Calculo I LIMITES

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NotasdeAuladeCál ulo

Limites

BárbaraRodriguez

CinthyaMeneghetti

CristianaPo�al

11demaiode2013



UniversidadeFederaldoRioGrande-FURG

NOTASDEAULADECÁLCULO

InstitutodeMatemáti a,Estatísti aeFísi a-IMEF

Materialelaborado omoresultadodoprojetoREUNI-PROPESPN

o

:033128/2012

- oordenadopelasprofessorasBárbaraRodriguez,CinthyaMeneghettieCristiana

Po�al om

parti ipaçãodabolsistaREUNI:ElizangelaPereira.

1NotasdeauladeCál ulo-FURG

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Sumário

1 Limites de funções reais de uma variável 4

1.1 De�nições importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Motivação para a de�nição de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 De�nição formal de limite �nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Construção geométri a que ilustra a noção de limite . . . . . . . . . . 12

1.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 De�nição de limite à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2 De�nição de limite à esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Propriedades usadas no ál ulo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.1 Limite de uma onstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.2 Limite da função identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.3 Limite da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.4 Limite da diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.5 Limite do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.6 Limite do quo iente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.7 Limite da multipli ação por uma onstante . . . . . . . . . . . 23

1.6.8 Limite da poten iação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.9 Limite da radi iação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.10 Limite de uma função polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.11 Limite de uma função ra ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.12 Limite do logaritmo natural de uma função . . . . . . . . . . . 25

1.7 Limites in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8 Limites no in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8.1 Limites no in�nito de xn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.9 Limites espe iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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SUMÁRIO

1.9.1 Indeterminação do tipo

00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


∞∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.9.3 Indeterminação do tipo ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.9.4 Indeterminação tipo 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10 Teorema do onfronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.11 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.11.1 Limite fundamental trigonométri o . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.11.2 Limite fundamental exponen ial I . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11.3 Limite fundamental exponen ial II . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.12 Lista de Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Notas de aula de Cál ulo - FURG

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Capítulo 1

Limites de funções reais de uma

variável

Apresentação

O ál ulo é fundamentalmente diferente da matemáti a estudada durante

o ensino médio. Ele trata de variação e de movimento, bem omo de quantidades

que tendem a outras quantidades. Ele teve sua origem em quatro problemas nos

quais os matemáti os europeus estavam trabalhando durante o sé ulo XVII. São

eles:

• O problema da reta tangente;

• O problema da velo idade e da a eleração;

• O problema de máximos e mínimos;

• O problema da área.

Cada um destes problemas envolve o on eito de limite e é possível in-

troduzir o ál ulo diferen ial e integral a partir de qualquer um deles.

Neste apítulo serão apresentados os on eitos de limites que permitem

estudar o omportamento de uma função nas proximidades de um determinado

ponto.

4

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1.1. DEFINIÇÕES IMPORTANTES

1.1 De�nições importantes

a) Vizinhança: Chama-se vizinhança (ou entorno) de entro em a e raio δ o inter-

valo aberto (a− δ, a+ δ), onde δ > 0.

Notação: ε(a, δ) = (a− δ, a + δ) = {x ∈ R| |x− a| < δ}.

Veja a representação grá� a na Figura 1.1 (a).

( )a d_ a a d+

( )a d_ a a d+

(a) vizinhança (b) vizinhança perfurada

Figura 1.1: Representação grá� a de vizinhança e vizinhança perfurada.

b) Vizinhança perfurada: É o intervalo (a − δ, a) ∪ (a, a + δ). Ou seja, é um

entorno de raio δ onde o entro a não está in luído.

Notação: ε′(a, δ) = (a− δ, a) ∪ (a, a+ δ)

ε′(a, δ) = {x ∈ R|a− δ < x < a + δ ∧ x 6= a}.

A representação grá� a pode ser vista na Figura 1.1 (b).

) Ponto de a umulação ou ponto limite: Um número a é dito ponto de a umu-

lação de um onjunto C se, e somente se, para toda vizinhança perfurada ε′(a, δ)

de entro a, existe pelo menos um ponto x 6= a tal que x ∈ C e x ∈ ε′(a, δ).

Exemplo 1.1.1. Se C = R então todo elemento de C é ponto de a umula-

ção, pois toda vizinhança de qualquer elemento de C ontém uma in�nidade de

elementos de C.

Exer í io 1.1.1. Seja A o intervalo [1, 4[. Determine os pontos de a umulação

de A.

d) Ponto isolado: Um ponto a perten ente a C é ponto isolado de C se existe

ε′(a, δ) tal que ∀x ∈ C, x 6= a então x /∈ ε′(a, δ).

Exemplo 1.1.2. Represente a vizinhança |x− 5| < 12.

Solução:


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1.2. MOTIVAÇ�O PARA A DEFINIÇ�O DE LIMITE

Comparando om a de�nição de vizinhança, tem-se que o entro é

a = 5 e o raio é δ = 12. Para omprovar, utiliza-se a de�nição de módulo para

en ontrar o intervalo que representa a vizinhança:

|x− 5| < 1

2⇔ −1

2< x− 5 <

1

2.

Assim, tem-se:

−12

< x− 5 < 12

−12+ 5 < x− 5 + 5 < 1

2+ 5

92

< x < 112.

Portanto, a vizinhança é representada por ε(

5, 12

)

=(

92, 11

2

)

. A repre-

sentação grá� a pode ser vista na Figura 1.2.

( )5 0,5

_5 5 0,5+

Figura 1.2: Representação da vizinhança ε(

5, 12

)

.

1.2 Motivação para a de�nição de limite

A idéia de limite apare e intuitivamente em muitas situações. Na Físi a,

por exemplo, para de�nir a velo idade instantânea de um móvel utiliza-se o ál ulo

da velo idade média para o aso onde o intervalo de tempo seja muito próximo de

zero. A velo idade média vm é al ulada omo vm =s1 − s0t1 − t0

=△s

△t, onde s é a

posição e t é o tempo (veja na Figura 1.3). Então, a velo idade instantânea vi é

de�nida omo:

vi = lim△t→0

△s

△t.

Em outras palavras, a velo idade instantânea é o limite da velo idade

média quando △t tende a zero.


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-


s0

s1

t1t0

t

s

D

D

t

s

Figura 1.3: Grá� o da posição de um móvel ao longo do tempo.

O ál ulo de limites serve para des rever omo uma função se omporta

quando a variável independente tende a um dado valor.

Notação: limx→a

f(x) = L.

Lê-se: �L é o limite de f(x) quando x se aproxima de a�.

O matemáti o fran ês Augustin-Louis Cau hy (1789-1857) foi a primeira

pessoa a atribuir um signi� ado matemati amente rigoroso às frases �f(x) se apro-

xima arbitrariamente de L� e �x se aproxima de a�.

Observação 1.2.1. A expressão limx→a

f(x) = L des reve o omportamento de f(x)

quando x está muito próximo de a, e não quando x = a.

Exemplo 1.2.1. Como será o omportamento da função f(x) = x2− x+1 quando

x se aproximar ada vez mais de 2?

Solução:

A determinação do omportamento de f(x) para valores próximos de 2

pode ser analisada de várias formas. Ini ialmente, atribuem-se valores que se aproxi-

mam de 2 para x e, al ulando f(x) para ada um desses valores, pode-se onstruir

a seguinte tabela:

Tabela 1: Valores da função f(x) para valores próximos de 2.

x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 2,5 3

f(x) 1 1,75 2,71 2,9701 2,997001 - 3,003001 3,0301 3,31 4,75 7

aproximação à esquerda → ← aproximação à direita

Primeiramente, observe que não foi olo ado na tabela o valor de f(x)


I

M

E

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-

F

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I

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E

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F

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-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


quando x = 2. Esse valor foi omitido, pois se deseja estudar apenas os valores de

f(x) quando x está próximo de 2, e não o valor da função quando x = 2.

Per ebe-se que quando x se aproxima de 2 (em qualquer sentido) f(x) se

aproxima de 3. Logo, pode-se dizer que limx→2

f(x) = 3.

Observe a Figura 1.4. Comprova-se que o grá� o da função se aproxima

para o mesmo valor quando x está se aproximando de 2, tanto para valores maiores

quanto para valores menores do que 2.

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

4

5

x

y

Figura 1.4: Grá� o de f(x).

Nesse aso, o valor do limite oin idiu om o valor da função quando

x = 2, pois f(2) = 3. Mas nem sempre esse omportamento vai se veri� ar, omo

pode ser visto no próximo exemplo.

Exemplo 1.2.2. Como será o omportamento da função f(x) =

2x− 1, se x 6= 3

3, se x = 3

quando x está ada vez mais próximo de 3?

Solução:

Assim omo no exemplo anterior, primeiramente atribuem-se valores para

x e, en ontrando os valores de f(x) orrespondentes, pode-se onstruir a seguinte

tabela:

Tabela 2: Valores da função f(x) para valores próximos de 3.

x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 3 3,001 3,01 3,1 3,5 4

f(x) 3 4 4,8 4,98 4,998 - 5,002 5,02 5,2 6 7

aproximação à esquerda → ← aproximação à direita


I

M

E

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-

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R

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-

I

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I

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I

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I

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E

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F

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G

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I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


Per ebe-se que quando x se aproxima de 3 em ambos os sentidos, f(x)

se aproxima ada vez mais de 5. Logo, limx→3

f(x) = 5. Esse omportamento pode ser

observado na Figura 1.5.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


Observe que nesse aso, o valor de f(x) quando x = 3 é f(3) = 3,

justamente o ponto que se en ontra fora da urva des rita por f(x). Ou seja,

f(3) 6= limx→3

f(x). Por isso, enfatiza-se o fato de que o limite des reve o ompor-

tamento da função à medida em que x se aproxima de 3, e não no próprio x = 3.

Observação 1.2.2. Veja os grá� os das funções f , g e h na Figura 1.6, e o grá� o

da função i na �gura 1.7.

x

y

a

L

f x( )

x

y

a

L

g x( )g a( )

x

y

a

L

h x( )

Figura 1.6: Grá� o das funções f , g e h.

Nota-se que nos grá� os das funções f , g e h quando x se aproxima de

a, y se aproxima de L, independente do valor de y quando x = a. Assim, pode-se


I

M

E

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-

F

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R

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-

I

M

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I

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F

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G

-

1.3. DEFINIÇ�O FORMAL DE LIMITE FINITO

dizer que o limite da função f quando x tende a a é L (es reve-se limx→a

f(x) = L) e o

mesmo pode ser dito sobre as funções g e h.

x

y

a

L

i x( )

i a( )

Figura 1.7: Grá� o da função i.

Já para a função i, quando x se aproxima de a para valores maiores que

a, i se aproxima de i(a), e quando x se aproxima de a por valores menores que a,

i(x) tende a L. Ou seja, não há um valor úni o ao qual i(x) se aproxima quando x

tende a a. Assim, não existe o limite da função i para x tendendo a a.

1.3 De�nição formal de limite �nito

A linguagem utilizada até aqui não é uma linguagem matemáti a, pois ao

dizer, por exemplo, �x su� ientemente próximo de a�, não se sabe quanti� ar o quão

próximo x está de a. Então omo exprimir em linguagem matemáti a a de�nição

de limx→a

f(x) = L?

(a) f(x) deve ser arbitrariamente próximo de L para todo x su� i-

entemente próximo de a (e diferente de a).

É ne essário de�nir o on eito de proximidade arbitrária. Para tal,

utilizam-se pequenos valores representados geralmente pelas letras ǫ (epsilon) e δ

(delta), que servem de parâmetro de omparação para determinar se um valor está

ou não próximo de outro.

Considere um ǫ > 0, arbitrário. Os valores de f(x) são tais que

L− ǫ < f(x) < L+ ǫ,

isto é, sua distân ia a L é menor do que de ǫ, ou seja, |f(x) − L| < ǫ. Portanto,


I

M

E

F

-

F

U

R

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-

I

M

E

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I

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I

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G

-

1.3. DEFINIÇ�O FORMAL DE LIMITE FINITO

dizer que f(x) é arbitrariamente próximo de L é o mesmo que dizer: dado um ǫ > 0,

tem-se |f(x)− L| < ǫ.

Assim, (a) pode ser rees rito omo:

(b) Dado ǫ > 0, deve-se ter |f(x) − L| < ǫ para todo x su� ientemente

próximo de a (e diferente de a).

Dizer que x é su� ientemente próximo de a para |f(x)− L| < ǫ signi� a

dizer que a sua distân ia a a é su� ientemente pequena para que isto o orra, ou

seja, existe δ > 0 tal que, se |x− a| < δ e x 6= a, então |f(x)− L| < ǫ.

Em suma, dando um ǫ > 0 qualquer, �xa-se a proximidade de f(x) a L.

Então se limx→a

f(x) = L, deve ser possível en ontrar um δ > 0 em orrespondên ia a

ǫ > 0 , tal que para todo x 6= a uja a distân ia até a seja menor que δ , tem-se a

distân ia de f(x) a L menor que ǫ. A partir de (a) e (b), pode-se agora formular a

de�nição formal de limite �nito:

De�nição 1.3.1. Dada uma função f om domínio D(f), seja �a� um ponto de

a umulação de D(f), e L um número, diz-se que o número L é o limite de f(x) om

x tendendo a �a� se, dado qualquer ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se ∀x ∈ D(f) e

0 < |x− a| < δ então |f(x)− L| < ǫ.

Para indi ar essa de�nição, es reve-se limx→a

f(x) = L.

Observação 1.3.1. Na de�nição formal de limites, emprega-se o on eito de mó-

dulo. A ideia bási a no on eito de módulo de um número real é medir a distân ia

desse número até a origem.

Teorema 1.3.1. (Uni idade do limite) Se limx→a

f(x) = L1 e limx→a

f(x) = L2, então

L1 = L2.

Demonstração:

Supondo-se que L1 6= L2. Sem perda de generalidade, pode-se es rever

que L > M . Tomando-se ǫ =L−M

2> 0.

Se limx→a

f(x) = L1, então existe δ1 > 0, tal que se 0 < |x− a| < δ1 ⇒

|f(x)−M | < L−M

2, então

f(x) <L+M

2. (1.3.1)


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1.4. CONSTRUÇ�O GEOMÉTRICA QUE ILUSTRA A NOÇ�O DE LIMITE

Se limx→a

f(x) = L2, então existe δ2 > 0, tal que se 0 < |x− a| < δ2 ⇒

|f(x)− L| < L−M

2, então

L+M

2< f(x). (1.3.2)

De (1.3.1) e (1.3.2), tem-se que para δ = min{δ1, δ2}, 0 < |x− a| < δ

que impli a que f(x) < f(x), o que é um absurdo. Logo a suposição ini ial é falsa

e L = M .

1.4 Construção geométri a que ilustra a noção de

limite

Sendo onhe idos f , a, L e ǫ, sabendo que limx→a

f(x) = L, ne essita-se

a har δ que satisfaça a de�nição de limite. Observe a Figura 1.8. Mar am-se L+ ǫ e

L−ǫ no eixo y e por esses pontos traçam-se retas paralelas ao eixo x , que en ontram

o grá� o de f nos pontos A e B. Traçando retas paralelas ao eixo dos y por esses

pontos, obtêm-se os pontos C e D, interse ções dessas retas om o eixo x. Basta

tomar δ > 0 tal que a−δ e a+δ sejam pontos do segmento CD. Observe que δ não é

úni o e equivale à distân ia de a ao extremo mais próximo do intervalo representado

pelo segmento CD.

x

y

a

L

f x( )

x

y

a

L

f x( )

L + e

L _ eA

B

C D

a _d a d+

d d

Figura 1.8: Representação geométri a de limite.

Exemplo 1.4.1. Prove formalmente que limx→3

(2x− 4) = 2.


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1.4. CONSTRUÇ�O GEOMÉTRICA QUE ILUSTRA A NOÇ�O DE LIMITE

Solução:

Comparando ao limite geral limx→a

f(x) = L, tem-se nesse aso que a = 3,

f(x) = 2x− 4 e L = 2. Assim, deve-se provar que dado qualquer ǫ > 0, existe δ > 0

tal que se x ∈ D(f) e 0 < |x− 3| < δ então |(2x− 4)− 2| < ǫ. Cal ulando:

|(2x− 4)− 2| = |2x− 6||(2x− 4)− 2| = 2 · |x− 3|.

Mas omo 0 < |x− 3| < δ, então 2 · |x− 3| < 2 · δ. Es olhendo δ =ǫ

2:

|(2x− 4)− 2| = 2 · |x− 3| < 2 · δ = 2 · ǫ2= ǫ. Portanto, |(2x− 4)− 2| < ǫ.

Logo, dado qualquer ǫ > 0, existe δ =ǫ

2tal que se x ∈ D(f) e

0 < |x− 3| < δ então |(2x− 4)− 2| < ǫ, que é justamente a de�nição de limite.

Assim, limx→3

(2x− 4) = 2.

Exemplo 1.4.2. Prove formalmente que limx→2

x2 = 4.

Solução:

Comparando om o limite geral limx→a

f(x) = L, tem-se que a = 2,

f(x) = x2e L = 4. Assim, deve-se provar que dado um ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se

x ∈ D(f) e 0 < |x−2| < δ então |(x2)−4| < ǫ. Fatorando: |x2−4| = |x−2| · |x+2|.É pre iso en ontrar uma desigualdade envolvendo |x+2| e um valor ons-

tante. Como |x− 2| < δ , então supondo δ = 1 tem-se que |x− 2| < 1. Portanto:

−1 < x− 2 < 1

1 < x < 3

3 < x+ 2 < 5.

Como |x − 2| < δ e |x + 2| < 5, então |x − 2| · |x + 2| < 5 · δ. Assim,

es olhendo δ = min{

1,ǫ

5

}

, ou seja, o menor entre os valores 1 e

ǫ

5, tem-se:

|x− 2| · |x+ 2| < 5 · δ|x2 − 4| < 5 · ǫ

5

|x2 − 4| < ǫ.

Logo, dado qualquer ǫ > 0, existe δ = min{

1,ǫ

5

}

tal que se x ∈ D(f) e

0 < |x− 2| < δ então |x2 − 4| < ǫ.


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1.5. LIMITES LATERAIS

Portanto, limx→2

x2 = 4.

Exemplo 1.4.3. Considere que limx→2

x2 = 4. Dado ǫ = 0, 05, determine δ > 0 tal

que |x− 2| < δ sempre que |(x2)− 4| < ǫ.

Solução:

Do exemplo anterior, foi visto que es olhendo δ = min{

1,ǫ

5

}

se obtém

a de�nição do limite para esse aso. Como ǫ = 0, 05, então:

δ = min{

1, 0,055

}

= min

{

1,1

100

}

=1

100

δ = 0, 01.

Assim, |x− 2| < 0, 01 sempre que |(x2)− 4| < 0, 05.

Exer í io 1.4.1. Mostre que limx→−2

(3x+ 7) = 1. Em seguida, dado ǫ = 0, 03,

determine δ > 0 tal que |(3x+ 7)− 1| < ǫ sempre que |x+ 2| < δ.

Exer í io 1.4.2. Prove que o limite de f(x) =

1, se x ≤ 0

2, se x > 0quando x tende a

zero não existe.

1.5 Limites Laterais

1.5.1 De�nição de limite à direita

Seja uma função f de�nida pelo menos em um intervalo (a, b), diz-se que

o número L é o limite de f(x) om x tendendo a a pela direita se, dado qualquer

ǫ > 0 , existe δ > 0 tal que se 0 < x− a < δ então |f(x)− L| < ǫ .

Para indi ar essa expressão, es reve-se limx→a+

f(x) = L.

1.5.2 De�nição de limite à esquerda

Seja uma função f de�nida pelo menos em um intervalo (c, a) , diz-se que

o número L é o limite de f(x) om x tendendo a a pela esquerda se, dado qualquer

ǫ > 0 , existe δ > 0 tal que se −δ < x− a < 0 então |f(x)− L| < ǫ .


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Para indi ar essa expressão, es reve-se limx→a−

f(x) = L.

Teorema 1.5.1. (Existên ia do limite �nito) O limite limx→a

f(x) = L existe e é

igual a L se, e somente se, os limites laterais limx→a+

f(x) e limx→a−

f(x) existirem e ambos

forem iguais a L.

Demonstração:

Tem-se que limx→a

f(x) = L. Portanto, pela de�nição de limite, ∀ ǫ > 0 ∃ δ > 0 tal

que se 0 < |x− a| < δ então |f(x)− L| < ǫ.

Note que

0 < |x− a| < δ se e somente se − δ < |x− a| < 0 ou 0 < x− a < δ.

Pode-se a�rmar que ∀ ǫ > 0 ∃ δ > 0 tal que

se − δ < x− a < 0 então |f(x)− L| < ǫ

e

se 0 < x− a < δ então |f(x)− L| < ǫ.

Finalmente, limx→a−

f(x) = L e limx→a+

f(x) = L.

Exemplo 1.5.1. Considere as funções f(x) =|x|x

e g(x) = |x|. Cal ule, se houver:

a) limx→0+

f(x)

b) limx→0−

f(x)

) limx→0

f(x)

d) limx→0+

g(x)

e) limx→0−

g(x)

f) limx→0

g(x).

Solução:

Antes de determinar os limites soli itados será onstruído o grá� o da

função f(x).

Considere um número real a > 0. Cal ulando o valor de f(x) para x = a:

f(a) =|a|a

=a

a

f(a) = 1.


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Agora, al ulando f(x) quando x = −a:

f(−a) =| − a|−a

=a

−a

f(−a) = −1.

Como o denominador de f(x) não pode ser nulo, então essa função não

está de�nida para x = 0. Assim, a função f(x) pode ser rees rita da seguinte forma:

f(x) =

−1, se x < 0

1, se x > 0e seu grá� o pode ser visto na Figura 1.9, junto om o

grá� o de g(x).

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

x

y

f ( )x =| |xx g x x( ) = | |a) b)

Figura 1.9: Grá� os de f(x) e g(x).

a) limx→0+

f(x) orresponde ao limite lateral para x tendendo a 0 pela direita. Na

Figura 1.10, pode-se ver que quando x se aproxima de 0 pela direita, o valor de

y se mantém igual a 1.

Assim, limx→0+

f(x) = 1.

b) limx→0−

f(x) orresponde ao limite lateral para x tendendo a 0 pela esquerda. Observa-

se na Figura 1.11 que à medida que x se aproxima de 0 pela esquerda, y se mantém

om valor igual a −1.

Ou seja, limx→0−

f(x) = −1.


I

M

E

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-

F

U

R

G

-

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G

-


−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Figura 1.10: Representação do limite lateral à direita em f(x).

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Figura 1.11: Representação do limite lateral à esquerda em f(x).

) Para limx→0

f(x) existir, os limites laterais para x tendendo a 0 pela direita e pela

esquerda devem existir e serem iguais. Como foi visto nos itens anteriores, esses

limites existem, mas são diferentes. Logo, limx→0

f(x) não existe. Observe na Figura

1.12 omo os valores da função não onvergem para um mesmo ponto para valores

x próximos de 0.

d) Para en ontrar limx→0+

g(x), analisam-se os valores de y quando x se aproxima de

0 pela direita. Observando o grá� o de g(x) na Figura 1.13, per ebe-se que y

também � a ada vez mais próximo de 0 nesse sentido, ou seja, limx→0+

g(x) = 0.

e) limx→0−

g(x) é en ontrado observando o omportamento de y quando x se aproxima

de 0 pela esquerda. Pode ser veri� ado na Figura 1.14 que y se aproxima de 0

quando x tende a 0 pela esquerda, então limx→0−

g(x) = 0.


I

M

E

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-

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R

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−3 −2 −1 1 2 3

−3

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1

2

3

x

y


−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

x

y

Figura 1.13: Representação do limite lateral à direita em g(x).

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

x

y

Figura 1.14: Representação do limite lateral à esquerda em g(x).

f) Para limx→0

g(x) existir, os limites laterais para x tendendo a 0 pela direita e pela

esquerda devem existir e serem iguais. Foi visto nos itens anteriores que eles


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I

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R

G

-


de fato existem e ambos são iguais a 0. Assim, limx→0

g(x) = 0. Veja na Figura

1.15 omo os valores da função onvergem para o mesmo ponto para valores de

x próximos de zero.

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

x

y

Figura 1.15: Grá� o de g(x).

Exer í io 1.5.1. Seja a função f(x) =√x, determine, se houver:

a) limx→0−

f(x)

b) limx→0+

f(x)

) limx→0

f(x).

Exer í io 1.5.2. Para ada um dos asos a seguir, al ule o limite L, depois deter-

mine δ > 0 tal que |f(x)− L| < 0, 01 sempre que 0 < |x− a| < δ.

a) limx→5

√x− 4

b) limx→2

x2 − 3x+ 2

x− 2

) limx→−2

x2 + 5x+ 6

x+ 2.

Respostas dos exer í ios:

1.5.1. a) Não existe. b) limx→0+

f(x) = 0 ) Não existe.

1.5.2.

a) limx→5

√x− 4 = 1, δ = 0, 01


I

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I

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F

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R

G

-

1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES

b) limx→2

x2 − 3x+ 2

x− 2= 1, δ = 0, 01

) limx→−2

x2 + 5x+ 6

x+ 2= 1, δ = 0, 01.

1.6 Propriedades usadas no ál ulo de limites

Sejam L, M , a e k números reais e limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M . Então,

as seguintes propriedades são válidas:

1.6.1 Limite de uma onstante

O limite de uma onstante é a própria onstante:

limx→a

k = k.

Demonstração:

Seja ǫ > 0, deve-se mostrar que existe δ > 0 tal que se 0 < |x − a| < δ

então |k − k| < ǫ.

Mas omo |k − k| = 0, pode-se atribuir qualquer número positivo para δ

tal que se 0 < |x− a| < δ então |k − k| < ǫ.

Logo limx→a

k = k.

1.6.2 Limite da função identidade

O limite da função identidade f(x) = x é o valor de a:

limx→a

x = a.

Exer í io 1.6.1. Utilizando a de�nição formal de limite, mostre que limx→a

x = a.

1.6.3 Limite da soma

O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites:

limx→a{f(x) + g(x)} = L+M .


I

M

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I

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F

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-


Demonstração:

Seja ǫ > 0, onsidera-se ǫ2para ser utilizado na de�nição de limite. Assim:

Existe δ1 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ1 então |f(x)− L| < ǫ

2. (1.6.1)

Existe δ2 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ2 então |f(x)−M | < ǫ

2. (1.6.2)

Deve-se es olher δ > 0 tal que (1.6.1) e (1.6.2) sejam verdadeiras, o que

a onte e para δ = min{δ1, δ2}. De fato:

Se 0 < |x−a| < δ então |f(x)+g(x)−(L+M)| ≤ |f(x)−L|+|g(x)−M | < ǫ2+ ǫ

2= ǫ.

Portanto, limx→a{f(x) + g(x)} = L+M .

1.6.4 Limite da diferença

O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites:

limx→a{f(x)− g(x)} = L−M .

Exer í io 1.6.2. Apli ando a de�nição formal de limite, mostre que:

limx→a{f(x)− g(x)} = L−M.

1.6.5 Limite do produto

O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites:

limx→a{f(x) · g(x)} = L ·M .

Demonstração:

Deseja-se provar que limx→a{f(x) · g(x)} = L ·M . Para tal, primeiro irá

se demonstrar um aso parti ular onde o produto dos limites de duas funções re-

sulta em zero, através da de�nição de limite, para que posteriormente, através das

propriedades apresentadas nessa seção, se obtenha a expressão pro urada.

Considerando o aso parti ular onde h é uma função tal que limx→a

h(x) = 0,

logo deseja-se provar que limx→a

h(x) · f(x) = 0.

Como por hipótese limx→a

f(x) = L e sendo ǫ > 0, onsidera-se ǫ = 1 para

ser utilizado na de�nição de limite. Assim:

Existe δ1 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ1 então |f(x)− L| < 1. (1.6.3)


I

M

E

F

-

F

U

R

G

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I

M

E

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F

U

R

G

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I

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F

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I

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G

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F

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R

G

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I

M

E

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F

U

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Mas então |f(x)| = |f(x)−L+L| < |f(x)−L|+ |L| < 1+L, e portanto:

Existe δ1 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ1 então |h(x)| · |f(x)| < |h(x)| · (1 + |L|).(1.6.4)

Assim omo, sendo ǫ > 0, onsidera-se ǫ1+|L| para ser utilizado na de�ni-

ção de limite da função h tendendo a a da seguinte forma:

Existe δ2 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ2 então |h(x)− 0| = |h(x)| < ǫ

1 + |L| .(1.6.5)

Para que (1.6.4) e (1.6.5) se veri�quem, toma-se δ = min{δ1, δ2}, logo:

Existe δ > 0 tal que se 0 < |x−a| < δ então |h(x)·f(x)−0| < (1+|L|)· ǫ

1 + |L| = ǫ.

(1.6.6)

Portanto, limx→a

h(x) · f(x) = 0.

Agora, lembrando que limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M , observa-se que:

f(x)·g(x)−L·M = f(x)·g(x)−f(x)·M+f(x)·M−L·M = f(x)·[g(x)−M ]+M ·[f(x)−L].(1.6.7)

Ou ainda, através da propriedade do limite da soma (1.6.3):

limx→a

[f(x) · g(x)− L ·M ] = limx→a{f(x) · [g(x)−M ] + lim

x→a{M · [f(x)− L]}. (1.6.8)

Como limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M , então limx→a

f(x)− L = 0 e

limx→a

g(x)−M = 0, e portanto, através da propriedade demonstrada no aso parti-

ular, tem-se que:

limx→a

f(x) · [g(x)−M ] = 0 e limx→a

g(x) · [f(x)− L] = 0. (1.6.9)

De (1.6.8) e (1.6.9), e utilizando as propriedades do limite da diferença

(1.6.4) e do limite de uma onstante (1.6.1) on lui-se que:

limx→a

[f(x) · g(x)− L ·M ] = 0 + 0

limx→a

[f(x) · g(x)]− limx→a

[L ·M ] = 0

limx→a

[f(x) · g(x)] = limx→a

[L ·M ]

limx→a

[f(x) · g(x)] = L ·M.

Logo, limx→a

[f(x) · g(x)] = L ·M .


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1.6.6 Limite do quo iente

O limite do quo iente de duas funções é o quo iente de seus limites, desde

que o limite do denominador não seja zero:

limx→a

{

f(x)

g(x)

}

=L

M, M 6= 0.

Exer í io 1.6.3. Utilizando a de�nição formal de limite, mostre que limx→a

{

f(x)

g(x)

}

=

L

M, M 6= 0.

1.6.7 Limite da multipli ação por uma onstante

O limite de uma onstante multipli ada por uma função é a onstante

multipli ada pelo limite da função:

limx→a{k · f(x)} = k · L.

Exer í io 1.6.4. Através da de�nição formal de limite, mostre que limx→a{k · f(x)} =

k · L.

1.6.8 Limite da poten iação

O limite da n-ésima potên ia de uma função é igual à n-ésima potên ia

do limite da função:

limx→a

[f(x)]n =[

limx→a

f(x)]n

= Ln.

Ou ainda:

limx→a

[f(x)]g(x) =[

limx→a

f(x)] limx→a

g(x)

= LM.

Demonstração:

Rees reve-se a potên ia omo uma multipli ação de n fatores:

limx→a

[f(x)]n = limx→a

[f(x) · f(x) · f(x) · ... · f(x)].

Da propriedade do limite do produto (1.6.5):

limx→a

[f(x)]n = limx→a

f(x) · limx→a

f(x) · limx→a

f(x) · ... · limx→a

f(x).

Mas omo são n fatores, então:

limx→a

[f(x)]n =[

limx→a

f(x)]n

.

Logo, limx→a

[f(x)]n =[

limx→a

f(x)]n

= Ln.


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Exer í io 1.6.5. Mostre que limx→a

[f(x)]g(x) =[

limx→a

f(x)] limx→a

g(x)

= LM.

1.6.9 Limite da radi iação

O limite da raiz n-ésima de uma função é igual à raiz n-ésima do limite

da função:

limx→a

n

√

f(x) = n

√

limx→a

f(x) = n√L,

se L > 0 e n é um inteiro positivo ou se L ≤ 0 e n é um inteiro positivo ímpar.

1.6.10 Limite de uma função polinomial

Para qualquer polin�mio, p(x) = c0 + c1x + c2x2 + ... + cnx

ne qualquer

número real a, então:

limx→a

p(x) = p(a).

Demonstração:

Essa propriedade é onsequên ia direta das propriedades do limite da

soma (1.6.3) e do limite da multipli ação por uma onstante (1.6.7):

limx→a

p(x) = limx→a

[c0 + c1x+ c2x2 + ...+ cnx

n]

= limx→a

c0 + limx→a

c1x+ limx→a

c2x2 + ... + lim

x→acnx

n

= c0 + c1 · limx→a

x+ c2 · limx→a

x2 + ...+ cn · limx→a

xn

limx→a

p(x) = c0 + c1a + c2a2 + ...+ cna

n.

Logo limx→a

p(x) = p(a).

1.6.11 Limite de uma função ra ional

Seja a função ra ional f(x) =P (x)

Q(x), então seu limite é dado por:

limx→a

f(x) = limx→a

P (x)

Q(x)=

P (a)

Q(a), desde que Q(a) 6= 0.

Exer í io 1.6.6. Mostre que limx→a

f(x) = limx→a

P (x)

Q(x)=

P (a)

Q(a), desde que Q(a) 6= 0.


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1.6.12 Limite do logaritmo natural de uma função

O limite do logaritmo natural de uma função é igual ao logaritmo natural

do limite da função:

limx→a{ln[f(x)]} = ln

[

limx→a

f(x)]

= ln(L), L > 0.

Exer í io 1.6.7. Mostre que limx→a{ln[f(x)]} = ln

[

limx→a

f(x)]

= ln(L).

Observação 1.6.1. A Propriedade 1.6.12 pode ser utilizada para logaritmos de

qualquer base.

Exemplo 1.6.1. Cal ule os limites:

a) limx→5

(x2 + 3x)

b) limx→3

x2 − 1

x+ 5

) limx→2+

(2x+ 5)

d) limx→3−

(x+ 4)5

e) limx→1+

√x− 1

f) limx→3−

√9− x2

g) limx→1+

[ln(x2 + 1)]

h) limx→3

[ln(x2 − 4x+ 4)]

Solução:

a) Como limx→5

(x2 + 3x) representa o limite de uma função polinomial, então basta

al ular o valor da função para x = 5 (para onde x está tendendo) utilizando a

propriedade do limite de um polin�mio (1.6.10). Assim:

limx→5

(x2 + 3x) = (5)2 + 3(5) = 40.

Portanto, limx→5

(x2 + 3x) = 40.

b) Pelo fato de limx→3

x2 − 1

x+ 5representar o limite de uma função ra ional, utilizando a

propriedade do limite de um quo iente (1.6.6) basta al ular o valor dessa função

para x = 3, desde que o denominador não seja nulo. Então:

limx→3

x2 − 1

x+ 5=

limx→3

(x2 − 1)

limx→3

(x+ 5)=

(3)2 − 1

(3) + 5= 1.

Logo, limx→3

x2 − 1

x+ 5= 1.


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) Sendo limx→2+

(2x+ 5) um limite lateral om x tendendo a 2 pela direita, pode-se

fazer uma mudança de variável para se obter uma expressão que resulte no mesmo

limite soli itado. Note que se x tende a 2 por valores um pou o maiores do que

2, pode-se dizer que x = 2 + h, onde h é um número positivo muito próximo de

zero, e assim, obtém-se o seguinte limite:

limh→0

[2(2 + h) + 5].

Observe que h é a distân ia de x até o ponto para o qual x está tendendo,

assim, quando h se aproxima muito de 0, (2 + h) se aproxima muito de 2 pela

direita, por isso as duas expressões são equivalentes. Como o lado direito da

igualdade representa o limite �nito de uma função polinomial, basta al ular o

valor dessa função para h = 0. Assim:

limh→0

2(2 + h) + 5 = 2(2 + 0) + 5 = 9.

Portanto, limx→2+

(2x+ 5) = 9.

d) Assim omo no item anterior, pode-se obter um limite que produza o mesmo

resultado de limx→3−

(x+ 4)5. Como x se aproxima de 3 por valores um pou o

menores do que 3, substitui-se x por (3− h), onde h é positivo e muito próximo

de zero, e obtém-se:

limh→0

[(3− h) + 4]5.

O valor de h segue representando a distân ia de x até o ponto para onde

x está tendendo, nesse aso a distân ia até 3, e por isso se utiliza a expressão

3−h para representar valores à esquerda (menores) do que 3. E quando h tende

a 0 a função se aproxima do mesmo ponto de quando x se aproxima de 3 pela

esquerda. Cal ulando:

limh→0

[(3− h) + 4]5 = [(3− 0) + 4]5 = 16, 807.

Logo, limx→3−

(x+ 4) = 16, 807.

e) Sendo h a distân ia de x até o ponto para onde x está tendendo, substitui-se x

por (1 + h) e obtém-se o seguinte limite:

limh→0

√

(1 + h)− 1.


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


A propriedade do limite de uma radi iação (1.6.9) permite que se obtenha

a seguinte igualdade: limh→0

√

(1 + h)− 1 =√

limh→0

(1 + h)− 1. Como o índi e

da raiz é par, o limite limh→0

(1 + h)− 1 deve ser maior ou igual a zero para que

limh→0

√

(1 + h)− 1 exista. E omo (1 + h)− 1 representa uma função polinomial,

pode-se en ontrar o limite dessa função quando h tende a zero al ulando o valor

dessa função para h = 0, logo:

limh→0

√

(1 + h)− 1 =√

limh→0

(1 + h)− 1

=√

(1 + 0)− 1

limh→0

√

(1 + h)− 1 = 0.

Portanto, limx→1+

√x− 1 = 0.

f) Pelo fato de h representar a distân ia de x até o ponto para onde x está tendendo,

substituindo x por (3− h) tem-se que:

limh→0

√

9− (3− h)2.

Utilizando as propriedades do limite da radi iação (1.6.9) e do limite de um

polin�mio (1.6.10), al ula-se:

limh→0

√

9− (3− h)2 =√

limh→0

9− (3− h)2

=√

9− (3− 0)2

=√9− 9

limh→0

√

9− (3− h)2 = 0.

Portanto, limx→3−

√9− x2 = 0.

g) Sendo h a distân ia de x até o ponto para onde x está tendendo, substitui-se x

por (1 + h) e se obtém o seguinte limite:

limh→0

ln[(1 + h)2 + 1].

Utilizando as propriedades do limite de um logaritmo natural (1.6.12)

e do limite de um polin�mio (1.6.10), al ula-se:


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

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G

-

I

M

E

F

-

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U

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G

-

I

M

E

F

-

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U

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G

-

I

M

E

F

-

F

U

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G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

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-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


limh→0

ln[(1 + h)2 + 1] = ln[

limh→0

(1 + h)2 + 1]

= ln[(1 + 0)2 + 1]

limh→0

ln[(1 + h)2 + 1] = ln(2).

Portanto, limx→1+

[ln(x2 + 1)] = ln(2).

h) Utilizando a propriedade do limite de um logaritmo natural (1.6.12) e do limite

de um polin�mio (1.6.10), al ula-se:

limx→3

[ln(x2 − 4x+ 4)] = ln[

limx→3

(x2 − 4x+ 4)]

= ln [(3)2 − 4(3) + 4]

= ln(1)

limx→3

[ln(x2 − 4x+ 4)] = 0.

Logo, limx→3

[ln(x2 − 4x+ 4)] = 0.

Exemplo 1.6.2. Considere a função f(x) =

x+ 1, se x < 1

x2 − 1, se x ≥ 1. Cal ule, se

houver:

a) limx→1+

f(x)

b) limx→1−

f(x)

) limx→1

f(x).

Solução:

a) Cal ular o limite de f(x) quando x tende a 1 pela direita signi� a determinar o

omportamento de f(x) quando x assume valores muito próximos de 1, mas

maiores que 1. Assim, para x ≥ 1, f(x) = x2 − 1. Para al ular o limite

lateral à direita, substitui-se x por (1 + h), e obtém-se o seguinte limite om

h tendendo a zero:

limh→0

(1 + h)2 − 1.

Utilizando a propriedade do limite de um polin�mio (1.6.10), al ula-se:

limh→0

(1 + h)2 − 1 = (1 + 0)2 − 1 = 0.

Logo, limx→1+

f(x) = 0.


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

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U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

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-

I

M

E

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U

R

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I

M

E

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-

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I

M

E

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U

R

G

-

I

M

E

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U

R

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I

M

E

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U

R

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I

M

E

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U

R

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-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

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U

R

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-

I

M

E

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F

U

R

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-

I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


b) Da mesma forma, quando x tende a 1 pela esquerda, signi� a que x está assu-

mindo valores menores que 1. Como para x < 1, f(x) = x+ 1, então o limite

lateral pode ser al ulado substituindo x por (1 − h), e obtendo o seguinte

limite om h tendendo a zero:

limh→0

(1− h) + 1.

Utilizando a propriedade do limite de um polin�mio (1.6.10), al ula-se:

limh→0

(1− h) + 1 = (1− 0) + 1 = 2.

Portanto, limx→1−

f(x) = 2.

) Segundo o teorema da existên ia do limite �nito, para um limite existir em um

determinado ponto, os limites laterais à direita e à esquerda devem existir e

serem iguais. Como limx→1+

f(x) 6= limx→1−

f(x), então não existe limite de f(x)

para x tendendo a 1.

Exemplo 1.6.3. A derivada de uma função f(x) representa a in linação da reta

tangente à urva em um ponto e é de�nida omo f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h.

Determine a derivada da função f(x) = x2.

Solução:

Apli ando a fórmula de f ′(x) para o aso onde f(x) = x2, al ula-se:

f ′(x) = limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

x2 + 2xh+ h2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

f ′(x) = limh→0

(2x+ h).

Utilizando a propriedade do limite de um polin�mio (1.6.10):

limh→0

(2x+ h) = 2x+ (0) = 2x.

Portanto, f ′(x) = 2x.


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

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U

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G

-

I

M

E

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U

R

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I

M

E

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U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

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I

M

E

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-

F

U

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G

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I

M

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-

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I

M

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I

M

E

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-

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I

M

E

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I

M

E

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-

F

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I

M

E

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-

F

U

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I

M

E

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-

F

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R

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

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E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

F

-

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U

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G

-

I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

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-

F

U

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G

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I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

F

-

F

U

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G

-

I

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E

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-

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U

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G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

1.7. LIMITES INFINITOS

Exer í io 1.6.8. Considere a função f(x) =

x2 − 1, se − 1 ≤ x < 0

2x, se 0 < x < 1

1, se x = 1

−2x+ 4, se 1 < x < 2

0, se 2 < x < 3

, res-

ponda:

a) Existe f(−1)? Em aso a�rmativo, al ule seu valor.

b) Existe limx→−1+

f(x)? Em aso a�rmativo, al ule seu valor.

) O valor de limx→−1+

f(x) é igual a f(−1)?

d) Existe f(1)? Em aso a�rmativo, al ule seu valor.

e) Existe limx→1

f(x)? Justi�que sua resposta.

f) Os valores de limx→1

f(x) e f(1) são iguais?

Resposta do exer í io:

1.6.8.

a) Sim, f(−1) = 0. b) Sim, limx→−1+

f(x) = 0. ) Sim.

d) Sim, f(1) = 1. e) Sim, limx→1

f(x) = 2. f) Não.

1.7 Limites in�nitos

Se os valores de f(x) res em inde�nidamente quando x tende a a,

es reve-se limx→a

f(x) = +∞. Isso signi� a que para ada M > 0, existe δ > 0 tal

que f(x) > M sempre que 0 < |x− a| < δ. Veja a representação grá� a na Figura

1.16.

Da mesma forma, se f(x) de res e inde�nidamente quando x tende a a,

es reve-se limx→a

f(x) = −∞. Formalmente, diz-se que para ada N < 0, existe δ > 0

tal que f(x) < N sempre que 0 < |x− a| < δ, omo pode ser visto na Figura 1.17.

De�nição 1.7.1. A reta verti al x = a é hamada assíntota verti al ao grá� o de

f(x) se pelo menos uma das seguintes ondições for verdadeira:


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

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E

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-

F

U

R

G

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I

M

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F

U

R

G

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I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

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I

M

E

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F

U

R

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I

M

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-

F

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I

M

E

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F

U

R

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I

M

E

F

-

F

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I

M

E

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-

F

U

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I

M

E

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I

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E

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I

M

E

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I

M

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I

M

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I

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I

M

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I

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F

U

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I

M

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I

M

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F

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I

M

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F

U

R

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I

M

E

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F

U

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-

I

M

E

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F

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G

-

I

M

E

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G

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I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

1.7. LIMITES INFINITOS

x

y

M

f x( )

f x M( ) >

a( )

a - d a + dx


f x( )

N

f x N( ) <


limx→a+

f(x) = +∞ limx→a+

f(x) = −∞

limx→a−

f(x) = +∞ limx→a−

f(x) = −∞.

Observação 1.7.1. Basta que um dos quatro limites da De�nição 2 se veri�que

para que a ondição de se ter uma assíntota verti al seja satisfeita.

Observação 1.7.2. Uma maneira de se determinar as assíntotas verti ais em um

grá� o é investigar pontos onde a função não está de�nida, pois aso a assíntota seja

a reta x = a, então obrigatoriamente a /∈ D(f).

Exemplo 1.7.1. Mostre que limx→0

1

x2= +∞.


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1.8. LIMITES NO INFINITO


a) limx→4

x

x− 4d) lim

x→0

√3 + x2

x

b) limx→3

1

(x− 3)2e) lim

x→2

1

|x− 2|

) limx→3

ln(x− 3) f) limx→π

2

tg(π − x)

Exemplo 1.7.3. Considere a função f(x) =

1

x− 2, se x > 2

1

2− x, se x < 2

, al ule limx→2

f(x).

1.8 Limites no in�nito

Seja uma função f de�nida em todo x que perten e a um intervalo aberto

in�nito, o qual se estende na direção positiva do eixo x, es reve-se limx→+∞

f(x) = L

se dado qualquer ǫ > 0, há um número orrespondente M > 0 tal que |f(x)−L| < ǫ

se x > M , omo pode ser visto na Figura 1.18.

x

y

L

L - e

)

)

L + e

f x( )

M x

x M>


Da mesma forma, seja f uma função de�nida para todo x que perten e a

um intervalo aberto in�nito, o qual se estende na direção negativa do eixo x, es reve-

se limx→−∞

f(x) = L se dado qualquer ǫ > 0, há um número orrespondente N < 0 tal

que |f(x)− L| < ǫ se x < N . Veja a representação grá� a na Figura 1.19.


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x

y

L

L - e

))

L + e

f x( )

x N

x N<


De�nição 1.8.1. A reta horizontal y = L é hamada de assíntota horizontal ao

grá� o de f(x) se

limx→+∞

f(x) = L limx→−∞

f(x) = L.

Observação 1.8.1. Basta que apenas um dos limites da De�nição 1.8.1 se veri�que

para que se tenha uma assíntota horizontal.

Observação 1.8.2. O grá� o de uma função f(x) pode ter até duas assíntotas

horizontais limx→−∞

f(x) = L1 e limx→+∞

f(x) = L2. Veja na Figura 1.20.

x

y

L2

L1

Figura 1.20: Grá� o om duas assíntotas.

Exemplo 1.8.1. Considerando a função f(x) =1

x:

a) Cal ule limx→+∞

f(x) e limx→−∞

f(x);


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b) Cal ule limx→0+

f(x) e limx→0−

f(x);

) Determine a(s) assíntota(s) verti al(is), se houver;

d) Determine a(s) assíntotas(s) horizontal(is), se houver.


a) limx→+∞

1

x+ 1

b) limx→+∞

1√x+ 2

) limx→−∞

1√x− 2

.

Exemplo 1.8.3. O preço de um erto aparelho eletr�ni o sofre uma desvalorização

ao longo do tempo t de a ordo om a função p(t) = 40 +40

2 + t. O que a onte erá

om o preço desse aparelho quando o tempo res er inde�nidamente?

1.8.1 Limites no in�nito de xn

A função f(x) = xntem os seguintes limites no in�nito:

a) limx→+∞

xn = +∞, para qualquer n > 0.

b) limx→−∞

xn =

+∞, se n ∈ {2, 4, 6, 8, ...}−∞, se n ∈ {1, 3, 5, 7, ...}

.

Observação 1.8.3. Um polin�mio se omporta omo o seu termo de maior grau

quando x→ +∞ ou x→ −∞.

Exemplo 1.8.4. Cal ule:

a) limx→+∞

(8x2 + 3x)

b) limx→−∞

(7x5 − 6x4).

Exer í io 1.8.1. Dada a função f(x) = 4xx−2

, determine:

a) Uma assíntota verti al do grá� o de f(x);

b) Uma assíntota horizontal do grá� o de f(x).


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1.9. LIMITES ESPECIAIS

Exer í io 1.8.2. Cal ule os limites:

a) limx→3

5x− 2 g) limx→3

[

x2 − 2x

x+ 1+ cos

(

7π

2− xπ

)]

b) limx→0

[

5

x− 1+ senh(x)

]

h) limx→2

x

x2 − 4

) limx→2

3x

2x− 4i) lim

x→−1

x2 − 6x+ 7

x2 − 3x+ 2

d) limx→3

x2 + 3x

x2 − x+ 3j) lim

x→5

x

x− 5

e) limx→−3

(

4x

x+ 3+

12

x+ 3

)

k) limx→2

(x− 1)(x− 2)

x+ 2

f) limx→2

x4 + x2 − 2

x2 + 2l) lim

x→2

e

3x− 4.

Resposta dos exer í ios:

1.8.1. a) x = 2 b) y = 4

1.8.2.

a) 13 b) −5 ) Não existe. d) 2

e) 4 f) 3 g)

34

h) Não existe.

i)

73

j) Não existe. k) 0 l)

e

2

1.9 Limites espe iais

Cal ula-se o limite para o qual tende erta função de variável real, apli ando-

se as propriedades para o ál ulo de limites. Em ertos asos, nos deparamos om

expressões que não terão um signi� ado onhe ido.

Exemplo 1.9.1. Observe os limites abaixo:

a) limx→0

x

2x=

1

2

b) limx→0

x2

4x= 0

) limx→0

(

e1/x)x

= e

d) limx→+∞

(2x)2/x = 4

e) limx→+∞

x

x= 1


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f) limx→−∞

2x

x= 2

g) limx→+∞

(x− x) = 0

h) limx→+∞

[x− (x+ 1)] = 2.

Os exemplos a ima ilustram situações onde não é possível atribuir de

imediato o valor do limite, aso ele exista. Nos itens a) - d), pode-se observar uma

forma que rela iona uma quantidade variável que tende a zero om outra quantidade

variável que também tende a zero, hamada in�nitésimo.

Nos itens de e) à h) está representada outra relação: in�nitamente gran-

des om quantidades in�nitamente grandes (representadas por ∞).

Tais expressões re ebem o nome de indeterminações e neste aso, diz-

se que deve-se pro eder de modo a levantar estas indeterminações. Este pro esso

onsiste, basi amente, em rede�nir o próprio limite om o objetivo de eliminar pelo

menos um in�nitésimo ou um in�nitamente grande.

São indeterminações as substituições obtidas no ál ulo de limites que

resultam em

00,

∞∞ , ∞−∞ ou nas potên ias 1∞, 00, ∞0

.


0

0

Função ra ional

Em um limite de uma função ra ional do tipo limx→a

P (x)

Q(x), quando o de-

nominador e o numerador forem ambos nulos em x = a, fatoram-se o numerador e

o denominador, an elando seus fatores omuns. Assim, pode-se reduzir a fração à

outra, onde o numerador e o denominador não sejam mais nulos em x = a. Se isso

a onte er, obtém-se o limite por substituição na fração simpli� ada.

Exemplo 1.9.2. Como é o omportamento da função f(x) =x2 − 6x+ 9

x− 3quando

x se aproxima de 3?


a) limx→6

x2 − 36

x− 6

b) limx→3

x2 − 3x

x2 − 2x− 3


I

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F

U

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G

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F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

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I

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F

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I

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F

U

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I

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F

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I

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I

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F

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I

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I

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F

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I

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F

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I

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F

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I

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I

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I

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I

M

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


) limx→1

x3 − x2 − 9x+ 9

x− 1

Função irra ional

Em uma função algébri a irra ional, uma maneira de en ontrar o limite

de uma função para qual a substituição direta leva a uma forma

0

0é usar a té ni a

de ra ionalização. Essa té ni a pode ser usada para ra ionalizar o denominador ou

o numerador.


a) limx→0

x√x+ 1− 1

b) limx→1

4√x− 1√x− 1

.

Exemplo 1.9.5. Seja f(x) =

x2 + x− 6

x− 2, se x < 2

2x3 − 3x2 − 8x+ 12

x2 − 4, se x > 2

, al ule limx→2

f(x).

Exer í io 1.9.1. Cal ule:

a) limx→0

x2 − x

x3 − xe) lim

x→7

2−√x− 3

x2 − 49

b) limx→1

√x− 1

3√x− 1

f) limx→0

√x+ 1−

√1− x

x

) limx→8

x− 83√x− 2

g) limx→4

3−√5 + x

1−√5− x

d) limx→a

x2 − a2√x−√a, a 6= 0 h) lim

x→−1

x2 + 6x+ 5

x2 − 3x− 4.


1.9.1.

a) 1 b)

32

) 12 d) 4a√a

e) − 156

f) 1 g) −13

h) −45.


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

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F

U

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-

I

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F

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I

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I

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F

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I

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F

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R

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I

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F

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I

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F

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I

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I

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F

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F

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I

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I

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I

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F

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I

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F

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I

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I

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F

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I

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F

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I

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F

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I

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I

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F

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I

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F

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I

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I

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R

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I

M

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F

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R

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I

M

E

F

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-



∞∞

Se limx→+∞

f(x)

g(x)=∞∞ , divide-se o numerador e o denominador pela maior

potên ia de x que apare e no denominador.

Exemplo 1.9.6. Determine o valor dos seguintes limites:

a) limx→+∞

x

x− 3

b) limx→+∞

3x6 − 5x2 + 9

2x4 + 1

) limx→+∞

3x+ 5

6x3 − 7

d) limx→+∞

3x+√x2 + 9

2x+√4x2 + 9

.

1.9.3 Indeterminação do tipo ∞−∞

Para resolver limites do tipo limx→a

[f(x)− g(x)] = ∞ − ∞, utilizam-se

artifí ios algébri os para se obter indeterminações do tipo

0

0ou

∞∞ .

Exemplo 1.9.7. Resolva os limites:

a) limx→+1

(

1

x− 1− 3

1− x3

)

b) limx→0{cosec(x) − cotg(x)}

) limx→∞

[x(√x2 + 1− x)]

d) limx→∞

(√3x2 + x− 2x)

1.9.4 Indeterminação tipo 0 · ∞

Se limx→a

[f(x) · g(x)] = 0 · ∞, transforma-se o limite para que resulte em

outro tipo de indeterminação, através de artifí ios algébri os.

Exemplo 1.9.8. Cal ule limx→0{sen(x) · cosec(x)}.



I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

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I

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I

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I

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I

M

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F

U

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I

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I

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I

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F

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I

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F

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G

-

I

M

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F

U

R

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I

M

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F

U

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I

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F

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I

M

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F

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R

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I

M

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F

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I

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F

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I

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I

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E

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F

U

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

1.10. TEOREMA DO CONFRONTO

a) limx→+∞

5x+ 1

2x− 5h) lim

x→+∞

5

x2o) lim

x→+∞

2x3 − x2 + 7x− 3

2− x+ 5x2 − 4x3

b) limx→+∞

3

x+ 4i) lim

x→+∞

(

2 +100

x

)

p) limx→+∞

x2 − 4x

x− 5

) limx→+∞

5x2 + 7

3x2j) lim

x→+∞

2x3 + 3x

x2 + 5q) lim

x→+∞x(√x2 − 1− x)

d) limx→−∞

√3x4 + x

x2 − 8k) lim

x→+∞

7x− 8√x2 + 1

r) limx→+∞

(√x2 + 3−

√x2 − 5

)

e) limx→−∞

(x2 − 10x+ 1) l) limx→+∞

x√x+ 1

s) limx→+∞

(√3x3 + 2x+ 1−

√2x)

f) limx→+∞

5x3 − x2 + x− 1

x4 + x3 − x+ 1m) lim

x→+∞

(√x+ 3−√x

)

t) limx→0

(

1

x− 1

x√1 + x

)

g) limx→−∞

ex2 − 2x+ 3

2x2 + 5x− 3n) lim

x→+∞

√x+ 5√16x+ 3

u) limx→π

2

[sec(x)− tg(x)].


1.9.2.

a)

5

2b) 0 )

5

3d)

√3

e) +∞ f) 0 g)

e

2h) 0

i) 2 j) +∞ k) 7 l) +∞

m) 0 n)

1

4o) −1

2p) +∞

q) −12

r) 0 s) +∞ t)

1

2

u) 0.

1.10 Teorema do onfronto

Suponha que h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para qualquer x em um dado intervalo

aberto ontendo a, ex eto possivelmente quando x = a. Suponha também que

limx→a

g(x) = limx→a

h(x) = L, então limx→a

f(x) = L.

Veja os grá� os de f(x), g(x) e h(x) na Figura 1.21.

Demonstração:

Para ǫ > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que |h(x) − L| < ǫ sempre que

0 < |x− a| < δ1 e |g(x)− L| < ǫ sempre que 0 < |x− a| < δ2.


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

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I

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I

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G

-

1.11. LIMITES FUNDAMENTAIS

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

g x( )

f x( )

h x( )

Figura 1.21: Grá� os de f(x), g(x) e h(x).

Seja δ = min{δ1, δ2}, então se 0 < |x− a| < δ, tem-se que |h(x)−L| < ǫ

e |g(x) − L| < ǫ o que impli a que −ǫ < h(x) − L < ǫ e L − ǫ < h(x), e ainda

−ǫ < g(x)− L < ǫ e g(x) < L+ ǫ.

Por outro lado, omo h(x) < f(x) < g(x), tem-se L− ǫ < f(x) < L+ ǫ,

isto é, |f(x)− L| < ǫ.

Portanto, limx→a

f(x) = L.

Exemplo 1.10.1. Utilize o Teorema do Confronto para determinar limx→0

f(x), sa-

bendo que 4− x2 ≤ f(x) ≤ 4 + x2.

Exer í io 1.10.1. Mostre que limx→+∞

sen(x)x

= 0, utilizando o Teorema do Confronto.

1.11 Limites fundamentais

1.11.1 Limite fundamental trigonométri o

limx→0

sen(x)

x= 1.

Dedução:

Observe na Figura 1.22 que a área do triângulo △OAP é menor que

a área do setor OAP , que por sua vez é menor que a área do triângulo △OAT .

Pode-se expressar essas áreas em termos de θ da seguinte forma:


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

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I

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F

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R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-


Figura 1.22: Grá� o de g(x).

Área do triângulo △OAP =1

2· 1 · sen(θ) = sen(θ)

2;

Área do setor OAP =1

2· (1)2 · θ =

θ

2;

Área do triângulo △OAT =1

2· 1 · tg(θ) = tg(θ)

2.

Logo,

sen(θ)

2<

θ

2<

tg(θ)

2. A desigualdade não se altera ao se dividir

os três termos por

sen(θ)

2, que é positivo para 0 < θ <

π

2. Assim, tem-se que

1 <θ

sen(θ)<

1

cos(θ).

Tomando os re ípro os, a desigualdade é invertida: 1 >sen(θ)

θ> cos θ.

Como limθ→0+

cos(θ) = 1, pode-se utilizar o Teorema do Confronto para se

obter a expressão limθ→0+

sen(θ)

θ= 1.

Uma vez que sen(θ) e θ são funções ímpares, então f(θ) =sen(θ)

θé uma

função par, om grá� o simétri o em relação ao eixo y. Essa simetria impli a que o

limite à esquerda é igual ao limite à direita, logo, limx→0−

sen(x)

x= lim

x→0+

sen(x)

x= 1.

Portanto limx→0

sen(x)

x= 1.

Exemplo 1.11.1. Utilizando limx→0

sen(x)

x= 1, al ule os limites:

a) limx→0

cos(x)− 1

x

b) limx→0

sen(2x)

5x


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

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-

F

U

R

G

-

I

M

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

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I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

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F

U

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G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

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I

M

E

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-

F

U

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G

-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

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-

I

M

E

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-

F

U

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-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


) limx→+∞

sen(1/x)

1/x

Exemplo 1.11.2. Cal ule limx→π

[(x− π) · cotg(x)].

1.11.2 Limite fundamental exponen ial I

limx→0

(1 + x)1x = e.

Teorema 1.11.1. Seja a função f(x) = (1 + x)1/x de�nida em x ∈ R tal que −1 < x

e x 6= 0 então limx→0

(1 + x)1/x = e.

Do teorema 1.11.1 de orrem os orolários:

Corolário 1.11.1. Seja a função f(x) =

(

1 +1

x

)x

de�nida em x ∈ R tal que

x < −1 ou x > 0 então limx→+∞

(

1 +1

x

)x

= e.

Corolário 1.11.2. Seja a função f(x) =

(

1 +1

x

)x

de�nida em x ∈ R tal que

x < −1 ou x > 0 então limx→−∞

(

1 +1

x

)x

= e.

Observação 1.11.1. Formas gerais do limite fundamental limx→0

(1 + x)1x = e:

a) limx→0

(1 + kx)1x = ek

b) limx→+∞

(

1 +k

x

)x

= ek

) limx→−∞

(

1 +k

x

)x

= ek.


a) limx→0

(1 + 3x)1x

e) limx→0

[1 + sen(x)]1

sen(x)

b) limx→0

(1− 5x)1x

f) limx→+∞

(

1 +2

x

)2x

) limx→0

(1− x2)1x

g) limx→+∞

(

1 +1

x

)2x

d) limx→0

ln(1 + 10x)

xh) lim

x→+∞

(

x− 1

x+ 3

)x+2

.


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

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-

I

M

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F

U

R

G

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

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I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


Observação 1.11.2. O número e:

O número e é hamado de base exponen ial natural, número de Ne-

per ou número de Euler. É um número irra ional e tem valor aproximado de

2,7182818284..., obtido através da função f(n) =

(

1 +1

n

)n

quando os valores atri-

buídos a n res em inde�nidamente. Observe o omportamento da função na tabela

a seguir:

Tabela 3: Quadro de valores para a função f(n) =(

1 + 1n

)n.

n(

1 + 1n

)n

1 2

10 2,59374246. . .

100 2,70481383. . .

1.000 2,71692393. . .

10.000 2,71814593. . .

100.000 2,71826824. . .

1.000.000 2,71828047. . .

Per ebe-se que ao atribuir valores maiores para n a expressão resulta em

um valor ada vez mais próximo do número e. Diz-se então que:

limn→+∞

(

1 +1

n

)n

= e.

Modelam-se vários fen�menos de res imento om funções que envolvem

a base exponen ial natural. Seu surgimento o orreu no sé ulo XVII om o estudo

dos logaritmos feitos por John Napier, e por isso essa onstante � ou onhe ida omo

número de Neper. O símbolo e foi riado por Leonhard Euler, a quem é reditada a

fórmula eiπ + 1 = 0, onsiderada por muitos omo a mais bela fórmula da história

da matemáti a.

1.11.3 Limite fundamental exponen ial II

limx→0

akx − 1

kx= ln(a), a > 0, a 6= 1.

Dedução:


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

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I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

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I

M

E

F

-

F

U

R

G

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I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

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I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


Fazendo t = akx − 1, tem-se que akx = t + 1. Apli ando os logaritmos

neperianos nos dois lados da igualdade:

ln(akx) = ln(t+ 1)

kx · ln(a) = ln(t+ 1)

x = ln(t+1)k·ln(a) .

Quando x → 0, tem-se que t → 0, o que permite que se faça a seguinte

substituição de variável:

limx→0

akx−1kx

= limt→0

[

t

k· ln(t+1)k·ln(a)

]

= ln(a) · limt→0

1ln(t+1)

t

= ln(a) ·limt→0

1

limt→0

ln(t+1)t

limx→0

akx−1kx

= ln(a) · 1

limt→0

ln(t+1)1t

.

Utilizando a propriedade do limite de um logaritmo natural (1.6.12) e o

limite fundamental exponen ial I (1.11.2):

ln(a) · 1

limt→0

ln(t+1)1t

= ln(a) · 1

ln

[

limt→0

(t+1)1t

] = ln(a) · 1ln(e)

= ln(a) · 11

= ln(a).

Logo limx→0

akx−1kx

= ln(a).


a) limx→0

23x − 1

3x ) lim

x→0

3(2−a)x − 1

3x

b) limx→0

32x − 1

2xd) lim

x→0

eax − ebx

x.



I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

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F

U

R

G

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I

M

E

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F

U

R

G

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I

M

E

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F

U

R

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I

M

E

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F

U

R

G

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I

M

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F

U

R

G

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I

M

E

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-

F

U

R

G

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I

M

E

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U

R

G

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I

M

E

F

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F

U

R

G

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I

M

E

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F

U

R

G

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I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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F

U

R

G

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I

M

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F

U

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I

M

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F

U

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I

M

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I

M

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M

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I

M

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I

M

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I

M

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I

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M

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M

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I

M

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F

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I

M

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F

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I

M

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F

U

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I

M

E

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F

U

R

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-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

1.12. LISTA DE EXERCÍCIOS

a) limx→−2

sen(x+ 2)

x2 − 4f) lim

x→+∞x2 ln

[

x2 + 4

x2 + 1

]

k) limx→0

1− 2tg(x)

tg(x)

b) limx→0

cos(5x)− 1

cotg(5x) · sen(5x) g) limx→a

tg(x)− tg(a)

x− a, a 6= 0 l) lim

x→0

1

xln

(

√

1 + x

1− x

)

) limx→0

x x√x+ 1

sen(2x)h) lim

h→0

sen(x+ h)− sen(x)

hm) lim

x→π

2

ecos(x) − 1

cos(x)

d) limx→2

3x2−4 − 1

x− 2i) lim

x→0

2x

sen(3x)n) lim

x→2

3√x − 3

√2

x− 2

e) limx→0

√

1 + sen(x)−√

1− sen(x)

23x − 1j) lim

x→0

1− cos2(x)

x2o) lim

x→+∞

(

x− 4

x+ 5

)x+2

.


1.11.1.

a) −14

b) 0 )

e

2d) 4 ln(3)

e)

1

3 ln(2)f) 3 g)

1

cos2(a)h) cos(x)

i)

2

3j) 1 k) − ln(2) l) 1

m) 1 n)

√2 · 3

√2

4· ln(3) o)

1

e9

1.12 Lista de Exer í ios

1. Para ada a�rmação, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa.

a) ( ) A expressão limx→a

f(x) des reve o omportamento da função f quando x = a.

b) ( ) A expressão limx→a

f(x) = L signi� a que, dado um ǫ > 0, existe δ > 0 tal que

se 0 < |x− a| < δ então |f(x)− L| < ǫ.

) ( ) limx→a

f(x) só existe se a função estiver de�nida em x = a.

d) ( ) Para uma função f(x), se os limites laterais à direita e à esquerda de um

ponto a forem iguais, então existe limite de f(x) om x tendendo a a.

2. Considere o grá� o de f(x) na Figura 1.23. Para ada a�rmação, assinale V, se

for verdadeira, ou F, se for falsa. Justi�que suas respostas.


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

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F

U

R

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I

M

E

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F

U

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G

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I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

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U

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I

M

E

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F

U

R

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I

M

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F

U

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G

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I

M

E

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-

F

U

R

G

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I

M

E

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U

R

G

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I

M

E

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F

U

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I

M

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I

M

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R

G

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I

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E

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U

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I

M

E

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F

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I

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I

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M

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I

M

E

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I

M

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M

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I

M

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I

M

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I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


y

3

2

0 a

x


a) ( ) limx→a

f(x) não existe.

b) ( ) limx→a

f(x) = 2.

) ( ) limx→0

f(x) = 3.

3. Cal ule os limites:

a) limy→−5

y2

5− yf) lim

x→+∞

(√x+ 3−

√x+ 2

)

k) limv→−∞

√9v2 + v + 1√3v2 + 4

b) limz→0

(2z − 8)13

g) limm→0

sen(m) · cosec(m) l) limv→0+

[ln(v)− ln(sen(v))]

) limv→2

v3 − 8

v4 − 16h) lim

x→0

(

2

x2 − 1− 1

x− 1

)

m) limx→0+

cotg(x)

cosec(x)

d) limz→4

4z − z2

2−√z i) limy→−∞

5y3 − 12y + 7

8y2 − 1n) lim

x→0+

√x

√

sen(x)

e) limx→0

(

1

x− 1

x2

)

j) limy→+∞

2y3 − 4

5y + 3o) lim

x→−∞

ex − e−x

ex + e−x.

4. Cal ule os limites:

a) limx→0

5x − 5−x

5x2cotg(x)

b) limx→2

sen(x− 2) + x2 − 4x+ 4

x3 − 8.

5. Para ada limite da oluna 1, asso ie om seu resultado na oluna 2. Apresente

todo o desenvolvimento. (Para ada limite, há apenas um valor a ser assinalado).


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

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G

-

I

M

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F

U

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-

I

M

E

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F

U

R

G

-

I

M

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-

F

U

R

G

-

I

M

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U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

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-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


Coluna 1 Coluna 2

(a) limx→−1

3− 2x− x2

x2 − 1( ) 6

(b) limx→1

x2 − 25

x2 − 5x( )

1

2

( ) limx→3

12− 4x

3−√x+ 6

( ) ∄

(d) limx→−∞

4x2 − 12x5 + 12x4 − 3

3x− 2x4 + 3x5 + 6( ) 2

(e) limx→0

1− cos(x)

x2( ) 5

(f) limx→+∞

(

x+ 1

x− 1

)x

( ) e2

(g) limx→0

e2x − 1

x( ) −4

(h) limx→0

ln(1 + 5x)

x( ) 24

6. Sejam limx→0

f(x) = 1 e limx→0

g(x) = 5, al ule o valor de L = limx→0

2f(x)− g(x)

[f(x) + 7]23

.

7. Se limx→2

f(x)− 5

x− 2= 1, determine lim

x→2f(x).

8. Determine as assíntotas dos grá� os das seguintes funções:

a) f(x) =x+ 3

x+ 2

b) f(x) =−8

x2 − 4

) f(x) =x

x+ 8

d) f(x) =x+ 1

x

9. A derivada de uma função f(x) é de�nida omo f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h.

Cal ule a derivada das seguintes funções:

a) f(x) = ex

b) f(x) = cos(x).


I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

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U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

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G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

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F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

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F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

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G

-

I

M

E

F

-

F

U

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G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

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G

-

I

M

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F

-

F

U

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G

-

I

M

E

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-

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U

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G

-

I

M

E

F

-

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U

R

G

-

I

M

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F

U

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G

-

I

M

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F

-

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U

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G

-

I

M

E

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U

R

G

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I

M

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F

-

F

U

R

G

-

I

M

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F

U

R

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I

M

E

F

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F

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G

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I

M

E

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-

F

U

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I

M

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

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I

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-

F

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R

G

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I

M

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F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-

I

M

E

F

-

F

U

R

G

-


Respostas dos exer í ios:

1. a) F b) V ) F d) V

2. a) F b) V ) F.

3.

a)

5

2b) −2 )

3

8d) 16

e) −∞ f) 0 g) 1 h) −1

i) −∞ j) +∞ k)

√3 l) 0

m) 1 n) 1 o) −1.

4. a)

2 ln(5)

5b)

1

12

5.

(b),(e),(a),(g),(h),(f),(d),( ).

6. L = −34.

7. limx→2

f(x) = 5.

8.

a) Assíntota horizontal y = 1, Assíntota verti al x = −2

b) Assíntota horizontal y = 0, Assíntotas verti ais x = −2 e x = 2

) Assíntota horizontal y = 1, Assíntota verti al x = −8

d) Assíntota horizontal y = 1, Assíntota verti al x = 0.

9. a) f ′(x) = ex b) f ′(x) = −sen(x).


Calculo I LIMITES

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