Calculo Vectorial
135
Cálculo Vectorial Ing. Edison Javier Guamán
Transcript of Calculo Vectorial
CálculoVectorial
Ing. Edison Javier Guamán
Dedicado a mi familia, compañeros, amigosy mis queridos estudiantes.
I
Agradecimientos
¡Muchas gracias a todos!
II
Resumen
Se trata de una bonita historia.
III
Índice general
Resumen III
1. Definiciones Básicas 21.1. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Función Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Integrales Impropias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . 9
1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Cálculo de áreas en coordenadas paramétricas . . . . . . . . . 16
1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6. Cálculo de areas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1. Discucion de una ecuacion en Coordenadas polares . . 241.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. Momentos de áreas 292.1. Centroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Momentos de área en coordenadas paramétricas . . . . . . . . 302.3. Momentos de área en coordenadas polares . . . . . . . . . . . 302.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Longitud de Arco 433.1. Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Coordenadas Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3. Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5. Momentos de Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
IV
4. Volúmenes de Revolución 534.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Método de Disquetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Volumen en coordenadas paramétricas . . . . . . . . . . . . . 564.4. Volumen en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5. Funciones Vectoriales 595.1. Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Límite y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.1. Definición de Límite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4. Derivada Direccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.1. Forma alternativa de la derivada direccional. . . . . . . 695.4.2. Propiedades del gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5. Derivada Direccional para funciones de tres variables. . . . . . 705.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6. Vectores en el Espacio. 796.0.1. Vector en el Espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.0.2. Componentes de un Vector en el Espacio. . . . . . . . . 806.0.3. Módulo de un Vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.0.4. Distancia entre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . 816.0.5. Vector unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1. Superficies Cilíndricas y Cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . 826.1.1. Superficies Cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.1.2. Superficies Cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2. Vector Tangente Unitario, Normal Principal y Binormal. . . . 866.2.1. Vector Tangente Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.2. Vector Normal Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2.3. Vector Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3. Plano Osculador, Vector Curvatura y Radio de Curvatura. . . 916.4. Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.5. Ejercicio Completo: Plano osculador, normal y rectificante . . 946.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7. Campos Vectoriales 987.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2. Calculo de áreas y volúmenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
V
7.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.4. Cambio a coordenas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.5. Integrales Dobles, cambio de variable de una integral doble . . 103
7.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8. Integrales Triples 1088.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.2. Cambios de variable en una Integral Triple . . . . . . . . . . . 108
8.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.3. Coordenadas Cartesianas-Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4. Coordenadas Cartesianas-Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . 1108.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.6. Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.6.1. Campo Vectorial Conservativo . . . . . . . . . . . . . . 1128.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9. Integrales de Linea. 1149.1. Para Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.2. Para Campo Vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.4. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.5. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.6. Integrales de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.7. Parametrización de algunas funciones . . . . . . . . . . . . . . 1259.8. Integral de Superficie de un Campo Escalar . . . . . . . . . . 125
9.8.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.9. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.9.1. Segunda forma del teorema de Green . . . . . . . . . . 1279.9.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1
Capítulo 1
Definiciones Básicas
1.1. Integral Definida
Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a, b] εR, la integraldefinida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, yrectas x = a y x = b
Se representa por´ baf (x) dx
1.2. Función Integral
2
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta funciónse define la función integral:
F (x) =´ xaf (t) dt
que depende del límite superior de integración.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recintolimitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f enel intervalo [a, b].
1.2.1. Ejemplos1.´ −1−2
dx(x−1)3
=[−1
2(x−1)2
]−1
−2
= −12
[1
(−2)2 − 1(−3)2
]= − 5
72
2.´ 3
2x√x2−1dx
= 12
´ 32 2x (x2 − 1)−
12 dx
=[√x2 − 1
]32
3
=√
8−√
3
3.´ π
0 sen2x dx
=´ π
0
(1−cos2x
2
)dx
=[x2 −
14sen2x
]π0
= π2
4.´ 4
0 x√x2 + 9dx
= 12
´ 40 2x (x2 + 9)
12 dx
=[
13 (x2 + 9)
32
]4
0
= 13
[(25)
32 − 9 3
2]
= 983
1.3. Integrales Impropias.
1.3.1. Ejercicios
1.1
4
y = a3
x2+a2======>x es una asintota.x2y + (a2y − a3) = 0x = ±
√a3−a2y
y
a2(a−y)y≥ o
(−) ≤ 0(+) ≤ a(−)Por ser Funcion par = Puede ser 2 veces la integral.A =
´ 0−ω f(x)dx+
´ +$0 f(x)dx = 2
´ +$0 f(x)dx
2´ +$
0a3
x2+a2dx=2a3limb→$´ b
0dx
x2+a2[limb→$2a3( 1
a)arcTang(x
a)]|b0=
[limb→+$2a2arctang(x
a)]|$0
=2πa2
1.2
y = ln(x)y = 00 ≤ x ≤ e
A =´ 0
1 ln(x)dx+´ e
1 ln(x)dxA = limξ→0
´ 01 ln(x)dx+
´ e1 ln(x)dx
A = limξ→0 [xln(x)− x] |ξ1 + [xln(x)− x] |e1A = [1] + [1] = 2u2
5
1.3
y = xln(x)[(1+x2)2]
0 = xln(x)x = 0x = e0
x = 1limx→$
xln(x)(1−x2)2 = 0
A = −´ 0
1xln(x)
(1+x2)2dx+´ $
1xln(x)
(1+x2)2dx
u = lnx du = 1xdx
dv = xdx(1+x2)2 v = −1
2(1+x2)
A1 = −ln(x)2(1+x2) −
12
´dx
x(1+x2)
x = 1tan(z)dx = Sec2(z)dz´
dxx(1+x2) =
´Sec2(z)dz
tan(z)(1+tan2(z)) =´
Sec2(z)dztan(z)(Sec2(z))
A1 = −ln(x)2(1+x2) −
12
´dz
tan(z)
A1 = −ln(x)2(1+x2) −
12 ln | sen(z) |
A1 = −[ −ln(x)2(1+x2) −
12 ln |
x1+x2 |] |01
6
1.4Sea f(x)=x+ 12(x−1)
y = f(x) ===>su Asintotax = 2x = λλ ≥ 2Calcular el limite del area cuando λ→ $2x(x−1)2+12(x2−2x+1) = 2x3−4x2+2x+1
2x2−4x+22x2−4x+2
x= 1===>Asintota
A =´ $
2dx
2(x−1)2
A = 12
´ $2
dx(x−1)2
A = 12 limb→$
´ b2
dx(x−1)2
A = 12 limb→$[ −1
(x−1) ] |b2
A = −12 limb→$[ −1
(b−1) −11 ]
A = −12 [0− 1
1 ]A = 1
2u2
7
1.5
y2 = x3
2a−x====>Simetrica al eje xy =
√x3
2a−xx3
2a−x ≥ 0A = 2
´ 2a0 x
√x
2a−xdx
x = z2
dx = 2zdzA = 2
´z2∗z∗2zdz√
2a−z2 = 4´
z4dz√2a−z2
z =√
2a sin(θ)dz =
√2a cos(θ)
A = 4´ 4a2sin4(θ)
√2acos(θ)dθ√
2a−2asin2(θ)
A = 16a2 ´ sin4(θ)dθ = 16a2 ´ (1−cos(2θ)2 )2dθ
A = 4a2 ´ (1− 2cos(2θ) + cos2(2θ))dθA = 4a2
[θ − 2sin(2θ)
2 +´ 1+4cos(θ)
2 dθ]
A = 4a2[θ − sin(2ϑ) + 1
2(θ + sin(4θ)4 )
]A = 4a2
[θ − sin(2ϑ) + 1
2θ + sin(4θ)8 )
]A = 4a2
[32θ − sin(2ϑ) + sin(4θ)
4 )]
A = 4a2 lımb→$[
32θ − sin(2ϑ) + sin(4θ)
4 )]|b0
A = 4a2[
32θ − sin(2ϑ) + sin(4θ)
4 )]|π20
A = 4a2[
3π4
]= 3a2π
8
1.4. Cálculo de áreas en coordenadas carte-sianas
dA = f(x1)dx
A = lımx→+∞
n∑i=1
f(xi)dx
A =´ baf(x)dx ⇒ A =
´ baf(x)− 0)dx
Si f(x) es positiva, el área es positivaSi f(x) es negativa, el área es negativa
A =ˆ b
a
0− f(x)dx
A =ˆ a
b
f(x)dx
9
1.4.1. Ejercicios
Calular el área del triángulo
m1 = −15
y − 3 = −15(x+ 2)
y − 3 = −x5 −25
L1 = −x5 + 135
m2 = −53
y − 3 = −53(x+ 2)
y − 3 = −53x−
103
L2 = −53x−
13
m3 = 2y − 2 = 2(x− 3)
y = 2x− 6 + 2L3 = 2x− 4
A =ˆ 1
−2
[(−x5 + 13
5
)−(−5
3x−13
)]dx+
ˆ 3
1
[(x
5 + 135
)−(−5
3x− 2x− 4)]dx
A =ˆ 1
−2
(−3x+ 25x+ 39 + 515
)dx+
ˆ 3
1
(−x+ 10x+ 13 + 205
)dx
A = 115
ˆ 1
−2(22x+ 44) dx+ 1
5
ˆ 3
1(9x+ 33) dx
A = 115(11x2 + 44x)
]1
−2+ 1
5
(92x
2 + 33x) ]3
1
A = 115(11 + 44− 44 + 88) + 1
5(812 + 99− 9
2 − 33)
A = 115(99) + 1
5(102) = 27u2
10
Hallar el área de la región acotada por las parábolassiguientes
y2 = x (1.1)x = −2y2 + 3 (1.2)
x− h = 4p(y − k)2
x− 3 = −2y
(1) = (2)y2 = −2y2 − 3
3y2 + 3 = 0y2 + 1 = 0
y = ±1
Ay =ˆ 1
−1(f(y)− g(x)) dy
Ay =ˆ 1
−1
(−2y2 + 3− y2
)dy
Ay =ˆ 1
−1
(−3y2 + 3
)dy
Ay = −y3 + 3y]1−1
Ay = −1 + 3− (1− 3)Ay = 4u2
11
Calular el área comprendida entre 0 y Π
f(x) = sen(x)g(x) = cos(x)
}= (1)
A =ˆ Π
40
[cos(x)− sen(x)] dx+ˆ π
Π4
[sen(x)− cos(x)] dx
Ay = sen(x) + cos(x) ]Π40 + (−cos(x)− sen(x)) ]ΠΠ
4
A =√
22 +
√2
2 − 0 + 1 + 1− 0−(−√
22−√
22
)A =
√2− 1 + 1 +
√2 = 2
√2u2
Hallar el área comprendida entre x=-1 y x=1
f(x) = ex
g(x) = e−x
}= (2)
12
A =ˆ 0
−1
(e−x − ex
)dx+
ˆ 1
0
(ex − e−x
)dx
A = −e−x − ex]0−1
+ ex + e−x]1
0
A = −(−e− 1
e
)+ e+ 1
e
A = 2e+ 2e
A = 2e2 + 2e
= 6, 17u2
Hallar el área comprendida entre las siguientes curvas:
(3) =
x2 + y2 = a2
x2
b+ y2
a= 1
A =ˆ b
0
a√
1− x2
b2
dx+ˆ a
0
(√a2 − x2
)dx
A = a
b
ˆ b
0
(√b2 − x2
)dx+
ˆ a
0
(√a2 − x2
)dx
cambio1 : x = bsen(u)→ dx1 = bcos(u)ducambio2 : x = asen(m) −→ dx2 = acos(m)dm
13
A = ab
ˆ Π2
0
1 + cos2(u)2 du+ a
ˆ Π2
0
1 + cos2(m)2 dm
A = ab
(1u2 + sen(2u)
4
) ]Π2
0+ a
(1m2 + sen(2m)
4
) ]Π2
0
A = ab
(Π4
)+ a
(Π4
)
A = abΠ4 (1 + a)u2
Encontrar el área determinada entre:
(4) =
y =√x
2y =| 1− x |
14
A =ˆ 1
12
(√x
2−1 + x)dx+
ˆ 2
1
(√x
2−1 + x)dx
A = 1√2
ˆ 1
12
(√x)dx−
ˆ 1
12
(1− x) dx+ 1√2
ˆ 2
1
(√x)dx+
ˆ 2
1(−1 + x) dx
A = − 23√
2(x
32) ]1
12−(x− x2
2
) ]1
12
+ 23√
2(x
32) ]2
1+(x+ x2
2
) ]2
1
A = 0,305−(
1− 12 −
12 + 1
8
)+ 0,86 +
(−2 + 2 + 1− 1
2
)A = 0,305− 1
8 + 0,86 + 12 = 1,54u2
Resolver el /’area del intercepto entre las dos curvas
(5) =
x2 = 1 + 2yy=1 + 2x
y2
2 =√
1 + 2y(y2 − 1
)2= 4 + 8y
y4 − 2y2 − 8y − 3 = 04y3 − 4y − 8 = 0
15
y1 = −0,41x1 = −0,42
y2 = 2,41x2 = 2,41
A = 2ˆ 2,41
−0,41
(√1 + 2y − y
)dy
A = 2ˆ 2,41
−0,41ydy + 2
ˆ 2,41
−0,41
(√1 + 2y
)dy
si : u2 = 1 + 2yudu = dyˆ √1 + 2ydy =
ˆuudu
u3
3 =√
1 + 2y3
3
A = 2(√
1 + 2y3
3
) ]2,41
−0,42+(y2) ]2,41
−0,42= 3,66u2
1.5. Cálculo de áreas en coordenadas para-métricas
f(x, y) =
x = g(t)y = h(t)
16
dx=g’(t)dt
17
dy=h’(t)dt
Ax =ˆ b
a
f(x) dx;ˆ b
a
f(x) dx = F (x)
Ax =ˆ b
a
f(g(t))g′(t)dt
Ax =ˆ b
a
f(g(t))d(g(t))dt = F (g(t))
Ax =ˆ b
a
f(z)dz = F (z)
Ax =ˆ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
Ax =ˆ t2
t1
f(g(t)) · g′(t)dt
A = F (g(t2))− F (g(t1))
Ax =ˆ t2
t1
h(t)g′(t)dt
Ay =ˆ t∗2
t∗1
h(t)g′(t)dt
Límites de integración en dx y dy respectivamente
1.5.1. Ejercicios
Utilizando las identidades trigonométricas pitagóricas
cos2(t) + sen2(t) = 1
18
f(x, y) =
x = acos(t)y = asen(t)
Ax =ˆ 0
Π2
asen(t)(−asen(t))dt
Ax = −ˆ 0
Π2
a2sen2(t)dt
Ax = −a2ˆ 0
Π2
1− cos2(t)2 dt
Ax = −a2(
1t2 −
1sen(2t)4
) ]0
Π2
Ax = a2 Π4 u
2
Ay =ˆ Π
2
0acos(t)(acos(t))dt
Ay =ˆ Π
2
0a2cos2(t)dt
Ay = a2ˆ Π
2
0
1 + cos(2t)2 dt
Ay = a2(
1t2 + 1sen(2t)
4
) ]0
Π2
Ay = a2Π4 u2
19
f(x, y) =
x = asen(t)y = acos(t)
Ax =ˆ 0
Π2
acos(t)acos(t)dt
Ax = a2ˆ 0
Π2
1 + cos(2t2 )dt
Ax = a2(
1t2 + sen(2t)
4
) ]0
Π2
Ax = a2
4 Πu2
Ay =ˆ Π
2
0asen(t)(−asen(t))dt
Ay = −a2ˆ Π
2
0
1− cos2(t)2 dt
Ay = −a2(
1t2 −
cos(2t)4
) ]Π2
0
Ay = a2
4 Πu2
20
Ax = a2ˆ 3Π
2
0cos2(t)dt
Ax = a2ˆ 3Π
2
0
1 + cos(2t)2 dt
Ax = a2(
1t2 + sen(2t)
4
) ] 3Π2
0
A = a2 34Πu2
Ay = −a2ˆ 0
3Π2
sen2(t)dt
Ay = −a2ˆ 0
3Π2
1− cos(2t)2 dt
Ay = −a2(
1t2 −
sen(2t)4
) ]0
3Π2
A = a2 34Πu2
f(x, y) =
x = asen(t) + h
y = bcos(t) + k
21
Ax =ˆ 0
Πydx−
ˆ 2Π
Πydx
Ax = −[ˆ Π
0ydx+
ˆ 2Π
Πydx
]
Ax = −ˆ 2Π
0ydx
Ax = −ˆ 2Π
0[k + bsen(t)] [−asen(t)] dt
Ax =ˆ 2Π
0
[−kasen(t)− absen2(t)
]dt
Ax =ˆ 2Π
0
[kasen(t) + ab
1− cos(2t)2
]dt
Ax =(−kacos(t) + abt
2 −sen(2t)
4
) ]2Π
0
A = ka+ abΠ4 − ka
A = abΠ4 u2
Cicloide
f(x, y) =
x = a(t− sen(t))y = a(1− cos(t))
22
Ax =ˆ 2Π
0ydx
Ax =ˆ 2Π
0a(1− cos(t)a(1− cos(t))dt
Ax = a2ˆ 2Π
0(1− 2cos(t) + cos2(t))dt
Ax = a2ˆ 2Π
0
((1− 2cos(t) + 1 + cos(2t)
2
)dt
Ax = a2(t− 2sen(t) + 1
2t+ 14ssen(2t)
) ]2Π
0
Ax = a2(2Π + Π) = 3Πa2u2
f(x, y) =
x = 4t2 − 4ty = 1− 4t2
1.6. Cálculo de areas en coordenadas polares
23
1.6.1. Discucion de una ecuacion en Coordenadas po-lares
1. cambio de variablesr2 = x2 + y2
x = rcos(θ)y = rsen(θ)
2. Intersecciones
Polar
⇒ θ = 0 + nπ;nεZ
E. normal
θ = π2 + nπ;nεZ
3. Simetria
Eje polar
r(−θ) = r(θ)r(π − θ) = −r(θ)
Eje normal
r(π − θ) = r(θ) r(−θ) = −r(θ)
Polo
−r(θ) = r(θ) r(π + θ) = r(θ)
4. Tabulacion En general el punto (r; θ) puede expresarse como: (r; θ) =(r; θ + 2nπ) o (r; θ) = (−r; θ + (2n+ 1)π)
5. Graficos
24
6. formulas
Sea r = r(θ) la ecuación en coordenadas polares de una curva ysupongamos que r(θ) es continua en el intervalo cerrado [α, β]. Sedefine el area de la region limitada por las curvas y las semirrectasde ecuaciones θ = α y θ = β como la integral:
⇒ 12
´ βαr(θ)2dθ
El area de la region limitada por las curvas de ecuaciones polaresr = r1(θ)yr = r2(θ) y los rayos de ecuaciones θ = αyθ = β sedefine como la integral:
⇒ 12
´ βα
(r2(θ)2 − r1(θ)2)dθ
1.6.2. Ejercicios
r1 = −6cos(θ) y r2 = 2− 2cos(θ)
25
A2 = 1
2
´ βα
(−6cos(θ))2dθ + 12
´ δγ
(2− 2cos(θ))2dθ
dondeα = π
2 ;β = 2π3 ;δ = π;γ = 2π3
−6cos(θ) = 2− 2cos(θ)−6cos(θ) + 2cos(θ) = 2
−4cos(θ) = 1cos(θ) = −1
2
θ = 23π
A2 = 1
2
´ βα
(−6cos(θ))2dθ + 12
´ δγ
(2− 2cos(θ))2dθ como β = γ ⇒
= 12
´ δα
(4− 8cos(θ) + 4(cos(θ))2)dθ
= 12
´ δα
(6− 8cos(θ) + 3cos2(θ))dθ= ([6(θ)− 8sen(θ) + sen2(θ)] con θ = π)−([6(θ)− 8sen(θ) + sen2(θ)] con θ = π
2 )=3π + 1
r1 = 3cos(3θ) y r2 = 2
26
A6 = 1
2
´ βα
22dθ + 12
´ δγ
(3cos(3θ))2dθ
y θ =23 = cos(3θ)arcos(2
3) = 3θθ = 0, 28
A6 = 1
2
´ βα
4dθ + 12
´ δγ
9cos(3θ)2dθ
A6 = 1
2
´ βα
4dθ + 12
´ δγ
9(1+cos6(θ)2 )dθ
= 12
´ βα
4dθ + 12
´ δγ
9(1+cos6(θ)2 )dθ
= 12 [4θ] con θ=0,28 + 9
4 [θ + sen6θ6 ](con θ = π
6 ) - (y con θ = 0, 28)= 0,7368
r = asec2( θ2) y y = x
⇒= acos2( θ
θ2 )
= 2a1+cos(θ)
27
r + rcos(θ) = 2ar = 2ax√x2 + y2 = 2ax
y2 = −4a(x− a)
A=12
´ βα
(asec2( θ2)2)dθ⇒ a2
2
´ βα
(1 + tg2( θ2))sec2( θ2dθ⇒ a2
2
´ βαsec2( θ2) + tg2( θ2)sec2( θ2)dθ a2
2 [2tg2( θ2 + 23tg
3( θ2 ] (conθ = π2 ) -
(conθ = π4 )
= 1,79
28
Capítulo 2
Momentos de áreas
i) dAi = f(xi)dx
ii)dMxi = yi2 dAi dMyi = xidAi
Mx = 12
´ bay2dx My =
´ baxydx
2.1. Centroidesx = My
A; y = Mx
A
29
2.2. Momentos de área en coordenadas para-métricas
x = f(t)y = g(t)
Ax =´ t2t1g(t).f ′(t)dt Ay =
´ t2t1f(t).g′(t)dt
dx : dy :
Mx = 12
´ t2t1
(g(t))2.f ′(t)dt Mx =´ t2t1g(t).f(t).g′(t)dt
My =´ t2t1f(t).g(t).f ′(t)dt My = 1
2
´ t2t1
(f(t))2.g′(t)dt
2.3. Momentos de área en coordenadas pola-res
dA = 12(ri)2dθ
dMx = 23rsen(θ)dA
Mx = 13
´ θfθi
(r(θ))3sen(θ)dAMy = 1
3
´ θfθi
(r(θ)) cos(θ)dA
30
2.4. Ejercicios
Área:A =
´ 0−1(2x+ 2)dx+
´ 10 (−2x+ 2)dx
A = 2(u)
Momentos:Mx = 1
2
´ 0−1(2x+2)2dx+ 1
2
´ 10 (−2x+2)2dx
Mx = 23+ 2
3Mx = 4
3
My =´ 0−1 x(2x+ 2)dx+
´ 10 x(−2x+ 2)2dx
My = −13 + 1
3My = 0
Centroide:x = 0
y =432 = 2
3
(x; y) = (0; 23) x2 + y2 = 42
y2 = 4xy = −x+ 4
31
*Circunferecia y Parábolax2 + 4x = 42
x1 = 2,47x2 = −6,47
*Parábola y Recta4x = (−x+ 4)2
4x = x2 − 8x+ 16x2 − 12x+ 16 = 0
x1 = 10,47x2 = 1,52
*Circunferencia y Rectax2 + (−x+ 4)2 = 42
x2 + x2 − 8x+ 16 = 162x2 − 8x = 0
x1 = 0x2 = 4
t1 :[x = 4 cos(t)y = 4sen(t)
]t2 :
[x = 4 cos(t)y = 4sen(t)
]y2 = 4x y = −x+4
32
t1 = 0,91 t2 = π2
Circunferencia:
Área:A =
´ydx
A =´ 0,91π2
(4sen(t)).(−4sen(t))dtA = −16
2
´ 0,91π2
(1− cos 2(t))dt
A = −8[t− sen(2t)
2
]0,91
π/2A = 9,16(u2)
Momentos:Mx = 1
2
´ 0,91π2
(4sen(t))2.(−4sen(t))dtMx = −32
´ 0,91π2
sen(t)(1−cos2(t))dtMx = −32
´ 0,91π2
(sen(t)−sen(t) cos2(t))dt
Mx = −32[− cos(t) + cos3(t)
3
]0,91
π/2Mx = 17,17
My =´ 0,91π2
(4 cos(t))(4sen(t)).(−4sen(t))dtMy = −64
´ 0,91π2
(sen2(t). cos(t))dt
My =[sen3(t)
3
]0,91
π/2My = 11,09
Recta:
Área:A2 =
´ 1,520 (−x+ 4)dx
A =[−x2
2 + 4x]1,52
0A = 4,9
Momentos:Mx = 1
2
´ 1,520 (−x+4)2dx
Mx = 12
[x3
3 − 8x2
2 + 16x]1,52
0
33
Mx = 8,12
My =´ 1,52
0 x(−x+ 4)dxMy =
[−x3
3 + 2x2]1,52
0My = 3,45
Parábola:
Área:A3 =
´ 2,471,52 2
√xdx
A = 2[
23x
3/2]2,47
1,52A = 2,68
Momentos:Mx = 1
2
´ 2,471,52 4xdx
Mx = 12
[4x2
2
]2,47
1,52Mx = 3,8
My =´ 2,47
1,52 2x3/2dx
My = 2[
25x
5/2]2,47
1,52My = 5,39
Centroide:
Nota: Si las áreas se restan los momentos tambien.
x = My1 −My2 −My3
A1 − A2 − A3= 11,09− 3,45− 5,39
9,17− 4,92− 2,68 = 1,43
y = Mx1 −Mx2 −Mx3
A1 − A2 − A3= 17,17− 8,12− 3,8
9,17− 4,92− 2,68 = 3,34
(x; y) = (1,43; 3,34)
[r1 = 1 + sen(θ)r2 = 2 cos(θ)
]
34
AT = A1 − A2
Cinrcunferencia:
Área:A = 1
2
´ π+0,64π/2 (2 cos(θ))2dθ
A =´ π+0,64π/2 (1− cos(2θ))dθ
A =[θ + sen(2θ)
2
]π+0,64
π/2A = 2,68
Momentos:Mx = 1
3
´ π+0,64−π/2 (2 cos(θ))3sen(θ)dθ
Mx = 83
[cos4(θ)
4
]π+0,64
−π/2Mx = −0,28My = 1
3
´ π+0,64−π/2 (2 cos(θ))3 cos(θ)dθ
My = 2,89
Cardioide:
Área:
35
A2 = 12
´ 0,64−π/2(1 + sen(θ))2dθ
A = 0,71
Momentos:Mx = 1
3
´ 0,64−π/2(1+sen(θ))3sen(θ)dθ
Mx = 83
[cos4(θ)
4
]π+0,64
−π/2Mx = −0,17
My = 13
´ 0,64−π/2(1 + sen(θ))3 cos(θ)dθ
My = 0,54
Centroide:x = My1−My2
A1−A2= 2,89−0,54
2,68−0,71 = 1,19
y = Mx1−Mx2A1−A2
= −0,28−0,172,68−0,71 = −0,224
(x; y) = (1,19;−0,224)
[x = 3 cos3(t)y = 3sen3(t)
]x2 + y2 = 32
θ = 5π3
y = mxy = tan(2π
3 )xy = −
√3x
36
AT = Ac+ AR − AA
Circunferencia:
Área:A = 1
2
´ 5π/33π/2 (3)2dθ
A = 34π
Momentos:Mx = 1
3
´ 5π/33π/2 (3)3sen(θ)dθ
Mx = 9 [− cos(θ)]5π/33π/2Mx = −9
2
My = 13
´ 5π/33π/2 (3)3 cos(θ)dθ
My = 9 [sen(θ)]5π/33π/2My = 1,20
Astroide:
Área:A2 =
´ 3π/2t
3sen3(t)(−3 cos2(t).sen(t))dtA = −9
´ 3π/2−0,876 sen
4(t) cos2(t)dt
37
A = 0,55
Momentos:Mx = 1
2
´ 3π/2t
(3sen3(t))2(−3 cos2(t).sen(t))dtMx = −9
´ 3π/2−0,876 sen
6(t) cos2(t)dtMx = −0,26
My =´ 3π/2t
(3 cos3(t))(3sen3(t))(−3 cos2(t).sen(t))dtMy = −27
´ 3π/2−0,876 cos5(t)sen4(t)dt
My = 0,3
Recta:
Área:A3 =
´ 0x−√
3xdxA3 = −
√3´ 0
0,79 xdxA3 = 1,53
Momentos:Mx = 3
2
´ 00,79 x
2dxMx = 1,63
My = −√
3´ 0
0,79 x2dx
My = 0,55
Centroide:
x = My1−My2−My3A1−A2−A3
= 1,20+0,3−0,552,36+0,55−1,53 = 0,96
y = Mx1−Mx2−Mx3A1−A2−A3
= −4,5−0,26+1,632,36+0,55−1,53 = −3,13
(x; y) = (0,77;−2,35)
[x = t− sen(t)y = 1− cos(t)
]
∗(x− π)2 + (y − 1)2 = 1
38
[x = cos(t) + πy = sen(t) + 1
]
AT = A1 − A2
Cicloide:
Área:
A1=´ 2ππ
(1− cos(t))2dt
A1=´ 2ππ
(1− 2 cos(t) + cos2(t))dtA1=´ 2ππ
(1− 2 cos(t) + 12 + cos(2t)
2 )dtA1=
12
´ 2ππ
(3− 4 cos(t) + cos(2t))dtA1=
12
[3t− 4sen(t) + sen(2t)
2
]2ππ
A1=32π
Momentos:Mx = 1
2
´ 2ππ
(1− cos(t))3dt
Mx = 12
´ 2ππ
(1− 3 cos(t) + 3 cos2(t)− cos3(t))dtMx = 1
2
´ 2ππ
(1− 3 cos(t) + 3(1+cos(2t)2 )− cos(t)(1− sen2(t)))dt
Mx = 12
´ 2ππ
(1− 3 cos(t) + 32(1 + cos(2t))− cos(t) + cos(t)sen2(t)dt
Mx = 14
´ 2ππ
2− 6 cos(t) + 3 + 3 cos(2t)− cos(t) + 2 cos(t)sen2(t)dtMx = 1
4
´ 2ππ
5− 8 cos(t) + 3 cos(2t) + 2 cos(t)sen2(t)dtMx = 1
4
[5t− 8sen(t) + 3
2sen(2t) + 23sen
3(t)]2ππ
Mx = 54π
My =´ 2ππ
(t− sen(t))(1− cos(t))2dt
My =´ 2ππ
(t− sen(t))(1− 2 cos(t) + cos2(t))dtMy =
´ 2ππ
(tsen(t)− 2 + sen(t) cos(t) + tsen(t) cos2(t)dt
39
My = 20,87
Circunferencia:
Área:A2=´ 0π/2(sen(t) + 1)(sen(t))dt−
´ 2π3π/2(sen(t) + 1)(−sen(t))dt
A2=´ 0π/2(sen(t) + 1)(sen(t))dt−
´ 0−π/2(sen(t) + 1)(−sen(t))dt
A2= −´ −π/2π/2 (sen2(t) + sen(t))dt
A2 = −12
´ −π/2π/2 (1 + cos(2t) + 2sen(t))dt
A2 = 12π
Momentos:Mx = −1
2
´ −π/2π/2 (sen(t) + 1)2(−sen(t))dt
Mx = −12
´ −π/2π/2 (sen2(t) + 2sen(t) + 1)(−sen(t))dt
Mx = −12
´ −π/2π/2 (sen3(t) + 2sen2(t) + sen(t))dt
Mx = −π2
My = −´ −π/2π/2 (π + cos(t))(sen(t) + 1)(−sen(t))dt
My =´ −π/2π/2 (πsen(t) + cos(t))(sen(t))(sen(t) + 1)dt
My =´ −π/2π/2 (πsen2(t) + πsen(t) + cos(t)sen2(t) + cos(t)sen(t))dt
My = −5,601
Centroide:
x = My1−My2A1−A2
= 20,87+5,60132π−
π2
= 8,43
y = Mx1−Mx2A1−A2
=54π+π
232π−
π2
= 1,75
(x; y) = (8,43; 1,75)
[x = t− sen(t)y = 1− cos(t)
]
∗(x− π)2 + (y − 2)2 = 22
40
[x = π + 2 cos(t)y = 2 + 2sen(t)
]
A =´ π/2π
ydx−´ ππ−2 2dx+
´ ππ−2 2dx−
´ t∗πycdx−
´ πt∗ yAdx
A =´ t∗πycdx−
´ πt∗ yAdx
t∗ :
(t− sen(t)− π)2 + (1− cos(t)− 2)2 = 22
(t2 + sen2(t) + π2 − 2tsen(t)− 2tπ + 2πsen(t) + (− cos(t)− 1)2) = 4t2 + sen2(t) + π2 − 2tsen(t)− 2tπ + 2πsen(t) + cos2(t) + 2 cos(t) + 1 = 4f(x) = t2 + sen2(t) +π2− 2tsen(t)− 2tπ+ 2πsen(t) + cos2(t) + 2 cos(t) +
6,87 = 0
f ′(x) = 2t+ sen(2t)− 2(t cos(t) + sen(t))− 2π+ 2π cos(t)− 2 cos(t)sen(t)−2sen(t) = 0
f ′(x) = 2t + sen(2t) − 2t cos(t) − 2sen(t)) − 2π + 2π cos(t) − sen(2t) −2sen(t) = 0
f ′(x) = 2t+ 2t cos(t)− 4sen(t)− 2π + 2π cos(t) = 0
Con Newton: t = 2,08[x = 1,207y = 1,487
]t∗ = 2,89
41
Circunferencia:
Área:A1 = −
´ 2,89π/2 (2 + 2sen(t∗))(−2sen(t∗))dt
A1 = 4´ 2,89π/2 sen(t∗)sen2(t∗))dt
A1 = 6,9946
Momentos:
Mx = −12
´ 2,89π/2 (2 + 2sen(t∗))2(−2sen(t∗))dt
Mx = −12
´ 2,89π/2 2(+sen(t∗))2(−2sen(t∗))dt
Mx = 12,78
My = −´ 2,89π/2 (2 + 2 cos(t∗))(π + 2 cos(t∗))(−2sen(t∗))dt
My = 4´ 2,89π/2 (1 + cos(t∗))(πsen(t) + sen(2t∗))dt
My = 11,89
Cicloide:
Área:A2 =
´ π2,89(1− cos(t))2dt
A2 =´ π
2,89(1− 2 cos(t) + cos2(t))dtA2 = 0,9958
Momentos:Mx = 1
2
´ π2,89(1− cos(t))3dt
Mx = 0,99
My =´ π
2,89(t− sen(t∗))(1− cos(t∗)dtMy = 2,89
Centroide:
x = My1−My2A1−A2
= 11,89+2,896,9946+0,9958 = 1,498
y = Mx1−Mx2A1−A2
== 12,78+0,996,9946+0,9958 = 1,965
(x; y) = (1,489; 1,965)
42
Capítulo 3
Longitud de Arco
3.1. Coordenadas Cartesianas
dL2 = dx2 + dy2
dL =√dx2 + dy2
dL =√
1 + (dydx
)2dx
Lx =ˆ a
b
√1 + (f ′(x))2dx
Lx =ˆ a
b
√1 + (y′)2dx
dL =√
1 + (dxdy
)2dx
Lx =ˆ a
b
√1 + (x′)2dx
43
3.2. Coordenadas Paramétricas
L =ˆ π
2
0
√(x′(t))2 + (y′(t))2
3.3. Coordenadas Polares
x = r(θ) cos(θ)⇒ (x′(θ)) = r′(θ) cos(θ) + r(θ)(− sin(θ))y = r(θ) sin(θ)⇒ (y′(θ)) = r′(θ) sin(θ) + r(θ)(cos(θ))
}= f(θ) = r
44
(x′(θ))2 = (r′(θ))2(cos(θ))2 + (r(θ))2(sin(θ))2 − rr′ sin(θ) cos(θ)(y′(θ))2 = (r′(θ))2(sin(θ))2 + (r(θ))2(cos(θ))2 + 2r′r sin(θ) cos(θ)
L =ˆ θ2
θ1
√(x′(θ))2 + (y′(θ))2 dx
L =ˆ θ2
θ1
√(r′ cos(θ)− r sin(θ))2 + (r′ sin(θ) + r cos(θ))2 dθ
L =ˆ θ2
θ1
√(r′(θ))2 + (r(θ))2 dθ
3.4. Ejercicios
Hallar la longitud de la curvar = 1− sin(θ)
45
L =ˆ 2π
0
√(1− sin(θ))2 + (− cos(θ))2 dθ
=ˆ 2π
0
√1− 2 sin(θ) + 1 dθ
=√
2ˆ 2π
0
√1− sin(θ) dθ
˙√1 + sin(θ)√1 + sin(θ)
=√
2ˆ 2π
0
√cos(θ)√
1 + sin(θ)dθ
=√
2,2√
1 + sin(θ)]2π
0
= 2√
2√
1 + sin(2π)− 2√
2√
1 + sin(09= 2
√2√
1 + 0− 2√
2√
1 + 0= 2
√2
Hallar la longitud de la curva
r = sin(θ)(cos(θ))2
r = 2 cos(θ)
sin(θ)(cos(θ))2 = 2 cos(θ)
sin(θ)− 2(cos(θ))3 = 0θ = π
4
x = r cos(θ)
x = sin(π/4)(cos(π/4)2 · cos(π/4)
x = 1
46
L =ˆ 1
0
√1 + (2x)2 dx+
ˆ π/4
π/2
√(2 cos(θ))2 + (−2 sin(θ))2 dθ +
ˆ π/4
π/22 dθ
L =ˆ 1
0
√1 + 4x2 dx+
ˆ π/2
π/42 dθ
L = tan2
2
]2π
0+ 2θ
]π/2π/4
L = π
2 + 1, 48
Ejercicio
x = a(cos(t)− t sin(t))y = a(sin(t)− t cos(t))
}x′ = a(− sin(t) + sin(t))− t cos(t)y′ = a(cos(t)− cos(t) + sin(t)
}
L =ˆ π
0
√(x′(t))2 + (y′(t))2
=ˆ π
0
√a2.t2(cos(t))2 + a2.t2(sin(t))2
=ˆ t
0
√a2.t2((cos(t))2 + (sin(t))2)
=ˆ t
0
√a2.t2(1)
= a
ˆ t
0t dt
= at2
2
]π0
= aπ2
2
Ejercicio
47
x = a(1− θ)y = aθ
}−→ x′ = a(−2θ)
y′ = a
}
a+ a cos(t)a+ a sin(t)
}−→ −a sin(t)
a cos(t)
}
LT =ˆ 1
0
√(a2)4θ2 + a2 dθ +
ˆ 3π/2
π/2
√a2(sin(θ))2 + a2(cos(t))2 dt
LT =ˆ 1
0a√
4θ2 + 1 dθ +ˆ 3π/2
π/2a2 dt
LT = (a2t)]3π/
π/2
LT = a2(3π2 )− a2(π2 )
LT = a2π
3.5. Momentos de Longitud
dL =√
1 + y′ 2dx
48
Mx =´ bay√
1 + y′ 2dx
My =´ bax√
1 + y′ 2dx
Polaresx = r cos θy = r sen θ
r = f(θ)
dL =√r2 + r′ 2dθ
Mx =´ θ2θ1 r(θ)sen θ dL
My =´ θ2θ1 r(θ)cos θ dL
3.5.1. Ejercicios
1)
L1 = −x+ 2
L =´ 2
0
√2dx = 2
√2u
Mx =´ 2
0 (−x+ 2)√
2dx =[√
2(−x2
2 + 2x)]2
0
My =´ 2
0 x√
2dx =[√
2x2
2
]20
49
x = 1 y = 12)
Perimetro del area rayada
L1 = 2√
2Mx1 = 2
√2
My1 = 2√
2
L2 =´ 2
0
√1 + y′ 2dx = 2
Mx2 =´ 2
0 y√
1dy = 2
My2 =´ 2
0 x√
1dy = 0
L3
y = 0 y′ = 0
L3 =´ 2
0√
1 + 0dx = 2
Mx3 =´ 2
0 y√
1dy = 0
My3 =´ 2
0 x√
1dy = 2
x =√
22 y =
√2
2
50
r = 2a cos θr′ = −2a sen θ
i) x = 1 L1ii) x = 1 ////
L1 =´ π/2
0
√(2a cos θ)2 + (2a sen θ)2dθ
L1 = 2a π
Mx =´ π/2
0 2a cos θ sen θ 2a dθ = 2a2
My =´ π/2
0 2a sen θ sen θ 2a dθ = πa2
Calcular el centro de gravedad del Perimetro de la region rayada.
1) y = 12x− a
2)x = a cos (t)3
y = a sin (t)3
51
3)(x+ a)2 + (y + a)2 = a2
x = a cos (s)− ay = a sin (s)− a
Puntos de corte :
Circunferencia y recta : (1) y (3)(x+ a)2 + (−1
2x− a+ a)2 = a2
x(5x+ 8a) = 0x1 = 0 x2 = −8a
5en terminos de (s)−8a
5 = a cos (s)− a −35a = a cos (s) s = 2,21
Momento para L1
L1 =´ a−8a
5
√1 + (1
2)2dx = 4√
55 a
Mx1 =´ a−8a
5y√
52 dx =
√5
2
´ a−8a
5
12x− a dx =
√5
2
[−14 x
2 − ax]
= −12√
525 a2
My1 =´ a−8a
5x√
52 dx =
√5
2
(x2
2
)evaluado : = 16
√5
25 a2
Momento para 2L2 =
´ π2
0
√(−3a(cost)2(sint)2)2 + (3a(sint)2cost)2dt = 3a
2
´ π2
0 sin(2t)dt =−3a
2
Mx2 =´ π
20 acos(t)3
√(−3a(cost)2(sint)2)2 + (3a(sint)2cost)2dt = −3a2
5
My2 =´ π
20 asin(t)3
√(−3a(cost)2(sint)2)2 + (3a(sint)2cost)2dt = −9a2
5
52
Capítulo 4
Volúmenes de Revolución
4.1. Introducción
dA = πr2 = π [f (xi)]2
dV = dA·dx
V = π´ baf(x)2dx
V m = π´ ba(m− f(x))2dx
V = π´ baf(x) dx
V y = π´
(f(x))2dy
V1 =´ 1
0 (22 − 12)dy +´ 4
1 (22 − (y))dy
53
4.2. Método de Disquetes
Volumen respecto al eje X
dV = πf(xi)2dx
V x = π´ ba(f(xi)2 − 02)dx
V x = π´ ba(f(x)− g(x))2dx
V k = π´ ba(f(x) + k)2 − (g(x) + k)2dx
V k = π´ ba(f(x)− k)2 − (g(x)− k)2dx
y = m
π´ ba(m− g(x))2 − (m− f(x))2
METODO DE CASQUETES
54
Respecto al eje y
dV = 2πxif(xi)dx´ baxydx
V y = 2π´ bax(f(x)− g(x))dx
V x = π´ bayxdy
V k = 2π´ ba(f(x) + k.dx)− (g(x) + k.dx)
4.2.1. EjerciciosCalcular el volumen generado por las curvas
g = x3 − 6x2 + 12x− 5f(x) = −x2 + 4x− 3
Verticales
55
x = 1x = 3
V y = 2π´ 3
1 (x)(y − f(x))dx
V = 2π´ 3
1 (x)(x3 − 6x2 + 12x− 5− (−x2 + 4x− 3)dx
V = 2π´ 3
1 (x)(x3 − 6x2 + 12x− 5 + x2 − 4x+ 3)dx
V = 2π´ 3
1 (x) (x3 − 5x2 + 8x− 2)dx
V = 2π´ 3
1 (x4 − 5x3 + 6x2 − 2x− x3 + 5x2 − 8x+ 2)dx
V = 2π´ 3
1 x4 − 6x3 + 13x2 − 10x+ 2 dx
V = 2π[x5
5 −6x4
4 + 13x3
3 −10x2
2 + 2x]‖3
1
V = 2π[x5
5 −3x4
2 + 13x3
3 − 5x2 + 2x] ´‖3
1
V = 2π[
2435 −
2432 + 351
3 − 45 + 6]−[
15 −
32 + 13
3 − 5 + 2]
V = 2π[
5110 −
130
]V = 2π(76
16)
V = 15215 πu
3
4.3. Volumen en coordenadas paramétricas
56
x = a(t− sen(t))y = a(1− cos(t))
V y = 2a =[π´ 2πa
0 2a2dx]−[π´ 2πa
0 (2a− y)]dx
DISCOS
V y = 2a =´ 2πa
0 4a2dx− π´ π
0 (2a− a(1− cost))a(1− cost) dt
V x = π´ 2π
0 (a(1− cost)2)2a (1− cost) dt
Discos=V1 − V2
π´ 2π
0 x2dy − π´ 2π
0 x2dy
= π´ π
0 x2dy − π
´ π0 x
2dy
= π´ π
0 x2dy + π
´ π0 x
2dy
4.4. Volumen en coordenadas polares
57
x = 23r cosθ
y = 23r senθ
V x = 2πd(dA)
= 2πy(12r
2) dθ
= 2πy(
23
)12
´ θ2θ1r3sen(θ) dθ
V x = 2π3
V y = 2π3
´ θ2θ1r3
(θ)cos(θ) dθ
= 2π3
´ π2−π2
(1 + senθ)3cosθ dθ
58
Capítulo 5
Funciones Vectoriales
5.1. DominioPara sacar el dominio de una función parametrizada en R3 de-
bemos analizar si hay restricciones en cada una de las componentesde r(t) = [x(t), y(t), z(t)] y después intersecarlas.
5.1.1. EjemploSea r(t) = (e−t)~i +
(t+√
1− t2)~j +
(1− sec2(t−1)
(t−1)2
)~k determinar su
dominio.
Dominio en x(t):
e−t =⇒ t ∈ R
Dominio en y(t):
1− t2 ≥ 0(1− t)(1 + t) ≥ 0
−+−−2 −1 0 1 2
−∞ • • ∞
Mediante esto tenemos que el dominio de y(t) es:
t ∈ [−1, 1]
59
Dominio en z(t):
1− sec2(t− 1)(t− 1)2
Se analizan los valores que hagan cero el denominador.
t− 1 6= 0t 6= 1
t ∈ R − {1}
También vemos para que valores de t existe la función sec.
sec(t− 1) = 1cos(t− 1)
cos(t− 1) 6= 0t− 1 6= π
2 + nπ
t 6= 1 + π
2 + nπ
t ∈ R −{
1 + π
2 + nπ}
Entonces tendriamos que para z(t) el dominio es:
t ∈ R−{
1, 1 + π
2 + nπ}
Dominio de la Función f(t).
Intersecamos los dominios de x(t), y(t) y z(t):
−2 −1 0 1 2−∞ • ◦
−0,57◦ ∞
Como podemos observar el −0,57 no esta incluido y se debe a quesi reemplazamos n por −1 en la restricción de la secante tenemosque:
t 6= 1 + π
2 + nπ
t 6= 1 + π
2 − π
t 6= 1− π
2 ≈ −0,57
Respuesta: t ∈ R−{−1, 1− π
2
}60
5.2. Límite y Continuidad
5.2.1. Definición de Límite:
∀ε > 0,∃δ > 0 : 0 < |t− c| < δ =⇒ |r(t)− L| < ε
Al calcular un límite podemos saber si una función es continua odiscontinua en un punto. El límite se calcula de la siguiente manera:
lımt→c±
r(t) = ~L
lımt→c±
r(t) =[
lımt→c±
f(t)]~i+
[lımt→c±
g(t)]~j +
[lımt→c±
h(t)]~k
5.2.2. EjemploDemostrar mediante definición que el límite de la función vec-
torial r(t) = (3t, t2) cuando t→ 2 es igual a 6~i+ 4~j.
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |t− 2| < δ =⇒ ||(3t~i+ t2~j)− (6~i+ 4~j)|| < ε
2 < t < 3 =⇒ (3t− 6)~i+ (t2 − 4)~j < ε
4 < t+ 2 < 5 =⇒√
(3t− 6)2 + (t2 − 4)2 < ε
|t+ 2| < 5 =⇒ |3t− 6|+ |t2 − 4| < ε
=⇒ 3|t− 2|+ |t− 2||t+ 2| < ε
=⇒ 3δ + 5δ < ε
=⇒ δ <ε
8
5.3. Ejercicios
Encuentre el dominio.
1. z =√x2+y2−9x
Dominio
x2 + y2 ≥ 32
x 6= 0
Respuesta: El dominio es (x, y) : x2 + y2 ≥ 9
61
2. f(x, y, z) = x√x2−y2−z2+9
x2 − y2 − z2 + 9 ≥ 0z9 + 9 ≥ y2 + z2
Respuesta:
El dominio es
f(x, y, z) : z9 + 9 ≥ y2 + z2√x2 − y2 − z2 + 9 6= 0
3. f(x, y) =√
16− 4x2 − y2
16− 4x2 − y2 ≥ 04x2 + y2 ≤ 42
Respuesta: El dominio es (x, y) : x2 + y2 ≤ 16
Determine el dominio y el rango.1. z =
√25− x2 − y2
25− x2 − y2 ≥ 0x2 + y2 ≤ 52
Dominio: El dominio es (x, y) : x2 + y2 ≤ 52
x2 + y2 ≥ 0−x2 − y2 ≤ 0
25− x2 − y2 ≤ 25√25− x2 − y2 ≤ 5
0 ≤ z ≤ 5
Rango: El rango es 0 ≤ z ≤ 5
2. z =√
16− 4x2 − y2
16− 4x2 − y2 ≥ 04x2 + y2 ≤ 42
62
Dominio: El dominio es (x, y) : x2 + y2 ≤ 16
4x2 + y2 ≥ 016− 4x2 − y2 ≤ 16√16− 4x2 − y2 ≤ 4
−4 ≤ z ≤ 4
Rango: El rango es −4 ≤ z ≤ 4
Determine las curvas de nivel.1. f(x, y) = 4x2 + y2 + 1
4x2 + y2 ≥ 04x2 + y2 + 1 ≥ 1
z ≥ 1
k = 1 → 4x2 + y2 = 0k = 2 → 4x2 + y2 = 1k = 3 → 4x2 + y2 = 2k = 4 → 4x2 + y2 = 3k = 5 → 4x2 + y2 = 4
2. f(x, y) = x
k = 1 → x = 1k = 2 → x = 2k = 3 → x = 3k = 4 → x = 4k = 5 → x = 5
63
3. f(x, y) = 8− x2 − 2y
k = −2 → x2 + 2y = 10k = −1 → x2 + 2y = 9k = 0 → x2 + 2y = 8k = 1 → x2 + 2y = 7k = 2 → x2 + 2y = 6
4. f(x, y) = sin(y − x)
k = −1 → y = x+ π
k = −0,5 → y = x+ 2,09k = 0 → y = x+ π
2k = 0,5 → y = x+ 1,05k = 1 → y = x
Analizar el dominio, continuidad y derivada de las siguientesfunciones vectoriales.
r(t) = sin(t)t~i+ 1
1−t2~j + t~k
Dominio.
f(t):
t ∈ R− {0}
g(t):1− t2 6= 0
(1− t)(1 + t) 6= 0t 6= ±1
t ∈ R− {−1 , 1}
h(t)
t ∈ R
Dominio: t ∈ R− {−1, 0, 1}
64
Límites y Continuidad.Para -1:
lımt→−1±
r(t) = lımt→−1±
sin(t)t
~i+ lımt→−1±
11− t2
~j + lımt→−1±
t~k
lımt→−1±
r(t) = sin(−1±)−1±
~i+ 11− (−1±)2
~j +−1±~k
lımt→−1+
r(t) = (0,8414)~i+∞~j − ~k
lımt→−1−
r(t) = (0,8414)~i−∞~j − ~k
Para 0:
lımt→0±
r(t) = lımt→0±
sin(t)t
~i+ lımt→0±
11− t2
~j + lımt→0±
t~k
lımt→0±
r(t) = sin(0±)0±
~i+ 11− (0±)2
~j + 0±~k
lımt→0+
r(t) = ~i+~j
lımt→0−
r(t) = ~i+~j
Para 1:
lımt→1±
r(t) = lımt→1±
sin(t)t
~i+ lımt→1±
11− t2
~j + lımt→1±
t~k
lımt→1±
r(t) = sin(1±)1±
~i+ 11− (1±)2
~j + 1±~k
lımt→1+
r(t) = 0,8414~i−∞~j + ~k
lımt→1−
r(t) = 0,8414~i+∞~j + ~k
Derivadas.
r′(t) =[
sin(t)t
~i+ 11− t2
~j + t~k
]′
r′(t) = cos(t)t− sin(t)t2
~i− 2t(1− t2)2
~j + ~k
65
r(t) = csc t~i+ 1−t2
1−t~j + t~k
Dominio.
f(t):
csc t = 1sin t
sin t 6= 0t 6= nπ
t ∈ R − {nπ}
g(t):
1− t 6= 0t ∈ R − {1}
h(t)
t ∈ R
Dominio: t ∈ R− {1, nπ}
Límites y Continuidad.Para 1:
lımt→1±
r(t) = lımt→1±
csc t~i+ lımt→1±
1− t21− t
~j + lımt→1±
t~k
lımt→1±
r(t) = csc 1±~i+ 1− (1±)2
1− 1±~j + 1±~k
lımt→1±
r(t) = 1,188~i+ 2~j + ~k
Para nπ:
lımt→π±
r(t) = lımt→π±
csc t~i+ lımt→π±
1− t21− t
~j + lımt→π±
t~k
lımt→π±
r(t) = cscπ±~i+ 1− (π±)2
1− π±~j + π±~k
lımt→π±
r(t) = ∞~i+ 4,1415~j + 3,1415~k
Derivadas.
r′(t) =[csc t~i+ 1− t2
1− t~j + t~k
]′r′(t) = − csc t · cot t~i+~j + ~k
66
r(t) = t~i+ t2−4t2−2t
~j + 1t~k
Dominio.
f(t):
t ∈ R
g(t):t2 − 2t 6= 0t(t− 2) 6= 0t ∈ R − {0, 2}
h(t)
t 6= 0t ∈ R − {0}
Dominio: t ∈ R− {0, 2}
Límites y Continuidad.Para 0:
lımt→0±
r(t) = lımt→0±
t~i+ lımt→0±
t2 − 4t2 − 2t
~j + lımt→0±
1t~k
lımt→0±
r(t) = 0±~i+ (0±)2 − 4(0±)2 − 2(0±)
~j + 10±~k
lımt→0+
r(t) = ∞~j +∞~k
lımt→0−
r(t) = −∞~j −∞~k
Para 2:
lımt→2±
r(t) = lımt→2±
t~i+ lımt→2±
t2 − 4t2 − 2t
~j + lımt→2±
1t~k
lımt→2±
r(t) = 2±~i+ (2±)2 − 4(2±)2 − 2(2±)
~j + 12±~k
lımt→2±
r(t) = 2~i+ 2~j + 12~k
Derivadas.
r′(t) =[t~i+ t2 − 4
t2 − 2t~j + 1
t~k
]′r′(t) = ~i+ 2
t2~j + 1
t2~k
67
r(t) = t2~i+ 3t~j + 1−cos tt~k
Dominio.
f(t):
t ∈ R
g(t):
t ∈ R
h(t)
t 6= 0t ∈ R − {0}
Dominio: t ∈ R− {0}
Límites y Continuidad.Para 0:
lımt→0±
r(t) = lımt→0±
t2~i+ lımt→0±
3t~j + lımt→0±
1− cos tt
~k
lımt→0±
r(t) = lımt→0±
t2~i+ lımt→0±
3t~j + lımt→0±
sin t1~k
lımt→0±
r(t) = (0±)2~i+ 3 · 0±~j + sin 0±1
~k
lımt→0±
r(t) = 0~i+ 0~j + 0~k
Derivadas.
r′(t) =[t2~i+ 3t~j + 1− cos t
t~k]′
r′(t) = 2t~i+ 3~j + sin t · t− 1 + cos tt2
~k
r(t) = et~i+ 1et~k
Dominio.
f(t):
t ∈ R
h(t)
et 6= 0t ∈ R
Dominio: t ∈ R
68
Límites y Continuidad.No hay puntos de discontinuidad.
Derivadas.
r′(t) =[et~i+ 1
et~k]′
r′(t) = et~i− 1et~k
5.4. Derivada Direccional.Si f es una función diferenciable en x e y, su derivada direccional
en la dirección del vector unitario
~u = cos θ~i+ sin θ~j
Denotado por D~uf(x, y) se define como:
D~uf(x, y) = lımt→0
f(x+ t cos θ, y + t sin θ)− f(x, y)t
5.4.1. Forma alternativa de la derivada direccional.Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional
en la dirección del vector unitario ~u = cos θ~i+ sin θ~j es:
D~uf(x, y) = ~∇f(x, y) · ~u= fx(x, y) cos θ + fy(x, y) sin θ
5.4.2. Propiedades del gradiente.Si ~∇f(x, y) = ~0 entonces D~uf(x, y) = 0 para todo ~u.
La dirección de máximo crecimiento de f viene dado por~∇f(x, y).
El valor máximo de D~uf(x, y) es ‖~∇f(x, y)‖.
La dirección de mínimo crecimiento de f viene dado por −~∇f(x, y).
El valor mínimo de D~uf(x, y) es −‖~∇f(x, y)‖.
69
5.5. Derivada Direccional para funciones detres variables.
Si f es una función diferenciable en x, y, z su derivada direccionalen la dirección del vector unitario ~u = a~i+ b~j + c~k es:
D~uf(x, y, z) = ~∇f(x, y, z) · ~u= fx(x, y, z)a+ fy(x, y, z)b+ fz(x, y, z)c
5.6. Ejercicios.1. Calcular la derivada direccional del campo escalar f(x, y) =
3x2 + y2 en el punto P (−34 ; 0) en la dirección del vector PQ,
siendo Q(0,1).
~∇f = (6x, 2y)~∇f(−3/4,0) =
(−9
2 , 0)
PQ = Q− P
=(3
4 , 1)
D~uf(x, y, z) = ~∇f · ~u
=(−9
2 , 0)·(3
5 ,45
)= −27
10
2. Dado el campo escalar f(x, y, z) = 3x − 5y + 2z determinar laderivada direccional:
a) En el punto Duf(2, 0, 2)b) En la dirección del vector normal a la superficie al vector
S : (x− 1)2 + (y + 1)2 + z2 = 6c) Cual es la dirección en la que la derivada tiene su mayor
valor en el punto a).
70
3. Un insecto se halla en un medio ambiente toxico, el nivel detoxicidad esta dado por 2x2−4y2 si el insecto esta ubicado en (-1,2) en que dirección debera moverse para evitar la toxicidad.
∇f = (4x;−8y)= (−4,−16)
=(√
1717 ;−4
√17
17
)
Respuesta: El insecto deberá moverse en esa dirección paraalejarse de la toxicidad.
4.
Dadas las superficies
S1 : x2 − y2 − z = 0S2 : x2 + y2 + z = 0
~a = (2, 1, 3)
Hallar la dericada del campo dreccional del campo escalarf(x, y, z) = xyz + xy − yz a lo largo de la curva de interseccionde S1 ∧ S2 en el punto ~a.
1. Calcular ~r′(t),´ 1
0 ~r(t)dt donde ~r(t) es una trayectoria definida por:a) ~r(t) = (t, t2, t3)
Derivada:
r′(t) = (t, t2, t3)= (1, 2t, 3t2)
Integral: ˆ 1
0~r(t) =
ˆ 1
0(t, t2, t3)dt
=(t2
2 ,t3
3 ,t4
4
)1
0
=(
12
2 ,13
3 ,14
4
)−(
02
2 ,03
3 ,04
4
)
=(1
2 ,13 ,
14
)
b) ~r(t) =(
2t1+t2 ,
1√1−t2 ,
11+t2
)71
Derivada:
r′(t) =(
2t1 + t2
,1√
1− t2,
11 + t2
)
=(
2(1 + t2)− 2t · 2t(1 + t2)2 ,
2t2(1− t2)
√1− t2
,−2t
(1 + t2)2
)
=(
2− 2t2(1 + t2)2 ,
t
(1− t2)√
1− t2,−2t
(1 + t2)2
)
Integral:ˆ 1
0~r(t) =
ˆ 1
0
(2t
1 + t2,
1√1− t2
,1
1 + t2
)dt
=(ln(1 + t2), arcsin(t), arctan(t)
)1
0= (ln(2), arcsin(1), arctan(1))− (ln(1), arcsin(0), arctan(0))
=(
ln(2), π2 ,π
4
)c) ~r(t) = (sin(t), cos(t), t cos(t))
Derivada:
r′(t) = (sin(t), cos(t), t cos(t))= (cos(t),− sin(t), cos(t)− sin(t)t)
Integral:ˆ 1
0~r(t) =
ˆ 1
0(sin(t), cos(t), t cos(t)) dt
= (− cos(t), sin(t), t sin(t) + cos(t))10
= (− cos(1), sin(1), sin(1) + cos(1))− (− cos(0), sin(0), cos(0))= (0,4596; 0,8414; 0,3817)
d) ~r(t) = (tet, t2et, te−t)
Derivada:
r′(t) =(tet, t2et, te−t
)=
(et(1 + t), ett(2 + t), e−t(1− t)
)
72
Integral:ˆ 1
0~r(t) =
ˆ 1
0
(tet, t2et, te−t
)=
(et(t− 1), et(t2 − 2t+ 2),−e−t(t+ 1)
)1
0
=(0, e,−2e−1
)− (−1, 2,−1)
= (1; 0,7182; 0,2642)
2. Sean ~u y ~v vectores de Rn fijos. Sea ~r(t) = e2t~u+ e−2t~v, demostrarque r′′(t) tiene la misma dirección que ~r(t) .
r(t) = e2t~u+ e−2t~v
r′(t) = 2e2t~u− 2e−2t~v
r′′(t) = 4e2t~u+ 4e−2t~v
r(t) = (e2tux + e−2tvx, e2tuy + e−2tvy, e
2tuz + e−2tvz)r′′(t) = [4(e2tux + e−2tvx), 4(e2tuy + e−2tvy), 4(e2tuz + e−2tvz)]
Para que los vectores r(t) y r′′(t) sean vectores en la misma direcciónse debe cumplir que:
r(t) · r′′(t) = ‖r(t)‖‖r′′(t)‖
r(t) · r′′(t) = 4(e2tux + e−2tvx)2 + 4(e2tuy + e−2tvy)2 + 4(e2tuz + 4e−2tvz)2
r(t) · r′′(t) = 4[(e2tux + e−2tvx)2 + (e2tuy + e−2tvy)2 + (e2tuz + e−2tvz)2]
‖r(t)‖‖r′′(t)‖ =√
(e2tux + e−2tvx)2 + (e2tuy + e−2tvy)2 + (e2tuz + e−2tvz)2 ·
4√
(e2tux + e−2tvx)2 + (e2tuy + e−2tvy)2 + (e2tuz + e−2tvz)2
= 4[(e2tux + e−2tvx)2 + (e2tuy + e−2tvy)2 + (e2tuz + e−2tvz)2]
Podemos ver que r(t)·r′′(t) es igual a ‖r(t)‖‖r′(t)‖ por lo que podemosafirmar r(t) y r′′(t) son vectores paralelos (en la misma dirección).
3. Dados los vectores fijos ~u, ~v y la trayectoria ~r tal que r′′(t) = t~u+~v.Determinar la trayectoria ~r(t), si ~r(0) = (1,−1, 1) y r′(0) = (2, 0,−1).
73
Como son vectores fijos podemos decir que:
r′′(t) = t~u+ ~v
r′(t) = t2
2 ~u+ t~v + C1
r(t) = t3
6 ~u+ t2
2 ~v + tC1 + C2
Resolvemos mediante los datos dados:
r′(0) = 02
2 ~u+ 0~v + C1
(2, 0,−1) = C1
r(0) = 03
6 ~u+ 02
2 ~v + 0C1 + C2
(1,−1, 1) = C2
Reemplazamos:
r(t) = t3
6 ~u+ t2
2 ~v + t(2, 0,−1) + (1,−1, 1)
5. Calcular la longitud de las siguientes curvas paramétricas:
Longitud: L(~r) =´ ba‖r′(t)‖
a) ~r(t) = (5t, 4t2, 3t2) para t ∈ [0, 2]ˆ 2
0‖r′(t)‖ =
ˆ 2
0‖(5, 8t, 6t)‖
=ˆ 2
0
√25 + 64t2 + 36t2dt
= 5ˆ 2
0
√1 + (2t)2dt
= 52
(t√
1 + (2t)2 + 12 ln(2t+
√1 + (2t)2)
)2
0
= 52
(2√
17 + 12 ln(4 +
√17)
)≈ 23,234
74
b) ~r(t) = (t2, t sin t, t cos t) para t ∈ [0, 1]ˆ 1
0‖r′(t)‖ =
ˆ 1
0‖(2t, sin t+ t cos t, cos t− t sin t)‖
=ˆ 1
0
√√√√ 4t2 + sin2 t+ 2t sin t cos t+ t2 cos2 t
+ cos2 t− 2t sin t cos t+ t2 sin2 tdt
=ˆ 1
0
√(√
5t)2 + 1dt
= 1√5
(√5t2√
5t2 + 1 + 12 ln(√
5t+√
5t2 + 1))1
0
= 1√5
(√5
2√
6 + 12 ln(√
5 +√
6))
≈ 1,57
c) ~r(t) = (et cos t, et, et sin t) para t ∈ [0, 2π]ˆ 2π
0‖r′(t)‖ =
ˆ 2π
0‖(et cos t− et sin t, et, et sin t+ et cos t)‖
=ˆ 2π
0
√√√√ e2t + e2t cos2 t− 2e2t sin t cos t+ e2t sin2 t
+e2t sin2 t+ 2e2t sin t cos t+ e2t cos2 tdt
=√
3ˆ 2π
0e2tdt
=√
32(e2t)2π
0
=√
32 (e4π − 1)
≈ 248333,0557
75
d) ~r(t) = (3t2, t3, 6t) para t ∈ [0, 1]ˆ 1
0‖r′(t)‖ =
ˆ 1
0‖(6t, 3t2, 6)‖
= 3ˆ 1
0
√t4 + 4t2 + 4
= 3ˆ 1
0
√(t2 + 2)2
= 3(t3
3 + 2t)1
0
= 3(1
3 + 2)
= 7
6. Determinar la componente tangencial y normal del vector acele-ración en todo punto de la curva dada por la ecuación paramétrica~r(t) = (4 cos t, 9 sin t, t).
Primero calculamos el vector aceleración (~a), que viene dado porr′′(t):
~r(t) = (4 cos t, 9 sin t, t)~v(t) = (−4 sin t, 9 cos t, 1)
Como ya tenemos ~v(t) debemos encontrar v(t)y a esta derivarla(da como resultado ~a), esto nos permite encontrar la componentetangencial en cada punto:
v(t) =√
16 sin2 t+ 81 cos2 t+ 1
v′(t) = 16 sin t cos t− 81 cos t sin t√16 sin2 t+ 81 cos2 t+ 1
= − 65 sin t cos t√16 sin2 t+ 16 cos2 t+ 65 cos2 t+ 1
= − 65 sin t cos t√17 + 65 cos2 t
Para encontrar el vector normal debemos aplicar:
aN = v(t)‖~T ′(t)‖
76
~T (t) = ~v(t)v(t)
= (−4 sin t, 9 cos t, 1)√17 + 65 cos2 t
=(
−4 sin t√17 + 65 cos2 t
,9 cos t√
17 + 65 cos2 t,
1√17 + 65 cos2 t
)
~T ′(t) =−4 cos t
√17 + 65 cos2 t− 260 sin2 t cos t√
17+65 cos2 t
17 + 65 cos2 t,−9 sin t
√17 + 65 cos2 t+ 585 sin t cos2 t√
17+65 cos2 t
17 + 65 cos2 t,
− 65 cos t sin t√(17 + 65 cos2 t)3
= −4 cos t(17 + 65 cos2 t)− 260 sin2 t cos t√(17 + 65 cos2 t)3
,−9 sin t(17 + 65 cos2 t) + 585 sin t cos2 t√
(17 + 65 cos2 t)3,
− 65 cos t sin t√(17 + 65 cos2 t)3
=− 328 cos t√
(17 + 65 cos2 t)3,− 153 sin t√
(17 + 65 cos2 t)3,− 65 cos t sin t√
(17 + 65 cos2 t)3
‖~T ′(t)‖ =
√√√√3282 cos2 t+ 1532 sin2 t+ 652 sin2 t cos2 t
(17 + 65 cos2 t)3
=
√√√√84175 cos2 t+ 1532 + 652 sin2 t cos2 t
(17 + 65 cos2 t)3
=
√√√√84175 cos2 t+ 1532 + 652(1− cos2 t) cos2 t
(17 + 65 cos2 t)3
=
√√√√−652 cos4 t+ 88400 cos2 t+ 1532
(17 + 65 cos2 t)3
=
√√√√(65 cos2 t− 1377) (65 cos2 t+ 17)(17 + 65 cos2 t)3
=√
65 cos2 t− 137717 + 65 cos2 t
77
Ahora aplicamos aN = v(t)‖~T ′(t)‖:
aN =√
17 + 65 cos2 t√
65 cos2 t− 137717 + 65 cos2 t
=√
1377− 65 cos2 t√17 + 65 cos2 t
78
Capítulo 6
Vectores en el Espacio.
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazan-do un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejesX e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados:
XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ochoregiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordena-das son positivas.
6.0.1. Vector en el Espacio.Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que
tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
79
6.0.2. Componentes de un Vector en el Espacio.Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2)
Las coordenadas o componentes del vector ~AB son las coordenadasdel extremo menos las coordenadas del origen.
~AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
6.0.3. Módulo de un Vector.El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado
que lo define.El módulo de un vector es un número siempre positivo y sola-
mente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
~U = (U1, U2, U3)∣∣∣~U ∣∣∣ =√U2
1 + U22 + U2
3
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
A(x1, y1, z1)B(x2, y2, z2)
∣∣∣ ~AB∣∣∣ =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
80
6.0.4. Distancia entre dos puntos.La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que
tiene de extremos dichos puntos.
d(A,B) =∣∣∣ ~AB∣∣∣ =
√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
6.0.5. Vector unitario.Un vector unitario tiene de módulo la unidad.La normalización de un vector consiste en asociarle otro vec-
tor unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado,dividiendo cada componente del vector por su módulo.
~U~V =~V∣∣∣~V ∣∣∣
Ejercicios.1. Dada la curva definida por y = x2. Determinar el vector tan-
gente unitario, el normal principal y el plano osculador en el punto(√
32 ,
34).x = t; y = t2 → ~r(t) = (t, t2) es la curva parametrizada~r′(t) = (1, 2t) es el vector tangente en cada punto~
r′(√
32 ) = (1,
√3) es el vector tangente en t =
√3
2~
r′(√
32 ) = 1
2(1,√
3) es el vector tangente unitario en t =√
32
Como el vector ~T (t) = 1√1+4t2 (1, 2t) es el vector tangente unitario
en cada puntoDerivando este vector se tiene que ~T ′(t) = 1
(√
1+4t2)3 (−4t, 2)~~N(t) = ~T ′(t)
‖ ~T ′(t)‖ = 1√1+4t2 (−2t, 1)
~~N(√
32 ) = 1
2(−√
3, 1) es el vector normal principal a la curva en:
t =√
32
2. Dada la ecuacion paramétrica de la trayectoria ~r definidapor: ~r(t) = (1, cos t, 2 + 2 sin t). Determinar la ecuación de la curvacartesiana.
Las ecuaciones parametricas son: {x = 1; y = cos t; z = 2 + 2 sin t}
81
~y2 + (z − 2)2
4 = 1 ∧ x = 1
que es la ecuación cartesiana de una elipse que esta ubicada enun plano paralelo a plano YZ cuando x=1
6.1. Superficies Cilíndricas y Cuádricas.
6.1.1. Superficies Cilíndricas.Sea C una curva plana y l una recta que corta a C pero que no
está en el plano de C. El conjunto de todos los puntos sobre rectasque son paralelas a l y que corten a C se llama un cilindro.
Los cilindros que aparecen de manera natural al graficar unaecuación en el espacio tridimensional, que implique a solo dos va-riables.
6.1.2. Superficies Cuádricas.Si una superficie es la gráfica en el espacio tridimensional de la
ecuación de segundo grado.
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0
se le llama una superficie cuádrica.
82
Las secciones planas de una superficie cuádrica son cónicas. Sepuede mostrar que toda ecuación cuádrica se puede reducir a unade las formas mediante rotación y traslación de los ejes de coorde-nadas
Ax2 +By2 + Cz2 + J = 0
Ax2 +By2 + Iz = 0
Tipos de Superficies Cuádricas1. Elipsoide.
La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coor-denadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1
2. Hiperboloide de un manto.
x2
a2 + y2
b2 −z2
c2 = 1
83
3. Hiperboloide de dos mantos.
x2
a2 + y2
b2 −z2
c2 = −1
4. Paraboloide elíptico.Un paraboloide será elíptico cuando los términos cuadráticosde su ecuación canónica sean del mismo signo:
84
(x
a
)2+(y
b
)2− z = 0
Si además es a = b, el paraboloide elíptico será un paraboloi-de de revolución, que es la superficie resultante de girar unaparábola en torno a su eje de simetría.
5. Paraboloide hiperbólico.Un paraboloide será hiperbólico cuando los términos cuadrá-ticos de su ecuación canónica sean de signo contrario:
(x
a
)2−(y
b
)2− z = 0
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente re-glada por lo que se puede construir a partir de rectas. Por
85
su apariencia, también se lo denomina superficie de silla demontar.
6. Cono elíptico.
x2
a2 + y2
b2 = z2
c2
6.2. Vector Tangente Unitario, Normal Prin-cipal y Binormal.
6.2.1. Vector Tangente UnitarioLa tangente de una curva es una recta que interseca la curva
en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculoque mediante la diferenciación de una función se obtiene el puntotangencial para la curva de esa función. Un concepto similar esaplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción.
Para una función con un vector de la forma, (x), un vector dela forma es llamado vector tangente en el caso de que esta funciónsea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, latangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralelaal vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vectortangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que unvector de magnitud cero no puede tener dirección.
De manera similar, un vector tangencial unitario es definidocomo,
~T =~F (t)∥∥∥~F (t)
∥∥∥86
~T =~F (t)s
~T = δF
δs
Aquí s es la longitud total del arco dado, (t) es el vector posiciónde la función dada y t es la variable de parametrización.
6.2.2. Vector Normal PrincipalUn vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga
que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces elvector normal para la función dada es definida como,
~N =~T (t)∥∥∥~T (t)
∥∥∥un vector normal es un vector que está perpendicular a un plano
o superficie dada.
6.2.3. Vector BinormalUn vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del
vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para unafunción (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormalpara la función dada se define como,
~B = ~TX ~N
El vector Binormal es también un vector unitario que se en-cuentra normal al vector tangente y al vector normal.
Ejercicios1. Un gas obedece la ley del gas ideal PV=8T. El gas se calienta
a razon de 2/min y la presion aumenta a razon de 12( kgf
cm2 )/min. Encierto momento, la temperatura es de 200 y la presion es de 10 kgf
cm2 .Calcular la rapidez de cambio de volumen en ese momento.
V = 8T/P
δv
δt= δV
δt(a)δT
δt+ δV
δP(a)δP
δtdondea = (T, P ) = (200, 10)
87
=∣∣∣∣∣81p
∣∣∣∣∣v=80R=40
(5) +∣∣∣∣− V
R2
∣∣∣∣v=80R=40
(−2)
= 540 + 160
1600 = 940 = 0,225A/min
2. Dado r(t) = 〈2 cos t, 2 sin t, t〉.Hallar {T (t)N(t)B(t)} , {P.Osculador;P.Normal;P.Rectificante}Para t = π
4
r(π4 ) =⟨√
2,√
2, π4
⟩
r′(t) = 〈−2 sin t, 2 cos t, 1〉
‖r′(t)‖ =√
4sin t2 + 4cos t2 + 1 =√
5
a)T (t) = r′(t)‖r′(t)‖ = −2 sin t√
5~i+ 2 cos t√
5~j + 1√
5~k
T ′(t) = −2 cos t√5~i− 2 sin t√
5~j + 0~k
‖T ′(t)‖ =√
45cos t2 + 4
5sin t2 =√
45
b)N(t) = T ′(t)‖T ′(t)‖ =
√54(− 2√
5cost)~i−
√54(− 2√
5sint)~j
N(t) = − cos t~i− sin t~jc) B(t) = T (t)⊗N(T )
B(t) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k
−2√5
sin t2√5
cos t 1√5
− cos t − sin t 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣B(t) = − 1√
5sin t~i+ 1√
5cos t~j −
(2√5sin t2 +
2√5cos t2
)~k
B(t) = 1√5
sin t~i− 1√5
cos t~j +2√5~k
88
Sabiendo que:
B(t)enπ
4 =(√
1010 ,−
√10
10 ,2√
55
)
T (t)enπ
4 =(−√
105 ,
√105 ,
1√5
)
N(t)enπ
4 =(−√
22 ,
√2
2 , 0)yr(t)en
π
4 =(√
2,√
2,π
4
)Plano Osculador
Π = B(t)⊙
r(t)
=⟨√
1010 ,−
√10
10 ,2√
55
⟩⟨x−√
2, y −√
2, z − π
4
⟩
=√
1010 (x−
√2)−
√10
10 (y −√
2) + 2√
55 (z − π
4 )
Plano Normal
Π = T (t)⊙
r(t)
=⟨−√
105 ,
√105 ,
1√5
⟩⟨x−√
2, y −√
2, z − π
4
⟩
= −√
105 (x−
√2) +
√105 (y −
√2) + 1√
5(z − π
4 )
Plano Rectificante
Π = N(t)⊙
r(t)
=⟨−√
22 ,−
√2
2 , 0⟩⟨
x−√
2, y −√
2, z − π
4
⟩
= −√
22 (x−
√2)−
√2
2 (y −√
2)
3. Dado: r(t) =< 2cost, 2sint, t >. Hallar el plano osculador:
r(t) =< 2cost, 2sint, t >
89
r′(t) =< −2sint, 2cost, 1 >
‖r′(t)‖ =√
4sint2 + 4cost2 + 1
‖r′(t)‖ =√
4(1) + 1
‖r′(t)‖ =√
5
T (t) = r′(t)‖r′(t)‖
T (t) =< −2sint+ 2cost+ 1√5
>
T (t) =< − 2√5sint+ 2√
5cost+ 1√
5>
T ′(t) =< − 2√5cost− 2√
5sint >
‖T ′(t)‖ =<√
45cos
2(t)− 45sen
2(t)
‖T ′(t)‖ = 2√5
N(t) = T ′(t)‖T ′(t)‖
N(t) =< − 2√
5cost−2√5sint >
2√5
N(t) =< −cost− sint >
B(t) = T (t)xN(t)B(t)
B(t) =< 1√5sint,− 1√
5cost,
2√5
(sint2 + cost2) >
Ent = π
4 → B(t) =<√
1010 ,−
√10
10 ,2√
55 >
90
Plano Osculador:
π = B(t).r(t) =<√
1010 ,−
√10
10 ,2√
55 > • < x−
√2, y −
√2, z − π
4 >
π =<√
1010 (x−
√2),−
√10
10 (y −√
2), 2√
55 (z − π
4 ) >
Plano Normal:
π = T (t).r(t) =< −√
105 (x−
√2),√
105 (y −
√2), 1√
5(z − π
4 ) >
Plano Rectificante:
π = N(t).r(t) =< −√
22 (x−
√2),−
√2
2 (y −√
2) >
6.3. Plano Osculador, Vector Curvatura y Ra-dio de Curvatura.
Ejercicios1. Hallar la curvatura de:
x2
4 + y2 = 1
x = 2 cos ty = 2 sin t
r(t) =< 2 cosx, sin t > r′(t) =< −2 sin t, cos t >
r′′(t) =< −2 cos t,− sin t >
‖r′(t)‖ =√
4 sin2 t+ cos2 t
|r′(t)|3 = (4 sin2 t, cos2 t)32
91
r′(t)xr′′(t) =∣∣∣∣∣−2 sin t cos t−2 cos t − sin t
∣∣∣∣∣ = 2 sin2 t+ 2 cos2 t = 2
K = r′(t)xr′′(t)|r′(t)|3
= 2(4 sin2 t+ cos2 t)3/2
2. Hallar la curvatura de:
r(t) =< a cos (wt), a sin (wt), bwt > r′(t) =< −aw sin (wt),−aw cos (wt), bw >
r′′(t) =< −aw2 cos (wt),−aw2 sin (wt), 0 >
r′(t)xr′′(t) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
−aw sin (wt) aw cos (wt) bw−aw2 cos (wt) −aw2 sin (wt) 0
∣∣∣∣∣∣∣r′(t)xr′′(t) =< abw3 sin (wt)~i,−abw3 cos (wt)~j, a2w3 >
|r′(t)| =√a2w2 sin2 (wt)+a2w2 cos2 (wt) + b2w2
|r′(t)| = w√a2 + b2
|r′(t)|3 = w3(a2 + b2)3/2
K = r′(t)xr′′(t)|r′(t)|3
K =
√√√√a2b2(sin2 (wt) + cos2 (wt))(a2 + b2)3 + a4
(a2 + b2)3
K = a√b2 + a2
(a2 + b2)3/2
K = a
(a2 + b2)
92
6.4. Derivadas ParcialesEn matemática, una derivada parcial de una función de diversas
variables, es su derivada respecto a una de esas variables mante-niendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útilesen cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x serepresenta con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
δf
δx= δxf = f ′x
Ejercicios1. Calcule las derivadas parciales de primer orden:a)f (x) = sin (cos (x2 + y2))
δf
δx= cos (cos (x2 + y2))(− sin (x2 + y2))(2x)
δf
δx= cos (cos (x2 + y2))(− sin (x2 + y2))(2y)
b)f (x, y) = tan√x2y
δz
δx= sec2
√x2y( 2xy
2√x2y
) = √y sec2√x2y
δz
δy= sec2
√x2y
2x2√x2y
= 1√y
sec2√x2y
c)f (x, y) = x+yx−y ;x 6= y
δz
δx= (x− y)− (x+ y)
(x− y)2 = −2y(x− y)2
δz
δy= (x− y)− (x+ y)(−1)
(x− y)2 = 2x(x− y)2
Calcule todas las derivadas de segundo orden:a)f (x, y) = ln (x2y2)
δz
δx= 1x2y2 (2xy2) = 2
x
δ2z
dx2 = 2(−1)x2 = − 2
x2
93
δz
δy= 2x2y
x2y2 = 2y
δ2z
dy2 = 2(−1)y2 = − 2
y2
b)f (x, y) = x3 + y3 + x2y
δz
δx= 3x2 + 2xy = 3x2 + 2xy δ2z
δx2 = 6x+ 2y
δz
δy= 3y2 + x2 δ2z
δy2 = 6y
6.5. Ejercicio Completo: Plano osculador, nor-mal y rectificante
Dado r(t) = 〈2 cos t, 2 sin t, t〉. Encontrar en el punto t = π4
1. ~L. La recta tangente.
2. ΠT (t). El plano osculador.
3. ΠN(t). El plano normal.
4. ΠB(t). El plano binormal.
Derivamos.
r′(t) = 〈−2 sin t, 2 cos t, 1〉r′′(t) = 〈−2 cos t,−2 sin t, 0〉
Sacamos los puntos para t = π4
r(π/4) =⟨√
2,√
2, π4
⟩
1. Encontrar recta tangente.
r′(π/4) = 〈−√
2,√
2, 1〉
〈x− x1, y − y1, z − z1〉 = t〈dx, dy, dz〉⟨x−√
2, y −√
2, z − π
4
⟩= t〈−
√2,√
2, 1〉
94
~L =
x =√
2(1− t)y =√
2(1 + t)z = π
4 + t
2. El plano osculador.
~T (t) = r′(t)‖r′(t)‖
= 〈−2 sin t, 2 cos t, 1〉√(−2 sin t)2 + (2 cos t)2 + (1)2
=⟨−2 sin t√
5,2 cos t√
5,
1√5
⟩~N(t) =
~T ′(t)‖~T ′(t)‖
=
⟨−2 cos t√
5 , −2 sin t√5 , 0
⟩2√5
= 〈− cos t,− sin t, 0〉
Osc(t) = T (t)×N(t)
=⟨−2 sin t√
5,2 cos t√
5,
1√5
⟩× 〈− cos t,− sin t, 0〉
=⟨
sin t√5,cos t√
5,
2√5
⟩
Osc(π/4) =⟨√
1010 ,
√10
10 ,2√5
⟩
a(x− x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0√10
10 (x−√
2) +√
1010 (y −
√2) + 2√
5(z − π
4 ) = 0
(x−√
2) + (y −√
2) + 2√
2(z − π
4 ) = 0
x−√
2 + y −√
2 + 2√
2z − π√
22 = 0
x+ y + 2√
2z − 2√
2− π√
22 = 0
El plano osculador es x+ y + 2√
2z − 2√
2− π√
22 = 0
95
3. El plano normal.
~N(π/4) =⟨−√
22 ,−√
22 , 0
⟩
a(x− x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0−√
22 (x−
√2) + −
√2
2 (y −√
2) = 0
x+ y − 2√
2 = 0
6.6. Multiplicadores de LagrangeEl ∇f es perpendicular a toda la curva de nivel. Sirve para el
análisis de máximos y mínimos.
∇f(x, y) = λ∇g(x, y)∇f = λ1∇g1 + λ2∇g2 + ...+ λn∇gn
Hallar los puntos de intersección de las superficies x + y + z = 8 y2x− y + 3z = 28, que están mas próximos al origen.
Curva de intersección de planos:
d2 = x2 + y2 + z2
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − d2
g1(x, y, z) = x+ y + z − 8g2(x, y, z) = 2x− y + 3z − 28
∇f = λ1∇g1 + λ2∇g2
(2x, 2y, 2z) = λ1(1, 1, 1) + λ(2,−1, 3)(2x, 2y, 2z) = (λ1 + 2λ2, λ1 − λ2, λ1 + 3λ2)
Sistema: =
2x = λ1 + 2λ2
2y = λ1 − λ2
2z = λ1 + 3λ2
96
Resolver el sistema:
λ1 = 2y + λ2
2x = 2y + λ2 + 2λ2
2x = 2y + 3λ2
λ2 = 2x− 2y3
2z = λ1 + 3λ2
2z = 2y + 2x− 2y3 + 2x− 2y
97
Capítulo 7
Campos Vectoriales
7.1. Introducción
f : R2 → R(x
y
)→ z = f(x, y)
V :¨
R
f(x, y).dA
¨R
f(x, y)dxdy =¨R
f(x, y)dydx
7.2. Calculo de áreas y volúmenes.Si f(x, y) = 1V =
˜RdA
˜RdA = AR
Se encuentra el área
Si: f(x, y, z) = 1˝Rf(x, y, z)dV
˝RdV = V R
Se encuentra el Volumen
98
7.2.1. Ejemplos1. *Variable se mueve entre dos constantes → x
AR =¨
R
dA =bˆ
a
(f(x)ˆ
g(x)
dy)dx
AR =ˆ y1
y2dy = y2− y1
AR =bˆ
a
(y1ˆ
y2
(y2− y1))dx
AR =bˆ
a
(y2− y1)dx
2. *Variable se mueve entre do constantes ↓ x
99
AR =¨
R
dA
AR =dˆc
(f(x)ˆ
g(x)
dx)dy
AR =dˆc
(f(x)− g(x))dy
El dominio de la superficie va a ser su proyección en el eje xyV =
´ ba(´ y2y1 (´ z2z1 dz)dy)dx
→En integrales doble el dominio de integración es una región→En integrales triples el dominio de integración es una super-ficie
3. Resolver´ 2
1
´ log(x)0 (x− 1) 2
√1 + e2ydydx
V =ˆ 2
1
ˆ log(2)
0f(x, y)dxdy
V =ˆ ln(2)
1
ˆ 2
b
f(x, y)dxdy
V = 1,001
4. Resolver´ 3
0
´√25−y2
4y/3 f(x, y)dxdy
100
si f(x, y) = 10 ≤ y ≤ 3
4y3 ≤ x ≤
√25− y2
4y3 = x⇒ y = 3x
4x =√
25− y2
x2 + y2 = 25I =´ 4
0
´ 3x/4b
dydx +´ 5
4
´ √25−x2
bdydx
I = 8,04
5. Resolver´ 4
0
´ y−42−√
4−y f(x, y)dxdy
y : 0 ≤ y ≤ 4x : −
√4− y ≤ x ≤ y−4
2x = −
√4− y
x2 = 4− yy = 2x+ 4
I =´ 0−2
´ y−42−√
4−y f(x, y)dxdyI = 1,33
7.3. MasaSi f(x, y) =densidad
101
Mx =´ ´
Ryd(x, y)dxdx
My =´ ´
Rxd(x, y)dxdy
x = MyM
y = MxM
7.4. Cambio a coordenas Polares¨
R
f(x, y)dxdy =¨
R∗
f(rcos(θ), rsen(θ))|J(r, θ)| drdθ
J(r, θ) =∣∣∣∣∣dxdr dx
dθdydr
drdθ
∣∣∣∣∣
J(r, θ) = 1A =
´ 2π0
´ R0 rcos(θ)rsen(θ)rdrdθ
Si los limites son constantes se pueden separar sus Integrales.A = 1
2
´ 2π0 (sen(2θ)dθ)(
´ R0 r3dr)
7.4.1. Ejemplos
1. I =´ 2ab
(´ √2ax−x2
b(x2 + y2)dy)dx
0 ≤ x ≤ 2a
102
0 ≤ y ≤√
2ax− x2
x = 0 y =√
2ax− x2
x = 2a y2 = 2ax− x2
(x− a)2 + y2 = a2
x2 + y2 = 2axr = 2cos(θ)
I =´ π
20
´ 2cos(θ)0 r3drdθ
I =´ π
20
16a4cos4(θ)4 dθ
I = 3a4π4
2. Hacer un cambio de variable en la siguiente expresión: I =˜Rex
2+y2dxdy
I =˜R′er
2rdrdθ
x = 1; rcos(θ) = 1; r = sec(θ)y = 1; rsen(θ) = 1; r = csc(θ)I =´ π
40
´ sec(θ)0 er
2rdrdθ +
´ π4π2
´ csc(θ)0 er
2rdrdθ
7.5. Integrales Dobles, cambio de variable deuna integral doble
¨R
f(x, y)dxdy =¨R
f(x(uv), y(u, v)|J(u, v)|dudv)
J(u, v) = 1J(x, y)
7.5.1. Ejemplos1. I =
˜ReX−YX+Y dxdy y el triángulo (0,0)(2,0)(0,2)
103
u = x− y ⇒ x = u+v2
y = x+ y ⇒ y = v−u2
J(x, y) =∣∣∣∣∣1 −11 1
∣∣∣∣∣ = 2 J(u, v) =∣∣∣∣∣ 1
212
−12
12
∣∣∣∣∣ = 12
Puntos :(0, 0) ⇒ (0, 0)(2, 0) ⇒ (2, 2)(0, 2) ⇒ (−2, 2)
I = 12
ˆ 2
0(ˆ v
−veu/vdu)dv
I = 2,35
2.˜R
(x− y)2sen(x+ y)dxdy y el paralelogramo:A(π,0) ⇒ A’=(π, π)B(2π, π) ⇒ B’=(π, 3π)C(π, 2π) ⇒ C’=(−π, 3π)D(0, π) ⇒ D’=(−π, π)
I = 12
ˆ 3π
π
(ˆ π
−πu2sen2(v)du)dv
I = 12(ˆ 3π
π
sen2(v)dv)(ˆ π
−πu2du)
I = π4
3
104
3. Demostrar que se cumple la igualdad˜Rf(x, y)dxdy = ln(2
´ 21 f(u)du)
R es la región en el Primer cuadrante limitada por las curvas:yx = 1, xy = 2, y = x, y = 4x ⇒ xy = u, x
y= v
Transformación
J(x, y) =∣∣∣∣∣ y x−yx2
1x
∣∣∣∣∣ = 2yx
= 2v
J(u, v) = 12v
I =ˆ 2
1(ˆ 4
1f(u) 1
2vdv)du
I = ln(2)ˆ 2
1f(u)du
I = 1,03
4. Sea R={(x, y)/x2 + y2 ≤ a2}a)Calcular I =
´∞-∞´∞
-∞ e−(x2+y2)dxdy = lıma→∞
˜e−(x2+y2)dxdy
105
I1 = 4ˆ π
2
0(ˆ ∞
0e−r
2rdr)dθ
I1 =ˆ π
2
0
12dθ
I1 = 2π
I2 =´∞
0 e−r2rdr
I2 = −12e−u|∞0
I2 = lımb→∞−12e−u|b0 = −1
2b)Sea T el rectángulo en el plano uv, represente mediante ungrafico la imagen R en XY
Puntos(1, 1) ⇒ (0, 2)(2, 1) ⇒ (3, 4)
(2, 3) ⇒ (−5, 12)(1, 3) ⇒ (−8, 6)
Transformación
5. Calcular˜Rxydxdy haciendo el cambio de variable definido,
considerando las ecuaciones:
106
x = u2 − v2
y = 2uv
J(x, y) =∣∣∣∣∣ 2u 2v−2v 2u
∣∣∣∣∣ = 4(u2 + v2)˜R
(u2 − v2)2uv4(u2 + v2)I = 8
´ 31 (´ 2
1 uv(u4 − v4)du)dvI = −1120
107
Capítulo 8
Integrales Triples
8.1. Introducción
˝Sf(x, y, z)dxdydz =
˜Q
(´ ρ2ρ1 f(x, y, z)dz)dxdy
Se tienen fórmulas parecidas cuando la proyección se la realizasobre el plano xz o yz.El caso más sencillo es cuando S es un paralelepípedo rectangulardado por:
S = {(x, y, z)} /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, m ≤ z ≤ nen este caso la integral triple se escribirá:˝
sf(x, y, z)dxdydz =
´ nm
´ dc
´ baf(x, y, z)dxdydz
8.2. Cambios de variable en una Integral Tri-ple
Sean Q y T regiones sólidas en los espacios xyz y uvw,respectivamente, relacionadas por las ecuaciones:x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = l(u, v, w)
108
Transformación:˝
Qf(x, y, z)dV =˝
Tf(g(u, v, w), h(u, v, w)l(u, v, w))| d(x,y,z)
d(u,v,w) |dudvdwDonde el Jacoviano se escribe:
J(u, v, w) =
∣∣∣∣∣∣∣dxdu
dxdv
dxdw
dydu
dydv
dydw
dzdu
dzdv
dzdw
∣∣∣∣∣∣∣8.2.1. Ejemplo
Hallar el volumen formado por las superficies:S: z = 9− x2 − y2
z = 5
x2 ≥ 0y2 ≥ 0−x2 ≤ 0−y2 ≤ 0−x2 − y2 ≤ 09− x2 − y2 ≤ 0z ≤ 9V4 =´ π
20
´ 20
´ 90 (9− r2 − 5)rdrdθ
V = 96π
8.3. Coordenadas Cartesianas-Esféricas˝
Sf(x, y, z)dxdydz ⇒ x = ρsen(ψ)cos(θ)
⇒ y = ρsen(ψ)sen(θ)⇒ Z = ρcos(ψ)
109
⇒ J(ρ, ψ, θ) = ρ2sen(θ)˝Sf(ρsen(ψ)cos(θ) ∗ ρsen(ψ)sen(θ) ∗ ρcos(ψ))ρ2sen(θ)dρdψdθ
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ ψ ≤ π
0 ≤ ρ ≤ radio
8.4. Coordenadas Cartesianas-Cilíndricas˝
Sf(x, y, z)dxdydz ⇒ x = rcos(θ)
⇒ y = rsen(θ)⇒ Z = z⇒ J(r, θ, z) = r˝
Tf(rcos(θ), rsen(θ), z)drdθdz
8.5. Aplicaciones˝
Sf(x, y, z)dv;
Si f(x, y, z) = 1⇒ V olumenSi f(x, y, z) = densidad⇒MasaV x =
˝sxdv
V y =˝
sydv
V z =˝
szdv
Esferax = aρsen(ψ)cos(θ)y = bρsen(ψ)sen(θ)Z = cρcos(ψ)I =´ 2π
0 dθ´ π
0 sen(ψ)dψ´ 1
0 ρ2dρ
I = 4π3 abc
8.5.1. EjerciciosCalcule el volumen de :r = acos(θ)
110
En cartesianasV4 =˝
dv =´ a
0
´√((a/2)−(x−a/2))2
0ba
√a2 − x2 − y2dydx
En PolaresV4 =˝
dv =´ π
20
´ acos(θ)0
ba
√a2 − r2drdθ
En esféricasV =
´ π0 (´ 1
0 (´ 2π
0 a2bρ2sen(ψ)dθ)dρ)dψV = 4a2bπ
3Calcular el volumen intersecado por las superficies en el primercuadrante:
s: z = 1− y2;x+ y = 1;x+ y = 2I =˝
((x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2)−1/2dxdydzx− a = u⇒ x = u+ ay − b = v ⇒ y = v + bz − c = w ⇒ z = w + c
J(u, v, w) =
∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 1
I =˝
(u2 + v2 + w2)−1/2dudvdwSe aplica coordenadas esféricasI =´ 2π
0
´ π0
´ R0 ρsen(ψ)dρdψdθ
I = 2πR2
8.6. Campos Vectorialesf : Rn → Rm
i)n = 2;m = 2f : R2 → R2(xy
)←(MN
)ii)n = 3;m = 3f : R3 → R3
111
xyz
→PQR
vector gradiente∇ = d
dx~i+ d
dy~j + d
dz~k
∇ =≺ 2dx
~, 2dy, 2dz� operador noble
Si f es un escalar
grad f = ∇f = dfdx~i+ df
dy~j + df
dz~k
div F = ∇F = dfdx
+ dfdy
+ dfdz
rot F = ∇XF =
∣∣∣∣∣∣∣i j kddx
ddy
ddz
M N P
∣∣∣∣∣∣∣ = (dPdy− dN
dz)~i− (dP
dx− dM
dz)~j + (dN
dx+ dM
dY)~k
8.6.1. Campo Vectorial ConservativoSi rot F=0F = ∇F≺M,N,P �=≺ df
dx, dfdy, dfdz�
dfdx
= m ∴ df = M2Xf =´Mdx = M∗ + g(y, z)→ Constante de Integracion
g∗(y) =N − 2M∗2Y
8.6.2. EjerciciosEncuentre el campo vectorial conservativo deF (x, y, z) = (2xyz + z2 − 2y2 + 1)~i+ (x2z − 4xy)~j + (x2y + 2xz − 2)~k
∇XF =
∣∣∣∣∣∣∣i j kddx
ddy
ddz
M N P
∣∣∣∣∣∣∣dPdy
= dNdz→ x2 = x2
dPdx
= dMdz→ 2xy + 2z = 2xy + 2z
dNdx
= dMdY→ 2xz − 4y = 2xz − 4y
≺M,N,P �=≺ dfdx, dfdy, dfdz�
M = dfdx
M = 2xyz + z2 − 2y2 + 1
112
f =´
2xyz + z2 − 2y2 + 1dxf = x2yz + xz2 + x+ Cn(y, z)N = x2z − 4xyf = dCn(yz)
dy= 0
Cn(y, z) =´dy
Cn(y, z) = C2(z)f : x2yz + xz2 − 2xy2 + x+ C2(z)dfdz
= P
x2y + 2xz + dc2(z)dz
= x2y + 2xz-2C2(z) = −2z + C3f : (x2yz + xz2 − 2xy2 − 2z)
Determinar si el campo vectorial es conservativo, si lo es calcu-lar la función potencial para el:
F (x, y, z) = (excosy + yz)~i+ (xz − exsen(y))~j + (xy + z)~k
∇XF =
∣∣∣∣∣∣∣i j kddx
ddy
ddz
M N P
∣∣∣∣∣∣∣dPdy
= dNdz→ x = x
dPdx
= dMdz→ y = y
dNdx
= dMdY→ z = z
≺M,N,P �=≺ dfdx, dfdy, dfdz�
M = excosy + yzf =´excosy + yzdx
f = excosy + yzx+ Cn(y, z)N = d
dy
−exseny + zx+ dCn(y,z)dy
= −exseny + zxdCn(y,z)
dy= 0
Cn(y, z) =´
0dyCn(yz) = C2(z)P = d
dz
yx+ dC2(y,z)dz
= 2y + zC2(z) = zC2(z) =
´zdz
C2(z) = z2
2 + C3f : excosy + yzx+ z2
2
113
Capítulo 9
Integrales de Linea.
9.1. Para Campo Escalar
f :c :curva.´cF.ds =
´ t2t1 f(x, y)||r,(t)||at
c : r(t);< x(t), y(t) > S =´ tt||r,(t)||dt
dA = fds´dA =
´fds ds = ||r,(t)||dt
Si f(x, y) = 1⇒ S
*f(x, y) = densidad⇒ masa
*m ¯x =´cxd.ds
*my =´cyd.ds
*mz =´czd.ds
9.2. Para Campo Vectorial.´c~F .ds =
´ ba~F (r,(t)).r,(t)dt
114
´c~Fds =
´c~F .dr
Si ~F (x, y, z) =< M,N, P > F = ∇f=´c< M,N, P > . < dx, dy, dz > Si el producto “x”
de F^∇f es =0, Es un campovectorial conservativo.=´ baMdx+Ndy + Pdz´
cF.dr =
´ baV f.drı
cF.dr = 0⇒Si F es un campo conservativo.
Teorema´c∇f.ds = f(r(b))− f(r(a))
2) Aplicar F : t→ F (r(t))F ,(t) = (for),(t)= vf(r(θ))− r,(t)Por tanto:
´c
¯vf.ds =
´ ba∇f(r(t)).r,(t)dt
=´ baF ,(t).dt
= f(r(θ))− f(r(t))
9.3. Ejercicios
r(t) =< aCos(t), aSen(t), bt > Sección Circular.
r(t) =< aCos(t), bSen(t), bt > Elipce.
r(t) =< aCos3(t), aCos3(t), bt > Astroide.
*r(t) =< aCos(t), aSen(t), bt >; 0 ≤ t ≤ 2Π
d = x2 + y2 + z2
r(t) = a2 + b2t
r,(t) =< −aSen(t), aCos(t), b >
||r,(t)|| =√a2 + b2
115
m =´cd.ds
m =´ 2n
0 (a2 + b2)√a2 + b2at
m = 2a2n√a2 + b2 + 8
3b2π3√a2 + b2
m = 2π√a2 + b2(a2 + 4
3b2π2)
~F =< xy, x3, x2 − y >; y = −2x+ x2 + 1⇒ y = (x− 1)2
r(t) =< t, t2 − 2t+ 1 > 0 ≤ t ≤ 2r,(t) =< r, 2t− 2 >y = (x− 1)2
x = t+ 1 ⇒ y = t2
δ(t) =< t+ 1, t2 > −1 ≤ t ≤ 1´c~Fds =
´ baF (r)t).r,(t)dt
=´ 2
0 (t(t2 − 2t+ 1))− t3; t2 − (t2 − 2t+ 1). < 1, 2t− 2 > dt
=´ 2
0 (−2t2 + t+ 2t2 − 6t+ 2)dt = −23
Por green∗´cMax + Ndy =
´ ba(M dx
dt+ N dy
dt)at =
´ 20 [t(t2 − 2t + 1) − t3] + [t2 − (t2 −
2t+ 1)](2t− 2)] dt
d = x2 + y2 + z2
y = −x2 + 2x+ 1= −(x2 − 2x+ 1) + 2
y − 2 = −(x− 1)2
x− 1 = x, x = x, + 1y = x2 + 2 σ(t) =< t+ 1,−t2 + 2 >
´σFds =
´ 1−1(t+ 1)(t2 + 2) + (t+ 1)3 + [(t+ 1)2− (t3 + 2)](−2t)dt = −10
3
9.4. Teorema de GreenSe lo puede utilizar siempre que :−→F = sea campo vectorialc = region de integracion sea una curva cerrada
116
Primera Forma de Green(En el plano)sea¸F.ds =
´Mdx+Ndy =
˜R
(dNdx− dM
dy)dA
Se aplicara Green según mas convenga en el ejercicio ya sea deizquierda a derecha o de derecha a izquierda
9.4.1. EjerciciosSea el campo vectorial¸F = −y2dx+ zdy + xdz
Y las superficies:Calcule la integral de linea
c :
2x+ 2y + z = 6x = 0y = 0z = 0
Calcule la Integral de linea
c1 :x = t
y = 3− tz = 0
r(c1) =< 1,−1, 0 >
c2 :
x = 0y = t
z = 6− 2t
Utilizando
´de linea
r(c2) =< 0, 1,−2 >
117
I =´ 0
3 (−(3− t)2 + 0 + t)dt−´ 3
0 −t2 + (6− 2t)
c3 :
y = 0x = t
z = 6− 2t
´ 6
0 (6− 2t)6 + (t)(−2)dt
r(3) =< 0, 1,−2 > I = −9
rot F =
∣∣∣∣∣∣∣i j kddx
ddy
ddz
y2 z x
∣∣∣∣∣∣∣ =< −1,−1, 2y > N =< 2, 2, 1 >
I =˜R
(rot F.N)dA =˜r< 2, 2, 1 > . < 2, 2, 1 > dA
I =´ 3
6 (´ 3−x
6 −4 + 2y dy = −9
2.|1− x| → 1− x Si 1− x ≥ 0x ≤ 1
−(1− x) Si 1− x < 0x > 1
I =¸cF.dr
I =´c(x2 + y2)dx+ (x2 − y2)dy +
´c2(x2 + y2)dx+ (x2 − y2)dy
C1 : r1(t) =< t, t > r,(t, t) =< 1, 1 >C2 : r2(t) =< t, 2− t > r,(t, t) =< 1,−1 >
I =´ 1
0 2t2dt+´ 2
1 t2 + (2− t)2 + 1t2 − (2− t)2(−1)dt
I = 43
9.5. Teorema de StokesEn toda curva cerrada C se puede aplicar teorema de stokes de
modo que:
118
�CPdx+Qdy +Rdz =
˜SrotF • ndA
˜SrotF ‖ Tu × Tv ‖ dA
=˜SrotF Tu×Tv
‖Tu×Tv‖‖ Tu × Tv ‖ dA
=˜SrotF • ndA
9.5.1. EjemplosEjercicio 1:Dado F <y2,xy, xz>y S: x2+y2+z2=1 con z ≥ 0 .
Solución
La superficie es :Su proyección sobre el plano XY es :Aplicando :
�CPdx+Qdy +Rdz =
˜SrotF • ndA
Obteniendo el rotacional de F:
rot F=
i j kddx
ddy
ddz
y2 xy xz
rotF =< 0i− zj + yk >
Reemplazando el rotacional en :
119
˜T
(0− 2y − 2)dxdy
Haciendo un cambio de variable:
x=r cos(θ),y=sin(θ)
La integral final es:´ 2π
0 (´ 1
0 (−2 sin(θ) ∗ r2)dr)dθ = 0
Ejercicio 2:
Dada�C
(xz)dx+ (xy)dy + (y2)dz y C: z=4-x2 , y=3 .
120
La curva z=4-x2es :
Encontramos la normal a la curva :
N=∇F =< −f(x),−f(y), 1 >
N=<2x,0,1>
Hallamos el rotacional de la función:
rot F =
i j kddx
ddy
ddz
xz xy y2
rotF =< 2y, x, y >
La integral final es:´ 2
0 (´ 3
0 (4xy − y)dy)dx=9
Ejercicio 3:
DadoF (x, y, z) = (y + z)i+ (x+ z)j + (x+ y)k
donde C es la curva de intersección del cilíndro x2 + y2 = 2y y el
plano y-z=0.Demostrar que su rotacional es cero.
Hallamos la norma a la superficie:
121
N =< −f(x),−f(y), 1 >
N =< 0,−1, 1 >
Encontramos en rotacional:
rot F=
i j kddx
ddy
ddz
y + z x+ z x+ y
Concluimos que el rotacional es 0
rotF =< x− x, y − y, z − z >= 0
9.6. Integrales de Superficie
f : R2 −→ R3
(uv
)−→ φ(u, v)
¨S
Fds =¨T
f(T(u,v)) ‖ Tu × Tv ‖ dA
122
−→F =< P,Q,R >
˜S
−→F • < −fx,−fy, 1 >
=˜S< P,Q,R > • < −fx,−fy, 1 > dA
=˜T< −Pfx,−Qfy, R >
Una curva es suave cuando no tiene picos ni pliegues cuando el
vector T u × Tv es diferente de cero.
T u = (dxdu, dydu, dzdu
) Vectores tangentes elementales
T v = (dxdv, dydv, dzdv
)
El vector T u×Tvse denomina vector producto elemental y repre-
senta un vector normal a la superficie en cualquier punto φ(u, v).
9.6.1. Ejemplos
Ejercicio 1:
Demostrar que el cono z2 = x2+y2 es suave en el origen.
φ(r, θ) =< r cos(θ), r sin(θ), r>
Hallamos Tu y Tv:
123
T u =< rcos(θ), rsin(θ), 1 >
T v =< −rsin(θ), rcos(θ), 0 >
Realizamos el producto cruz entre los vectores tangentes ele-mentales:
T u × Tv =
i j kcos(θ) sen(θ) 1−rsin(θ) rcos(θ) 0
= <0,0,0>
Observamos que el producto de vectores tangentes es cero porlo que concluimos que la superficie no es suave en el origen.
Ejercicio 2:Hallar una ecuacion del plano tangente a la superficie r(u, v) =
2ucos(v)i+ 3uSin(v)j + u2k en el punto (0,6,4)
−→ru=2Cos(v) −→i + 3 Sin(v) −→j +2u−→k
−→rv =-2uSin(v) −→i +3uCos(v)−→j + 0−→k
Igualamos el punto P en −→i ,−→j−→k :
u2 = 4; u=2
4Cos(v)=0; v= π2
6Sen(v)=6 ; v=π2
Realizando el producto cruz entre los dos vectores obtenemos:−→N =< 0,−16, 12 >
Sacando factor común:−→N = 4 < 0,−4, 3 >
El plano tangente es:
πT =< 0,−4, 3 > • < x− 0, y − 6, z − 4 >
πT =⇒ 3z − 4y + 12 = 0
124
9.7. Parametrización de algunas funciones
Para la esfera x2 + y2 + z2 = R2
R(u,v) =< RSin(u)CoS(v), RSin(u)Sin(v), RCos(u) >con [0≤ u ≤ π ] y [0≤ v ≤ 2π]
Para el elipsoide: x2
a2 + y2
b2+ z2
c2= 1
R(u,v) =< aSin(u)Cos(v), bSin(v)Sin(u), cCos(u) >con [0≤ u ≤ 2π] y [0≤ v ≤ π]
Para la hipérbola de una hoja: x2
a2 + y2
b2− z2
c2= 1
R(u,v) =< aCosh(v)Cos(u), bCosh(v)Sin(u), cSinh(u)con [0≤ u ≤ 2π] y vεR.
Para el hiperboloide de dos hojas: x2
a2 + y2
b2− z2
c2= −1
R(u,v) =< aSinh(v)Cos(v), bSinh(v)Sin(u), cCosh(v) >con [1≤ u ≤ 2π] y v]−∞,∞[
Para el paraboloide hiperbólico: z = x2
a2 − y2
b2
R(u,v) =< avCos(u), bvSin(u), v2Cos(2u) >con [0≤ u ≤ 2π] y yε[0,∞]
Para el cilindro elíptico recto: x2
a2 + y2
b2= 1
R(u,v) =< aCos(u), bSin(v), v >con [0≤ u ≤ 2π] y vε]-∞,∞[
9.8. Integral de Superficie de un Campo Es-calar
˜SF (x, y, z)ds =
˜TF [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] ‖ −→ru×−→rv ‖ dudv
125
9.8.1. Ejemplo
Dado x2 + y2 + z2 = R2 y x2 + y2 = Rx .Hallar el área de la esfera
en S1.
La figura entre la esfera y el cilindro:
Parametrizamos con z=f(x,y);Hallando la normal:
T u × Tv = −→N =< −x√R2.x2−y2
,− y√R2.x2−y2
, 1 >
Si f φ(u, v) = 1 hallamos el área de la superficie,
A=˜T‖ Tu × Tv ‖ ds
Finalmente la integral es:
A=R´ π
0 (´ RCos(θ)
0 ( r√R2−r2 )dr)dθ= -R2
126
9.9. Teorema de la divergencia
9.9.1. Segunda forma del teorema de Greenr(s) =< x(s), y(s) >r′(s) =< x′(s), y′(s) >N =< y′(s), x′(s) >
�CF •Nds=
´ ba< P,Q > • < y′(s), x′(s) > ds
=´ ba(P dy
ds−Qdx
ds)ds
=�CPdy −Qdx =
´ barot−→F •−→K
=˜R
( dpdx
+ dQdy
)dA=˜Rdiv−→F dA
=�C
−→F •−→Nds
9.9.2. EjemploEjercicio 1:Dada la curva Q. Hallar el flujo sobre la superficie.
127
Q : {x2 + y2 = 4x+ z = 6z = 0
F =< x2 + Sin(t);xy + Cos(z), ey >
Hallamos el divergente de F:
divF =< 2x+ x >
Reemplazando en la integral :
3´ 2π
0 (´ 2
0 (´ 6−rCos(θ)
0 r2Cos(θ)dz)dr)dθ
Integrando la expresión :�CDivF dv= 3*-4π=-12π
Ejercicio 2:Calcular el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=<x,y,z>a través
de la superficie esférica x2 + y2 + z2 = 4.
Hallamos el divergente de F:
divF =< 3 >
Como utilizamos un cambio de variable esférico, utilizamos eljacobiano r2Sin(φ):
3´ 2π
0 (´ π
0 (´ 2
0 r2Sen(φ)dr)dφ)dθ
Resolviedno la expresión :�CdivF dv = 16(2π) = 32π
128
