Problemario de calculo integral

UACh Calculo Integral

Universidad Autonoma Chapingo

Preparatoria Agrıcola

Area de Matematicas

Problemario de Calculo Integral

Enero 2012

Elaboro: Prof. J Jesus Perez J

Colaboro: Prof. Margarito Soriano Montero

1 Jjpj-Msm

1.

∫a du = a

∫du, (a=constante)

2.

∫( du± dv) =

∫du±

∫dv

3.

∫du = u+ c

4.

∫un du =

un+1

n+ 1+ c, n 6= −1

5.

∫du

u= ln |u|+ c

6.

∫au du =

au

ln(a)+ c

7.

∫eu du = eu + c

8.

∫sin(u) du = − cos(u) + c

9.

∫cos(u) du = sin(u) + c

10.

∫tan(u) du = ln[sec(u)] + c

11.

∫sec(u) du = ln |sec(u) + tan(u)|+ c

12.

∫csc(u) du = ln |csc(u)− cot(u)|+ c

13.

∫sec2(u) du = tan(u) + c

14.

∫csc2(u) du = − cot(u) + c

15.

∫sec(u) tan(u) du = sec(u) + c

16.

∫csc(u) cot(u) du = − csc(u) + c

17.

∫du

u2 + a2=

1

aarctan

(ua

)+ c

18.

∫du

a2 − u2=

1

2aln

(u+ a

u− a

)+ c

19.

∫du

u2 − a2=

1

2aln

(u− au+ a

)+ c

20.

∫du√

u2 ± a2= ln

(u+√u2 ± a2

)+ c

21.

∫du√

a2 − u2= arcsin

(ua

)+ c

22.

∫du

u√u2 − a2

=1

asec−1

(ua

)+ c

23.

∫du

u√a2 ± u2

=1

aln

∣∣∣∣ u

a+√a2 ± u2

∣∣∣∣+ c

Integracion por partes:

24.

∫u dv = uv −

∫v du

Sustitucion trigonometrica:

25. Caso I:√a2 − b2u2, hacer u =

a

bsin(θ)

26. Caso II:√a2 + b2u2, hacer u =

a

btan(θ)

27. Caso III:√b2u2 − a2, hacer u =

a

bsec(θ)

28.

∫ √a2 − u2 du =

u

2

√a2 − u2 +

a2

2csc−1

(ua

)+ c

29.

∫ √u2 ± a2 du =

u

2

√u2 ± a2 ± a2

2ln(u+√u2 ± a2

)+ c

Elaboro: Profr. Jose de Jesus Perez Juarez

1


Diferencial de una funcion.

Sea y = f(x) una funcion derivable en un intervalo abierto quecontiene a x. La Diferencial de x denotada dx es cualquier numeroreal no nulo. La diferencial de y denotada dy es

dy = f ′(x)dx

Las diferenciales se pueden uatilizar para aproximar valores de lasfunciones, para tal fin se usa la formula

f(x+ ∆x) ≈ f(x) + dy = f(x) + f ′(x)dx,

que se deduce de la expresion

∆y = f(x+ ∆x)− f(x) ≈ dy.

La clave en el uso de esta formula reside en elegir un valor de x quehaga sencillos los calculos.

* Calcula el incremento ∆y y la diferencial dy para losvalores indicados de x y ∆x si

1. f(x) = 3x+ 4, x = 2,∆x = 1

Sol: ∆y = dy = 3.

2. f(x) = x2, x = 10,∆x = 1

Sol: ∆y = 21, dy = 20.

3. f(x) =√x, x = 10,∆x = 1

Sol: ∆21 = 0.1543, dy = 0.1581.

4. f(x) = x3/2, x = 4,∆x = 0.1

Sol: ∆y = 0.3019, dy = 0.300.

5. f(x) =1

x2 + 1, x = 0,∆x = −0.2

Sol: ∆y = −0.385, dy = 0.

6. f(x) =x+ 1

x− 1, x = 0,∆x = 0.1

Sol: ∆y = −0.2222, dy = −0.2.

* Usando diferenciales estima el valor de la expresiondada.

7.√

37

Sol: 6 + 112

8.√

35

Sol: 6− 112

9.3√

25

Sol: 3− 227

2 Jjpj-Msm


10.3√

32.8

Sol: 2.01

11.√

16.3

Sol: 4.0375

12. sin(31.5◦)

Sol: 0.5226

* Calcula la diferencial dy de las siguientes funciones

13. f(x) = (x− 5)2

Sol: dy = 2(x− 5)dx

14. f(x) = 3x2 + 5x− 6

Sol: dy = (6x+ 5)dx

15. f(x) =x+ 2

x2

Sol: dy =−x+ 4

x3dx

16. f(x) = e4x2

Sol: dy = 8xe4x2

dx

17. f(x) = ln(2x+ 1)

Sol: dy =2

2x+ 1dx

18. f(x) = sin(x2 + 2)

Sol: dy = 2x cos(x2 + 2)dx

19. f(x) = cos(x3 + 1)

Sol: dy = −3x2 sin(x3 + 1)dx

20. f(x) = tan(x2 + 2)

Sol: dy = 2x sec2(x2 + 2)dx

* Resuelva los siguientes problemas

21. Calcular el incremento del area del cuadrado de 2m de lado,cuando aumentamos 1mm su lado.

Sol: 0.004m2

22. Hallar la variacion de volumen que experimenta un cubo, dearista igual a 20cm, cuando esta aumenta 0.2cm su longitud.

Sol: 240cm3

23. Al calentar una placa cuadrada metalica de 15cm de longitud,su lado aumenta 0.04cm. ¿Cuanto aumento aproximadamentesu area?.

3 Jjpj-Msm


Sol: 1.2cm2

24. Al enfriar una placa cuadrada metalica de 20cm de longitud,su lado disminuye un 0.03 por ciento. ¿Cuanto disminuira por-centualmente su area?.

Sol: Disminuye 0.06 por ciento.

25. La pared lateral de un deposito cilındrico de radio 50cm y al-tura 1m, debe revestirse con una capa de concreto de 3cm deespesor. ¿Cual es aproximadamente la cantidad de concretoque se requiere?

Sol: Se requiere de concreto 94247.77cm3.

26. Un tanque cilındrico abierto tendra un revestimiento de 2cmde espesor. Si el radio interior es de 6m y la altura es de10m, obtenga mediante diferenciales la cantidad aproximadade material de revestimiento que se empleara.

27. Al calentar una esfera de radio r = 9cm, su volumen au-mento 32.4cm3 . Hallar el alargamiento del radio de la esfera.

28. Estime el cambio en el volumen V de una celula esfericacuando su radio cambia de 6.5× 10−4cm a 6.6× 10−4cm.

Integracion inmediata

* Calcule las siguientes integrales inmediatas

29.

∫(3− 2x) dx

30.

∫(2x+ 5) dx

31.

∫(100− 3x2) dx

32.

∫(x2 − x3) dx

33.

∫3√

8x7 dx

34.

∫ √ax dx =

2x√ax

3+ C

35.

∫4x2 − 2

√x

xdx = 2x2 − 4

√x+ C

36.

∫(x+ 1)(x− 2)√

xdx =

2

5x5/2 − 2

3x3/2 − 4x1/2 + C

37.

∫(x− 1)2x dx =

x4

4− 2x3

3+x2

2+ C

4 Jjpj-Msm


38.

∫(2x+ 3)2 dx =

4x3

3+ 6x2 + 9x+ C

39.

∫(2x+ 3)(3x− 2) dx =

3x4

2− 4x3

3+

9x2

2− 6x+ C

40.

∫−8x4 + 3x2 + 9

3x3dx = −4

3x2 + ln(x)− 3

2x2+ C

41.

∫ (5

x+ 2x2 − 3

x4dx

)= 5 ln(x) +

2

3x3 +

1

x3+ C

42.

∫(√a+√x)2√

xdx = 2a

√x+ 2

√ax+

2x3/2

3+ C

43.

∫ (2a√x− b

x2+ 8d

3√x2 dx

)= 4a

√x+

b

x+

9

5dx5/3 + C

44.

∫(nx)

1−nn dx = (nx)

1n + C

Tecnicas de integracion

A diferencia del calculo de derivadas, no existe un procedi-miento infalible que permita calcular la primitiva de una fun-cion siempre que exista. Existen no obstante, diferentes tecni-cas para integrar algunos tipos de funciones. Las tecnicas mashabituales son:

a) Integracion por cambio de variable

b) Integracion por partes

c) Integracion por fracciones parciales, etc.

Integracion por cambio de variable

A veces una funcion f(x) es mas facil de integrar si se rea-liza un cambio de variable x = g(u). En tal caso la integralresultante es ∫

f(x) dx =

∫f(g(u))g′(u) du

y una vez calculada esta integral se deshace el cambio de va-riable efectuado u = g−1(x) para obtener la integral deseada.Evidentemente, la funcion g(u) debe elegirse de manera quela expresion resultante sea mas facil de integrar.

5 Jjpj-Msm


* Formula 4:

∫un du =

un+1

n+ 1+ C, n 6= −1

45.

∫ √a2 − x2x dx = −1

3

(a2 − x2

)3/2+ C

46.

∫ √1− 4y dy = −1

6(1− 4y)3/2 + C

47.

∫x2 dx√a2 + x3

=2

3

(a2 + x3

)1/2+ C

48.

∫ √3x− 1 dx =

2

9(3x− 1)3/2 + C

49.

∫ √5− 3x dx = −2

9(5− 3x)3/2 + C

50.

∫x3√

2 + x4 dx =1

6

(2 + x4

)3/2+ C

51.

∫x2(x3 − 1

)10dx =

1

33

(x3 − 1

)11+ C

52.

∫ (x2 − 4x+ 4

)4/3dx =

3

11(x− 2)11/3 + C

53.

∫ √3− 2xx2 dx =

−3

4(3 − 2x)3/2 +

3

10(3 − 2x)5/2 − 1

28(3 −

2x)7/2 + C

54.

∫2x3√x4 + 3 dx

55.

∫y3(1− 2y4

)5dy =

1

32 (1− 2y4)4+ C

56.

∫x3√

1− 2x2dx =

−1

4

(1− 2x2

)1/2+

1

12

(1− 2x2

)3/2+ C

57.

∫dx√

1− x= −2

√1− x+ C

58.

∫(√a+√x)2√

xdx =

2(√a+√x)3

3+ C

59.

∫ √1 +

1

3x

dx

x2= −2

(1 +

1

3x

)3/2

+ C

60.

∫(x+ 3)

(3− x)2/3dx =

3

4(3− x)4/3 − 18(3− y)1/3 + C

61.

∫x2 + 2

x3 + 6x− 1dx =

1

3ln(x3 + 6x− 1) + C

62.

∫3x2 − 6√x3 − 6x

dx = 2√x3 − 6x+ C

63.

∫x2 sin(x3 + 4) dx = −1

3cos(x3 + 4) + C

64.

∫(a+ ln(x))2

xdx =

(a+ ln(x))3

3+ C

6 Jjpj-Msm


65.

∫ √a+ ln(x)

xdx =

2

3(a+ ln(x))3/2 + C

66.

∫sin(ax) cos(ax) dx =

sin2(ax)

2a+ C

67.

∫sin(2x) cos2(2x) dx = −cos3(2x)

6+ C

68.

∫cos(5θ) dθ =

1

5sin(5θ) + C

69.

∫sin3(x) cos(x) dx =

1

4sin4(x) + C

70.

∫1

2x sin(4x2) dx = − 1

16cos(4x2) + C

71.

∫cos(x)(2 + sin(x))5 dx =

1

6(2 + sin(x))6 + C

72.

∫2 sin(x) 3

√1 + cos(x) dx = −3

2(1 + cos(x))4/3 + C

* Formula 5

73.

∫dx

x= ln(x) + C

74.

∫dx

2x− 3=

1

2ln(2x− 3) + C

75.

∫dx

3x+ 2=

1

3ln(3x+ 2) + C

76.

∫x

x2 − 1dx =

1

2ln(x2 − 1) + C = ln

√x2 − 1 + C

77.

∫2x+ 3

x2 + 3xdx = ln(x2 + 3x) + C

78.

∫x+ 2

x2 + 4xdx =

1

2ln(x2 + 4x) + C

79.

∫x2

1− 2x3dx = −1

6ln(1− 2x3) + C

80.

∫x2 − a2

x3 − 3a2xdx =

1

3ln(x3 − 3a2x) + C

81.

∫5x2

10x3 + 15dx =

1

6ln(10x3 + 15) + C

82.

∫5bx

8a− 6bx2dx = − 5

12ln(8a− 6bx2) + C

83.

∫dx√

x (1 +√x)

= 2 ln(1 +√x)

+ C

7 Jjpj-Msm


84.

∫x+ 2

x+ 1dx = x+ ln(x+ 1) + C

85.

∫2x− 1

2x+ 3dx = x− ln(2x+ 3)2 + C

86.

∫xn−1 − 1

xn − nxdx =

1

nln(xn − nx) + C

87.

∫2ex

ex + 1dx = 2 ln(ex + 1) + C

88.

∫ex

a+ bexdx =

1

bln(a+ bex) + C

89.

∫e2x

e2x + 1dx = ln

√e2x + 1 + C

90.

∫e3x

ex − 1dx =

e2x

2+ ex + ln(ex − 1) + C

91.

∫dx

ex + 1= x− ln(ex + 1) + C

92.

∫ex − 1

ex + 1dx = 2 ln(ex + 1)− x+ C

93.

∫aex + b

aex − bdx = 2 ln(aex − 1)− x+ C

94.

∫sin(x)

a+ b cos(x)dx = −1

bln(a+ b cos(x)) + C

95.

∫sec2(x)

1 + 3 tan(x)dx =

1

3ln(1 + 3 tan(x)) + C

96.

∫1 + cos(x)

x+ sin(x)dx = ln(x+ sin(x)) + C

97.

∫sin(x)

1 + cos(x)dx = − ln(1 + cos(x)) + C

98.

∫cos(x)

1 + sin(x)dx = ln |1 + sin(x)|+ C

* Formulas 6 y 7 Funcion exponencial

99.

∫e5x dx =

1

5e5x + C

100.

∫e−3x dx = −1

3e−3x + C

101.

∫1

exdx = −e−x + C

102.

∫e

xn dx = ne

xn + C

103.

∫xex

2

dx =1

2ex

2

+ C

8 Jjpj-Msm


104.

∫(ex + 1)3 ex dx =

(ex + 1)4

4+ C

105.

∫e√x

√xdx = 2e

√x + C

106.

∫e√x − 3√x

dx = 2e√x − 6

√x+ C

107.

∫esin(x) cos(x) dx = esinx + C

108.

∫e2 cos(x) sin(x) dx = −e

2 cosx

2+ C

109.

∫e

xa + e−

xa dx = a

(e

xa + e−

xa

)+ C

110.

∫(ex + 1)2 dx =

1

2e2x + 2ex + x+ C

111.

∫ex + e−x√ex − e−x

dx = 2√ex − e−x + C

112.

∫etan(x)

cos2(x)dx = etanx + C

113.

∫a2x dx =

1

2

a2x

ln(a)+ C

114.

∫5x dx =

5x

ln(5)+ C

* Formulas 8 a 16 Funciones trigonometricas

115.

∫sin(x

2

)dx = −2 cos

(x2

)+ C

116.

∫cos(3x) dx =

sin(3x)

3+ C

117.

∫sin2(x) cos(x) dx =

sin3(x)

3+ C

118.

∫tan(2x) dx =

1

2ln |sec(2x)|+ C

119.

∫sin(x) + cos(x)

cos(x)dx = ln |sec(x)|+ x+ C

120.

∫dx

1 + cos(x)= − cot(x) + csc(x) + C

121.

∫sec(x) tan(x)

a+ b sec(x)dx =

1

bln |a+ b sec(x)|+ x+ C

122.

∫x cot(x2) dx =

1

2ln∣∣sin(x2)

∣∣+ C

9 Jjpj-Msm


123.

∫ex cos(ex) dx = sin ex + C

124.

∫e3 cos(2x) sin(2x) dx = −e

3 cos(2x)

6+ C

125.

∫dx

1 + cos(x)= − cot(x) + csc(x) + C

126.

∫x sin

(x2 + 5

)dx = −1

2cos(x2 + 5

)+ C

127.

∫sin (ln(x))

xdx = − cos (ln(x)) + C

128.

∫sin(3x) sin(2x) dx =

1

2sin(x)− 1

10sin(5x) + C

129.

∫cos(4x) cos(2x) dx =

1

4sin(2x) +

1

12sin(6x) + C

130.

∫cos(3x) cos(2x) dx =

1

2sin(x) +

1

10sin(5x) + C

* Potencias de funciones trigonometricas

131.

∫sin3(x) dx = − cos(x) +

1

3cos3(x) + C

132.

∫sin2(ax) dx =

x

2− sin(2ax)

4a+ C

133.

∫sin4(ax) dx =

3x

8− sin(2ax)

4a+

sin(2ax)

32a+ C

134.

∫sin6(x) dx =

5x

16− sin(2x)

4+

sin3(2x)

48+

3 sin(4x)

64+ C

135.

∫cos2(3x) dx =

x

2+

sin(6x)

12+ C

136.

∫cos3(x) dx = sin(x)− 1

3sin3(x) + C

137.

∫cos6(x) dx =

5x

16+

sin(2x)

4− sin3(2x)

48+

3 sin(4x)

64+ C

138.

∫cos5(x) dx = sin(x)− 2

3sin3(x) +

1

5sin5(x) + C

139.

∫sin2

(x2

)cos2

(x2

)dx =

x

8− sin(2x)

16+ C

140.

∫sin4(x) cos4(x) dx =

1

128

(3x− sin(4x) +

1

8sin(8x)

)+ C

141.

∫sin2(x) cos3(x) dx =

1

3sin3(x)− 1

5cos5(x) + C

142.

∫cos4(2x) sin3(2x) dx = − 1

10cos5(2x) +

1

14cos7(2x) + C

10 Jjpj-Msm


143.

∫sin3(3x) cos5(3x) dx = − 1

18cos6(3x) +

1

24cos8(3x) + C

144.

∫sin3(3x) cos3(3x) dx =

1

12sin4(3x)− 1

5cos5(3x) + C

145.

∫tan3(x) dx =

1

2tan2(x) ln |cos(x)|+ C

146.

∫tan4(x) dx =

1

3tan3(x)− tan(x) + x+ C

147.

∫tan5(x) dx =

1

4tan4(x)− 1

2tan2(x) + x+ ln |sec(x)|+ C

148.

∫cot3(2x) dx = −1

4cot2(2x) +

1

2ln |csc(2x)|+ C

149.

∫cot4(3x) dx = −1

9cot3(3x) +

1

3cot(3x) + C

150.

∫cot6(2x) dx = − 1

10cot5(2x)+

1

6cot3(2x)−1

2cot(2x)−x+C

151.

∫sec4(2x) dx =

1

2tan(2x) +

1

6tan3(2x) + C

152.

∫sec6(ax) dx = −1

atan(ax)+

2

3atan3(ax)+

1

5atan5(ax)+C

153.

∫csc6(x) dx = − cot(x)− 2

3cot3(x)− 1

5cot5(x) + C

154.

∫tan3(3x) sec(3x) dx =

1

9sec2(3x)− 1

3sec(3x) + C

155.

∫tan3(2x) sec3(2x) dx =

1

10sec5(2x)− 1

6sec3(2x) + C

156.

∫tan3(3x) sec4(3x) dx =

1

12tan4(3x) +

1

18tan6(3x) + C

157.

∫tan4(x) sec4(x) dx =

1

7tan7(x) +

1

5tan5(x) + C

158.

∫cot3(2x) csc(2x) dx =

1

2csc(2x)− 1

6csc3(2x) + C

159.

∫cot(3x) csc4(3x) dx = −1

6cot2(3x)− 1

12cot4(3x) + C

160.

∫cot3(x) csc3(x) dx = −1

5csc5(x) +

1

3csc3(x) + C

161.

∫cot3(x) csc5(x) dx = −1

7csc7(x) +

1

5csc5(x) + C

* Formulas 17 a 19

162.

∫dx

1 + x2= arctan(x) + C

163.

∫dx

x2 + 16=

1

4arctan

(x4

)+ C

11 Jjpj-Msm


164.

∫dx

x2 + 9=

1

3arctan

(x3

)+ C

165.

∫dx

4x2 + 9=

1

6arctan

(2x

3

)+ C

166.

∫x

x4 + 3dx =

√3

6arctan

(x2√

3

)+ C

167.

∫dx

ex + e−x= arctan(ex) + C

168.

∫e2x

1 + e4xdx =

1

2arctan

(e2x)

+ C

169.

∫sec(x) tan(x)

9 + 4 sec2(x)dx =

1

6arctan

(2 sec(x)

3

)+ C

170.

∫2x− 7

x2 + 9dx = ln(x2 + 9)− 7

3arctan

(x3

)+ C

171.

∫dx

x2 + 10x+ 30=

√5

5arctan

(√5(x+ 5)

5

)+ C

172.

∫dx

2x2 + 2x+ 5=

1

3arctan

(2x+ 1

3

)+ C

173.

∫x+ 1

x2 − 4x+ 8dx =

1

2ln(x2−4x+8)+

3

2arctan

(x− 2

2

)+C

174.

∫cos(x)

sin2(x)− sin(x) + 12dx =

1√3

arctan

(sin(x)− 3√

3

)+ C

175.

∫dx

x2 − 1=

1

2ln

∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣+ C

176.

∫dx

x2 − 4=

1

4ln

∣∣∣∣x− 2

x+ 2

∣∣∣∣+ C

177.

∫dx

9x2 − 16=

1

24ln

∣∣∣∣3x− 4

3x+ 4

∣∣∣∣+ C

178.

∫dx

x2 + 6x+ 8=

1

2ln

∣∣∣∣x+ 2

x+ 4

∣∣∣∣+ C

179.

∫dx

36x2 − 25=

1

60ln

∣∣∣∣6x− 5

6x+ 5

∣∣∣∣+ C

180.

∫c dx

bx2 − a2=

c

2abln

∣∣∣∣bx− abx+ a

∣∣∣∣+ C

181.

∫dx

1− x2=

1

2ln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣+ C

182.

∫dx

25− 16x2=

1

40ln

∣∣∣∣5 + 4x

5− 4x

∣∣∣∣+ C

183.

∫dx

81− 16x2=

1

72ln

∣∣∣∣9 + 4x

4x− 9

∣∣∣∣+ C

12 Jjpj-Msm


184.

∫dx

3− 2X − x2=

1

4ln

∣∣∣∣x+ 3

x− 1

∣∣∣∣+ C

185.

∫cos(x) dx

16− 4 sin2(x)=

1

16ln

∣∣∣∣2 sin(x) + 1

2 sin(x)− 1

∣∣∣∣+ C

186.

∫dx

4x− x2=

1

4ln

∣∣∣∣ x

4− x

∣∣∣∣+ C

* Formula 20

187.

∫dx√

4x2 + 9=

1

2ln(

2x+√

4x2 + 9)

+ C

188.

∫dx√

9x2 − 25=

1

3ln∣∣∣3x+

√9x2 − 25

∣∣∣+ C

189.

∫dx√

4x+ x2= ln

∣∣∣x+ 2 +√

4x+ x2∣∣∣+ C

190.

∫dx√

x2 − 36= ln

∣∣∣x+√x2 − 36

∣∣∣+ C

191.

∫dx√

x2 − 36= ln

∣∣∣x+√x2 − 36

∣∣∣+ C

192.

∫x+ 2√x2 + 9

dx =√x2 + 9 + 2 ln

∣∣∣x+√x2 + 9

∣∣∣+ C

193.

∫x+ 2√

x2 + 2x− 3dx =

√x2 + 2x− 3+ln

∣∣∣x+ 1 +√x2 + 2x− 3

∣∣∣+C

* Formulas 21 y 22

194.

∫dx√

1− x2= arcsin(x) + C

195.

∫dx

x√

1− x2= (x) + C

196.

∫dx

x√

4x2 − 9=

1

3

(2x

3

)+ C

197.

∫dx√

4− x2= arcsin

(x2

)+ C

198.

∫dx√

25− 16x2=

1

4arcsin

(4x

5

)+ C

199.

∫dx

x√x4 − 1

=1

2

(x2)

+ C

200.

∫x+ 3√1− x2

dx = −√

1− x2 + 3 arcsin(x) + C

201.

∫dx√

20 + 8x− x2= arcsin

(x− 4

6

)+ C

13 Jjpj-Msm


202.

∫dx√

28− 12x− x2= arcsin

(x+ 6

8

)+ C

203.

∫x+ 3√

5− 4x− x2dx = −

√5− 4x− x2 + arcsin

(x+ 2

3

)+C

* Formulas 28 y 29

204.

∫ √25− x2 dx =

1

2x√

25− x2 +25

2arcsin

(x5

)+ C

205.

∫ √3− 4x2 dx =

1

2x√

3− 4x2 +3

4arcsin

(2x√

3

3

)+ C

206.

∫ √x2 − 36 dx =

1

2x√x2 − 36− 18 ln

∣∣∣x+√x2 − 36

∣∣∣+ C

207.

∫ √x2 − 16 dx =

1

2x√x2 − 16− 8 ln

∣∣∣x+√x2 − 16

∣∣∣+ C

208.

∫ √3x2 + 5 dx =

1

2x√

3x2 + 5 +5√

3

6ln∣∣∣√3x+

√3x2 + 5

∣∣∣+C

209.

∫ √3− 2x− x2 dx =

x+ 1

2

√3− 2x− x2+2 arcsin

(x+ 1

2

)+

C

Hint: Complete el TCP

210.

∫2x+ 5

x2 + 2x+ 5dx = ln

∣∣x2 + 2x+ 5∣∣+ 3

2arctan

(x+ 1

2

)+C

* Formula 24: Integracion por partes

Dadas f y g, dos funciones derivables de x. De la regla de laderivada del producto se deduce∫

f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−∫g′(x)f(x) dx,

o con notacion diferencial, si u y v son funciones derivablesde x ∫

u dv = uv −∫v du.

Al emplear el metodo de integracion por partes se debe rea-lizar la eleccion de u y dv de tal forma que las integrales quehaya que realizar sean lo mas sencillas posibles. Ejemplo. Pa-ra integrar

∫x senx dx se debera elegir u = x y dv = senx dx,

con lo que du = dx y v = − cosx, resultando∫x senx dx = −x cosx−

∫(− cosx) dx = −x cosx+ senx.

Si hubiesemos elegido u = senx y dv = x dx, se complica.

14 Jjpj-Msm


211.

∫xex dx = xex − ex + C

212.

∫x3ex

2

dx =1

2x2ex

2 − 1

2ex

2

+ C

213.

∫x3e2x dx =

1

2x3e2x − 3

4x2e2x +

3

4xe2x − 3

8e2x + C

214.

∫xex

(1 + x)2dx =

ex

1 + x+ C

215.

∫x ln(x) dx =

x2

2

(ln(x)− 1

2

)+ C

216.

∫x ln(x+ 1) dx =

ln(x+ 1)

2

(x2 − 1

)− x2

4+x

2+ C

217.

∫x2 ln(x) dx =

x3

3ln(x)− 1

9x3 + C

218.

∫ln(x2 + 2

)dx = x

(lnx2 + 2

)− 2x+ 2

√2 arctan(

x

2) + C

219.

∫x sin(x) dx = −x cos(x) + sin(x) + C

220.

∫x sin(ax) dx = −x cos(ax)

a+

sin(ax)

a2+ C

221.

∫x2 sin(x) dx = −x2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C

222.

∫x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C

223.

∫x arctan(x) dx =

1

2

(x2 + 1

)arctan(x)− 1

2x+ C

224.

∫x sec(x) tan(x) dx = x sec(x)− ln |sec(x) + tan(x)|+ C

225.

∫x√

1 + x dx =2

3x (x+ 1)3/2 − 4

15(x+ 1)5/2 + C

226.

∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) +

√1− x2 + C

227.

∫sin2(x) dx =

1

2x− 1

4sin(2x) + C

228.

∫sec3(x) dx =

1

2(sec(x) tan(x) + ln |sec(x) + tan(x)|) + C

* Formulas 25 a 27: Integracion por sustitucion tri-gonometrica

* Caso 1. f(√

a2 − b2u2)

229.

∫ √16− x2x4

dx =−1

48

(√16− x2x

)3

+ C

15 Jjpj-Msm


230.

∫1√

25− x2dx = arcsin

(x5

)+ C

231.

∫ √25− x2x

dx = 5 ln(√

25− x2 − 5)−5 ln (x)+

√25− x2+

C

232.

∫1

x2√

4− x2dx = −

√4− x24x

+ C

233.

∫1

x2√

9− 16x2dx = −

√9− 16x2

9x+ C

234.

∫ √9− 4x2

xdx = 3 ln

(√9− 4x2 − 3

)− 3 ln (x) +

√9− 4x2 + C

235.

∫x2

(4− x2)52

dx =x3

12 (4− x2)32

+ C

236.

∫ √1− x2x4

dx = −(1− x2)32

3x3+ C

* Caso 2. f(√

b2u2 + a2)

237.

∫ √x2 + 1

xdx = ln

(√x2 + 1

x− 1

x

)+√x2 + 1 + C

238.

∫x2√x2 + 9

dx =1

2x√x2 − 9− 9

2ln

(√x2 + 9

3+x

3

)+ C

239.

∫1

x√

4x2 + 9dx =

−1

3ln

(√4x2 + 9 + 3

4x

)+ C

240.

∫x2

(x2 + 4)2dx =

1

4arctan

(x2

)− x

2 (x2 + 4)+ C

241.

∫1

(x2 + 2)32

dx =x

2√x2 + 2

+ C

242.

∫1

(x2 + 2)32

dx =1

4arctan

(x2

)− x

2 (x2 + 4)+ C

243.

∫x2

(x2 + 1)32

dx = ln(√

x2 + 1 + x)− x√

x2 + 1+ C

244.

∫x3

(x2 + 4)32

dx =x2 + 8√x2 + 4

+ C

245.

∫1

(x2 + 6x+ 13)2dx =

arctan(2x+6

4

)16

+x+ 3

8x2 + 48x+ 104+

C

246.

∫1

(x2 − 4x+ 5)2dx =

arctan(2x−4

2

)2

+x− 2

2x2 − 8x+ 10+ C

16 Jjpj-Msm


247.

∫1

(x2 + 9)2dx =

arctan(x3

)54

+x

18x2 + 162+ C

* Caso 3. f(√

b2u2 − a2)

248.

∫ √x2 − 4

x3dx =

1

4arcsin

(√x2 − 4

x

)− 1

2

√x2 − 4

x2+ C

249.

∫1

(x2 + 2x)32

dx = − x+ 1√x (x+ 2)

+ C

250.

∫1

x (x2 − 9)32

dx =−1

27

3√x2 − 9

− 1

27asec

(x3

)+ C

251.

∫1

x2√x2 − 7

dx =

√x2 − 7

7x+ C

252.

∫ √4x2 − 9

xdx =

√4x2 − 9− 3 arctan

(√4x2 − 9

3

)+ C

253.

∫x2√

x2 − 16dx = 8 ln

(2√x2 − 16 + 2 x

)+x√x2 − 16

2+ C

254.

∫1

(4x2 − 9)32

dx = − x

9√

4x2 − 9+ C

255.

∫1

x3√x2 − 9

dx =1

54arctan

(√x2 − 9

3

)+

√x2 − 9

18x2+ C

Integracion por fracciones parciales

* Primer caso. Factores lineales diferentes

256.

∫7x− 1

x2 − x− 6dx = 3 ln (x+ 2) + 4 ln (x− 3) + C

257.

∫4x2 − x− 8

x3 − x2 − 2xdx = −ln (x+ 1) + 4 ln (x) + ln (x− 2) + C

258.

∫x2 + 2x+ 3

(x− 1) x (x+ 1)dx = ln (x+ 1)−3 ln (x)+3 ln (x− 1)+C

259.

∫6x− 15

x2 − 3xdx = 5 ln (x) + ln (x− 3) + C

260.

∫x+ 16

x2 + 2x− 8dx = 3 ln (x− 2)− 2 ln (x+ 4) + C

261.

∫3x

x2 − 2x− 3dx =

3 ln (x+ 1)

4+

9 ln (x− 3)

4+ C

262.

∫7x− 10

2x2 − 7x− 4dx =

3 ln (2x+ 1)

2+ 2 ln (x− 4) + C

263.

∫x2 − 2

x3 − 4xdx =

ln ((x− 2) x2 (x+ 2))

4+ C

17 Jjpj-Msm


264.

∫x+ 1

x3 + 5x2 − 6xdx = −5 ln (x+ 6)

42− ln (x)

6+

2 ln (x− 1)

7+

C

* Segundo caso. Factores lineales repetidos

265.

∫3x2 + 2x− 4

(x+ 1)3dx = 3 ln (x+ 1) +

8x+ 11

2x2 + 4x+ 2+ C

266.

∫x2 − 2x+ 4

(x− 2)2 xdx = ln (x)− 2

x− 2+ C

267.

∫2x− 4

(x− 1)2 (x+ 1)dx = −3 ln (x+ 1)

2+

3 ln (x− 1)

2+

1

x− 1+

C

268.

∫3x+ 2

x2 (x+ 1)dx = −ln (x+ 1) + ln (x)− 2

x+ C

269.

∫x

(x− 3) (x+ 1)2dx = −3 ln (x+ 1)

16+

3 ln (x− 3)

16−

1

4x+ 4+ C

270.

∫2x2 − 25x− 33

(x− 5) (x+ 1)2dx = 5 ln (x+ 1)−3 ln (x− 5)− 1

x+ 1+C

271.

∫x− 2

x3 − 2x2 + xdx = −2 ln (x) + 2 ln (x− 1) +

1

x− 1+ C

272.

∫x3 + 1

(x− 1)3 xdx = −ln (x) + 2 ln (x− 1)− x

x2 − 2x+ 1+ C

273.

∫6x− 1

x3 (2x− 1)dx = 8 ln (2x− 1)− 8 ln (x) +

8x− 1

2x2+ C

* Tercer caso. Factores cuadraticos diferentes

274.

∫x3 + 3x+ 1

(2x+ 1) (x2 + 1)dx =

3 ln (x2 + 1)

10− ln (2x+ 1)

10+

61 arctan (x)

51+ C

275.

∫2x2 + 4x− 1

(x− 1) (x2 + 2x+ 2)dx =

ln (x2 + 2x+ 2)

2+

2 arctan

(2x+ 2

2

)+ ln (x− 1) + C

276.

∫x2 + 2x+ 3

(x− 1) x (x2 + 3)dx = − ln (x2 + 3)

4−

arctan(

x√3

)2√

3−

ln (x) +3 ln (x− 1)

2+ C

277.

∫1

x (x2 + 2)dx =

ln (x)

2− ln (x2 + 2)

4+ C

18 Jjpj-Msm


278.

∫2x2 + 6x+ 7

(x+ 2) (x2 + 2x+ 3)dx =

ln (x2 + 2x+ 3)

2+

arctan(

2x+2

232

)√

2+ ln (x+ 2) + C

279.

∫2x2 − x+ 4

x3 + 4xdx =

ln (x2 + 4)

2+ ln (x)−

arctan(x2

)2

+ C

280.

∫(x+ 1)2

x3 + xdx = ln (x) + 2 arctan (x) + C

281.

∫3x3 − 4x2 − 4x+ 4

(x− 1)2 (x2 + 1)dx = 2 ln

(x2 + 1

)+

7 arctan (x)

2−

ln (x− 1) +1

2x− 2+ C

282.

∫4x3 − 3x2 + 6x− 27

x4 + 9x2dx =

5 ln (x2 + 9)

3+

2 ln (x)

3+

3

x+C

* Cuarto caso. Factores cuadraticos repetidos

283.

∫x3 + 3x

(x2 + 1)2dx =

ln (x2 + 1)

2− 1

x2 + 1+ C

284.

∫x2 + x+ 2

(x2 + 2x+ 3)2dx =

arctan(

2x+2

232

)√

2+

1

2x2 + 4x+ 6+ C

285.

∫x3 + x+ 1

(x2 + 1)2dx =

ln (x2 + 1)

2+

arctan (x)

2+

x

2x2 + 2+ C

286.

∫x3 + x2

(x2 + 1)2dx =

ln (x2 + 1)

2+

arctan (x)

2− x− 1

2x2 + 2+ C

287.

∫x2

(x2 + 4)2dx =

arctan(x2

)4

− x

2x2 + 8+ C

288.

∫x2

(2x2 + 2x+ 1)2dx =

arctan(4x+2

2

)2

+1

8x2 + 8x+ 4+ C

* Fracciones impropias

289.

∫x4 + 3x3 + x2 + 1

x3 + x2dx = −ln (x) +

x2 + 4x

2− 1

x+ C

290.

∫x3 − 2x

x2 + 3x+ 2dx = 4 ln (x+ 2) + ln (x+ 1) +

x2 − 6x

2+ C

291.

∫x4 − x3 − x− 1

x3 − x2dx = 2 ln (x)− 2 ln (x− 1) +

x2

2− 1

x+ C

292.

∫x2 − 5x− 6

x2 − 4dx = −2 ln (x+ 2)− 3 ln (x− 2) + x+ C

293.

∫x3 + x− 1

x2 + xdx = 3 ln (x+ 1)− ln (x) +

x2 − 2x

2+ C

19 Jjpj-Msm


294.

∫x3 − x2 + 5

x2 − 9dx =

31 ln (x+ 3)

6+

23 ln (x− 3)

6+x2 − 2x

2+C

295.

∫x4 + 2x3 + 9x+ 6

x (x2 − 2x+ 3)dx =

3 ln (x2 − 2x+ 3)

2+

232 arctan

(2x− 2

232

)+ 2 ln (x) +

x2 + 8x

2+ C

296.

∫x4 + 3x3 + 2x2

x2 + 2x+ 1dx = ln (x+ 1) +

2x3 + 3x2 − 6x

6+ C

Integral definida

Teorema fundamental del calculo integral: Si f(x) es continuaen el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b, y F (x) es la primitiva ointegral indefinida de f(x), se verifica que∫ b

a

f(x)dx = F (x) |ba= F (b)− F (a).

* Determina el valor de las integrales definidas.

297.

∫ 1

0

(3− 2x) dx

298.

∫ 3

0

(2x+ 5) dx

299.

∫ 5

1

(100− 3x2) dx

300.

∫ 1

−1(x2 − x3) dx

301.

∫ −1−3

(1

x2− 1

x3) dx =

10

9

302.

∫ 1

−1(2x2 − x3) dx =

4

3

303.

∫ 1

0

3√

8x7 dx =3

5

304.

∫ 1

0

z2

(1 + z3)2dz =

1

6

305.

∫ 2

1

w + 1√w2 + 2w

dw ≈ 1.10

306.

∫ 2

0

x2√x3 + 1 dx =

52

9

307.

∫ 9

4

t− 3√tdt =

20

3

20 Jjpj-Msm


308.

∫ 1

0

(2x− 3)(5x+ 1) dx =−37

6

309.

∫ 3

−2e−x/2 dx = 4.99

310.

∫ 2

−1

dx

x2 − 9=

1

6ln(0.1)

311.

∫ e

1

ln(x) dx = 1

312.

∫ 8

4

x√x2 − 25

dt = 6

313.

∫ 4

2

√16− x2x

dx = 4(

ln(2 +√

3)− 2√

3

314.

∫ √20

x3ex2

dx =1

2(e2 + 1)

* Determine el area de la region R bajo la curva y = f(x)en el intervalo [a, b] indicado, grafique las funciones en Deriveo Geogebra y especifique la region R.

315. f(x) = 2x− 1, x ∈ [1, 2].Sol: A = 2u2

316. f(x) = x2, x ∈ [0, 1].

Sol: A = 13u2

317. f(x) = x2, x ∈ [1, 3].Sol: A = 26

3u2.

318. (x) = x3, x ∈ [0, 1].Sol: A = 1

4u2.

319. f(x) =√x, x ∈ [0, 1].

Sol: A = 23u2.

320. f(x) =1

x, x ∈ [1, 2]

Sol: A = Ln(2)u2

321. f(x) = e−x, x ∈ [0, 1]Sol: A ≈ 0.63u2

322. f(x) = ln(x), x ∈ [1, 2]Sol: A ≈ 0.38u2

21 Jjpj-Msm


323. f(x) = sin(x), x ∈ [0, π2]

Sol: A = 1u2

* Determine el area de la region R entre las curvas siguien-tes, grafique las funciones en Derive o Geogebra y especifiquela region R.

324. Entre f(x) = x2 + 1, y = 5.

Sol: A =32

3u2

325. Entre f(x) = 1− x2, y = x− 1.

Sol: A =9

2u2

326. Entre f(x) = 4x− x2, y = 0.

Sol: A =32

3u2

327. Entre x = 8 + 2y − y2, x = 0, y = −1, y = 3.

Sol: A =92

3u2

328. Entre y = x2 − 7x+ 6, y = 0, x = 2, x = 6.

Sol: A =56

3u2

329. Entre y = x3 − 6x2 + 8x, y = 0.Sol: A = 8u2

330. Entre x = 4− y2, x = 0.

Sol: A =32

3u2

331. Entre y2 = 4 + x, y2 + x = 2.Sol: A = 8

√3u2

332. Entre y2 = 4x, y = 2x− 4.Sol: A = 9u2

333. Entre y = 6x− x2, y = x2 − 2x.

Sol: A =64

3u2

Volumenes de solidos de revolucion

334. Muestra que el volumen de la esfera es V = 43πr3.

* Determine el volumen solido de revolucion generado algirar la region R alrededor del eje x.

22 Jjpj-Msm


335. Region entre y = x, y = x2.

Sol: V =2

15πu3

336. Region entre y2 = 8x, x = 2.Sol: V = 16πu3

337. Region entre y2 = 8x, x = 2.Sol: V = 16πu3

338. Region entre y =1

4x2, x = 4, y = 0.

Sol: V =64

5πu3

339. Region entre y = x3, x = 2, y = 0.

Sol: V =128

7πu3

340. Region entre y = 4x, y = 4x2.

Sol: V =32

15πu3

341. Region entre y =√x, x = 4, y = 0.

Sol: V = 8πu3

342. Region entre y = x2, y = 4− x2.

Sol: V =64√

2

3πu3

* Determine el volumen el solido de revolucion generado algirar la region R alrededor del eje y.

343. Region entre y2 = 8x, x = 2.

Sol: V =128

5πu3

344. Region entre x = y2, x = 0, y = 2.

Sol: V =32

5πu3

345. Region entre x =√y, x = 0, y = 4.

Sol: V = 8πu3

346. Region entre y = 4x, y = 4x2.

Sol: V =2

3πu3

347. Region entre y = x2, y = 2.Sol: V = 2πu3

23 Jjpj-Msm


348. Region entre y2 = x, 2y = x.

Sol: V =64

15πu3

349. Region entre x = y2, y − x+ 2 = 0.

Sol: V =72

5πu3

350. Region entre y = x3, y = 8, x = 0.

Sol: V =96

5πu3

24 Jjpj-Msm


Bibliografia:

1. Problemario de calculo integral 2009

2. Ayres, F. Jr. 1982. Calculo Diferencial e Integral. Serie de Compendio Schaums, Mc. Graw Hill.

3. Granville, W. A., P. F. Smith, y W. R. Longley. 1978. Calculo Diferencial e Integral. Editorial UTEHA.

4. Purcell, E. J. y D. Varberg. 1987. Calculo con Geometrıa Analıtica. Prentice Hall.

25 Jjpj-Msm

Problemario de calculo integral

Documents

Transcript of Problemario de calculo integral