SUMÁRIO

1. ETAPA

1........................................................

.........................................................

........2

1.1 Passo

I...................................................

....................................................

....2

1.2 Passo

II..................................................

....................................................

....2

1.3 Passo

III.................................................

....................................................

..26

2. ETAPA

2........................................................

.........................................................

......30

2.1 Passo

I...................................................

2

....................................................

..30

2.2 Passo

II..................................................

....................................................

..30

1. ETAPA 1

1.1 Passo I

3

Conceitue Função e quais suas aplicações?Na matemática, o conceito de função é

inteiramente ligado as questões de dependência entreduas grandezas variáveis. Toda função possui uma lei deformação algébrica que relaciona dois ou mais conjuntosatravés de cálculos matemáticos. Dizemos que para todafunção temos um conjunto denominado domínio e suarespectiva imagem. (MARCOS, 2008, p.1)

As funções possuem grande aplicabilidade nassituações em geral relacionadas ao ensino da matemática.Utilizamos funções na Administração, na Economia, naFísica, na Química, na Engenharia, nas Finanças, entreoutras áreas do conhecimento. (MARCOS, 2008, p.1)

1.2 Passo II

Exercícios Função do 1º Grau

1) Um comerciante compra objetos ao preço unitário de $

4,00, gasta em sua condução diária $ 60,00 e vende cada

unidade a $ 7,00.

a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade

comprada q. Expresse também sua receita R em função da

quantidade vendida q, que se supõe igual à quantidade

comprada. Além disto, expresse seu lucro diário L em função da

quantidade q.

RECEITA

Receita (R = Pv * q) onde,

R = Receita

Pv = Preço Venda

q = Quantidade vendida

portanto,

4

R = 7 * q

CUSTO DIÁRIO

Custo diário (C = Pc * q + Cd) onde

C = Custo diário

Pc = Preço unitário

q = Quantidade vendida

Cd = Condução diária

Portanto,

C = 4 * q + 60

LUCRO DIÁRIO

Lucro diário ( L = R – C) onde

L = Lucro diário

R = Receita Diária

C = Custo Diário

Portanto,

L = (7 * q) – (4 * q + 60)

L = 3 * q – 60

b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das

funções de seu custo diário C e de sua receita R, determinando

e indicando o break-even point. Qual o significado de tal ponto?

5

L = 0 R = 7 * 20

3 * q – 60 = 0 R = 140

3 * q = 60

q = 603

q = 20

Break-even point é o ponto de equilíbrio, ou seja, custo (C) e

receita (R) são iguais, portanto o lucro é zero.

c) Esboce o gráfico da função Lucro L e, observando os

gráficos esboçados no item anterior. Determine e indique, no

gráfico do item (b), bem como no gráfico da função L, qual(is)

a(s) quantidade(s) que proporciona(m) lucro positivo e lucro

negativo.

R,C

140

20 (L =0) q

Break-evenpoint (20,140)

R = 7 * q

C = 4 * q + 60

Lucro Positivo

Lucro Negativo

6

c) Podemos obter as funções Custo Médio, Cme, e Lucro

Médio, Lme (ou Custo Unitário, Cu, e Lucro Unitário, Lu)

dividindo a função do custo e do lucro pela quantidade. Então

obtenha a função Cme e esboce seu gráfico, indicando se

existirem limitantes superior ou inferior.

Cme=Cq

Cme=4∗q+60q

R,C

4020 (L =0) q

L= 3q - 60

60

Lucro Positivo

-60

Lucro Negativo

7

Cme=4+60q

QCme (R$)

1 6410 10

100 4,61000 4,0610000 4,006

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

10

20

30

40

50

60

70

Cme

Cme

Cme = $ 4,00 (limitante inferior)

2) Podemos enunciar a lei da oferta de um produto em

relação ao preço da seguinte forma: “A predisposição para a

oferta ou a demanda de um produto pelos fornecedores no

mercado geralmente aumenta quando o preço aumenta e diminui

quando o preço diminui”.

Em uma safra, a oferta e o preço de uma fruta estão

relacionados de acordo com a tabelaOferta (q) 10 25 40 55

8

Preço (p) 4,50 4,80 5,10 5,40

a) Determine a expressão que relaciona preço a oferta

Y = A*x + B ou P = A*q + B

A=∆p∆q

A=4,80−4,5025−10

A=0,3015

A=0,02

P = A*q + B

4,50 = 0,02 * 10 + B

4,50 = 0,20 + B

4,50 – 0,20 = B

B = 4,30

Portanto

P = 0,02*q + 4,30

9

b) Esboce o gráfico da função do item anterior. A função

é crescente ou decrescente?

3) Uma locadora de automóveis aluga um “carro popular” ao

preço de $ 30,00 a diária, mais $ 4,00 por quilômetro rodado.

Outra locadora aluga o mesmo modelo de carro ao preço de $

80,00 a diária, mais $ 2,00 por quilômetro rodado.

a) Escreva as funções que descrevem, para cada locadora,

o valor a ser pago de aluguel em função do quilômetro rodado

considerando o carro locado em um dia

Locadora 1 Locadora 2P1 = Valor Aluguel

A1 = Valor Km rodado

P2 = Valor Aluguel

A2 = Valor Km rodado

P

$

$

10 55

$

0 q

Função Crescente

10

k1 = Km rodado

B1 = Diária

P1 = A1 * k1 + B1

P1 = 4*k + 30

k2 = Km rodado

B2 = Diária

P2 = A2 * k2 + B2

P2 = 2*k + 80

b) Represente graficamente, em um mesmo sistema de eixos,

as funções determinadas no item anterior

Locadora 1 Locadora 2P1 = 4 * 0 + 30 = 30 P2 = 2 * 0 + 80 = 80P1 = 4 * 5 + 30 = 50 P2 = 2 * 5 + 80 = 90P1 = 4 * 10 + 30 = 70 P2 = 2 * 10 + 80 = 100P1 = 4 * 15 + 30 = 90 P2 = 2 * 15 + 80 = 110P1 = 4 * 20 + 30 = 110 P2 = 2 * 20 + 80 = 120P1 = 4 * 25 + 30 = 130 P2 = 2 * 25 + 80 = 130P1 = 4 * 30 + 30 = 150 P2 = 2 * 30 + 80 = 140

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120

140

160

Locadora 1 em $Locadora 2 em $

11

c) Qual das duas locadoras apresenta uma melhor opção

para uma pessoa alugar um carro popular na locação em um único

dia? Justifique sua resposta.

De acordo com a tabela do item b, até uma distancia de

25km a Locadora 1 é compensatória, acima desta distância

torna-se lucrativo o serviço da locadora 2.

4) Um botijão de cozinha contem 13K de gás. Na casa A, em

média, é consumido, por dia, 0,5 kg de gás. Na casa B, em

média, é consumido por dia, 0,3 kg de gás. Supondo que na casa

A o botijão está cheio e que na casa B já foram gastos 5 kg de

gás:

a) Expresse, para cada uma das casas, a massa m de gás

no botijão, em função de t (dias de consumo). Depois de quanto

tempo os botijões estarão vazios?

Casa A Casa BMa = Massa Botijão

Ca = Consumo diário

ta = Tempo consumo

Mb = Massa Botijão

Cb = Consumo Diário

tb = Tempo consumo

12

Pa = Peso Botijão

Ma = Pa – Ca* ta

Ma = 13 – 0,5 * ta

Pb = Peso Botijão

Mb = Pb - Cb * tb

M2b = 8 – 0,3 * tb

Ma = Pa – Ca* ta

0 = 13 – 0,5 * ta

0,5 * ta = 13

ta= 130,5

ta = 26 dias

Mb = Pb – Cb * tb

0 = 8 – 0,3 * tb

0,3 * tb = 8

tb= 80,3

tb = 26,66 dias

b) Esboce o gráfico, em um mesmo sistema de eixos, das

funções determinadas no item anterior. Nessa situação, as

funções são crescentes ou decrescentes? A quer tipo de taxa?

13

0 5 10 15 20 25 26 26.660

2

4

6

8

10

12

14

Casa A em massaCasa B em massa

Função Crescente e Taxa Constante

c) Depois de quanto tempo as quantidades de gás nos dois

botijões serão iguais?

Consumo Casa A

Em kg

Consumo Casa B

Em kgM1 = 13 – 0,5 * 0 = 13 M2 = 8 – 0,3 * 0 = 8M1 = 13 – 0,5 * 5 = 10,5 M2 = 8 – 0,3 * 5 = 6,5M1 = 13 – 0,5 * 10 = 8 M2 = 8 – 0,3 * 10 = 5M1 = 13 – 0,5 * 15 = 5,5 M2 = 8 – 0,3 * 15 = 3,5M1 = 13 – 0,5 * 20 = 3 M2 = 8 – 0,3 * 20 = 2M1 = 13 – 0,5 * 25 = 0,5 M2 = 8 – 0,3 * 25 = 0,5M1 = 13 – 0,5 * 26 = 0 M2 = 8 – 0,3 * 26 = 0,2

M2 = 8 – 0,3 * 26,66 = 0

Exercícios Função do Segundo Grau

14

1) O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo

com a função p = 0,25t2 – 2,5t + 60 para um período de um ano

em que t = 0 representa o momento inicial de análise, t= 1

após 1 mês, t = 2 após 2 meses etc.

a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos.

a = 0,25

b = -2,5

c = 60

∆ = b2 – 4*a*c

∆ = (-2,5)2 – 4 *(0,25)*(60)

∆ = 6,25 – 60

∆ = -53,25

Cálculo do Vértice

V=( −b2∗a );( −∆

4∗a )V=( −(−2,5)

2∗(0,25));(−(−53,25)

4∗(0,25) )V=(2,50,5 );(53,751 )V=(5 ); (53,75)

15

Variação Preço

Em $p = (0,25 * 02) – (2,5 * 0) +

60 = 60,00p = (0,25 * 12) – (2,5 * 1) +

60 = 57,75p = (0,25 * 22) – (2,5 * 2) +

60 = 56,00p = (0,25 * 32) – (2,5 * 3) +

60 = 54,75p = (0,25 * 42) – (2,5 * 4) +

60 = 54,00p = (0,25 * 52) – (2,5 * 5) +

60 = 53,75p = (0,25 * 62) – (2,5 * 6) +

60 = 54,00p = (0,25 * 72) – (2,5 * 7) +

60 = 54,75p = (0,25 * 82) – (2,5 * 8) +

60 = 56,00p = (0,25 * 92) – (2,5 * 9) +

16

60 = 57,75p = (0,25 * 102) – (2,5 * 10)

+ 60 = 60

Tempo (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Preço (em $) 60,00

57,75 56,00 54,75

54,00 53,75 54,00 54,75

56,00 57,75

60,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 50.00

R$ 52.00

R$ 54.00

R$ 56.00

R$ 58.00

R$ 60.00

R$ 62.00

Preço (em $)

Preço (em $)

b) Em que momento o preço é mínimo? Qual o preço

mínimo?

O preço mínino será atingido no quinto mês a um valor

de $ 53,75

c) Qual a variação percentual entre o momento inicial e

final do terceiro mês? E a variação percentual entre

os finais do terceiro e sétimo mês?

17

V %=Vfinal−Vinicial

Vinicial∗100%

V %=54,75−60,0060,00

∗100%

V %=−5,2560,00

∗100%

V %=−525%60,00

V %=−8,75%

Variação entre os terceiro e sétimo meses

V %=Vfinal−Vinicial

Vinicial∗100%

V %=54,75−54,7554,75

∗100 %

V %=0

54,75∗100%

V %=0

18

2) Um comerciante de roupas compra ternos e camisetas

para revenda e tem um orçamento limitado para compra. A

quantidade de ternos é representada por x, a de camisetas por

y, e a equação que dá a restrição orçamentária é 10x2 – 10y =

1000.

a) Expresse a quantidade de camisetas em função da

quantidade de ternos comprados

10x2+10y=1000

10y=−10x2+1000

y=−10x210

+100010

y=−x2+100

b) Esboce o gráfico obtido no item anterior ressaltando

os principais pontos.

-x2 + 100 = 0

a = -1

b = 0

c = 100

∆=b2−4∗a∗c∆=02−4∗(−1)∗100

∆=400

x=−b±√b2−4ac

2a

19

x=−0±√∆2∗(−1)

x=±20−2

x'=20−2

x'=−10

x''=−20−2

x''=10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

120Camisetas x ternos

Camisetas x ternos

Ternos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Camise

tas100 99 96 91 84 75 64 51 36 19 0

c) Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetas é

possível comprar?

Não compra terno

Não compra camiseta

compra 7 ternos e 40camisetas

20

y = 100 – x2

y = 100 – 8²

y = 100 – 64

y = 36

d) Se forem compradas 19 camisetas, quantos ternos é

possível comprar?

y = 100 – x²

19 = 100 – x²

x² = 100 – 19

x² = 81

x = 9

e) Se não forem comprados ternos, qual a quantidade

de camisetas compradas? E se não forem compradas camisetas,

qual a quantidade de ternos comprados? Indique tais pontos no

gráfico do item anterior.

y = 100 – x²

y = 100 – 0²

y = 100

y = 100 – x²

0 = 100 – x²

x² = 100

x = 10

f) Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetas, tal

compra ultrapassará o orçamento? Represente tal

possibilidade no gráfico do item (b).

21

10x² + 10y = 1000

10*(7)² + 10*40 = 1000

10 * 49 + 400 = 1000

490 + 400 = 1000

890 < 1000

3) Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em

uma de suas linhas de produção, sendo que os recursos são os

mesmos para tal produção. As quantidades de detergente e

sabonete líquido produzidos podem ser representadas

respectivamente por x e y. a interdependência dessas variáveis

é dada por 5x² + 5y = 45, e o gráfico de tal equação é

conhecido também como curva de transformação de produto.

a) Expresse a quantidade de sabonete líquido como

função da quantidade de detergente produzido.

5x² + 5y = 45

5y = 45 – 5x²

y=455 −

5x25

y = 9 – x²

b) Esboce a curva de transformação do produto

Quantidade máxima produção sabonete líquido

y = 9 – x²

y = 9 – 0²

22

y = 9

quantidade máxima produção detergente

y = 9 – x²

0 = 9 – x²

x² = 9

x = 3

0 1 2 30123456789

10

Sabotene x detergente

Sabotenexdetergente

c) Explique o significado dos pontos em que a curva

corta os eixos coordenados.

3 e 9 são pontos extremos da produção

d) Aproximadamente, quanto se deve produzir de

detergente para que tal quantidade seja a metade de sabonete

líquido? Considere que as quantidades são dadas em milhares de

litros.

5x² + 5y/2 = 455x² + (5*9)/2 = 455x² + 45/2 = 45

23

5x² + 22,5 + 455x² = 45 – 22,5

x2=22,55

x2=4,5x=2,12

4) O preço de um produto depende da quantidade q que

os fornecedores estão dispostos a oferecer e, para um certo

produto, pela lei de oferta, tal dependência é dada pela

função p= q² + 10q + 9. Para o mesmo produto, o preço também

depende da quantidade q que os compradores estão dispostos a

adquirir e, pela lei da demanda, tal dependência é dada por p=

-q² + 81.

a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos da

oferta e demanda.

Demanda

p = -q² + 81

0 = -q² + 81

q² = 81

q = 9

p = -q² + 81

p = 0² + 81

p = 81

Oferta

24

P = q² + 10q + 9

p = 0² + 10*9 + 9

p = 9

0 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

DemandaOferta

b) Obtenha a quantidade e o preço de equilíbrio.

Indique também no gráfico anterior.

Preço equilíbrio

Demanda = Oferta

-q² + 81 = q² + 10q + 9

(-q² + 81) – (q² + 10q + 9) = 0

-2q² - 10q + 72 = 0

a = -2

b = -10

c = 72

Break-Even Point

25

∆ = b² - 4*a*c

∆ = (-10)² - 4*(-2)*72

∆ = 100 + 576

∆ = 676

q=−b±√∆2a

q=−(−10)±√6762∗−2

q=10±26

−4

q'=10−26

−4

q'=−16−4

q'=4

q''=10+26

−4

q''=36−4

q''=−9

p = -2q² - 10q + 72 = 0

p = -2*(4)² - 10*4 + 72 = 0

p = -32 – 40 + 72

p = 0

26

p = -q² + 81

p = -4² + 81

p = -16 + 81

p = 65

portanto, a quantidade de equilíbrio é 4 e o preço de

equilíbrio é $ 65

5) Para a comercialização de relógios, um lojista

observa que a receita é dada por R = -3q² + 120q e o custo é

dado por C = 2q² + 20q + 375

a) Esboce os gráficos da receita e custo sobre o mesmo

sistema dee eixos, determinando e indicando o break-

even point.

R = -3q² + 120q

C = 2q² + 20q + 375

Ponto em que a curva corta o eixo R (q = 0)

R = -3q² + 120

27

R = -3*(0)² + 120*(0)

R = 0 + 0

R = 0

Ponto em que a curva corta o eixo q (R = 0)

R = -3q² + 120q

0 = -3q² + 120q

Simplifica por 3q

q = 0 0u q = 40

Vértice

V=∆q2

V=40−02

V = 20

R = -3q² + 120q

R = -3*(20)² + 120*20

R= -3*400 + 2400

R = -1200 + 2400

R = 1200

R = C

-3q² + 120q = 2q² + 20q + 375

-3q² + 120 – (2q² + 20q + 375) = 0

-5q² + 100q – 375 = 0

28

a = -5

b = 100

c = -375

∆= b² - 4*a*c

∆ = 100² - 4*(-5)*(-375)

∆ = 10000 – 7500

∆ = 2500

q=−b±√∆2a

q=−100±√2500

2∗−5

q=−100±50

−10

q'=−100+50−10

q'=−50−10

q'=5

q''=−100−50−10

q''=−150−10

q''=−15

29

C = 2q² + 20q + 375

C = 2*(5)² + 20*5 + 375

C = 50 + 100 + 375

C = 525

C = 2q² + 20q + 375

C = 2*(15)² + 20*15 + 375

C = 450 + 1300 + 375

C = 1125

0 5 10 15 20 25 30 35 400

200

400

600

800

1000

1200

1400

bep

Receita

Custo

Lucro Positivo

30

b) Indique no gráfico do item anterior as quantidades

para quais o lucro é positivo.

c) Obtenha a função lucro e esboce o gráfico, indicando

os principais pontos.

R = C

-3q² + 120q = 2q² + 20q + 375

-3q² + 120 – (2q² + 20q + 375) = 0

-5q² + 100q – 375 = 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-400

-300

-200

-100

0

100

200

Lucro Nulo

Lucro Nulo

Lucro Máximo

Lucro Decresce

Lucro Crescent

31

d) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada

para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo?

V=−b2∗a

V=−1002∗−5

V=−100−10

V=10

L = -5q² + 100q – 375

L = -5*(10)² + 100*10 – 375

L = -500 + 1000 – 375

L = 125

Para se obter o lucro máximo é necessário a venda de

10 relógios somando um total de $ 125,00

32

e) Para quais quantidades comercializadas o lucro é

positivo? Compare com resultados indicados no item

(b)

O lucro é positivo nas vendas de acima de 5 e abaixo

de 15 relógios, sendo que nas quantidades exatas de

5 e 15 o lucro é nulo.

Nas quantidades acima de 5 até 10 unidades, o lucro

é crescente e de 10 até15 consequentemente este

lucro decresce.

1.3 Passo III

Analisar 3 gráficos da função do primeiro grau e 3

gráficos da função do segundo grau

Função do Primeiro Grau

R,C

140

R = 7 * q

C = 4 * q + 60

33

AnáliseGráfico com a Função Linear, crescente pois A > 0

AnáliseGráfico com a Função Linear, crescente pois A > 0

20 (L =0) q

Break-evenpoint (20,140)

P

$

$

10 55

$

0 q

P

34

AnáliseGráfico com a Função Linear, decrescente pois A < 0

Função do segundo grau

20

100

0 q

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-400

-300

-200

-100

0

100

200

A < 0 e ∆ > 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 50.00

R$ 52.00

R$ 54.00

R$ 56.00

R$ 58.00

R$ 60.00

R$ 62.00

Preço (em $)

Preço (em $)

A > 0 e ∆ < 0

36

0 5 10 15 20 25 30 35 400

200

400

600

800

1000

1200

1400

A > 0 e ∆ > 0

37

2. ETAPA 2

2.1 Passo I

?

2.1 Passo II

Exercícios de Função Exponencial

1) O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico

aumenta conforme uma função exponencial. O preço médio

inicial dos componentes é de $ 28,50, e a taxa

percentual de aumento é de 4% ao mês.

a) Obtenha o preço médio P como função dos meses t após

o momento em que foi calculado o preço médio

inicial, isto é, P = f(t)

b) Calcule o preço médio dos componentes após 1, 5 e 10

meses do momento em que foi calculado o preço

inicial.

c) Esboce o gráfico de P(t).

d) Utilizando apenas a base da função, determine o

aumento percentual em um ano.

38

e) Após quanto tempo o preço médio dos componentes

duplicará? Após quanto tempo o preço médio

quadruplicará? Compare os resultados

2) Uma cidade no ano 2000 tem 1.350.000 habitantes e, a

partir de então, sua população cresce de forma

exponencial a uma taxa de 1,26% ao ano.

a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto

é, P = f(t). (Considere t = 0 representando o ano

2000, t = 1 representando o ano 2001, e assim

sucessivamente)

b) Estime a população da cidade para os anos de 2000,

2001, 2005 e 2010.

c) Esboce i gráfico de P(t)

d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na

segunda década?

e) Em que ano a população será de 1.500.000 habitantes?

f) Após quanto tempo a população duplicará?

3) Em uma jazida de minério, os técnicos com aparelhos

fazem estimativas da quantidade de estanho restante

que pode ser extraída após a descoberta da jazida.

Tais quantidades foram computadas, e duas dessas

estimativas estão na tabela a seguir:

Tempo após a descoberta da

jazida (anos)

1 3

Quantidade estimada de

estanho na jazida

(toneladas)

917.504 702.464

39

Sabe-se ainda que, com a extração mineral, a

quantidade estimada de estanho restante vem diminuindo

de forma exponencial.

a) Obtenha a quantidade de estanho restante y como

função dos anos x após a descoberta da jazida, isto

é, y = f(x)

b) Qual a diminuição percentual anual do estanho?

c) Qual era a quantidade de estanho presente na jazida

quando ela foi descoberta?

d) Após quanto tempo a jazida terá a metade da

quantidade inicial de estanho?