ATPS Calculo II (completa)

ANHANGUERA EDUCACIONAL S/A - FACULDADES INTEGRADAS

TORRICELLI

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL – CÁLCULO II

Airton Sousa da Paz R.A - 9859523862

Kellyany Vieira Pinheiro R.A - 9861523301

Paulo Falciorolli Junior R.A – 9017359346

Rodrigo Diego R.A - 2977558851

Sérgio Fernando C. de Souza R.A - 9047446621

ATPS Cálculo II – Conceito de Derivada e Regras deDerivaçãoProfº Alan

Guarulhos-SPJunho/2015

ANHANGUERA EDUCACIONAL S/A - FACULDADES INTEGRADAS

TORRICELLI

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL – CÁLCULO II

Airton Sousa da Paz R.A - 9859523862

Kellyany Vieira Pinheiro R.A - 9861523301

Paulo Falciorolli Junior R.A – 9017359346

Rodrigo Diego R.A - 2977558851

Sérgio Fernando C. de Souza R.A - 9047446621

Trabalho desenvolvido para a disciplina

de Cálculo II à Anhanguera Educacional

como exigência para a avaliação na

Atividade Prática Supervisionada.

2

Guarulhos – SP

Junho/2015

Sumário

1. Introdução..................................................32. Etapa 1.....................................................42.1. Passo 1 - O Conceito de Velocidade Instantânea..........52.2. Passo 2 – Gráfico e Tabela S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s).. 52.3. Passo 3 – Aceleração instantânea........................72.4. Passo 4 - Gráfico da aceleração e elaboração de um relatório com os resultados obtidos..........................7

3. Etapa 2.....................................................93.1. Passo 1 – O que é a Constante de Euler?.................93.2. Passo 2 – Séries Harmônicas............................103.3. Passo 3 – Crescimento Populacional.....................123.4. Passo 4 – Construir uma tabela.........................12

4. Etapa 3....................................................154.1. Passo 1 – Regra de Cadeia e Aplicação de Derivadas.....154.1.1. Nome e slogan.........................................164.1.2. Desenvolvimento.......................................164.2. Passo 2 – Layout com escala............................174.3. Passo 3 – Resolução de perguntas.......................194.4. Passo 4 – Resolução de perguntas.......................19

5. Conclusão..................................................21

3

1. Introdução

Neste trabalho iremos verificar a aplicação da

derivada inserida em conceitos básicos da física. À noção

intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo

intrínseco a todos, já que é algo natural. No entanto,

quando visto sob um olhar crítico científico, pode se

observar as leis da física, em que as operações matemáticas

e regras de derivação básica estão intimamente ligadas a

essas leis.

4

2. Etapa 1

2.1.Passo 1 - O Conceito de VelocidadeInstantânea.

A velocidade instantânea é, portanto definida

como o limite da relação entre o espaço percorrido em um

intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando

se considera um intervalo de tempo que não tende a 0, a

velocidade é considerada média. A velocidade instantânea

pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato

instante escolhido. No movimento retilíneo uniforme, a

velocidade instantânea coincide com a média em todos os

instantes.

5

Na Física temos: S=So + Vot + at²/2. Quando se

considera um intervalo de tempo que não tende a zero, a

velocidade é considerada média. A velocidade instantânea

pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato

instante escolhido (limite tendendo a zero). No movimento

retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a

média em todos os instantes.

Exemplo da função velocidade como derivado da

função do espaço, a aceleração como sendo a soma do ultimo

algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Função do espaço: S=So + Vot + at²/2.

Dados: a = 10m/s2, So = 3m, Vo = 2m/s

S = So + Vo.t + a.t²/2.

S = 3 + 2.t + 10.t²/2

S = 3 + 2.t + 5.t²

Derivando: S’=> V = 2 + 10.t

Velocidade no tempo 2s:

V = 2 + 10.t => V = 2 + 10*2 => V = 22 m/s.

Com isso concluímos que a derivada da função espaço é afunção velocidade.

2.2.Passo 2 – Gráfico e Tabela S(m) x t(s) eV(m/s) x t(s).

S = 3 + 2.t + 5.t² V = 2 + 10.t

6

No movimento retilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A)

Um corpo tem Movimento Retilíneo Uniformemente

Acelerado quando, ao longo de uma trajetória retilínea, o

módulo da sua velocidade apresenta sempre o mesmo aumento

em intervalos de tempo iguais. A aceleração do corpo é

então constante

A área total do gráfico da velocidade é dada pelo calculode A = b x h:

A = b x h

A = 5 x 52

A = 260m

8

Gráfico da velocidade (s) xtempo (s)

2.3.Passo 3 – Aceleração instantânea.

Quando a velocidade de uma partícula varia diz-se

que a partícula sofre aceleração, para sabemos como ela

está variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em

relação ao tempo sendo: a= dv/dt, pois a aceleração da

partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua

velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a

aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de

v(t) naquele ponto.

Usando a noção de Derivada:

a=dv/dt => a = s’’(t) => 10m/s²

2.4.Passo 4 - Gráfico da aceleração e elaboraçãode um relatório com os resultados obtidos.

S(m) | V(m/s) x t(s) | a(m/s) xt(s) |

Instante (s) | Velocidade m/s | Aceleraçãom/s² |

9

0... 003 m/s 010 m/s²

1... 010 m/s 010 m/s²

2... 027 m/s. 010 m/s²

3... 054 m/s 010 m/s²

4... 091 m/s 010 m/s²

5... 138 m/s 010 m/s²

A área total do gráfico da aceleração é dada pelo calculode A = b x h:

A = b x h

A = 5 x 10

A = 50

10

Gráfico da aceleração (s) xtempo (s)

Com base em todos os dados obtidos, vemos que

conseguimos apresentar equação da velocidade e da

aceleração seguindo a regra da derivada. Por meio da

derivação da equação do espaço, conseguimos também formar o

gráfico de cada equação, achar os seus resultados e a área

do gráfico da aceleração. A velocidade é uma razão entre o

espaço ΔS pelo tempo Δt, ou seja, a velocidade instantânea

é o limite dessa razão quando o incremento de tempo tende a

0, ou seja é a derivada da função horária do espaço. O

mesmo vale para a aceleração instantânea.

No nosso caso a aceleração não varia em nenhum

instante, por tanto ela é constante.

3. Etapa 2

3.1.Passo 1 – O que é a Constante de Euler?

A constante de Euler foi homenagem ao matemático

suiço Leonhard Euler, um escritor matemático mais produtivo

de todos os tempos, na qual desenvolve cálculos na qual são

utilizados até o presente, não importando a complexidade

dos cálculos. A constante de Euler é à base da função dos

logaritmos naturais.

Existem várias maneiras para calcular a constante

de Euler, mas nenhuma delas tem o seu verdadeiro resultado,

pois a constante de Euler é um número irracional, mas

sabemos que a constante de Euler tem pelo menos 1 trilhão

de dígitos de precisão.

11

Seu valor aproximadamente é:

2,718 281 828 459 045 235 360 287... O número também pode

ser escrito como a soma da série infinita.

Usando a fórmula da constante de Euler, e que é

também muito comum no calculo de juros compostos,

calcularemos n= {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000,

100000, 1000000} para encontrarmos o resultado

correspondente em ℮.

Para n=1 temos o seguinte calculo:

℮ = limn→∞1+111.

℮ = 2.

Para n=5 temos:

℮ = limn→∞1+155

℮ = 2,4883200000000000

E para os demais valores demonstraremos a partir da tabela

abaixo:

Cálculo dos valores propostos na ATPS:

n = | 1 | ℮ = | 2,0000000000000000 |

n = | 5 | ℮ = | 2,4883200000000000 |

n = | 10 | ℮ = | 2,5937424601000000 |

n = | 50 | ℮ = | 2,6915880290736000 |

n = | 100 | ℮ = | 2,7048138294215300 |12

n = | 500 | ℮ = | 2,7155685206517000 |

n = | 1000 | ℮ = | 2,7169239322355200 |

n = | 100000 | ℮ = | 2,7182682371975300 |

n = | 1000000 | ℮ = | 2,7182804691564300 |

3.2.Passo 2 – Séries Harmônicas.

O ouvido humano consegue distinguir diferentes

qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são

um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas

notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim

distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota

tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da

flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser

definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular

de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série

harmônica, que pode ser explicada como o conjunto de

frequências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota

principal.

Quando ouvimos um som, na realidade escutamos

também uma série de outras frequências mais agudas que não

conseguimos perceber individualmente, apenas como um

conjunto sonoro. Essas frequências secundárias se

manifestam na forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo

em vibração não produz apenas uma única nota (ou

frequência), mas sim um conjunto de várias frequências, que

são chamadas de harmônicos. A importância que cada

13

harmônico terá para cada nota de cada instrumento musical é

o que definirá o timbre.

O matemático Pitágoras descobriu as relações

entre o tamanho de uma corda e a altura da nota por ela

produzida. Pitágoras observou que uma corda de 120 cm, que

emitia a nota dó 1, por exemplo, quando dividida ao meio,

produzia a nota dó 2, ou seja, um som oitava acima. Quando

a corda de 120 cm era dividida em três partes, sendo tocada

uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou

seja, um som uma quinta acima do dó 2. Prosseguindo nas

divisões da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim

por diante, Pitágoras descobriu relações matemáticas

lógicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas.

Quanto menores as divisões, mais agudos e dissonantes

ficavam os sons secundários com relação à nota original.

Pitágoras explicava desse modo, na teoria, a série

harmônica.

Quando a corda de uma harpa é tocada, ela vibra

simultaneamente em toda a sua extensão e em pequenas partes

proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalou

Pitágoras. Consequentemente, escutamos o som da vibração

total da corda e os sons das vibrações secundárias.

Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua série

harmônica.

- Série Harmônica Matemática

Em matemática, a série harmônica é a série

infinita definida como: O nome harmônico é devido à

14

semelhança coma proporcionalidade dos comprimentos de

onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Esta

série diverge lentamente. A demonstração (feita

originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme) faz-se

tendo em conta que a série é termo a termo maior que ou

igual à série.

A constante de Euler se relaciona com essas

séries harmônicas e as PG, pois é fundamental para os

cálculos em series.

3.3.Passo 3 – Crescimento Populacional.

T 0 8

N(T) NO 3NO

Veja que no instante T = 0 a quantidade é a

inicial (não dada), e após 8 horas a quantidade inicial foi

triplicada, ou seja, multiplicada por 3.

Não há valor para R, que deve ser calculado:

N(T) = NO ∙ ER ∙ T

Damos valores à N = 3NO E T = 8, e fazemos a conta:

3∙NO = NO ∙ ER ∙ 8

3NO / NO = E8 ∙ R

3 = E8 ∙ R

8 ∙ R = 3LN

8 ∙ R = 1,0986

R = 1,0986 / 8 => R = 0,137326

15

Agora temos a mesma fórmula, com o valor de R calculado:

N(T) = NO ∙ E0, 1373 ∙ T

Para calcular a quantidade após 48 h, substituímos:

T=48

N(48) = NO ∙ E0,137326 ∙ 48

N(48) = NO ∙ E6,5917 => N(48) = 729 ∙ NO

Portanto após 48 horas, a Quantidade que temos é 729 NO

vírus..

3.4.Passo 4 – Construir uma tabela.

Como no passo três não foi dado o valor para no,

no passo quatro aconteceu o mesmo, porem agora

obrigatoriamente vamos precisar de uma quantidade inicial

para fazer o gráfico. O exercício trata de uma colônia de

vírus, a quantidade é um número enorme, resolvemos utilizar

NO = 1 000 000.

ENTÃO TEMOS:

NO = 1 000 000, que simplifica chamando apenas de NO = 1 MI

(“MI” indica milhões).

PARA T = 0, TEMOS:

N(0) = NO

16

N(0) = 1 MI

PARA T = 5, TEMOS:

N(5) = 1 000 000 ∙ E0,1373 ∙ 5

N(5) = 1 000 000 ∙ 1, 9867

N(5) = 1, 9867 MI

PARA T = 10, TEMOS:

N(10) = 1 000 000 ∙ E0, 1373 ∙ 10

N(10) = 1 000 000 ∙ 3,9471

N(10) = 3,9471 MI

PARA T = 15, TEMOS:

N(15) = 1 000 000 ∙ E0, 1373 ∙ 15

N(15) = 1 000 000 ∙ 7,8420

N(15) = 7,8420 MI

PARA T = 20, TEMOS:

N(20) = 1 000 000 ∙ E0, 1373 ∙ 20

N(20) = 1 000 000 ∙ 15,5885

N(20) = 15,5885 MI

17

PARA T = 25, TEMOS:

N(25) = 1 000 000 ∙ E0, 1373 ∙ 25

N(25) = 1 000 000 ∙ 30,9539

N(25) = 30,9539 MI

Com valores de N, em milhões de bactérias, em

função de 4

horas (t), temos a seguinte tabela:

T (HORAS)

0

5

10

15

20

25

N (MILHÕES)

1

1,9867

3,9471

7,8420

15,5885

30,9539

Logo temos um gráfico, com N milhões em função de T horas:

18

Aprendemos que a constante de Euler-Mascheroni é

uma constante matemática com múltiplas utilizações em

teoria dos números, montamos um gráfico e chegamos a

conclusão que conforme a função tende a +∞, mais ela se

aproxima de 2,72.

Podemos ver a série harmônica na música, na

matemática e na física e sobre somatória infinita de uma

pg.

Aprendemos também sobre crescimento populacional

em função do tempo, usando um modelo utilizado por um

analista de um laboratório, e fizemos uma tabela e um

gráfico para descrever a população presente em um

determinado instante de tempo.

4. Etapa 3

4.1.Passo 1 – Regra de cadeia e aplicação de derivadas

19

4.1.1.Nome e slogan

4.1.2. Desenvolvimento

A empresa “SoyOil”, desejando inovar, na apresentação

de sua nova linha de óleo para cozinha, contrata vocês para

criarem uma nova embalagem da lata, a qual deverá armazenar

o produto. Depois de muito pensarem, vocês decidiram que a

lata deverá ser construída de forma que seja um cilindro

circular reto de volume máximo que possa ser inscrito em

uma esfera de diâmetro D = 1*cm, onde D é uma dezena do

intervalo [10, 19], em que o algarismo da unidade (*) é

dado pelo maior algarismo dos algarismos que compõe os RA’s

dos alunos do seu grupo; Exemplo: Se o grupo é uma dupla

com os seguintesRA’s 100456012 e 1000032467, observa-se que

o maior algarismo presente nos RA’s é o 7, portanto deve-se

usar D = 17. Lembre-se que D = 2.R.

20

Com base nessas informações e admitindo que 1 litro =

1 dm3, utilizando a regra do produto para derivação,

calcular qual será a altura máxima da lata e qual é o

volume de óleo que ela comporta. Observar a figura abaixo.

Notar que a altura da lata (H) é igual a soma de h + h, ou

seja: H= 2h.

O Maior Algarismo dos Ra’s é 6. Então 6 → D = 16

Achando o diâmetro:

D = 2 * R 16 = 2R

Achando o Raio:

R = D/2

R = 16/2

R = 8 cm

4.2.Passo 2 – Layout com escalaFazer um layout com escala, representando a lata de

óleo do passo 1 e criar um protótipo em tamanho real. Fazer

um relatório justificando de forma positiva a utilização

dessa nova embalagem, que deverá ser apresentada a

diretoria da empresa “SoyOil”.

Achando a Área da Circunferência:21

Ac= π * r²

Ac= π * 8² cm²

Ac= 201,056 cm²

Achando o volume:

H=2 h cm

H=2πr².H

V=π(64.h²).2h

V=2π(64h-h³)

V’=64-3h²

64/3=h²

h=

h=4,62

r²=64-4,62²

r=

r=6,53 cm

V = πr².H

V=(3,14*6,53²)x(2*h)

V=133,96*9,24

V=1.237,79/1000

22

V=1,2378 cm³

Esta embalagem foi confeccionada com materiais de

alumínio destinada principalmente, ao mercado alimentício.

Tendo em vista que uma das aplicações do alumínio no setor

alimentício se refere ás atividades que exploram as

chamadas “refeições rápidas” – restaurantes self-service,

lanchonete fast food e etc.

Esta nova embalagem de alumínio trará para a empresa

“SoyOil” um novo visual, esta embalagem recebe tratamento

especifico para poder armazenar com maior qualidade e

segurança os produtos da empresa “SoyOil”. Esta embalagem

servirá principalmente para armazenagem de óleo, porém

também poderá armazenar as refeições rápidas, também

conhecidas popularmente por “quentinha”, beneficiando-se

desse desenvolvimento, proporcionando um produto

fundamental para essas atividades.

Além disso, na vida moderna, rapidez e praticidade são

fundamentais. E nisso, as embalagens descartáveis de

alumínio contribuem muito no dia-a-dia, podendo ser

confeccionada em diferentes formas e tamanhos. Usando uma

mesma embalagem, o consumidor pode armazenar, congelar,

descongelar, aquecer, inclusive no microondas, e servir

alimentos, somado à comodidade de descartá-las com 100% de

reciclagem.

23

4.3.Passo 3 – Resolução de perguntasA empresa “SoyOil” adquiriu uma nova máquina para

evasão do óleo dentro das latas que serão comercializadas.

O bico da envasadura é em formato de uma pirâmide hexagonal

regular invertida, com 50 cm de altura e de aresta da base

de 10 cm. O óleo escoa por meio de uma pequena abertura no

bico da pirâmide, após a pirâmide atingir seu volume

máximo.

Sabendo que o óleo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s.

Com que velocidade o nível do óleo estará se elevando

quando atingir 20 cm de altura?

V = ΔS ΔT

3 cm/s = 50 cm ÷ x

50 cm ÷ 3 cm/s = x

50 cm ÷ 3cm/s = 16,6s

V = 50 cm – 30 cm ÷ 17s – 6,64 s

V = 20 cm/10,36 s = v = 1,93 cm/s

4.4.Passo 4 – Resolução de perguntasCalcula qual é o volume máximo de óleo que cabe no

bico? Qual a velocidade que o nível do óleo estará quando

atingir 45cm de altura? Fazer um relatório com todos os

cálculos realizados nos passos da Etapa 3 para entregar ao

seu professor.

24

V = ab * h

3V = 201,056 * 50cm

3V = 10.052,8cm³

V=10.052,8cm³/3

V = 3.350,93cm³

V = ΔS ΔT

3 cm/s = 50 cm ÷ x

50 cm – 5cm ÷ 3 cm/s = x

45 cm ÷ 3cm/s = x

15 cm/s =x

V = 50 cm ÷ 15 s – 6,64 s

V = 45 cm /8,36 s = v = 5,38 cm/s

25

5. Conclusão

De acordo com o a proposta da ATPS, concluímos o

trabalho qual acreditamos estar eficaz e eficiente,

atingindo objetivo com demonstrações de desenvolvimento de

forma que qualquer pessoa possa entender os passos

realizados.

Aproveitamos ainda para ressaltar que com o

desenvolvimento deste, o grupo se envolveu e aproveitou o

conteúdo aplicando ao semestre letivo os conhecimentos

adquiridos, de forma que quando o trabalho for analisado,

estará explicita a solução encontrada, e para quem deseja

refazê-lo foram demonstrados os cálculos de forma fácil

para serem refeitos e treinados, caso necessário.

26

ATPS Calculo II (completa)

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