ATPS Calculo III

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

Engenharia de Controle e Automação

3ª Série Cálculo III A Atividade Prática Supervisionada (ATPS) é um procedimento metodológico de

ensino-aprendizagem desenvolvido por meio de etapas, acompanhadas pelo

professor, e que tem por objetivos:

� Favorecer a autoaprendizagem do aluno.

� Estimular a corresponsabilidade do aluno pelo seu aprendizado.

� Promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo.

� Auxiliar no desenvolvimento das competências requeridas para o exercício

profissional.

� Promover a aplicação da teoria na solução de situações que simulam a

realidade.

� Oferecer diferenciados ambientes de aprendizagem

Para atingir estes objetivos, a ATPS propõe um desafio e indica os passos a serem

percorridos ao longo do semestre para a sua solução.

Aproveite esta oportunidade de estudar e aprender com desafios da vida

profissional.

AUTORIA:

Gesiane de Salles Cardin Denzin

Anhanguera Educacional de Limeira

.

Engenharia de Controle e Automação - 3ª Série – Cálculo III


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COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

Ao concluir as etapas propostas neste desafio, você terá desenvolvido as competências e habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais, descritas a seguir.

� Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à Engenharia.

� Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados. � Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.

Participação

Esta atividade será, em parte, desenvolvida individualmente pelo aluno e, em parte, pelo grupo. Para tanto, os alunos deverão:

• organizar-se, previamente, em equipes de 3 a 4 participantes; • entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da disciplina e • observar, no decorrer das etapas, as indicações: Individual e Equipe.

DESAFIO

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = óleo) é um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável, geralmente menos denso que a água e que possui uma coloração que varia do incolor até o preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação. Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e anti-sépticas. Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.

O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo no Brasil. Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos, paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém descoberto.

Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado



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a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

Objetivo do Desafio

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.

Livro Texto da Disciplina A produção desta ATPS é fundamentada no livro-texto da disciplina, que deverá ser utilizado para

solução do desafio: HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.) et al. Cálculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos, 2004, v.1.

ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)

� Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir. 1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais

indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa.

Sites sugeridos para pesquisa

• GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso em: 22 abr. 2012.



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• Curso de GeoGebra. Disponível em: <http://www.youtube.com/playlist?list=PL8884F539CF7C4DE3>. Acesso em: 22 abr. 2012.

Passo 2 (Equipe)

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫

++ da

aa

a

33

3 3

3

?

(a) Caa

aaF ++−=−

3ln2

312)(

24

(b) Caa

aaF ++−= ln3

2

3

12)(

2

4

(c) Caa

aaF +−+= ln3

3

2

12)(

2

4

(d) Caa

aaF +++=−

ln2

312)(

2

4

(e) Caa

aaF +++= ln32

3)(

2

4

Desafio B Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de qqC 501000)( +=′ dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que 000.10)0( =C , a alternativa que expressa )(qC , o

custo total para se perfurar q pés, é:

(a) 225000.1000.10)( qqqC ++=

(b) 2000.125000.10)( qqqC ++=

(c) 2000.10)( qqC =

(d) 225000.10)( qqC +=

(e) 32000.10)( qqqqC ++=

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja )(tC a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o

número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para

)(tC é dado por: tetC 07,01,16)( ⋅= . Qual das alternativas abaixo responde corretamente

a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?



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(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo (b) 48,78 bilhões de barris de petróleo (c) 39,76 bilhões de barris de petróleo (d) 26,54 bilhões de barris de petróleo (e) Nenhuma das alternativas

Desafio D

A área sob a curva 2x

ey = de 3−=x a 2=x é dada por:

(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada. Para o desafio A: Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e). Para o desafio B: Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (e). Para o desafio C: Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e). Para o desafio D: Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (e).



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Passo 4 (Equipe)

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3; 2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.


� Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a técnica de integração por substituição e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender a resolver vários tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.


PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir. 1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integração por

partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Passo 2 (Equipe)

Considerem as seguintes igualdades:

I) ( )

∫+−−

=−⋅−10

6)6()3(

5242 Cttdtttt II) 67,4

4

5

0

=+

∫ dtt

t

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras (b) (I) é falsa e (II) é verdadeira (c) (I) é verdadeira e (II) é falsa (d) (I) e (II) são falsas



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Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos. Para o desafio: Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).

Passo 4 (Equipe)




� Aula-tema: Cálculo de Área.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo de área, usando a teoria de integrais para tanto.


PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir. 1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de área,

usando teoria de integrais para isso. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração na resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Passo 2 (Equipe)

Leiam o desafio abaixo:

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.



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Figura 1.

Figura 2.

Podemos afirmar que: (a) (I) e (II) são verdadeiras (b) (I) é falsa e (II) é verdadeira (c) (I) é verdadeira e (II) é falsa (d) (I) e (II) são falsas

Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos. Para o desafio: Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Passo 4 (Equipe)




� Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo do volume de um sólido de revolução, usando a teoria de integrais para tanto.




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PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir. 1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo do

volume de um sólido de revolução. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração no cálculo de volume.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular o volume de um sólido de revolução e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Passo 2 (Equipe)

Considerem os seguintes desafios:

Desafio A

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva

dada por xy 4= de 44

1≤≤ x é: .. )17172128(

3

2au−⋅

π. Está correta essa

afirmação?

Figura 3.

Desafio B Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta 2=y ,

da região R delimitada pelos gráficos das equações: xseny = , ( )3 xseny = de 0=x até

2

π=x ?

(a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.

Passo 3 (Equipe)

Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados. Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada. Para o desafio A:



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Associem o número 4, se a resposta estiver certa. Associem o número 9, se a resposta estiver errada. Para o desafio B: Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

Passo 4 (Equipe)


1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3; 2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3. 3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por

meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.

Padronização O material escrito solicitado nesta atividade deve ser produzido de acordo com as

normas da ABNT, com o seguinte padrão: • em papel branco, formato A4; • com margens esquerda e superior de 3cm, direita e inferior de 2cm; • fonte Times New Roman tamanho 12, cor preta; • espaçamento de 1,5 entre linhas; • se houver citações com mais de três linhas, devem ser em fonte tamanho 10, com

um recuo de 4cm da margem esquerda e espaçamento simples entre linhas; • com capa, contendo:

• nome de sua Unidade de Ensino, Curso e Disciplina; • nome e RA de cada participante; • título da atividade; • nome do professor da disciplina; • cidade e data da entrega, apresentação ou publicação.

Para consulta completa das normas ABNT, acesse a Normalização de Trabalhos Acadêmicos

Anhanguera. Disponível em:

<http://issuu.com/normalizacao/docs/normaliza____o_de_trabalhos_acad__m>. Acesso em: 23 maio

2014.

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