,5 M2 = 8 – 0,3 * 25 = 0,5M1 = 13 – 0,5 * 26 = 0 M2 = 8 – 0,3 * 26 = 0,2
M2 = 8 – 0,3 * 26,66 = 0
Exercícios Função do Segundo Grau
14
1) O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo
com a função p = 0,25t2 – 2,5t + 60 para um período de um ano
em que t = 0 representa o momento inicial de análise, t= 1
após 1 mês, t = 2 após 2 meses etc.
a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos.
a = 0,25
b = -2,5
c = 60
∆ = b2 – 4*a*c
∆ = (-2,5)2 – 4 *(0,25)*(60)
∆ = 6,25 – 60
∆ = -53,25
Cálculo do Vértice
V=( −b2∗a );( −∆
4∗a )V=( −(−2,5)
2∗(0,25));(−(−53,25)
4∗(0,25) )V=(2,50,5 );(53,751 )V=(5 ); (53,75)
15
Variação Preço
Em $p = (0,25 * 02) – (2,5 * 0) +
60 = 60,00p = (0,25 * 12) – (2,5 * 1) +
60 = 57,75p = (0,25 * 22) – (2,5 * 2) +
60 = 56,00p = (0,25 * 32) – (2,5 * 3) +
60 = 54,75p = (0,25 * 42) – (2,5 * 4) +
60 = 54,00p = (0,25 * 52) – (2,5 * 5) +
60 = 53,75p = (0,25 * 62) – (2,5 * 6) +
60 = 54,00p = (0,25 * 72) – (2,5 * 7) +
60 = 54,75p = (0,25 * 82) – (2,5 * 8) +
60 = 56,00p = (0,25 * 92) – (2,5 * 9) +
16
60 = 57,75p = (0,25 * 102) – (2,5 * 10)
+ 60 = 60
Tempo (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Preço (em $) 60,00
57,75 56,00 54,75
54,00 53,75 54,00 54,75
56,00 57,75
60,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 50.00
R$ 52.00
R$ 54.00
R$ 56.00
R$ 58.00
R$ 60.00
R$ 62.00
Preço (em $)
Preço (em $)
b) Em que momento o preço é mínimo? Qual o preço
mínimo?
O preço mínino será atingido no quinto mês a um valor
de $ 53,75
c) Qual a variação percentual entre o momento inicial e
final do terceiro mês? E a variação percentual entre
os finais do terceiro e sétimo mês?
17
V %=Vfinal−Vinicial
Vinicial∗100%
V %=54,75−60,0060,00
∗100%
V %=−5,2560,00
∗100%
V %=−525%60,00
V %=−8,75%
Variação entre os terceiro e sétimo meses
V %=Vfinal−Vinicial
Vinicial∗100%
V %=54,75−54,7554,75
∗100 %
V %=0
54,75∗100%
V %=0
18
2) Um comerciante de roupas compra ternos e camisetas
para revenda e tem um orçamento limitado para compra. A
quantidade de ternos é representada por x, a de camisetas por
y, e a equação que dá a restrição orçamentária é 10x2 – 10y =
1000.
a) Expresse a quantidade de camisetas em função da
quantidade de ternos comprados
10x2+10y=1000
10y=−10x2+1000
y=−10x210
+100010
y=−x2+100
b) Esboce o gráfico obtido no item anterior ressaltando
os principais pontos.
-x2 + 100 = 0
a = -1
b = 0
c = 100
∆=b2−4∗a∗c∆=02−4∗(−1)∗100
∆=400
x=−b±√b2−4ac
2a
19
x=−0±√∆2∗(−1)
x=±20−2
x'=20−2
x'=−10
x''=−20−2
x''=10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
120Camisetas x ternos
Camisetas x ternos
Ternos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Camise
tas100 99 96 91 84 75 64 51 36 19 0
c) Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetas é
possível comprar?
Não compra terno
Não compra camiseta
compra 7 ternos e 40camisetas
20
y = 100 – x2
y = 100 – 8²
y = 100 – 64
y = 36
d) Se forem compradas 19 camisetas, quantos ternos é
possível comprar?
y = 100 – x²
19 = 100 – x²
x² = 100 – 19
x² = 81
x = 9
e) Se não forem comprados ternos, qual a quantidade
de camisetas compradas? E se não forem compradas camisetas,
qual a quantidade de ternos comprados? Indique tais pontos no
gráfico do item anterior.
y = 100 – x²
y = 100 – 0²
y = 100
y = 100 – x²
0 = 100 – x²
x² = 100
x = 10
f) Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetas, tal
compra ultrapassará o orçamento? Represente tal
possibilidade no gráfico do item (b).
21
10x² + 10y = 1000
10*(7)² + 10*40 = 1000
10 * 49 + 400 = 1000
490 + 400 = 1000
890 < 1000
3) Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em
uma de suas linhas de produção, sendo que os recursos são os
mesmos para tal produção. As quantidades de detergente e
sabonete líquido produzidos podem ser representadas
respectivamente por x e y. a interdependência dessas variáveis
é dada por 5x² + 5y = 45, e o gráfico de tal equação é
conhecido também como curva de transformação de produto.
a) Expresse a quantidade de sabonete líquido como
função da quantidade de detergente produzido.
5x² + 5y = 45
5y = 45 – 5x²
y=455 −
5x25
y = 9 – x²
b) Esboce a curva de transformação do produto
Quantidade máxima produção sabonete líquido
y = 9 – x²
y = 9 – 0²
22
y = 9
quantidade máxima produção detergente
y = 9 – x²
0 = 9 – x²
x² = 9
x = 3
0 1 2 30123456789
10
Sabotene x detergente
Sabotenexdetergente
c) Explique o significado dos pontos em que a curva
corta os eixos coordenados.
3 e 9 são pontos extremos da produção
d) Aproximadamente, quanto se deve produzir de
detergente para que tal quantidade seja a metade de sabonete
líquido? Considere que as quantidades são dadas em milhares de
litros.
5x² + 5y/2 = 455x² + (5*9)/2 = 455x² + 45/2 = 45
23
5x² + 22,5 + 455x² = 45 – 22,5
x2=22,55
x2=4,5x=2,12
4) O preço de um produto depende da quantidade q que
os fornecedores estão dispostos a oferecer e, para um certo
produto, pela lei de oferta, tal dependência é dada pela
função p= q² + 10q + 9. Para o mesmo produto, o preço também
depende da quantidade q que os compradores estão dispostos a
adquirir e, pela lei da demanda, tal dependência é dada por p=
-q² + 81.
a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos da
oferta e demanda.
Demanda
p = -q² + 81
0 = -q² + 81
q² = 81
q = 9
p = -q² + 81
p = 0² + 81
p = 81
Oferta
24
P = q² + 10q + 9
p = 0² + 10*9 + 9
p = 9
0 40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
DemandaOferta
b) Obtenha a quantidade e o preço de equilíbrio.
Indique também no gráfico anterior.
Preço equilíbrio
Demanda = Oferta
-q² + 81 = q² + 10q + 9
(-q² + 81) – (q² + 10q + 9) = 0
-2q² - 10q + 72 = 0
a = -2
b = -10
c = 72
Break-Even Point
25
∆ = b² - 4*a*c
∆ = (-10)² - 4*(-2)*72
∆ = 100 + 576
∆ = 676
q=−b±√∆2a
q=−(−10)±√6762∗−2
q=10±26
−4
q'=10−26
−4
q'=−16−4
q'=4
q''=10+26
−4
q''=36−4
q''=−9
p = -2q² - 10q + 72 = 0
p = -2*(4)² - 10*4 + 72 = 0
p = -32 – 40 + 72
p = 0
26
p = -q² + 81
p = -4² + 81
p = -16 + 81
p = 65
portanto, a quantidade de equilíbrio é 4 e o preço de
equilíbrio é $ 65
5) Para a comercialização de relógios, um lojista
observa que a receita é dada por R = -3q² + 120q e o custo é
dado por C = 2q² + 20q + 375
a) Esboce os gráficos da receita e custo sobre o mesmo
sistema dee eixos, determinando e indicando o break-
even point.
R = -3q² + 120q
C = 2q² + 20q + 375
Ponto em que a curva corta o eixo R (q = 0)
R = -3q² + 120
27
R = -3*(0)² + 120*(0)
R = 0 + 0
R = 0
Ponto em que a curva corta o eixo q (R = 0)
R = -3q² + 120q
0 = -3q² + 120q
Simplifica por 3q
q = 0 0u q = 40
Vértice
V=∆q2
V=40−02
V = 20
R = -3q² + 120q
R = -3*(20)² + 120*20
R= -3*400 + 2400
R = -1200 + 2400
R = 1200
R = C
-3q² + 120q = 2q² + 20q + 375
-3q² + 120 – (2q² + 20q + 375) = 0
-5q² + 100q – 375 = 0
28
a = -5
b = 100
c = -375
∆= b² - 4*a*c
∆ = 100² - 4*(-5)*(-375)
∆ = 10000 – 7500
∆ = 2500
q=−b±√∆2a
q=−100±√2500
2∗−5
q=−100±50
−10
q'=−100+50−10
q'=−50−10
q'=5
q''=−100−50−10
q''=−150−10
q''=−15
29
C = 2q² + 20q + 375
C = 2*(5)² + 20*5 + 375
C = 50 + 100 + 375
C = 525
C = 2q² + 20q + 375
C = 2*(15)² + 20*15 + 375
C = 450 + 1300 + 375
C = 1125
0 5 10 15 20 25 30 35 400
200
400
600
800
1000
1200
1400
bep
Receita
Custo
Lucro Positivo
30
b) Indique no gráfico do item anterior as quantidades
para quais o lucro é positivo.
c) Obtenha a função lucro e esboce o gráfico, indicando
os principais pontos.
R = C
-3q² + 120q = 2q² + 20q + 375
-3q² + 120 – (2q² + 20q + 375) = 0
-5q² + 100q – 375 = 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
-400
-300
-200
-100
0
100
200
Lucro Nulo
Lucro Nulo
Lucro Máximo
Lucro Decresce
Lucro Crescent
31
d) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada
para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo?
V=−b2∗a
V=−1002∗−5
V=−100−10
V=10
L = -5q² + 100q – 375
L = -5*(10)² + 100*10 – 375
L = -500 + 1000 – 375
L = 125
Para se obter o lucro máximo é necessário a venda de
10 relógios somando um total de $ 125,00
32
e) Para quais quantidades comercializadas o lucro é
positivo? Compare com resultados indicados no item
(b)
O lucro é positivo nas vendas de acima de 5 e abaixo
de 15 relógios, sendo que nas quantidades exatas de
5 e 15 o lucro é nulo.
Nas quantidades acima de 5 até 10 unidades, o lucro
é crescente e de 10 até15 consequentemente este
lucro decresce.
1.3 Passo III
Analisar 3 gráficos da função do primeiro grau e 3
gráficos da função do segundo grau
Função do Primeiro Grau
R,C
140
R = 7 * q
C = 4 * q + 60
33
AnáliseGráfico com a Função Linear, crescente pois A > 0
AnáliseGráfico com a Função Linear, crescente pois A > 0
20 (L =0) q
Break-evenpoint (20,140)
P
$
$
10 55
$
0 q
P
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
-400
-300
-200
-100
0
100
200
A < 0 e ∆ > 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 50.00
R$ 52.00
R$ 54.00
R$ 56.00
R$ 58.00
R$ 60.00
R$ 62.00
Preço (em $)
Preço (em $)
A > 0 e ∆ < 0
37
2. ETAPA 2
2.1 Passo I
?
2.1 Passo II
Exercícios de Função Exponencial
1) O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico
aumenta conforme uma função exponencial. O preço médio
inicial dos componentes é de $ 28,50, e a taxa
percentual de aumento é de 4% ao mês.
a) Obtenha o preço médio P como função dos meses t após
o momento em que foi calculado o preço médio
inicial, isto é, P = f(t)
b) Calcule o preço médio dos componentes após 1, 5 e 10
meses do momento em que foi calculado o preço
inicial.
c) Esboce o gráfico de P(t).
d) Utilizando apenas a base da função, determine o
aumento percentual em um ano.
38
e) Após quanto tempo o preço médio dos componentes
duplicará? Após quanto tempo o preço médio
quadruplicará? Compare os resultados
2) Uma cidade no ano 2000 tem 1.350.000 habitantes e, a
partir de então, sua população cresce de forma
exponencial a uma taxa de 1,26% ao ano.
a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto
é, P = f(t). (Considere t = 0 representando o ano
2000, t = 1 representando o ano 2001, e assim
sucessivamente)
b) Estime a população da cidade para os anos de 2000,
2001, 2005 e 2010.
c) Esboce i gráfico de P(t)
d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na
segunda década?
e) Em que ano a população será de 1.500.000 habitantes?
f) Após quanto tempo a população duplicará?
3) Em uma jazida de minério, os técnicos com aparelhos
fazem estimativas da quantidade de estanho restante
que pode ser extraída após a descoberta da jazida.
Tais quantidades foram computadas, e duas dessas
estimativas estão na tabela a seguir:
Tempo após a descoberta da
jazida (anos)
1 3
Quantidade estimada de
estanho na jazida
(toneladas)
917.504 702.464
39
Sabe-se ainda que, com a extração mineral, a
quantidade estimada de estanho restante vem diminuindo
de forma exponencial.
a) Obtenha a quantidade de estanho restante y como
função dos anos x após a descoberta da jazida, isto
é, y = f(x)
b) Qual a diminuição percentual anual do estanho?
c) Qual era a quantidade de estanho presente na jazida
quando ela foi descoberta?
d) Após quanto tempo a jazida terá a metade da
quantidade inicial de estanho?