Calculo III - Teoria e Exercícios Resolvidos

Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 01-12-2009 1/316

Sugestões: [email protected] Calculo III – Modulo I

Índice

Teoria 02 Exercicios de Equações com Variaveis Separaveis 09 Exercicios com Equações Homogeneas 12 Exercicios com Equações Exactas 28 Exercícios de Âmbito Geral aplicados ao dia a dia 44 Equações Lineares de 1ª Ordem

Coeficientes Constantes

Incompletas Factor de Integração Por Inspecção MVC – Independente MVC – Dependente

Completas

Factor de Integração Por Inspecção MVC – Independente MVC – Dependente

Coeficientes Não Constantes

Incompletas Factor de Integração Por Inspecção MVC – Independente MVC – Dependente

Completas

Factor de Integração Por Inspecção MVC – Independente MVC – Dependente

Metodo de Bernouille

Metodo de Riccati Trajectorias Ortogonais Euler Pontos Singulares

2ª Ordem

Linearmente Independente

Sabendo uma solução Particular

Coeficiente Constante

Incompletas

Equação Caracteristica



MVC - Independente

MVC - Dependente

Completas

Factor de Integração

Por Inspecção

MVC - Independente

MVC - Dependente

Coeficiente Não Constante

Incompletas


Por Inspecção

MVC - Independente

MVC - Dependente

Serie de Potencia

Completas


Por Inspecção

MVC - Independente

MVC - Dependente

Bernouille

Ricatti

Trajectorias Ortogonais

Euler

Regular

Pontos Singulares

Numeros Complexos

Teorema dos Residuos

Serie de Laurent

Serie de Taylor

Regência, Responsável pelas Pautas, Ensino teórico: Prof. Dr. Margarida Maria Coelho Ribeiro de Faria Ensino teórico-prático Luís Elias Ribeiro Rodrigues Ano 2008/2009



Quero uma solução para os pontos ( )0,0 e para o ponto ( ) 3ln 2 ,

4

.

Para � �

1 2

0 00 0 0x x

y y

y y Ae Be Ae Be A B A B−= → = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = −

Assim a solução pedida é � �

( )1 2

1 1

2 2x x

y y

y e e sh x−= − =

Solução Singular

1 1, com y -1

1dy dx

y x

= ≠ +

∫ ∫

Mas se 0c = , então o -1 já faz parte do domínio. Se o -1 não pudesse fazer parte, e o “c” não me pudesse ajudar, teria que procura uma solução singular.

Nota de equações não lineares: 5xy = , é de grau 2, e ( )sin x , é transcendente.

Mas 5x y+ = é linear em “x” e em “y”!

Diferenciável

( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =

Se ( ),f f

f x y df dx dy Mdx Ndyx y

∂ ∂∃ → = + = +

∂ ∂

( ), 0df x y = , e só uma constante dá zero, logo ( ),f x y é uma constante.

Se M

y

∂

∂ e

N

x

∂

∂, são duas funções continuas, então a equação é exacta se

M N

y x

∂ ∂=

∂ ∂, então posso afirmar que

:f

f Mx

∂∃ =

∂ e

fN

y

∂=

∂

Para a 2ª derivada também 2N f f

x x y y x

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂



Equações com Variaveis Separadas

A equação diferencial do tipo

( ) ( )f y dy g x dx=

tem a designação de equação com variáveis separadas.

Equações Homogeneas

Definição 1: Se uma função f satisfaz

( ) ( ), . ,nf tx ty t f x y=

para algum número real n , então dizemos que f é uma Função Homogénea de grau n .

( ) 2, 3f x y x xy= −

( ) ( ) ( )( )2, 3f tx ty tx tx ty= −

( ) 2 2 2, 3f tx ty t x xyt= −

( ) ( )( )

2 2

,

, 3

f x y

f tx ty t x xy

=

= −��

Logo posso concluir que é homogenea, e de grau 2

( ) 2,f x y x y= +

( ) ( )2,f tx ty tx ty= +

( ) 2 2,f tx ty t x ty= +

( ) ( )( )

2

,

,

f x y

f tx ty t tx y

≠

= +��

Logo posso concluir que NÃO é homogenea.

O truque é ter a mesma potencia em TODOS os termos (tratar as diferentes variaveis como se fosse uma só ) Definição 2: Uma equação diferencial da forma

( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =

é chamade uma Equação Diferencial Homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogéneas do mesmo grau.

Método de Solução: Introduzir uma nova variável u , tal que y ux= (com ( ) ( )dy u dx x du= + )



Equações Exactas

Definição 1: Uma forma diferencial do tipo ( ) ( ), ,M x y dx N x y dy+ , diz-se exacta numa certa região se ela

corresponder à diferencial total de alguma função f .

Definição 2: Uma equação diferencial da forma ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = , é denominada por equação

diferencial exacta se o primeiro membro é uma forma diferencial exacta.

Teorema: Para que a equação ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =

seja uma equação diferencial exacta é necessario e suficiente que, para quaisquer “x” e “y” pertencentes a um certo dominio D, convexo, se verifique a igualdade

M N

y x

∂ ∂=

∂ ∂

Observação – Em geral a equação ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = não é exacta. Eventualmente poderá existir uma

função ( ),I x y tal que ( ) ( ) ( ), . , , 0I x y M x y dx N x y dy+ = seja exacta. À função ( ),I x y dá-se o nome de

Factor Integrante.

Existem pelo menos três situações em que se pode determinar ( ),I x y .

- ( )( )g x dx

I e∫= se 1 M N

N y x

∂ ∂−

∂ ∂ é apenas uma função de x , com ( ) 1 M N

g xN y x

∂ ∂= −

∂ ∂

- ( )( )h y dy

I e−∫= se

1 M N

M y x

∂ ∂−

∂ ∂ é apenas uma função de y , com ( ) 1 M N

h yM y x

∂ ∂= −

∂ ∂

- ( ) ( )

1

, ,I

xM x y yN x y=

− se ( ) ( ),M x y yf xy= e ( ) ( ),N x y xg xy=

Equações Lineares de 1ª Ordem

Definição: Chama-se Equação Diferencial Linear de 1ª ordem a uma equação do tipo

( ) ( )'y p x y q x+ =

onde p e q são funções continuas no dominio em que se pretende integrar a equação.



Equações Lineares com Coeficientes Constantes

Definição – chama-se equação diferencial linear de ordem “n” com coeficientes constantes a uma equação diferencial do tipo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 01 2 1 0...n n

n na y a y a y a y a y f x−−+ + + + + =

Onde { } 1 2 1 1, ,..., ,\ 0 ,n na a a a a−∈ ∈� � , e f uma função.

Notar a importancia do 1º termo não poder ser zero “ { }\ 0 ”!

Outra nota é a notação matematica, pois ( )ny não é uma potencia, mas sim a ordem da derivada, como por

exemplo ( )4y é derivada em ordem a 4 (em vez de por 4 palitos - ''''y )

Outra nota importante é “ … com Coeficientes Constantes ”, os coeficientes são SÓ os que afectam o “y”.

Equações de Bernoulli e de Riccati

Equação de Bernoulli

A Equação de Bernoulli tem a forma

( ) ( )' ny p x y q x y+ =

Com 0n ≠ e 1n ≠ .

Através da substituição da variavel 1 nz y −= a Equação de Bernoulli pode ser reduzida a uma Equação

Diferencial Linear de 1ª Ordem (e que depois já sei resolver).

Equação de Riccati

Uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem com a forma

( ) ( ) ( )2' 0y a x y b x y c x+ + + =

Onde ( )a x , ( )b x e ( )c x são funções conhecidas, chamadas de Equações de Riccati

Observação: se ( )1y u x= é solução particular de uma Equação de Riccati então, através da mudança de variavel

( ) 1y u x

z= + , a Equação de Riccati reduz-se a uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem.




Uma equação da forma

( ),f x y c=

Onde “c” é uma constante, define uma familia de curvas. As trajectorias ortogonais são outra familia de curvas que intersectam a primeira familia perpendicularmente: em cada ponto de uma das curvas da primeira familia passa uma curva da segunda familia, formando um angulo de 90º.

Para encontrar a familia de trajectorias ortogonais às curvas ( ),f x y c= , começamos por encontrar uma equação

diferencial cuja solução geral seja ( ),f x y c= ; essa equação encontra-se derivando implicitamente a equação

anterior:

0

ff f y y x

fx y x xy

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⇔ = −

∂∂ ∂ ∂ ∂∂

A derivada y

x

∂

∂ representa em cada ponto o declive da curva que passa por esse ponto. O declive da curva

ortogonal será o simetrico do inverso de y

x

∂

∂, isto é,

x

y

∂−

∂.

Assim, a solução geral da equação

fy x

fxy

∂∂ ∂= −

∂∂∂

, representa a familia de trajectorias ortogonais.



Exercicios de como se deve determinar a Solução Geral

1 – Determinar a solução geral das seguintes equações:

( )) '' 0xa y e− = 2) 'b y x=

( ) ( )2

) '' ' 1 0c y y+ + =

Resolução 1.a):

( ) '' 0xy e− = , trata-se de uma equação de 2ª ordem (é a segunda derivada de “y”). Vou por isso integrar para a 1ª

derivada, e só depois integro para a primitiva.

( ) ( )� ( ) ( ) �

N o integrar para esquecer!a 1ª derivada

'' ' ' ,x x x

ã

y e y e dx y e c com c⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ ⇔∫ �

Agora vou integrar para chegar a primitiva:

( ) �N o esquecer!

x x

ãÉ diferentedo primeiro

y e c dx y e cx K⇔ = + ⇔ = + + ⇔∫

Assim sendo, a Solução Geral é , ,xy e cx k com c k= + + ∈� Resolução 1.b): nota, apesar do “x” estar ao quadrado, este facto não interessa, pois a sua classificação está dependente da derivada de maior ordem, o que neste exercício o seu grau é 1 (o “y” está com uma potencia de 1) e Ordem 1 (Primeira Derivada).

( )3

2 2'3

xy x y x dx y c= ⇔ = ⇔ = +∫

Também se poderia resolver deste modo:

( ) ( )2 2 2 2' 1dy

y x x dy x dx dy x dxdx

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =∫ ∫

Assim sendo, a Solução Geral é 3

,3

xy c com c= + ∈�



Resolução 1.c): trata-se de uma equação quadrática de 2ª ordem, pois o seu grau é 2 (o “y” está com uma potencia de 2, a primeira derivada) e Ordem 2 (pois temos uma segunda derivada).

( ) ( )2

'' ' 1 0y y+ + = , tenho que ter cuidado, pois não tenho o “x”, logo não posso integrar.

Poderia se tivesse a seguinte equação: ( ) ( ) ( )'' 'x xy e y e dx= ⇔ = ∫

E também não posso fazer: ( ) ( ) ( )'' '. ' 1 0y y y+ + =

Só tenho uma solução, que é BAPTIZAR com novas variaveis:

( ) ( ) ( )' ' ''z y e z y= =

Fica: ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 1 0 ' 1z z z z+ + = ⇔ = − −

Qual é a variavel indenpendente (este exercicio de se questionar sobre a dependencia é importante)?

Não tenho! Só tenho a dependente. ( ) ( )( )2 21 1

dzz dz z dx

dx⇔ = − − ⇔ = − − ⇔

Agora vou ter que separar as variaveis, para depois poder integrar, dividindo TUDO por ( )21z− − :

( )( )

( )( )2 2

1 11 1

1 1dz dx dz dx

z z

⇔ = ⇔ = − − − −

∫ ∫

Pode não parecer, mas faz-me jeito multiplicar TUDO por ( )1− , para ter no denominador 2 1z + :

( ) ( )2

11 ,

1dz dx arctg z x c com c

z

⇔ = − ⇔ = − + ∈ + ∫ ∫ �

Ora também sei que ( )14

arctgπ

= e a 14

tgπ

=

, assim através desta analogia: ( )z tg x c= − +

Agora vou repor as variaveis iniciais: ( ) ( ) ( )' ' ''z y e z y= = , então ( ) ( )'y tg x c= − +

Vou primitivar: ( )y tg x c dx= − +∫

Agora uma atenção especial, pois facilita IMENSO os calculos se eu conseguir perceber que vale a pena fazer isto:

( )( )( )

sin

cos

x cy tg x c dx y dx

x c

− += − + ⇔ = ⇔

− +∫ ∫

E antes de avançar, tenho que recordar que: ( ) ( ) ( ) ( )sin sin cos cosα α α α− = − ∧ − =

Prosseguindo: ( )( )

( )sin

cos

x cy tg x c dx y dx

x c

− −= − + ⇔ = ⇔

−∫ ∫

Assim sendo, a Solução Geral é ( )ln cos , ,y x c k com c k= − + ∈�



Exercicios de Equações com Variaveis Separaveis 1 - Resolva as seguintes equações diferenciais:

( ) ( )( )21.1 1 2cos 3y dy x x dx+ = − ( )21.2 ' 3 4siny x x= −

( ) ( )21.3 1 0y dx xy dy+ + = 2 21.4 1 ' 1 0x y yy x+ + + =

Nota: tenho que ter o cuidado de não multiplicar o 'yy (exercicio 1.4), pois as variaveis são diferentes, enquanto

que a primeira é “y”, a segunda é a derivada de “y”.

Resolução - ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 21.1 1 2cos 3 1 2cos 3y dy x x dx y dy x x dx+ = − ⇔ + = −∫ ∫

( )3 2

1 2

32sin

3 2

y xy c x c+ + = − +

Nota para não termos o 1" "c+ no primeiro membro, faço 1 2c c c+ = , e assim fica:

( )3 23

2sin ,3 2

y xy x c com c+ = − + ∈�

Cuidado, pois o que se faz é derivar o seno e não integrar! Resolução –

( ) ( ) ( )2 2 21.2 ' 3 4sin 3 4sin 3 4sindy

y x x x x dy x x dxdx

= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

( ) ( )2 31 3 4sindy x x dx y ⇔ = − ⇔ = ∫ ∫

3

3

x ( ) ( )34cos 4cos ,x y x x c com c+ ⇔ = + + ∈�

Resolução – ( ) ( ) ( ) ( )2 21.3 1 0 1y dx xy dy y dx xy dy+ + = ⇔ + = −



Assim vou dividir por “x” e por 2"1 "y+ (cuidado pois é também com “1+…”), vou fazer um de cada vez:

( )21 y

dx y dyx

+⇔ = − ⇔

2

1

1

ydx dy

x y

⇔ = − ⇔ +

Pronto, como já separei as variáveis, posso integrar:

22 2

1 1 2 1ln ln ln 1

2 21 1

y ydx dy x dy x y c

x y y

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + + ⇔ + +

∫ ∫ ∫

( )( )

1 22 22

2 22

ln ln 1 ln 1,1

c B Ax y e x y com A

xy

−⇔ = + + ⇔ = ⇔ = − ∈

+�

Resolução –

( )2 2 2 2 2 21.4 1 ' 1 0 1 1 0 1 1 0dy dy

x y yy x x y y x x y y xdx dx

+ + + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1x y dx y x dy x y dx y x dy⇔ + = − + ⇔ + = − + ⇔

2 21 1

x ydx dy

x y

⇔ = − ⇔ + +

Pronto, como já separei as variáveis, posso integrar:

( ) ( )1 1

2 22 2

2 21 1

1 1

x ydx dy x x dx y y dy

x y

− − ⇔ = − ⇔ + = − + ⇔ + +

∫ ∫ ∫ ∫



Recordar a formula da potencia: ( )1

'.1

nn u

u u dxn

+

=+∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 112 22 21 1

2 2 22 21 1

1 ' 1 0 2 11 1

12 2

x xx x dx x x dx

− +

− + + + + = ⇔ + + = ⇔

− +∫ ∫

( ) ( )1 1

2 22 21 2 12x x dx x

+ = + ∫ , falta-me o “2”, logo acrescento

1

2.

( ) ( )1 1

2 22 21 1

2 1 2 12 2

x x dx y y dy− −

⇔ + = − + ⇔ ∫ ∫

1

2⇔ . 2 ( )

12 2

1. 1

2x+ = − . 2 ( )

12 2 22. 1 1 1 ,y c x y c com c

+ + ⇔ + + + = ∈

�

Cuidado pois , não posso fazer esta simplicação: ( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 21 1 2x y c y c x+ + + = ⇔ = − −

2 - Calcule a solução particular da ( )1 'x xe yy e+ = que satisfaz a condição inicial 0

1x

y=

= . (y = 1 quando x =

0).

0

01

1x

xy

y=

== →

=

Resolução:

( ) ( ) ( ) ( )1 ' 1 1x x x x x xdye yy e e y e e y dy e dx

dx + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔

( ) ( )

as variáveis já estão separadas

1 1

x x

x x

e ey dy dx y dy dx

e e

⇔ = ⇔ = ⇔

+ + ∫ ∫

��

Solução Geral ( ) ( ) ( )2 22

2 2ln 1 ln ln 1 ln 1

2x y x d y xy

e c e e e e A e= + + ⇔ = + + ⇔ = +

Mas como é dito no enunciado que quando x = 0, y = 1, fica:

( )21 0 21 4

4

ee A e e A A= + ⇔ = ⇔ =

Agora vou a solução geral e substituiu o valor de “c” pelo valor obtido:

Solução Particular 2

21

2

xy e

e e +

=



Exercicios com Equações Homogeneas

1 – Verifique que as equações diferenciais são homogeneas e resolva-as:

2 21.1 'xy x y y= − +

( ) ( )1.2 4 3 2 3 0x y dx y x dy− + − =

Resolução 2 2 2 21.1 'dy

xy x y y x x y ydx

= − + ⇔ = − + ⇔

( ) ( )2 2x dy x y y dx⇔ = − + ⇔

Nota: se fosse uma Equações com Variaveis Separadas, não havia maneira de separar! Mas como não é isso que é pedido, adiante:

( ) ( )2 2

Grau 1

0x y y dx x dy⇔ − + − = ⇔��

2 2x y− é grau 1, pois apesar de estar elevado ao quadrado, tem a raiz quadrada.

Como TODOS os termos são de grau 1, posso afirmar de que se trata de uma Equação Homogenea de Grau 1. Mas posso confirmar, utilizando a definição 1: ( ) ( ), . ,nf tx ty t f x y=

( ) 2 2,M x y x y y= − +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, ,M tx ty tx ty ty M tx ty t x t y ty= − + ⇔ = − + ⇔

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2, ,M tx ty t x y ty M tx ty t x y ty⇔ = − + ⇔ = − + ⇔

( ) ( )( )

2 2

,

,

M x y

M tx ty t x y y

=

⇔ = − +��

logo é homogenea e de grau 1



( ) ( )�

2 2

Grau 1Grau 1

homogenea e de grau 1

Equação Diferencial Homogenea

0x y y dx x dy⇔ − + − = ⇔��

Como já identifiquei a equação, vou utilizar o metodo de resolução, que é a introduzir uma nova variável u , tal

que y ux= (com ( ) ( )dy u dx x du= + ).

Ou seja se não conseguisse identificar que a equação era homogenea, poderia não conseguir resolver este exercicio. Como consegui saber, e sei qual é o metodo de resolução, vou seguir em frente: Vou começar por substituir a variavel “y”:

( ) ( ) ( )� � ( ) ( )( )

( )

2

22 2 2

yy dy

x dy

x y y dx x dy x ux ux dx x u dx x du

− + − → − + − + ��

��

Assim e após substituir:

( ) ( ) ( )22 0x ux ux dx x u dx x du − + − + = ⇔

( ) ( ) ( )2 2 2 2 0x u x ux dx xu dx x du ⇔ − + − − = ⇔

Cuidado que o sinal exterior afecta todos os termos do interior do parentesis.

( )( ) ( ) ( )2 2 21 0x u ux dx xu dx x du⇔ − + − − = ⇔

( ) ( ) ( )2 2

Vou agrupar

1 0x u ux dx xu dx x du⇔ − + − − = ⇔��

21x u ux⇔ − + xu−( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 1 0dx x du x u dx x du− = ⇔ − − = ⇔

( ) ( )2 21x u dx x du⇔ − = ⇔

Tenho aqui as variaveis SEPARADAS! Vou agrupa-las nos termos certos:

2 2 2

1 1 1

1 1

xdx du dx du

xx u u

⇔ = ⇔ = ⇔ − −

( )2

1 1ln arcsin

1dx du x u c

x u

⇔ = ⇔ = + ⇔ − ∫ ∫

( ) ( ) ( )arcsin ln arcsin ln ln cu x c u x e⇔ = − ⇔ = − ⇔



Ao fazer isto ( )ln cc e= , tenho em vista a simplificação do calculo! (e é uma igualdade verdadeira).`

( ) ( ) ( )arcsin ln arcsin ln arcsin lnc c c

x x xu u u

e e e

±⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

±

Vou criar uma nova constante, que é cK e= ± , e assim sendo, fica:

( )arcsin lnx

uK

⇔ = ⇔

Como sei que ( )arcsin 1 14 4

tgπ π = ∧ =

, então ( )( )sin lnu Kx⇔ = ⇔

E como y

ux

= , então ( )( )sin lny

Kxx

=

Solução Geral : ( )( ).sin ln , com Ky x Kx= ∈�

Resolução ( ) ( )1.2 4 3 2 3 0x y dx y x dy− + − =

Como já identifiquei a equação, ela é homogenea, vou utilizar o metodo de resolução, que é a introduzir uma

nova variável u , tal que y ux= e ( ) ( )dy u dx x du= + .

Substituindo: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )4 3 2 3 0x ux dx ux x u dx x du− + − + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( )4 3 2 3 0x ux dx ux x u dx x du⇔ − + − + = ⇔

( ) ( )( ) ( )( )4 3 2 3 2 3 0x ux dx ux x u dx ux x x du⇔ − + − + − = ⇔

( ) ( ) ( )2 2 24 3 2 3 2 3 0x ux dx u x xu dx ux x du⇔ − + − + − = ⇔

( ) ( )2 2 24 3 2 3 2 3 0x ux u x xu dx ux x du⇔ − + − + − = ⇔

( ) ( )2 24 2 6 2 3 0x u x xu dx x u du⇔ + − + − = ⇔

Vou criar condições para separar as variaveis, que é por em evidencia o que vou passar para o outro membro:

( ) ( )2 24 2 6 2 3 0x u u dx x u du⇔ + − + − = ⇔

2 2 2

2 3 2 3 10

4 2 6 4 2 6

x u udx du du dx

xx u u u u

− − ⇔ + = ⇔ = − ⇔ + − + −

( )2 2

2. 2 32 3 1 1 1

24 2 6 2 6 4

uudu dx du dx

x xu u u u

− − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + − − + ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 21ln 2 6 4 ln ln 2 6 4 2 ln

2u u x c u u x c⇔ − + = − + ⇔ − + = − − ⇔



2ln 2 6 4 2 ln 2u u x c⇔ − + = − − ⇔

Vou organizar a equação de modo a facilitar a sua simplificação:

22 2ln 2 6 4 ln ln lncu u x e−

⇔ − + = − ⇔ 22 6 4 lnu u− + =2

2c

x

e

−

⇔

�

2 2

2 2 2

1 12 6 4 . 2 6 4 , com K

c

K

Ku u u u

e xx⇔ − + = ⇔ − + = ∈�

Sei que ( )yu y ux

x= =

2

22 6 4

y y K

x x x

⇔ − + = ⇔

(vou multiplicar por 2x )

�

2 2 2 22 6 4 3 22A

Ky xy x K y xy x⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

2 23 2 , com Ay xy x A− + = ∈�

2 - Muitas das vezes as Equações Homogéneas resolvem-se utilizando o metodo que consiste n transformação em coordenadas polares.

Resolva a equação ( ) ( )2 2 2 23 ' 0x y y y x xy+ + − = , usando coordenadas polares.

Resolução:

( ) ( )2 2 2 23 ' 0x y y y x xy+ + − =

( ) ( )2 2 2 23 0dy

x y y y x xdx

⇔ + + − = ⇔

Vou multiplicar TUDO por dx

( ) ( )2 2 2 23 .dy

x y y dx y x xdx

⇔ + + − . dx 0= ⇔

( ) ( )2 2 2 23 . 0x y y dx y x x dy ⇔ + + − = ⇔

Vou começar por analisar o grau da equação. Uma equação diferencial da forma

( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =

é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogéneas do mesmo grau No 1º rermo é 3 e no 2º também é 3. Como TODOS os termos são de grau 3, posso afirmar de que se trata de uma Equação Homogenea de Grau 3. Mas neste exercicio não posso utilizar o metodo de resolução de uma Equação Homogenea, que é a introduzir

uma nova variável u , tal que y ux= e ( ) ( )dy u dx x du= + , pois é-me pedido para resolver o exercicio pelas

coordenadas polares.



Assim: ( )( )

cos

sin

x

y

ρ θ

ρ θ

=

=

( ) ( )( ) ( )

cos sin

sin cos

dx d d

dy d d

θ ρ ρ θ θ

θ ρ ρ θ θ

= −

= +

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23 cos sin sin . cos sin sin cos cos . sin cos 0d d d dρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ ρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ ⇔ + − + − + = ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 23 cos sin sin . cos sin sin cos cos . sin cos 0d d d dρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ ρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ ⇔ + − + − + = ⇔

Vou dividir a equação ao meio para não se tornar confuso, e irei utilizar a designação de termo 1 e termo 2:

Termo 1: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23 cos sin sin . cos sind dρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ + −

Termo 2: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2sin cos cos . sin cosd dρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ − +

Assim sendo, vou começar com o 1º termo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23 cos sin sin . cos sind dρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ + − ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 cos sin sin cos 3 cos sin sin sind dρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ θ ⇔ + − + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 4 2 2 4 2 23 cos sin sin cos 3 cos sin sin sind d d dρ θ θ ρ ρ θ θ ρ ρ θ θ θ ρ θ θ θ ⇔ + − + ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 4 2 2 4 2 23 cos sin sin cos 3 cos sin sin sind dρ θ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ ρ θ θ θ ⇔ + − + ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 4 2 2 2sin cos 3cos sin sin 3cos sind dρ θ θ θ θ ρ ρ θ θ θ θ ⇔ + − +

Agora com o 2º termo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2sin cos cos . sin cosd dρ θ ρ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ − + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 3 3sin cos cos . sin cosd dρ θ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ ⇔ − + ⇔

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 3 3 2 3 3sin cos cos sin sin cos cos cosd dρ θ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ ρ θ ρ θ θ ⇔ − + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 4 2 2 4 4sin cos cos sin sin cos cosd d d dρ θ θ ρ ρ θ θ ρ ρ θ θ θ ρ θ θ⇔ − + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 4 2 2 4 4sin cos cos sin sin cos cosd dρ θ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ ρ θ θ ⇔ − + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 4 2 2 2cos sin sin cos cos sin cosd dρ θ θ θ θ ρ ρ θ θ θ θ ⇔ − + −



Agora, tudo junto, mas só vou agrupar as da mesma ordem de derivada, vou começar por d ρ :

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 3 2 2sin cos 3cos sin cos sin sin cosd dρ θ θ θ θ ρ ρ θ θ θ θ ρ + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 3 2 2sin cos 3cos sin cos sin sin cos dρ θ θ θ θ ρ θ θ θ θ ρ ⇔ + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )3 2 2 2 2sin cos 3cos sin sin cos dρ θ θ θ θ θ θ ρ ⇔ + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 2sin cos 3cos sin sin cos dρ θ θ θ θ θ θ ρ ⇔ + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2sin cos 2cos 2sin dρ θ θ θ θ ρ ⇔ + ⇔

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2

1

sin cos 2 cos sin dρ θ θ θ θ ρ

=

⇔ + ⇔

��

( ) ( )( )32. sin cos dρ θ θ ρ⇔

Agora vou fazer par dθ :

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )4 2 2 2 4 2 2 2sin 3cos sin cos sin cosd dρ θ θ θ θ ρ θ θ θ θ − + + − ⇔

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )4 2 2 2 4 2 2 2sin 3cos sin cos sin cos dρ θ θ θ ρ θ θ θ θ ⇔ − + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )4 2 2 2 2 4 2 2 2 23sin cos sin sin sin cos cos cos dρ θ θ θ θ ρ θ θ θ θ θ ⇔ − + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )4 2 2 2 2 2 2 2 23sin cos sin sin sin cos cos c s . 1o dρ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⇔ − + + −− ⇔

É ( ). 1− , pois 4ρ− só é negativo no 1º termo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )24 22 2 22 2 23sin cos ssin sin cosin co ss co dθ θ θ θρ θ θ θ θ θ ⇔ − + + ⇔ −

( ) ( ) ( ) ( )( )4 2 2 4 4sin cos sin cos2 dρ θ θ θ θ θ ⇔ − + + ⇔



Agora vou arrumar de modo a se perceber o passo que segue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 2 2 2 4cos 2sin cos sin sin dρ θ θ θ θ θ θ − + +

???

É mais simples perceber assim: ( )22 22a ab b a b+ + = + , mas cuidado que aqui os termos “a” e “b” ficam ao

quadrado, pois o resultado é a quarta:

( )24 2 2 4 2 22a a b b a b+ + = +

Assim fica:

( ) ( )2

4 2 2

1

cos sin dρ θ θ θ=

⇔ − + ⇔

��

( )4 dρ θ⇔ −

Agora já posso somar os dois termos (1 e 2) que separei para facilitar os calculos:

( ) ( )( ) ( )3 42. sin cos 0d dρ θ θ ρ ρ θ+ − = (vou dividir TUDO por 3ρ )

( ) ( )( ) ( )2.sin cos 0d dθ θ ρ ρ θ⇔ − = ⇔

( ) ( )( ) ( )2.sin cos d dθ θ ρ ρ θ⇔ = ⇔

Agora deparo-me com outro problemas. As variaveis estão trocadas! Bem esta também é facil, basta dividir o termo do qual não queremos a variavel.

( ) ( )2 1

sin cosd dρ θ

ρ θ θ

⇔ = ⇔

Nota: o 2 é uma constante, logo pode ficar em qualquer lado. Vou deixar no mesmo sitio.

Outra coisa que me vai dar jeito é a de saber a formula fundamental da trigonometria: ( ) ( )2 2cos sin 1θ θ+ = .

Só que aqui vou utilizar de modo inverso a que tenho o habito de utilizar, pois interresa-me ter no numerador

( ) ( )2 2cos sinθ θ+ .

( ) ( )( ) ( )

2 2 2cos sin cos2 2

sin cosd d d

θ θρ θ ρ

ρ θ θ ρ

+ ⇔ = ⇔ =

( )( ) ( )sin cos

θ

θ θ

2sin+

( )( )sin

θ

θ ( )cosdθ

θ

⇔

( )( )

( )( )

cos sin2

sin cosd d

θ θρ θ

ρ θ θ

⇔ = + ⇔

Agora é mais facil de ver que é um logaritmo.

( )( )

( )( )

cos sin2

sin cosd d d

θ θρ θ θ

ρ θ θ

⇔ = + ⇔

∫ ∫ ∫



( ) ( )2ln ln cos ln sin Aρ θ θ⇔ = − + + ⇔

Cuidado com o sinal, pois a primitiva do ( )sin θ é o ( )cos θ− . Outra nota importante a não esquecer é a

constante, que aqui denominei de “A”. Para poder “cortar” os “ln”, vou transforma o “A” numa solução equivalente. Não me posso esquecer de “retirar” o 2 donde está, pois só tem validade precedido do “ln”.

( ) ( ) ( )2ln ln cos ln sin l nn lAeρ θ θ⇔ = − + + ⇔

2lnρ =

( )( )

sin .

cos

Aeθ

θ⇔

( )( )

( )2 2sin ..

cos

AAe

tg eθ

ρ ρ θθ

⇔ = ⇔ = ⇔

Posso retirar os modulos e subtituir as variaveis, pois sei que ( )2 2 2 2 2x y x yρ ρ= + = + e ( ) ytg

xθ =

( )( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

cos cossin

sinsin cos

cos

x

xy y

x tgyy x x

ρρ θ θ

θθρ θ θ θ

θ

= − − − − − − − − − − − =

⇔ ⇔ ⇔ = == =

Assim fica:

( ) ( ) �2

2 2 2 2 2. . . , com c A A

C

ytg e x y e x y y c

xρ θ= ⇔ + = ⇔ + = ∈�

Aqui, neste exercico temos que notar de maneira diferente de Calculo 2, que é:

2 2 0 , com c x y cy+ − = ∈�

3 - Determine a solução da equação ( ) ( )3 3 23 3y x dx xy dy− = , sabendo que quando 1x = se tem 2y = .

Se observar bem a equação vejo logo de que se trata de uma equação homogenea de grau 3. Em caso de duvidas

poderia sempre confirmar utilizando a definição: ( ) ( ), . ,nf tx ty t f x y=

Nota: este calculo é feito termo a termo. Vou começar pelo lado esquerdo:

( ) 3 3, 3M x y y x= −

( ) ( ) ( )( )

3 3 3 3

,

, 3 , 3

M x y

M tx ty ty tx M tx ty t y x= − ⇔ = −��

logo o termo é homogenea e de grau 3

( ) 2, 3N x y xy=

( ) ( ) ( )( )

2 2

,

, 3 , 3

N x y

N tx ty txy N tx ty t xy= ⇔ =��

logo também este termo é homogenea e de grau 3

Então posso concluir que a EQUAÇÃO é homogenea de grau 3.



Como já identifiquei a equação, vou utilizar o metodo de resolução, que é a introduzir uma nova variável u , tal

que y ux= e ( ) ( )dy u dx x du= + .

Ou seja se não conseguisse identificar que a equação era homogenea, poderia não conseguir resolver este exercicio. Como consegui saber, e sei qual é o metodo de resolução, vou seguir em frente: Vou começar por substituir a variavel “y”:

( ) ( ) ( )�

( )�

( ) ( )( )3 23 3 2 33 3 3 3y y dy

y x dx xy dy ux x dx x ux u dx x du − = → − = + →

��

Assim e após substituir, vou igualar a zero e continuar com os calculos:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 233 3 0ux x dx x ux u dx x du⇔ − − + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 2 33 3 0 3 3 3 0u x x dx u x u dx x du u x x dx u x u dx u x x du ⇔ − − + = ⇔ − − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 2 4 3 3 3 3 3 2 43 3 3 0 3 3 3 0u x x dx u x dx u x du u x x dx u x dx u x du ⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔

Agora vou agrupar pela mesma derivada, para DEPOIS ser mais facil separar as variaveis:

( ) ( )3 3 3 3 3 2 4 3 33 3 3 3u x x u x dx u x du u x⇔ − − = ⇔ 3 3 33x u x− −( ) ( )2 43dx u x du= ⇔

Agora vou dividir TUDO por 3x

( ) ( )21 3dx u x du⇔ − = ⇔

Mesmo assim continuo com um problema, que é o de ter o “x” no membro onde está a derivada de du . Pois assim sendo esse “x” é uma constante se permanecer nesse membro. Para isso vou dividir TUDO por x . No fundo poderia ter dividido logo tudo de uma vez só, mas tornar-se-ia mais confuso, estaria a passar este passo. Assim sendo:

( ) ( )2 21 13 3dx u du dx u du

x x

⇔ − = ⇔ − = ⇔

∫ ∫

ln 3x⇔ − =3

3

u 3, com c ln , com c c x u c+ ∈ ⇔ − = + ∈ ⇔� �

3 ln , com c u x c⇔ = − − ∈�

Ora sei que y ux= , logo y

ux

=

3 3

3ln , com c ln , com c

y yx c x c

x x

= − − ∈ ⇔ = − − ∈

� �

No enunciado é-me dito que “sabendo que quando 1x = se tem 2y = ”, e não me posso esquecer que o ln

também tem variavel que é “x”, fica:

3

3

2ln 1 , com c 8 0 , com c 8, com c

1c c c= − − ∈ ⇔ = − − ∈ ⇔ = − ∈� � �



Ou seja, ao me dizerem que quando 1x = , 2y = , ajudou-me a encontrar o valor da constante “c”. Agora já

posso escrever a Equação Geral para todos os “x”.

Assim sendo a resposta a pergunta é ( )3

3 33

ln 8 ln 8y

x y x xx

= − + ⇔ = − + .

Outra nota importante é a de que o objectivo do exercicio é eliminar a derivação, integrando a equação.

4 - Resolva a equação ( ) ( )2 4 2 5x y dy y x dx− − = − + , efectuando uma mudança de variáveis do tipo:

x X a= − e y Y b= −

Não é uma Equação Homogenea, pois num dos membros tem “-4” e no outro tem “5”, em que o grau destes termos é 0. Os outros dois termos de cada um dos membros tem grau 1. A regra diz que TUDO (tantos os termos com os membros) tem que estar definidos pelo mesmo grau. Pedem-me, no exercicio, para fazer a mudança de variavel (cuidado com a caligrafia para não trocar o “x” pelo “X” e o “y” pelo “Y”:

E agora o que é que eu faço com dx e dy ?

Fica:

dx dX

dy dY

=

=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 4 2 5X a Y b dY Y b X a dX⇔ − − − − = − − − + ⇔

( ) ( )2 2 4 2 2 5X a Y b dY Y b X a dX⇔ − − + − = − − + + ⇔

Tenho que ter cuidado com os sinais! Pois afecta o interior das parentesis. Agora vou fazer um arranjo par se perceber os passos que se seguem.

( ) ( )2 2 4 2 2 5X Y a b dY Y X b a dX⇔ − − + − = − − + + ⇔

Entre muitas coisas, também (ainda) não sei resolver esta equação. Se ela fosse uma Equação Homogenea, seria facil pois sei resolver a equação, utilizando o Método de Solução que consiste em introduzir uma nova variável

u , tal que y ux= (com ( ) ( )dy u dx x du= + ).



Então se existe uma possibilidade de resolver, optimo! O que tenho que fazer é fazer “desaparecer” a minha dificuladade. Ou seja, fazer com que “ 2 4a b− + − ” e “ 2 5b a− + + ” sejam zero! Pois:

( ) ( )2 2X Y dY Y X dX− = − é uma equação homogenea.

Nota que esta variaveis “a” e “b” não são as mesmas variaveis de integração, pois neste ambiente elas são é constantes. Não sei é ainda o seu valor. A diferença de terminologia é a de que a variavel “x”, conforme a equação da função, faz variar o “y”. “a” e “b” uma vez descobertos, serão sempre o mesmo valor independentemente do valor que “x” venha a tomar. Preciso então de fazer o seguinte calculo:

( )2 42 4 0 2 4 2

2 2 4 5 02 5 0 4 8 5 0 1

b aa b b a b

a aa b a a a

= +− + − = = + = ⇔ ⇔ ⇔

− + + =− + = − − + = = −

Assim:

( ) ( )2 2

1

2

X Y dY Y X dX

a

b

⇔ − = −

= −

=

Agora que a equação é homogena, vou então utilizar o Método de Solução que consiste em introduzir uma nova

variável u , tal que Y uX= (com ( ) ( )dY u dX X du= + ). Cuidado com a nova notação.

( ) ( )Y uX

dY u dX X du

=

= +

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2

1

2

X uX u dX X du uX X dX

a

b

⇔ − + = − ⇔

= −

=

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2

1

2

X uX u dX X uX X du uX X dX

a

b

⇔ − + − = − ⇔

= −

=

( ) ( ) ( )22 2 2 1

1

2

uX u dX X u du X u dX

a

b

⇔ − + − = − ⇔

= −

=

Vou agrupar as derivadas:

( ) ( ) ( )2 2 2 1 2

1

2

X u du X u uX u dX

a

b

⇔ − = − − − ⇔

= −

=

Vou agora dividir TUDO por “X”:

( ) ( )2 2 1 2

1

2

X u du u u u dX

a

b

⇔ − = − − − ⇔

= −

=



( )2 2X u du u⇔ − = 1 2u− − 2

1

2

u dX

a

b

+

= −

=

( ) 22 1

1

2

X u du u dX

a

b

⇔ − = − ⇔

= −

=

2

2 1

1

1

2

udu dX

Xu

a

b

− ⇔ = −

= −

=

2

2 1

1

1

2

udu dX

Xu

a

b

− ⇔ = ⇔ −

= −

=

∫ ∫

Bom, o 2º membro não me oferece nenhuma dificuldade na sua integração. Mas quanto ao 1º, este não é imediato. Vou fazer um pequeno arranjo:

( )( )2 1

1 1

1

2

udu dX

u u X

a

b

− ⇔ = ⇔ − +

= −

=

∫ ∫

Para poder integrar vou utilizar o metodo do coeficiente indeterminado (MCI) que é um dos metodos utilizado quando a integração não é imediata.

MCI: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ). 1 . 1

1 12

1 1 1 1 1 1 1 1u u

A u B uu A B Au A Bu B

u u u u u u u u+ −

+ + −− + + −= + = =

− + − + − + − +

Sei que “A” e “B” tem a haver com o -2, e que “Au” e “Bu” tem a haver com “u” Vou então fazer a respectiva equivalencia:

( )

3 1222 2 2 2

2 11 2 3 3 3

2 2

A AA BA B A B

B BA B BB B

= − = = +− = = + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + = −+ = − = − = − = −

1 312 2

1 1

1

2

du dXu u X

a

b

⇔ − = ⇔ − +

= −

=

∫ ∫

1 312 2

1 1

1

2

du du dXu u X

a

b

⇔ + − = ⇔ − +

= −

=

∫ ∫ ∫

1 1 3 1 1

2 1 2 1

1

2

du du dXu u X

a

b

⇔ − = ⇔ − +

= −

=

∫ ∫ ∫



1 3ln 1 ln 1 ln , com o c

2 21

2

u u X c

a

b

⇔ − − + = + ∈ ⇔

= −

=

�

Antes de “apagar” os “ln” tenho ter cuidade de elevar o argumento a respectiva potencia:

( )1 3

2 2 lnln 1 ln 1 ln , com o c

1

2

cu

b

eu X

a

−⇔ − + + = + ∈ ⇔

= −

=

�

( )3

11 , com o c

1

1

2

cu X eu

a

b

⇔ − + = + ∈ ⇔+

= −

=

�

( )3

11 , com o K

1

1

2

X u Ku

a

b

⇔ = − + + ∈ ⇔+

= −

=

�

Ora vou resubstituir os valores de “u”, de “X” e de “Y”:

3

11 , com o K

1

1

2

y bx a K

x a y b

x a

a

b

+⇔ − = − + + ∈ ⇔

− + + −

= −

=

�

3

2 11 1 , com o K

1 21

1

yx K

x y

x

++ = − + + ∈

+ + + +

�



5 - Resolva a equação ( )2 22 ' 2 3 0xy x y y xy− − + = , e diga justificando, se a equação admite ou não solução

singular (não é solução única como a designação pode levar a entender, mas sim uma solução que saia do ambito da solução geral): Esta é mesmo dificil! Não me dá pistas nenhumas, por isso vou por tentativa e erro (pelo menos espero que tenha solução). Nota: esta pergunta saiu numa frequencia! Resolução da 5:

( )2 22 ' 2 3 0xy x y y xy− − + =

( )2 22 2 3 0dy

xy x y xydx

− − + =

( ) ( )2 22 2 3 0xy x dy y xy dx− + − + =

Já consigo perceber que a Equação é Homogenea. Seja ( ) ( )y ux dy x du u dx= ∧ = +

Substituindo: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )222 2 3 0x ux x x du u dx ux x ux dx− + + − + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 3 2 0u x xux dx xux x x du u dx⇔ − + + − + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 3 2 0u x x u dx x u x x du u dx⇔ − + + − + = ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 3 2 2 0u x x u dx x u x x du x u x u dx ⇔ − + + − + − = ⇔

( ) ( ) ( )2 2 2 3 3 2 2 22 3 2 2 0u x x u dx x u x du x u x u dx⇔ − + + − + − = ⇔

( ) ( )2 2 2 2 2 2 3 32 3 2 2 0x u x u x u x u dx x u x du⇔ − + + − + − = ⇔

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 3 2 2 32 0 2x u x u dx x u du x u u dx x u du ⇔ − + − = ⇔ − = − − ⇔

( )

2

3 2

2 1 2

1

x u udx du dx du

x u ux u u

− − ⇔ − = ⇔ = − ⇔ −−

( ) ( )1 2 1 2

1 1

u udx du dx du

x u u x u u

− − ⇔ = ⇔ = ⇔ − −

∫ ∫

O 1º membro é facil de integrar, mas o 2º não é imediato. Vou ter que usar o metodo do coeficiente indeterminado (MCI):

MCI: ( )

( )( ) ( )

12

1 1 1 1

A u buu A B Au A bu

u u u u u u u u

− +− − += + = =

− − − −

1 1 2 1

2 2 2

A B B B

A A A

+ = = − = − ⇔ ⇔

− = − = =



Assim, agora já consigo integrar o 2º membro:

1 2 1 1 2 1

1 1dx du dx du du

x u u x u u

= − ⇔ = + − ⇔ − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1

2 ln 2ln ln 11

dx du du x A u ux u u

⇔ = + − ⇔ + = − − ⇔ −

∫ ∫ ∫

( )ln ln 2 ln ln 1 lnA

A

x e u u

=

⇔ + = − − ⇔��

( )�

. lnA

B

x e

=

=

2

1

u

u

⇔ −

2 2

. .1 1

u ux B x B

u u⇔ = ⇔ ± = ⇔

− −

2

1

ucx

u=

−

Como: ( ) ( )y ux dy x du u dx= ∧ = +

2

2 2

2 2

1 1

y y yxx x xcx cx cx cx

y y y x

x x x

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

−− −

2

2

y

x ( )y x⇔

−

Solução Geral da Equação dada: ( )

22 y

xc y x

=−

A equação dada é ( )2 22 ' 2 3 0xy x y y xy− − + = , e é-me pedido uma Solução Singular. Ora uma Solução Singular

é aquela solução da equação que não pertence a Solução Geral. Vou lá por tentativas: Tentativa 1- se 1:y =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 21 2 1 ' 2 1 3 1 0 2 .0 2 3 0 2 3 0x x x x x x x− − + = ⇔ − − + = ⇔ − + =

É impossivel, pois o 1º membro tem variavel e o 2º membro é uma constante, vou partir para outra tentativa. Tentativa 2 - se 0 :y =

( )( )( ) ( ) ( ) ( )22 20 2 0 ' 2 0 3 0 0 0 2 .0 0 0 0 0 0x x x x− − + = ⇔ − − + = ⇔ =

É possivel, pois o 1º membro de facto é igual ao 2º, mas não é Solução Singular, pois advém da Solução Geral.



Tentativa 3 - se :y A=

( )( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 22 ' 2 3 0 2 .0 2 3 0 2 3 0x A x A A x A Ax x A Ax A Ax− − + = ⇔ − − + = ⇔ − + =

É impossivel, pois o 1º membro tem variaveis e o 2º membro é uma constante. Tentativa 4 - se :y x=

( )( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 22 ' 2 3 0 2 .1 2 3 0x x x x x x x x x x x− − + = ⇔ − − + = ⇔

2 24 4 0 0 0 . .x x p v⇔ − + = ⇔ =

É Solução Singular, pois criou uma proposição verdadeira, e não pertence a Solução Geral. Pode facilmente constatar que o 1º membro não tem variaveis, nem o segundo, e é uma igualdade.

Ou seja o que se pretente é que ( ) ( )f x g x= .

Exercicios com Equações Exactas

1 – Determine a solução geral da seguinte equação diferencial ( ) ( )2 2 2 22 2 ' 0x x y y x y y+ + + =

Resolução:

( ) ( )2 2 2 22 2 ' 0x x y y x y y+ + + =

( ) ( )2 2 2 22 2 0dy

x x y y x ydx

⇔ + + + = ⇔

1º vou verificar se é uma Equação Diferencial Exacta, vou começar por Multiplicar por dx :

( ) ( )2 2 2 22 2dy

x x y dx y x ydx

⇔ + + + dx 0= ⇔

( ) ( )2 2 2 22 2 0x x y dx y x y dy ⇔ + + + = ⇔

( ) ( )3 2 2 32 2 0x xy dx x y y dy⇔ + + + = ⇔



Consigo ver de que se trata de uma Equação Homogenea. Mas não posso resolver o exercicio por este caminho, pois este exercicio diz respeito a Equação Diferencial Exacta. Para isso vou renomear os termos:

( ) ( )3 2 2 32 2 0

M N

x xy dx x y y dy⇔ + + + = ⇔��

( ) ( ) 0M dx N dy⇔ + = ⇔

2M

xydy

∂= e 2

Nxy

dx

∂=

No Calculo 2, vi que existiam mais condições a serem verificadas, mas no Calculo 3 não é preciso, pois dos 4 passos o que realmente interressa é este. Assim sendo posso afirmar de que a equação é uma Equação Diferencial Exacta.

O que pretendo agora determinar é o “u” tal que ( ) ( )3 2 2 32 2du x xy dx x y y dy= + + +

( ) ( )3 2 2 32 2u u

dx dy x xy dx x y y dydx dy

∂ ∂ + = + + +

3 2

2 3

2

2

ux xy

x

ux y y

y

∂= +

∂∂ = +

∂

Vou começar com 3 22u

x xyx

∂= +

∂, pois pretendo determinar o “u”:

( ) ( )4 2

3 2 22 24 2

x xu x xy x u y f y= + ∂ ⇔ = + + ⇔∫

( )4 2 21 1

2 2u x x y f y= + +

Agora vou fazer o 2 32u

x y yy

∂= +

∂, mas aproveito e actualizo o u∂ por ( )4 2 21 1

2 2u

x x y f y

=

∂ + + ��

, ficando:

( )( )

4 2 2'

2 3 4 2 2 2 3

1 11 12 2

2 22 2 y

x x y f yx y y x x y f y x y y

y

∂ + + = + ⇔ + + = + ⇔ ∂

( )'2 2 320 2

2 yx y f y x y y⇔ + + = + ⇔



Tenho que ter em atenção, que pela força do habito derrivo em ordem a “x”, mas aqui é em ordem a “y”:

Correcto: '

2 2 2 2 1 21 2

2 2y

x y x y x y− = =

Incorrecto: '

2 2 2 1 2 21 2

2 2y

x y x y xy− = =

2 21

2x y

Assim sendo: 2x y⇔ ( )' 2

yf y x y+ = ( )'3 32 2

yy f y y+ ⇔ = ⇔

Vou integrar: ( ) ( ) ( )3 1

32 2 , com c 3 1

yf y y dy f y c

+

⇔ = ⇔ = + ∈ ⇔+∫ �

( ) ( )3 1

412 , com c

3 1 2

yf y c f y y c

+

⇔ = + ⇔ = + ∈ ⇔+

�

Resposta ao exercicio, e como

( )

4 2 2 41 1 10 : , com c

2 2 2f y

u u x x y y c= = + + + ∈��

Outra diferença em relação ao Calculo 2, é que agora a equação é 0= .

2 – Qual a solução geral da equação ( )31

2 23 6 ' 2 2 0x y y y x+ + − =

Resolução 2 -

( )31

2 23 6 ' 2 2 0x y y y x+ + − =

Nota: o facto de não ser homogenea não implica que não seja Diferencial Exacta.

( ) ( ) ( ) ( )3 31 1

2 2 2 2

Posso juntar este dois termos

3 6 2 2 0 3 6 2 2 0dy

x y y x x y dy y dx x dxdx

+ + − = ⇔ + + − = ⇔ ��

( )31

2 23 6 2 2 0

N M

x y dy y x dx + + − = ��

Outra nota importante: como este exercicios são “mecanicos”, convém por isso ordenar a equação, de forma a não ser traido pela “mecanica”.

( ) ( ) ( )3 1

2 22 2 3 6 0 0

NM

y x dx x y dy M dx N dy − + + = ⇔ + = ⇔ ��



Agora para poder ser uma Equação Diferencial Exacta, tem que se verificar a seguinte igualdade: M N

dy dx

∂ ∂= .

( ) ( ) ( ) ( )3 1 12 2 22 2 3 6 0 2y x dy xy y dx + − + + = ⇔

3

2( ) ( )

3 11 1 12 20 3 0 0y dy x y dx

− −

+ + + = ⇔

1

23M

ydy

∂= e

123

Ny

dx

∂=

Como M N

dy dx

∂ ∂= , posso afirmar de que a equação é uma Equação Diferencial Exacta.

O que pretendo agora determinar é o “u” tal que ( ) ( )312 23 6 2 2du x y dy y x dx = + + −

( ) ( )( )

3

2

312 2

1

2

2 2

3 6 2 2

3 6

uy x

xu u

dx dy x y dy y x dxdx dy

ux y

y

∂= −

∂ ∂ ∂ + = + + − → ∂ = +∂

Vou começar com 3

22 2u

y xx

∂= −


( )3 3 3

22 2 2' 2 2 2 2 2u y x u y x x u xy x f y

= − ⇔ = − ∂ ⇔ = − + ∫

Agora vou fazer o ( )1

23 6u

x yy

∂= +

∂, mas aproveito e actualizo o u∂ por ( )

3222

u

y x x f y

=

∂ − + ��

, ficando:

( )( ) ( ) ( )

322

'1 3 122 2 2

2

3 6 2 3 6y

y x x f y

x y y x x f y x yy

∂ − +

= + ⇔ − + = + ⇔ ∂

2⇔3

.2

( )1 1 1

'2 2 2. . 3 6y

y x f y xy y+ = + ⇔

1

23xy⇔ ( )1

' 23y

f y xy+ = ( ) ( )1 1 1

'2 2 26 6 6y

y f y y f y y dy

+ ⇔ = ⇔ = ⇔ ∫

( ) ( ) ( )

1 31 32 2

26 2.6 41 312

y yf y f y f y y c

+

⇔ = ⇔ = ⇔ = ++

Reposta ao exercicio (Solução Geral da Equação): 3 3

22 22 4 0, com c xy x y c− + + = ∈�



3 – Determine a solução geral da seguinte equação diferencial ( )2 23 1 ' 2 0,y x y xy+ + + = tal que ( )0 1y =

(ou seja, quando x for zero, y é 1)

Resolução - ( ) ( )2 2 2 23 1 ' 2 0 3 1 2 0dy

y x y xy y x xydx

+ + + = ⇔ + + + =

Vou multiplicar TUDO por dx ( )2 23 1dy

y xdx

→ + + dx ( ) ( ) ( )�

2 22 0 3 1 2 0MN

xy dx y x dy xy dx+ = ⇔ + + + =��

Vou agora verificar se é uma equação diferencial exacta (vou verificar uma das 4 condições, a mais importante)

2M

xdy

∂= e 2

Nx

dx

∂=

Como M N

dy dx

∂ ∂= , então posso afirmar que é uma Equação Diferencial Exacta.

O que pretendo agora determinar é o “u” tal que ( ) ( )2 22 3 1du xy dx y x dy= + + +

( ) ( )2 2

2 2

2

2 3 1

3 1

uxy

xu u

dx dy xy dx y x dydx dy

ux x

y

∂=

∂ ∂ ∂ + = + + + → ∂

= + +∂

Vou começar com 2u

xyx

∂=

∂, pois pretendo determinar o “u” : ( ) ( )22u xy x u x y f y= ∂ ⇔ = +∫

Agora vou fazer o 2 23 1u

x xy

∂= + +

∂, mas aproveito e actualizo o u∂ por ( )( )2

u

x y f y

=

∂ +��

, ficando:

( )( )( )( )

2'2 2 2 2 23 1 3 1y

x y f yx x x y f y x x

y

∂ += + + ⇔ + = + + ⇔

∂

2x⇔ ( )' 2 23

yf y x x+ = + ( ) ( ) ( )' 2 21 3 1 3 1

yf y x f y x dy+ ⇔ = + ⇔ = + ⇔∫

( ) ( )3

333

yf y y f y y y c⇔ = + ⇔ = + +

A Solução Geral da equação é 2 3 0x y y y c+ + + = , e como me dito no enunciado que quando x for zero, y é 1,

então fica:

( ) ( ) ( ) ( )2 30 1 1 1 0 0 1 1 2c c c+ + + = ⇔ + + = − ⇔ = −

Reposta ao exercicio (Solução Geral da Equação): 2 3 2 32 0 2x y y y x y y y+ + − = ⇔ + + =



4 –Considere a seguinte equação diferencial ( ) ( )2 2 0x y dx x dy+ − =

4.1 – Verifique que a equação dada não é exacta. 4.2 – Escolha “n” de modo que nx seja um factor integrante da equação dada. 4.3 – Determine a solução geral da equação.

Resolução 4.1 - ( ) ( )�

2 2 0NM

x y dx x dy+ + − =��


2M

dy

∂= e 1

N

dx

∂= −

Como M N

dy dx

∂ ∂≠ , então posso afirmar que não é uma equação diferencial exacta.

Resolução 4.2 - vou multiplicar a equação dada por nx de modo a que a equação passa a ser uma uma equação diferencial exacta:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 22 0 . 2 0n n nx y dx x dy x x x y dx x x dy + − = ⇔ + + − = ⇔

( ) ( )2 12 0n n n

M N

x x y dx x dy+ ++ + − =��

2 nMx

dy

∂= e ( )1 nN

n xdx

∂= − +

Como pretendo que seja uma equação diferencial exacta, então tenho que fazer respeitar a seguinte igualdade:

M N

dy dx

∂ ∂=

Então faço:

( )2 1n nx n x= − +

Vou TUDO por nx :

( )2 1 2 1 2 1n n n= − + ⇔ = − − ⇔ + = −

Resposta da pergunta 4.2 é 3n = −



Resolução 4.3 - Basta multiplicar a equação geral por 3x−

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 3 22 0 . 2 0 2 0x y dx x dy x x x y dx x x dy x x y dx x dy− − − − − − + − = ⇔ + + − = ⇔ + + − =


32M

xdy

−∂= e 32

Nx

dx−∂

=

Como M N

dy dx

∂ ∂= , então posso afirmar que a equação ( ) ( )1 3 22 0x x y dx x dy− − −+ + − = é uma equação diferencial

exacta.

O que pretendo agora é determinar o “u” tal que ( ) ( )1 3 22du x x y dx x dy− − −= + + −

( ) ( )1 3 22

M N

uM

xu u

dx dy x x y dx x dydx dy

uN

y

− − −

∂=

∂ ∂ ∂ + = + + − → ∂

=∂

��


x x yx

− −∂= +


( )1 32 ln 2u x x y x u x− −= + ∂ ⇔ = +∫2

2

xy

−

− ( ) ( )2lnf y u x x y f y− + ⇔ = − +

Agora vou fazer o 2ux

y−∂

= −∂

, mas aproveito e actualizo o u∂ por ( )( )2ln

u

x x y f y−

=

∂ − +��

, ficando:

( )( )2

2ln x x y f y

xy

−

−∂ − +

= − ⇔∂

( )( ) �'2 2 2

Cuidado!

ln 0y

x x y f y x x− − −⇔ − + = − ⇔ − ( )' 2

yf y x−+ = − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )'0 0 0

yf y f y dy f y c⇔ = ⇔ = ⇔ = +∫

A Solução Geral da equação é 2ln 0, com c x x y c−− + = ∈�



Regra Geral: as perguntas não costumam ter pistas para a sua resolução como aconteceu com a pergunta 4, que tem 3 perguntas associadas, em que a resposta da anterior ajuda a resolver a seguinte. Vou repetir a pergunta 4, mas sem pistas. Só a pergunta, para me habituar ao estilo da professora:

4A – Determine a solução geral da equação ( ) ( )2 2 0x y dx x dy+ − =

Resolução 4A - Será de consigo determinar a solução geral a partir da Equação Homogenea? Não pois os termos são de grau diferente.

Vou ver se é uma Equação Diferencial Exacta ( ) ( )�

2 2 0NM

x y dx x dy→ + + − =��


2M

dy

∂= e 1

N

dx

∂= −

Como M N

dy dx


A minha esperança é que ( ) ( )2 1 3 3M N

f xdy dx

∂ ∂− = − − = →

Uma nota importante, se fosse uma equação do género:

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 32 2 0 0

M N

x xy dx x y y dy M dx N dy⇔ + + + = ⇔ + = ⇔��

2M

xydy

∂= e 2

Nxy

dx

∂=

Nada poderia fazer pois obtive duas variaveis, “x” e “y”.

Outra nota importante: neste exercício obtive um 3, que é uma constante! Sendo assim posso fazer depender ou do “x” ou do “y” Por opção, vou fazer depender do “x”.

Eventualmente poderá existir uma função ( ),I x y tal que ( ) ( ) ( ), . , , 0I x y M x y dx N x y dy+ = seja exacta.

À função ( ),I x y dá-se o nome de Factor Integrante.

Existem pelo menos duas situações (mais utilizadas) em que se pode determinar ( ),I x y .

- ( )( )g x dx

I e∫= se 1 M N

N y x

∂ ∂− ∂ ∂

é apenas uma função de x , com ( ) 1 M Ng x

N y x

∂ ∂= − ∂ ∂



- ( )( )h y dy

I e−∫= se

1 M N

M y x

∂ ∂−

∂ ∂ é apenas uma função de y , com ( ) 1 M N

h yM y x

∂ ∂= −

∂ ∂

( ) ( )

( )

�( ) ( )

2

2

32 .0

ln ln ln2 .0 3

N

x y

u u uM NN M x x y

dx dy dy dx dx=+

∂ ∂ ∂∂ ∂− = − ⇔ − − + = ⇔��

( )( ) ( )

ln 3 3 1ln ln 3

uu dx u dx

dx x x x

∂ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) 3 3ln 3ln ln lnu x u x u x− −⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Basta agora multiplicar a equação geral por 3x− ( ) ( )2 32 0 .x y dx x dy x− → + − = ⇔

( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 2 3 1 3 22 0 2 0x x y dx x x dy x x y dx x dy− − − − −⇔ + + − = ⇔ + + − =


32M

xdy

−∂= e 32

Nx

dx−∂

=

Como M N

dy dx

∂ ∂= , então posso afirmar que a equação ( ) ( )1 3 22 0x x y dx x dy− − −+ + − = é uma Equação

Diferencial Exacta.

O que pretendo agora determinar é o “u” tal que ( ) ( )1 3 22u x x y dx x dy− − −∂ = + + −

( ) ( )1 3 22

M N

uM

xu u

dx dy x x y dx x dydx dy

uN

y

− − −

∂=

∂ ∂ ∂ + = + + − → ∂

=∂

��




x x yx

− −∂= +


( )1 32 ln 2u x x y x u x− −= + ∂ ⇔ = +∫2

2

xy

−

− ( ) ( )2lnf y u x x y f y− + ⇔ = − +

Agora vou fazer o 2ux

y−∂

= −∂

, mas aproveito e actualizo o u∂ por ( )( )2ln

u

x x y f y−

=

∂ − +��

, ficando:

( )( )( )( )

2'2 2 2

lnln

y

x x y f yx x x y f y x

y

−

− − −∂ − +

= − ⇔ − + = − ⇔∂

�2

Cuidado!

0 x−⇔ − ( )' 2

yf y x−+ = − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )'0 0 0

yf y f y dy f y c⇔ = ⇔ = ⇔ = +∫

A solução geral da equação é 2ln 0, com c x x y c−− + = ∈�

5 – Resolva as seguintes equações diferenciais:

( ) ( )25.1 2 0x y dx xy dy+ − =

( )( ) ( )2 2 25.2 2 ln 1 0xy y dx x y y dy+ + + =

( ) ( )2 3 25.3 2 0xy y dx x y x dy+ + − = ( ) ( )( )2 25.4 1 0x y dx x y x dy− + − =

Resolução 5.1 - Será que consigo determinar a solução geral a partir da Equação Homogenea? Não pois os termos são de grau diferente.

Vou ver se é uma Equação Diferencial Exacta ( ) ( )2 2 0NM

x y dx xy dy→ + + − =��


2M

ydy

∂= e 2

Ny

dx

∂= −



Como M N

dy dx





- ( )( )g x dx

I e∫= se 1 M N

N y x

∂ ∂− ∂ ∂


N y x

∂ ∂= − ∂ ∂

- ( )( )h y dy

I e−∫= se

1 M N

M y x

∂ ∂− ∂ ∂

é apenas uma função de y , com ( ) 1 M Nh y

M y x

∂ ∂= − ∂ ∂

Vou então utilizar a 1ª possibilidade do Factor Integrante, que é:

( )( )g x dxI e∫= se

1 M N

N y x

∂ ∂− ∂ ∂


N y x

∂ ∂= − ∂ ∂

( )( )2 41 1 2 1

2 22 2

M N x y xyy y

N y x xy y x xy

∂ ∂ + − − = − = − − = − ∂ ∂ − ∂ ∂ −

y

2 x y

2

x= −

( )2g x

x− →

Cuidado a ter nesta fase - se tivesse obtido qualquer coisa diferente, em que a variavel “x” não estivesse sozinha, teria que avançar para o 2º passo. Exemplo do que acabo de dizer:

2

xy−

y

xz−

yx xy

Assim a 1ª fase está concluida,



( )( ) ( ) ( ) ( )2

2 12 22ln ln

2

1dx dxg x dx x xx xI e I e I e I e I e I x Ix

− − − −− ∫ ∫∫= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Este é o meu Factor Integrante.

Nota: quando primitivo (integro) é sempre necessário adicionar o “+c”. Mas neste caso não é preciso, pois é-me pedido um e um só factor integrante.

Nota – poderia ter resolvido este passo desta maneira:

A minha esperança é que ( )2 2 4M N

y y ydy dx

∂ ∂− = − − = ( )4y f x→

( ) ( )

( )

�( ) ( )

2

2

4.0

ln ln ln2 .0 4

N

yx y

u u uM NN M xy x y y

dx dy dy dx dx=+

∂ ∂ ∂∂ ∂− = − ⇔ − − + = ⇔��

�( ) ( )ln ln 4

2 42

N

u u yxy y

dx dx xy

∂ ∂⇔ − = ⇔ = − ⇔

( ) ( )4ln ln 2

2

yyu dx u

xy

⇔ = − ⇔ = −

∫ x y

( ) 1ln 2dx u dx

x

⇔ = − ⇔

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2ln 2 ln ln lnu x u x u x− −⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Basta agora multiplicar a equação geral por 2x− ( ) ( )2 22 0 .x y dx xy dy x− → + − = ⇔

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 2 1

* *

2 0 2 0

M N

x x y dx x xy dy x x y dx x y dy− − − − −⇔ + + − = ⇔ + + − =��




2*2

Mx y

dy−∂

= e 2*2

Nx y

dx−∂

=

Explicado passo a passo: ( ) ( )'1 1 1 22 2 1 2x

x y x y x y− − − −− = − − =

Como * *M N

dy dx

∂ ∂= , então posso afirmar que a equação ( ) ( )1 2 2 12 0x x y dx x y dy− − −+ + − = é uma Equação

Diferencial Exacta.

O que pretendo agora determinar é o “u” tal que ( ) ( )1 2 2 12u x x y dx x y dy− − −∂ = + + −

( ) ( )1 2 2 1

* *

2

M N

uM

xu u

dx dy x x y dx x y dydx dy

uN

y

− − −

∂=

∂ ∂ ∂ + = + + − → ∂

=∂

��

Vou começar com 1 2 2ux x y

x− −∂

= +∂

, pois pretendo determinar o “u” ( )*u M x→ = ∂ ⇔∫

( ) ( ) ( )2 1

1 2 2 2 1 2ln . ln2 1

xu x x y x u x y f y u x x y f y

− +− − −⇔ = + ∂ ⇔ = + + ⇔ = − +

− +∫

Agora vou fazer o 12u

x yy

−∂= −

∂, mas aproveito e actualizo o u∂ por ( )( )1 2ln

u

x x y f y−

=

∂ − +��

, ficando:

( )( )( )( )

1 2'1 1 2 1

ln2 ln 2

y

x x y f yx y x x y f y x y

y

−

− − −∂ − +

= − ⇔ − + = − ⇔∂

�1

Cuidado!

0 2x y−⇔ − ( )' 12y

f y x y−+ = − ( ) ( ) ( ) ( )'0 0 0

yf y f y dy f y c⇔ = ⇔ = ⇔ = +∫

A Solução Geral da equação é 1 2ln 0, com c x x y c−− + = ∈�



Resolução ( )( ) ( )2 2 25.2 2 ln 1 0xy y dx x y y dy+ + + =

Será que consigo determinar a solução geral a partir da Equação Homogenea? Não pois os termos são de grau diferente.

Vou ver se é uma Equação Diferencial Exacta ( )( ) ( )2 2 22 ln 1 0

M N

xy y dx x y y dy+ + + =��


Cuidado antes de avançar: ( )'

2 lny

xy y , temos aqui um PRODUTO!

� ( ) ( ) ( ) ( )( )'

''2 .ln .ln . ln

y yk y

x y y Ky y Ky y

= +

Representei o 2x K= , porque é isso mesmo que o 2x é derivando em ordem a “y”.

( ) ( ) ( )( ) ( )''

2 .ln 2 ln 2 .ln 2y y

M Mxy y xy y x y x y

dy dy

∂ ∂= + ⇔ = +

1

y⇔

( )2 .ln 2M

x y xdy

∂= + e 2

Nx

dx

∂=

Como M N

dy dx





- ( )( )g x dx

I e∫= se 1 M N

N y x

∂ ∂− ∂ ∂


N y x

∂ ∂= − ∂ ∂

- ( )( )h y dy

I e−∫= se

1 M N

M y x

∂ ∂− ∂ ∂


M y x

∂ ∂= − ∂ ∂



Vou então utilizar a 1ª possibilidade do Factor Integrante, que é:

( )( )g x dxI e∫= se

1 M N

N y x

∂ ∂− ∂ ∂


N y x

∂ ∂= − ∂ ∂

( )2 2 2

1 1. 2 ln 2

1M

yN

M Nx y x

N y x x y y∂

∂

∂ ∂− = + ∂ ∂ + + ��

��

2x−�( )

2 2 2

2 ln

1N

x

x y

x y y∂

∂

= + +

Não é uma função de “x”, pois tem também a variavel “y”. Sendo assim vou para o passo 2, que é:

( )( )h y dyI e

−∫= se 1 M N

M y x

∂ ∂− ∂ ∂


M y x

∂ ∂= − ∂ ∂

( )( )1 1

. 2 ln 22 ln

MM y

M Nx y x

M y x xy y∂

∂

∂ ∂− = + ∂ ∂ ��

��

2x−�2

N

x

x

∂

∂

=

( )ln y

2x ( )lny y

1

y=

Assim cheguei ao fim da 2º passo.

( )( ) ( ) ( ) ( )1

11ln ln 1dyh y dy y xyI e I e I e I e I y I

y

−

− − −− ∫∫= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Este é o meu Factor Integrante. Nota: quando primitivo (integro) é sempre necessário adicionar o “+c”. Mas neste caso não é preciso, pois é-me pedido um e um só factor integrante. Basta agora multiplicar a equação geral por 1y−

( )( ) ( )2 2 2 12 ln 1 0 . 2xy y dx x y y dy y x y− + + + = ⇔

1y− ( )( ) 2 1 2ln y dx x y y−+ + 1y−( )2 1 0y dy+ = ⇔

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 2 2 1 2

* *

2 ln 1 0 2 ln 1 0

M N

x y dx x y y y dy x y dx x y y y dy− −⇔ + + + = ⇔ + + + =��




1*2

Mxy

dy−∂

= e 1*2

Nxy

dx−∂

=

Como * *M N

dy dx

∂ ∂= , então posso afirmar que a equação ( ) ( )1 2 2 12 0x x y dx x y dy− − −+ + − = é uma Equação

Diferencial Exacta.

O que pretendo agora determinar é o “u” tal que ( )( ) ( )2 1 2

* *

2 ln 1

M N

u x y dx x y y y dy−∂ = + + +��

( )( ) ( )2 1 2

* *

*

2 ln 1

*M N

uM

xu u

dx dy x y dx x y y y dydx dy

uN

y

−

∂=

∂ ∂ ∂ + = + + + → ∂

=∂

��

Vou começar com ( )2 lnu

x yx

∂=


( ) ( )( ) ( ) ( )2* 2 ln lnu M x u x y x u x y f y= ∂ ⇔ = ∂ ⇔ = +∫ ∫

Agora vou fazer o 2 1 2 1u

x y y yy

−∂= + +

∂, mas aproveito e actualizo o u∂ por ( ) ( )( )2 ln

u

x y f y

=

∂ +��

, ficando:

( ) ( )( )( ) ( )( )

2'2 1 2 2 2 1 2

ln1 ln 1

y

x y f yx y y y x y f y x y y y

y− −

∂ += + + ⇔ + = + + ⇔

∂

2 1x y−⇔ ( )' 2 1

yf y x y−+ = ( ) ( ) ( )'2 2 21 1 1

yy y f y y y f y y y dy+ + ⇔ = + ⇔ = + ⇔∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

112 21 1

2 22 211 1

1 2 112 2 12

yf y y y dy f y y y dy f y dy

+ +

⇔ = + ⇔ = + ⇔ = ⇔ +

∫ ∫ ∫

( ) ( )3

2 21

13

f y y c= + +

A Solução Geral da equação é ( ) ( )3

2 2 21

ln 1 0, com c 3

x y y c+ + + = ∈�



Exercícios de Âmbito Geral aplicados ao dia a dia

1 - Determine a equação da curva que passa pelo ponto (0, -2) e tal que o declive da tangente em qualquer dos seus pontos seja igual à ordenada desse ponto, acrescida de três unidades.

Resolução - ou seja dy

mdx

= e 3dy

ydx

= + , em que o “y” é a ordenada.

Assim sendo, fica: ( ) ( )13 1

3dy y dx dy dx

y

= + ⇔ = ⇔ +

( )11 ln 3

3dy dx y x c

y

⇔ = ⇔ + = + +

∫ ∫

Como 0

2

x

y

=

= −, então ln 2 3 0 ln 1 0c c c− + = + ⇔ = ⇔ =

A resposta é ( )ln 3 ln 3 ln 3 3x x xy x y e y e y e+ = ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = ± −

2 - Uma bala penetra numa tábua com espessura 10h cm= à velocidade 200 /v m s= e saí dela à velocidade de 80 /m s . Sabendo que a força de resistência da tábua ao movimento da bala é proporcional ao quadrado da velocidade, determine o tempo que a bala demora a atravessar a tábua. Resolução - ora, é-me dito que é proporcional (logo é vezes “k”).

2.F k v= “a força de resistência ao movimento é proporcional ao quadrado da velocidade”. Outra nota: é a resistência da tábua, logo é contrária a sentido da velocidade. Fica 2. , 0F k v com k= − > .

Sei também a 2ª Lei de Newton: .F m a= , e que a “a” é ( ) 'a v= - derivada da velocidade.

2 22

1. . . .

dv km a k v m k v dv dt

dt mv

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

2

Constante

1 1. ,

k kdv dt t A com A

m v mv

⇔ = − ⇔ − = − + ∈ ∫ ∫ �

��



Agora vou saber o valor de A, que é uma constante, independentemente do valor de “t”. Assim faço t = 0. Ora para t = 0, também sei o valor da velocidade, que é 200 /v m s= .

0 1 1.0

200 / 200 200

t kA A

v m s m

=⇔ − = − + ⇔ = −

=

Substituindo na Solução Geral 1 1 1 1

. .200 200

k kt t

v m v m→ − = − − ⇔ = +

Ora também sei a velocidade de saída, que é 1 80 /v m s= , posso por isso calcular o tempo que demora a

atravessar a tábua:

1 1 1 1

1 1 1 1 5 2 3. . .

80 200 80 200 400 400 400

k m m mt t t t

m k k k

⇔ = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

Por outro lado 1 1 1 1 1

. . .200 200 200

k k dt kt t t

dxv m m dx mdt

= + ⇔ = + ⇔ = + ⇔

( )1 1. 1

1200 .200

kdt t dx dt dx

km tm

⇔ = + ⇔ = ⇔ +

Como já separei as variáveis, vou poder integrar ( )11

1.

200

dt dxk

tm

→ = ⇔ +

∫ ∫

1. .ln . ,

1 200.200

km m km dt x B t x B com B

kk k mtm

⇔ = + ⇔ + = + ∈ +

∫ �

Sei que se t = 0, então x = 0.



0t = : ( ) ( )1 1.ln . 0 0 .ln

200 200

m k mB B

k m k

+ = + ⇔ =

Assim, 1 1 1 1

.ln . .ln . ln . ln200 200 200 200

m k m m kx t x t

k m k k m

= + − ⇔ = + − ⇔

1. 200200.ln .ln . 1

1

200

kt

m m kmx x tk k m

+ ⇔ = ⇔ = +

Para 1t t= , 1

.10

x m= : { }1 1

1 200 1 200.ln . 1 .ln

10 10

m k m kt t t

k m k = → = + ⇔ = m

3.

m

400 k1

+ ⇔

( ) ( )1 600 1 1.ln 1 .ln 1,5 1 .ln 2,5

10 400 10 10

m m m

k k k

⇔ = + ⇔ = + ⇔ = ⇔

( )( )

110.ln 2,5

10.ln 2,5

k m

m k⇔ = ⇔ =

Sei que 1

3.

400

mt

k⇔ = , logo

( )1

3 1.

400 10.ln 2,5t⇔ =

Assim, a resposta ao exercício é: ( )1 3

3

4.10 .ln 2,5t s=

3 - De acordo com a lei de Newton, a taxa de arrefecimento (velocidade) de um certo corpo exposto ao ar é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e a temperatura To do ar. Sabendo que a temperatura do ar é de 20° C e que o corpo arrefeceu em 20 minutos de 100º C para 60° C, ao fim de quanto tempo a sua temperatura baixará para 30° C ? Resolução:

Nota: quando é taxa é dy

dx, em que o “y” é a variável dependente e aqui é a Temperatura, e o “x” a variável

independente que aqui é o tempo. Ora, é-me dito que é proporcional (logo é vezes “k”).

� ( )0é propor

diferença de -cional temperatura

.dT

k T Tdt

= − −��

“é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e a temperatura 0T do ar”.

E a proporcionalidade é negativa, pois o corpo arrefece.

( ) ( )0 0. .dT

k T T dT k T T dtdt

= − − ⇔ = − −



Tenho que separar as variáveis, para isso vou dividir TUDO por 0T T− :

( ) ( )0 0

1 1dT k dt dT k dt

T T T T

⇔ = − ⇔ = −

− − ∫ ∫

Agora o que fazer com isto 0

1dT

T T

− ∫ ?

Se fosse 1

1dT

T − ∫ , seria fácil, pois é dá um logaritmo!

11n

1ldT T c

T

= − + − ∫

Ou seja a variável 0T está-me a dificultar a integração!

Mas acontece que 0T não é uma variável!

Apesar de não estar, na equação, um número mas sim uma “etiqueta”, na realidade é uma CONSTANTE e o seu valor está no enunciado.

0 20ºT C=

Assim sendo, posso concluir que ( )0

1dT k dt

T T

= −

− ∫ ∫ são na realidade dois integrais imediatos:

0ln ,T T kt A com A⇔ − = − + ∈�

Vou eliminar o ln:

0 ,kt AT T e com A− +⇔ − = ∈�

�0 . ,kt A

B

T T e e com A−⇔ − = ∈�

Nota explicativa: com Ae criei outra constante, por isso em vez de trabalhar com a constante Ae , vou baptizá-la de “B”, para não confundir com a constante “A” já utilizada neste exercício.

0 . ,ktT T e B com B− +⇔ − = ∈�

Porquê +� ? Simplesmente porque Ae será sempre positivo. Agora vou retirar o módulo, e como vou obter o sinal de ± , vou criar OUTRA variável para essa mesma constante, pois em vez de ter B± , vou passar a ter C .

�0 . ,kt

C

T T B e com B− +

=

⇔ − = ± ∈�

{ }0 . , \ 0ktT T C e com C−⇔ − = ∈�

Porquê { }\ 0 ? Simplesmente porque Ae± será sempre positivo (ou negativo) mas nunca zero!

{ }0 . , \ 0ktT T C e com C−⇔ = + ∈�



É-me dito no enunciado que se 0t s= , então 100ºT C= , por isso fica:

( )� !

. 0 00 . 100 20 . 100 20 . 80

Cuidado

kktT T C e C e C e C−−⇔ = + ⇔ = + ⇔ − = ⇔ =

Agora a duvida, 80 quê? O que é o “C” ? É uma temperatura! 80ºC C= . Assim fica: 20 80. ktT e−= +

Como no exercício me pedem ao fim de 20 minutos, agora é só substituir o tempo. Agora surge mais uma dúvida: no sistema internacional (SI), o tempo é calculado ao segundo. No exercício dão-me em minutos. Será que vale a pena (será que é obrigatório) passar de minutos para segundos? Não! Pois no fim dos cálculos irei então obter o tempo em minutos que é mais fácil interpretar o tempo. Assim sendo fica: 20 2020 80. 60 20 80. 40 80.kt k kT e e e− − −= + ⇔ = + ⇔ = ⇔

( )1

2ln20 20 2040 1 1ln 20

80 2 2k k ke e e e k− − −

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔

( ) ( ) ( )120 ln 2 20 1 ln 2k k−⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − 20k = − ( )ln 2 ⇔

( )ln 2

20k =

Agora que já sei o valor do “k”, vou procurar a formula geral em que a temperatura apenas dependa do tempo.

( )( )( )

ln 2ln 2 202020 80. 20 80.

tt

T e T e−−

= + ⇔ = +

Ora, eu sei que ( )ln 2 2e = , assim sendo, fica 2020 80.2t

T−

⇔ = +

Pronto, já tenho a solução geral. No exercício querem saber “ao fim de quanto tempo a sua temperatura baixará para 30° C”, ou seja, é-me pedido uma solução particular:

�320 20 20 20

130 20 80.2 10 80.2 2 2 2

8

Muito importante ter se esta gin stica mental, pois facilita os c lculos!

t t t t

á á

− − − −−

↓

⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =

−

Como a base é igual, igualamos apenas a potência: − 3 = − 6020

tt⇔ = minutos.

4 - A taxa de desintegração (velocidade) do Rádio (elemento químico radioactivo de número atómico 88) é directamente proporcional à sua massa. 4.1. Determine a lei de variação da massa do Rádio em função do tempo, sabendo que no instante inicial a sua massa era 0m .



4.2. Em que instante, em função da constante de proporcionalidade, é que a massa de Rádio fica reduzida à terça parte da massa inicial? Resolução 4.1 - ora, é-me dito que é proporcional (logo é vezes “k”).

� �é propor a massa -cional

.dm

k mdt

= − “é directamente proporcional à sua massa”.

E a proporcionalidade é negativa, pois o corpo perde massa - ( ).dm k m dt= −

Tenho que separar as variáveis, por isso vou dividir por “m”: ( )1dm k dt

m

= −

Agora que já separei, posso integrar ( )1dm k dt

m

⇔ = − ∫ ∫

( )ln , ,kt Am kt A com A m e com A− +⇔ = − + ∈ ⇔ = ∈ ⇔� �

�. , . ,kt A kt

B

m e e com A m B e com B− − +⇔ = ∈ ⇔ = ∈� �

Porquê +� ? Simplesmente porque Ae será sempre positivo. Ora para 0t = (no inicio) a massa está completa, 0m m= .

( ). 0 00 0. , . ,km B e com B m B e com B− + += ∈ ⇔ = ∈ ⇔� �

0 ,m B com B += ∈�

Assim sendo, a Solução Geral é: 0 . ktm m e−=

Resolução 4.2, ora a constante de proporcionalidade é “k”, por isso o instante em que fica reduzida a uma terça

parte 1

3

é:

0

1.

3m 0 .m=

1ln

1 1 3ln

3 3kt kte e kt t

k− −

⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ln 3 1 ln 3 ln 3 ln 3t t t t

k k k k

−− −

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =− − −

Solução Particular: ( )ln 3

tk

= segundos.





( ) ( )'y p x y q x+ =


Exercicios 1 – Resolva as seguintes equações diferenciais: 1.1 ' 2 xy y e−+ =

21.2 'x xy y+ =

2

1.3 ' 2 xy xy e−+ = ( ) ( )1.4 'cos sin 2y x y x x− =

Resolução 1.1: Será que consigo determinar a Solução Geral a partir da Equação Homogenea? Não pois os termos são de grau diferente. Vou ver se é uma Equação Diferencial Exacta:

( )' 2 2 2x x xdyy y e e y dy e y dx

dx− − −+ = ⇔ = − ⇔ = −

Não é preciso avançar mais, já se consegue percerber que não é exacta. Eu já sabia que estes ultimos processos não me resolveriam a minha equação. É só para se entender que existe varios processo de resolver uma equação diferencial. O segredo é descobrir qual é o processo certo para a resolver. Como estes exercicios são Equações Lineares de 1ª Ordem, logo é por aí que vou avançar. Primeiro preciso saber o que é Equações Lineares de 1ª Ordem. Equação Linear é toda a equação de grau 1, logo tem a potencia da derivada de maior ordem a um. Exemplo de uma Equações Lineares ' 2 xy y e−+ = (o “e” está a uma potencia variavel, mas não interressa)

Exemplo de uma Equações que não é Lineares (é uma parabola!) 2' 2 xy y e−+ =

Uma Equações de 1ª Ordem é só a 1ª derivada. Vou então prosseguir:

Regra : ( ) ( )'y p x y q x+ = , o ( )p x só pode ter variavel “x”



Por exemplo: ( ) 2p x x y= − , não é função de “x”.

' 2 xy y e−+ =

( ) 2p x = e ( ) xq x e−=

Há varios metodos de resolver, vou por isso utilizar o Metodo do Factor Integrante – MFI (e este factor só tem um preposito, o de servir para multiplicar a equação diferencial):

( ) ( )( )p x dxI x e∫=

Tenho que ter cuidado, pois é primitivar e não derivar!

( ) ( ) ( )2 2dx xI x e I x e∫= ⇔ =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2

... para multiplicar

' 2 . ' 2 ' 2x x x x x x x x x xy y e e e y e y e e e y e y e− − − + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ ��

( ) ( )2 2 2

O objectivo de multiplicar pelo MFI

'x x x x x xe y e e y e dx e y e c⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔∫��

Solução Geral: 2

, com cx

x

cy e

e−= + ∈�

Resolução 1.2: Regra : ( ) ( )'y p x y q x+ = , o ( )p x só pode ter variavel “x”



2 'x xy y+ =

Mas agora quais são os valores para ( ) ??p x = e ( ) ??q x =

1º vou dividir por “x”, de modo a “retirar o “x” da derivada do “ 'xy ”:

2 '

'x xy y y

x yx x

+ =⇔ + =

Como ainda estou no inicio da materia, vou reorganizar os termos de modo a ter o aspecto da formula de resolução:

( ) ( )( )� ( )

�1

' 'q x

p x y

y p x y q x y y xx

+ = ⇔ − = −

Agora já sei os valores para ( ) 1p x

x= − e ( )q x x= −

Vou por isso utilizar o metodo do factor integrante – MFI (e este factor só tem um preposito, o de servir para multiplicar a equação diferencial):

( ) ( )( )p x dxI x e∫=


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11

ln lndx

x xxI x e I x e I x e−

− − ∫

= ⇔ = ⇔ =

Ora sei do 12º ano que ( )ln Ae A=

( ) ( )1 1I x x I x

x−⇔ = ⇔ =

2


1 1 1 1 1 1 1 1' . ' . ' 1y y x y y x y y

x x x x x x x x

− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ ��

( )'

1 1 11 1 , com c y y dx y x c

x x x = − ⇔ = − ⇔ = − + ∈

∫ �

Solução Geral: 2 , com cy x cx= − + ∈�




2

' 2 xy xy e−+ =

Quais são os valores para ( ) ??p x = e ( ) ??q x =

Este exercicio é directo, ( ) 2p x x= e ( )2xq x e−=

Vou utilizar o metodo do factor integrante – MFI (e este factor só tem um preposito, o de servir para multiplicar a equação diferencial):

( ) ( )( )p x dxI x e∫=


( ) ( ) ( )22x dx xI x e I x e∫= ⇔ =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2


' 2 . ' 2 ' 2 1x x x x x x x xy xy e e e y e xy e e e y e xy− − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ ��

( ) ( )2 2 2'

1 1 , com cx x xe y e y dx e y x c= ⇔ = ⇔ = + ∈∫ �

Solução Geral: 2 , com cx

x cy

e

+= ∈�


( ) ( )'cos sin 2y x y x x− =

Quais são os valores para ( ) ??p x = e ( ) ??q x =

1º vou dividir por ( )cos x , de modo a “retirar” o ( )cos x da derivada do “y”:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

sin 2'cos sin 2 / cos '

cos cos

x xy x y x x x y y

x x− = ⇔ − =

Vou reorganizar os termos de modo a ter o aspecto da formula de resolução:

( ) ( )

( )( )

'

2'

cos

y p x y q x

xy tg x y

x

+ =

− =

Agora já sei os valores para ( ) ( )p x tg x= − e ( )( )

2

cos

xq x

x=




( ) ( )( )p x dxI x e∫=


( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

sin

cos ln cos

xdx

tg x dx x xI x e I x e I x e

− − ∫∫= ⇔ = ⇔ =


( ) ( )cosI x x=

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )


2' .cos cos ' cos cos

cos

xy tg x y x x y x tg x y x

x

− = ⇔ − =

��( )

2

cos

x

x⇔

( ) ( )cos ' cosx y x⇔ −( )( )

sin

cos

x

x( ) ( )

Voltei a estaca zero (ao inicio)!

2 'cos sin 2y x y x y x x= ⇔ − = ⇔��

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )' 2cos sin 2 cos 2 cos , com cx y x y x x y x dx x y x c− = ⇔ = ⇔ = + ∈∫ �

Solução Geral: ( )

2

, com ccos

x cy

x

+= ∈�

2 – Resolva a equação diferenciais 2

' 2 2 0xy xy xe−+ − = , usando o Metodo da Variação da Constante (MVC).

Resolução 2:

2

' 2 2 0xy xy xe−+ − =

Este exercicio é a de uma Equações Lineares de 1ª Ordem, logo é por aí que vou avançar. Mas desta vez vou ter que usar outro metodo, que é o Metodo da Variação da Constante (MVC). 1º passo – resolver a Equação Incompleta. TODOS os termos que não tenham a variavel “y” passam para o 2º membro:

2

' 2 2 ' 2 0xy xy xe y xy−+ = → + =

Ou seja, faz-se “desaparecer” o 2º membro, mas não posso afirmar que é uma equação equivalente, daí a termologia de Equação Incompleta



Assim:

( ) ( )1 1' 2 0 2 2 2

dyy xy xy dy x dx dy x dx

dx y y

+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

∫ ∫

( )2 22ln ln ln , com K

x K x Ky x K y e y e− + − +⇔ = − + ⇔ = ⇔ = ∈ ⇔�

�2 2 2

, com AK x K x x

A

y e e y e e y Ae− − −⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ∈�

2º passo – Metodo da Variação da Constante (MVC). É o “A” que passa a variar:

( )2xy A x e−=

Para substituir na equação, preciso també da 1ª derivada: ( )( )2 '

' x

xy A x e−=

Regra da derivada do produto, e é em ordem a “x” e aproveito para notar a variavel constante de maneira mais

simples, retirando o ( )x :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 2'''

' ' 2x x x x

x x xy A x e A x e y A e xA x e− − − − = + ⇔ = + − ⇔

( )2 2

' ' 2x xy A e xA x e− −= −

Agora vou subsituindo na equação dada, e não me posso esquecer do resultado obtido no 1º passo:

( )�

2 2 2 2 2

'

' 2 2 ' 2 2 2

x

x x x x x

yy

y xy xe A e xAe x Ae xe− − − − −+ = ⇔ − + =��

2 2

' 2x xA e xAe− −−2

2 xxAe−+2 2

2 'x xxe A e− −= ⇔2

2 xx e−= ⇔

( ) ( ) 2' 2 2A x A x dx A x x c⇔ = ⇔ = ⇔ = +∫

Resposta, cuidado que a formula está no inicio do 2º passo: ( )2xy A x e−=

Solução Geral: ( ) 22 , com cxy x c e−= + ∈�



3 – Resolva a equação diferenciais 32 'y xy x+ = , usando os dois metodo distintos:

3.1 – Usando o Metodo da Variação da Constante (MVC) 3.2 – Procurando uma solução particular da equação completa.

Resolução 3.1: 32 'y xy x+ =

Metodo da Variação da Constante (MVC). 1º passo – resolver a Equação Incompleta. TODOS os termos que não tenham a variavel “y” passam para o 2º membro, e iguala-se o 2º membro a zero:

3

J estava!

2 ' 2 ' 0á

y xy x y xy+ = → + =��

Assim:

22 24 22ln ln , com A

2 4 2

x Ax x Ay A y y e

− +⇔ = − + ⇔ = − + ⇔ = ∈ ⇔�

�

2 2 2

4 4 4, com B , com K x x x

BB

K

y e y e e y Ke− + − −

⇔ = ∈ ⇔ = ± ⇔ = ∈� �

2º passo – Metodo da Variação da Constante (MVC). É o “K” que passa a variar: ( )2

4

x

y K x e−

=

Agora vou derrivar, não me esquecendo de que se trata de um produto: ( ) ( )2 '

' 4

x

x

x

y K x e−

=

2 2 2 2'

4 4 4 41

' ' ' '. . . .2

x x x x

x

y K e K e Y K e x K e− − − −

= + ⇔ = −

Agora vou subsituindo na equação dada, e não me posso esquecer do resultado obtido no 1º passo:

2 2 2

3 34 4 41

2 ' 2 '. . . .2

x x x

y xy x K e x K e x Ke x− − −

+ = ⇔ − + = ⇔



2 2

4 42 '. . .x x

K e x K e− −

⇔ −2

4.x

x Ke−

+ ( )2 23

3 34 41

' . .2 2

x xxx K e K x x e dx

= ⇔ = ⇔ =

∫

Calculo Auxiliar:

2 21

4 41

.2

x x

x

e x e

=

Ou seja, preciso de ter 1

2x

, e tenho 31

2x , por isso é só separar o “x”: 21

.2

x x

Isto foi um calculo auxiliar que visou ter uma ideia mais clara do caminho a tomar. Ou seja vou ter que obtar por fazer uma integração utilizando o Metodo de Primitivação por Partes - MPP.

MPP: 2

4

x

u e=

2

41

' .2

x

u x e=

2v x= ' 2v x=

2 2 2 2

2 24 4 4 4. .2 . 2 .x x x x

K e x e x dx K e x e x dx

= − ⇔ = − ⇔ ∫ ∫

2 2 2 2

2 24 4 4 41 1

. 2 2. . . 2.2 .2 2

x x x x

K e x e x dx K e x e x dx

⇔ = − ⇔ = − ⇔ ∫ ∫

( )2 2

24 4. 4. , com c x x

K x e x e c= − + ∈�

Agora vou substituir ( )K x em ( )2

4

x

y K x e−

= , que fica

2 2 2

24 4 4. . 4. , com c x x x

y e e x e c−

= − + ∈

�

2

4

x

y e−

=2

4.x

e

2

2 4. 4.x

x e−

−2

4.x

e

2

4 . , com c x

e c−

+ ∈�

Solução Geral

2

2 44 , com c x

y x ce−

= − + ∈�

Resolução 3.2: Solução Particular

32 'y xy x+ =

1º passo – Resolver a Equação Associada (também designado de Equação Incompleta)

32 'y xy x+ =



O termo sem “y” vai para o 2º membro (já está) e iguala-se o resto a zero:

( ) ( ) ( ) ( )22 ' 0 2 2

dyy xy xy dy xy dx dy x dx

dx y

+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

21 1

ln , com A 2 2 4

x x xdy dx dy dx y A

y y

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + ∈ ⇔

∫ ∫ �

( ) �

22

44ln ln , com A , com A xx

A A

K

y e y e e−− +

⇔ = ∈ ⇔ = ± ∈ ⇔� �

2

4 , com K x

y Ke−

= ∈�

Nova notação para o “y” da associada: ay , assim sendo a resposta da Equação Associada é

2

4

x

ay Ke−

=

2º passo – Resolver a Equação Particular, e esta só lá vou por tentativas! Então vou seguir um procedimento gradual, que consiste em começar de um “y” ser igual a qualquer coisa, mas de grau 0. Depois salto para um de grau 1, e assim por diante. Agora esse qualquer o que será?

Grau 0: 0y ax y a= ⇔ =

Grau 1: 1 0y ax bx y ax b= + ⇔ = +

Grau 2: 2 1y ax bx c= + +

Assim sendo, vou começar pela 1ª tentativa com , com a y a= ∈� .

Ora sei que se derivar y, fica ( ) ( )' ' ' 0y a y= ⇔ =

Agora vou substituir o “y”, ( )3 32 ' 2 0y xy x ax x+ = → + = ⇔ 3ax x= , é uma proposição falsa (pf)

Ver explicação do porquê ser falsa na pagina 34. 2ª tentativa com , com a y ax b= + ∈� .

Ora sei que se derivar y, fica ( ) ( )' ' 'y ax b y a= + ⇔ =

Agora vou substituir o “y”, ( ) ( )3 32 ' 2y xy x a ax b x x+ = → + + = ⇔

2 32a ax bx x+ + = , é uma proposição falsa (pf)

3ª tentativa com 2 , com a y ax bx c= + + ∈� :

Ora sei que se derivar y, fica ( ) ( )2' ' ' 2y ax bx c y ax b= + + ⇔ = +

Agora vou substituir o “y”, ( ) ( )3 2 32 ' 2 2y xy x ax b ax bx c x x+ = → + + + + = ⇔

3 2 34 2ax b ax bx cx x+ + + + =



Apesar de ainda não ser a solução, esta equação permite-me fazer algo mais, que possa tornar a equação numa preposição verdadeira!

Então vou continuar:

1

2

0

1

4 0

2 01

0

0

a

ba

b

x

c

x

x

x

=

== ∧

= =

Isto está ERRADO! Pois o que eu devo de fazer é agrupar pelo mesmo grau e tirar os “x”!

Assim sendo, fica:

0

02

0

4

b

a c

b

=

=

+

=

Nota muito importante: como se separa por graus e se retira o “x”, não devo de confundir depois as mesmas variaveis que ficam “despidas” do “x”. Por exemplo, o “ 02 0bx = ” não fica junto com o “ 2 0bx = ”. Mas o “ 14 0ax = ” e o “ 1 0cx = ” já ficam juntos pois são do mesmo grau.

44

00

01

1

2

4

0

0

1

0

cc

bb

ba

a a

b

a c

b

= − = − =

⇔=

⇔ = = =

= =

=

=

+

Assim sendo a minha solução particular é ( ) ( )2 21 0 4y ax bx c y x x= + + ⇔ = + −

2 4y x= −

Nova notação para o “y” é da particular: py e assim sendo a resposta é 2 4py x= −

A resposta a pergunta 3.2 é a py y y= + →

2

24 4, com K x

y Ke x−

= + − ∈�



4 – Seja ( ) ( )3 ' 21 2 1 0x x y x y− + − + =

Verifique que a equação admite uma solução polinomial de segundo grau e determine a Solução Geral.

Resolução 4:

( ) ( ) ( ) ( )3 ' 2 3 ' 21 2 1 0 1 2 1x x y x y x x y x y− + − + = ⇔ − + − = −

1º passo – Resolver a Equação Associada (também designado de Equação Incompleta) O termo sem “y” vai para o 2º membro:

( ) ( )3 ' 21 2 1x x y x y− + − = −

Iguala-se o 1º membro a zero ( ) ( ) ( ) ( )3 ' 2 3 21 2 0 2 1dy

x x y x y x x y xdx

→ − + − = ⇔ − = − ⇔

( ) ( )2 2

3 23 3

1 2 1 1 2 12 1

x xx x dy y x dx dy dx dy dx

y yx x x x

− − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = − − ∫ ∫

O 1º membro é facil de integrar, pois é imediato, quanto ao 2º membro, vou ter que utilizar o Método dos Coeficientes Indeterminados (MCI):

MCI: ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

3 2

1 1 1 12 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 11

A x x Bx x Cx xx x x A B C

x x x x x x x x xx x x x

− + + + + −− − −= = = + + = =

− + − + − +− −

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 21

1 1 1 1

A x B x x C x x Ax A Bx Bx Cx Cx

x x x x x x

− + + + − − + + + −= = =

− + − +

1

20 1 01

02

1 11

CA B C C C

B C B C B

A AA

=

+ + = + + =

− = ⇔ = ⇔ = − = − = =

1 1 1 1

1 1 1 12 2 2 21 1 1 1

dy dx dy dx dx dxy x x x y x x x

= + + ⇔ = + + ⇔ − + − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 1 1

2 1 2 1dy dx dx dx

y x x x

= + + − +

∫ ∫ ∫ ∫

( )1 1

2 21 1

ln ln ln 1 ln 1 , com A ln ln ln 1 ln 1 ln2 2

Ay x x x A y x x x e= + − + + + ∈ ⇔ = + − + + + ⇔�

( ) ( ) �1 1

2 21 1 , com A 1 1, com C A

c

y x x x e y Cx x x⇔ = − + ∈ ⇔ = − + ∈ ⇔� �

( ) ( )2 2 , com c 2 , com c y x x c y x x c⇔ = + + ∈ ⇔ = + + ∈� �



Nova notação para o “y” da associada: ay

Assim sendo a resposta da Equação Associada é ( )2 , com c ay x x c= + + ∈�

2º passo – Resolver a Equação Particular, e esta só lá vou por tentativas! Então vou seguir um procedimento gradual, que consiste em começar de um “y” ser igual a qualquer coisa, mas de grau 0. Depois salto para um de grau 1, e assim por diante. Agora esse qualquer o que será?

Grau 0: 0y ax y a= ⇔ =

Grau 1: 1 0y ax bx y ax b= + ⇔ = +

Grau 2: 2 1y ax bx c= + +

Assim sendo, vou começar pela 1ª tentativa com , com a y a= ∈� :

Ora sei que se derivar y, fica ( ) ( )' ' ' 0y a y= ⇔ =

Agora vou substituir o “y”, ( ) ( ) ( )( ) ( )3 ' 2 3 21 2 1 0 1 2 1x x y x y x x x a− + − = − → − + − = −

22 1a ax− = − , é uma proposição falsa (pf)

2ª tentativa com , com a y ax b= + ∈� :

Ora sei que se derivar y, fica ( ) ( )' ' 'y ax b y a= + ⇔ =

Agora vou substituir o “y”, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 ' 2 3 21 2 1 1 2 1x x y x y x x a x ax b− + − = − → − + − + = −

3ax ax⇔ − ax+ 2 22 2 1b x ax x b+ − − = − ⇔

3 2 22 2 1ax b x ax x b+ − − = − , é uma proposição falsa (pf)

3ª tentativa com 2 , com a y ax bx c= + + ∈� :

Ora sei que se derivar y, fica ( ) ( )2' ' ' 2y ax bx c y ax b= + + ⇔ = +

Agora vou substituir o “y”, ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 ' 2 3 2 21 2 1 2 1 2 1x x y x y x x ax b x ax bx c− + − = − → − + + − + + = −

( ) ( )3 3 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1axx axx bx bx ax bx c x ax x bx x c⇔ − + − + + + − − − = − ⇔

42ax⇔ 2ax bx− − bx+ 42c ax+ − 3 22 1bx cx− − = − ⇔

2 3 22 1ax c bx cx− + − − = − , é uma proposição falsa (pf)

Apesar de ainda não nenhuma solução, esta equação permite-me fazer algo mais, que possa tornar a equação numa preposição verdadeira! Nota importante é acautelar-me de que o grau do “-1” é o mesmo do “c”.



Fica

( )00 0

2 0 2 1 0 2

1 11

bb b

a c a a

c cc

− =− = =

− − = ⇔ − − − = ⇔ = = − = −= −

Assim sendo a minha Solução Particular é ( ) ( )2 2 22 0 1 2 1y ax bx c y x x y x→ = + + ⇔ = + − = −

Nova notação para o “y” é da particular: py

Assim sendo a resposta é 22 1py x= −

A resposta a pergunta 4 é a py y y= + ( ) 22 2 1, com c y x x c x→ = + + + − ∈�

5 – Resolva a equação ( )2 ''1 2 0x y y+ − =

Usando a mudança de variavel independente ( )arctg xϕ = .

Resolução 5: Nota: a variavel independente é o “x”, pois não depende de nada, o “y” é que é uma variavel dependente, pois estará sempre dependente do valor de “x” e da função. Regra geral, a variavel dependente é sempre o “y”. Tenho que ter em atenção o metodo solicitado: “Usando a mudança de variavel…”

Bem, sei que ' dyy

dx= (esta é a 1ª derivada)

Neste tipo de exercicio, tenho que usar a regra da cadeia: ' dy dy

d dx

ϕϕ

= .

Posso usar uma anologia que me ajuda a perceber: ' 1. .

d dy dy dy

dx d d dx

ϕ ϕϕ ϕ

= =

Assim sendo:

( )( )'2

1.1

dy d dyy arctg x

d dx d xϕ ϕ= =

+

Como no meu exercico tenho a 2ª derivada do “y” ( )''y , vou agora derivar a 1ª derivada:

( )( )2

''2 2

1.1

d y dy d d dyy arctg x

dx dx dx ddx xϕ

= = = +

Nota, que poderia ter notado da seguinte maneira: ( )( )'

'2

''2 2

1.1x

x

d y dy dyy arctg x

dx ddx xϕ = = = +

. Mas este modo

não se usa pois torna a parte que segue mais confusa.



2'' ''

2 2 2

11 1 1 1

. . . .1 1 1

dyd d

dd dy dy d dy xy y

dx d d dx dx d dxx x x

ϕϕ ϕ ϕ

+ = + ⇔ = + ⇔ + + +

( )''

2 22

1 2. .1 1

dyd

d dy xy

dx dx x

ϕϕ

⇔ = + − ⇔ + +

Vou voltar a usar a regra da cadeia (vou fazer de modo infantil, mas facilita os raciocinio):

( )( )

( )'' ''

2 2 2 22 2

1 1 2 1 2. . . . .

1 11 1

dyd

ddy d x dy d x dyy d y arctg x

d d dx d d dx dx xx x

ϕϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ + + + +

( ) ( ) ( )

2 2'' ''

2 2 2 2 2 2 22 2 2

1 1 2 1 2. . .1 1 1 1 1

d y x dy d y x dyy y

d dd x x dx x xϕ ϕϕ ϕ

⇔ = + − ⇔ = + − + + + + +

Agora que já sei o valor de ''y , vou então a equação dada e substituir: ( )2 ''1 2 0x y y+ − =

( )( ) ( )

22

2 2 22 2

1 21 . 2 0

1 1

d y x dyx y

dd x x ϕϕ

⇔ + + − − = ⇔ + +

( )2

2 2 2

1.

1

d y

d xϕ⇔

+( )2. 1x +

( )2 2

2

1

x

x+ −

+( )2. 1x + 2 0

dyy

dϕ

− = ⇔

( ) ( )2

2 2 2

1 2. 2 0

1 1

d y x dyy

dd x x ϕϕ

⇔ + − − = ⇔ + +

Vou multiplicar TUDO por ( )2 1x +

( )

2

2 2

1.

1

d y

d xϕ⇔

+( )2. 1x +

( )2

2

1

x

x+ −

+( )2. 1x + ( )22 1 0

dyy x

dϕ

− + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2

2 2 1 0 2 1 0d y dy d y dy

x y x x y xd dd dϕ ϕϕ ϕ

⇔ + − − + = ⇔ + − + + = ⇔



Ora como sei que ( )arctg xϕ = , logo posso afirmar que ( )tg xϕ = , então ( )2 2tg xϕ =

, e também sei que: ( ) ( ) ( )( )

2 2 22

1sin cos 1 1

costgϕ ϕ ϕ

ϕ+ = ⇔ + = , então:

( )( ) ( )

2 22 2

1 11 1

cos costg xϕ

ϕ ϕ⇔ + = ⇔ + =

( ) ( )( )( )

2

2 2

12 0

cos

d y dytg y

ddϕ

ϕϕ ϕ

⇔ + − + = ⇔

Quando chegar a esta fase, a da substituição, tenho que ter em atenção, que tenho sempre uma derivada de um produto.

( )( ) ( )( )2 2

2 22. . 0 2. . 0

d y d d y dtg y tg y

d dd dϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ⇔ − = ⇔ − = ⇔

( )( ) ( )( )2. . 0 2. . 0

K

d dy d d dytg y tg y

d d d d dϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=

⇔ − = ⇔ − = ⇔

��

Para que a derivada de ( )( )2. .dy

tg yd

ϕϕ

− dê zero, tem que ser uma constante.

( )( )2. . , com K dy

tg y Kd

ϕϕ

− = ∈�

Nota – poderia ter feito assim, que talvez seja menos confuso: Calculando a 1ª derivada:

( )( )( )

( )

'2 2

2

1 1 1. . .

11cos

1

dy d dy dy dyy arctg x

d dx d d dx tg ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = =

+ +

Porquê?

Bem porque ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

22

22 cos si

1 1

1

co

11

cs on

stg ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ=

+ += , logo posso afirmar que ( )2

2

1cos

1 xϕ=

+.



( )

( )2

21' .

1

c

.cos

os

dyy

dy

ddϕ

ϕϕ ϕ

= =

Calculando a 2ª derivada (pagina 67):

( ) ( ) ( )( )( )2

''2

2 2 2.cos .cos .cosd dd y d dy d d d d d

ydx dx d dx d dx d

y dy ady

dxdx

rc

d d

g x

d

tϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ

= = = = = =

( ) ( )( )

( )2

'' 2 2 22

cos.cos . .co

1cos

1s .

dyd

ddd dy dyy

d d dx d d

ϕϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

= = + =

+

( ) ( ) ( )( ) ( )2

'2

2' 2.cos 2cos sin o.c sd y dy

ydd

ϕ ϕ ϕϕ

ϕϕ

= + − =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

'' 2 22

2.cos .cos cos2cos sin .d y dy

ydd

ϕϕ ϕϕ

ϕϕϕ

= − =

Agora que já sei o valor de ''y , vou então a equação dada e substituir: ( )2 ''1 2 0x y y+ − =

( )2

1

cos ϕ

( ) ( )2

222.cos c. os

d y

dϕ

ϕϕ ( ) ( )( ) ( )22cos si cosn .

dy

dϕ ϕ

ϕϕ− 2 0y

− =

( ) ( ) ( )( )2

22

.cos 2cos sin 2 0d y dy

ydd

ϕ ϕ ϕϕϕ

− − =

Agora MULTIPLICAR tudo por ( )2

1

cos ϕ

( )( )

( ) ( )( ) ( )

22

2 2 22

1 1 1

cos cos c.cos . 2cos sin . 2 . 0

os

d y dyy

dd ϕϕ

ϕϕ ϕϕ ϕ

ϕ

− − =

( )( )( )

2

2 2

22 0

cos

d y dy ytg

ddϕ

ϕϕ ϕ− − =

( )( )( )

2

2 22 0

cos

d y dy ytg

ddϕ

ϕϕ ϕ

− + =

( )( ) ( )( )2 2

2 22. . 0 2. . 0

d y d d y dtg y tg y

d dd dϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ⇔ − = ⇔ − = ⇔



( )( ) ( )( )2. . 0 2. . 0

K

d dy d d dytg y tg y

d d d d dϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=

⇔ − = ⇔ − = ⇔

��

Para que a derivada de ( )( )2. .dy

tg yd

ϕϕ

− dê zero, tem que ser uma constante.

( )( )2. . , com K dy

tg y Kd

ϕϕ

− = ∈�

A partir daqui é igual… Como se trata de uma Equações Lineares de 1ª Ordem, tenho 3 metodos para resolver está equação: - Metodo do factor integrante - Metodo da Variação da Constante (MVC) - Procurando a solução particular Como é que eu sei de que se trata de uma Equações Lineares de 1ª Ordem? Ver a pagina 58.


( ) ( )'y p x y q x+ =


O meu ( ) ( )2p x tg ϕ= − e ( )q x K=

Vou utilizar o metodo do factor integrante. Este resultado depois será para utilizar na MULTIPLICAÇÃO da equação.

Assim, fica: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

sin2

2 cosd

p d tg dI e I e I e

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

− − ∫∫ ∫= ⇔ = ⇔ = ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( )( )22 ln cos ln cosI e I eϕ ϕϕ ϕ⇔ = ⇔ = ⇔ ( ) ( )2cosI ϕ ϕ=

O meu factor integrante é ( )2cos ϕ

Assim, e voltanto a minha equação, fica: ( )( ) ( )22. . , com K .cosdy

tg y Kd

ϕ ϕϕ

− = ∈

�

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2cos 2. . .cos .cos , com K dy

tg y Kd

ϕ ϕ ϕ ϕϕ

− = ∈�

Quando chegar a esta fase, a da multiplicação, tenho que ter em atenção, que tenho sempre uma derivada de um produto (alias, essa foi a razão calculei o factor integrante).

( ) ( )2 2cos . .cos , com K d

y Kd

ϕ ϕϕ = ∈ �



O exercicio ainda não acabou! Pois começou com “x” e “y”, logo só acaba quando chegar a fase de já não ter

derivadas, nem ( )ϕ .

( ) ( )2 2cos . .cosd

y Kd

ϕ ϕϕ

= ∫

Ora sei que ( ) ( )2 1 cos 2cos

2

ϕϕ

+= , fica:

( )( )

( ) ( )2 21 cos 2cos . . cos . 1 cos 2

2 2

d K dy K y

d d

ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ ⇔ = ⇔ = + ⇔

∫ ∫

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

22 2 2

sin .cos1 1cos . .2.sin .cos .2.

2 2 2 2cos cos cos

K K cy c y

ϕ ϕϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

⇔ = + + ⇔ = + + ⇔

( )( )

( )2 2cos cos

cy A tg

ϕϕ

ϕ ϕ

= + +

Agora vou substituir a variavel ( )arctg xϕ = , ( )tg xϕ = , ( )

( )2 22 2

1 11 cos

cos 1x

xϕ

ϕ+ = ⇔ =

+

( )

2 2

1 1

1 1

arctg x cy A x

x x

⇔ = + + ⇔

+ +

Pronto, já só tenho “x” e “y”, já está resolvido, vou só dar um pequeno arranjo:

( ) ( ) ( )( )2 21 1y A x arctg x x x c⇔ = + + + + ⇔

( )( ) ( )2 21 1 , com A,c y A arctg x x x c x = + + + + ∈ �

6 – Considere a equação 2 ' 2 1x y y x x− = − + e a primitiva ( )11

1 xF x e dxx

= −

∫ .

6.1 – Use o Metodo da Variação da Constante (MVC) para calcular a Solução Geral da equação dada e exprima o resultado em termos de ( )F x (que não deve calcular).

6.2 – Determine outra vez a Solução Geral da equação, mas agora sabendo que esta equação admite uma Solução Particular sob a forma de um polinómio de primeiro grau.

6.3 – Deduza das alineas anteriores a expressão de ( )F x .

Resolução 6.1: 1º ler bem as perguntas. A 6.1, por exemplo, salienta que não é preciso calcular o ( )F x ,

apenas se deve de representar na Solução Geral.



1º passo – Resolver a Equação Associada (também designado de Equação Incompleta) Resolve-se a equação, esquecendo-se do 2º membro, respeitando esta formula ( ) ( )

�'

2º Membro 1º Membro

y p x y q x+ =��

.

2 ' 2

0

1x y y x x=

− = − +��

( ) ( )2 ' 2 20dy

x y y x y x dy y dxdx

− = ⇔ = ⇔ = ⇔

Como as variaveis estão separadas, vou dividir ambos os memebros de modo a resolver esta situação:

2 2

1 1 1 1 1lndy dx dy dx y c

y y xx x

⇔ = ⇔ = ⇔ = − + ⇔

∫ ∫

�

1 1 1

ln ln . .c c cx x x

K

y e y e e y e e− + − −

=

⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔

1

. xay K e

−=

Fim do 1º passo. 2º passo – utilizando a equação do 1º passo, vou calcular a sua derivada, em ordem a “x” (aqui estou a utilizar outro metodo, que é da varição da constante, por isso não vou obter a equação particular neste 2º passo).

'1

' . xy K e−

=

Cuidado, por distração, não se nota que é a derivada de um produto!

1 1 1 1 1 121

' ' ' ' ' ' ' 'x x x x x xy K e K e y K e K e y K e Kx ex

− − − − − −− = + ⇔ = + − ⇔ = +

Cuidado, pois como é pelo Metodo da Variação da Constante (MVC), o “K” é uma função de “x”. Vou substituir na equação dada: 2 ' 2 1x y y x x− = − +

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2' 1 'x x x xx K e Kx e Ke x x K x e K x x− − − −

− − + − = − + ⇔ +

1 12 1x xe Ke x x

− − − = − + ⇔

1 12' x xK x e Ke

− −⇔ +

1

xKe−

−1 2

2 2 21

2

11 ' 1 'x

x

x xx x K x e x x K

x e

−

−

− += − + ⇔ = − + ⇔ = ⇔

( ) ( ) ( )1 2 2

' ' '2 21

2

1. . 1

.

x

x

x x xK e x x x K K

x e

−

−

− +⇔ = − + ⇔ = ⇔ =

2x1

. x

x

e−

−2x

1 12

1

. .x xe x e− −

+ ⇔

( ) ( )1

' '

2 1 2

1 1 1 1 11 . 1 . x

x

K K ex xx x

e−

⇔ = − + ⇔ = − +



No exercicio, é-me dito “…e a primitiva ( )11

1 xF x e dxx

= −

∫ ”, e não me pedem para resolver, fica:

1

2

1 11 . xK e dx

x x

= − +

∫

Então fica:

( ) ( )1 1 1 1

2 2

1 1 11 . . . , com A,c x x x xK e dx e dx K F x e dx K F x e A

x x x

= − + ⇔ = + ⇔ = − + ∈

∫ ∫ ∫ �

3º Passo – Solução Geral, é obtida substituindo o valor do “K” do 1º passo - 1

. xay K e

−=

( )1 1

. , com A x xy F x e A e−

= − + ∈

�

Resolução 6.2: o 1º passo é igual ao 1º passo do exercício 6.1, pois o que pretendo é a equação associada. 1º passo – Resolver a Equação Associada (também designado de Equação Incompleta) Resolve-se a equação, esquecendo-se do 2º membro, respeitando esta formula ( ) ( )

�'

2º Membro 1º Membro

y p x y q x+ =��

.

2 ' 2

0

1x y y x x=

− = − +��

( ) ( )2 ' 2 20dy

x y y x y x dy y dxdx

− = ⇔ = ⇔ = ⇔

Como as variaveis estão separadas, vou dividir ambos os memebros de modo a resolver esta situação:

2 2

1 1 1 1 1lndy dx dy dx y c

y y xx x

⇔ = ⇔ = ⇔ = − + ⇔

∫ ∫

�

1 1 1 1

ln ln . . .c

c cx x x xa

K

y e y e e y e e y K e− + − − −

=

⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ =

Fim do 1º passo.



2º Passo – Sabe-se que existe um “a” e um “b”, tal que ( ),a b y ax b∃ = + que é solução da equação dada.

E assim sendo: 'y a=

Substituindo na equação dada 2 ' 2 1x y y x x− = − + , fica: ( )2 2 1x a ax b x x− + = − +

2 2 1x a ax b x x− − = − +

Como é uma igualdade entre membros, posso afirmar o seguinte:

( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1x a ax b x x− − = − + −

11

11

1

aa

ab

b

==

⇔ − = − ⇔ = −− =

Assim já sei Equação Particluar: ( ), 1p pa b y ax b y x∃ = + ⇔ = −

3º Passo – Solução Geral: a py y y= +1

. 1xy K e x−

⇔ = + − Resolução 6.3: Os Exercício 6.1 e 6.2 são duas maneiras diferentes de calcular a equação

2 ' 2 1x y y x x− = − +

E é me pedido para calcular o ( )F x , vou então igualar as expressões de ambas as Soluções Gerais:

( )1 1 1

Solução Geral 6.2

Solução Geral 6.1

. . 1x x xF x e A e K e x− −

− + = + −

��

( )( )

11 1 1 1 1

1 1 1 1. . . . 1 1

xx x x x x

x x x x

F x e A KF x e e e A e K e x x

e e e e

− − − −− + = + − ⇔ − + = + − ⇔

( )1

1x

F x

e

⇔ −1 1

1x x

A Kx

e e

+ = + −( )

( )1 1 1 1x x x x

F x K A Kx F x

e e e e

⇔ = + − ⇔ =1

. xe1

1. x

x

Ax e

e

+ −1

. xe ⇔

( ) ( ) � ( )1 1 1

. . . , com c x x x

C

F x K x e A F x x e K A F x e x c=

⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ = + ∈�



Equações de Bernoulli e de Riccati

(esta materia não tem muita importancia, só vou fazer uma para cada situação)

A Equação de Bernoulli tem a forma

( ) ( )' ny p x y q x y+ =

Com 0n ≠ e 1n ≠ .

Através da substituição da variavel 1 nz y −= a Equação de Bernoulli pode ser reduzida a uma Equação

Diferencial Linear de 1ª Ordem (e que depois já sei resolver). Uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem com a forma

( ) ( ) ( )2' 0y a x y b x y c x+ + + =

Onde ( )a x , ( )b x e ( )c x são funções conhecidas, chamadas de Equações de Riccati

Observação: se ( )1y u x= é solução particular de uma Equação de Riccati então, através da mudança de variavel

( ) 1y u x




Exercicios 1 a) - Resolva a seguinte equação diferencial:

( )2' lnxy y y x+ =

Resolução - como a Equação de Bernoulli tem a forma ( ) ( )' ny p x y q x y+ = , com 0n ≠ e 1n ≠

1º vou dividir tudo por “x”, de forma a ficar com 'y no 1º termo:

( ) 2ln1'

xy y y

x x+ =

Já tenho a Equação de Bernoulli, sendo o 2n = . Ora sei que através da substituição da variavel 1 nz y −= a Equação de Bernoulli pode ser reduzida a uma Equação

Diferencial Linear de Primeira Ordem:

1 1 2 1 1 1nz y z y z y z yy z

− − −= → = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2 2 2

1'. 1. ' 0 ' '' ' '

z z z zy y y

z z z

− −= ⇔ = ⇔ = −

Como já sei 1

yz

= e 2

''

zy

z= − , vou substituir os valores na equação

( ) 2ln1'

xy y y

x x+ = :

( ) 2

2

ln' 1 1 1xz

x z x zz − + =

Como pretendo o 'z isolado, vou multiplicar TUDO por 2z :

( ) ( ) ( )22

2

ln ln' 1 1 1 1. '

x xzz z z

x z x z x xz

− + = − ⇔ − = −



Já tenho a Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem, em que ( ) 1p x

x= − e ( )

( )ln xq x

x= −


( ) ( )( )p x dxI x e∫=


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11

ln lndx

x xxI x e I x e I x e−

− − ∫

= ⇔ = ⇔ =


( ) ( )1 1I x x I x

x−⇔ = ⇔ =

Agora que já sei qual é o factor de integração, vou multiplicar a minha equação por este factor:

( ) ( ) ( )2 2


ln ln ln1 1 1 1 1 1 1 1' . ' . '

x x xz z z z z z

x x x x x x x x x x x

− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ��

Ora o objectivo de multiplicar pelo factor integrante era a de que os dois termos do 1º membro fossem a derivada de TODO o 1º termo:

( ) ( ) ( )2 2 2 2

1'

ln ln ln1 1 1 1' '

zx

x x xz z z z dx

x x xx x x x

⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

∫

��

( )2

1 1.lnz x dx

x x

⇔ = − ⇔ ∫

Ora chegando aqui, noto que não consigo fazer uma integração imediata, vou por isso utilizar um dos metodos de

integração não imediata, que será a de Método de integração por partes:

' '

' '

. . Utilizar uma ou outra, a regra não é rigida

. .

u v u v u v

uv u v u v

= −

= −

∫

∫

Assim sendo, vou fazer primeiro a caixa auxiliar:

1u

x= '

2

1u

x= −

Formula: ' '. .u v u v u v= − ∫ ( )lnv x= ' 1v

x=



( ) ( )1 1 1 1 1 1 1.ln . .ln , com c z x dx z x c R

x x x x x x x

⇔ = − ⇔ = + ∈ ⇔

+∫

Como pretendo o “z” sozinho, vou multiplicar TUDO por “x”:

( ) ( )1 1 1.ln . ln 1z x c x z x cx

x x x

= + + ⇔ = + +

Sei também o valor de “z”, que é 1 1

z yy z

= ⇔ = :

( )1

, com c ln 1

y Rx cx

= ∈+ +

1 b) - Resolva a seguinte equação diferencial:

' 2 2x xy ye ye− =

Resolução - como a Equação de Bernoulli tem a forma ( ) ( )' ny yp x yq x+ = , com 0n ≠ e 1n ≠

Vou reescrever a equação para ela ser mais semelhante a formula das equações de Bernoulli

( )( )

( )�

1

2' 2 2x x

q xp x

y e y e y+ − =��

Ora sei que através da substituição da variavel 1 nz y −= a Equação de Bernoulli pode ser reduzida a uma Equação


1 1 111 2 2 2

1' '

2nz y z y z y z y y

− −−= → = ⇔ = → =

Como já sei 2y z= e 1

2' 2 'y y z= , vou substituir os valores na equação ' 2 2x xy ye ye− = :

( ) ( ) ( )1 1

22 22 2 2 22 ' 2 2 2 ' 2 2x x x xz z e z e z z e z ey z− = ⇔ − = ⇔

22 ' 2 2 vou dividir TUDO por 2x xzz z e ze z⇔ − = ⇔

' x xz e z e− =



Já tenho a Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem, em que ( ) xp x e= e ( ) xq x e=

1º passo, solução geral da equação incompleta ' 0xz e z− =

( ) ( ) ( )1 1' x x x xz e z dz e z dx dz e dx dz e dx

z z

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

∫ ∫

ln ln lnx xe c ez e e z Ae⇔ = + ⇔ =

2º passo, vou utilizar o metodo da variação da constante.

xez Ae=

( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' ' 'x x x x x xe e e x e e x ez A e A e z A e A e e z A e Ae e= + ⇔ = + ⇔ = +

Agora vou substituir na equação dada: ' x xz e z e− =

( ) ( )' 'x x x x xe x e x e x e x eA e Ae e e Ae e A e Ae e+ − = ⇔ +

xx eAe e− 'xx e xe A e e= ⇔ = ⇔

( )'x xx e x eA e e A e e dx− −⇔ = ⇔ = ⇔∫ só me falta o sinal de menos para ser imediato!

xeA e c−= − +

Assim, substituindo

( )x x x x x xe e e e e ez Ae z e c e z e e e c− −= ⇔ = − + ⇔ = − + ⇔

1xez e c= − +

1 c) - Resolva a seguinte equação diferencial:

2 3 33 ' 2xy y y x− =

Resolução - como a Equação de Bernoulli tem a forma ( ) ( )' ny yp x yq x+ = , com 0n ≠ e 1n ≠

Vou reescrever a equação para ela ser mais semelhante a formula das equações de Bernoulli

3 3 22

2 2

2 2' '

3 33 3

y x xy y y y

xxy xy−− = ⇔ − =

( )�

( )�

222

'3 3p x q x

xy y y

x−

− =



Como 2n = − , e é preciso cuidado, pois a potencia é ( )1 1 2n− ⇔ − − fica

( )1 21 3nz y z y z y− −−= ⇔ = ⇔ =

Ora sei que através da substituição da variavel 1 nz y −= a Equação de Bernoulli pode ser reduzida a uma Equação


Como já sei 3z y= e 22

'' 3 ' '

3

zz y y y

y= ⇔ = , vou substituir os valores na equação

222

'3 3

xy y y

x−− = :

2

22

' 2

3 33

z xy y

xy−

− =

Vou multiplicar tudo por 2y , porque sei o valor de 3y , que é “z”.

2

2 22

' 2 '

3 33 3

z x zy y y

xy−

− = =

2

3− 3

2

3xy

x= 22

'z xx

z= − =

Já tenho a Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem, em que ( ) 2p x

x= − e ( ) 2q x x=

1º passo, solução geral da equação incompleta2

' 0z zx

− =

2 1 2 1 2

' ln 2lnz z dz dx dz dx x x kx z x z x

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔

∫ ∫

2 2ln ln ln kx x e z Ax⇔ = + ⇔ =

2º passo, vou utilizar o metodo da variação da constante.

2z Ax=

( ) ( )2 2 2' ' ' ' ' 2z A x A x z A x Ax= + ⇔ = +

Agora vou substituir na equação dada: 22'z z x

x− =

( ) ( )2 22

2 22 2' 2 ' 2

AxA x Ax Ax x A Ax

xx+ − = ⇔ + −

x2x= ⇔

' 1A A x c⇔ = ⇔ = + Assim, substituindo

( )2 2 3 2z Ax z x c x z x cx= ⇔ = + ⇔ = +

3 3 2y x cx= +



2 – Integre a seguinte equação de Riccati 4 4 2' 1x y x y= − , sendo dado a sua solução particular 1 2

1xy

x

+=

Resolução – vou dividir TUDO por 4x

2 24 4

1 1' ' 0y y y y

x x= − ⇔ + − =

Obtive a Equação de Riccati em que ( ) 1a n = , ( ) 0b n = , ( ) 4

1c n

x= −

A observação diz-me que se ( )1y u x= é solução particular de uma Equação de Riccati então, através da mudança

de variavel ( ) 1y u x


Para este exercicio, 1 2

1xy

x

+= é solução particular da Equação de Riccati então, através da mudança de variavel

2

1 1xy

zx

+= + , a Equação de Riccati reduz-se a Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem seguinte:

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1x xy y y

z z x zx x x x

+= + ⇔ = + + ⇔ = + +

' ' ' ' '

2 2 2 3 2

1 1 1 1 1 1 1 2' ' '

zy y y

x z x zx x x x z = + + ⇔ = + + ⇔ = − − −

Substituindo, fica:

2'2

4 2 3 2 2 4

1 1 2 1 1 1 1' 0 0

zy y

x zx x x z x x

⇔ + − = ⇔ − − − + + + − = ⇔

'

2 3 2 2 2 4

1 2 1 1 1 1 1 1 10

z

x z x zx x z x x x

⇔ − − − + + + + + − = ⇔

'

2 3 2 2 2 2 2 2 2 4

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10

z

x x x x z x z z x z z zx x z x x x x x x x

⇔ − − − + + + + + + + + + − = ⇔

'

2 3 2 2 3 3 4 2 2 2 4

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10

z

xz xzx x z x x x x x z x z z x

⇔ − − − + + + + + + + + + − = ⇔

3 3 3

'

2 2 2 24 42 2

1 1 1 11 1 1 11 12 10

z

z xxx zx xx z zz xx x x x z⇔ − + +− + + ++ −− + + =+ ⇔

2

1

x⇔ −

3

2

x−

'

2 2

1z

z x− +

3

1

x+

3

11

xxz+ +

4

1

x+

42 2 2

11 1 11

x z xxz z xz+ + + −+ 0= ⇔

'

2 2 2

2 2 10

z

xzz x z z⇔ − + + + = ⇔



Para ter o 'z isolado, vou multiplicar TUDO por 2z− :

'2

2 21 0z z z

x x⇔ − − − = ⇔

'2

2 21z z

x x

⇔ + − − = ⇔

Já tenho a Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem, em que ( ) 2

2 2p x

x x= − − e ( ) 1q x =


( ) ( )( )p x dxI x e∫=


( ) ( )( )

( ) ( ) 22

2 2 2 22 ln ln

dx x xx x x xI x e I x e I x e e−

− − − + ∫

= ⇔ = ⇔ =


( ) ( )2 2

22

1. .x xI x x e I x e

x−⇔ = ⇔ =

Agora que já sei qual é o factor de integração, vou multiplicar a minha equação por este factor:

2 2 2 2

' '2 2 2 2 2 2


2 2 1 1 1 2 2 11 . . . . .x x x xz z e e z e z e

x xx x x x x x

+ − − = ⇔ + − − = ⇔ ��

2 22

2 2 2 2

2 2 1' .

x xx

e ez z e

xx x x x ⇔ + − − =

Ora o objectivo de multiplicar pelo factor integrante era a de que os dois termos do 1º membro fossem a derivada de TODO o 1º termo:

'2

2

'2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 1 1' . . .

x

x x x xx x x

ez

x

e e e ez z e z e z e dx

xx x x x x x x x

⇔ + − − = ⇔ = ⇔ = ⇔

∫��

2 2

2 2

2 2 2

1 2 1

2 2

x xx x

e ez e dx z e c

x x x

⇔ = − − ⇔ = − + ⇔

∫

Como pretendo o “z” sozinho, vou multiplicar TUDO por 2

2

x

x

e

:



22 22

2 22 2

1 1. . .

2 2

xx x

x

e xz e c z x c e x

xe

− = − + ⇔ = − +

Calculo Auxiliar:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1x x xy y y y

z z z z xx x x x x

+ += + ⇔ − = ⇔ = − − ⇔ = − −

Ora como sei que 2

2 22

2 2

1 1 1. .

2 1. .

2

x

x

z x c e xz

x c e x

−

−= − + ⇔ =

− +

Substituindo fica

2 2 22 2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 11 .

1 1. . .2 2

x

x

y y yz x x x xx x cx c e x x

e

−

= − − ⇔ = − − ⇔ = + +

− + − +




Uma equação da forma

( ),f x y c=

Onde “c” é uma constante, define uma familia de curvas. As trajectorias ortogonais são outra familia de curvas que intersectam a primeira familia perpendicularmente: em cada ponto de uma das curvas da primeira familia passa uma curva da segunda familia, formando um angulo de 90º.

Para encontrar a familia de trajectorias ortogonais às curvas ( ),f x y c= , começamos por encontrar uma equação

diferencial cuja solução geral seja ( ),f x y c= ; essa equação encontra-se derivando implicitamente a equação

anterior:

0

ff f y y x

fx y x xy

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⇔ = −

∂∂ ∂ ∂ ∂∂

A derivada y

x

∂

∂ representa em cada ponto o declive da curva que passa por esse ponto. O declive da curva

ortogonal será o simetrico do inverso de y

x

∂

∂, isto é,

x

y

∂−

∂.

Assim, a solução geral da equação

fy x

fxy

∂∂ ∂= −

∂∂∂

, representa a familia de trajectorias ortogonais.



Exercicios 2 – Determine as trajectorias ortogonais das seguintes familias de curvas:

22.1 2 0, 0y ax a+ = >

2.2 y kx=

2 22.3 2x y ay+ =

( )2.4 cos xy ae−=

2 2 212.5

3x y a− =

212.6

4y x a= −

Resolução 2.1 –

1º passo ( ) ( )' '2 22 0 2 0y ax y ax+ = ⇔ + =

Derivada em ordem a “n”: 2 1

:2

2 ' 2 0 2 ' 2 0 ' 0y y a yy a yy a− + = ⇔ + = ⇔ + =��

2º passo – resolver a equação:1

' 0 0'

yy a y ay

+ = ⇔ − + = ⇔

0 '' '

y y dya a y ay y a

y y dx⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )1 1a a

y dx a dy dx dy dx dyy y

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

∫ ∫

( ) 11 ln ln ln

x c x cdx a dy x c a y y y

y a a a

+⇔ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = + ⇔

∫ ∫

�

0

ln ln . .x c x c x c x

a a a a a a a a

K

y e y e y e e y e e+ +

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔

. , com c x

ay K e= ∈�





( ) ( ) ( )'' 'y p x y q x y r x+ + =

onde p , q e r são funções continuas no dominio em que se pretende integrar a equação.

Exercicios

1 – Considere a equação diferencial '' 2 ' 0y y y− + = . Sem nunca resolvê-la:

1.1 – Mostre que 1

xy e= e 2 2 xy xe= são soluções linearmente independentes.

1.2 – Indique a solução geral da equação dada.

Resolução 1.1: Teorema:

Se 1 2

1 2

0' '

y y

y y

≠

, então as funções 1y e 2y são linearmente independentes (Wronskiano)

1 1 'x xy e y e= → =

( ) ( ) ( )''

2 2 2 22 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 1x x x x x xy xe y x e x e y e xe y e x= → = + ⇔ = + ⇔ = +

( )( ) ( ) ( )1 2 2 2 2 2

1 2

22 1 2 2 1 2 0

' ' 2 1

x xx x x x

x x

y y e xeW e x xe e x x e

y y e e x

= = = + − = + − = ≠ +



Assim as funções 1y e 2y são linearmente independentes.

1xy e= , é a solução da equação '' 2 ' 0 porque 2 0 0 0x x xy y y e e e− + = − + = ⇔ = (p.v.)

2 2 xy xe= , é a solução da equação ( ) ( ) ( )''' 2 ' 0 porque 2 2 2 2 0

xx x xy y y xe xe xe− + = − + = ⇔

( )( ) ( )( ) ( ) ( )'

2 1 2 2 1 2 0 2 1 2 4 1 2 0x x x x x x xe x e x e x e x e e x e x+ − + + = ⇔ + + − + + = ⇔

22 4 4 02 2x x x xx xe e ee x e x e x+ −+ −⇔ =+ ⇔

2 xe⇔ 2 xe x+ 2 xe+ 4 xe− 4 xe x− 2 xe x+ 0= ⇔

0 0⇔ = (p.v.)

Assim as funções 1y e 2y são soluções da equação e são linearmente independentes.

Resolução 1.2: Observação: Se ( )f x e ( )g x são soluções linearmente independentes da equação ( ) ( )'' ' 0y p x y q x y+ + = , então

( ) ( ). .y A f x B g x= + é a sua solução geral , com A e B ∈�

Resposta a pergunta 1.2 é . .2 , com A e Bx xy A e B xe= + ∈�

2 – Considere a seguinte equação 2 '' 6 0x y y− =

2.1 – Mostre que 31y x= e 2 2

1y

x= são soluções lineares independentes da equação.

2.2 – Indique a sua solução geral.



Resolução 2.1 - 1º vou classifica-la: É uma Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem, Incompleta e de Coeficientes Não Constantes. Vou definir esta classificação: Equação Diferencial, não há duvidas, pois o “y” está derivado. “… Linear”, porque o “y” e só o “y” não está elevado a nenhuma potencia (de facto está, mas a potencia de 1). Linear ou Grau 1. “… de 2ª Ordem”, pois o “y” está derivado duas vezes. “… Homogenea”, porque o 2º membro é zero. Nota que no 1º membro SÓ posso ter termos com “y”, seja de que maneira for (ou vezes uma constante, uma variavel ou uma derivada). “… de Coeficientes não Constantes”, porque antes de cada “y” tenho coeficientes, e fica-se pelo pior.

Ou seja no 1º termo tenho: 2x No 2º termo tenho: 6−

Ora o 6− é um coeficiente constante, mas o 2x é um coeficiente variavel. Nota 1: Se uma Equação é Linear e Incompleta = Equação Associada. Mas se ela for Homogenea n ão significa que seja Linear Incompleta. Nota 2: Cuidado com as funções trigonometricas, pois enganam na sua interpretação de linearidade. Pois apesar de não estarem elevadas a nenhuma potencia, elas não são linares.

Exemplo: ( )sin 3 ' 0y y− = , não é linear.

Então vou verificar se realmente uma e outra são soluções da equação: 3

1y x=

Tenho o valor de “y”, mas preciso também da 2ª derivada de “y” (pois a minha equação é 2 '' 6 0x y y− = ).

Assim sendo

( ) ( )3 21 1 1' 3 '' 6y x y x y x= = =

Substituindo ( ) ( )2 2 3 3 3'' 6 0 6 6 0 6 6 0 0 0x y y x x x x x− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = (proposição verdadeira)

Posso por isso afirmar que 1y é solução particular da equação dada.

Vou agora verificar a 2ª, assim sendo:

( ) ( )2 3 42 2 22 3 4

1 2 6' 2 '' 6y x y x y x

x x x− − −= = = − = − = =

Substituindo ( )2 2 2 2 2

4

6'' 6 0 6 0 6 6 0 0 0x y y x x x x

x− − −

− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

(p. v.)

Posso por isso afirmar que 2y é solução particular da equação dada.



Serão as duas soluções independentes? Vou utilizar o seguinte teorema para fazer a verificação: Teorema:

Se 1 2

1 2

0' '

y y

y y

≠

, então as funções 1y e 2y são linearmente independentes (Wronskiano)

( ) ( )3 2

1 2 3 2 232

1 2 3

2. 3 . 2 3 5 02' ' 3

x xy yW x x x

y y xxx

−

−

= = = − − = − − = − ≠ −

Posso por isso concluir que 1y e 2y são Linearmente Independentes. Se obtivesse zero, nada poderia concluir.

Exemplo de duas soluções particulares em que estas não são linearmente independente: 3

1y x= e 32 2y x= ,

pois na realidade é 3y Cx=

Resolução 2.2 – 1 2 1 2__ __, com e y c c c c= + ∈�

1 1 2 2 1 2, com e y c y c y c c= + ∈�

31 2 1 22

1, com e y c x c c c

x= + ∈�

31 2 1 22

1, com e y c x c c c

x= + ∈�

3 – A função 2

1y x= é uma solução da equação 2 '' 3 ' 4 0x y xy y− + = . Encontre a solução geral da equação.

Resolução 3 – nota, regra geral, uma Equação Diferencial Linear de Segunda ordem não se consegue resolver. Em teoria, para conseguir chegar a solução geral, preciso de das duas soluções paticulares. Mas de facto o que se faz é procurar a solução geral, que depois obtenho a 2ª solução particular. Seja 2

1y x= , fica 2y x z=

Agora as suas respectivas derivadas (cuidado que é um produto):

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )2

2

2

2 2 2

2 ' ' '

' 2 '

'' 2 ' ' ' 2 2 ' 2 ' '' '' 2 4 ' ''xz x z

y x z

y xz x z

y xz x z z xz xz x z y z xz x z

=

= +

= + = + + + ⇔ = + +��



Agora substituindo na equação:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2'' 3 ' 4 0 2 4 ' '' 3 2 ' 4 0x y xy y x z xz x z x xz x z x z− + = ⇔ + + − + + =

22x z⇔ 43 24 6' ''x z xx zz+ + − 3 23 ' 4x z x z− + 4 30 '' ' 0x z x z= ⇔ + = ⇔

Vou agora dividir TUDO por 4x , de modo a isolar a variavel “z” com maior ordem de derivada, que neste caso é 2ª ordem.

( )4 3 4 1'' ' 0 / '' ' 0x z x z x z z

x⇔ + = ⇔ + = ⇔

Vou agora batizar o ' '' 'z w z w= → =

1 1 1 1 1

' 0 'dw

w w w w w dw dxx x dx x w x

⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

�

11 1ln ln ln ln ln c

K

dw dx w x c w x ew x

− ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = + ⇔

∫ ∫

1

ln ln ln ln ln , com K K A

w K w w w Ax x x x

⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈�

Como ( )' ' .lnA

z w z z A x dx z A x Bx

= → = ⇔ = ⇔ = +∫

Como ( )2 2 2 2.ln . .ln .y x z y x A x B y A x x B x= ⇔ = + ⇔ = +

Como interpretar este resultado? Sei que uma solução particular é 2

1y x= , se olhar para a solução geral, é o 2º termo. Então a 2ª solução particular

está no 1º termo 22 .lny x x= .

As constantes “A” e “B” são as linearmente Dependentes. Ou seja, eu sei que a equação 2 '' 3 ' 4 0x y xy y− + = tem uma infinidade de soluções, mas as duas linearmente

independentes são 21y x= e 2

2 .lny x x= .

4 – Sabendo que 1y x= é uma solução da equação ( ) ( )2 '' 2 ' 2 0x y x x y x y− + + + = . Determine a solução

geral da equação. Resolução 4 – nota, regra geral, uma Equação Diferencial Linear de Segunda ordem não se consegue resolver. Apesar de não me ser pedido, vou treinar a sua classificação: É uma Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem Homogenea de Coeficientes não Constantes. Em teoria, para conseguir chegar a solução geral, preciso de das duas soluções paticulares. Mas de facto o que se faz é procurar a solução geral, que depois obtenho a 2ª solução particular.



Seja 1y x= , fica y xz=


( )

( ) ( )

' '

'' ' ' ' ' 2 ' ''

y xz

y z xz

y z z x z z xz

=

= +

= + + = +


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2'' 2 ' 2 0 2 ' '' 2 ' 2 0x y x x y x y x z xz x x z xz x xz− + + + = ⇔ + − + + + + =

( )( )2 3 2 22 ' '' 2 ' 2 0x z x z x x z xz x z xz⇔ + − + + + + = ⇔

( )2 3 2 3 2 22 ' '' ' 2 2 ' 2 0x z x z x z x z xz x z x z xz⇔ + − + + + + + = ⇔

3 3 22 2 22 ' 2 2'' ' 0'2xz xx z x zx z xx z x zz z−⇔ + − +− + =− ⇔

22 'x z⇔ 3 2''x z x z+ − 3 ' 2x z xz− − 22 'x z− 2x z+ 2xz+ 0= ⇔

( )3

3 3 3 3

Dividir TUDO por

'' ' 0 '' ' 0 : '' ' 0

x

x z x z x z z x z z ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ��

Vou criar mais uma variavel: ' ' ''w z w z= → =

( ) ( )1 1' 0 1 1

dww w w dw dx dw dx

dx w w

− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

∫ ∫

( ) �ln ln ln x c c x c x

K

w x c w e w e e w e e+⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔

. xw K e= Como sei que ' ' ''w z w z= → = , então fica . ' .x xw K e z K e= → =

( ) ( ). . .x x xz K e dx z K e dx z K e A⇔ = ⇔ = ⇔ = +∫ ∫

Como y xz= , fica ( ). . , com A e Kx xy x K e A y K e x Ax= + ⇔ = + ∈�

Nota a saber

� �Uma Solução Particular A outra Solução Particular

Além das Soluções Gerais, existe sempre duas Particulares

. , com A e Kxy K e x Ax= + ∈��

Neste exercicio, foi me dado o que está no segundo membro! - o “A” é apenas um multiplo da Solução Particular. 5 – Resolva as seguintes Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem Incompletas de Coeficientes Constantes:



5.1 '' 4 ' 0y y− =

5.2 '' 5 ' 6 0y y y− + = 5.3 '' 6 ' 9 0y y y+ + =

5.4 '' 10 ' 25 0y y y− + = 5.5 '' 4 0y y+ = 5.6 '' 4 ' 13 0y y y+ + =

Nota: como todos com COEFICIENTES CONSTANTES, utilizo sempre a Equação Característica.

Resolução 5.1 - '' 4 ' 0y y− =

– 1º passo, resolver a equação característica (os coeficientes são um e -4):

( )2 1 24 0 4 0 4 0r r r r r r− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔

0 4r r= ∨ =

– 2º passo, Solução Geral (o método é SEMPRE este, as raízes vão para a potencia):

0 41 2 1 2 1

? 0 42

?x x x x xy C e C e y C e C e y C e C e= + ⇔ = + ⇔ = + ⇔

4

1 2 1 2, com e xy C C e C C= + ∈�

Resolução 5.2 - '' 5 ' 6 0y y y− + =

– 1º passo, resolver a equação característica (os coeficientes são um, -5 e 6):

22 1 0 2 4

5 6 0 5 6 02

b b acr r r r r

a

− ± −− + = ⇔ − + = ⇔ ⇔

2 3r r= ∨ =

– 2º passo, Solução Geral (o método é SEMPRE este, as raízes vão para a potencia):

? ? 2 31 2 1 2

x x x xy C e C e y C e C e= + ⇔ = + ⇔

2 31 2 1 2, com e x xy C e C e C C= + ∈�

Resolução 5.3 - '' 6 ' 9 0y y y+ + = '' 4 ' 0y y− =

– 1º passo, resolver a equação característica (os coeficientes são um, 6 e 9):

2 1 0 26 9 0 6 9 0r r r r r+ + = ⇔ + + = ⇔

3 3r r= − ∨ = −

Raízes duplas! O 2º passo é preciso ter cuidado.



– 2º passo, Solução Geral (o método é SEMPRE este, as raízes vão para a potencia, mas como são duplas, acrescento um “x” ao 2º termo):

?1

31

? 32 2

x x x xy C e C e y C e C xe− −= + ⇔ = + ⇔

3 3

1 2 1 2, com e x xy C e C xe C C− −= + ∈�

Resolução 5.4 - '' 10 ' 25 0y y y− + =

– 1º passo, resolver a equação característica (os coeficientes são um, -10 e 25):

2

2 1 0 2 410 25 0 10 25 0

2

b b acr r r r r

a

− ± −− + = ⇔ − + = ⇔ ⇔

5 5r r= ∨ =

Raízes duplas! O 2º passo é preciso ter cuidado.

– 2º passo, Solução Geral (o método é SEMPRE este, as raízes vão para a potencia, mas como são duplas, acrescento um “x” ao 2º termo):

? ? 5 51 2 1 2

x x x xy C e C e yx C xe C e= + ⇔ = + ⇔

5 5

1 2 1 2, com e x xy C e C xe C C= + ∈�

Nota 1, se fosse uma equação de grau maior e obtivesse mais do que duas raízes duplas, faria SEMPRE deste modo:

6 6 6 6 6 6r r r r r r= ∨ = ∨ = ∨ = ∨ = ∨ =

6 6 2 6 3 6 4 6 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, com , , , , e x x x x x xy C e C xe C x e C x e C x e C x e C C C C C C= + + + + + ∈�

Nota 2, se fosse uma equação de grau maior e obtivesse mais do que duas raízes duplas mas de dois grupos, faria SEMPRE deste modo:

7 7 7 7 2 2r r r r r r= ∨ = ∨ = ∨ = ∨ = ∨ =

7 7 2 7 3 7 7 7

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, com , , , , e x x x x x xy C e C xe C x e C x e C e C xe C C C C C C= + + + + + ∈�

Resolução 5.5 - '' 4 0y y+ =

– 1º passo, resolver a equação característica (os coeficientes são um e 4):

22 0 2 4

4 0 4 02

b b acr r r

a

− ± −+ = ⇔ + = ⇔ ⇔

4 2r r i= ± − ⇔ = ±

Números Complexos

– 2º passo, Solução Geral (o método é SEMPRE este, usar as funções trigonométricas):



( ) ( )1 2 1 2cos 2 sin 2 , com e y C x C x C C= + ∈�

Nota explicativa:

2 2r i r i= ∨ = −

1 2? 2

1? 2

2x x xi i xy C e C e y C e C e −= + ⇔ = + ⇔

2 2

1 2 1 2, com e ix ixy C e C e C C−= + ∈�

Mas a formula é:

( ) ( ) ( )�

( )�

2 21 2 1 2 1 2cos sin , com e , com e i x i xiz

z z

e z i z C C y C e C e C C−= + ∈ ⇔ = + ∈� �

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 , com e y C x i x C x i x C C= + + − + − ∈�

( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 22 , com cos 2 cossin 2 e 22 sinC x C xxy iC i C CxC= + + − ∈�

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2cos 2 sin 2 , com e y C C x iC iC x C C= + + − ∈ �

( ) ( ) 1 2cos 2 sin 2 , com e y A x B x C C= + ∈�

Resolução 5.6 - '' 4 ' 13 0y y y+ + =

– 1º passo, resolver a equação característica (os coeficientes são um, 4 e 13):

22 1 0 2 4

4 13 0 4 132

b b acr r r r r

a

− ± −+ + = ⇔ + + ⇔ ⇔

2 3r i= − ±

Situação nova. Vou ter que desdobrar o 3i±

– 2º passo, Solução Geral:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2? ? 3 3cos sin cos sinx xy e y eA B A x B x− −= + ⇔ = + ⇔

( ) ( )( )2 cos 3 sin 3 , com e xy e A x B x A B−= + ∈�

Nota 1, se houvesse varias raízes complexas, faria SEMPRE deste modo:

2 3 5 4r i r i r= − ± ∨ = ± ∨ = −

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) �2 5 4

42 3 5

cos 3 sin 3 cos sin , com , , , e Ex x x

rr i r i

y e A x B x e C x D x Ee A B C D− −

=−=− ± = ±

= + + + + ∈��

`

Resolução 5.7 - '' 2 ' 2y y y+ + = −



– 1º passo, resolver a equação característica (pois também o coeficiente é constante):

1r = − (nota é raiz DUPLA)

x xy Ae Bxe− −= +

– 2º passo, Solução Particular. Vou lá por inspecção. Como a incompleta, os coeficentes são constantes, tenho que olhar para o 2º membro. Aí vejo de que se trata de um polinómio de grau zero. E como não obtive raiz zero, não é preciso multiplicar por “x”. Assim um polinómio de grau zero, tem este aspecto: ' 0 '' 0y a y y= → = → =

Substituindo '' 2 ' 2y y y+ + = − , fica ( ) ( ) ( )0 2 0 2 2a a+ + = − ⇔ = −

3º passo 2x x x xy Ae Bxe a y Ae Bxe− − − −= + + ⇔ = + −



Tabela que me irá ajudar a fazer boas opções na tentativa da resolução da Solução Particular .

Formas de Solução Particulares

Caso

Segundo Membro

Raízes da Equação Característica

Formas de Solução

Particular

1

( )mP x

1. O número zero não é raiz da Equação

Característica.

( )mP x�

2. O número zero não é raiz da Equação

Característica com multiplicidade “s”.

( )smx P x�

2

( ) xmP x eα

1. O número α não é raiz da Equação

Característica.

( ) xmP x eα�

2. O número α é raiz da Equação


( )s xmx P x eα�

3

( ) ( )( ) ( )

cos

sin

n

m

P x x

Q x x

β

β

+

+

1. Os números iβ± não são raízes da

Equação Característica.

( ) ( )( ) ( )

( )

cos

sin

Nota : max ,

k

k

P x x

Q x x

k n m

β

β

+

+

=

�

�

2. Os números iβ± são raízes da Equação


( ) ( )(( ) ( ))

( )

cos

sin

Nota : max ,

sk

k

x P x x

Q x x

k n m

β

β

+

+

=

�

�

4

( ) ( )

( ) ( )

cos

sin

xn

m

e P x x

Q x x

α β

β

+

+

1. Os números iα β± não são raízes da

Equação Característica.

( ) ( )(( ) ( ))

( )

cos

sin

Nota : max ,

k

xk

P x x

Q x x e

k n m

α

β

β

+

+

=

�

�

2. Os números iα β± são raízes da Equação


( ) ( )(( ) ( ))

( )

cos

sin

Nota : max ,

sk

xk

x P x x

Q x x e

k n m

α

β

β

+

+

=

�

�

Os primeiros três tipos de segundos membros são casos particulares do tipo IV.

Nota: ( )mP x → Lê-se “é um Polinómio de Grau “m”. Exemplo ( ) ( )115 3 mx P x P x− = =

Assim ( ) ( ) ( )( )1 01 Nota : sy P x ax b ax b x ax bx= = + = + +�



6 – Resolva as seguintes Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem Completas de Coeficientes Constantes: Nota: como todos com COEFICIENTES CONSTANTES, utilizo sempre a Equação Característica.

Os exercícios seguintes são com equações Completas, logo preciso de fazer mais um passo que é calcular a solução particular. Essa solução tanto pode ser feita por inspecção ou pela utilização de uma mudança de variável. De modo a evitar confusões com as homogéneas, vou designar por Equações Incompletas as equações que tem o 2º membro igual a zero, apesar de haver livros que falem em Equações Homogéneas.

26.1 '' 5 ' 4 3y y y x− + =

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes.(os coeficientes são um, -5 e 4):

'' 5 ' 4 0y y y− + =

2

2 1 0 2 45 4 0 5 4 0 1 4

2

b b acr r r r r r r

a

− ± −− + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = ∨ =

1 44 , com e x x x x

LHA LHAy Ae Be y Ae Be A B= + ⇔ = + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação dada (recorrendo a tabela dada no inicio do exercício): Sei que 23x , é um polinomio de grau 2, por isso fica:

2 ' 2 '' 2y ax bx c y ax b y a= + + → = + → =

Agora substituindo na fórmula 2'' 5 ' 4 3y y y x− + = , fica: ( ) ( )2 22 5 2 4 3a ax b ax bx c x− + + + + = ⇔

( )2 2 1 02 10 5 4 4 03 04a ax b ax bx c x xx⇔ + + + = +− − +

Acrescentei ( )1 00 0x x+ + , pois apesar de não estar na equação, de facto existe! E vai-me ajudar no passo

seguinte. Vou resolver o sistema, e se este tiver uma solução possivel, então posso resolver a Solução Geral.

2

1

0

3 34 44 3

3 1510 4 0 10 4 0

4 82 5 4 0 3 153 2 5 4 02 5 4 0

4 84

a ax a

x a b b b

x a b ccb c

= =

→ =

→ − + = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ → − + = − + =− + =



2

3

415 3 15 63

8 4 8 3263

32

P

a

b y x x

c

=

= → = + +

=

3º passo – Solução Geral, a py y y= + , é de notar que a LHAy y= :

4 23 15 63, com e

4 8 32x xy Ae Be x x A B= + + + + ∈�

6.2 '' ' 6 3 4y y y x+ − = − +

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes.(os coeficientes são um e -6):

'' ' 6 0y y y+ − =

22 1 0 2 4

6 0 6 02

b b acr r r r r

a

− ± −+ − = ⇔ + − = ⇔ ⇔

3 2r r= − ∨ = 3 22 3 , com e x x x x

LHA LHAy Ae Be y Ae Be A B− −= + ⇔ = + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação dada (é um polinomio de grau 1), por isso fica:

' '' 0y ax b y a y= + → = → =

Agora substituindo na formula '' ' 6 3 4y y y x+ − = − + , fica: ( )0 6 3 4a ax b x+ − + = − + ⇔

( )06 6 3 4a ax b x x⇔ − − = − +

Acrescentei ( )0x , pois apesar de não estar na equação, de facto existe! E vai-me ajudar no passo seguinte.

Vou resolver o sistema, e se este tiver uma solução possivel, então posso resolver a Solução Geral.

1

0

16 3 1 22

2 2 36 43

P

ax a

y xx b b

= → − = − ⇔ → = −

→ − = = −


3 2 1 2, com e

2 3x xy Ae Be x A B−= + + − ∈�



6.3 2 '' 6 ' 5 3y y x− = −

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes.(os coeficientes são dois e -6):

2 '' 6 ' 0y y− =

( )2 1 22 6 0 2 6 0 2 6 0 30r r r r r r r r− = ⇔ − = ⇔ =− = ⇔ ∨ =

0 3 3 , com e x x x

LHA LHAy Ae Be y A Be A B= + ⇔ = + ∈�

Situação nova 0r = , que olhando para a tabela é o caso 1, 2ª opção e com um zero (multiplicidade de 1, s = 1). No entanto, vou resolver como se não tivesse a tabela, para se perceber, que numa situação de não nos recordarmos da tabela, consegue-se resolver na mesma, mas será só através de tentativas, e as vezes o tempo é escasso para resolver os exames.

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação dada (é um polinomio de grau 1), por isso fica: 1ª Tentativa:

' '' 0y ax b y a y= + → = → =

Agora substituindo na fórmula 2 '' 6 ' 5 3y y x− = − , fica:

( )0

2.0 6 5 3

6 5 3

a x

a xx

− = −

− = −



1

0

6 35 0 IMPOSSIVEL!

5 0

x aÉ

x

→ − = −⇔ = →

→ = 2ª Tentativa vou multiplicar o polinómio de 1º grau por “x”:

( ) 2 ' 2 '' 2y ax b y ax bx y x bx a y a= + → = + → = + → =

Agora substituindo na formula 2 '' 6 ' 5 3y y x− = − , fica: ( ) ( )2. 2 6 2 5 3a ax b x− + = − ⇔

( )04 12 6 5 3a ax b x x⇔ − − = −





12

0

54 6 3 5 212

2 12 912 59

P

ax a b

y x xx a b

= − → − = − ⇔ → = − +

→ − = =

Se tivesse ido logo pela tabela dada (opção 1.2, com s = 1), saltaria de imediato para a 2ª tentativa ( )smx P x→ �

A 2ª tentativa resultou, posso por isso passar para o passo seguinte.

3º passo – Solução Geral, a py y y= + , é de notar que a LHAy y= : 3 25 2, com e

12 9xy A Be x x A B= + − + ∈�

26.4 '' 9 5 xy y e− =

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes.(os coeficientes são um e -9):

'' 9 0y y− =

2 0 29 0 9 0 3 3r r r r r− = ⇔ − = ⇔ = ∨ = −

3 3 3 3 , com e x x x x

LHA LHAy Ae Be y Ae Be A B− − −= + ⇔ = + ∈�

Cuidado, pois 3 3≠ − (obviamente), mas as vezes são estes pequenos erros que me leva a “ruina”, assim sendo não posso fazer:

3 3 , com e x xLHAy Ae B e A Bx −= + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação dada (é um polinomio de grau zero: 2 05 xe x ), por isso fica:

2 2 2' 2 '' 4x x xy ae y ae y ae= → = → =

Agora substituindo na fórmula 2'' 9 5 xy y e− = , fica:

( )2 2 2 2 2 2 24 9 5 4 9 5 / 4 9 5 5 5x x x x x x xae ae e ae ae e e a a a− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔

2 21 x x

P Pa y ae y e= − → = ⇔ = −

3º passo – Solução Geral, a py y y= + , é de notar que a LHAy y= : 3 3 2 , com e x x xy Ae Be e A B−= + − ∈�



( ) 26.5 '' 5 ' 6 5 3 xy y y x e−+ + = −

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes.(os coeficientes são um, 5 e 6):

'' 5 ' 6 0y y y+ + =

2 1 0 25 6 0 5 6 0 2 3r r r r r r r+ + = ⇔ + + = ⇔ = − ∨ = −

3 32 2 , com e x x x x

LHA LHAy Ae Be y Ae Be A B− − − −= + ⇔ = + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação (da tabela dada é o caso 2.2 - ( )s xmx P x eα� ), por isso fica:

( ) ( )2 2 2x xx ax b e y by ax x e− −= + ⇔ = +

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2' 2' x x xax b e ax bx e ax b axy y bx e− − −= + − + ⇔ = + − −

( ) ( )2 2 22 4 2 2 2 2 2'' x xa ax b e ax b by ax x e− −= − − − + − − ⇔

( ) ( )2 2 2 224 4'' '2 4 4 2 4 4 4'2 8x xa ay yx bx e a ax b ax bx ebax ax b − −= +− −− − + ⇔ = − − + +

Agora substituindo na fórmula ( ) 2'' 5 ' 6 5 3 xy y y x e−+ + = − , fica:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 8 4 4 4 5 2 2 2 6 5 3x x x xa ax b ax bx e ax b ax bx e ax bx e x e− − − −− − + + + + − − + + = −

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 8 4 4 4 5 2 2 2 6 5 3 /x x x x xa ax b ax bx e ax b ax bx e ax bx e x e e− − − − − − + + + + − − + + = −

( ) ( ) ( )2 2 22 8 4 4 4 5 2 2 2 6 5 3a ax b ax bx ax b ax bx ax bx x− − + + + + − − + + = −

2 2 22 8 4 4 4 10 5 10 10 6 6 5 3a ax b ax bx ax b ax bx ax bx x− − + + + + − − + + = −

2 2 5 3a ax b x+ + = −

12 2

0

82 3 5

8522 5

2

xP

bx a b

y x x eax a

−

= − → + = − ⇔ → = − =→ =


2 3 2 258 , com e

2x x xy Ae Be x x e A B− − −

= + + − ∈

�



( )6.6 '' 2 ' 15 cos 3y y y x− − =

Nota: de facto o que eu tenho é ( )( )�

( )( )� ( )0

0

1.'' 0. s2 ' 15 n 33 icosP x

P x

y y y x x

+− − =

⇔

( ) ( )'' 2 ' 15 .1cos 3 0.sin 3y y y x x− − = +

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes.(os coeficientes são um, -2 e -15):

'' 2 ' 15 0y y y− − =

2 1 0 22 15 0 2 15 0 3 5r r r r r r r− − = ⇔ − − = ⇔ = − ∨ =

3 5 3 5 , com e x x x x

LHA LHAy Ae Be y Ae Be A B−−⇔ = + ⇔ = + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação.

- da tabela dada é o caso 3.1 - ( ) ( ) ( ) ( )cos sink kP x x Q x xβ β+ �� ), por isso fica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 3 ' 3 sin 3 3 cos 3si '' 9 cos 3 9 sin 3n 3y a x y a x b x y a x b xb x= ∧ = − + ∧ = − −+

Agora substituindo na formula ( ) ( )

0

'' 2 ' 15 cos 3 sin 3xy y y x

=

− = +−��

, fica:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0

9 cos 3 9 sin 3 2 3 sin 3 3 cos 3 15 cos 3 cossin 3 sin 33a x b x a x b x a b x xx x=

− − − − + − +=+��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

9 cos 3 9 sin 3 6 sin 3 6 cos 3 15 cos 3 15 sin 3 c sin 3os 3a x b x a x b x a x b x xx

=

− − + − − − = +��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

24 cos 3 24 sin 3 6 sin 3 6 co ss 3 cos 3 in 3a x b x a x b x x x

=

− − + − +=��

( )( )

( ) ( )

1cos 3 24 6 1 2 1102 cos 3 sin 3

2 51 102sin 3 24 6 051

P

bx a by x x

x b aa

= −→ − − =

⇔ → = − − → − + = = −


( ) ( )3 5 2 1cos 3 sin 3 , com e

51 102x xy Ae Be x x A B−= + − − ∈�



( ) ( )6.7 '' 5sin 2 cos 2y y x x+ = −

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes (os coeficientes são um):

'' 0y y+ =

2 0 20 1 0r r r r i+ = ⇔ + = ⇔ = ±

Errado!

? ? i ix x x xLHA LHAy Ae Be y Ae Be−= + ⇔ = + ⇔

, com e ix ix

LHAy Ae Be A B−= + ∈�

Pelo facto de ter um numero complexo! Fica sim: ( ) ( )cos sin , com e LHAy A x B x A B= + ∈�



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 2 sin 2 ' 2 sin 2 2 cos 2 '' 4 cos 2 4 sin 2y a x b x y a x b x y a x b x= + → = − + → = − −

Agora substituindo na fórmula ( ) ( )'' 5sin 2 cos 2y y x x+ = − , fica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 cos 2 4 sin 2 cos 2 sin 2 5sin 2 cos 2a x b x a x b x x x− − + + = −

( ) ( ) ( ) ( )3 cos 2 3 sin 2 5sin 2 cos 2a x b x x x− − = −

( )( )

( ) ( )

5cos 2 3 1 1 53 cos 2 sin 2

1 3 3sin 2 3 53

P

bx ay x x

x ba

= −→ − = −

⇔ → = − → − = =


( ) ( ) ( ) ( )1 5cos sin cos 2 sin 2 , com e

3 3y A x B x x x A B= + + − ∈�



( )6.8 '' 9 2sin 3y y x+ =

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes (os coeficientes são um e +9):

'' 9 0y y+ =

2 0 29 0 9 0 3r r r r i+ = ⇔ + = ⇔ = ±

( ) ( )cos 3 sin 3 , com e LHAy A x B x A B= + ∈�



Cuidado, ver na tabela o caso 3.2: ( ) ( )cos 3 sin 3y a x b xx= + , tive que multiplicar TUDO por “x”.

Agora na derivada tenho que ter o devido cuidado, pois agora tenho um PRODUTO:

( ) ( ) ( ) ( )' cos 3 sin 3 3 sin 3 3 cos 3y a x b x x a x b x= + + − + ⇔

( ) ( ) ( ) ( )' 3 cos 3 3 sin 3y a bx x b ax x= + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )' cos 3 3 cos 3 sin 3 3 sin 3y a x bx x b x ax x= + + −

( ) � ( ) ( ) � ( )

'

1 12 2

Produto! Produto!

'' cos 3 3 cos 3 sin 3 3 sin 3

x

y a x bx x b x ax x

= + + − ⇔

��

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' '' ' ' ''' 3 sin 3 3 cos 3 3 cos 3 3 cos 3 3 sin 3 3 sin 3

x x x xx xy a x x bx x bx x b x x ax x ax x = − + + + − + ⇔

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' 3 sin 3 3 cos 3 9 sin 3 3 cos 3 3 sin 3 9 cos 3y a x b x bx x b x a x ax x= − + − + − + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' 9 sin 3 9 co3 sin 3 3 sin 33 cos 3 3 cos 3 s 3b x by bx x axx a xa xx= −+ − +− − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )'' 6 sin 3 6 cos 3 9 sin 3 9 cos 3y a x b x bx x ax x= − + − −

Agora substituindo na fórmula ( )'' 9 2sin 3y y x+ = , fica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 sin 3 6 cos 3 9 sin 3 9 cos 3 9 cos 3 sin 3 2sin 3a x b x bx x ax x ax x bx x x− + − − + + =

( ) ( ) ( )6 sin 3 6 cos 9 sin 33a x b x bx x−− + ( )9 cos 3ax x− ( )9 cos 3ax x+ ( )9 sin 3bx x+ ( )2sin 3x=

( ) ( ) ( )6 cos 3 6 sin 3 2sin 3b x a x x− =



( )( )

( )0cos 3 6 0 1

cos 313sin 3 6 2

3P

bx by x x

ax a

=→ = ⇔ → = − = −→ − =


( ) ( ) ( )1cos 3 sin 3 cos 3 , com e

3y A x B x x x A B= + − ∈�

( )26.9 '' 3 ' cos 3xy y e x+ =

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes (os coeficientes são um e +3):

2 1 2'' 3 ' 0 3 0 3 0 0 3y y r r r r r r+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ∨ = −

0 3 3 , com e x x x

LHA LHAy Ae Be y A Be A B− −= + ⇔ = + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação. Muito importante, pois 1º tenho que acrescentar ( )2 sinxbe x+

Por isso fica: ( ) ( )2 2cos sinx xy ae x be x+=

( ) ( )( )2 cos sinxy e a x b x= +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2' 2 cos sin sin cosx xy e a x b x e a x b x= + + − +

( ) ( ) ( ) ( )2 sin' cos co2 sn2 sixy xe a x b a x xb= + − +

( ) ( ) ( ) ( )2 co in' 2 s2sx xy e a b b xa= + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2'' 2 2 cos 2 sin 2 sin 2 cosx xy e a b x b a x e a b x b a x= + + − + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2'' 2 2 cos cos 2 sin sin 2 sin sin 2 cos cosx xy e a x b x b x a x e a x b x b x a x= + + − + − − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2'' 2 sin 24 si4 co 2 cos 2s cn sin oi oss n c sxy e a x aa x ab x b xx b x xb x+ = − − +−+

−

( ) ( ) ( ) ( )2 3 co'' 44 3 sin is s ncosx b xa by e x xx a = + + −

( ) ( ) ( ) ( )2 cos sin sin'' 3 4 3 4cosx x xy e a b x xb a= + + −

( ) ( ) ( ) ( )2'' 3 4 3 4s sio ncx xy e a b xb a= + + −



Agora substituindo na fórmula ( )2'' 3 ' cos 3xy y e x+ = , fica:

2xe ( ) ( ) ( ) ( )( ) 23 4 cos 3 4 sin 3 xa b x b a x e+ + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 cos 2 sin xa b x b a x e + + − =

( )cos 3x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 3 4 6 3c sin s6 3 coin s 3os cosa b b a a bx xx x b a x+ + − + + + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 4 3 3 6cos 4 3 csin os 3a a b b b a xx b a x+ + + + + − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 7 9 7 cos 3ic sos na b b a x xx+ + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 7 cos 9 7 sin cos 3a b x b a x x+ + − =

( )( )

cos 3 9 7 1 Ver o Truque!

sin 3 7 9 0

x a b

x a b

→ + =⇔

→ − + =

Truque: Para o Quociente faz-se do seguinte modo (mas 1º tenho que ordenar do modo do exemplo):

Para o Valor de “x” é do seguinte modo:

Para o Valor de “y” é do seguinte modo:

Assim adaptado ao exercício, fica:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

1 9 7 0 99 9 7 7 130cos 3 9 7 1

sin 3 7 9 0

71 7 9 01309 9 7 7

X X

X X

X X

X X

a ax a b

x a bbb

− = =− −→ + = ⇔ ⇔

→ − + = − − == − −



( ) ( )2 9 7cos sin

130 130x

Py e x x

= +


( ) ( )3 2 9 7cos sin , com e

130 130x xy A Be e x x A B−

= + + + ∈

�

( )26.10 '' 7 ' 10 sin 2xy y y x e x− + = + +

Nota importante! O 2º membro tem 3 termos, logo vou ter 3 equações particulares (ou seja vou ter que fazer o passo 2 três vezes). – O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes (os coeficientes são um, -7 e 10):

'' 7 ' 10 0y y y− + =

2 1 0 27 10 0 7 10 0 2 5r r r r r r r− + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =

2 5 , com e x x

LHAy Ae Be A B= + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação (aqui vou ter que executar 3 vezes!):

i) 1º para a situação: '' 7 ' 10y y xy− + =

1 ' '' 0Py y ax b y a y→ = + → = → =

Agora substituindo na fórmula '' 7 ' 10y y xy− + = , fica: ( ) ( ) ( )0 7 10a ax b x− + + = ⇔

7 10 10a ax b x− + + =

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 10 0 010 1

10 10 0 710 0 1 100 10 7 10 0 7 71 7 0 10

100 10010 10 0 7

X X

X X

X X

X X

a a aa a b

b a bb bb

− = = =− − → + =

⇔ ⇔ ⇔ → − + = −− − = = −= − −

1 1

1 7

10 100P Py ax b y x= + ⇔ = −



ii) 2º para a situação: 2'' 7 ' 10 xy ey y− + =

2

2 xPy y axe→ =

( )2 2

22' 2 ' 2x

Px xy y ae axe y e a ax→ = + ⇔ = +

( ) ( ) ( )' 2

2

'2'' 1 2 1 2x x

xxPy y ae x ae x→ = + + + ⇔

( ) ( )2 2 2'' 2 1 2 2 '' 2 1 2 1x x xy ae x ae y ae x= + + ⇔ = + + ⇔

( ) ( )2 2'' 2 2 2 '' 4 4x xy ae x y e ax a= + ⇔ = +

Agora substituindo na fórmula 2'' 7 ' 10 xy ey y− + = , fica:

2xe ( ) 24 4 7 xax a e + −

( )( ) 22 10 xa ax ax e+ + ( ) 2xe= ⇔

4ax⇔ 4 7 14a a ax+ − − 10ax+ 1= ⇔

1

3 13

a a⇔ − = ⇔ = −

2 22 2

1

3P Px xy axe y xe= ⇔ = −

iii) 3º e ultima, para a situação: ( )'' 7 ' 1 sin 20y y y x− + =

( ) ( )3 cos 2 sin 2Py y a x b x→ = +

( ) ( )3 ' 2 sin 2 2 cos 2Py y a x b x→ = − +

( ) ( )3 '' 4 cos 2 4 sin 2Py y a x b x→ = − −

Agora substituindo na fórmula ( )'' 7 ' 1 sin 20y y y x− + = , fica:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )4 cos 2 4 sin 2 7 2 sin 2 2 cos 2 10 cos 2 sin 2 sin 3a x b x a x b x a x b x x− − − − + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14 sin 2 14 c4 sin 2 10 sinos 2 s4 cos 2 i10 cos n2 2 3a x b xa x b x b xa xx− =++− +−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 cos 2 6 sin 2 14 sin 2 14 cos 2 sin 3a x b x a x b x x+ + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin 2 sin 26 6 14cos 2 cos n214 si 3x xa b a b x xx + + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 14 6 14 sin 3cos in2 s 2a b b a x xx− + + =



( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 6 1 14 14 714 14 6 6 232 116cos 2 6 14 0

sin 2 14 6 1

6 30 14 1 6232 11614 14 6 6

X X

X X

X X

X X

a a ax a b

x a bb bb

− − = = = − − − −→ − =

⇔ ⇔ ⇔ → + = −− = ==

− − −

( ) ( ) ( ) ( )3 3

7 3cos 2 sin 2 cos 2 sin 2

116 116P Py a x b x y x x= + ⇔ = − +


( ) ( )

1 2 3

2 5 21 7 1 7 3cos 2 sin 2 , com e

10 100 3 116 116LH

P P

A

P

x x x

yy y y

y Ae Be x xe x x A B= + + − − − + ∈��

26.11 '' 5 ' 6 3y y y x− + = −

Resolução – classificação, Equação Linear, de 2ª Ordem, Completo, e de Coeficiente Constante. O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes.

2 5 6 0 2 3r r r r− + = ⇔ = =

A solução geral da equação incompleta é 2 3x xy Ae Be= +

2º passo, vou lá por inspecção ou pela mudança da variável (mais trabalhoso mas certo). Mas aqui vou lá por inspecção, pois não me parece difícil. O que é que me leva a pensar assim? Bem os coeficientes são constantes logo é dos mais acessíveis. Vou olhar para o 2º membro, pois é daí que vai sair a particular. É um polinómio do 2º grau. E eu sei (do 12º ano) que um polinómio do 2º grau escreve-se da seguinte forma: 2ax bx c+ + Então vou começar por aqui, pois nada me garante que estou no caminho certo, pois por inspecção só se lá vai por tentativas. Mas quando assim é, é bom seguir-se uma certa lógica, pois evita muitos erros desnecessários. Outra coisa que eu sei, é que pelo facto de não me ter dado nenhuma raiz zero, pois obtive 2, 3r r= = também

me dá uma orientação. Pois se tivesse obtido uma raiz zero, teria que calcular um polinómio com o seguinte aspecto

( )2ax cx bx+ +

Pois é, teria que multiplicar por um “x”. Mas vamos por partes. Vou calcular as possíveis 1ª e 2ª derivadas.

2 ' 2 '' 2P P Py ax bx c y ax b y a= + + → = + → =



Substituindo na equação dada 2'' 5 ' 6 3y y y x− + = −

( ) ( ) ( )2 22 5 2 6 3a ax b ax bx c x− + + + + = −

2 22 10 5 6 6 6 0 3a ax b a bx x xx c− − + + ++ = −

Agora tenho que fazer um sistema de modo a obter uma preposição verdadeira, que é a de igualar o 1º membro ao 2º.

1

6 Grau Zero = 1 6 11

1º Grau = 0 10 6 0 10 6 06

2º Grau = -3 2 5 6 31

2 5 6 36

aa

a b b

a b c

b c

=

=

− + = ⇔ − + = ⇔ − + = −

− + = −

1 1 1

6 6 610 5 5

66 18 18

1 6 25 541 55 6 3 65 6 3

3 18 18 183 18

a a a

b b b

b c cc

= = =

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = − − + = −− + = −

1 1

6 65 5

18 1835 35

618 108

a a

b b

c c

= =

⇔ = ⇔ =

= − = −

3º passo, A Solução Geral da Equação Completa é

2 3 2 2 3 21 5 35

6 18 108x x x xy Ae Be ax bx c y Ae Be x x= + + + + ⇔ = + + + −

7 – Considere a equação ( ) ( )2 2' 2 2x x x xe e y e e y+ + + = ( )I

E a sua derivada '' 3 ' 2 0y y y+ + = ( )II

Resolva a equação ( )I .

Resolução 7 – ( ) ( ) ( ) ( )'

2 2 2 2' 2 2 ' 2 2 'x x x x x x x xe e y e e y e e y e e y + + + = ⇒ + + + =

Nota do sinal de implicação, pois só posso respeitar este sentido! Porque de facto falta o “ +c ”.



– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes (os coeficientes são um, 3 e 2):

'' 3 ' 2 0y y y+ + =

2 1 0 23 2 0 3 2 0 2 1r r r r r r r+ + = ⇔ + + = ⇔ = − ∨ = −

2 , com e x x

LHAy Ae Be A B− −= + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação: 2' 2 , com e x xy Ae Be A B− −= − − ∈�

Agora substituindo na fórmula ( ) ( )2 2' 2 2x x x xe e y e e y+ + + = , fica:

( )( ) ( )( )2 2 2 22 2 2x x x x x x x xe e Ae Be e e Ae Be− − − −+ − − + + + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2x x x x x x x x x x x xAe e e Be e e Ae e e Be e e− − − −− + − + + + + + =

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2x x x x x x x x x x x x x x x xAe e Ae e Be e Be e e Ae e Ae e Be e Be− − − − − − − −− − − − + + + + =

( )2 1 22 2x xAe A e− + −− − 2xe xB e−− xe ( ) ( )2 1 1 2 22x x xBe Ae e− −− + + 2xA e− 2 xe+ xB e− ( )2 1 2xe B−+ =

2 2 2 2 2 2x x x x xAe A B Be Ae A B e B Ae− − −− − − − + + + + = ⇔ − 2 xB BeA −− − 2 xAe−+ 2 xB BeA ++ + 2=

2 2 2B A BA B A+ = = ⇔− ⇔ − = +

Assim: 2 , com e x x

LHAy Ae Be A B− −= + ∈� , e é a Solução Geral da Equação I

( )2

2

2 , com x xLHA

B A

y Ae A e A− −

= +

= + + ∈��

2 2 , com x x xLHAy Ae Ae e A− − −= + + ∈�

( )2 2 , com x x xLHAy A e e e A− − −= + + ∈�

8 – Considere a equação ( )' 1 0xy x y− − = ( )I

E a sua derivada ( )'' 2 ' 0xy x y y+ − − = ( )II

Resolva a equação ( )II .

Resolução 8 – ( ) � ( )'

' 1 0 ' 1 0 'Cuidado

xy x y xy x y− − = ⇒ − − =

( ) ( )' 1 0xy x y dx− − = ∫

( )' 1xy x y c− − =



– 1º passo, ( ) ( )( )11

' 1 0 1xdy

xy x y x x y dy dxdx y x

− − − = ⇔ = − ⇔ = ⇔

( )1 11 ln lndy dx dx y x x c

y x

⇔ = + − ⇔ = − + ⇔

∫ ∫ ∫

( ) � ( )ln ln ln ln ln ln lnx

x c

A

ey e x e y A

x=

⇔ = − + ⇔ = + ⇔

ln ln , com x xe e

y A y A Ax x

= ⇔ = ∈

�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação: ( )' 1xy x y c− − =

Vou utilizar o Metodo da Variação da Cosntante (MVC), e tenho que ter cuidado que agora o “A” é ( )A x , logo

a sua derivada não dá zero!:

Como , com xe

y A Ax

= ∈� , então :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

' ''' '

2' '

x xx x x e x e xe e ey A x A x y A x A x

x x x x

− = + ⇔ = + ⇔

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )' '

2 2

1' ' , com

xx x x x e xe e x e ey A x A x y A x A x A

x xx x

− −= + ⇔ = + ∈

�

Agora substituindo na fórmula ( )' 1xy x y c− − = , fica:

Não me posso esquecer que “A” é ( )A x .

( )( ) ( )( )

( ) ( )'

2

11

xx xe xe ex A x A x x A x c

x xx

− + − − =

( )( )'xe

A xx

x ( )( )

2

1xe xA x

x

−+ x ( )

xeA x

x

−

x ( )

xeA x c

x

− =

( )( )' xA x e ( ) xA x e+( )

( )1 xx

A xx

e−

−

( ) xA x e−1

xx e

c =

Cuidado aqui, não me posso esquecer de dividir o “c” por xe !

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )'

1

1 1x

xA x

x

cA x A x A x A x A x

x x e−

=

+ − − + =��



( )( ) ( )'

A x A x+ ( ) 1A x

x− ( )A x− ( ) 1

A xx

+x

c

e=

( )( ) ( ) ( ) ( )' x x xA x ce A x ce dx A x ce D− − −= ⇔ = ⇔ = − +∫

Também aqui, não me posso esquecer do “D”.

3º passo – Solução Geral de ( )II é a py y y= + , é de notar que a LHAy y= :

( ) , com ,x x

xe ey A y ce D C D

x x−= ⇔ = − + ∈�

9 – Resolva a equação ( )

1''

cosy y

x+ = , usando o metodo da variação das constantes.

Resolução 9 – Esta situação não está na tabela! Por isso é que a única solução é a de utilizar o método da variação das constantes (logo nem sequer era preciso dizer no enunciado). Ou seja da Tabela, poderia resolver se a equação fosse assim (Método da Solução Particular):

1º Caso 2'' 3y y x x+ = −

2º Caso '' xy y e+ =

2º Caso ( )2 5'' 4 1 xy y x x e+ = − +

3º Caso ( )'' cosy y x+ =

4º Caso ( ) 2'' cos xy y x e+ =

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes (os coeficientes são um):

2 0 2'' 0 1 0 1 0y y r r r r i+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ±

( ) ( )cos sin , com e LHAy A x B x A B= + ∈�



Nota: como é i± , é 1 vezes “x”.

Se fosse 2i± , seria 2 vezes “x”, ou seja ( ) ( )cos 2 sin 2 , com e LHAy A x B x A B= + ∈�

– 2º passo, resolver a equação utilizando o Método de Variação da Constante (MVC).

- São duas variáveis, “A” e “B”, que passa a ( )A x e a ( )B x .

Ora se ( ) ( ) ( ) ( )cos sinLHAy A x x B x x= +

Então ( ) ( ) ( ) ( )'' cos siny A x x B x x= +

Cuidado, pois agora estas constantes não dão zero! E é PRODUTO.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '' cos sin sin cosy A x x A x x B x x B x x= + − + +

Agora vou impor uma condição, pois como existem infidaveis de soluções possiveis:

( ) ( ) ( ) ( )' 'cos sin 0A x x B x x+ =

Sendo assim, fica: ( ) ( ) ( ) ( )' sin cosy A x x B x x= − +

e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''' sin cos cos siny A x x A x B x x B x x= − − + −

Agora substituindo na fórmula( )

1''

cosy y

x+ = , fica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

' ' 1sin cos cos sin cos sin

cosA x x A x B x x B x x A x x B x x

x− − + − + + =

( ) ( ) ( )'s cosinA x x A x−− ( ) ( ) ( ) ( )'

c sinosB x x B x x−+ ( ) ( )cosA x x+ ( ) ( )sinB x x+( )

1

cos x=

( ) ( ) ( ) ( )( )

' ' 1sin cos

cosA x x B x x

x− + =

Pronto, agora já posso resolver os sistema:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

' ' ' '

' '' '

Condição Imposta!

1 1sin cos sin cos

cos cos

sincos sin 0cos

A x x B x x A x x B x xx x

xA x x B x x A x B xx

− + = − + =

⇔

+ = = −

��



( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

2' ' ' '

' ' ' '

sin sin1 1sin cos cos

cos cos cos cos

sin sin

cos cos

x xB x x B x x B x B x x

x x x x

x xA x B x A x B x

x x

− − + = + =

⇔ ⇔ = − = −

( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

2 2 2' '

' ' ' '

sin sin cos1 1cos

cos cos cos cos

sin sin

cos cos

x x xB x x B x

x x x x

x xA x B x A x B x

x x

++ = =

⇔ ⇔ = − = −

( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )

2''

' '

1sin 1cos

coscos cos

sin

cos

xB xB x x

xx x

xA x B x

x

+ =

⇔ ⇔ = −

( )1

cos x=

( ) ( )( )( )

' ' sin

cos

xA x B x

x

= −

( )

( )( )( )

'

'

1

sin

cos

B x

xA x

x

= =

Agora vou primitivar:

( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( )( )

1

sinln cos

cos

xx

xx

B dxB x D

xA x CA dx

x

== +

⇔ = +=

−−

∫

∫


( ) ( )cos sin , com e LHAy A x B x A B= + ∈�

Substituindo, fica ( )( ) ( ) ( ) ( )ln cos cos sin , com e y x C x x D x C D= + + + ∈�



10 – Considere a equação diferencial linear de coeficiente constantes

2

210 29 0

d y dyy

dxdx− + =

10.1 – Escreva a sua solução geral e, utilizando o metodo da variação das constantes arbitrarias, determine a solução geral de

25

210 29 2 xd y dy

y edxdx

− + =

10.2 – Utilzando a substituição x t→ , definida por 1

tx

= , determine a solução geral de

( )12

4 3 22

2 10 29 2 td y dy

t t t yt

edd t

+ + + =

Resolução 10.1 – vou 1º reescrever numa notação mais apelativa:

2

210 29 0 '' 10 ' 29 0

d y dyy y y y

dxdx− + = ⇔ − + =

2

5 52

10 29 2 '' 10 ' 29 2x xd y dyy e y y y e

dxdx− + = ⇔ − + =

– O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes (os coeficientes são um, -10 e 29):

'' 10 ' 29 0y y y− + =

2 1 0 210 29 0 10 59 22 0r r r r r ir− + = ⇔ − + = ⇔ = ±

( ) ( )5 cos 2 sin 2 , com C e D xay e C x xD= + ∈ �

Nota: como posso confirmar se o resuldado da raíz está correcto:

5 2i+ 5 2i+ − ( )10 b=

( )( )5 2 5 2 25 10i i i+ − = − 10i+ ( ) ( )2

Positivo

4 25 4 29i c+ − = + =��




- São duas variáveis, “C” e “D”, que passa a ( )C x e a ( )D x .

Ora se ( ) ( ) ( ) ( )5 cos 2 sin 2xy e C x x D x x= +

Então ( ) ( ) ( ) ( )( )'' 5 cos 2 sin 2xy e C x x D x x= +


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' '' 5 5cos 2 sin 2 cos 2 sin 2x xy e C x x D x x e C x x D x x= + + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' ''' 5 55 ln cos 2 sin 2 cos 2 sin 2x xy x e e C x x D x x e C x x D x x = + + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' ' ' '' 5 55 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2x xy e C x x D x x e C x x C x x D x x D x x = + + + + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' '' 5 55 cos 2 5 sin 2 cos 2 2sin 2 sin 2 2cos 2x xy e C x x D x x e C x x C x x D x x D x x = + + + − + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' '' 5 55 cos 2 5 sin 2 cos 2 2 sin 2 sin 2 2 cos 2x xy e C x x D x x e C x x C x x D x x D x x = + + − + + ⇔

Ora como vou impor uma condição, pois como existem infidaveis de soluções possiveis:

( ) ( ) ( ) ( )' 'cos sin 0C x x D x x+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' 5 ' '5 cos5 cos 2 5 sin 2 2 sin 2 22 s c s 2i on 2x xy e C x x D x x e C x x D xC x x D x x x = + + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 5 55 cos 2 5 sin 2 2 cos 2 2 sin 2x xy e C x x D x x e D x x C x x= + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 5 5 cos 2 5 sin 2 2 cos 2 2 sin 2xy e C x x D x x D x x C x x= + + − ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' 5 5 2 cos 2 5 2 sin 2xy e C x D x x D x C x x = + + − ⇔

e ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )'

'' 5 5 2 cos 2 5 2 sin 2xy e C x D x x D x C x x = + + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )'''' 5 55 2 cos 2 5 2 sin 2 5 2 cos 2 5 2 sin 2x xy e C x D x x D x C x x e C x D x x D x C x x = + + − + + + −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )'' 55 5 2 cos 2 5 2 sin 2 ...xy e C x D x x D x C x x = + + − +



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' '' '5... 5 2 cos 2 5 2 cos 2 5 2 sin 2 5 2 sin 2xe C x D x x C x D x x D x C x x D x C x x+ + + + + − + −


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '5... 5 2 cos 2 5 2 2 sin 2 5 2 sin 2 5 2 2cos 2xe C x D x x C x D x x D x C x x D x C x x+ + + + − + − + −


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '5... 5 2 10 4 cos 2 10 4 5 2 sin 2xe C x D x D x C x x C x D x D x C x x+ + + − + − − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ''' 5 25 10 5 2 10 4 cos 2 ...xy e C x D x C x D x D x C x x= + + + + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' '... 25 10 10 4 5 2 sin 2D x C x C x D x D x C x x + − − − + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' ''' 5 21 20 5 2 cos 2 21 20 5 2 sin 2xy e C x D x C x D x x D x C x D x C x x = + + + + − + −

Agora substituindo na fórmula 5'' 10 ' 29 2 xy y y e− + = , fica:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' '21 20 5 2 cos 2 21 20 5 2 sin 2 ...C x D x C x D x x D x C x D x C x x+ + + + − + − −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )... 10 5 2 cos 2 5 2 sin 2 29 cos 2 sin 2 2C x D x x D x C x x C x x D x x− + + − + + =


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... 50 20 cos 2 50 20 sin 2 29 cos 2 29 sin 2 2C x D x x D x C x x C x x D x x− − + − + + + =


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )... 50 20 29 cos 2 50 20 29 sin 2 2C x D x C x x D x C x D x x− − + + − + + =

( )21C x ( )20D x+ ( ) ( ) ( )' '5 2 50C x D x C x−+ + ( )20D x− ( )29C x+( ) ( )cos 2 ...x +

( )... 21D x+ ( )20C x− ( ) ( ) ( )' '5 2 50D x C x D x−+ − ( )20C x+ ( )29D x+( ) ( )sin 2 2x =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' '5 2 cos 2 5 2 sin 2 2C x D x x D x C x x + + − =


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

' ' ' '

' '

Condição Imposta!

5 2 cos 2 5 2 sin 2 2

cos 2 sin 2 0

C x D x x D x C x x

C x x D x x

+ + − =

⇔

+ =

��



( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )( )( )

' ' ' '

' '

sin 2 sin 25 2 cos 2 5 2 sin 2 2

cos 2 cos 2

sin 2

cos 2

x xD x D x x D x D x x

x x

xC x D x

x

− + + − − =

⇔ = −

( )( ) ( )' sin 2 cos 2

5x x

D x−( )cos 2x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2' ' '

' '

sin 22 cos 2 5 sin 2 2 2

cos 2

sin 2

cos 2

xD x x D x x D x

x

xC x D x

x

+ + + =

⇔ = −

( ) ( )'5 sin 2D x x− ( ) ( ) ( ) ( )' '

2 cos 2 5 sin 2D x x D x x+ + ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2'

' '

sin 22 2

cos 2

sin 2

cos 2

xD x

x

xC x D x

x

+ =

⇔ = −

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2' '

' '

sin 222 cos 2 2 2

cos 2

sin 2

cos 2

xD x x D x

x

xC x D x

x

+ =

⇔ = −

( )( ) ( )

( )

2 2' cos 2 sin 2

2cos 2

x xD x

x

+=

( ) ( )( )( )

' ' sin 2

cos 2

xC x D x

x

⇔ = −

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

'

'

' ' ' '

11

cos 2 cos 2

sin 2 sin 2

cos 2 cos 2

D xx D x x

x xC x D x C x D x

x x

= =

⇔ ⇔

= − = −

( ) ( )

( ) ( )

'

'

cos 2

cos 2

D x x

C x x

=

= −( )( )

sin 2

cos 2

x

x

( ) ( )

( ) ( )

'

'

cos 2

sin 2

D x x

C x x

=

⇔

= −


( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1sin 2cos 2 2

1sin 2 cos 22

D x x ED x x dx

C x x dx C x x F

= + =

⇔

= − = +

∫

∫




( ) ( ) ( ) ( )5 cos 2 sin 2 , com e xy e C x x D x x C D= + ∈ �

( ) ( ) ( ) ( )5 1 1cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 , com e

2 2xy e x F x x E x E F

= + + + ∈

�

Resolução 10.2 – ( )12

4 3 22

2 10 29 2 td y dy

t t t yt

edd t

+ + + =

Vou então fazer uma de mudança variavel - 1 1

t xx t

= ⇔ =

Agora vou aplicar a regra da cadeia - � �

2

' '

1. .

y y

dy dy dx dy

dt dx dt dx t

= = = − =

Como 22

2

1' '

1'

1tx x xx

x

= ⇔ = − = −⇔−

22

2

1' '

11

dy dy dx dyy y

dt dx dt dtx

tx

= = = − =

−

−



Agora, fazendo dá mesma maneira, vou calcular a 2ª derivada ''y

2

2. . .

t t

xd y d dy d dy d

xd d d d dd t tt

= = =

( ) ( )2

'22 2

2

2

1'.

1. '

x

dd y d dy d dy

t t

d

d d dt

x yxx

t td d dd x xty

t

= = = =

− −

−−

Cuidado, pois é um produto e com o sinal!

( ) ( )( ) ( )2

222 2 ' .' ' 'x y x y

d y

dx

t − + − −=

( )( )22

22

2 ' ''xy x yd y

dtx−= −−

( )2

32

2 ' ''d y

x y xydt

= +

Substituindo na equação:

( )12 2

4 3 2 52 2

2 10 29 2 10 29 2t xd y dy d y dyt t t y e y e

d dxd dt xt+ + + = ⇔ − + =

( ) ( )2

2

4 3 23 2 51 1 1

. 2 ' '' 2 10 ' 29 2 x

dyd ydd tt

x y xy y x y ex x x

+ + + − + = ��

( ) ( ) � �5

2

2

53 24 3 2

229

10

1 2 10. 2 ' '' ' 29 2

x

x

ey

d y dy

dxdx

x y xy y x y ex x x

−

+ + + − + = ��



Parece igual mas não, tenho que ter o devido cuidado com as variaveis que estou a usar em cada uma das equações.

( ) ( )3 2 54 3 2

1 2 10. 2 ' '' ' 29 2 xx y xy y x y e

x x x + + + − + =

4

1

x3. x ( )

3

22 ' ''y xy

x + + 2

10

x+ 2'y x

−

( ) 529 2 xy e+ =

( ) ( ) 51 2. 2 ' '' 10 ' 29 2 xy xy y y e

x x + + + − + =

12 'y

xx+

1

x

2'' 'y y

x

−

510 ' 29 2 xy y e− + =

5'' 10 ' 29 2 xy y y e− + =

O 1º passo consiste em transformar a equação dada numa Equação Associada (também designada de Incompleta), depois para poder fazer o calculo, e uma vez que é uma Equação Linear com Coeficientes Constantes, vou utilizar a Equação Caracteristicas para determinar as raízes (os coeficientes são um, -10 e 29):

2 1 0 2'' 10 ' 29 0 10 29 0 10 29 0 5 2y y y r r r r r r i− + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = ±

( ) ( )5 cos 2 sin 2 , com e xLHAy e C x D x C D= + ∈ �

Nota: como posso confirmar se o resuldado da raíz está correcto:

5 2i+ 5 2i+ − ( )10 b=

( )( )5 2 5 2 25 10i i i+ − = − 10i+ ( ) ( )2

Positivo

4 25 4 29i c+ − = + =��


- São duas variáveis, “C” e “D”, que passa a ( )C x e a ( )D x .

Ora se ( ) ( ) ( ) ( )5 cos 2 sin 2xy e C x x D x x= + , então ( ) ( ) ( ) ( )( )'' 5 cos 2 sin 2xy e C x x D x x= +


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' '' 5 5cos 2 sin 2 cos 2 sin 2x xy e C x x D x x e C x x D x x= + + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' ''' 5 55 ln cos 2 sin 2 cos 2 sin 2x xy x e e C x x D x x e C x x D x x = + + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' ' ' '' 5 55 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2x xy e C x x D x x e C x x C x x D x x D x x = + + + + + ⇔



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' '' 5 55 cos 2 5 sin 2 cos 2 2sin 2 sin 2 2cos 2x xy e C x x D x x e C x x C x x D x x D x x = + + + − + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' '' 5 55 cos 2 5 sin 2 cos 2 2 sin 2 sin 2 2 cos 2x xy e C x x D x x e C x x C x x D x x D x x = + + − + + ⇔

Ora como vou impor uma condição, pois como existem infidaveis de soluções possiveis:

( ) ( ) ( ) ( )' 'cos sin 0C x x D x x+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' 5 ' '5 cos5 cos 2 5 sin 2 2 sin 2 22 s c s 2i on 2x xy e C x x D x x e C x x D xC x x D x x x = + + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 5 55 cos 2 5 sin 2 2 cos 2 2 sin 2x xy e C x x D x x e D x x C x x= + + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 5 5 cos 2 5 sin 2 2 cos 2 2 sin 2xy e C x x D x x D x x C x x= + + − ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' 5 5 2 cos 2 5 2 sin 2xy e C x D x x D x C x x = + + − ⇔

e ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )'

'' 5 5 2 cos 2 5 2 sin 2xy e C x D x x D x C x x = + + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )'''' 5 55 2 cos 2 5 2 sin 2 5 2 cos 2 5 2 sin 2x xy e C x D x x D x C x x e C x D x x D x C x x = + + − + + + −


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' '' '5... 5 2 cos 2 5 2 cos 2 5 2 sin 2 5 2 sin 2xe C x D x x C x D x x D x C x x D x C x x+ + + + + − + −


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '5... 5 2 cos 2 5 2 2 sin 2 5 2 sin 2 5 2 2cos 2xe C x D x x C x D x x D x C x x D x C x x+ + + + − + − + −


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '5... 5 2 10 4 cos 2 10 4 5 2 sin 2xe C x D x D x C x x C x D x D x C x x+ + + − + − − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ''' 5 25 10 5 2 10 4 cos 2 ...xy e C x D x C x D x D x C x x= + + + + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' '... 25 10 10 4 5 2 sin 2D x C x C x D x D x C x x + − − − + −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' ''' 5 21 20 5 2 cos 2 21 20 5 2 sin 2xy e C x D x C x D x x D x C x D x C x x = + + + + − + −

Agora substituindo na fórmula 5'' 10 ' 29 2 xy y y e− + = , fica:




( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )... 10 5 2 cos 2 5 2 sin 2 29 cos 2 sin 2 2C x D x x D x C x x C x x D x x− + + − + + =


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... 50 20 cos 2 50 20 sin 2 29 cos 2 29 sin 2 2C x D x x D x C x x C x x D x x− − + − + + + =


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )... 50 20 29 cos 2 50 20 29 sin 2 2C x D x C x x D x C x D x x− − + + − + + =

( )21C x ( )20D x+ ( ) ( ) ( )' '5 2 50C x D x C x−+ + ( )20D x− ( )29C x+( ) ( )cos 2 ...x +

( )... 21D x+ ( )20C x− ( ) ( ) ( )' '5 2 50D x C x D x−+ − ( )20C x+ ( )29D x+( ) ( )sin 2 2x =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' '5 2 cos 2 5 2 sin 2 2C x D x x D x C x x + + − =


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

' ' ' '

' '

Condição Imposta!

5 2 cos 2 5 2 sin 2 2

cos 2 sin 2 0

C x D x x D x C x x

C x x D x x

+ + − =

⇔

+ =

��

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )( )( )

' ' ' '

' '

sin 2 sin 25 2 cos 2 5 2 sin 2 2

cos 2 cos 2

sin 2

cos 2

x xD x D x x D x D x x

x x

xC x D x

x

− + + − − =

⇔ = −

( )( ) ( )' sin 2 cos 2

5x x

D x−( )cos 2x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2' ' '

' '

sin 22 cos 2 5 sin 2 2 2

cos 2

sin 2

cos 2

xD x x D x x D x

x

xC x D x

x

+ + + =

⇔ = −

( ) ( )'5 sin 2D x x− ( ) ( ) ( ) ( )' '

2 cos 2 5 sin 2D x x D x x+ + ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2'

' '

sin 22 2

cos 2

sin 2

cos 2

xD x

x

xC x D x

x

+ =

⇔ = −



( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2' '

' '

sin 222 cos 2 2 2

cos 2

sin 2

cos 2

xD x x D x

x

xC x D x

x

+ =

⇔ = −

( )( ) ( )

( )

2 2' cos 2 sin 2

2cos 2

x xD x

x

+=

( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

'

' ' ' '

11

cos 2

sin 2 sin 2

cos 2 cos 2

D xx

x xC x D x C x D x

x x

=

⇔ = − = −

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

' '

' ' '

cos 2 cos 2

sin 2cos 2

cos 2

D x x D x x

xC x D x C x x

x

= =

⇔ ⇔ = − = −

( )( )

sin 2

cos 2

x

x

( ) ( )

( ) ( )

'

'

cos 2

sin 2

D x x

C x x

=

⇔

= −


( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1sin 2cos 2 2

1sin 2 cos 22

D x x ED x x dx

C x x dx C x x F

= + =

⇔

= − = +

∫

∫


( ) ( ) ( ) ( )5 cos 2 sin 2 , com e xy e C x x D x x C D= + ∈ �

( ) ( ) ( ) ( )5 1 1cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 , com e

2 2xy e x F x x E x E F

= + + + ∈

�

( ) ( )51 2

1cos 2 sin 2

2xy e K x K x

= + +

Como 1

xt

=

Fica:

1 1 2

5

2

1 2 2cos sin , com ,

2ty e K K K K

t t

= + + ∈

�



11 – Determine a solução geral da equação 3 '' ' 1x y xy y+ − =

Resolução 11 - ( ) ( )3 '' ' ' 1 'x y xy y+ − =

( ) ( ) ( )3 '' ' ' ' ' 0x y xy y+ + − =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )3

3 3

' ' PRODUTO !'' ' PRODUTO !

' '' '' ' ' ' ' ' ' 0

xyx y

x y x y x y x y y

−−

+ + + + − =��

( )2 33 '' ''' 'x y x y y+ + '' 'xy y+ − 0=

2 33 '' ''' '' 0x y x y xy+ + =

E agora, o que é que eu faço com isto? É muito simples, posso usar uma variavel de substituição que me simplifica as (confusão) constas sem alterar o valor logico da resolução. Assim sendo faço:

''Z y= e logo, por consequencia fica ' '''Z y=

Agora é só substituir:

2 33 ' 0x Z x Z xZ+ + =

Vou agora agrupar para ser mais facil depois separar as variaveis:

( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 2' 3 0 3 0 3 0dZ dZ

x Z x Z xZ x Z x x x Z x xdx dx

⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔

( ) ( )3 2 13

xx dZ Z x x dx dZ

Z

⇔ = − + ⇔ = −

( )3 1x

x

+22

1 3 1xdx dZ dx

Z xx

+ ⇔ = − ⇔

2

1 3 1 1ln 3ln ln

Cuidado, que o sinal vem para fora!

dZ dx dx Z x cZ x xx

↓↓

⇔ = − + − ⇔ = − + − + ⇔

∫ ∫ ∫ ��

��

�

1 1 13

3 3

1 1ln ln ln ln ln ln . . . .cx x x

K

Z x e e Z e K Z K ex x

−⇔ = + + ⇔ = ⇔ =

Agora vou substituir o valor de ''Z y= por 1

3

1. . xZ K ex

= , e fica 1

3

1'' . . xy K e

x=

Tenho que ter o cuidado, de que estou perante um PRODUTO.

1 1

3 2

1 1 1' . . ' . .x xy K e dx y K e dx

xx x

= ⇔ = ⇔

∫ ∫

Esta separação é só para me faciclitar o proximo passo, que é a de poder fazer a primitivação utilizando o metodo de substituição por partes (MSPP).



� �

1

2

'

1 1' . . x

v u

y K e dxx x

=

∫

' '

' '


. .

u v u v u v

uv u v u v

= −

= −

∫

∫

Fazer a caixa auxiliar:

1

xu e= − 1

'2

1. xu e

x=

Formula: ' '. .u v u v u v= − ∫ 1v

x= '

2

1v

x= −

Fica: 1 1 1 1

' '2

1 1 1 1. . .x x x xuv e e dx uv e e

x x xx

= − − ⇔ = − − − ∫

1 11' x xy K e e A

x

= − + +

Não me posso esquecer do “+A”. Agora para a ultima derivada:

1 1 11, com , x x xy K e e A dx y Kxe Ax B A B e K

x

= − + + ⇔ = + + ∈

∫ �

Agora vou substituir na equação dada, uma vez que já tenho todas as derivadas:

3 '' ' 1x y xy y+ − =

1 1 1 1

33

1 1. . 1x x x xx K e x K e e A Kxe Ax B

xx

+ − + + − + + =

3.K x3

1.

x

1 1 1 11. . 1x x x xe K x e e A Kxe Ax B

x

+ − + + − − − =

1

. .xK e K x−1

x

1 1

.x xe K xe+1

. xK xA Kxe+ − 1Ax B− − =

1

. xK e⇔1

. xK e− . 1 . 1K xA Ax B K xA Ax B+ − − = ⇔ − − = ⇔

( )1 1Ax K B⇔ − − = ⇔

1B = −

A solução da equação dada é: 1

1, com , xy Axe Bx A B= + − ∈�



12 – As equações lineares de 2ª ordem com a forma ( )2 '' 'ax y bxy cy f x+ + = , com a, b, c ∈� , é designada

por equação de Euler de 2ª ordem. Por meio da substituição da variavel independente tx e= , estas equações podem ser reduzidas a equações lineares de 2ª ordem de coeficientes constantes. Resolva as seguintes equações de Euler:

212.1 '' 2 ' 6 0x y xy y+ − = ( )( )212.2 '' 2 sin lnx y y x− =

Resolução 212.1 '' 2 ' 6 0x y xy y+ − =

Vou 1º confirmar se estou perante uma equação de Euler:

2 ' 0'' 2 6xyx y y+ − =

Nota a forma de um polinómio de grau 2 é 2y ax bx c= + + , e para ser incompleto tem que ter a seguinte forma:

2y ax=

O mesmo se passa com os outros termos, em que o 2º termo é um polinómio de grau um, que tem a forma y bx c= + , sendo o seu polinómio incompleto y bx= .

E o 3º termo é um polinómio de grau zero, que tem a forma y c= . Exemplos de equações não sendo Euler:

( ) ( )2 ''1 3 1 ' 6 0x y x y y+ − − =+ , pois mesmo o 1º termo não seja completo, no entanto tem o “+c”.

( ) ( )21 '' 3 1 ' 6 0x y x y y+ + − − = , pois o 1º termo é de facto 2 2 1x x+ + , sendo um polinomio completo.

Mas este ultimo tem um truque! Pois se igual ( )21t x= + , fica 2t , e agora já é uma Equação de Euler.

Paciencia, pois mais adiante vou praticar este tipo de malabarismos. Agora que já confirmei que é uma Equação de Euler, vou continuar:

2 '' 2 ' 6 0x y xy y+ − =



Seja tx e= , que é a regra para a resolução de Equação de Euler, fica ( )lnt x=

Vou utilizar a Regra da Cadeia para poder resolver o exercicio. Este passo que segue é sempre a mesma coisa:

1 1

' ' . ' . ' .t

dy dy d dy dyy y y y

dx d dx d

t

x et tdt= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2

2

1 1'' '' . '' . . '' . .

t

d y d dy d dy d d dyy y y y

dx dx dx d dx dx d d

t

t t et x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

( )2

21 1 1 1 1'' . . . . . '' . . .t

t t t t t

d dy dy d d y dyy y e

d d e d d e e d e d et t t t t t−

⇔ = + ⇔ = + − ⇔

2 2 2

2 1 1'' .

t t

d y dyy

d e et td= −


22 2

2 2

2 1 1 1'' 2 ' 6 0 . 2 . 6 0

t t t

d y dy dyx y xy y x x y

d e e d tdt t e

+ − = ⇔ − + − =

Também tenho que substituir o “x”!

22 2

2 22

2 2

1 1 1. 2 . 6 0 .t t t

t t te e

d y dy dy d yy

d e e de

t t t td e d

− + − = ⇔

2

1te

2te−2

1te

2. 6 0

t

t

edy dy

ty

ed dt+ − = ⇔

2

2

t

d y

d dt

dy⇔ − 2+

2

2

6 0 6 0dy d y dy

y yd dt t td

− = ⇔ − − =

Agora vou resolver a Equação Característica (os coeficientes são um, -1 e -6):

'' ' 6 0y y y− − =

22 1 0 2 4

6 0 6 02

b b acr r r r r

a

− ± −+ − = ⇔ + − = ⇔ ⇔

3 2r r= − ∨ =

3 22 3 , com e t t t t

LHA LHAy Ae Be y Ae Be A B− −= + ⇔ = + ∈�

Agora substituindo o “t” pelo “x”, fica:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 23 ln 2 ln ln lnx x x xLHA LHAy Ae Be y Ae Be

−−= + ⇔ = + ⇔

3 2 , com e LHAy Ax Bx A B−= + ∈�

Como o 2º membro é zero, não tenho que fazer o 2º e 3º passo!



Resolução ( )( )212.2 '' 2 sin lnx y y x− =

Vou 1º confirmar se estou perante uma equação de Euler - ( )( )2 '' 2 sin lny xx y − =

Nota a forma de um polinómio de grau 2 é 2y ax bx c= + + , e para ser incompleto tem que ter a seguinte forma:

2y ax=

O mesmo se passa com os outros termos, em que o 2º termo é um polinómio de grau um, que tem a forma y bx c= + , sendo o seu polinómio incompleto y bx= .

E o 3º termo é um polinómio de grau zero, que tem a forma y c= . Quanto ao 2º membro, não há problema pois trata-se de uma função ( )f x

Agora que já confirmei que é uma Equação de Euler, vou continuar:

( )( )2 '' 2 sin lnx y y x− =

Seja tx e= , que é a regra para a resolução de Equação de Euler, fica ( )lnt x=


1 1

' ' . ' . ' .t


dx d dx d

t

x et tdt= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2

2

1 1'' '' . '' . . '' . .

t



t

t t et x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

( )2

21 1 1 1 1'' . . . . . '' . . .t

t t t t t



⇔ = + ⇔ = + − ⇔

22

2

'' t

t

d y dy

ty e

d d−

= −




( )( ) ( )( )2 2 22

2'' 2 sin ln 2 sin lnt d y dy

x y y x x et dt

y xd

− − = ⇔ − − =


2 2t te e− ( )( )2

2

2 sin ln tet t

d y dyy

d d

− − = ⇔

( )2

2

2 sind y dy

y td dt t

− − =


'' ' 2 0y y y− − =

2

2 1 0 2 42 0 2 0

2

b b acr r r r r

a

− ± −− − = ⇔ − − = ⇔ ⇔

1 2r r= − ∨ =

2 21 , com e t t t tLHA LHAy Ae Be y Ae Be A B− −= + ⇔ = + ∈�

Como o 2º membro não é zero, vou ter que calcular o 2º e 3º passo! – 2º passo, resolver a Solução Particular da equação:

( )( )'' ' nsi l2 ny y y x− − =

( )'' ' 2 siny y y t− − =

( ) ( )cos sinP ty y ta b→ = +

( ) ( )' sin cosP ty y a b t→ = − +

( ) ( )'' cos sinP ty y a b t→ = − −

Agora substituindo na fórmula ( )'' ' 2 siny y y t− − = , fica:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )cos sin sin cos 2 cos sin sina bt t t t ta b a b t t− − − − + − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sin sin cos 2 cos 2 sin sina b a b at t t t tbt t− − + − − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cosin sin s 2 cos 2 si in s na t t t t t tba ab b t− − − =− + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 s2 si incos nt tba aa b b t− + − =− − − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 co si3 ns sinbt ta ta b =− +− + −

Vou 1º ordenar, para poder prosseguir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin3 ncos 3 sia tba tb t− =− − +



( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( ) ( )

0 3 1 11 1

3 3 1 1 9 1 10cos 3 0

sin 3 13 31 3 0 1

9 1 103 3 1 1

X X

X X

X X

X X

a at

t

aa b

a bb bb

− − − = = =− − − − +→ − − =

⇔ ⇔ ⇔ → − = −− = = −= + − − − −

( ) ( ) ( ) ( )1 3cos sin cos sin

10 10P Py a t b t y t t= + ⇔ = −


( ) ( )2 1 3cos sin , com e

10 10t ty Ae Be t t A B−= + + − ∈�

Agora substituindo o “t” pelo “x”, fica:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 ln ln 1 3cos ln sin ln , com e

10 10x xy Ae Be x x A B−= + + − ∈�

( )( ) ( )( )2 1 1 3cos ln sin ln , com e

10 10y Aex Bex x x A B−= + + − ∈�

13 – Resolva a equação ( )2 21 '' ' 0x y xy a y+ + − = , com a { }\ 0∈� , usando a mudança de variavel

( )x sh t=

Resolução 13 - Seja ( )x sh t= , então posso afirmar que ( )argt sh x=

Por outro lado sei que (1ºdia aula de Calculo II, com a Profª Drª Maribel Gomes Gonçalves Gordon):

( ) ( )2 2 1ch t sh t− =

( ) ( )2 21ch t sh t= +


( )2 2

1 1' ' . ' . ' .

1 1


dx d dx d dx s

t

t h tt t= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

+ +

( )1

' .t

dyy

d ch t=



( ) ( )

2

2

1 1'' '' . '' . . '' . .


dx dx dx d d

t

t t tx dx d d c th ht c

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2

2 2

1 1 1 1 1'' . . . '' . . .

t

t t t t t t

shd dy dy d y dyy y

d d d d ch ch d ch d ch ct t t tht

⇔ = + ⇔ = − ⇔

( )( ) ( )

2

2 2

1'' . .

shd y dt

t t t t

yy

d ch d ch

= −

Recordar:


( )2 21 '' ' 0x y xy a y+ + − =

( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )2

2 22 22

1 1 11 . . 0

shd y dy dysh t sh t a y

d ch ch d ch d ch

t

t t t t t t t

+ − + − =

Tenho que ter cuidado aqui, pois se observar bem, posso aplicar aqui um truque. Este truque só fica na cabeça com a devida pratica diaria (para quem não tiver mais nada para fazer!):

( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 1ch t sh t ch tt sh− = ⇔ +=

Assim a minha equação vai-se tornar muito mais simples!

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) 22

22

2 2

1 1 1. . 0

sh td y dy dysh t a y

dt ch t ch t dt ch t dt ch tch t

− + − =

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 22 22

2 2 2 2. . 0 .

ch t sh t ch t sh t sh td y dy dy d y dya y

dt ch t ch t dt ch t dt ch t dt dt ch t

⇔ − + − = ⇔ −

( )( )

.sh tdy

dt ch t+ 2 0a y− = ⇔

2

22

0dt

d ya y− =

Agora vou resolver a Equação Característica 2'' 0y a y− =

2 2 0 2 20 0r a r r a r a− = ⇔ − = ⇔ = ±

( ) ( ).arg .arg , com e a sh x a sh xt t

LHA LHa a

Ay Ae Be y Ae Be A B− −= + ⇔ = + ∈�

Como o 2º membro é zero, não tenho que fazer o 2º e 3º passo!



14 – Determine a solução geral da equação ( )'' 2 'y y y ch x+ + =

Resolução 14 - Esta situação não está contemplada nos 4 casos da tabela da pagina 100. Por isso posso ir pelo metodo da variação da cosntante.

Mas antes de “arranca” para metodo, posso também fazer o seguinte: ( )2

x xe ech x

−+=

Também foi dado no 1ºdia aula de Calculo II, com a Profª Drª Maribel Gomes Gonçalves Gordon.

Assim '' 2 '2 2

x xe ey y y

−

+ + = +

Agora já me posso socorrer da tabela da pagina 100! É ir pelo Metodo da Variação da Constante (MVC) é mais trabalhoso e mais dificil, apesar de ser a formula geral. Mas se poder simplificar, é por aí que eu vou. – 1º passo, resolver a Equação Diferencial Linear Completa, que consiste em torna-la Incompleta, e só depois a Equação Característica (os coeficientes são um, e 2):

'' 2 ' 0y y y+ + =

2 1 0 22 0 2 1 0 1 1r r r r r r r+ + = ⇔ + + = ⇔ = − ∨ = −

, com e x x

LHAy Ae Bxe C D− −= + ∈�

– 2º passo, solução particular da equação dada: Nota como tenho 2 termos no 2º membro, tenho que calcular 2 soluções particulares, um para cada termo.

i) 1x

Py ae=

( ) 1' x

Py ae= (por coincidencia o valor é igual!)

( ) 1'' xPy ae= (também por coincidencia o valor é igual!)

Agora substituindo na equação dada

2

'' 2 '2 2

P

x x

y

e ey y y

− + + = +

��

( ) ( ) ( ) 1 12 4

2 2 8

xx x x e

ae ae ae a a+ + = ⇔ = ⇔ =

Agora, como se comentem erros basicos, no caso de não se praticar, pois a tendencia é fazer isto:

ii) 2x

Py bxe−=

( ) ( ) ( )2 2' 'x x xP Py be bxe y e b bx− − −= − ⇔ = −

( ) ( ) ( )2'' x xPy e b bx e b− −= − − + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 2'' '' 2x x

P Py e b bx b y e bx b− −= − + − ⇔ = −



Agora substituindo na equação dada '' 2 '2

xey y y

−

+ + =

( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 22 2

x xx x x x x x x xe e

e bx b e b bx bxe e bx e b e b e bx bxe− −

− − − − − − − −− + − + = ⇔ − + − + = ⇔

xe bx−⇔ 2 xe b−− 2 xe b−+ 2 xe bx−− xe bx−+ 02 2

x xe e− −

= ⇔ =

Quando dá para cortar tudo, é porque me enganei no passo 2

xPy bxe−= ! Porquê?

Simplesmente, como é raiz DUPLA (igual), tenho que elevar o “x” ao quadrado: 2

2x

Py bx e−=

Agora vou fazer correcto:

ii) 2

2x

Py bx e−= , o dois é devido a raiz ser dupla.

( ) ( ) ( )2 22 2' 2 ' 2x x x

P Py be bx e y e bx bx− − −= − ⇔ = −

( ) ( ) ( )22'' 2 2 2x x

Py e bx bx e b bx− −= − − + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2'' 2 2 2 '' 4 2x x

P Py e bx bx b bx y e b x x− −= − + + − ⇔ = − +

Agora substituindo na equação dada '' 2 '2

xey y y

−

+ + =

( )( ) ( )( ) ( )2 2 24 2 2 22

xx x x e

e b x x e bx bx bx e−

− − −− + + − + = ⇔

2xe bx−⇔ 4 xe bx−− 42 x xe b e bx−− ++ 22 xe bx−− 2xe bx−+2

xe−

= ⇔

2 xe−⇔xe

b−

=1

2 4b⇔ =

Assim sendo, fica:

1 1

1

8x x

P Py ae y e= ⇔ = e 22 2

21

4x x

P Py bx e y x e− −= ⇔ =

3º passo – Solução Geral, 1 2a p py y y y= + + , é de notar que a LHAy y= :

21 1, com e

8 4x x x xy Ae Bxe e x e A B− − −= + + + ∈�



15 – Resolva a equação ( ) ( ) ( ) ( )2'' 2 ' sin cos 0y y tg y y y+ + = , utilizando a mudança de função incognita

( )z tg y=

Resolução 15 – Seja ( )z tg y= , então:

( )y arctg z=

Muito cuidado, pois para a 1ª derivada não posso fazer isto:

( ) 2 2

''

1

1

1

zy arctg z

z z= =

+=

+

Pois é com mudança de variavel dependente. Por isso fica:

2

''

1

zy

z=

+ Na 2ª derivada também enho a mesma restrição. Por isso cuidado, tanto no 1º como no 2º termo.

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( )

22 2 2 2

2 2 22 2 2

'' 1 ' 1 ' '' 1 2 ' ' '' 1 2 ''' '' ''

1 1 1

z z z z z z zz z z z z zy y y

z z z

+ − + + − + −= ⇔ = ⇔ =

+ + +

Agora as funções trigonometricas:

Sei que ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 2 22 2

1 1sin cos 1 1 1

cos cosy y tg y z

y y+ = ⇔ + = ⇔ + =

Não me posso esquecr que ( )z tg y=

1º Vou multiplicar TUDO por ( )2

1

cos y:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )2

2 2 2

1 1 1'' 2 ' sin cos 0

cos cos cosy y tg y y y

y y y+ + =

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2

2 2

sin1 2'' ' 0

coscos cos

yy y tg y

yy y+ + =

( ) ( )( ) ( ) ( )2

2 2

1 2'' ' 0

cos cosy y tg y tg y

y y+ + =

Agora substituir os “y” e o ( )21 z+ :

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )2 2

22

22

2

2'' 1 2 ' '

11 0

12 1 tg y t

z z z zgz z

z

zzy

+ + =

+

+ −

+++



( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )�

( )( )�

22 2 2 22

2 22 2

'' 1 1 2 1 ' 12 ' 0

1 1 z tg y z tg y

z z z z z z zz tg y tg y

z z = =

+ + − + + + + = + +

`

Nota: condição do exercicio ( )

( )�z tg y

tg y=

( )2

2

2'' '

1

zz z

z−

+( )2

2

2'

1

zz

z+

+0z+ =

'' 0z z+ =

Agora vou resolver a Equação Característica (os coeficientes são um):

'' 0z z+ =

2 0 20 1 0r r r r i+ = ⇔ + = ⇔ = ±

( ) ( )cos sin , com e z A x B x A B= + ∈�

Como ( )z tg y= , fica:

( ) ( ) ( )cos sin , com e tg y A x B x A B= + ∈�

( ) ( )cos sin , com e y arctg A x B x A B= + ∈ �



16 – Resolva a equação ( )2'' secy y x+ =

Resolução 16 – função trigonometrica: ( )( )

22

1'' sec ''

cosy y x y y

x+ = ⇔ + =

– 1º passo, vou resolver a Equação Característica (os coeficientes são um):

'' 0y y+ =

2 0 20 1 0r r r r i+ = ⇔ + = ⇔ = ±

( ) ( )cos sin , com e y A x B x A B= + ∈�


- São duas variáveis, “A” e “B”, que passa a ( )A x e a ( )B x .

Ora se ( ) ( ) ( ) ( )cos sin , com e y A x x B x x A B= + ∈�

Então ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' 'cos cos ' 'sin sin 'y A x x A x x B x x B x x = + + +


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )' 'cos sin 'sin cosy A x x A x x B x x B x x = − + +

Agora vou impor uma condição - ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )'cos 'sinA x x B x x f x+ =

Em que o ( ) 0f x = , passando assim a ser ( )( ) ( ) ( )( ) ( )' cos 'sin 0A x x B x x+ = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )co' 'sn' siA x xf B x xy x= − +


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'sin'' ''cosc ins so' A x x A x xf B xy x xx B x− −− +=

Agora vou substituir na equação - ( )2

1''

cosy y

x+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2

'sin cos '1

cos sinco

' cos ins

sB x BA x A x A x B xxx

f x − − + + =− +



( ) ( ) ( )' 'sin cosf x A x A x− − ( ) ( )'cos sinB x B x+ − ( )cosA x+ ( )sinB x+( )2

1

cos x=

( ) ( ) ( )( )2

1' 'sin 'cos

cosf x A x B x

x− + =

( ) ( ) ( )( )2

1'sin 'cos '

cosA x B x f x

x− + = +

Ora tenho duas variáveis e duas igualdades, uma que eu impus e outra obtida agora:

Condição imposta ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )'cos 'sinA x x B x x f x+ =

Obtida agora ( ) ( ) ( )( )2

1'sin 'cos '

cosA x B x f x

x− + = +

Fica

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )2

'cos 'sin

1'sin 'cos '

cos

A x B x f x

A x B x f xx

+ =− + = +

Agora vou utilizar a regra de Krmaer, mas para isso vou 1º recordar a regra

A regra de Kramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Gabriel Kramer - matemático suíço - 1704/1752. A chamada “Regra de Kramer” nos dá uma fórmula para resolver sistemas lineares do tipo

em termos de determinantes. A regra nos fornece instruções precisas para o cálculo das incógnitas em função

dos coeficientes e dos termos .

Observe que o sistema acima consiste de equações lineares com incógnitas . Assim, o número de equações é igual ao número de incógnitas. A fórmula de Kramer só se aplica a sistemas lineares dessa espécie. Uma maneira de apresentar a Regra de Kramer, comum em textos antigos, é a seguinte:



Nesta notação arcaica, é o determinante do sistema (1), isto é, o determinante da matriz dos coeficientes:

Os numeradores em (2) também são determinantes, os quais se relacionam com da seguinte maneira:

Para cada de a , é o determinante que se obtém de substituindo-se a sua -ésima coluna pela

coluna dos termos constantes.

Os termos constantes do sistema (1) são ; eles não dependem das incógnitas. De acordo com o parágrafo precedente, devemos ter:

Nas páginas que se seguem, usaremos ocasionalmente o termo “determinantes de Kramer” para nos referirmos a

em geral. Em breve daremos dois exemplos concretos de aplicação da regra. Nos textos actuais, a notação matricial tem um papel maior. Houve época em que se falava em “teoria dos determinantes” (na tradição de Laplace, Cauchy e Gauss); as matrizes não eram mencionadas. Hoje já não se fala mais em “determinante”, mas em “determinante de uma matriz”. As matrizes estão no centro das atenções. O

determinante é apenas uma função de matrizes: para cada matriz quadrada (de números reais) , temos o número real

o determinante de . Além desta notação com barras, usaremos também

A função leva matrizes em números reais. Em termos de matrizes, o sistema (1) pode ser escrito como

onde



Neste contexto, tornou-se comum apresentar as igualdades (2) assim:

onde é a matriz que se obtém de colocando (os elementos de) em sua -ésima coluna.

Há mais um detalhe importante sobre a Regra de Kramer: ela só se aplica a sistemas para os quais

, isto é

Esta restrição torna-se evidente a partir da própria regra tal como apresentada em (2) ou em (6). Como as incógnitas são expressas por fracções nas quais o determinante do sistema figura nos denominadores, é

necessário supor que esse determinante seja não-nulo uma vez que a divisão por zero é impossível.

Em resumo, a Regra de Kramer nos diz que para toda matriz quadrada tal que , o sistema

(seja qual for ) tem solução única, e esta solução é dada por

Exemplo: 2 3 4

5 5 10

x y

x y

− =

+ =

Resolução - Tenho que dividir em 3 partes, , ,D Dx Dy

( )2 3

2.5 3 .5 255 5

D−

= = − − =

( )3

4.5 3 .10 51

504

0xD−

= = − − =



22.10 4.5 0

4

105yD = = − =

502

2 3 4 255 5 10 0

025

x

y

Dx

x y DDx y

yD

= = =− =

⇔ + = = = =

( ){ }2, 0x y= = =S ( ){ }2,0=S

Voltando ao exercício:

( ) ( )( ) ( )

cos sin1

sin cos

x xD

x x= = −

−

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' 2

2

sinsin

cos 'sin 01' cos cos

cosA

f x xx

D f x x f x xf x x x

x

= = − − + =− −

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )'2

cos1

'cos sin 01sin ' cos

cosB

x f x

D f x x f x xx f x x

x

= = − − =−

( ) 0f x = e ( ) ' 0f x =

( )( ) ( )

( )

( )( )

2'

2

'

sin

cos sin'

1 cos' 4

' 10 1

cos 1'

1 cos

A

B

x

x xDA

D xA

B

xDB

D x

= = = − −=

⇔ = −

= = =

−

Agora vou integrar:

( )( )

( ) ( )( )

( )

22

sinsin cos

cos

1

cos

xA dx x x dx

x

B dxx

−

= − = − =

= =

∫ ∫

∫



Agora o A é fácil, mas o B, não é nada fácil!

Vou recordar uma igualdade, pois é através dessa igualdade vou tornar compreensível a integração. Ora aqui vai : sei que ( ) ( ) ( )sin 2 2sin cosα α α=

Agora vou realizar uma igualdade, que é a de utilizar os ângulos complementares, pode parecer mais confuso, mas tem um objectivo:

�

( )

( ) ( )22sin cos

sin 2

sin sin 2 2sin cos2 4 2 4 2 4 2

x x xx

α α α α

α

π π π π − = − = − − ��

��

Outra nota importante numa integração – Numa situação em que não se domina bem o calculo, para não se parar, ou devido aos nervos, não bloquear, usar o seguinte truque: aquilo de que não se sabe o que vai dar, notamos ( )g x

Exemplo do que foi dito:

( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 12 2

sinsin cos coscos cos 'cos 1

2 1cos1

cos

xA dx x x dx xx A x dx

Cx

B g x DB dxx

− − +−

= − = − = =

⇔ = − +− + = += =

∫ ∫∫

∫

Mas como sei resolver (!), vou passar ao passo seguinte:

Calculo Auxiliar de ( )

1

cosB dx

x

=

∫

( )1 1 1

cos sin sin 22 4 2

B dx B dx B dxx xx

π π

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − −

∫ ∫ ∫

1

2sin cos4 2 4 2

B dxx xπ π

⇔ = ⇔

− −

∫

Agora vou dividir TUDO por cos4 2

xπ −



1

cos

.12

2 4

2 4

x

xB dx

tg

π

π

⇔ = ⇔

−

−∫

Agora vou trocar o SINAL, e passar a constante para fora:

2

1

c4

22

4

1os

B dxt

xg

x π

π

⇔ = ⇔

−

−− ∫

Sei que se 22 4

2os

4

1

2'c

xx

u tg uπ

π

= → =

−

−

Assim

2

1

2

cos2 4

ln2 4

2 4

xx

B dx B tgx

tg

ππ

π

− = − ⇔ = − − −

∫

Agora que já calculei o B, vou continuar com tudo junto:

( )( )

( ) ( )( )( )

( )

22

2

sin 1sin cos

cos cos

1

2

cos1 2 4

lncos 2 4

2 4

xA dx x x dx C

x x

xx

B dx dx tg Dxx

tg

ππ

π

−

= − = − = − +

− = = − = − − + −

∫ ∫

∫ ∫

Assim a resposta ao exercício é: ( )

( ) ( )1cos ln sin , com C, D

cos 2 4

xy c x tg D x

x

π = − + − − + ∈

�



17 – Resolva a equação ( ) ( )24 4 3 2'' 2 ' 2 ' 1 0x yy x y x yy y y− + + − = , utilizando como função incognita 1

zy

= ,

e como variavel independente 1

tx

= .

Resolução 17 – a nivel de dificuldade esta está no Red Line. Tem DUAS mudança de variaveis, “t” e “z”. O exercicio tem que acabar com “x” e “y”!. Aqui vai.

Sejam

1 1

11

z yy z

xttx

= = ⇔

==

Agora a variavel independente é o “t”, e a dependente é o “z”.

Sei que ( )2

22 2 2 2

1'. '.1 1 ' '' . . .

dy dy dt z z z t zy t

dx dt dx z x z z

− = = = − = − − =

Cuidado pois ( )2t− , o quadrado não afecta o sinal, só se o quadrado estivesse no parentesis.

Ora, então ( ) ( ) ( )

( )2

2

2 2 2 22 2 2

22 2 2 22

'

' '. ' . '' ' 1'' . . .

dt

d

d t z dxt z

t z z t z zd y d dy d t z d t zy

dx dx dx dx z z dx x

dt

d zt

− = = = = = − ��

��

`

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 22 2

2 2 2

2

2 2

2

2

'. ' . . '.. '. 1 1'

2 . '' ' '' '' . .

1

z t zz t t z t z z zzzy

xz zt

t z −− = − = −

+

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2

22 2

22 . ' . '' 2. .2 . . . . . . .

'' ' '. ' . ''

.2

'z t z t z tt z t z t z t z z t

yz

tz z

z

tz z − − − −=

+ + −=

−

( )243 4 4 3 4

3 2 2 3

2 . '2 . '. . ''. 2 . ' 2 . ' . ''''

t zt z z t z z t z t z t zy

z z z z

− − += = − − +



Agora substituindo: ( ) ( )24 4 3 2'' 2 ' 2 ' 1 0x y x yy y yx y y− + + − = , e tambem sei que 1

yz

= e que 1

xt

=

( ) 224 4 3 243 4 2 2

2 2 3 2 2

2 . '2 . ' . '1 1'1 1 1 1' '2 2 1 0

1t zt z t z t z t z

z z z z zzt zt t z z

− − + − + +

− =

( ) 22 2

3 24 2

243 4

4 2 3 22

2 . '1 1 2 . ' . '' 1 ' 1 1'2

1 112 0

t zt zt z t z t z

zt zzt z ztz z zz

− − +

−

− + +

=

( ) ( )22243 4

4 3

2

4 3 4 4 3 334 24

2 . ' ' '2

2 . ' . '2

' 1 10

t zt z t z

t z t z t z

t t

z

z

t z z

z

zt− + −− ++ =−

32 t−

4

. 'z

t

4

3

t

z−

4

. ''z

t

4

3

2 t

z+

( )2

4

. 'z

t

4

42

t

z−

( )2

4

'z

t

2

42

t

z+

3

'z

t3 23

1 10

z zz+ − =

3

2. 'z

tz−

( )2

3 4

'''2

zz

z z− +

( )2

4

'2

z

z−

3

'2

z

tz+

2 33

3 3 2

1 1 '' 1.

10 0

z

z z z z zz+ −

= ⇔ − + − = ⇔

3 3 3

3 3 2

''0 '' 1 0 '' 1 '' 1

z z z zz z z z z z

z z z⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ − − = − ⇔ + =

– 1º passo, vou resolver a Equação Característica (os coeficientes são um):

2 0 2'' 0 0 1 0z z r r r r i+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ±

( ) ( )cos sin , com e z A t B t A B= + ∈�

Cuidado aqui, pois há a tendencia de notar ( ) ( )cos sin , com e z A B Ax x B= + ∈�

– 2º passo, calcular a solução particular, 1ª tentativa, grau zero, z a= , logo tenho ' 0z = e '' 0z = : Substituindo '' 0 0 1 1z z a a+ = ⇔ + = ⇔ =

Então 1z = , é solução particular da equação dada.

- 3º passo, a solução geral é ( ) ( )

Solução Associada

cos sin , c m e1 o z A t B t A B+= + ∈��

Como sei que 1

yz

= e 1

xt

= , então 1

, com e 1 1

cos sin 1y A B

A Bx x

= ∈ + +

�



18 – Mostre que existem dois polinomios P e Q tais que o lad esquerdo da equação ( )21 '' 4 ' 2 0x y xy y+ + + = é,

para todo o x ∈� , a derivada de ( ) ( )'P x y Q x y+ . Deduza então a solução geral da equação dada.

Resolução 18 – o que me é dito é que ( ) ( )( ) ( )2' ' 1 '' 4 ' 2 0P x y Q x y x y xy y+ = + + + = .

( )( ) ( )( ) ( )2

2 Produtos!

' ' ' 1 '' 4 ' 2 0P x y Q x y x y xy y+ = + + + =��

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2' ' ' ' ' ' 1 '' 4 ' 2 0P x y P x y Q x y Q x y x y xy y+ + + = + + + =

Agora tenho que fazer estas associações:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2' 2' ' '' ' 1 '' 4 ' 0P x y P x y y Q x y x y xQ y yx+ + + = + + + =

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2' '' ' ' 1 '' '' 2 04y P x y Q x y yP x Q x x y y yx+ + + = + + + =

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2' ' '' ' ' '' 4 ' 2 01P x y y Q x y Q x y y xyP x yx+ + + = + + =+

Agora vou fazer as equivalencias:

( )( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

2 2 2

21 1 1

1' 4 2 4 4 2

22' 2' 2

P x x P x x P x xP x x

P x Q x x x Q x x Q x x xQ x x

Q x xQ xQ x

= + = + = + = +

+ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = ===

Assim sendo, existe um ( )P x e um ( )Q x tal que: ( ) ( ) ( )2' ' 1 '' 4 ' 2P x y Q x y x y xy y + = + + + .

Então como ( )21 '' 4 ' 2 0x y xy y+ + + = , fica ( ) ( ) ( )2' ' 1 ' 2 'P x y Q x y x y xy + = + +

( )21 ' 2x y xy K+ + =

– 1º passo, resolver a Equação Diferencial Linear Incompleta, que consiste em torna-la homogénea:

( )21 ' 2 0x y xy+ + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 ' 2 0 1 2 1 2dy

x y xy x xy x dy xy dxdx

+ + = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔

22 2

1 2 1 2ln ln 1

1 1

x xdy dx dy dx y x c

y x y x

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + + ⇔ + + ∫ ∫

1 12 2

2ln ln 1 ln ln ln 1 ln ln

1c B

y x e y x B yx

− −⇔ = + + ⇔ = + + ⇔ = ⇔

+

21

Ay

x=

+



– 2º passo, vou calcular a equação particular, utilizando o método da variação da constante (MVC):

Como 21

Ay

x=

+, então

( ) ( ) ( )( )

2 2

22 2

' 1 1 '' ' '

1 1

A x A xAy y

x x

+ − + = ⇔ = ⇔ + +

( )( )

2

22

' 1 2'

1

A x Axy

x

+ −=

+

Agora vou substituir na equação, ( )21 ' 2x y xy K+ + = (cuidado que não é igual a zero, pois isso já calculei):

( )21 x+( )( )

2

2 2

' 1 2

1

A x Ax

x

+ −

+2

21

Ax K

x

+ = +

( ) ( )22

2 2

' 1' 1 22

1 1

A xA x Ax Ax K

x x

++ −⇔ + = ⇔

+ + 21 x+2

2

1

Ax

x−

+ 2

2

1

Ax

x+

+K= ⇔

( )'A K A K dx A Kx D⇔ = ⇔ = ⇔ = +∫


2 2, com e

1 1

A Kx Dy y D K

x x

+= ⇔ = ∈

+ +�

19.1 – Considere a equação diferencial: ( )( ) ( )( )22 ln 1 '' ' ' 1 0x x y y xy− + − + =

Fazendo a mudança de função incognita yz e= obtém uma nova equação em “z” e “x” que admite como solução particular um polinomio de 1º grau. Determine então a solução geral da equação dada. Resolução 19.1

( )( ) ( )( )22 ln 1 '' ' ' 1 0x x y y xy− + − + =

É-me dito que que yz e= , logo ( )lny z= e assim sendo ( ) '

'z

yz

= e 2

''. '. '''

z z z zy

z

−=

Agora substituindo ( )( ) ( ) ( )2

22

' '''. '. 'ln 1 1 0

z zz z z zx x x

z zz

− − + − + =

( )( )2 '' .ln 1

z zx x −

2z

( )2

2

'z

z−

( )2

2

'z

z+

'1 0

zx

z

− + =

( )( )2 '' 'ln 1 1 0

z zx x x

z z− − + =



Agora vou multiplicar TUDO por “z”:

( )( )2 '' 'l .n 1 1 0

z zx x x

zz

z− − +

=

( )( )2 ln 1 '' ' 0x x z xz z− − + =

Agora vou lá por tentativa, começando pelo grau zero.

' 0 '' 0z a z z= → = → =

Substituindo ( )( )2 ln 1 '' ' 0x x z xz z− − + =

( )( )( ) ( )2 ln 1 0 0 0 0x x x a a→ − − + = ⇔ = , ora se 0a = , não é solução!

2ª tentativa, agora pelo grau um.

' '' 0z ax b z a z= + → = → =

Substituindo ( )( )2 ln 1 '' ' 0x x z xz z− − + =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2ln 1 0 0 ln 1 0x x x a ax b x x ax→ − − + + = ⇔ − − ax+ 0 0b b+ = ⇔ =

Assim ( ) 0z ax b z a x z x= + ⇔ = + → =

Posso assim afirmar que z x= , é solução da equação ( )( )2 ln 1 '' ' 0x x z xz z− − + =

Cuidado agora, pois a partir deste ponto requer mais atenção/conhecimento. 2ª Mudança de Variavel - z xw= , e assim sendo ' 'z w xw= + e '' ' ' '' 2 ' ''z w w xw w xw= + + = +

Substituindo - ( )( )2 ln 1 '' ' 0x x z xz z− − + =

( )( )( ) ( )2 ln 1 2 ' '' ' 0x x w xw x w xw xw− + − + + =

( )( ) ( )( )2 3 22 ln 1 ' ln 1 '' ' 0x x w x x w xw x w xw− + − − − + =

( ) ( )2 2 3 32 ln ' 2 ' ln '' ''x x w x w x x w x w xw− + − − 2 'x w xw− + 0=



Vou dividir TUDO por 2x :

( ) ( )2ln ' 2 ' ln '' '' ' 0x w w x xw xw w− + − − =

Vou “arrumar” e agrupar:

( )( ) ( )( )ln '' 2 ln 3 ' 0x x x w x w− + − =

Como tenho uma 3ª e 2ª derivada, e NÃO tenho uma 1ª derivada, vou voltar a utilizar uma nova mudança de variavel. 3ª Mudança de Variavel - 'u w= , e assim sendo ' ''u w=

Substituindo - ( )( ) ( )( )ln '' 2 ln 3 ' 0x x x w x w− + − =

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )ln ' 2 ln 3 0 ln 2 ln 3du

x x x u x u x x x x udx

− + − = ⇔ − = − − ⇔

( )( ) ( )( ) ( )( )

2ln 31ln 2 ln 3

ln

xx x x du x u dx du dx

u x x x

− ⇔ − = − − ⇔ = − ⇔ −

( )( )

( )( )( )

2ln 3 2 ln 31ln

ln ln 1

x xdu dx u dx

u x x x x x

− − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − −

∫ ∫ ∫

Vou recordar, por isso vou calcular 2 32

1

x x

x

e edx

e

+

−∫ , que é assim:

1º vou tentar escrever com a mesma potencia: ( ) ( )2 3

2

1

x x

x

e edx

e

+

−∫ ,

2º vou procurar pelo valor de x : ( )? logxe t x x t= ⇔ = ⇔ =

3º derivar em ordem a x : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )'

'' ' ' 1log

tx t x x

t t= ⇔ = ⇔ =

4º substituir o dx, por dt: 1 1dx

dx dtdt t t

= ⇔ =

5º reescrever o integral: ( ) 2t ( ) 3

2 t+2

1

1 t t

→

−∫22

1

t tdt dt

t

+= =

−∫



Sempre que tiver um polinómio do numerador, superior ao do divisor, posso fazer a divisão:

Algoritmo da Divisão: 2

1

t

t−

2

2

1

2 3

2 2

3

3 3

3

t t t

t

t t

t

t

+ − +

− −

− +

+

− +

+

22 3 32 3 2 3

1 1 1

t tdt t dt t dt dt dt

t t t

+= = − − + = − + − + =

− − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )212 3 1 3 3 3log 1

1t dt dt dt t t t

t− − + = − − − −

−∫ ∫ ∫

Agora, vou substituir o “t” por xe , e fica: ( )2 3 3log 1 ,x x xe e e c c− − − − + ∈� .

Voltando ao meu exercício fica ( )ln tu t u e= ⇔ =

( ) ( )t t tdxe dx e dt dx e dt

dt= ⇔ = ⇔ =

Fica: ( )

( )2 ln 3 2 3

ln lnln t

x tu dx u

x x x e

− −⇔ = − ⇔ = − −

∫ ( )1

tet −

dt ⇔ ∫

2 3

ln1

tu dt

t

− ⇔ = − ⇔ − ∫

Calculo auxiliar:

Algoritmo da Divisão: 2 3

1

t

t

−

−

2 3 1

2

2 2

1

t t

t

− −

− +

−

1

ln 2 ln 2 ln 11

u dt u t t ct

⇔ = − − ⇔ = − + − + ⇔ − ∫



Agora vou voltar para a equação antes da integração por substituição ( )ln tu t u e= ⇔ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�

2ln 2 ln ln ln 1 ln ln ln ln ln 1 lnc c

A

u x x e u x x e−

=

= − + − + ⇔ = + − + ⇔

( )( ) ( )( )( )2

2

ln 1 .ln ln . ln 1 . ln ln

x Bu x x A u u

x−

−⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Então e como 'w u= , ( )( ) ( )( )

2 2

ln 1 ln 1'

B x B xw w dx

x x

− −= ⇔ = ⇔

∫

( )( )2

1ln 1w B x dx

x = − ∫

Vou utilizar, na integração, o metodo de substituição por partes (MSPP):

1m

x= −

2

1'm

x=

( )ln 1n x= −

1'n

x=

( ) ( )( )1 1 1. . ' . ln 1 .w B m n m n dx w B x dx

x x x

= − ⇔ = − − − − ⇔ ∫ ∫

( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1. ln 1 . . ln 1 .w B x dx w B x dx

x x x x x x

⇔ = − − − − ⇔ = − − + ⇔

∫ ∫

( )( ) ( ) ( )22

1 1 1 1. ln 1 lnw B x dx w B x x dx

x x xx−

⇔ = − − + ⇔ = − + + ⇔ ∫ ∫

( ) ( )2 11 1 1 1

ln ln2 1

xw B x D w B x

x x x x

− + ⇔ = − + + + ⇔ = − + − +

1

x− D

+ ⇔

( ) ( )( )

ln lnln

B x K xw D w D xw K x Dx

x x⇔ = − + ⇔ = + ⇔ = + ⇔

( )lnZ K x Dx= +

Assim sendo, ( ) ( )( ) ( )( )ln ln ln ln lnZ K x Dx y K x Dx= + ⇔ = +



19.2 – Calcular ( )1 '' ´ 0x y xy y− + − =

Resolução – classificação, Equação Linear, de 2ª Ordem, Incompleto, e de Coeficiente Não Constante. 1º passo, como não me é dado pistas, vou lá por inspecção (é um método, é mais fácil do que pela variação da constante). O objectivo é baixar um grau, como a ED é de 2ª ordem, vou tentar “transpô-la” para de 1ª ordem. Tentativa 1 - 2y ax bx c= + + , logo a sua primeira derivada é ' 2y a b= + e a 2ª é ''y a= . Agora vou substituir

na equação dada.

( )( ) ( ) ( )21 2 0 2x a x a b ax bx c a ax ax bx− + + − + + = ⇔ − + + 2ax bx− − 0c− = ⇔

2 0a ax ax c+ − − = (p.f.)

Como ( )1 x− é um polinómio do 1º grau, de certeza que tenho solução por aqui. Vou então fazer uma 2ª

tentativa com um polinómio do 2º grau. Tentativa 2 - y ax b= + , logo a sua primeira derivada é 'y a= e a 2ª é '' 0y = . Agora vou substituir na equação

dada.

( )( ) ( ) ( )1 0 0x x a ax b ax− + − + = ⇔ ax− 0 0b b− = ⇔ = (p.v.)

Logo 0P Py ax y ax= + ⇔ =

Obtive uma infinidade de soluções, mas só pretendo uma, vou igualar 1a = Assim a minha solução particular, obtida por inspecção, é 1y x=

Agora tornou-se fácil, pois se sei uma solução particular é fácil calcular a segunda, é só multiplicar essa mesma solução por uma função qualquer. Nota que não poderia escolher um valor de “a” qualquer, e multiplicar por “x”, pois teria a mesma solução. Ou seja esta nova solução não seria linearmente independente, o que é uma condição da 2ª solução face a 1ª. Vou então utilizar a mudança da variável dependente.

Assim, seja ( )y f z x= , mas tornar mais fácil o desenvolvimento dos cálculos, representa-se por y zx= .

Tenho que ter o devido cuidado de que este “z” não é bem uma constante, é uma função. Assim a sua primeira derivada é (cuidado que é um produto) ' ' ' ' 'y z x zx y z x z= + ⇔ = +

E a 2ª derivada é ( ) ( ) ( )'' ' ' '' ' ' 'y z x z y z x z⇔ = + ⇔ = + ⇔

'' '' ' ' '' '' 2 'y z x z z y z x z⇔ = + + ⇔ = +

Agora vou substituir, ( )1 '' ´ 0x y xy y− + − =

( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 '' 2 ' ' 0 '' 2 ' '' 2 ' 'x z x z x z x z zx xz z x z xz z x zx− + + + − = ⇔ + − − + + zx− 0= ⇔

Vou agrupar:

( ) ( )2 2'' 2 2 ' 0x x z x x z⇔ − + − + = ⇔

Agora vou simplificar, pois vou utilizar uma mudança de variável para “transportar” a equação para uma Equação Linear de 1ª Ordem.



Assim 'w z= , logo ' ''w z= , e substituindo na equação ( ) ( )2 2'' 2 2 ' 0x x z x x z− + − + = , fica:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2' 2 2 0 2 2 0dw

x x w x x w x x x x wdx

− + − + = ⇔ − + − + = ⇔

O que me permite fazer por separação de variáveis:

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 2 0 2 2dw

x x x x w x x dw x x w dxdx

⇔ − + − + = ⇔ − = − − + ⇔

2 2

2 2

1 2 2 1 2 2x x x xdw dx dw dx

w wx x x x

− + − + ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − − ∫ ∫

Antes de tentar integrar o 2º membro, tenho que ter o cuidado de notar que a potência do numerador é igual ao denominador, por isso vou ter que 1º executar a regra de Ruffini (se a potencia do numerador fosse maior, também teria que utilizar esta regra). Só não posso utilizar a regra de Ruffini para números complexos! Mais uma nota, pode parecer fútil e estúpido, mas garanto que não o é, pois vai facilitar. O sinal menos que está fora do integral, vou voltar a pô-lo dentro, mas no DENOMINADOR!

Assim, fica 2

2

2

22 2 22

x xx x

xx xx− +⇔

− +

−−

Regra de Ruffini:

( )2

2 2

1 2 2 1 21

x x xdw dx dw dx dx

w wx x x x

− + − + ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

O 2º termo do 2º membro não é imediato, por isso vou lá utilizando o método de integração dos coeficientes indeterminados.

( )( )

( ) ( )2

12 2

1 1 1 1

A x Bxx x A B Ax A Bx

x x x x x x x xx x

− +− + − + − +→ → + ⇔ ⇔

− − − −−

1 1

2 2

A B B

A A

+ = = ⇔

− = = −

Agora já consigo integrar todos os termos:

( ) ( )2

1 2 1 2 11 1

1

xdw dx dx dw dx dx dx

w w x xx x

− + ⇔ = + ⇔ = + − + ⇔ −− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1ln ln 2 ln ln 1 ln

xx c e x

w e x x e w Ax

−⇔ = − + − + ⇔ =



Agora não me posso esquecer que tenho que devolver o resultado em ordem a “x” e “y”, pois foi assim que me foi apresentado. A variável que fui utilizando para progredir no cálculo tem que ser anuladas, tanto o “w” como o “z”. Assim vou começar por anular o w, ora sei que 'w z= , então fica:

( ) ( )2 2

1 1'

x xe x e xz A z A dx

x x

− −= ⇔ = ⇔

∫

Muito cuidado aqui, pois se não se conseguir perceber este pequeno truque, torna-se muito difícil a sua

integração. É simples, mas muito eficaz, que é o de multiplicar o xe com o ( )1x − , e com isto vou criar mais

dois termos para integrar em vez de um.

2 2 2 2

x x x x x xe x e e x e e ez A dx z A dx dx z A dx dx

xx x x x

−⇔ = ⇔ = + − ⇔ = + −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Agora é uma questão de sorte, pois apesar de nenhum dos dois termos obtidos serem de integração imediata, ao escolhermos um deles e utilizando o método de integração por partes, temos uma solução que nos permite cortar o 2º termo. Qual deles? Aqui só se lá vai por experiencia. É o 1º termo que tenho que integrar.

Não é uma integração imediata, vou ter que utilizar o método de substituição por partes (MPP).

' '

' '


. .

u v u v u v

uv u v u v

= −

= −

∫

∫


xu e= ' xu e=

Formula: ' '. .u v u v u v= − ∫ 1v

x= '

2

1v

x= −

Fica (só o 1º termo): ( ) ( )' '2 2

1 1. .

x xx x e e

uv e e dx uv dxx xx x

= ⇔ =

− +

−∫ ∫

Agora integrando o 1º termo, fica:

22

x x xxez A d

ex z A

x

e edx dx

x x x

⇔ = + − ⇔ =

+

∫∫ ∫ 2

xedx

x

+ −

∫

Milagre!

B

+ ⇔ ��

xAz e B

x= +



3º passo, ora como sei que y zx= , então fica

x xAy e B x y Ae Bx

x = + ⇔ = +

Confirmação - ora eu sei que uma Equação Linear de 2ª Ordem tem duas soluções particulares. Como descobri, por inspecção a 1ª, que é 1y x= , onde é que ela está?

É o segundo termo!, pois se 1B = , tenho com 1y x= . Logo também consigo saber o valor de 2y , pois basta-me

igualar o 0B = e o 1A = , e fica 2xy e= .

19.3 – Calcular ( ) ( )2 22 ' '' ' 4 ln 0yy xyy x y xy y+ − + =

Resolução – classificação, Equação Linear, de 2ª Ordem, Incompleto, e de Coeficiente Não Constante. 1º passo, agora em vez de ir pela inspecção vou por uma caminho mais complexo, mas seguro, pois pela mudança de variável dependente, nunca falha.

( )

( )

2

2 2 2

'' ' ' ' ' .

' ' '' ' . ' '' '. . '

z z z z

x x x x

z z z

x x x

z z x zy e y e y e y e

x x

z x z z x z z x zy e y e e

x x x

− = → = ⇔ = ⇔ =

− − − → = ⇔ = +

2 2 2 2 2 2 2

' ' ''' '.

'. ' '' ' ' .

'.

z z z z

x x x xz x z z x z

x x

z x z z x z z z x zy e e y e e

xx x x x x

− ⇔ = − + ⇔ = + − + ⇔

− −

22

2 4 2

'' ' ' 2 ' '''' . ''

z z

x xz x z z x xz z x z z x

y e e yx x x

− − ⇔ = + ⇔ =

−−

2x

2

2

' 'z z x

x− −

4x

2 x+

4

z

x

2

2 2

' z

xz x z

x xe

+ ⇔

−

2

2 2

2 4 22 3

'' ' ' 2'

' 2 ''

z

xz x z xz z

x x

z z z zy e

x x x x x

− +

⇔ = − − + + ⇔

( )2 2

2 2 3

''' ' ' 2''

z xz z z zy

x x x x⇔ = − − − +

4x

( )22 2

3 4 2 3 2 3 4

'2 ' '' 2 ' 2 2 '''

z z

x xzzz z z z z zz z

e y exx x x x x x x

− + ⇔ = − + + − + ⇔

Substituindo ( ) ( )2 22 ' '' ' 4 ln 0yy xyy x y xy y+ − + = , fica:

( )2 22 2

2 2 3 2 3 4 2

'' '' 2 ' 2 2 ' '2 . . 4 ln 0

z z z z z z z

x x x x x x xzz x z z z z zz z z x z

e e x e e x e x e exx x x x x x x

− − + − + + − + − + =

2z

xe2

'.

z

xz x z

ex

−

z

xx e

+

( )2 2

2 3 2 3 4

''' 2 ' 2 2 ' z

xzz z z zz z

ex x x x x x

− + + − +

2

'.

z

xz x z

x ex

− −

2 2

4z

xx e

+ ln 0

z

xe

=



( )2 22

2 2 3 2 3 4 2

'' '' 2 'ln

2 2 ' '2 4 0

z

xzz x z z z z zz z z x z

x x xxx x x x x x

ex

− − + − + + − + − + =

Ora como sei que lnz

xz

ex

=

( )2 2

2 2 3 2 3

2

24

'' '' 2 ' 2 2 'l

'n2 4 0

z

xx zz x z xz xz xz xzz xz z x z

xxx x x

ex

xx xx

−

− + − + + − + − + =

Cuidado, pois não posso multiplicar tudo por “x”,

22 2

2 2

' 'z x z z x xzx

x x

− − ≠

, pois está elevado ao quadrado!

2

'2

z x z x

x

− +

''z

x

2 x−

2

'z

x

2 x+

3

z

x

x+

( )2

2

'z

x

2 x−

3

'zz

x

x+

2

4

z

x

2

2

'4

z x zx

xx

−

− +

z

x0=

2 'z

x 2

2z

x−

2 '''z

z

x−+

2

2z

x+

( )2 22

2 3 2

' 2 ' '4 0

z zz z z x zx z

x x x x

− + − + − + =

( )2 2

2

2

3 2

''' 4 0

' 2 'z zz z z x zz x z

x x x x

− + − +

+ =−

Calculo auxiliar:

O segredo está aqui ( )2 2

2 3

' 2 'z zz z

x x x− + , vou começar por por tudo com o mesmo denominador:

( ) ( )2 23 3 22

2 3 3

' ' 2 '2 'z x z x zz zzz z

x x x x

− +− + = = agora multiplico TUDO por “x”

( ) ( )

( )

2 23 324 4 2

24 2

2

2

' 2 ' ' 2 ' 'x z x zzx z zx

x

x zz xx

x x

z x zz − + = = =

+ −

−

Agora, volto ao exercício, e substitui,

( )2 2

2 3

2

2 2

2'

'' 4 0 ''' 2 ' 'z x z

z xz x z

xx

z zz z

x xxz

xz

− + − + = ⇔ +

−

+

−2

2

'z x zx

x

− −

4 0z+ =

'' 4 0z z+ =

Como tem coeficientes constantes, poso resolver pela equação característica:

2 4 0 2r r i+ = ⇔ = ±

Solução Geral da equação dada: ( )cos(2 ) sin 2z A x B x= +



E como sei que ( ) ( ) ( )ln ln ln ln .z z

x xz

y e y e y z y xx

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Então, e substituindo, fica ( ) ( )ln . cos(2 ) sin 2y x A x B x= +

19.4 – Calcular ( )3 5'' 2 15 ' 54 0xy x y x y− + + = , utilizando a mudança de variável 3t x=

Resolução – classificação, Equação Linear, de 2ª Ordem, Incompleto, e de Coeficiente Não Constante. 1º passo, aqui muito cuidado! Pois no exercício dois, era a variável dependente, mas aqui é a variável INDEPENDENTE. Aqui a chamada de atenção deve ao facto de que agora vou tratar de “t” como se fosse uma função e não uma constante. Logo não pode ir a zero. Vou ter que usar a regra da cadeia. O problema surge na 2ª derivada, pois começa a complicar, por isso vou fazer “devagarinho”.

Como sei que 3t x= , então também sei que 1

3x t= . Vou calcular as respectivas derivadas (1ª e 2ª), de “y”, para poder substituir na equação dada.

Assim sendo fica 'dy

ydx

= , mas como não tenho mais a variável independente “x”, mas sim “t”, tenho que

multiplicar por dt

dt.

' .dy dy

ydx dx

dt

dt= = , e agora vou fazer com que seja possível derivar “y” com a nova variável “t”. ' .

dy d dt

dt

yy

dx dx= =

Agora, com sei que 3t x= , posso derivar em ordem a “t”, e fica ( ) ( )'3 2' 3x

dtt x x

dx= = = . Assim fica

2' . .3ddy dy dy

y xdx dx

t

dt dt= = =

Agora tenho aqui um passo importante, que é o de substituir o “x” pelo “t”. Quanto ao 3, como é uma constante pode vir para o inicio.

21 22 3 3' . .3 3 . 3 .

dy dy dy dy dyy x t t

dx

dt

ddt dt d tx t d

= = = = =

Já está. Este passo era o mais fácil. O passo que requer mais atenção é o próximo, pois é a 2ª derivada. Nota, não devo de começar pelo valor da 1ª derivada, pois como se está no inicio, poderá não se perceber as trocas de variável. Por isso vou começar desde do inicio, na certeza porém, que as regras são as mesmas.

2

2''

d y dy

d

dy

dxdx x

= =

223

2'' 3 .

dyd y d d dyy

dx dtt

dx dxdx

= = =



2 223 3

2'' 3 . . 3 . .

d y d d dy d dyy

dy dt dt

dx dt dtt t

dx dx dt dt dxdx

= = = =

Ora como sei que 3t x= , então o valor de dt

dxé fácil de calcular, pois é ( )'3 23

xx x= .

Então também já posso substituir este termo, e fica

( )2 2 223 3 3

22'' 3 . . 3 . . 3 . . 3

dy dt

dx dt

d y d d dy d dy d dyy t t t

dx

dtx

dxdx dt dt dt dt dtdx

= = = = =

Agora para tornar mais apresentável vou por as constantes cá fora.

( )2

23'' 9 . .d dy

y t xdt dt

=

Aqui faço a mesma observação que fiz na 1ª derivada, que é a de fazer “desaparecer” o “x”, pois a minha variável é “t”.

22 1 2 2

3 3 3 3'' 9 . . 9 . .d dy d dy

y t t t tdt dt dt dt

= = =

Agora vou derivar 2

3.d dy

tdt dt

, mas tenho que ter cuidado pois é um produto! É aqui que se dá o engano (e não

só). Nestes passos é preciso ter-se muito cuidado, pois aparecem muitos termos repetidos, e é necessário trocar-se de “t” por “x”, e no fim de “x” por “t”. Mas como é mecânico, basta fazer uns três ou quatro exercícios, e depois é sempre a mesma coisa.

2 2 2 223 3 3 3

2

2

3. . .d dy d dy dy d d y dy

t t t tdt dt dt dt dt dt

dt

ddd ttt

= + = +



O termo a ter cuidado é este 2

3d

tdt

, pois essencialmente, se eu notar de outra forma matematicamente fica

mais visualmente atraente de resolver. '2 2 2 1

13 3 3 3

2 2

3 3t

dt t t t

dt

− − = = =

Pronto, agora vou substituir na fórmula 2 2 2 223 3 3 3

2

2

3. . .d dy d dy dy d d y dy

t t t tdt dt dt dt dt dt

dt

ddd ttt

= + = +

E fica 2 123 3

2

2 2 2

3 3 3. .2

.3

d dy d dy dy dt t t

d y dyt t

dtdtdt dt dt dt dt dt

− = + =

+

Agora vou substituir na fórmula anterior

22 1 2

3 3 3 3

2

'' 9 . . .9 .d dyd dy

y t t td

tdt dtt dt

= =

2 123 3

2

22 1 2

3 3 3''2

.3

9 . . 9 .d y dy

t tdtd

d dyy t t t

dt dt t

− +

= =

2 2

3 3

2 1

3 32

2'' 9 .

29

3t

d y dyy

dtdt

tt t

− = +

Vou juntar as constantes 4 123 3

2'' 9 6

d y dyy t t

dtdt

= +

Agora com uma apresentação mais “limpa”, pois é aquela que estou habituado a ver as equações diferenciais (apesar de a notação não ser relevante, mas ajuda).

4 1

3 39 6 ''''' t y tyy

= +

Agora muito cuidado!



A notação mais correcta até é

( )( ) ( )( ) ( )( )4

321

2 139 6t tx

y yty t

= +

Finalmente cheguei ao fim das derivadas. Mas o exercício ainda não acabou. Mas a partir daqui já é fácil, pois é só substituir.

( )3 5'' 2 0' 15 54yx x x yy − + + =

( )( ) ( )( )4 1

2 1321 1 1

3

3 5

333 39 6 2 15 3 . 54 0t t

y t y tt t tdy

tdt

y

+

−

+ + =

Não posso substituir y , por não sei o seu valor, uma vez que o que eu substitui no inicio do exercício foi a

variável independente e não a dependente.

3 54 1 1 1 2 1 2 13 3 3 3 3 3 3 39 '' 6 ' 2 3 ' 15 3 ' 54 0y t t y t t y t t y t t y− +

+ + =

5 2 2 5 5

3 3 3 3 39 '' 6 ' 6 ' 45 ' 54 0y t y t y t y t t y

+ − + =

−

5 2

3 39 '' 6 'y t y t+2

36 'y t−5 5

3 345 ' 54 0y t t y− + =

Vou dividir TUDO por 2

3t

9 '' 45 54 0dy

y ydt

− + =

Vou dividir TUDO por 9 '' 5 ' 6 0y y y− + =

Tem os coeficientes constantes, posso ir pela equação característica:

2 5 6 0 2 3r r r r− + = ⇔ = ∨ =

Solução Geral 2 3t ty Ae Be= +

Mas ainda não é bem a geral, pois tem a variável “t” associada a equação, e eu sei que se recebo a equação com as variáveis “x” e “y”, é com estas variáveis que termino o exercício. Como sei o valor de “t”, é só substituir.

3t x=

Fica para a Solução Geral 3 32 3x xy Ae Be= +

Uma nota: quando se utilizou a mudança de variável, só tinha um objectivo, que era a de chegar a uma equação em que poderia utilizar a equação característica, essa sim é de fácil resolução.

Terminou!



19.5 – Calcular ( )4 3 2'' 2 10 ' 29 0t y t t y y+ + + = , utilizando a mudança de variável 1

tx

=

Resolução – classificação, Equação Linear, de 2ª Ordem, Incompleto, e de Coeficiente Não Constante. 1º passo, aqui muito cuidado! Pois é igual ao exercício três, é com mudança de variável INDEPENDENTE. Aqui a chamada de atenção deve ao facto de que agora vou tratar de “x” como se fosse uma função e não uma constante. Logo não pode ir a zero. Vou ter que usar a regra da cadeia. O problema surge na 2ª derivada, pois começa a complicar. Outra das dificuldades é o fingir que se troca de uma variável independente de “t” para “x”. É apenas uma pequena ilusão que visa baralhar o pensamento, pois está-se habituado a fazer do modo do exercício três. Mas não há que recear. Temos é de ter em atenção a mecanização, pois aí é que se comete o engano. Vou calcular as respectivas derivadas (1ª e 2ª), de “y”, para poder substituir na equação dada.

Assim sendo fica 'dy

ydt

= , mas como não tenho mais a variável independente “t”, mas sim “x”, tenho que

multiplicar por dx

dx.

' .dy dy

ydt dt

dx

dx= = , e agora vou fazer com que seja possível derivar “y” com a nova variável “t” ' .

dy d dx

dx

yy

dt dt= =

Agora, com sei que 1

xt

= , posso derivar em ordem a “x”, e fica ( )'

2

1 1'

t

dxx

dt t t

= = = −

. Assim fica

2

1' . .

dy dy dyy

dt dt

dx

dx dx t

= = = −

Agora tenho aqui um passo importante, que é o de substituir o “t” pelo “x”.

2 2

1 1'

1. .

dy dy dx d

t

y dyy

dt dx dt x dx

x

d

= = = − = −

( )22' . . . '

1dy dy dy dy dy dyy y x

dt dt dt dx

dx dx

dx

dx

d dx tx xd td

= = = = ⇔ = = ⇔ =−

−

Já está. Este passo era o mais fácil. O passo que requer mais atenção é o próximo, pois é a 2ª derivada. Nota, não devo de começar pelo valor da 1ª derivada, pois como se está no inicio, poderá não se perceber as trocas de variável. Por isso vou começar desde do inicio, na certeza porém, que as regras são as mesmas.



2

2''

d y dy

d

dy

dtdt t

= =

2

2''

dy dy dy

dt d

d y d d dy

dt d tt dt

dx dx

dx dxt dd t

= = = = =

Já sei dy

dt, e também consigo saber 2dx

xdt

= − . Agora é só substituir.

Cálculo Auxiliar:

Agora vou derivar ( )2dyx

d dx

d

x −

, mas tenho que ter cuidado pois é um produto! É aqui que se dá o engano (e

não só). Nestes passos é preciso ter-se muito cuidado, pois aparecem muitos termos repetidos, e é necessário trocar-se de “x” por “t”, e no fim de “t” por “x”. Mas como é mecânico, basta fazer uns três ou quatro exercícios, e depois é sempre a mesma coisa.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22

2 2 2 2d dy dy

x xdx dx

dyx

dx

d dy d d yx x

dx dx dx dx dx

− − − = − + = − + =

Para simplificar, vou multiplicar por “-1”.

( )2 22

22

d yx

dx

d dyx

dx

d

x

y

dx

dx

− = +

Pronto, agora vou substituir na fórmula

2

2

Foi o cálculo auxiliar que fiz!

22

2

' 2'd dd y d dy d dy dx dx dxy d y dy

x xdx dt dx

ydt dt dt dt dx dt dtxdt d

= = = = = =

+

��

Como também sei o valor de 2dxx

dt= , valor que foi calculado aquando da 1ª derivada, fica

2 22 3

2 22'' 2 '' 2

d y dy d y dyy x x y x x

dx dxdx dxx

= + = ⇔ = +

Agora vou substituir na formula anterior ( )4 3 22 10 ' 0' 9' 2yt t t yy + + + =

( ) ( )4 32

22

23 2 10 29 02d y dy

x xdx

dyxt

dt

xdxt y

+

−

+ +

+ =



Também sei o valor de “t” que é 1

tx

=

( )4 3 22

3 22

1 1 12 2 10 29 0

d y dy dyx x x y

x dx x x dxdx

+ + + − + =

( )2

3 24 2 3 2

1 1 12 2 10 29 0

d y dy dyx x x y

dx dxx dx x x

+ + + − + =

( ) ( )3 2 3

2 24 2 4 3 2

. 2 1 12 10 29 0

x x d y x dy dy dyx x y

dx dx dxx dx x x x

+ + − + − + =

4

4

x

x

2 3

2

2d y x

dx

+

4x 3

12

dy

dx x

+

2dyx

dx−( ) 2

110

x+ 2dy

xdx

−( ) 29 0y

+ =

2

2

2d y dy

x dxdx

+

2 dy

x dx− 10 29 0

dyy

dx+ =−

'' 10 ' 29 0y y y+− =

Tem os coeficientes constantes, posso ir pela equação característica:

2 10 29 0 5 2r r r i− + = ⇔ = ±

Solução Geral ( ) ( )( )5 cos 2 sin 2xy e A x B x= +

Mas ainda não é bem a geral, pois tem a variável “x” associada a equação, e eu sei que se recebo a equação com as variáveis “t” e “y”, é com estas variáveis que termino o exercício. Como sei o valor de “x”, é só substituir.

1x

t=

Fica para a Solução Geral 5 2 2cos sinxy e A B

t t

= +

(não esquecer de multiplicar por 2.

Uma nota: quando se utilizou a mudança de variável, só tinha um objectivo, que era a de chegar a uma equação em que poderia utilizar a equação característica, essa sim é de fácil resolução.

Terminou!

20 – Sabendo que a equação diferencial ( )'' 4 ' 0y xy Q x y+ + = admite duas soluções da forma 1y u= e

2y xu= , onde ( )0 1u = , determine a solução geral da equação.

Resolução 20 - Ora se 2y xu= , então 2 ' ' 'y x u xu= + (cuidado com as confusões pois é em ordem a “x”).

Assim, 2 ' ' ' 'y x u xu u xu= + = + e a 2ª derivada é 2 '' ' ' '' 2 ' ''y u u xu u xu= + + = +

Substituindo na formula ( )'' 4 ' 0y xy Q x y+ + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 ' '' 4 ' 0 2 ' '' 4 4 ' 0u xu x u xu Q x xu u xu xu x u Q x xu⇔ + + + + = ⇔ + + + + = ⇔

( )22 ' '' 4 4 ' 0u xu xu x u Q x xu⇔ + + + + = ⇔



Agora vou dar uma arrumação, para se ter uma melhor visibilidade daquilo que pretendo fazer a seguir:

( )2'' 4 ' 2 ' 4 0xu x u Q x xu u xu⇔ + + + + = ⇔

( )( )'' 4 ' 2 ' 4 0x u xu Q x u u xu⇔ + + + + = ⇔

Aqui é preciso ter muito cuidado, por este agrupamento não é feito ao acaso, pois secorri-me da equação dada, que é

( )'' 4 ' 0y xy Q x y+ + =

( )( ) ( )0

'' 4 ' 2 ' 4 0 0 2 ' 4 0 2 ' 4 0x u xu Q x u u xu x u xu u xu

=

⇔ + + + + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔��

( ) ( ) ( )12 4 2 4 2

duxu du xu dx du x dx

dx u ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

( )221

2 ln ln ln x cdu x dx u x c u eu

− + ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = ⇔ ∫ ∫

�2 2 2

ln ln x c x x

D

u e e u De u Ke− − −

=

⇔ = ⇔ = ± ⇔ =

Como no enunciado me é dito que ( )0 1u = , ( )20 1 .1 1 1Ke K K−→ = ⇔ = ⇔ =

Se 1K = , então 2 2x xu Ke u e− −→ = ⇔ =

Substituindo na equação dada, fica 2 2

1 2 , com A e B x xy y y Au Bxu Ae Bxe− −= + = + = + ∈� .

Nota: 1 2y y+ são as duas soluções particulares independentes que me são dadas no enunciado.



21 – Determine a solução geral da equação 2 '' ' 0x y xy y+ − = , sabendo que se ( )u x é uma solução então

( )1

u x também é solução (é de notar de que se trata de uma equação de Euler).

Resolução 21 - Sei que se 1

yu

= , então 2 2

1'. 1. ' ''

u u uy

u u

−= = − .

Cuidado aqui! Pois há a tendencia de fazer 2

1

u− , mas derivada não é em ordem a “u” mas sim em ordem a “x”.

A 2ª derivada é ( )

( )( ) ( )2 22 2

2 4 32

''. 2 ' ' ''. 2 ' ''. 2 '''

u u uu u u u u u u u uy

u uu

− − − − + − += = = .

Substituindo na equação dada, fica 2 '' ' 0x y xy y+ − =

( ) ( )2 2222

3 2 2 3 2

''. 2 ' 2. . '' 1 . '' . ' 10 0

u u u x uu x u x ux x

u uu u u u u

− + + − − = ⇔ − + − − = ⇔

Agora vou multiplicar TUDO por 3u

( )222 2 3

2 3 2

32. . '. '' . ' 1 .0 .

x ux u x u x u

uu

u u u

⇔ − + − −

= ⇔ −2

. ''u

u

2 32. .x u+

( )2

3

. 'u

u

3.x u−

2

'u

u

31.u−

2

u

→

0= ⇔

( )22 2 2. . '' 2. . ' . . ' 0x u u x u x u u u− + − − =

Agora vou arranjar de modo a ficar igual a equação dada

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2. . '' . . ' 2. . ' 0 . '' . ' 2. . ' 0x u u x u u u x u u x u x u u x u− − − + = ++ +⇔ − =

Cuidado com o sinal pois estou a por em evidencia o " "u− .

Sei que 2 '' ' 0x y xy y+ − = , então ( ) ( )2

2

''

2

'

22. ..' '' '. 0

xx y y y

u x uu ux xu

= + −

− + + + =��

Tenho um problema, pois não é igual! O 3º termo tem sinal contratrio. Então forço para que seja igual da seguinte forma:



Como já é igual, vou continua,

( ) ( ) ( ) ( )2

2

''

22 2 2 2

'

22 2 ' 0 0 2 2 ' 0'' '

y yx y x

u u x uu ux u ux uu x

= + −

− + − − + = ⇔ − − + = ⇔��

( )( ) ( )

22 22 22 2 22 2 ' 0

' 0 '2

u x uu x u xu u

− + =⇔ ⇔ − + = ⇔ = ⇔

Tenho que separar o quadrado, pois a dois valores simetricos

' 'xu u xu u= ∨ = − ⇔

du u du u

dx x dx x⇔ = ∨ = − ⇔

1 1 1 1du dx du dx

u x u x ⇔ = ∨ = − ⇔

ln ln ln lnu x c u x d⇔ = + ∨ = − + ⇔

1ln ln ln ln ln lnc du x e u x e−⇔ = + ∨ = + ⇔

1

1 2ln ln ln lnu K x u K x−⇔ = ∨ = ⇔

21

Au A x u

x⇔ = ∨ = ⇔

Solução Geral , com A, B B

y Axx

= + ∈�

Nota - poderia ter usado o metodo de Euler.



22 – Calcule a solução geral da equação 2 2 2'' ' xx y xy y x e−+ − =

Resolução 22 - Não posso utilizar a equação caracteristica, pois o coeficiente não é uma constante!

– 1º passo, resolver a Equação Diferencial Linear Incompleta, que consiste em torna-la homogénea:

2 '' ' 0x y xy y+ − =

Recordar –

As equações lineares de 2ª ordem com a forma ( )2 '' 'ax y bxy cy f x+ + = , com a, b, c ∈� , é designada por

equação de Euler de 2ª ordem. Por meio da substituição da variavel independente tx e= , estas equações podem ser reduzidas a equações lineares de 2ª ordem de coeficientes constantes. Vou então calcular a Equação de Euler: Seja tx e= , que é a regra para a resolução de Equação de Euler, fica ( )lnt x=


1 1

' ' . ' . ' .t


dx d dx d

t

x et tdt= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2

2

1 1'' '' . '' . . '' . .

t



t

t t et x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

( )2

21 1 1 1 1'' . . . . . '' . . .t

t t t t t



⇔ = + ⇔ = + − ⇔

2 2 2

2 1 1'' .

t t

d y dyy

d e et td= −

Agora é só substituir: 2

22

22 2

1 1 1'' ' 0 . . 0

t t t

d y dy dyx y xy

t ty x x y

d e e dtd e

+ − = ⇔ − + − =


2 22

2 2 22

2

1 1 1. . 0 .t t t

t t te e

d y dy dy d yy

d e ee

t t e td d dt

− + − = ⇔

2

1te

2te−2

1te

. 0t

t

e

t t e

dy dyy

d d+ − = ⇔



2

2

t

d y

d dt

dy⇔ −

t

dy

d+

2

20 0

d yy y

dt− = ⇔ − =

Aqui é preciso olho bem vivo, pois parece confuso, mas não é, é a notação que está diferente, pois na realidade o que tenho é:

'' 0y y− =


22 0 2 4

'' 0 1 0 1 02

b b acy y r r r r i

a

− ± −− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = ±

, com e LHA

By Ax A B

x= + ∈�

2º passo, e não posso socorrer-me da tabela da pagina 97, pois também aqui tenho os coeficiente variaveis! Por isso vou utilizar o Metodo da Variação da Constante (MVC).

[ ] 2 2

' ' ' '' ' ' ' '

B x Bx B x B B xy A x Ax A x A A x A

x x

− − = + + = + + = + +

2x2 2

''

B B BA x A

xx x− = + + −

Agora vou agrupar, pois a seguir vou impor uma condição:

2

'' '

B By A x A

x x = + + −

Vou então impor que '

' 0B

A xx

+ = , ficando assim com a seguinte igualdade

2'

By A

x= −

( )( )

'2 2' 2 2

2 2 42

'. . '. 2 ''' ' ' '

B x B xB B x Bx B xy A A A A

x xx

− − = − = − = − = − 4x 2

2B x→

+4x 2 33

' 2'

B BA

x x→= − +

Agora substituindo na equação dada 2 2 2'' ' xx y xy y x e−+ − =

2 2 22 3 2

' 2' xB B B B

x A x A Ax x ex x x x

− − + + − − + =

22 '

'B x

A x −2x

22B x+

3x

B xAx

+ −

2x

2 2xBAx x e

x−

− + =



2' '2

A x BB

x− + Ax+

B

x− Ax−

B

x− 2 2 xx e−=

2 2 2' ' xA x B x e−− =

Vou utilizar a condição que impus '

' 0B

A xx

+ = , é de notar que o que vou fazer matém a igualdade e facilita-me

os calculos:

2' '' 0 . '

B B xA x A x

xx

+ = ⇔ +x

2 20 ' ' 0 ' 'A x B A x B= ⇔ + = ⇔ = −

2

2 2

2 2 2 2 2 22 2 2

' '' 0 ' ' ' ' 2

' ' 2 '' ' '2

x

x x xx

eB AA x A x B A x Bx

B B x e B x e x eA x B x e B

−

− − −−

= + = = − = −

⇔ ⇔ ⇔ − − = − = − = = −

Calculando individualmente, fica 2 2

'2 2

x xe eA A dx

− − = ⇔ = ⇔

∫

( ) 2 21

12

1

2 2x xA e dx A e K− − ⇔ = ⇔ = − +

− − ∫

E para o B, fica 2 2 2 2

2 21'

2 2 2

x xxx e x e

B B dx B x e dx− −

− = − ⇔ = − ⇔ = −

∫ ∫


21

2xm e−= −

2' xm e−=

21

2n x= −

'n x= −

( ) ( )2 2 21 1 1. . ' .

2 2 2x xB m n m n dx B e x e x dx− −

= − ⇔ = − − − − − ⇔

∫ ∫

2 2 21 1

4 2x xB e x xe dx− − ⇔ = − ⇔

∫

Vou voltar, de novo, a utilizar, na integração, o metodo de substituição por partes (MSPP):



21

2xm e−= −

2' xm e−=

1

2n x=

1'

2n =

( ) 2 22 2 1 1 1 1. . ' . .

2 2 2

1

4 2x x xB m n m n dx B e x e de x x−− − = − ⇔ = − − − − ⇔

∫ ∫

2 2 2 2 2 22

22

21

4

1 1 1 1 1

4 8 4 4 8x x x x xxB xe e K B e x xe e Ke x − − − − −−

⇔ = − − − + ⇔ = + + +

3º passo – Solução Geral, como , com e y x A Bx

BA= + ∈� ,

e 2

1xA e K−= − + ,

e 2 2 2 22

1 1 1

4 4 8x x xB e x xe e K− − −= + + +

Fica:

( )1

2 22

2

1 1 1

, com 8

4 4

ex

xe x x

y x Ae K Bx

K−

−

+ + +−

= ++ ∈�

23 – Sabendo que 2

1 2y C x C x= + é a solução da equação 2 '' 2 ' 2 0x y xy y− + = , utilize o metodo da variação das

constantes para determinar a solução geral da equação ( )2 '' 2 ' 2 lnx y xy y x x− + = .

Resolução 23 – Ora, é-me dito que 2y Ax Bx= + , é a solução geral da equação 2 '' 2 ' 2 0x y xy y− + = . Vou utilizar o MVC para resolver a eqação.

( )2 '' 2 ' 2 lnx y xy y x x− + =

Aplicando o MVC - 2y Ax Bx= +

2' ' ' 2y A x A B x Bx= + + +



Vou impor a condição de que 2' ' 0A x B x+ = , então ' 2y A Bx= +

'' ' 2 2 'y A B B x= + +

Agora vou substituir na equação, ( )2 '' 2 ' 2 lnx y xy y x x− + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 2 ' 2 2 2 lnx A B B x x A Bx Ax Bx x x⇔ + + − + + + = ⇔

( ) ( ) ( )2 2 3 2 2' 2 2 ' 2 4 2 2 lnA x Bx B x Ax Bx Ax Bx x x⇔ + + − + + + = ⇔

2 2' 2 xA x B+⇔ 3 22 ' AB x x+ − 24Bx− 2Ax+ 22Bx+ ( )lnx x= ⇔

2'A x⇔ 32 'B x+ 2 x→ = ( )ln x ⇔

( )2' 2 ' lnA x B x x+ =

Tenho duas variaveis e duas igualdades, posso então resolver o sistema:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

2

2 22

2

ln'' 2 ' ln ' ln' 2 ' ln

ln' ' ' '' ' 0'

xAA x A x x A x xA x B x x x

xB x A x B x A xA x B xB

x

= − + − = − =+ =

⇔ ⇔ ⇔ = − = −+ = =

Agora vou integrar um de cada vez, começando pelo “A”.

( ) ( ) ( ) ( )2

1

ln ln ln1' ln

2

x x xA A dx A x dx A K

x x x

= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + ⇔

∫ ∫

( )21

1ln

2A x K= − +

Agora para o “B” .

( ) ( ) ( )2 2

ln ln ln1'

x x xB B dx B dx

x x x x

= ⇔ = ⇔ = ⇔

∫ ∫


1m

x= −

2

1'm

x=

( )lnn x=

1'n

x=

( ) ( )1 1 1. . ' ln .B m n m n dx B x dx

x x x

= − ⇔ = − − − ⇔

∫ ∫

( ) ( )( )2 2

1 1 1ln ln 1B x K B x K

x x x⇔ = − − + ⇔ = − + +



Solução Geral 2y Ax Bx= +

( ) ( )( )2 21 2

1 1ln ln 1

2y x K x x K x

x

= − + + − + +

24 – Use a mudança de variavel independente definida por ( )lnt x= para resolver o problema 2 2'' ' 2 6x y xy y x+ + = − , com ( )1 2y = e ( )' 1 0y = .

Resolução 24 – cuidado com a leitura, pois ( )1 2y = , significa que quando x = 1, então y = 2. Não é indice.

Recordar –

As equações lineares de 2ª ordem com a forma ( )2 '' 'ax y bxy cy f x+ + = , com a, b, c ∈� , é designada por

equação de Euler de 2ª ordem. Por meio da substituição da variavel independente tx e= , estas equações podem ser reduzidas a equações lineares de 2ª ordem de coeficientes constantes. Vou então calcular a Equação de Euler: Seja tx e= , que é a regra para a resolução de Equação de Euler, fica ( )lnt x=


1 1

' ' . ' . ' .t


dx d dx d

t

x et tdt= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2

2

1 1'' '' . '' . . '' . .

t



t

t t et x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

( )2 2 2 2

2 21 1 1 1 1 1 1'' . . . . . '' . . . '' .t

t t t t t t t

d dy dy d d y dy d y dyy y e y

d d e d d e et t t t t t t td e d e d e e d−

⇔ = + ⇔ = + − ⇔ = − ⇔

22

2'' td y dy

dty

dte−

= −




2 2 2 22

22'' ' 2 6 2 6t td y dy dy

x y xy y x x e xe ydtdt

xd t

− − + + = − ⇔ − + + = − ⇔


22

2 22 2

22 6

tt t t t

t

d y dy dye e e y x

d d d e

ee

t t t− −

⇔ − + + = − ⇔

2

2 t

t

d y dy e

dt td e

− +

22 6dy

y xtd

+ = − ⇔

2

2

t

d y

d dt

dy⇔ −

t

dy

d+

2

22 22 6 2 6

d yy x

dty x+ = − ⇔ + = −

Aqui é preciso olho bem vivo, pois parece confuso, mas não é, é a notação que está diferente, pois na realidade o que tenho é:

2'' 2 6y y x+ = − Agora já consigo perceber qual o caminho a tomar para a resolução desta equação, pois vou resolver a Equação Característica (os coeficientes são um, e 2):

'' 2 0y y+ =

2

2 0 2 42 0 2 0 2

2

b b acr r r r i

a

− ± −+ = ⇔ + = ⇔ ⇔ = ±

( ) ( )cos 2. sin 2. , com e LHAy A t B t A B= + ∈�

2º passo, �2

6

ty a e−

= , logo 2' 2 ty ae= e 2'' 4 ty ae=

Agora substituindo na equação dada ( ) ( ) ( )22 2 2'' 2 6 4 2 6t tty y x a ee ae+ = − ⇔ + = − ⇔

24 ta e⇔ 22 ta e+ 26 te= − 6 6 1a a⇔ = − ⇔ = −

Como 2ty ae= , então posso afirmar que a solução particular é 2ty e= −

Assim ( ) ( ) 2cos 2. sin 2. , com e LHAty A t B et A B= + − ∈�

( )( ) ( )( ) 2cos 2. sin 2. , comln ln e LHA x x xy A B A B= −+ ∈�

Mas neste momento já consigo calcular o “A” e o “B”, pois é-me dado no enunciado: “ … com ( )1 2y = e

( )' 1 0y = ”.



Assim sendo

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )' '

' 2. sin 2. 2. cos 2. , com l en ln ln ln 2x x xy A B Ax Bx−= − + ∈�

( )( )( ) ( )( )( )1 1ln' 2. sin 2. 2. cos 2. , coml en 2 y A B x x Ax

xB

x = − + ∈ −

�

( )( ) ( )( )2 2' sin 2.ln cos 2.ln 2 , com e

A By x x x A B

x x

−= + − ∈�

Agora vou resolver o sistema

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

2cos 2.ln sin 2.ln1 2

2 2' 1 0

1 1 1

1 1 1 11 1

' sin 2.ln cos 2.ln 2

1y A By

A By y

= +=

−

⇔ ⇔ −= = + −

( ) ( )( ) ( )

01

0 1

3cos 0 sin 0 1 2 1 2

2 22 22 sin 0 2 cos 0 2 0

2 2

AA B A

BBA B

==

= =

= + − = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

==− + − =

� �

��

3

2

A

B

=

⇔=

2

2

3

2

A

B

=

⇔ =

Resposta ( )( ) ( )( ) 23cos 2.ln 2 sin 2.ln , com e y x x x A B= + − ∈�



25 – Considere a seguinte equação diferencial ( )21 '' 4 ' 2 0x y xy y+ + + = . Se y xz= , mostre que a equação se

transforma em ( ) ( )2 21 '' 4 ' 2 2 1 ' 2 0.x x z xz z x z xz + + + + + + =

Resolva esta equação fazendo ( )21 ' 2u x z xz= + + e dê a solução geral da equação inicial.

Resolução 25 – como y xz= , então ' ' ' 1. ' 'y x z xz z xz z xz= + = + = + e

( )'' ' ' ' '' ' 1. ' '' 2 ' ''y z x z xz z z xz z xz= + + = + + = +

subsituindo na equação, fica ( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 '' 4 ' 2 0 1 2 ' '' 4 ' 2 0x y xy y x z xz x z xz xz+ + + = ⇔ + + + + + = ⇔

( ) ( )2 22 3 23 4 22 ' '' 2 ' '' 4 4 ' 2 0 2 ' '' ''2 ' 4 ' 0z xz x z x z xz x z xz z xz x zx z x zxz xz⇔ + + + + + + = ⇔ + +++++ = ⇔

( )32 22 ' '' '' 0 ''6 6 6'' 2 '6 0' 'xz zz xz x z xzx z x z x z z+ +⇔ + + = + ++ ⇔ =+ ⇔

Apesar de matematicamente estar correcto, estou-me a afastar do que me foi pedido!

Foi-me solicitado para chegar a esta equação ( ) ( )2 21 '' 4 ' 2 2 1 ' 2 0.x x z xz z x z xz + + + + + + =

Assim sendo, não agrupo deste modo 2 232 ' '' ''2 02' 4 '4xx z x zx z xzz z x z ++ ++ ++ =

Mas sim, executo um arranjo de modo a ter a equação pedida ( ) ( )2 3 22 ' '' 2 ' '' 4 4 ' 2 0z xz x z x z xz x z xz+ + + + + + = .

( ) ( )2 3 2'' '2 ' 2 ' 4' 4 ' 2 0z x z xzxz x z x z xz⇔ + + + + + + = ⇔

( ) ( )3 22 2 ' 2 ' 4 0'' '' 4 ' 2xz x z x z x z x zz z x⇔ + + + + + + = ⇔

( ) ( )2 2'' '' 4 ' 2 '2 ' 2 0z x z xz z z x z xzx⇔ + + + + + + = ⇔

Ainda há diferenças! Falta-me o que esta a azul ( ) ( )2 2'' 4 ' 2 2 21 '1 0x z xz z z xx zx + + + + = + + , e tenho a mais no

2º termo 2 'x z Também me é dito que ( )21 ' 2u x z xz= + + , e apesar de não me pedirem directamente, sou obrigado a calcular a 1ª

derivada, que é (cuidado, pois é um produto):

( ) ( ) ( )2 2 2' 1 ' ' 1 '' 2 ' 2 ' 2 ' 1 '' 2 2 'u x z x z x z xz xz x z z xz= + + + + + = + + + +

Reordenando, fica: ( )2' 1 '' 4 ' 2u x z xz z= + + +



Agora se olhar para a equação ( ) ( )2 21 ' 21 2 0'' 4 ' 2x z xz z xx z xz + = + ++ + + , posso então reescrever da seginte

forma: [ ] [ ]2 0'x u u+ =

Errado fazer isto:

( )' 2 0 ' 2 2 2 .lnu u

xu u u u dx u u x cx x

+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − +

∫

Pois como tenho DUAS variaveis, não se pode fazer isto!

Correcto, é separar as variaveis:

2 2 1 2' 2 0

du u uxu u du dx du dx

dx x x u x

+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

( )21 2ln 2ln ln ln ln cdu dx u x c u x e

u x−

⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = + ⇔ ∫ ∫

2 22

ln ln . c Au x e u Ax u

x− −⇔ = ⇔ = ⇔ =

1º passo, como ( )21 ' 2u x z xz= + + , então

( )22 2

2 1 21 ' 2 0

1 1

dz xz xx z xz dz dx

dx x z x

+ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + +

( ) ( )12 22

1 2ln ln 1 ln ln 1 ln

1Bx

dz dx z x B z x ez x

− ⇔ = − ⇔ = − + + ⇔ = + + ⇔ +

∫ ∫

( ) 122

ln ln 1 .1

Ez x D z

x

−⇔ = + ⇔ =

+

2º passo, vou utilizar o Metodo da variação da constante (MVC), e como é uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem, torna-se simples!

( ) ( )( )

( )( )

'2 2 2

2 22 2

' 1 1 ' 1 2'

1 1

E x E x E x Exz

x x

+ − + + −= =

+ +

Substituindo, fica ( ) ( ) ( )( )

2

2 222 2 22

' 1 21 ' 2 1 2

11

E x ExA E Ax z xz x x

x x xx

+ − + + = ⇔ + + = ⇔ + +

( )21 x⇔ +( )( )

2

2 2

' 1 2

1

E x Ex

x

+ −

+

( )2

2 2

' 12

1

E xE Ax

x x

+ + = ⇔ + ( )21 x+

2

2

1

Ex

x−

+ 2

2

1

Ex

x

+ +

2

A

x= ⇔

2'

AE

x=



Agora vou integrar o “E”:

( )2 1

22 2

'2 1

A A xE E dx E A x dx E A F

x x

− +−

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ − + ∫ ∫

1

E A Fx

= − +

Assim, como 21

Ez

x=

+, e

1E A F

x= − + , fica ( )2

1

vou multiplicar TUDO por “x” 1

A Fxz

x

− += ⇔

+

1

A xx

zx−

⇔ =2 2 2 21 1 1 1

FxA Fx A Fx

zx zxx x x x

+− +

⇔ = ⇔ = − + ⇔+ + + +

Como y xz= , fica 12 2 2 2

1

1 1 1 1

A Fx xy y F F

x x x x

= − + ⇔ = + + + + +

26 – Mostre que a equação ( ) ( ) ( )3''cos 'sin cos 0y x y x y x+ − = admita a solução da forma ( )sina xe .

Dê a solução geral da equação.

Resolução 26 – como ( )sina xy e= , então ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin sin' ' sin ' cos cosa x a x a x a xy e a x e a x e a x e= = = =

e (cuidado, pois é produto) ( ) ( )( )sin'' cos 'a xy a x e= ⇔

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sin sin sin sin'' cos ' cos ' '' sin cos sin 'a x a x a x a xy a x e a x e y a x e a x a x e⇔ = + ⇔ = − + ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin sin2 2'' sin cos cos '' sin cosa x a x a x a xy a x e a x a x e y a x e a x e⇔ = − + ⇔ = − + ⇔

( ) ( ) ( )sin2 2'' cos sin a xy a x a x e = −

Subsituindo na equação, fica ( ) ( ) ( )3''cos 'sin cos 0y x y x y x+ − = ⇔

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )sin sin sin2 2 3cos sin cos cos sin cos 0a x a x a xa x a x e x a x e x e x ⇔ − + − = ⇔

Vou dividir TUDO por ( )sina xe

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3cos sin cos cos sin cos 0a x a x x a x x x⇔ − + − = ⇔

( ) ( ) ( )2 3cos sin cosa x a x x⇔ − ( ) ( )sin cosa x x+ ( )3cos 0x− = ⇔



( ) ( ) ( )( )2 3 3 3 2 2cos cos 0 cos 1 0 1 0 1a x x x a a a⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ±

Ou seja como o “a” pode tomar o valor de 1 e -1, e se eu substituir na 1ª solução dada, que é ( )sin xy e= , e a 2ª

solução é ( )sin xy e−= . Mas tenho que ter cuidado, pois basta duas soluções, mas estas tem que ser independente, e para poder afirmar que elas são independentes, tenho que verificar.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin

1 2 0 0

sin sin1 2

cos cos 2cos 0' ' cos cos

x x

x x

e ey yw e x e x

y y x e x e

−

−= = = − − = − ≠

−

Posso por isso, agora, afirmar que 1y e 2y são soluções independentes da equação dada.

Assim, ( ) ( )sin sinx xy Ae Be−= +

27 – Resolva a equação ( )'' 9 cos 2y y x+ = com ( )0 1y = e 1.2

yπ

= −

Resolução 27 – É sempre conveniente fazer a sua classificação, pois fico com uma ideia do caminho a tomar para a sua resolução. Assim sendo posso classificar esta equação como sendo: - É uma Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem Completa de Coeficientes Constantes. Outra nota muito importante, pois apesar de não estar na equação, falta o seno! Assim a equação correcta é

( ) ( )'' 9 cos 2 sin 2y xy x ++ =

1º passo, a solução associada

'' 9 0y y+ = Posso utilizar a Equação Caracterisitca, pois os coeficientes são constantes (um e nove).

2 0 2'' 9 0 9 0 9 0 3y y r r r r i+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ±

Não me posso esquecer que quando tenho uma solução complexa, fica ( ) ( )cos sin , com e? ? y A B A B= + ∈�

( ) ( )cos sin3 3 , com e y A x B x A B= + ∈�

Cuidado aqui, pois há a tendencia de notar ( ) ( )cos sin , com e y A B Ax x B= + ∈�

– 2º passo, calcular a solução particular. É aqui que se torna importante o facto de se saber que tenho no 2º membro um segundo termo, que está “escondido”, pois é igual a zeo que é “ ( )sin 2x+ ”.



( ) ( )( )sin 2

2 2cos sin , com e

x

y x bxa b a

+

= + ∈��

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' 2 ' cos 2 ' 2 ' sin 2 ' ' 2 sin 2 2 cos 2 , com e y a x x b x x y a x b x a b= + ⇔ = − + ∈�

( ) ( )'' 4 cos 2 4 sin 2y a x b x= − −

Substituindo, fica ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )'' 9 cos 2 4 cos 2 4 sin 2 9 cos 2 sin 2 cos 2y y x a x b x a x b x x+ = ⇔ − − + + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 cos 2 4 sin 2 9 cos 2 9 sin 2 cos 2a x b x a x b x x⇔ − − + + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 cos 2 5 sin 2 cos 2 5 cos 2 5 sin 2 cos 2a x b x x a x b x x⇔ + = ⇔ + =

Cuidado aqui, pois a tendencia é fazer isto ( ) ( ) ( )5 sin 2 cos 2 5 cos 2b x x a x= − ⇔

( ) ( )

( )( ) ( )11 5 cos 2 1 5 1

cotg 2 tg 25sin 2 5 5

a x ab b x b a x

x−− −

⇔ = ⇔ = ⇔ = −

E isto não me diz nada! O que tenho que fazer é resolver o sistema:

( )1

5 1 1cos 25

5 0 50

a ay x

bb

= = ⇔ → =

= =

- 3º passo, a solução geral é ( ) ( ) ( )1cocos 3 sin 3 s 2

5, com e y A x B x A Bx= + + ∈�

Aqui posso realizar mais um calculo, que é o de calcular o valor de A e B, pois é-me fornecido os seguintes dados:

“ … com ( )0 1y = e 1.2

yπ

= −

”

( ) 1 40 1 15 5

1 4112

5 5

y A A

yB B

π

= + = = ⇔ ⇔ →

= − − − = − =

Assim sendo fica: ( ) ( ) ( )4 1cos 3 sin 3 cos 2

5 5y x x x= + +



28 – Determine a solução geral da equação ( )2 '' ' lnx y xy y x x+ − = , sabendo que 1y x= e 2

1y

x= são duas

soluções da equação sem segundo membro.

Resolução 28 – É sempre conveniente fazer a sua classificação, pois fico com uma ideia do caminho a tomar para a sua resolução. Assim sendo posso classificar esta equação como sendo: - É uma Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem Completa de Coeficientes Não Constantes.

1º passo, ora bem, sei que a solução da equação associada 2 '' ' 0x y xy y+ − = é 21 yB

y A B Ay xyx

= + ⇔ = +

Agora vou utilizar o MVC para poder prosseguir na resolução da equação dada (cuidado com a derivada dos produtos):

B

y Axx

= +

( ) ( ) ( )'

'' ' ' '

B B xy Ax A x A x

x

= + = + + 2x

2 2

' ''

Bx B BA x A

x x x− = + + −

Agora vou impor uma igualdade a zero dos termos com derivadas '

' 0B

A xx

+ =

Assim fica 2

'B

y Ax

= −

( )2 2 2

4

' ' ''' ' '

B x B x B xy A A

x

−= − = −

4x 2

2B x→

+4x 2 33

' 2'

B BA

x x→+= −

Cuidado com o sinal, pois a fração está precedida de menos, e como o 2º termo também é negativo, fica positivo. Substituindo na equação dada ( )2 '' ' lnx y xy y x x+ − = , fica (equação de Euler)

( )22 3 2

' 2' ln

B B B Bx A x A Ax x x

x x x x

− + + − − + = ⇔

2

2 ''

B xA x⇔ −

2x

22B x+

3xAx+

B x−

2xAx− ( )ln

Bx x

x− = ⇔

2 2' '

B B B

xA

xx

xB +⇔ − −− ( ) ( )2ln ' ' lnx x A x B x x= ⇔ − =

Agora socorrer-me de um sistema, sendo a segunda linha a igualdade a zero que impus:

( ) ( ) ( ) ( )22

222

ln' ' ln ' ' ln' ' ln '2'

' 0 ' '' '' '

x xA x B x x B B x xA x B x x BB

A x B A xB A xB A xx

− = − − =− = = − ⇔ ⇔ ⇔

+ = = −= − = −



( )

( )

( )

( )2

11 ' ln' ln22ln1 1

' ln '2 2

B x xB x x

xA x x x A

x

= −= − ⇔ ⇔

= =

Agora para evitar muita confusão, vou integrar individualmente “A” e “B”.

Vou começar pelo “A”, ( ) ( )ln ln1 1

'2 2

x xA A dx

x x

→ = ⇔ = ⇔

∫

( ) ( ) ( )2 2

1 1

ln ln1 1 1ln

2 2 2 4

x xA x dx A K A K

x

⇔ = ⇔ = + ⇔ = +

∫

Não me posso esquecer do “ 1K+ ”.

Nota que esta integração é imediata! (e simples) pois respeita seguinte regra

( )�

( )�

( )21

'

ln1'. ln

1 2

n

uu

xuu u dx x dx

n x

+ = → = +

∫ ∫

Agora o “B”, ( )1' ln

2B x x→ = − .

Este já não é imediato, vou ter que ir pelo método de substituição por partes (MSPP):

� ( )�

'

1' .ln

2 uv

B x x dx = − ∫

' '

' '


. .

u v u v u v

uv u v u v

= −

= −

∫

∫


21

2u x=

'u x=


x=

Fica: ( )2 21 1 1ln

2 2 2B x x x

= −

1.

x

( ) ( )21 1 1ln

2 2 2dx B x x x dx

⇔ = − ⇔

∫ ∫

( )( )22 2

22 2

ln1 1 1ln

2 2 2 2 4 8

x xx xB x x K B K

⇔ = − + ⇔ = − +



( )2 2

2

ln

4 8

x x xB K= − +


Continuando o meu sistema, fica

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

1

1 ln' ln

2 4 8ln1 ln

'2 4

x x xB x x B K

x xA A K

x

= − = − +

⇔ = = +

E como B

y Axx

= + ⇔

( )( )2 2

22

1

ln

4 8ln

4

x x xK

xy K x

x

− + = + +

29 – Considere a equação 4 '' 2 ' 0xy y y+ + = . Resolva a equação, sabendo que ( )1 cosy x= é uma solução

particular.

Resolução 29 – Esta é mesmo dificil! E tenho que ter em atenção ao indice da solução particular, pois não é “y”, mas sim 1y , uma solução particular da equação dada.

Ora bem, é-me dito no enunciado que ( )1 cosy x= é uma solução particular da equação dada. Vou BAIXAR o

grau da equação de uma unidade, tornando a equação numa equação de primeira ordem (ou seja uma equação com solução certa, pois só as de segunda ordem podem não ter solução).

Assim sendo fica: ( )1

21 cos cosy y z y x z y z x

= ⇔ = ⇔ =

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1

' 'cos ' sin 'cos sin 'cos sin2 2

y z x x x z z x x x z z x x x z− −

= + − = + − = −

' ' '

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

'' 'cos sin ''cos ' sin sin sin '2 2 2 2

y z x x x z z x z x x x x z x x z− − − −

= − = + − − +

1 1 1 3 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1

'' ''cos sin ' sin . cos sin '2 4 2 2 2

y z x x x z x x z x x x z x x z− − − −

= − − − + +

1 1 1 3 1 1

2 2 2 2 2 21 1 1'' ''cos sin ' sin

2 4 2y z x x x z x x z x

− − = − + −

1

21.2

x−

1 1 1

2 2 21cos sin '

2x z x x z

− −

Cuidado aqui, pois é a soma de dois meios que dá um!



1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1

'' ''cos sin ' sin cos '' ''cos sin ' sin cos4 4 4

y z x x x z x x z x z y z x x x z z x x x− − − −

= − + − ⇔ = − + −

Substituindo, fica 4 '' 2 ' 0xy y y+ + = →

1 1 1 3 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1

4 ''cos sin ' sin cos 2 'cos sin cos 04 2

x z x x x z z x x x z x x x z z x− − −

− + − + − + =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 ''cos 4 'sin sin cos 2 'cos sin cos 0xz x x z x x z x xz x z x x x z z x− −

− + − + − + =

1 1

2

1

2 2

1 1

2 2 si4 ''cos 4 'sin nxz x x z x x z x−

−

+

1

2cosz x

−

1 11

2 222 ' os sinc x zz x x−

−

+

1

2cosz x

+

0=

1 1 1 1

2 2 2 24 ''cos 4 'sin 2 'cos 0xz x x z x z x

− + =

Agora uma nora importante – tenho no 1º termo uma derivada de 2ª ordem, e no 2º e 3º termo tenho uma derivada de 1ª ordem. Como é dificil resolução, e as vezes mesmo impossovel, vou baixar uma grau a ordem, utilizando uma variavel de substituição. Assim, seja ' ' ''w z e w z= = , fica:

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 24 'cos 4 sin 2 cos 0 4 cos 4 sin 2 cosdw

xw x x w x w x x x x w x w xdx

− + = ⇔ = − ⇔

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1

2 2

4 sin 2cos 2 sin cos1

4 cos 2 cos

x x x x x xdw

w dw dxdx w

x x x x

− −

⇔ = ⇔ = ⇔

1122

1 12 2

cossin1 1 1

2cos

xx

dw dxw x

x x

⇔ = + −

∫ ∫ 1

2cos x

1

21

21

2

sin1 1 1

2cos

x

dx dw x dx dxw x

x

−

⇔ = − ⇔

∫ ∫ ∫ ∫

Cuidado neste passou, pois passa despercebido o “-2”. A tendencia é cortar, mas o que se passa é que temos

DUAS situações em que vai ocorrer o 1

2− e pela regra de integração tenho que voltar a equilibrar com o “-2”.

1

21

21

2

sin1 1 1

ln2

c2

o

2

s

x

w x dx dxx

x

−

⇔ = − ⇔

−

−∫ ∫



Outra nota importante é a de que ao integrar para logaritmo 1

2ln cos x

, apesar do 1

2cos x

passar para o

denominador, o 1

2x não fica negativo. Ou seja é errado fazer isto 1

2ln cos x−

.

( )1

21 1 1

22 2

12 2 2

1ln ln cos ln ln ln ln .

12

co c s2

s o

D Fw x x e w E w

x x x x

⇔ = + ⇔ = ⇔ =

−

−

Como já atingi o meu objectivo com a variavel “w”, vou voltar a substituir pela variavel “z”. e fica:

1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

1'

cos cos cos cos

F F Fw z z dx z F dx

x x x x x x x x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

∫ ∫

Como 1

21

2

1'

2

u x e u

x

= =

1

21 1

22 2

1 12 . 2 .

2 cos

z F dx z F tg x G

x x

⇔ = ⇔ = + ⇔

∫

Agora vou MULTIPLICAR TUDO por 1

2x

1 1 1 1

2 2 2 2cos 2 . .cos .cosz x F tg x x G x

⇔ = + ⇔

Sei que 1

2cosy z x

=

( ) ( )1 1

2 2.cos .sin .cos .siny A x B x y A x B x

= + ⇔ = +

Já está!

Mas havia outra maneira muita mais facil de resolver. O objectivo é a de que se tem que se perceber de que existe varias maneiras de resolver. Na pratica tenho o habito de escolher sempre o pior caminho. Por isso melhor solução do que a do treino não há.

Vou então passar a resolver de um modo mais simples e eficaz. O melhor caminho a seguir está sempre dissimulado na pergunta.

Como me é dito “ … sabendo que ( )1 cosy x= “ a resolução do problema passa SEMPRE pela mudança de

variavel!



Resolução da 29 pelo metodo da mudança de variavel:

A equação é 4 '' 2 ' 0xy y y+ + = . Sei que ( )1 cosy x= é uma solução particular.

Seja então 2x t x t= ⇔ =

1 1 1

.22

1 1' . . . . .

2

dy dy dt dy d

t

y dyy

dx dt dx dt dt dx t t= = = = =

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1'' . . . . . . . .

2 4

1 1

2

d y d dy d dy dt d dy d y dyy

dx dx dx dx dx dx dx dt t t dt t dtt

= = = = = −

Substituindo 4 2 ''' 0yyx y+ + = fica (não me posso esquecer do “x”):

22 2

2

2

2

1 1 1. . .

1 14 . 2.

1 1. .

20 4 . .

44

d y dy

t dt t dt

dy

dt tt y t

t

−

+ + = ⇔

2

2

1 1. . 2.

2

d y dy

dt t dt

− +

1. . 0dy

ydt t

+ = ⇔

2

2

1.

d y dy

dt t dt⇔ −

1.

dy

dt t+

2

20 0

d yy y

dt+ = ⇔ + = ⇔

Vou utilizar a equação caracteristica: '' 0y y+ =

2 0 20 1 0r r r r i+ = ⇔ + = ⇔ = ±

Solução Geral:

( ) ( ) ( ) ( ).cos .sin .cos .siny A t B t y A x B x= + ⇔ = +

Agora é só comparar com o resultado obtido e a quantidade de calculo de cada um dos dois metodos. Por isso a importancia, de antes de avançar, ler bem a pergunta para se poder iniciar o processo de resolução mais simples e eficaz.



Sistema de Equações Diferenciais – Metodo Algebrico

Sistema Linear de Coeficientes Constantes

1 – Determine a Solução Geral da equação ' 2

' 13 2

x x y

y x y

= − +

= − + com ( )

13

0 2

x

y

π = −

=

Resolução – Nota que é igual a � �

'

' 2 ' 2 1

' 13 2 ' 13 2Y YA

x x y x x

y x y y y

= − + − ⇔ = ⇔ = − + − ��

1º passo, seja 2 1

13 2A

− = −

, vou ter que calcular os valores próprios de A. Não confundir com vectores próprios

0A Iλ− =

Só na Diagonal Principal:

1 0

1

2

23

λ

λ−

−

−

=−

( )( ) ( )( )2 2 1 13 0λ λ− − − = −

2 9 0 3iλ λ= ⇔ = ±+

2º passo, como obtive números Complexos, vou escolher ao acaso um Vector Próprio Associado a 3iλ = − Nota, não é obrigatório, mas facilita os cálculos escolher o número imaginário negativo.

( ) 0A I Xλ− =

2 1

13 2A

=

−

−

( ) ( )

( ) ( )( )

( )2 3 . 1 . 0 2 3 00

0 13 2 3 013

2 1

1

3

3 . 2 3 . 03 2

i x y i x yx

y x i yx i y

i

i

− − + = − − + == ⇔ ⇔ ⇔

− + + =− + − = −

−

−

−

Nota:



( ) ( )

( ) ( )

.

2 3

. 00

0 . 2 3

11

1

2 32 3

3 03 1 .

x yx

y x i

i

i

i

y

+ = = ⇔

+ = − − −

−

−

−−

−

( )( )

( )( )

( )( )

2 3 0 2 3 2 3

13 2 3 0 13 2 3 0 13 2 3 0

i x y y i x y i x

x i y x i y i yx

− + + = = − − + = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− + + = − + + = − + + =

( )( )( )

( )( )

( )2 3 2 3

13 2 3 0 13 4 9 0 0 0 é uma preposição verd

2 3

2 ad3 eira

y y i x y i x

x i x x

i x

i x

= = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− + + = − + + = =

−

−

é um vector proprio associado a1

2

3

3

i

iλ∴

= −

−

Isto é para uma situação em que escolhi que 1x = . Assim se eu multiplicar o um por 2 3i− , fica 2 3y i= − .

Se tivesse escolhido que 2x = . Assim se eu multiplicar o um por 2 3i− , fica 4 6y i= − .

é um vector proprio associado a2

4

6

3

i

iλ∴

= −

−

( )3 esta é a forma de Euler e agora é s1 ó desenvolv

2

e

3

rtiPY

i

e−= −



( ) ( ) ( ) ( )3

1cos 3 sin 3cos 3 s 3

1in

2 2 33

tie

PP i

Y t i tY t t

ii

−

= − + = − + − ⇔ ⇔ − −

−

��

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )cos 3 sin 3 .11cos 3 sin 3

2 3 cos 3 sin 3 . 2 3PP

t i tYY t i t

i t i t i

== ⇔ ⇔ ⇔ − −

−

−

−

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1cos 3 . sin 3 .

cos 3 . sin 3 .2 3 2 3P

t i tY

t i i it

− = ⇔ ⇔ − − −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3

cos 3 sin 3

cos 3 . cos 3 . sin 3 . n2 s 3i 3 .P

i

t i tY

t t t ii i t

− = ⇔ ⇔ + − + − −

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

cos 3 sin 3

2cos 3 3 cos 3 2 sin 3 3 sin 3P t i tY

t i t i t i ti

− =⇔ ⇔ − − −

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

cos 3 sin 3

2cos 3 3 cos 3 2 sin 3 3 s1 in 3P t i tY

t i t i t t

− =⇔ ⇔ − − − −

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

cos 3 sin 3

2cos 3 3 cos 3 2 sin 3 3sin 3P t i tY

t i t i t t+

− =⇔ ⇔ − −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

cos 3 sin 3

2cos 3 3 cos 3 2 sin 3 3sin 3P t i tY

t i t i t t

− =⇔ ⇔

− − −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

sin 3

3 co

cos 3

2cos 3 3ss 3 2 si n 3n 3 iP i t

i tt i t

Y

t

t − =⇔ ⇔

− −−

( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos 3

2cos 3 3sin

sin 3

3 cos 3 23 sin 3PY i t

i t i t

t

t t

−

−

=⇔ + ⇔

− −

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

cos 3 sin 3

2cos 3 3sin 3 3cos 3 2sin 3P t tY

t t t t

i =⇔ + ⇔

− +

−

( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos 3 sin 3

2cos 3 3sin 3 3cos 3 2sin 3

São duas soluções linearmente independentes!

P t tY i

t t t t

=⇔ − ⇔

− + ��

Solução Geral: ( )

( ) ( )( )

( ) ( )Como tem constantes, é designado Solução Geral da Equação dada

cos 3 sin 3

2cos 3 3sin 3 3cos 3 2sin 3

t tY A B

t t t t

=⇔ ⇔

+ +

− ��



Tenho uma condição inicial, que é

( ) ( ) ( )

1 1 13 3 3

200 2 0 2

x x x

yy y

π π π = − = − = − ⇔ ⇔ = =

Cuidado que não é 13

2

3

x

y

π

π

= −

ou ( )( )0 1

0 2

x

y

= −

, fica

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos 3 sin 31 1

2cos 3 3sin 3 3cos 3 2si0

323

n 2t t t

x Y A B

y

t t

t

π = − = = − ⇔ + − +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

cos 3 sin 31 1

2 22cos 3 3sin 3 3cos 3 2sin 30 0

33

0 00

3x Y A B

y

π ππ = − = = − ⇔ + − +

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos sin1 1

2cos 0 3sin 3c0 os 2sin2 203

00

x Y A B

y

ππ π

= − = = − ⇔ + − +

Recordar que ( ) ( ) ( ) ( )cos 1 sin 0 cos si 00 0 1 nπ π= ∧ = ∧ = ∧ =−

( )( ) ( )

1 01 13

2 31 0 1 02 20

x Y A B

y

π −= − = = − ⇔ + − +

( )

1 1 0 13

2 2 3 20

x Y A B

y

π = − = − = − ⇔ +

Agora faço o sistema:

( )11 1

2

1

01 3 22 3 2 3 2 2

AA A

BA B B B

A=− = − = ⇔ ⇔ ⇔

=

+ =+ = = − =

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos sin1 13

2cos 0 3sin 0 3cos 0 2sin 02 20

x Y A

y

Bπ

π π

= − = = − ⇔ + − +

( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos 3 sin 3 1

2cos 3 3sin 3

01

3cos 3 2sin 3 2

t tx

t t t ty

= = − ⇔ + − +



( )( ) ( )cos 3 1

2cos 3 3si 2

1

n 3

tx

t ty

= = − ⇔ −

( )( ) ( )

cos 3

2cos 3 3sin 3

x t

y t t

=

= −

Para confirmar

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

cuidado com as variáveis, posso dá azo ao errocos 3cos 3

2cos 3 3sin 3

2cos 3 3s n

3

0 i 3 0

xx t

y t ty

π

==

⇔ = − = −

( )( ) ( ) ( )

cos 1 1

2 22c 1 00 0os 3sin

x x x

y yy

π= = − = − ⇔ ⇔ ⇔

= − == −

Está confirmado!

2 – Determine a Solução Geral da equação ' 4 5

'

x x y

y x

= −

= com

( )( )0 0

0 1

x

y

=

=


'

' 4 5 ' 4 5

' ' 1 0Y YA

x x y x x

y x y y

= − − ⇔ = ⇔ = ��

1º passo, seja 4 5

1 0A

− =


0A Iλ− =


5 0

1

4

0

λ

λ

−

−

=−

( )( ) ( )( )4 5 1 0λ λ −− − − =

2 4 5 0 2 iλ λ λ− + = ⇔ = ±



Nota, tenho recordar a forma algébrica para resolver o problema das fracções, utiliza-se o conjugado para fazer desaparecer o “i” no denominador. Conforme se faz com uma racionalização. Exemplo:

( )( )( )

22 10 6 10 6

5 3 5

5 3

5 33 29 29 29

i

i

i i

i i

+= = = +

− −

+

+

2º passo, como obtive números Complexos, vou escolher ao acaso um Vector Próprio Associado a 2 iλ = − Nota, não é obrigatório, mas facilita os cálculos escolher o número imaginário negativo.

( ) 0A I Xλ− =

4 5

1 0A

−

=

( )( )

4 5 4 5

1 1

2 2

0 2 0 2

0 0 2 5 0

0 0 1 2 0

x x i x

y y i y

i i

i i

= = + = ⇔ ⇔ ⇔ − +

− − − +

− − − +

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )2 . 5 . 0 2 5 0 2 5 0

2 0 21 . 2 . 0

i x y i x y i x y

x i y x i yx i y

+ + = + + = + + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ − + = = − − ++ − + =

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

2 5 0 2 5 02

2 22 2

5 5 0 0 0i y i y y y

x x

x i y

i y i yi y yx x i

+ + = + + = − + = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= =

−

− −= = − −

é um vector proprio associa 2do

1

2 a i iλ∴

=− −

( ) ( )2 esta é a forma de Euler e agora é só desenvol2 ve

1

ri tPY ie − =

−

( )2 22

1

2

1

i tP

it tP Y e ie i eY − −− −= =

⇔

( ) ( ) ( ) ( )22 co2 2s sin

c1

os sin1

tt P

P

iteY e t t

Y e t ti ii

i

−= − + − = − + − ⇔ ⇔

− −

��



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 cos sin .cos sin

cos s1 in .

2

1

2t tP P

it tY e t t Y e

t t

ii

i

i − = − = ⇔ ⇔ ⇔ −

−

−

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 cos sin cos sin

cos sin .1

2tP

t t t tY e

t t

ii i

i

− −= ⇔ ⇔ −

−

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 cos sin cos sin

cos

2 2

si .1n

tP

t t t tY e

t t

ii ii

i

− −= ⇔ ⇔ −

−

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

22 cos sin cos sin

c s s

2

in

2

o

tP t t t t

t

ii i

i

Y e

t

− +=⇔ ⇔ −

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2cos sin cos sin

co s n

1

s i

tP

t t t tY e

tit

i i − + =⇔ ⇔

−−

−

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 cos sin cos sin

c

2 2

os sin

tP

t i t t tY e i

tit

− =⇔ ⇔

−

−

−

Agora vou agrupar:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 sin cos2cos sin

c s sino

tP

t t

t

e i t i t

i

Y

t

− − += ⇔ ⇔

−

−

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2 sin2cos sin

cos

cos

sin

tPY e t t i t t

i tt

i− +=⇔ ⇔

− −

−

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2sin cos2cos sin

s ncos i

tP

iY e t t

t

t t

t

−=⇔ ⇔

− +^

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

São duas soluções linearmente independentes!

2sin cos

si

2cos sin

c s no

t tP t t t

t

Y e ie t

t

= −⇔ ⇔

− +

��

Solução Geral: ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2

Como tem constantes, é designado Solução Geral da Equação dada

2 2sin cocos sin

cos n

0

1

s

si

t tt t

t

e t

t

Y A tBe == ⇔ ⇔

−+

+

��

Tenho uma condição inicial, que é ( )( )

( )0 0 0

010 1

xY

y

= ⇔ =

=



( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 0 2 02cos sin 2sin cos 0

cos si

0

0n

0

0 1

0 0Y Ae Be − + = =⇔ + ⇔

.1 2 0 .1 0 1 0

1 0 1

Y A B= − + = ⇔ + ⇔

Agora faço o sistema:

2 0

1

2

1

A B B

A A

+ = = ⇔

= =

−

A Solução Particular é

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 22cos sin 2sin cos

cos sin

t t

t t

A t t t tY e Be − + =⇔ + ⇔

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 22cos sin 2sin cos

c

1 2

os sin

.. t tY e tet t

t t

t − + =⇔ ⇔ −

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

Como tem constantes, é designado Solução Geral da Equação dada

2cos sin 2sin cos

cos sin

2tY

t

t t

t

e t t − + =⇔ ⇔

−

��

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2cos sin 4sin 2cos

cos 2sin

x t t t t

y t t

= − −

=

−

−

Para confirmar

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2cos sin 4sin 2cos 2cos sin 4sin 2cos

co 0s 2sin cos 2

0

sin

0

0

0 0x t t t t x

y t t y

= − − = − − ⇔ ⇔

= − = −

− −

2 0 0 2 0

1 0 1

x x

y y

= − − = ⇔ ⇔

= − =

−

Está confirmado!



3 – Determine a Solução Geral da equação 1 2 3

2 1 3

3 1 2

'

'

'

y y y

y y y

y y y

= +

= + = +

Resolução – Nota que é igual a

� �

1 2 3 1 1

2 22 1 3

3 33 1 2

'

' ' 0 1 1

'' 1 0 1

1 1 0''Y YA

y y y y y

y yy y y

y yy y y

= + = + ⇔ = ⇔ = + ��

1º passo, seja

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

=

, vou ter que calcular os valores próprios de A. Não confundir com vectores

próprios

0A Iλ− =


1 10

1

1 1

0

0

0

1

λ

λ

λ

−

−

=−

3 3 31 1 3 2 0 3 2 0λ λ λ λ λ λ λ λ− + + + + + ⇔ − + − = ⇔ − + =

1 1 2λ λ λ= − ∨ = − ∨ =

Agora poderei ter um problema, pois tenho dois valores iguais. Se esses dois valores me derem um único vector (indiferentemente do outro valore, que é o 2), tenho que executar mais calculo, porque realmente preciso de três vectores próprios linearmente independente. Preciso de saber se de facto vou ter ou não dois vectores próprios.

2º passo, Vector Próprio Associado a 1λ = −

( ) 0A I Xλ− =

Para evitar confusões, vou transformar

1

2

3

y

y

y

nisto

x

y

z

( )( )

( )

1 1 1 10 0

1 1 1 10 0

1 1 1 10 0

1

1

0

0

0

1

1

11

x x

A Ay y

z z

= = ⇔ = = ⇔

−

−

−

−

−

−



Como são todos iguais, basta um

0

0 x+y+z=0

0

y z

A x z

x

y

z

z x y

x y

+ + = ⇔ = + + = = ⇔ ⇔ = − − ⇔ + + =

��

Ou seja, o “z” depende de duas variáveis. É um sistema Indeterminado que depende de duas variáveis.

Quando se esta presente de um Sistema Indeterminado de que depende de apenas uma variável, fica

22

23

y xx

z xx

x x →

=

=

Assim no meu caso, fica:

y

y

z x

x

x

y

− −

= − − →

Continuando, o caso Geral: 0

0

x y x

x x

y

y y

= + − − − −

Vai dar origem a dois vectores próprios indeterminados:

0

0

x y x

x x

y

y y

= + − − − −

Agora os representantes mais simples (que multiplicado por uma constantes me ira “dar” vários submúltiplos,

logo não independentes.

Dois vectores proprios Linearmente Independentes Associados a -1 =

0 1

0

1 1

1x

λ

+ − −��

Agora o Vector Próprio Associado a 2λ =

( ) 0A I Xλ− =

( )( )

( )

21 1 1 10 0

1 1 1 2

2

2 10 0

1 1

0

0

0 02 21 10

x x

A Ay y

z z

= = ⇔ = = ⇔

−

−

−

−

−

−



( )

2

2

2

2 0 2 2 0

4 2 02 02

2

2

2

y z z z x y

A x z x y x y x y

x y x y x yx

x

y

z

x y

x y

y x y

+ + = = − −

−

−

−

−

⇔ = + = ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔ + + − + =+ − = −

[ ] ( )3 3 0 3 3 0 3 3 0 Logo são iguais!

3 3

.

0

2

1

z x y

x y x y x y

x y

= −

⇔ ⇔

− = − = −=

+ =

− + =

−

2 2y x

y x

z x z x z x

xx yy

= − = − = ⇔ ⇔ ⇔

= ==

Agora as soluções particulares (tanto pode ser “x” ou “t”):

2

1 1 1

1 0 1

0 1 1

x x xPY e e e− −= + +

− −

Continuando, o caso Geral:

1

1

1 1

1

1

y

x

z

x x

x

x

x= = ⇔

2

1 2 31 0 1

0 1 1

1 1 1

x x xPY C e C e C e− −

− −

= + +

2 2

1 1 2 2 3 32

1 2 3

21 2 3

0. 1. 1

1. 0. 1

.

1 1. 1.

.

.

x x x x x xP

x x x

x x x

Y C e C e C e C e C e C e

C e C e C e

C e C e C e

− − − −

− −

− −

= + + − −

2

1 32

2 3

21 2 3

0

0x xP

x x

x x x

Y C e C e

C e C e

C e C e C e

−

−

− −

= + +

− −

2

1 32

2 3

21 2 3

x xP

x x

x x x

Y C e C e

C e C e

C e C e C e

−

−

− −

= +

+ − + −

22

1 1 31 32 2

2 3 2 2 32 2

1 2 3 3 1 2 3

x xx xP

x x x x

x x x x x x

x y C e C eY C e C e

C e C e y y C e C e

C e C e C e z y C e C e C e

−−

− −

− − − −

= = + = +

+ ⇔ = = +−

− − − + = = +



4 – Determine a Solução Geral da equação 1

1 2

'

'

x y

y y y

=

= +


1 1

21 2

'

' ' 1 0

' ' 1 1Y YA

x y yx

yy y y y

= ⇔ = ⇔ = + ��

1º passo, seja 1 0

1 1A

=

, vou ter que calcular os valores próprios de A. Não confundir com vectores próprios.

0A Iλ− =


1 0

1

0

1

λ

λ

=

−

−

( )( ) [ ]1 1 0 0λ λ− − = −

( )21 0 1 (Duplo)λ λ− = ⇔ =

Como obtive um valor duplo, tenho que ter cuidado em verificar se vou ter um ou dois vectores próprios. 2º passo, como obtive números Complexos, vou escolher ao acaso um Vector Próprio Associado a 1λ = + Nota, não é obrigatório, mas facilita os cálculos escolher o número imaginário negativo.

( ) 0A I Xλ− =

1

1

1 0 0 0

1 1 1 0A A

= ⇔ = −

−

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

0 0x x y

y x y y

= = = = ⇔ → ∴ =

Notar que:

1

0y

é um representante de um vector próprio.

Como só deu origem a UM vector próprio, vou ter que ir a procura de uma outra solução para poder continuar.

Neste momento tenho



é uma solução 0

particul1

arxe

∴

Preciso de uma solução do tipo de

x

D

e A

x

Bx

C +∴

+

Não é preciso teoria, basta aceitar este facto. Só se aplica em valores duplos. Recordar a equação Característica, quando tenho a raiz dupla, também faço o 2º termo vezes “x”.

x xeAy e Bx= +

( )( )

( )( )

1

2

xxx

x x

y ee A BxA Bx A B

C Dx C D

x

xe Ce x D

e

y

= = ⇔ = +

+

+

+

+

+

Agora vou derivar, pois no enunciado tenho a derivada (e cuidado, pois é um produto):

1

1 2

'

'

x y

y y y

=

= +

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )1 1

2 2

' ' ' ' '

' ' ' ' '

x x x

x x x

A Bx Ay e y e Bx A B

C Dx C Dx C Dxy

xe

y e e e

= = + ⇔ ⇔ ⇔

= = + + +

+

+

+ +

( )( )

( )( )

1 1

2 2

' '

' '

x x x

x x xC Dx D

A By e e y e

y e e y e C D

x B

D

A B Bx

x

= + = ⇔ ⇔

= + = + +

+ +

+

+

Substituindo na equação dada, fica:

1

1 2

'

'

xex y

y y y

=⇔

= +

( ) xA B B ex+ =+ ( )x

A Bx

e

+

( ) xC D D ex+ =+ ( ) xA eBx+ + ( )C Dx

⇔

+

A⇔

B Bx+ + A= Bx+

C D Dx+ + = A CBx+ + Dx+

0

D

B

A Bx

=⇔ ⇔

= +

( )0 0

0

B B

A x AD D

= =⇔ ⇔

= =+

0x x

C Dx C A

e eA B

x

x A ∴ ⇔ ∴

+ +

+

+



Posso atribuir valores quaisquer a A e C, assim vou atribuir a “A” e a “C” o valor de um. Notar que não posso atribuir o valor de zero.

0 1

1

x x x

C Dx C

A Bxe

Ax x

e eA ⇔ ⇔

+

+

+

+

+

Se tivesse atribuído a “C” o valor de zero, teria:

0 1x x x

C Dx C Ax

A B Ae e

x

ex ⇔ ⇔

+ +

+ +

2 21 xxP

x

PY Ye

x

e

xe

= ⇔ =

Assim, continuando o exercício

1

1x

x

e

+

é uma solução particular do sistema

Como 1

1

0xPY e=

e 2 1

1

xPY

x

e

+

=

então

1 1

0 1x xPY

x

e e= + +

E elas para além de serem soluções, também são linearmente independentes.

Solução Geral (há um “x” que vou trocar por “c”, pois são “x´s” diferentes!):

( )( )

( ) ( )21 2

1 2 21.1 1 1

1.01

.

0

.

xx x

x x x

K eY YK e K e

K e K e K ec c

= + = + ⇔ ⇔ + +

1 22 2

1 2 2 1 2 2 1 2

0 xx x

x x x x x x x

y K eY YK e K e

K e K e K e K e K xe y K ec K xe+

== + = ⇔ ⇔

+ = +

5 – Determine a Solução Geral da equação 1 1 3

2 3

3 2

'

'

'

y y y

y y

y y

= +

= − =



Resolução – Nota que é igual a

� �

1 1 2 1 1

2 22 3

3 33 2

'

' ' 1 1 0

'' 0 0 1

0 1 0''Y YA

y y y y y

y yy y

y yy y

= + = − ⇔ = − ⇔ = ��

1º passo, seja

1 1 0

0 0 1

0 1 0

A

= −

, vou ter que calcular os valores próprios de A. Não confundir com vectores

próprios

0A Iλ− =


1

0

1 0

0 1

0

0

0 1

λ

λ

λ

=−

−

−

−

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )21 0 0 0 1 1 1 0 1 1λ λ λ λ λ λ λ− − − + + − + − − + ⇔ − − − −

1 iλ λ= ∨ = ±

Como há complexos, vou utilizar só um, e será o numero negativo. Assim só vou calcular dois vectores.

2º passo, Vector Próprio Associado a 1λ =

( ) 0A I Xλ− =

Para evitar confusões, vou transformar

1

2

3

y

y

y

nisto

x

y

z

( )( )

( )

01

1

1

1

1 0 1 00 0

0 1 0 10 0

0 1 0 1 00 1

1

0

0

x x

A Ay y

z z

= − = ⇔ = − = ⇔

−

−

−

−

−

0 0 0

0 0 2 0 0 são

0

iguais!

0

y y y

y z z z z

y

yy z z

z

y z y z

== = =

⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = − = = = =

0

0

z

y⇔

=

=



0

0

1

0

0

x x x

y

z

= =


11

2

3

1

0

0

0

0

xxP y eY e

y

y

== → = =

3º passo, Vector Próprio Associado a iλ = −

( ) 0A I Xλ− =

( )( )

( )

1 0 1 00 0

0 1

1

0 10 0 0

0 1 0 10 0

1

0

x x

A Ay y

z z

i

i i

i

i i

= − = ⇔ = − = ⇔

−

−

−

−−

−

+

( ) ( )1 0 1 0

0são iguais, pois é multiplo

0

00-i de

i

i iy z

i y i

x y i x y

z

y z

y z

+ + = + + =

⇔ − = ⇔ =+ =

− =

+

( ) ( ) ( )1 0 1 0 11

izi x i x i x iz x

iy i

y iz

y i z y iz y zz i

+ + = + = + = =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔+ = − = −

−

= −− =

1

ix z

iy iz

=

+ = −

,agora vou utilizar o conjugado

( )( )( )

1 11 1 2

i i ix z x z

i iy izy iz

+ += = ⇔ ⇔+ +

= −= −

1 1

2 2

1

y iz

z z

i i

i

zx z

+ + = = ∴

−

−

Para retirar o traço de fracção, vou usar um múltiplo:

( )

2

1 2 1

2

2 2

x i

y z

z i

i

z z

z= + = + ∴

−

−



Nos complexos só calculo para um deles, mas sei que tenho que obter dois.


( ) ( )2 32,3 ,

cos sin1 1

2 2

2 2

xiP P

x xY e i Y i i

i i

− − + = + = + − ⇔ − ⇔

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2,32,3cos sin cos sin 11

2 cos sin 2

2 cos sin 2

P Px x x xY i Y

i x

i i

i

i

x

x

i

i

x

− + = + = ⇔ − ⇔ − ⇔

− −

−

−

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

,32cos sin cos sin

cos sin 2

cos sin 2

Pi ix x x xY

x x

x x

ii

i

i− −

−

+ = ⇔ − ⇔

−

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

,32 cos sin cos sin

2 cos 2 sin

2cos 2 sin

PY x x x x

x i x

i i

i

i

i

ix x

i− = +

⇔ − + ⇔

−

−

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

,2 3 cos sin cos sin

2 cos 2sin

2cos 2 sin

PY x i x i x x

i x x

x i x

= − +

⇔ − − ⇔ −

+

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )( )

2 3, cos sin sin cos

2sin 2 cos

2cos 2 sin

P i i

i

Y x x x x

x x

x xi

= + + − +

⇔ − − ⇔ −

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )( )

32,

32

cos sin cos sin

2sin 2cos

2cos 2sin

P

P PY Y

Y x x x x

x x

i

x x

= + + −

⇔ − − ⇔ − ��



Equações Lineares com Coeficientes Constantes

Definição – chama-se equação diferencial linear de ordem “n” com coeficientes constantes a uma equação diferencial do tipo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 01 2 1 0...n n

n na y a y a y a y a y f x−−+ + + + + =

Onde { } 1 2 1 1, ,..., ,\ 0 ,n na a a a a−∈ ∈� � , e f uma função.

Notar a importancia do 1º termo não poder ser zero “ { }\ 0 ”!

Outra nota é a notação matematica, pois ( )ny não é uma potencia, mas sim a ordem da derivada, como por

exemplo ( )4y é derivada em ordem a 4 (em vez de por 4 palitos - ''''y )

Outra nota importante é “ … com Coeficientes Constantes ”, os coeficientes são SÓ os que afectam o “y”.

Exercicios 1 – Resolva as seguintes equações lineares:

( ) ( )3 21.1) 6 11 ' 6 1y y y y+ + + = ( )41.2) 2y y− =

( ) ( ) ( )4 3 21.3) 2 xy y y e−+ + = ( )31.4) y y x+ =

( ) ( ) ( )4 21.5) 4 4 cosy y y x+ + = ( ) ( ) ( ) ( )7 6 4 31.6) 7 7 8 ' 8 0y y y y y y− − + − + =

( ) ( )3 2 21.7) 'y y y y x x− + − = + ( )21.8) 3 ' 2 xy y y xe− + =



Resolução ( ) ( )3 21.1) 6 11 ' 6 1y y y y+ + + =

Classificação – Equação Linear de 3ª Ordem NÃO Homogenea e de Coeficientes Constantes. 1º paso - Equação Associada

( ) ( )3 26 11 ' 6 0y y y y+ + + =

Equação Cartesiana 3 2 1 0 3 2 16 11 6 0 6 11 6 0r r r r r r r+ + + = ⇔ + + + =

Como a formula resolvente 2 4

2

b b ac

a

− ± −

só me permite calcular até a potencia de dois, vou usar a regra de

Ruffini para baixar o grau da equação. Mais, tenho uma dica no primeiro e ultimo termo. Pois bem neste caso como o coeficiente do primeiro termo é um, torna mais facil a resolução. Pois bem, basta por isso olhar para o coeficiente do 4º termo, que neste exercicio é 6, e ver quais são os seus divisores:

6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6− − − −

Ou seja os possiveis numeros na utilização da regra de Ruffini estão aqui.

1 6 11 6

1 1 5 6

1 5 6 0

− − − −

Fica: ( )( )21 5 6x x x+ + +

Agora já consigo utilizar a fórmula resolvente, e fica 1 3 2r r r= − ∨ = − ∨ = −

3 21 2 3

x x xy C e C e C e− − −= + +



2º passo, Solução Particular

( )3

' 0

'' 0

0

y a

y

y

y

=

=

=

=

Substituindo fica: ( ) ( )3 2 16 11 ' 6 0 0 0 6 0

6y y y y a a+ + + = → + + = ⇔ =

3º passo, Solução Geral 3 21 2 3

1

6x x xy C e C e C e− − −= + + +

Resolução ( )41.2) 2y y− =

Classificação – Equação Linear de 3ª Ordem NÃO Homogenea e de Coeficientes Constantes. 1º paso - Equação Associada

( )4 0y y− =

Equação Cartesiana

( )( )4 0 4 2 21 0 1 0 1 1 0r r r r r− = ⇔ − = ⇔ − + =

Agora já consigo utilizar a fórmula resolvente, e fica 1 1 1 1r r r r= − ∨ = ∨ = − ∨ = (Duplas)

1 2 3 4x x x xy C e C xe C e C xe− −= + + +

Depois faço …



2 – Escreva a equação diferencial e a sua solução geral sabendo que o polinomio caracteristico tem três raizes duplas iguais a: 0, i e –i. Resolução 2 – Vou começar com um exemplo fácil para poder prosseguir. Se tivesse como raízes o 3 e o 4, seria assim:

( )( ) 2 23 4 3 4 0 4 3 12 0 7 12 0r r r r r r r r r= ∨ = → − − = ⇔ − − + = ⇔ − + =

E esta equação tem como equação diferencial esta '' ' 12 0y y y− + =

Então a Equação Geral é 3 4x xy Ae Be= +

Assim, aplicando esta mecânica ao exercício 2, fica (não me posso esquecer de que são três raízes DUPLAS):

0 0r r r i r i r i r i= ∨ = ∨ = − ∨ = − ∨ = ∨ =

Assim ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )2

0 0 0 0r r r i r i r i r i r r i r i− − − − + + = ⇔ − + = ⇔

Também sei que 2 1i =

( )( )2 20r r i r i r r ir⇔ − + = ⇔ + ir−( ) ( )

2 22 20 1 0i r r + = ⇔ + = ⇔

( ) ( )22 2 2 4 2 6 4 21 0 2 1 0 2 0r r r r r r r r ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ + + =

Equação Diferencial ( ) ( ) ( )6 4 22 0y y y+ + =

Solução Geral: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 cos sin cos sinx xy Ae Bxe C x D x Ex x Fx x= + + + + +

3 – Determine a solução geral da equação ( ) ( ) ( )6 4 22 2 6y y y x+ + − =

Resolução 2 – Cuidado com o “-2”, pois pertence ao segundo membro, assim sendo fica:

( ) ( ) ( )6 4 22 6 2y y y x+ + = +

Equação Associada ( ) ( ) ( )6 4 22 0y y y+ + =




( )

( )22

26 4 2 2 4 2 2 2

1

2 0 2 1 0 1 0

r

r r r r r r r r

= +

+ + = ⇔ + + = ⇔ + = ��

0 0r r r i r i= ∨ = ∨ = ± ∨ = ±

Como tenho uma raiz zero, e o 2º membro é do grau 1, fica (nota iy incompleto= ):

( ) ( ) ( ) ( )0 0

1ª raiz dupla 2ª raiz dupla

cos sin cos sinx xiy Ae Bxe C x D x Ex x Fx x= + + + + +

��

Não esquecer o seguinte:

4 4 4 2r r r r= ∨ = ∨ = ∨ =

Fica 0 4 1 4 2 4 0 2x x x x

iy Ax e Bx e Cx e Dx e= + + +


( )

( )

( )

( )

( )

2 3 2

2

3

4

5

6

' 3 2

'' 6 2

6

0

0

0

y x ax b ax bx

y ax bx

y ax b

y a

y

y

y

= + = +

= +

= +

=

=

=

=

Substituindo na equação ( ) ( ) ( )6 4 22 2 6y y y x+ + − = , fica

0 0 6 2 6 2 6 2 6 2ax b x ax b x+ + + = + ⇔ + = + .

Agora vou fazer o sistema e tenho que agrupar por grau, pois os coeficientes de um determinado grau não podem ir para junto dos coeficientes de um outro grau diferente.

0 2 2 1

1 6 6 1

Grau b b

Grau a a

→ = = ⇔

→ = =

3 2Py x x= + é uma Solução Particular

3º passo, i Py y y= + , e como 0 1xe =

( ) ( ) ( ) ( ) 3 2cos sin cos siny A Bx C x D x Ex x Fx x x x= + + + + + + +



4 – Considere a equação ( ) ( ) ( ) ( )4 3 22 13 28 23 ' 6y y y y y f x+ + + + =

4.1 – Se ( ) 0f x = , determine a solução geral da equação

4.2 – Se ( ) ( )sinf x x x= , indique, sem calcular, o que faria para determinar a solução geral da equação.

Resolução da 4.1 – 1º vou escrever a equação característica

4 3 2 1 02 13 28 23 6 0r r r r r+ + + + =

Como não sei resolver em ordem a quarta, vou utilizar a regra de Ruffini: Como escolher um possivel candidato para a divisão? Vou ver quais são os divisores dos coeficientes do 1º termo e do 3º. Neste caso, do 1º termo, que é dois, tem como divisores o um e o dois. No terceiro termo tenho o 1, 2, 3 e 6. Agora vou dividir os possiveis do 3º termo pelos possiveis do segundo. Não me posso esquecer dos numeros negativos. Assim sendo é:

1º : 1 2 2º : 1, 2, 3 6

Regra :

numeros do termo e numeros do termo e

Possiveis numeros a utilizar na de Ruffini

∧

1 2 3 6 1 2 3 6 1 2 3 6 1 2 3 6

, , , , , , , , , , , ,1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

∧ − − − − ∧ ∧ − − − −

1 3 1 31, 2, 3, 6 1, 2, 3, 6 , 1, , 3 , 1, , 3

2 2 2 2∧ − − − − ∧ ∧ − − − −

3 1 1 36, 3, 2, , 1, , , 1, , 2, 3, 6

2 2 2 2− − − − − −

Vou então utilizar primeiro o -1 (não esquecer que o lote deste 12 números são apenas CANDIDATOS):

2 13 28 23 6

1 2 11 17 6

2 11 17 6 0

− − − − −



Mas como tenho um grau superior ao 2º grau, logo não consigo utilizar a formula resolvente, vou tentar baixar mais um grau, e utilizando desta vez o “-2”.

2 11 17 6

2 4 14 6

2 7 3 0

− − − −

Pronto agora já posso utilizar a formula resolvente, e não me posso esquecer das duas raizes já encontradas (-1 e -2). As raizes são:

21 2 2 7 3 0r r r r= − ∨ = − ∨ + + =

1

1 2 32

r r r r= − ∨ = − ∨ = − ∨ = −

Solução Geral da Equação: 1

2 3 2xx x xy Ae Be Ce De

−− − −= + + +

Resolução da 4.2 – Procura-se uma solução particular do tipo:

( ) ( ) ( ) ( )2 sin cosy ax b x cx d x= + + +

5 – Calcule a solução geral da equação ( ) ( ) ( )4 3 22 4 2 ' 5 0y y y y y+ + − − =

Resolução da 5 – 1º vou escrever a equação característica

4 3 2 1 0 4 3 22 4 2 5 0 2 4 2 5 0r r r r r r r r r+ + − − = ⇔ + + − − =

Como não sei resolver em ordem a quarta, vou utilizar a regra de Ruffini: Como escolher um possivel candidato para a divisão? Vou ver quais são os divisores dos coeficientes do 1º termo e do 3º. Neste caso, do 1º termo, como é um, torna mais reduzido as possibilidades. No terceiro termo tenho o 1, e 5. Agora vou dividir os possiveis do 3º termo pelos possiveis do segundo. Não me posso esquecer dos numeros negativos. Aqui é muito mais simples pois só tenho 4 possibilidades: -1, 1 e -5 e 5.



Vou então utilizar primeiro o 1:

1 2 4 2 5

1 1 3 7 5

1 3 7 5 0

− −

Mas como tenho um grau superior ao 2º grau, logo não consigo utilizar a formula resolvente, vou tentar baixar mais um grau, e utilizando desta vez o “-1”.

1 3 7 5

1 1 2 5

1 2 5 0

− − − −

Pronto agora já posso utilizar a formula resolvente, e não me posso esquecer das duas raizes já encontradas (-1 e 1). As raizes são:

21 1 2 5 0r r r r= − ∨ = ∨ + + =

1 1 1 2r r r i= − ∨ = ∨ = − ±

Solução Geral da Equação: ( ) ( )( )cos 2 sin 2x x xy Ae Be e A x B x− −= + + +

Nota: como é igual a zero, não tem solução particular. 6 – Determine a solução geral da equação ( )'' ' 2 1 1xy y y x e+ + = + − .

1º passo, como não é igual a zero, vou primeiro calcular a equação associada '' ' 0y y y+ + =

Agora vou calcular a equação cartesiana:

2 1 0 20 1 0r r r r r+ + = ⇔ + + =1 3

2 2r i⇔ = − ±

1

23 3

cos sin2 2

x

iy e A x B x−

= +



Agora o 2º passo, a primeira equação particular (pois o 2º membro tem dois termos):

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

'

'' 2

x

x x x

x x x

y ax b e

y ae ax b e ax a b e

y ae ax a b e ax a b e

= +

= + + = + +

= + + + = + +

Substituindo: ( )'' ' 2 1 xy y y x e+ + = +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 1x x x xax a b e ax a b e ax b e x e+ + + + + + + = +

( )2 xax a b e+ + ( ) xax a b e+ + + ( ) xax b e+ + ( )2 1 xx e= +

2 2 1ax a b ax a b ax b x+ + + + + + + = +

3 3 3 2 1ax a b x+ + = +


10 3 3 1 31 3 2 2

3

bGrau a b

Grau aa

= −→ + =

⇔ → = =

1

2 1

3 3x

Py x e = −

é uma Solução Particular (falta a 2ª)

Agora a 2ª solução particular (para o 2º termo do 2º membro):

' 0

'' 0

y a

y

y

=

=

=

Substituindo fica: '' ' 1 0 0 1 1y y y a a+ + = − → + + = − ⇔ = −

2 1Py = − é a segunda Solução Particular

3º passo, Solução Geral 1 2i P Py y y y= + +

1

23 3 2 1

cos sin 12 2 3 3

x xy e A x B x x e−

= + + − −



7 – Resolva a equação 2 2'' 4 ' 4 tx x x t e−− + = , usando a mudança de variavel 2tx e z=

Resolução da 7 – Aqui tenho uma novidade de notação. Pois estou habituado a que o “x” seja a variável independente. Mas neste caso “x” depende de “t” e este é que é independente. Posso afirmar que estou presente de uma equação de física, pois a variável independente “t” é usada em física. É-me dito que 2tx e z= , entáo a sua primeira e segunda derivada é:

( ) ( )2 2 2 2' ' 2 ' 2 't t t tx e z e z e z z z e= = + = +

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2'' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' '' 4 2 ' '' 4 ' 4t t t t t tx z z e z z e z z e z z e z z e z z z e= + = + + + = + + + = + +

Substituindo 2 2'' 4 ' 4 tx x x t e−− + = , fica:

( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2'' 4 ' 4 4 2 ' 4t t t tz z z e z z e e z t e−+ + − + + =

2te 2'' tz e+ 24 ' tz e+ 24 8 tz e− 24 tz e− 2' 4 tz e+ 2 2tz t e−=

4'' 'z z+ 4z+ 8z− 4 'z− 4z+ 2t−=

2 2

1 1 1 1'' ' 'z z dt z A z A dt

t tt t = ⇔ = ⇔ = − + ⇔ = − + ⇔ ∫ ∫

lnz t At B= − + +

Como sei que 22

tt

xx e z z

e= ⇔ =

Fica:

( ) ( )( )2 1 22

ln ln ln ln lnA B t

t At B tt

x e e et At B x e t e e x e

te−

= − + + ⇔ = + + ⇔ = ⇔

2 lnt

t Kex e

t

=



8 – Resolva a equação diferencial: ( )2'' cosy a y ax+ = , com ( ) ( )0 ' 0 0.y y= =

Resolução da 8 – Recordar. Será que a equação é homogénea? Não, não é! Porquê? Simplesmente porque não é igual a zero, mas sim ( )cos ax .

Ou seja para ser homogénea, tem que ser SEMPRE igual a zero. Agora, será que os coeficientes são constantes? Sim, pois apesar de não sabermos o valor de “a”, logo que se saiba, esse valor será sempre esse, independentemente da evolução das variáveis. Assim esta equação ( )2'' cosy a y ax+ = é classificada como sendo uma

Equação Linear de 2ª Ordem, não homogenea e com coeficientes constantes. Este passo é essencial para se ter uma orientação para a resolução da equação. Por exemplo, sei que muito dificilmente uma equação de 2ª ordem tem resolução! 1º passo – Solução da Equação Linear Homogénea (igualar a zero) - 2'' 0y a y+ =

Agora a Equação Caracteristica:

2 2 2 0 2 2 2'' 0 0y a y r a r r a r a r ai+ = → + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = ±

Nota: eu fiz este passo “ 2r a= − ”, senão passava-me ao lado o numero complexo!

( ) ( )cos sinAy A ax B ax= +

2º passo – Solução Particular da equação dada, e tendo em atenção de que a solução tem que ter em conta de que o seno existe

( ) ( )2'' co ss iny a y ax ax++ =

Assim sendo fica:

( ) ( ).sin.cos c axy x b ax= +

E a 1ª derivada é ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' .cos .sin .cos .sin 'y x b ax c ax x b ax c ax= + + +

( ) ( ) ( ) ( )( )' .cos .sin .cos ' .sin 'y b ax c ax x b ax c ax= + + +



( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )' .cos .sin '.cos cos ' '.sin sin 'y b ax c ax x b ax b ax c ax c ax= + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' .cos .sin '.cos sin '.sin cosy b ax c ax x b ax b a ax c ax c a ax= + + + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' .cos .sin '.cos . .sin '.sin . .cosy b ax c ax x b ax a b ax c ax a c ax= + + − + +

Agora a 2ª derivada:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )'' .cos ' .sin ' '.cos . .sin '.sin . .cos 'y b ax c ax x b ax a b ax c ax a c ax = + + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

'' sin cos sin cos cos sin

'' 2 sin 2 cos cos sin

y ab ax ac ax ab ax ac ax x a b ax a c ax

y ab ax ac ax x a b ax a c ax

= − + − + + − −

= − + + − −

Agora substituindo na equação dada (aqui não tem “ ( )sin ax+ ”), mas o “y” já TEM a função trigonométrica

seno, sendo assim o seu valor

( ) ( ).sin.cos c axy x b ax= +

( )2'' cosy a y ax+ =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 sin 2 cos cos sin .si on.cos c sab ax ac ax x a b ax a c ax a x ax xcb a ax− + + − − + = +

( ) ( ) ( )22 sin 2 co cos sab ax ac a ax bx ax−− + ( )2 sina cx ax− ( )2 cosa bx ax+ ( )2 sina cx ax+ ( )cos ax=

( ) ( ) ( )2 cos 2 sin cosac ax ab ax ax− =

( )

( )

2sin 0 2 0

2 1cos 1

ax ab

acax

−= − =

→ ⇔

==

1

20

0

1 1

2 2

bc b

a cc a

= = ⇔

= =

Assim a solução particular é

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.cos .sin 0 .cos .sin

2p py x b ax c ax y x ax axa

= + ⇔ = +

( ).sin2p

xy ax

a=



3º passo – Solução Geral ( ) ( ) ( )cos sin .sin2

xy A ax B ax ax

a= + +

4º passo – Solução particular com ( ) ( )0 ' 0 0.y y= =

( ) ( ) ( )1' sin cos .sin

2

ay aA ax aB ax ax

a= − + + −

2

x

a( ).cos ax

( ) ( ) ( ) ( )1' sin cos .sin .cos

2 2

xy aA ax aB ax ax ax

a= − + + −

( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

00

0

0 00

0 0

cos sin .sin 02

0

' 0 1sin cos .sin .cos 0

2

00 0

0

0

0

2

0 00 0

A a B a aa

y

yaA a aB a a ax

a

==

=

= ==

= =

+ + =

=

⇔ ⇔ ⇔ = − + + − =

��

��

( )( )

( )( )

cos 0 0

o

0

00c s 0

A a A

BaB a

= =

⇔ ⇔ ==

Asssim fica

( ).sin2

xy ax

a=



Teorema de Linearmente Independente

(utilizando o método Wronskiano)

Definição – se 1 1y f= e 2 2y f= são duas soluções linearmente independentes da equação diferencial de 2ª

ordem, incompleta, ou seja do tipo ( ) ( )'' ' 0y g x y h x y+ + = , então a sua solução geral é ( ) ( )1 2y Af x Bf x= + .

1 2

1 2

Ou seja se 0

' '

f f

f f

≠

De um modo geral

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 1 1 1 21 2

1 1 11 2

0, ent o , , ... , s o solu es linearmente independentes.

m

mm

n n nm

f f fã f f f ã çõ

f f f

f f f− − −

≠�

�

�

Exemplo A – vou considerar a equação diferencial seguinte 2 '' 6 0x y y− =

Agora vou mostrar (comprovar) que 31y x= e 2 2

1y

x= , são duas soluções linearmente independentes.

Resolução – vou utilizar a 1ª solução particular 3

1y x= , e calcular a 1ª e 2ª derivada: 21 ' 3y x= e 1 '' 6y x= .

Agora vou substituir na equação dada: ( )2 2 3'' 6 0 6 6 0 0 0x y y x x x− = ⇔ − = ⇔ = (p.v.)

Agora para a segunda, 2 2

1y

x= , e calcular a 1ª e 2ª derivada: 2 3

2 ' 2y x x− −= = − e 42 '' 6y x−= .

Agora vou substituir na equação dada: ( ) ( )2 2 4 2'' 6 0 6 6 0 0 0x y y x x x− −− = ⇔ − = ⇔ = (p.v.)

Ou seja o que eu concluo é que são ambas soluções da equação, mas serão de facto linearmente independente? Tenho que utilizar o Wronskiano. Basta fazer para a função e sua 1ª derivada. Assim

( )( ) ( ) ( )3 3 2 23 2

2 3

. 2 .3 2 3 5 0

3 2

x x x xx x

x x

− −−

−

= − − = − − = − ≠

−

Agora sim posso concluir que são ambas soluções particulares da equação dada e são linearmente independentes.

Uma possível Solução Geral da Equação dada seria 32

By Ax

x= + .



Exemplo B – Agora fazendo ao contrário, determinar a ED de modo a que e 2xy e= , sejam suas

soluções. Como tem duas soluções, trata-se de uma equação diferencial de 2ª ordem.

Escrevo então a sua solução geral xy Ax Be= + , logo ( )' ' 'x xy Ax Be y A Be= + ⇔ = + , e a 2ª derivada

é ( )'' ' ''x xy A Be y Be= + ⇔ = .

Agora vou utilizar a matriz

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 1 11 2

1 1 11 2

0m

m

n n nm

f f f

f f f

f f f− − −

=�

�

�

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 0

' ' ' 1 '

'' '' '' 0 ''

x

x

x

y y y x e y

y y y e y

y y y e y

= =

⇔

A regra diz-me que posso por uma das COLUNAS em evidência, logo fica

1 0 1 0

1 1 ' Divido AMBOS os membros por 1 1 '

0 1 '' 0 1 ''

x

x

e x y x y

y e y

y y

= =

⇔ ⇔ ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).1. '' 1. '.0 .1.1 .1.0 '.1. 1.1. ''1

1 1 '

0 1 ''

x y y y y y x yx y

y

y

= + + − + +

( ) ( ) ( ) ( )'' ' ''1

1 1 '

0 1 ''

xy y y x yx y

y

y

= + − +

'' ' ''xy y xy y⇔ + − − ⇔ , vou agrupar e fica ( )1 '' 'x y xy y⇔ − − + ⇔

Agora multiplico TUDO por ( )1− ( )1 '' ' 0x y xy y→ − + − =

Será que são linearmente independentes? Tenho que utilizar o Wronskiano. Basta fazer para a função e sua 1ª derivada. Assim

( ) ( ). .1 0

1

x x x xx

x

x e e xe ew x e

e

= − = − ≠=

Agora sim posso concluir que são ambas soluções particulares da equação dada e são linearmente independentes.

A ED será ( )1 '' ' 0x y xy y− + − = , e uma possível Solução Geral da Equação seria xy Ax Be= + .

1y x=



Agora vou resolver esta ED ( )1 '' ' 0x y xy y− + − = , sabendo que

Seja y zx= , e em que z é uma escrita abreviada de uma função qualquer em ordem a “z” ( )f z .

A suas 2ª primeiras derivadas são ( ) ( )' ' ' 'y z x z x z x z= + = + , e

( ) ( ) ( )'' ' ' ' ' ' '' ' ' '' 2 'y z x z x z z x z z z x z= + + = + + = +

Substituindo ( )( ) ( )1 '' 2 ' ' 0x z x z x z x z zx− + + + − = ⇔ (e aproveito e já agrupo)

2 2'' 2 ' '' 2 ' 'z x z z x xz z x zx⇔ + − − + + zx− ( ) ( )2 20 '' 2 2 ' 0x x z x x z= ⇔ − + − + = ⇔

Agora vou torna-la da 1ª ordem, pois é mais fácil, e não posso utilizar a equação característica. Assim ' ' ''w z w z= → =

Substituindo, fica ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2'' 2 2 ' 0 ' 2 2 0x x z x x z x x w x x w− + − + = ⇔ − + − + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2dw

x x x x w x x dw x x w dxdx

⇔ − = − − + ⇔ − = − − + ⇔

2

2

1 2 2x xdw dx

w x x

− + ⇔ = − ⇔ −

Antes de tentar integrar o 2º membro, tenho que ter o cuidado de notar que a potência do numerador é igual ao denominador, por isso vou ter que 1º executar a regra de Ruffini (se a potencia do numerador fosse maior, também teria que utilizar esta regra). Só não posso utilizar a regra de Ruffini para números complexos! Mais uma nota, pode parecer fútil e estúpido, mas garanto que não o é, pois vai facilitar. O sinal menos que está fora do integral, vou voltar a pô-lo dentro, mas no DENOMINADOR!

Assim, fica

Regra de Ruffini:

1y x=

2

2

2

22 2 22

x xx x

xx xx− +⇔

− +

−−

( )2

2 2

1 2 2 1 21

x x xdw dx dw dx dx

w wx x x x

− + − + ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫



O 2º termo do 2º membro não é imediato, por isso vou lá utilizando o método de integração dos coeficientes indeterminados.

Agora já consigo integrar todos os termos:

Agora não me posso esquecer que tenho que devolver o resultado em ordem a “x” e “y”, pois foi assim que me foi apresentado. A variável que fui utilizando para progredir no cálculo tem que ser anuladas, tanto o “w” como o “z”. Assim vou começar por anular o w, ora sei que , então fica:

Muito cuidado aqui, pois se não se conseguir perceber este pequeno truque, torna-se muito difícil a sua integração. É simples, mas muito eficaz, que é o de multiplicar o com o , e com isto vou criar mais

dois termos para integrar em vez de um.

Agora é uma questão de sorte, pois apesar de nenhum dos dois termos obtidos serem de integração imediata, ao escolhermos um deles e utilizando o método de integração por partes, temos uma solução que nos permite cortar o 2º termo. Qual deles? Aqui só se lá vai por experiencia. É o 1º termo que tenho que integrar. Não é uma integração imediata, vou ter que utilizar o método de substituição por partes (MPP).

( )( )

( ) ( )2

12 2

1 1 1 1

A x Bxx x A B Ax A Bx

x x x x x x x xx x

− +− + − + − +→ → + ⇔ ⇔

− − − −−

1 1

2 2

A B B

A A

+ = = ⇔

− = = −

( ) ( )2

1 2 1 2 11 1

1

xdw dx dx dw dx dx dx

w w x xx x

− + ⇔ = + ⇔ = + − + ⇔ −− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1ln ln 2 ln ln 1 ln

xx c e x

w e x x e w Ax

−⇔ = − + − + ⇔ =

'w z=

( ) ( )2 2

1 1'

x xe x e xz A z A dx

x x

− −= ⇔ = ⇔

∫

xe ( )1x −

2 2 2 2

x x x x x xe x e e x e e ez A dx z A dx dx z A dx dx

xx x x x

−⇔ = ⇔ = + − ⇔ = + −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

' '

' '


. .

u v u v u v

uv u v u v

= −

= −

∫

∫




Formula:

Fica (só o 1º termo):

Agora integrando o 1º termo, fica:

3º passo, ora como sei que , então fica

Confirmação - ora eu sei que uma Equação Linear de 2ª Ordem tem duas soluções particulares. Como descobri, por inspecção a 1ª, que é , onde é que ela está?

É o segundo termo!, pois se , tenho com . Logo também consigo saber o valor de , pois basta-me

igualar o e o , e fica .

xu e= ' xu e=

' '. .u v u v u v= − ∫ 1v

x= '

2

1v

x= −

( ) ( )' '2 2

1 1. .

x xx x e e

uv e e dx uv dxx xx x

= ⇔ =

− +

−∫ ∫

22

x x xxez A d

ex z A

x

e edx dx

x x x

⇔ = + − ⇔ =

+

∫∫ ∫ 2

xedx

x

+ −

∫

Milagre!

B

+ ⇔ ��

xAz e B

x= +

y zx=

x xAy e B x y Ae Bx

x = + ⇔ = +

1y x=

1B = 1y x= 2y

0B = 1A = 2xy e=



Exercício Equação Diferencial Linear Incompleta

Exercicio - 01 '' 2 ' 2y y+ = −

– 1º passo, resolver a Equação Diferencial Linear Incompleta, tenho que torna-la Incompleta, e só depois a Equação Característica.

2'' 2 ' 0 2 0 0 2y y r r r r+ = → + = ⇔ = ∨ = −

0 2 2 , com e x x x

Inc Incy Ae Be y A Be A B− −= + ⇔ = + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação. Como o 2º membro é do grau zero, basta um polinómio de grau zero. Mas ….. tenho que ter cuidado, pois obtive uma raiz zero, logo é de grau zero vezes “x”! Se fosse zero

duplo, teria que multiplicar por 2x .

' '' 0y a y a yx= → = → =

Agora substituindo na fórmula '' 2 ' 2y y+ = − , fica: ( ) ( )0 2 2 1a a+ = − ⇔ = −

Dois cuidados a ter agora, 1º é o “a” é que é “-1”, e 2º tenho que substituir y ax= , logo fica

( )1y xx y= − ⇔ = −

- 3º passo, a Solução Geral da Equação dada 2'' 2 ' 2 , com e xy y y A Be Ax B−+ = − → −= + ∈�

Exercicio - 02 '' 8 ' 8y y x+ =

– 1º passo, resolver a Equação Diferencial Linear Completa, tenho que torna-la Incompleta, e só depois a Equação Característica.

2'' 8 ' 0 8 0 0 8y y r r r r+ = → + = ⇔ = ∨ = −

0 8 8 , com e x x x


– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação. Como o 2º membro é do grau um, basta um polinómio de grau um. Mas ….. tenho que ter cuidado, pois obtive uma raiz zero, logo é de grau zero vezes “x”! Se fosse zero duplo, teria que multiplicar por 2x .

( ) ' 2 '' 2P P Py ax b y ax b y ax= + → = + → =



Agora substituindo na fórmula '' 8 ' 8y y x+ = , fica:

( )2 8 2 8 2 16 8 8 18 8 8a ax b x a ax b x ax b x+ + = ⇔ + + = ⇔ + =

Tenho que resolver o sistema, e fica:

2

008 0

8 218 8

18 3

bbb

a a a

=== ⇔ ⇔ = = =

Tenho que substituir 2

Py ax bx= + , logo fica

( )2 2

22 20

3 3P P

xy x x y

= + ⇔ =

- 3º passo, a Solução Geral da Equação dada 2

8'' 8 ' 8 , com e 2

3x x

y y x y A Be A B− +

+ = → = + ∈�

2Exercicio - 03 '' 4 ' 4 8 xy y y e−+ + =


2'' 4 ' 4 0 4 4 0 2y y y r r r+ + = → + + = ⇔ = −

2 2 , com e x x

Incy Ae Bxe A B− −= + ∈� (Cuidado pois é raiz dupla!)

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação. Como o 2º membro é uma potencia!,Vou ter que utilizar a tabela, Caso II, nº2 (PDF de Calculo III – Modulo I, na pagina 93). Não esquecer que α é a raiz, e como a minha raiz é dupla, indiferentemente do seu valor ser diferente, existem duas e pronto. Assim sendo, olhando para a tabela, o s = 2. O “s” é o factor de multiplicidade. Exemplo:

�2 21Px Px

x ax bx c+ → + +�

��

Porque se não fizer isto, vou, no fim, acabar por cortar tudo, e vou ter que repetir os cálculos todos.

2 2xPy x ae−=

Não é ( )2 2 2 xPy x ax bx c e−= + +

Porque o meu 2º membro da equação é do grau zero, logo só vou aproveitar o grau zero.



Recordar Grau zero y a=

Grau um y ax b= +

Grau dois 2y ax bx c= + +

E o “x” é elevado ao quadrado porque é raiz DUPLA 22 x

Py x ae−=

Agora vou calcular a 1ª e 2ª derivada (cuidado, que tem-se um produto:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' ' 2 2 ' ' 2 2x x x x x xP P Py a x e x e y a xe x x e y axe ax e− − − − − − = + ⇔ = + − ⇔ = −

Por norma, mete-se o 2xe− em evidencia, e fica ( )2 2' 2 2 xPy ax ax e−= −

Agora a 2ª, fica ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2'' 2 2 ' '' 2 2 ' 2 2 'x x xP Py ax ax e y ax ax e ax ax e− − −= − ⇔ = − + − ⇔

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2'' 2 ' 2 ' 2 2 2 'x xPy ax ax e ax ax x e− − ⇔ = − + − − ⇔

[ ] ( )( )2 2 2'' 2 4 2 2 2x xPy a ax e ax ax e− −⇔ = − + − − ⇔

2 2'' 2 4 4 4 x

Py a ax ax ax e− ⇔ = − − + ⇔

2 2'' 2 8 4 x

Py a ax ax e− ⇔ = − + ⇔

Agora substituindo na fórmula 2'' 4 ' 4 8 xy y y e−+ + = , fica:

( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 8 4 4 2 2 4 8x x x xa ax ax e ax ax e x ae e− − − − − + + − + = ⇔

( )2 22 8 4 xa ax ax e−⇔ − + ( )2 28 8 xax ax e−+ − 2 24 xx a e−+ 28 xe−= ⇔

2 8a ax⇔ − 24ax+ 8ax+ 28ax− 24ax+ 8= ⇔

2 8 4a a⇔ = ⇔ ⇔ =

Tenho que substituir 2 2x

Py x ae−= , logo fica 2 24 xPy x e−=

- 3º passo, a Solução Geral da Equação dada

2 2 2 2 2'' 4 ' 4 8 , com e 4x xx xy y y e y Ae Bx Aee Bx− − − −+ + = → = + + ∈�



3Exercicio - 04 '' 3 ' 3 xy y xe−+ =


2'' 3 ' 0 3 0 0 3y y r r r r+ = → + = ⇔ = ∨ = −

0 3 3 , com e x x x


– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação, vou por inspecção. O correcto seria uma solução com o seguinte aspecto y ax b= + , pois é um polinómio do grau 1. Também tenho o

Em que uma das raízes é zero.rα = Logo vou ter que multiplicar Py ax b= + por “x”. O “x” é

elevado a potência de um, pois só tenho um zero. Assim fica:

( )1 2P Py x ax b y ax bx= + ⇔ = +

Mas falta uma coisa, pois o segundo membro tem mais 3xe− , logo é só multiplicar a solução particular.

( )2 3xPy ax bx e−= +


( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 3 3 2 3' ' ' ' 2 3 'x x x xP Py ax bx e ax bx e y ax b e ax bx x e− − − −= + + + ⇔ = + + + − ⇔

( ) ( )3 2 3' 2 3x xPy ax b e ax bx e− −⇔ = + − + ⇔

Por norma, mete-se o 3xe− em evidencia, e fica ( )2 3' 2 3 3 xPy ax b ax bx e−= + − −

Agora a 2ª, fica ( )( )2 3'' 2 3 3 'xPy ax b ax bx e−= + − − ⇔

( ) ( )( )2 3 2 3'' 2 3 3 ' 2 3 3 'x xPy ax b ax bx e ax b ax bx e− −⇔ = + − − + + − − ⇔

( ) ( )3 2 3'' 2 6 3 3 2 3 3x xPy a ax b e ax b ax bx e− −⇔ = − − − + − − ⇔

( )2 3'' 2 6 3 6 3 9 9 xPy a ax b ax b ax bx e−⇔ = − − − − + + ⇔

( )2 3'' 9 12 2 9 6 xPy ax ax a bx b e−⇔ = − + + − ⇔

Agora substituindo na fórmula 3'' 3 ' 3 xy y xe−+ = , fica:

( )2 39 12 2 9 6 xax ax a bx b e−− + + −( ) ( )2 33 2 3 3 xax b ax bx e−+ + − −( ) 33 xx e−=

( ) ( )2 29 12 2 9 6 6 3 9 9 3ax ax a bx b ax b ax bx x− + + − + + − − =

29ax 12 2 9ax a bx− ++ 26 3 96b ax ab x− + + − 9bx− 3x= ( )1

6 2 3 3 6 2 3 3X

ax a b x ax a b x−

− + − = ⇔ − + = −

Agora tenho que resolver o sistema:

1 12 3 0 3 1

2 3 0 2 31

6 3 112

22

b b ba b

a aaa

− − + = = = − − + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − = − = −= −



Tenho que substituir ( )2 3xPy ax bx e−= + , logo fica 2 31 1

2 3x

Py x x e− = − −


23 33'' 3 ' 3 , co1 1

2 e

3m x x xy y xe y A Be Ax x e B− − −+ = → = +

− +

∈�

( )Exercicio - 05 '' 4 ' 2 8sin 2y y y x+ − =


2'' 4 ' 2 0 4 2 0 2 6y y y r r r+ − = → + − = ⇔ = − ±

( ) ( )2 6 2 6

, com e x x

Incy Ae Be A B− + − −

= + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação, vou por inspecção. Vou me socorrer da tabela do Calculo III – Modulo 1, pagina 93. Assim fica:

( ) ( )c i 2os s n2P x b xy a= +


( ) ( )( ) ( ) ( )' cos 2 sin 2 ' ' 2 sin 2 2 cos 2P Py a x b x y a x b x= + ⇔ = − +

Agora a 2ª, fica ( ) ( )( )'' 2 sin 2 2 cos 2 'Py a x b x= − +

( ) ( )'' 4 cos 2 4 sin 2Py a x b x= − −

Agora substituindo na fórmula ( )'' 4 ' 2 8sin 2y y y x+ − = , fica:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )4 cos 2 4 sin 2 4 2 sin 2 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 8sin 2a x b x a x b x a x b x x− − + − + − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 cos 2 4 sin 2 8 sin 2 8 cos 2 2 cos 2 2 sin 2 8sin 2a x b x a x b x a x b x x− − − + − − =



Vou só arrumar melhor para se ter uma melhor visão:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 cos 2 2 cos 2 8 sin 2 8 cos 2 4 sin 2 2 sin 2 8sin 2a x a x a x b x b x b x x− − − + + − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 cos 2 8 sin 2 8 cos 2 6 sin 2 8sin 2a x a x b x b x x− − + − =

[ ] ( ) [ ] ( ) ( )8 6 cos 2 8 6 sin 2 8sin 2b a x a b x x− + − − =

Agora tenho que resolver o sistema:

4 168 6 0 3 25

48 6 8 126 8 8

3 25

a b ab a

a bb b b

= = − − = ⇔ ⇔

− − = = − − = −

Tenho que substituir ( ) ( )cos 2 sin 2Py a x b x= + , logo fica ( ) ( )16 12cos 2 sin 2

25 25Py x x= − −


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 6 2 6 16 12cos 2 sin 2

25 2'' 4 ' 2 8sin 2 , com e

5

x xx xy y y x y Ae Be A B

− + − −+ − = → = −+ − ∈�

( )Exercicio - 06 '' 4 cosy y x x+ =


2'' 0 1 0y y r r i+ = → + = ⇔ = ±

( ) ( )cos sin , com e Incy A x B x A B= + ∈�

– 2º passo, resolver a Solução Particular da equação, vou por inspecção. Vou me socorrer da tabela do Calculo III – Modulo 1, pagina 93, caso III, 2ª. Como o 2º membro é um polinómio do 1º grau y ax b= + , vou começar por aí, fica:

( ) ( )cos sinP x xBy A= +

Tenho que ter cuidado em não igualar as variáveis de “A” com “B”, ou seja para “A” fica A ax b= + e para o

“B” fica B cx d= + .

Agora muito cuidado. Sei que 1i = e que o ângulo do 2º membro é “x”, e que na realidade é 1.x (um vezes

“x”), logo vou acrescentar um “x” a equação. Nota que não por ser “x”, mas sim 1 (se fosse 2x teria que

colocar 2x ).

( ) ( ) ( ) ( )cos sinP xx ax b x cxy xd++ +=

( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sinP xax bx cxy xdx+ += +

Agora vou calcular a 1ª e 2ª derivada (cuidado, que tem-se um produto (não vou fazer mais porque é trabalhoso, e a partir de agora é sempre a mesma coisa).



Resolver uma equação através de Matrizes

1 – Determine a Solução Geral da equação ' 2

' 2

x x y

y x y

= −

= +


'

' 2 ' 1 2

' 2 ' 2 1Y YA

x x y x x

y x y y y

= − − ⇔ = ⇔ = + ��

1º passo, seja 1 2

2 1A

− =


0A Iλ− =


2 0

2

1

1

λ

λ

−

−

=−

( )( ) ( )( )1 1 2 2λ λ− − − −

( ) ( )2 21 4 0 1 4 1 2iλ λ λ− = ⇔ − = − ⇔ =+ ±

2º passo, como obtivemos números Complexos, vou escolher ao acaso um Vector Próprio Associado a 1 2iλ = −

( ) 0A I Xλ− =

1 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0

2 1 1 2 0 2 2 0 2 2 0

i i ix y

i i x iy

− + − = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ − + + =

2 2 0 0 0 (p.v.)

y ix y ix

x x

= = ⇔ ⇔

− = =



Assim 1x x

y ix i

x = =

3º passo, ( )1 2 2 21 1 1i t t it t it

P PP Y e Y e eY e

i i i

− − −⇔ = ⇔ = =

Recordar a Formula de Euler, que é ( ) ( )cos sinie iθ θ θ= +

( ) ( )2 cos 2 sin 21 1tt itPP

Y e t i tY e e

i i

− = − + − ⇔⇔ =

Ora sei que ( ) ( )sin 2 sin 2t t− = −

( ) ( ) ( ) ( )cos 2 sin 2 cos 2 sin 21 1t tP PY e t i t Y e t i t

i i

= − + − = − − ⇔ ⇔ ⇔

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

São duas soluções linearmente independentes

cos 2 sin 2 cos 2 sin 2

cos 2 sin 2 sin 2 cos 2

t t t tP P

t t t t

i i

i

Y Ye t e t e t e t

e t e t e t ei t

= = +− −⇔ ⇔ + ��

Assim a Solição Geral do exercicio é

( )( )

( )( )

cos 2 sin 2

sin 2 cos 2

t t

t t

Y A Be t e t

e t e t

= + −



Soluções em Series de Potencia de Equações Lineares de 2ª Ordem

Consideremos a seguinte equação ( ) ( ) ( )'' ' 0P x y Q x y R x y+ + =

Seja 0 .x ∈ � Diz-se que:

0x é um ponto Ordinario da equação sse ( )0 0;P x ≠

0x é um ponto Singular da equação sse ( )0 0;P x =

0x é um ponto Singular Regular da equação sse ( )0 0,P x =

( )( )( )

( )( )( )0 0

2

0 0lim limx x x x

Q x R xx x x x

P x P x→ →

− ∈ ∧ − ∈

� �

0x é um ponto Singular Irregular da equação sse ( )0 0,P x = e não é Regular.

Esquematicamente

Seja ( ) ( ) ( )'' ' ' 0P x y Q x y R x y+ + =

0x é …

Ou seja, no ponto Singular, basta falhar uma das duas condições para ser Irregular.



Exercicios

1 – Para cada equação, determine a solução em serie de potencias na vizinhança de 0 0x =

1.1 '' ' 2 0y xy y− − = ( )1.2 '' 0 Equação de Airyy xy− =

21.3 '' ' 0y xy x y− + = ( )21.4 '' 1 0y x y− + =

( )01.5 '' ' 0 1y xy y x− − = = ( ) ( ) ( )1.6 1 '' 0 ; 0 ' 0 2x y y y y− + = = =

Resolução 1.1 '' ' 2 0y xy y− − = (nota este é igual ao exercicio 29, do modulo I, pagina 182)

Seja 0 1 2 3 40 1 2 3 4

0

...nn

n

y a x y a x a x a x a x a x+∞

=

= ⇔ = + + + + +∑

Então 2 31 2 3 4

1

1

' 0 2 3 4 ... ' nn

n

y a a x a x a x y a xn+

=

−∞

= + + + + + ⇔ =∑

E ( )2 3 42

2 2'' 0 2 6 12 ... ' 1' nn

n

ny a a x a x y a xn −+∞

=

= + + + + ⇔ = −∑

Substituindo '' ' 2 0y xy y− − = , fica ( )2 1 0

2 1 2 01 n n nn n n

n n n

a x x a x a xn n n+∞ +∞ +∞

= = =

− − − − =

−

∑ ∑ ∑

Como o dois, do 3º termo, é uma constante, vou polo dentro somatorio. Vou também fazer com que TODOS os somatorios comecem por " 0"n = , não me esquecendo então de decompor o somatorio. Assim

1

1 0

' n nn n

n n

xny a x na+∞ ∞

−+

= =

= =∑ ∑ e ( ) ( ) ( )2

22 2 2

0

2'' 121 n nn n

n n

y a an nx n xn+∞

=

−+

=

−+

+∞

+ −+= =−∑ ∑

( )2 1 0

2 1 21 0n n nn n n

n n n

n n na x x a x a x+∞ +∞ +∞

= =

− −

=

⇔ − − = ⇔

−

∑ ∑ ∑

( )( ) 12

01

0 0

12 2 2 0n n nn n n

n n nn

n n na x x a x a x+∞ +∞ +∞

= =

−+

== +

⇔ − − = ⇔ + + −

∑ ∑ ∑��

( )( ) 12

0 0 0

1

1

2 2 21 0n n nn n n

n n nn

a x an xn n x a+∞ +∞ +∞

= = =

+−+

= +

⇔ −+ −− ⇔+ =∑ ∑ ∑��



( )( ) 20

2 1 2 0nn n n

n

n n a na a x+∞

+=

+ + − − = ∑

Para ser zero, então ( )( ) 22 1 2 0n n nn n a na a++ + − − =

É uma sucessão, mas ainda não sei o Termo Geral. Vou lá por condições (aleatorias, mas convém trabalhar com valores baixos, pois facilita os calculos). Assim 0 0a = , e 1 1a = .

Já tenho 2 termos, vou calcular um terceiro: O terceiro termo é obtido quando o 0n = (cuidado com estas igualdades para não se ficar baralhados):

( )( ) ( )( ) ( )0

2 0 2 0 02 1 2 0 0 2 0 1 0 2 0n

n n nn n a na a a a a=

+ ++ + − − = → + + − − = ⇔

2 02 0 2 0a a⇔ − − = ⇔

Ora sei que 0 0a = , então fica 2 2 22 0 0 0 2 0 0a a a− − = ⇔ = ⇔ =

O quarto termo é obtido quando o 1n = :

( )( ) ( )( ) ( )1

2 1 2 1 12 1 2 0 1 2 1 1 1 2 0n


+ ++ + − − = → + + − − = ⇔

3 16 3 0a a⇔ − = ⇔

Ora sei que 1 1a = , então fica 3 3 3

16 3.1 0 6 3

2a a a− = ⇔ = ⇔ =

Como ainda só tenho dois resultados diferentes de zero, vou continuar a procura de mais termos. O quinto termo é obtido quando o 2n = :

( )( ) ( )( ) ( )2

2 2 2 2 22 1 2 0 2 2 2 1 2 2 0n


+ ++ + − − = → + + − − = ⇔

Aqui já vou utilizar os valores calculados de 2a :

( )4 212 4 0a a⇔ − = ⇔

Ora sei, por calculo, que 2 0a = , então fica 4 412 0 0a a⇔ = ⇔ =

O sexto termo é obtido quando o 3n = :



( )( ) ( )( ) ( )3

2 3 2 3 32 1 2 0 3 2 3 1 3 2 0n


+ ++ + − − = → + + − − = ⇔

5 320 5 0a a⇔ − = ⇔

Ora sei que 3

1

2a = , então fica 5 5 5

1 5 120 5 0 20

2 2 8a a a

− = ⇔ = ⇔ =

Uma informação extra deste exercicio, é que para “n” par, tenho sempre zero no resultado. Assim sendo a minha primeira solução particular é 0 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5 6 ...y a x a x a x a x a x a x a x= + + + + + + +

3 51

1 10 0 0 0 ...

2 8y x x x= + + + + + + +

3 51

1 1...

2 8y x x x= + + +

Como é de 2ª ordem, preciso de uma segunda solução particular 2y , que tem que ser linearmente independente.

Para conseguir isso, basta trocar os valores de atribuição dos “a”. Assim 0 1a = , e 1 0a = (são os 2 primeiros

termos). Agora, e como já sei os 2 primeiros termos, vou calcular o terceiro: O terceiro termo é obtido quando o 0n = (cuidado com estas igualdades para não se ficar baralhados):

( )( ) ( )( ) ( )0

2 0 2 0 02 1 2 0 0 2 0 1 0 2 0n


+ ++ + − − = → + + − − = ⇔

Ora sei que 0 1a = , e 1 0a = , então fica 2 2 22 0 2 0 2 2 1a a a− − = ⇔ = ⇔ =

O quarto termo é obtido quando o 1n = :

( )( ) ( )( ) ( )1

2 1 2 1 12 1 2 0 1 2 1 1 1 2 0n


+ ++ + − − = → + + − − = ⇔

( )3 1 3 3 36 3 0 6 3. 0 0 6 0 0a a a a a⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

Como ainda só tenho dois resultados diferentes de zero, vou continuar a procura de mais termos. O quinto termo é obtido quando o 2n = :



( )( ) ( )( ) ( )2

2 2 2 2 22 1 2 0 2 2 2 1 2 2 0n


+ ++ + − − = → + + − − = ⇔

Aqui já vou utilizar os valores calculados de 2a :

( ) ( )4 2 4 4

112 4 0 12 4 1 0

3a a a a⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

Uma informação extra deste exercicio, é que para “n” impar, tenho sempre zero no resultado. Assim sendo a minha segunda solução particular é 0 1 2 3 4 5 6

2 0 1 2 3 4 5 6 ...y a x a x a x a x a x a x a x= + + + + + + +

2 42

11 ...

3y x x= + + +

E a Solução Geral é 3 5 2 41 2

1 1 1... 1 ...

2 8 3y y y A x x x B x x

= + = + + + + + + +

Resolução ( )1.2 '' 0 Equação de Airyy xy− =

Seja 0 1 2 3 40 1 2 3 4

0

...nn

n

y a x y a x a x a x a x a x+∞

=

= ⇔ = + + + + +∑

Então 2 31 2 3 4

1

1

' 0 2 3 4 ... ' nn

n

y a a x a x a x y a xn+

=

−∞

= + + + + + ⇔ =∑

E ( )2 3 42

2 2'' 0 2 6 12 ... ' 1' nn

n

ny a a x a x y a xn −+∞

=

= + + + + ⇔ = −∑

Substituindo '' 0y xy− = , fica ( ) 2

2 0

01 n nn n

n n

xn a xn a x+∞ +∞

= =

− − =

−

∑ ∑

( ) 2 1

02

01 n nn n

n n

n a xn x a+∞ +∞

+

= =

− − =−∑ ∑

Nota, no primeiro termo se " 2"n = , a potencia de 2" "nx − passa a 0" "x . E no segundo termo, quando " 0"n = a

potencia de 1" "nx + passa a 1" "x . Assim sendo vou decompor o primeiro termo do seguinte modo



( ) ( )( )

( ) ( )2

2 2 22 22 2

3 3 co

2m 21

1 2 1 212 1n

n

n n nn n n

n n na x nn n

a x a x a x a a xn n n n n n−

+∞ +∞ +∞−

= = ==

− − −

−

− − −⇔ − + ⇔ +∑ ∑ ∑��

Ou seja, quando " 3"n = , o 1º termo é igual ao 2º termo. Assim com " 3"n = , ( ) 3

3 23 3 1 a x −−

Tudo fica: ( )( ) 1 12 3

0 0

2 3 02 n nn n

n n

na a x an x+∞ +∞

+ ++

= =

− =+ ++∑ ∑

( )( ) 12 3

0

03 22 nn n

n

a a a xn n+∞

++

=

++ − = + ∑

( ) ( )( ) ( )

2 2

33

2 0 2 0

3 2 03 2

nn nn

a a

an n a aa

n n+

+

= =

⇔ + + − = =

+ +

Relação de Recorrencia - ( )( )3 3 2

nn

aa

n n+ =+ +

Chama-se Relação de Recorrencia, porque para saber 3na + , 1º preciso de saber o na .

Assim, vou SUPOR que 0 0a = e 1 1a = , e eu sei que 2 0a = , pois eu digo que 22 0a = .

Agora vou a procura de três resultados diferentes de zero, e para isso vou começar com o 0n = , e vou evoluindo passo a passo: Assim com 0n = , tenho (aqui tenho que ter cuidado, pois eu afirmo que 0 0a = ):

( )( ) ( )( )0

03 3 3 3

00

3 2 0 3 0 2 6

nn

n

a aa a a a

n n

=

+ = → = ⇔ = ⇔ =+ + + +

Assim com 1n = , tenho (aqui tenho que ter cuidado, pois eu afirmo que 1 1a = ):

( )( ) ( )( )1

13 4 4 4

1 1

3 2 1 3 1 2 4.3 12

nn

n

a aa a a a

n n

=

+ = → = ⇔ = ⇔ =+ + + +




( )( ) ( )( )2

23 5 5 5

00

3 2 2 3 2 2 5.4

nn

n

a aa a a a

n n

=

+ = → = ⇔ = ⇔ =+ + + +

Assim com 3n = , tenho (aqui tenho que ter cuidado, pois eu JÁ CALCULEI que 3 0a = ):

( )( ) ( )( )3

33 6 6 6

00

3 2 3 3 3 2 6.5

nn

n

a aa a a a

n n

=

+ = → = ⇔ = ⇔ =+ + + +

Assim com 4n = , tenho (aqui tenho que ter cuidado, pois eu JÁ CALCULEI que 4

1

12a = ):

( )( ) ( )( )4

43 7 6 6

1112

3 2 5 3 5 2 8.7 504

nn

n

a aa a a a

n n

=

+ = → = ⇔ = ⇔ =+ + + +

Nota, fui até ao 4n = , pois preciso pelo menos de 3 numeros diferentes de zero, ora tenho: - 1 1a = (que eu imponho)

- 4

1

12a =

- 6

1

504a =

Assim a minha 1ª solução particular é 4 71

1 1...

12 504y x x x= + + +

Como é de 2ª ordem, preciso de uma segunda solução particular 2y , que tem que ser linearmente independente.

Para conseguir isso, basta trocar os valores de atribuição dos “a”. Assim 0 1a = , e 1 0a = (são os 2 primeiros

termos). Agora, e como já sei os 2 primeiros termos, vou calcular o terceiro: Assim com 0n = , tenho (aqui tenho que ter cuidado, pois eu afirmo que 0 1a = ):

( )( ) ( )( )0

03 3 3

1

3 2 0 3 0 2 6

nn

n

a aa a a

n n

=

+ = → = ⇔ =+ + + +




( )( ) ( )( )1

13 4 4 4

00

3 2 1 3 1 2 4.3

nn

n

a aa a a a

n n

=

+ = → = ⇔ = ⇔ =+ + + +


( )( ) ( )( )2

23 5 5 5

00

3 2 2 3 2 2 5.4

nn

n

a aa a a a

n n

=

+ = → = ⇔ = ⇔ =+ + + +

Assim com 3n = , tenho (aqui tenho que ter cuidado, pois eu JÁ CALCULEI que 3

1

6a = ):

( )( ) ( )( )3

33 6 6 6

116

3 2 3 3 3 2 6.5 180

nn

n

a aa a a a

n n

=

+ = → = ⇔ = ⇔ =+ + + +

Assim a minha 2ª solução particular é 3 62

1 11 ...

6 180y x x= + + +

A Solução Geral da equação dada é 4 7 3 61 2

1 1 1 1... 1 ...

12 504 6 180y y y A x x x B x x

= + = + + + + + + +



2 – Determine os pontos singulares da equação ( ) ( )22 2 '' 3 ' 2 0x xy xy x y− + + − = e classificque-os em regulares

ou irregulares.

Resolução 2 – ora bem, vou primeiro separar os ( )P x , ( )Q x e ( )R x

( ) ( ) ( ) ( )22 2 3 2P x x x Q x x R x x= − = = −

Para poder determinar os pontos singulares (Lineares de 1ª ordem), tenho que ter ( ) 0P x = .

Assim sendo, fica ( )22 2 0x x− = , e para isto acontecer, 0 2.x x= ∨ = Posso por isso afirmar que os

pontos singulares desta equação dada é 0 e 2. Vou agora iniciar a classificação, começando pelo 1º ponto singular, que é o zero. Esta ordem é indiferente. Ponto Singular 0 – tenho que verificar duas condiçoes.

( )( )( )0

00

lim limx x x

Q xx x x

P x→ →

− =

( )2

3.2 2

x

x x− ( )( )2 20 0 0

3 3 3 0lim lim lim 0

2 2 44 42 2x x x

x x

x xx→ → →

= = = = < ∞ − + −

Passou na 1ª condição, vou agora ver a 2ª, e sempre no mesmo ponto, que neste caso é o zero.

( )( )( )0

2 20

0lim limx x x

R xx x x

P x→ →

− =

2.

x −

( ) 22 2x − x ( )( )

0lim 0

2 2x

x

x→

= = < ∞

−

Como os dois criterios deram inferior a infinito, posso por isso, agora, afirmar que o zero é um Ponto Singular da equação dada. Agora vou verificar o 2º ponto obtido, que é o dois. Ponto Singular 2 – tenho que verificar duas condiçoes.

( )( )( )

( )0

02

lim lim 2x x x

Q xx x x

P x→ →

− = −

3.

x

( ) 22 2x − x ( )2

3 3 1 3lim .

2 2 2 2 2 2x x→

= = = ∞ = ∞ − −

Como não passou na 1ª condição, nem é preciso verificar a 2ª, já posso concluir que o 2 não é ponto singular regular. O 2 é por isso classificado como sendo um Ponto Singular Irregular.



3 – Para as equações diferenciais das seguintes alineas, determinar algumas parcelas da solução em forma de serie na vizinhança dos pontos singulares, correspondente ao maior valor das raizes da Equação Indicial. Se as raizes da equação indicial não diferirem por um inteiro, determine também a solução particular correspondente à menor raiz.

( )3.1 '' 1 ' 0xy x y y+ − − = ( ) ( )23.2 '' 3 ' 3 0x y x x y x y− + + + = 3.3 '' 0xy y+ =

2 2 13.4 '' ' 0

9x y xy x y

+ + − =

Resolução 3.1 – ora bem, vou primeiro separar os ( )P x , ( )Q x e ( )R x

( ) ( ) ( )0 1 1P x Q x x R x= = − = −


Como 0x = , o zero e ponto singular (mas não sei se é regular, tenho que ver os limites!).

Agora, seja ( ) ( )0 0 0

0 0r n n n

n nr

nn

r

n n

y x a x y a x y a xx+∞ +∞ +∞

= =

+

=

−= ⇔ =− ⇔ =∑ ∑ ∑

Cuidado que não é somar “+1” mas sim “+r” ! Outra nota importante, e que leva a muito engano por descuido. Se o “x” que esta fora do somatorio tivesse a potencia elevado a “n” em vez de ser em “r”, NÃO poderia ir para dentro so somatorio!

0

2

0

!nn nn n

n n

y a x y ax x ERRADO+∞ +∞

= =

= ⇔ =∑ ∑

Nota, se em vez de ter como Ponto Singular zero, tivesse 2 ( )2x − , que é vulgarmente designado Serie de

Potencia ( )2x − , a notação seria ( ) ( )0

2 2r n

nn

y x a x+∞

=

− −= ∑ . Se fosse -2 seria ( )( ) ( )2 2x x− − = + .

A sua 1ª derivada é ( )'

00

1' 'r rn nn n

n n

y a x y n r a x+ +∞

+∞

+ −

==

= ⇔ = + ∑ ∑



Outra nota importante é o do indice do “n”, que continua a ficar a zero, não passa para 1.

( )'

1

10

' ' !r rn nn n

n n

y a x y n r a x ERRADO+ ++∞ +∞

= =

− = ⇔ = + ∑ ∑

Este erro é só devido ao facto de ter no somatorio o “+r”. Pois se não tivesse, não me afligia, pois o 1º termo daria zero. Ou seja quando tenho:

1 2 30 1 2 3

0 1 2 1 21 2 3 1 2 3

...

' 0 1 2 3 ... ' 0 2 3 ...

y a a x a x a x

y a x a x a x y a a x a x

= + + + +

= + + + + ⇔ = + + + +

Posso por isso usar o 1n = Agora com o “x” com potencia de “r”, fica:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 1 2 30 1 2 3

0 1 1 1 2 1 3 10 1 2 3

1 1 20 1 2 3

...

' . 1 2 3 ...

' . 1 2 3 ...

r r r r

r r r r

r r r r

y a x a x a x a x

y r a x r a x r a x r a x

y r a x r a x r a x r a x

+ + + +

+ − + − + − + −

− + +

= + + + +

= + + + + + + + ⇔

⇔ = + + + + + + +

Tenho que por isso usar o 0n =

Ou seja posso notar matematicamente deste modo ( ) 1

0

' n rn

n

y n r a x+∞

+ −

=

= +∑ , e é designado por (em torno dos

pontos singulares): Serie Frobenius

Quando o ponto é singular regular utilizo a Serie Frobenius. Voltando ao exercicio 3.1 – 1ª derivada.



( )'

00

1' 'r rn nn n

n n


+∞

+ −

==

= ⇔ = + ∑ ∑

2ª derivada - ( ) ( )( )'

1 2

0 0

'' '' 1n r n rn n

n n

y n r a x y n r n r a x+∞ +∞

+ − + −

= =

= + ⇔ = + + − ∑ ∑

Agora substituindo na equação dada, ( )'' 1 ' 0xy x y y+ − − = , fica

( )( ) ( ) ( )2 1

0 0 0

1 1 0n r n r n rn n n

n n n

n r n r a x x nx r a x y a x+∞ +∞ +∞

+ − + − +

= = =

+ + − + − + − = =

∑ ∑ ∑

( )( ) ( ) ( )2 1

0 0 0

11 1 0n r n r n rn n n

n n n

n r n r a x x n r a x a x+∞ +

+∞ +∞

+ − + − +

= = =

+ + − + − + − =

∑ ∑ ∑

Chamada de atenção ao 2º termo: ( ) ( ) 1

0

1 n rn

n

x n r a x+∞

+ −

=

− +

∑ , pois vou multiplicar o ( )1 x− .

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

0 0 0 0

1n r n r n r n rn n n n

n n n n

xn r a x n r a x n r a x n r a x+∞ +∞ +∞ +∞

+ − + − + − + −

= = = =

+ + − + ⇔ + − +

∑ ∑ ∑ ∑

Tudo junto fica

( )( ) ( ) ( )1 1

0 0 0 0

1 n r n r n r n rn n n n

n n n n

n r n r a x n r a x n r a x a x+∞ +∞ +∞ +∞

+ − + − + +

= = = =

+ + − + + − + −∑ ∑ ∑ ∑

Agora, olhar para as potencias do “x”, tenho no 1º e 2 º termo 1n r+ − , e no 3º e 4º termo tenho n r+ . Ora bem, quando tenho 0n = , inicio da contagem, fica 1r − e r . Se somar a contagem do somatorio que segue, ou seja quando 1n = , fica r e 1r + . Ou seja vou ao somatorio do 1º termo, e coloco fora do somatorio o 1º termo. Cuidado com a leitura desta linha. Vou DENTRO do somatorio, e “saco” cá para “fora” a 1ª contagem. Faço isto também ao 2º somatorio. Assim no fim, em vez de 4 termos, fico com 6.



( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 10

1 10

1 1

10

0 0

00 1 00 1 n r n r n r n r

n nn n n n

n n

rr n r n r a x n r a x n r ar ar r a x x x a x+∞ +∞ +∞ +∞

+ − + − + +

=

+

= =

−+ −

=

+ + + − + ++ + − + − + − =+∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( )10

01

11 1

00

1

1 01 n r n r n r n rn n n

n

r r

nnn

n

n r n r a x n r a x n r a xr r a x xx ara+∞ +∞ +∞ +∞

+ − + − +−

=

−

= ==

++ + + − + + + − + −− =∑ ∑ ∑ ∑

Agora volta-se a por o 0n = .

( ) ( )( ) ( ) ( )1 11

1 1 1 10 0 1

0 0 0 0

1 1 . . . 01 1 1r n r r n r n r n rn n n n

n nn n

r r a x n r n r a x ra x n r a x n r a x a x+∞ +∞ +∞ +∞

− + − + ++ +

=

− +

=

− + +

= =

− + + + − + + + − + −+ =+ +∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( )1 11 1

0 00 0 0 0

1 1 . 1 . . 0r n r r n r n r n rn n n n

n n n n

r r a x n r n r a x ra x n r a x n r a x a x+∞ +∞ +∞ +∞

− + − + + +

= =+

=+

=

− + + + + + + + + − + − =∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( )1 10

1 10

0 00

0

1 1 . 1 . . 0n r n r n r n rn n n n

n n

r

n

r

n

r ar n r n r a x n r ax ra x x n r a x a x+∞ +∞ +∞ +∞

+ + + +

=

− −+ +

= = =

− + + + + + + + + − + − =∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( )1 10 0 0 0

101 1 . 1 . . . 0n n n n

n r n r n r n r

n n n

r

n

r r n r n r a n r ax x xr a x a xn r a+ + ++∞ +∞ +∞ +∞

+ += = =

+

=

−− + + + + + + + + − + − = ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( )1 11

001 1 . 1 . . 0n n

nn

n

rn

rr r n r n r a n r a n xar a ax r−+∞

=

++ +− + + + + + + + + + + − = ∑

Ora agora tenho que impor duas condições:

( )

( ) ( )

1 0

1 1

r r r

n r n r

− + =

+ + + + ( )1. 1na n r+ − + + ( )

2

1

0

1 . 0. 0 n nn

r

n r a aa +

=

⇔ + + − ==

Chama-se

2 0r = - Equação Indicial (é de notar que tenho a raiz dupla e igual!) e a ( ) 11 . 0n nn r a a++ + − = - Relação de Recorrencia.

1

0

1n

n

r

aa

n r+

= =

+ +



Outra nota MUITO importante, está no enunciado:

“…correspondente ao maior valor das raizes da Equação Indicial” É-me solicitado a MAIOR das raizes, mas como é dupla, faço para o zero, pois 0r = .

Ou seja, quando 0r = , tem-se que 1 1n

n

aa

n r+ =+ +

.

Agora vou atribuir a 0 1a = e vou começar com

0n = →

01 1 1 1

11

1 0 0 1 1n

n

a aa a a a

n r+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =+ + + +

- não esquecer “…ou seja, quando 0r = ”

1n = → 11 2 2

1

1 1 0 1 2n

n

a aa a a

n r+ = ⇔ = ⇔ =+ + + +

2n = → 21 3 3 3

112

1 2 0 1 3 6n

n

a aa a a a

n r+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =+ + + +

3n = → 31 4 4 4

116

1 3 0 1 4 24n

n

a aa a a a

n r+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =+ + + +

Assim: 0 0 1 2 3 2 31 0 1 2 3

0 0

1 1... 1 ...

2 6n n

n nn n

y x a x a x a x a x a x a x x x x+∞ +∞

= =

= = = + + + + = + + + +∑ ∑

E pronto fico por aqui. Se houvesse outra raiz, também ficaria por aqui, pois é-me solicitado a maior das raizes!



Resolução 3.2 – ( ) ( )2 '' 3 ' 3 0x y x x y x y− + + + =

A sua classificação é Eq. Linear de 2ª Ordem Homogenea e de Coeficientes não Constantes. É linear, porque o “y” está a potencia de um. Homogenea, porque é igual a zero.

Vou primeiro separar os ( )P x , ( )Q x e ( )R x

( ) ( ) ( ) ( )2 3 3P x x Q x x x R x x= = − + = +


Como 0x = , o zero é ponto singular. ( ) ( ) 20 0 0 0P x P= ⇔ = =

Mas não sei se é regular, pois se o for, utilizao a Serie de Frobenius e em que 0 0x = .

( )( )( )

( )( )

00 20 0

3lim lim 0 limx x x x

Q x x xx x x x

P x x→ → →

− + − = − =

x− ( )2

3x

x

+( )

0lim 3 3x

x→

= − + = − ∈

�

Nota, ao dizer ∈� , já estou a excluir o −∞ e o +∞ .

( )( )( )

( )0

2 2 20 20 0


R x xx x x x

P x x→ → →

+ − = − =

2

3x

x

+ ( )0

lim 3 3x

x→

= + = ∈

�

Como este dois limites deu verdadeiro, posso afirmar que o zero é um ponto Singular Regular, logo posso utilizar a Serie de Forbenius para calcular a solução. Ora então a notação é esta

( ) ( )0 0 0

0 0r n n n

n nr

nn

r

n n

y x a x y a x y a xx+∞ +∞ +∞

= =

+

=

−= ⇔ =− ⇔ =∑ ∑ ∑

Cuidado que não é somar “+1” mas sim “+r” !

( )'

00

1' 'r rn nn n

n n


+∞

+ −

==

= ⇔ = + ∑ ∑

( ) ( )( )'

1 2

0 0

'' '' 1n r n rn n

n n


+ − + −

= =

= + ⇔ = + + − ∑ ∑



Agora substituindo na equação dada, ( ) ( )2 '' 3 ' 3 0x y x x y x y− + + + = , fica

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 1

0 0 0

1 3 3 0n r n r n rn n n

n n n

x n r n r a x x x n r a x x a x+∞ +∞ +∞

+ − + − +

= = =

+ + − − + + + + =

∑ ∑ ∑

2x ( )( ) 21 n rnn r n r a x −++ + − ( ) ( ) ( )2 1

0 0 0

3 3 0n r n rn n

n n n

x x n r a x x a x+∞ +∞ +∞

+ − +

= = =

− + + + + =

∑ ∑ ∑

( )( ) ( ) ( )2

0 0

1

0

1

00

1 3 03n r n r n r n rn n

nn nn

n

n

n

r

n n

x xn r n n r a x x n r a x x xr aa ax+∞ + +∞

+ − + −

=

+∞+

∞ +∞+ +

= == =

+ + − + =

− + − +

+

∑ ∑ ∑ ∑∑

( )( )0

21 n rn

n

n a xr n r x+∞

+

=

+ + −−∑ ( ) 1n rnn r a x + −+

0

3n

x+∞

=

−∑ ( ) 1n rnn r a x + −+

0 00

03n r n rn n

nn n

x a x a x+∞+∞ +∞

+ +

= ==

++ =∑∑ ∑

( )( ) ( ) ( )0 00 0

1 1

0

3 31 0nn r n rn n

n n

r n rn n

n n

n rn

n

n r a x n r a a x ax xn r n r a x + ++∞+∞ ++∞

+

=

+∞+ +

=

+ +

=

∞

= =

− + − ++ ++ + − =∑∑ ∑∑ ∑

Agora tenho que olhar para a pontecia do “x”, e ter o 0n =

0 rx + r

0 1rx + + 1r +

0 rx + r

0 1rx + + 1r +

0 rx + r

Agora vou somar +1 ao “r”:

r 1r + r 1r + r 1r + 2r + 1r + 2r + 1r +

O que é que tenho em comum?



r 1r + r 1r + r 1r + 2r + 1r + 2r + 1r +

É o 1r + , logo vou faxer com que a potencia do “x”, seja em TODOS os termos 1r + .

Ou seja vou ao somatorio do 1º termo, e coloco fora do somatorio o 1º termo. Cuidado com a leitura desta linha. Vou DENTRO do somatorio, e “saco” cá para “fora” a 1ª contagem. Faço isto também ao 3º e 5º somatorio. Assim no fim, em vez de 5 termos, fico com 8.

( )( ) ( ) ( )0

1

0

1

0 00

1 33 0n r n rn rnn

nn

rn

n rn

n n nnn

n r an r an x axr n r a x x a x+∞ +∞

+ + ++∞

+

=

+∞+

=

+

=

+

=

+∞

=

+ + − − ++ − + + =∑ ∑ ∑∑ ∑ ,

Com 0n = , mas para os termos que meto cá “fora”, pois a partir daí o 1º, 3º e 5º termo começam com 1n =

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )00 00

1 101

10

1

0

03 30 1 3 30 1 0r n rn

r n rn

r n rn

n r n rn

n n nn

nn

n

r a xn r a x a xr r a x n r n r a xa x n r a x a x+∞ +∞

+ + + +

= =

+∞+ +

+∞+ +

+∞+ +

= ==

+ + − + + −+ + − − + − + + ++ =∑ ∑ ∑∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( ) 01

1 1

00 0

01 1

3 03 31 31 r n rr n rn

n r n rn n

n

r n rn

nnn

nn

n r ar r a x n r n ra x n r a x ar a xx xx x a a+∞ +∞

+ + + +

= =

+∞+

= =

++ ∞

+

=

∞ +

−+ −− + +++ ++ =+ − −∑ ∑ ∑∑ ∑

Agora vou voltar a acertar os limites do Somatorio, tendo então o 0n = .

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11 1 1

0 0

1 10 0 0

00 0

1 1 3 31 1 1 3 3 0r n r n r r n r n r r n rn n n n n

n n n n n

r r a x n r n r a x n r a x ra x n r a x a x a x a x+∞ +∞ +∞ +∞ +∞

+ + ++ + ++

+ + + +

= = = = =+ ++− + + + − − + − − + + ++ + =+∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( )1 10 0

1 1 11 1 1

0 0 00

0 0

1 3 3 01 1 3 3r n r n r r n r n r r n rn n n n n

n n n n n

r r a x n r n r a x n r a x ra x n r a x a x a x a x+∞ +∞ +∞ +∞ +∞

+ + + + + + +

=

+ + ++

= = =+ +

=

− + + + − + − − ++ + + + + =∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( ) 10 1 1 1

0

1 3 3 1 3 1 3 0r n rn n n n n

n

r r r a x n r n r a n r a n r a a a x+∞

+ ++ + +

=

− − + + + + + − + − + + + + = ∑

Como já tenho a potencia do “x” igual, vou a equação, e vou separar a Equação Indicial da Relação de Recorrencia.

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )1

1 3 1 0

1 3 1 3 1 0n n

r r r

n r n r n r a n r a+

− − + = + + + − + + + + − + + =



Chama-se

( ) ( )1 3 1 0r r r− − + = - Equação Indicial

e a

( )( ) ( ) ( )11 3 1 3 1 0n nn r n r n r a n r a++ + + − + + + + − + + = - Relação de Recorrencia.

Equação Indicial

( ) ( ) 2 21 3 1 0 3 3 0 4 3 0 1 3r r r r r r r r r r− − + = ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =

( )( )( ) ( )1

1 3

1

1 3 1 3n

n

r r

n r aa

n r n r n r+

= ∨ = + − = + + + − + + +


“…correspondente ao maior valor das raizes da Equação Indicial” É-me solicitado a MAIOR das raizes, que neste caso é 3r =

Ou seja, quando 3r = , tem-se que( )

( )( ) ( )1

1

1 3 1 3n

n

n r aa

n r n r n r+

+ − =+ + + − + + +

( )( )( ) ( )

[ ]( )( ) ( )1 1

1 3 1

1 3 1 3 4 3 3 4 3

3

3 3 3n n

n n

n a n aa a

n n n n n n+ +

+ − + − ⇔ = ⇔ = ⇔+ + + − + + + + + − + +

( )1 2

2

3n

n

n aa

n n+

+⇔ =

+ 4 12n+ + 3n− 12−

( ) ( )( )( )1 12

2 2

1 34 33n n

n n

n a n aa a

n nn n+ +

+ +⇔ = ⇔ =

+ ++ ++

Seja 3 31

0 0

n nn n

n n

y x a x a x+∞ +∞

+

= =

= =∑ ∑



Agora vou atribuir a 0 1a = (mas pode ser um numero qualquer, menos o zero, no entanto o um é melhor) e vou

começar com

0n = →

( )( )( )

( )( )( )

01 1 1 1

2 0 2 2.1 2

1 3 0 1 0 3 3 3n

n

n a aa a a a

n n+

+ += ⇔ = ⇔ = ⇔ =

+ + + +

- não esquecer “…quando 3r = ”

1n = →

( )( )( )

( )( )( )

11 2 2 2

232 1 2 13

1 3 1 1 1 3 2.4 4n

n

n a aa a a a

n n+

+ += ⇔ = ⇔ = ⇔ =

+ + + +

2n = →

( )( )( )

( )( )( )

21 3 3 3

14.2 2 2 14

1 3 2 1 2 3 3.5 15n

n

n a aa a a a

n n+

+ += ⇔ = ⇔ = ⇔ =

+ + + +

Assim: 3 3 4 5 61 0 1

3 4 62 3

0

5 2 1 1... ...

3 4 15n

nn

y a x a x a x a x a x x x x x+∞

+

=

= = + + + + = + + + +∑

E pronto fico por aqui. Não faço para 1r = , pois é-me solicitado a maior das raizes! Resolução 3.3 '' 0xy y− + =

A sua classificação é Eq. Linear de 2ª Ordem Homogenea e de Coeficientes não Constantes. É linear, porque o “y” está a potencia de um. Homogenea, porque é igual a zero.

Vou primeiro separar os ( )P x , ( )Q x e ( )R x

( ) ( ) ( )0 1P x x Q x R x= = =


Como 0x = , o zero é ponto singular. ( ) ( )0 0 0P x P= ⇔ =



Mas não sei se é regular, pois se o for, utilizao a Serie de Frobenius e em que 0 0x = .

( )( )( )

( )0

00 0

0 0lim lim 0 lim 0x x x x

Q xx x x x

P x x x→ → →

− = − = = ∈

�

Nota, ao dizer R∈ , já estou a excluir o −∞ e o +∞ .

( )( )( )

( )0

2 2 20

0 0


R xx x x x

P x x→ → →

− = − =

1

x( )

0lim 0x

x→

= = ∈

�

Como este dois limites deu verdadeiro, posso afirmar que o zero é um ponto Singular Regular, logo posso utilizar a Serie de Forbenius para calcular a solução. Ora então a notação é esta

( ) ( )0 0 0

0 0r n n n

n nr

nn

r

n n

y x a x y a x y a xx+∞ +∞ +∞

= =

+

=

−= ⇔ =− ⇔ =∑ ∑ ∑

Cuidado que não é somar “+1” mas sim “+r” !

( )'

00

1' 'r rn nn n

n n


+∞

+ −

==

= ⇔ = + ∑ ∑

( ) ( )( )'

1 2

00

'' '' 1n r n rn n

n n


+ − + −

= =

= + ⇔ = + + − ∑ ∑

Agora substituindo na equação dada, '' 0xy y+ = , fica

( )( )0

2

0

1 0n r nn n

n

r

n

x n r n r a x a x+

=

∞ +∞+ − +

=

+ + − + =

∑ ∑

x ( )( ) 21 n rnn r n r a x −++ + −

0 0

1 0n rn

n n

a x+∞ +

=

→−∞

+

=

+ =

∑ ∑

( )( )0 0

11 0n r n rn n

n n

n r n r a x a x+∞ +∞

+ +

=

−

=

+ + − + =∑ ∑

Com 0n =

( )( ) ( )( )1

01

0

0

101 00 10 r n r n

n n

n

r

n n

r r a x n r n r a x a x=

+∞ +∞+ + +

==

− −+ + − + + + − + =∑ ∑��

( ) ( )( )1 10

1 0

1 1 0r n r n rn n

n n

r r a x n r n r a x a x+∞ +∞

− + − +

= =

− + + + − + =∑ ∑



Agora vou voltar a por o indice do 2º somatorio com 0n = .

( ) ( )( )1 10

0

11

0

1 1 1 1 0r n

n

r n rn n

n


− +

=

−

=

+ ++− + + + − + =+ +∑ ∑

( ) ( )( ) 10

10

0

1 01r n r n rn n

nn


− + +

=+

=

− ++ + + + =∑ ∑

( ) ( )( )10 1

0

1 1 0r n rn n

n

r r a x n r n r a a x+∞

− ++

=

− + + + + + = ∑

Como já tenho a potencia do “x” igual, vou a equação, e vou separar a Equação Indicial da Relação de Recorrencia.

( )

( )( ) 1

1 0

1 0n n

r r

n r n r a a+

− = + + + + =

Chama-se ( )1 0r r − = - Equação Indicial

e a

( )( ) 11 0n nn r n r a a++ + + + = - Relação de Recorrencia.

Equação Indicial : ( )1 0 0 1r r r r− = ⇔ = ∨ =

( )( ) 1

0 1

1 0n n

r r

n r n r a a+

= ∨ = + + + + =


“…correspondente ao maior valor das raizes da Equação Indicial” É-me solicitado a MAIOR das raizes, que neste caso é 1r = Ou seja, quando 1r = , tem-se que

( )( )( )( )1 11 1 1 0

2 1n

n n n

an n a a a

n n+ ++ + + + = ⇔ = −+ +



Seja 1 11

0 0

n nn n

n n

y x a x a x+∞ +∞

+

= =

= =∑ ∑

Agora vou atribuir a 0 1a = (mas pode ser um numero qualquer, menos o zero, no entanto o um é melhor) e vou

começar com

0n = →

( )( ) ( )( )1 1 1 1

1 1 1

2 1 0 2 0 1 2.1 2n

n

aa a a a

n n+

−= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = −

+ + + +

- não esquecer “…quando 1r = ”

1n = →

( )( ) ( )( )1

1 2 2 2

112

2 1 1 2 1 1 3.2 12n

n

a aa a a a

n n+

−= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = −

+ + + +

2n = →

( )( ) ( )( )1 3 3 3

1 1112 12

2 1 2 2 2 1 4.3 144n

n

aa a a a

n n+

− −= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = −

+ + + +

Assim: 1 2 3 41 0 1 2 3

0

1 2 3 4 1 1 1... ...

2 12 144n

nn

y a x a x a x a x a x x x x x+∞

+

=

= = + + + + = − + − +∑

E pronto fico por aqui. Não faço para 0r = , pois é-me solicitado a maior das raizes!



Exercicio 4 – Seja ( ) ( )3 2' 1 2 1 0x x y x y− + − + = , verifique que a equação admite uma solução polinomial de 2º

grau e determine a soluçõ geral. Vou criar um pequeno exemplo mais simples para ajudar a perceber o que se pretende fazer: Calcular a ED ' 2 xy y e−+ = , sabendo que 1

xy e−= é uma solição particular.

1º passo, é a da solugão geral da equação incompleta:

( )1' 2 0 ' 2 2 2

dyy y y y y dy dx

dx y

+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 2ln 2 ln ln lnx c xy x c y e e y Ae− −⇔ = − + ⇔ = + ⇔ =

Como a equação é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, de coeficiente constante, tenho dois metodos para fazer o 2º passo: - ou vou por inspeção - ou vou pela mudança da variavel constantes. Mas como já sei a particular, que é 1

xy e−= , já está resolvido, pois a solução geral deste exercicio é

2 x xy Ae e− −= +

Resumindo, se tiver uma solução particular é muito mais facil e rapido, pois basta fazer o 1º passo e associar a particular.

Agora, voltando ao exercicio, Bem, falta-me a solução particular, em comparação ao exercicio do exemplo. Não interressa. Vou então fazer o 1º passo, e depois resolvo esse problema.

( ) ( )3 2' 1 2 1 0x x y x y− + − + =

Cuidado pois parece que a equação é homogenea, mas não o é, esta lá um intruso que é o “1”. Vou retira-lo.

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 21' 1 2 0 ' 1 2 1x x y x y x x y x y− + − + = → − + − = −

Assim, o 1º passo

( ) ( )3 2' 1 2 0x x y x y− + − =

Não posso ir pela Equação caracteristica, pois a equação não tem coeficiente constantes. Mas ela é separavel, o que torna este calculo facil.

( ) ( ) ( ) ( )2

3 2 3 23

1 1 2' 1 2 0 1 2

xx x y x y x x dy x y dx dy dx

y x x

− + − = ⇔ − = − − ⇔ = ⇔ −

−−

2

3

1 2 1xdy dx

y x x

−⇔ = ⇔ −

∫ ∫



O 2º membro não me permite fazer uma integração imediata, vou por isso utilizar um dos metodos disponivel, e neste caso vou utilizar o metodo do Coeficiente Indeterminado (MCI).

Nota, primeiro vou “transformar” ( )3 2 1x x x x− = − , facilita imenso para se conseguir perceber que posso fazer

uma outra igualdade que é ( ) ( )( )3 2 3 1 11x x x x x x x xx −= − ⇔ − = +−

Agora o MCI: ( ) ( ) ( )22

3

1 1 11 2

1 1 1 1

A x Bx x Cx xx A B C

x x x x x xx x

− − +−→ + + ⇔ + + ⇔

+ − + −−

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

3 3

Ax Bx Cx Bx Cx AAx A Bx Bx Cx Cx

x x x x

+ + + − + + −− + − + +⇔ ⇔ ⇔

− −

( ) 22 2 2 22

0

1

A B C xAx Bx Cx x

Bx Cx x

A

+ + + + =

− + = ⇔− = −

22 x=

( )C B x− 0 x=

− A = −

1 2 2 1

0

1 11

B C B C

C B C B

A A

+ + = + = − ⇔ − = ⇔ =

= =

1

211

21

1

CC C

C B B

AA

=

+ =

⇔ = ⇔ = = =

Assim

2

3

1 11 2 1 1 2 2ln

1 1

xdy dx y dx dx dx

y x x xx x

−

⇔ = ⇔ = + + ⇔ + −−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 21 1 1

ln ln ln 1 ln 1 ln ln ln 1 ln 1 ln2 2 2

ky x x x k y x x x e⇔ = + + + − + ⇔ = + + + − + ⇔

1

1i

xy Ax

x

−=

+

Agora vou para o 2º passo, e vou fazer por inspeção. E uma dica está no enunciado: “…verifique que a equação admite uma solução polinomial de 2º grau e determine a soluçõ geral” Ora se é do 2º grau, vou começar por tentar o mais obvio, que é 2y ax bx c= + + .

Assim sendo, e como preciso da 1ª derivada, fica ' 2y ax b= +

Agora vou substituir na equação dada:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 2 3 2 2' 1 2 1 0 2 1 2 1 0x x y x y x x ax b x ax bx c− + − + = ⇔ − + + − + + + = ⇔

4 2 3 2 4 3 22 2 2 2 2 1 0ax ax bx bx ax ax bx bx c cx⇔ − + − + − + − + − + = ⇔



42ax⇔ 42ax− 3 3 2 2 22 2 2bx bx ax ax cx bx+ − − + − − bx+ 1 0c+ + = ⇔

3 2 22 1 0bx ax cx c⇔ − − − + + = ⇔

0 0

2 0 2

1 0 1

b b

a c a

c c

− = =

⇔ − − = ⇔ = + = = −

Assim, fica 22 1py x= − , que é uma solição particular da equação dada.

3º passo é 2

2

2

12 1

1i p i p

xy y y y y y y Ax x

x

−= + ⇔ = + ⇔ = + −

+



Exercicios com os numeros Complexos

1º vou recordar algumas noções sobre os numeros Complexos (12º Ano). Aqui, neste universo de numeros Complexos, trabalha-se em RADIANOS! Forma Polar - z cisρ θ= , agora a notação é diferente, pois é iz e θρ=

Forma Algebrica - z x yi= + 2 2x yρ = +

cos sinie iθ θ θρ = +

Exemplo: 2 cos sin ?2 2

i

e iπ

πρ

π = + =

Representação Grafica, não esquecer que:

cos 02

π =

e sin 12

π =

Então 2 cos sin2 2

i

e i iπ

πρ

π = + =

O circulo indica-nos TODOS os ponto que estão a uma distancia de ρ ao centro do eixo ortonormado. Ou seja

posso afirmar que o ρ é o raio, e para saber o ponto no plano, só me falta o angulo. O angulo é me dado pelo ie θ .

Outro exemplo: 43i

z eπ =



E quanto vale e como se representa 3

2 ??4i

eπ

= ? 4i= −

Outros exemplos:

2 ??ie π− = ? 2= −

43 ??ie π = ? 3=

2

3??

ie

ππ= ?

3i

π= , muito cuidado com este, pois o

3

πρ = e o angulo coincide com o eixo dos “yy”.

e a Forma Algebrica 3 2z i= + como se representa?



Exercicio - Complexos

Exercicio 1 – Calcule ( )18

1 3w i= − +

Resolução – a potencia 18 atrapalha? Não é apenas fogo de vista! Podia estar lá 2009 que era facil!

Aqui vai. Se fosse ( )2

1 3 1 2 3 3 2 2 3z i z i z i= − + ⇔ = − − ⇔ = − − .

Mas como está elevado a 18 (e não 2 como foi o meu exemplo de “z”) vou fazer um calculo auxiliar. Calculo Auxiliar: Sei que

1 2 3 4 51 1i i i i i i i i= = − = − = =

( ) ( )22

1 3 1 3 2t i wρ ρ= − + → = = − + ⇔ =

Quanto vale o angulo θ ? ( )3 23

1 3 3

yarctg arctg arctg

x

ππ π π πθ π

= − = − = − = − =

Nota, apesar de “x” ser um numero negativo, no arco de tangente não se mete.

Assim fica 2

31 3 2i

t i eπ

= − + = , em que 1 3t i= − + é a Forma Algebrica e 2

32i

t eπ

= é a Forma Polar. Com este calculo auxiliar, vou resolver o meu problema da potencia estar elevado a 18.

( )18

18 .1818 18 1

2 2

3 3 21 2 23 2i i

iw i e e eπ π π

= − + = = =

E 12π são 6 voltas ao circulo, ou seja volta a origem. Assim fica ( )18

18 181 3 2 .1 2w i= − + = = .



Teorema dos Residuos

( ) ( )1 22 ... n

C

f z dz i k k kπ= + + +∫

Seja “C” um caminho fechado tal que uma função f é analitica sobre “C” e no interior de “C” excepto num

numero finito de pontos singulares isolados 1 2, ,..., nz z z interiores a “C”.

Se 1 2, ,..., nk k k são os residuos de f nesses pontos singulares, então

( ) ( )1 22 ... n

C

f z dz i k k kπ= + + +∫

Cada “k” é um residuo.

( )( )

( ) ( )( )1

1

1Res , .lim

1 !

nn

nz a

df a z a f z

n dz

−

−→

= − −

Serie de Laurent É preciso memorizar mais duas formulas:

2 3 4 5

1 ...2! 3! 4! 5!

z z z z ze z= + + + + + +

2 3 4 511 ..., 1

1z z z z z com z

z= + + + + + + <

−

1z < significa, TODOS os pontos que estão dentro de uma circunferencia com raio de 1

Exemplos de Serie de Laurent, e com 0z é um polo simples, sendo este 0z D∉ . Esta ultima definição, a 0z D∉ ,

significa que é uma singularidade remomivel. Exemplo 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

0 0 1 0 2 0 3 0 ...a z z a z z a z z af z z z− + − + − + −= +

( )( )

( ) ( )( ) ( )1

0 11

1Res , .lim Res , 0

1 !

nn

nz a

df a z a f z f z b

n dz

−

−→

= − ⇔ = = −



Exemplo 2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

0 0 1 0 2 0

1

1 30 0 ...a z z a z z a z zf zb zz zz a−

− + − + − +− − += +

( )( )

( ) ( )( ) ( )1

0 11

1Res , .lim Res ,

1 !

nn

nz a

df a z a f z f z b

n dz

−

−→

= − ⇔ = −

Exemplo 3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

0 0 1 0 2 0

3 1

3 0 1 0 3

3

0 . ,.

0

.a z z a z z a zb z z bf z a z zzz

co b

z

m

− −− + −= +− + − + − + +

≠

−

( )( )

( ) ( )( ) ( )1

0 11

1Res , .lim Res ,

1 !

nn

nz a

df a z a f z f z b

n dz

−

−→

= − ⇔ = −

Nota 1 – 3b é o polo triplo, ou seja 0z é um polo de ordem 3, com 0z D∉ .

Nota 2 – não tem ( ) 2

2 0b z z−

+ − , isso significa que não existe, e logo é porque é zero.

Exemplo 4:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

0 0 1 0 2 0 3 0

2

2 0 1 0

3

1....

0

. ,...a z z a z z a z z ab z z b z z zf

co b

zz

m

− −− + − + − + −+ − ++ −= +

≠

( )( )

( ) ( )( ) ( )1

0 11

1Res , .lim Res ,

1 !

nn

nz a

df a z a f z f z b

n dz

−

−→

= − ⇔ = −

Nota 1 – 0z é uma singularidade essencial, com 0z D∉ .



Nota ( )( )2

5

3f z

z=

−. Como ler?

O 3 é um polo duplo! Posso confirmar com esta teoria

( )( )

( ) ( ) 2

2

55 3

3f z f z z

z

−= ⇔ = −

−

Como esta a potencia 2− , posso então afirmar que 2 5b = .

Mas qual é o valor de 1 ????b =

Como não está, é porque é zero! Assim posso afirmar que

( )( )

( ) ( )( )1

1

1Res , .lim

1 !

nn

nz a

df a z a f z

n dz

−

−→

= − ⇔ −

( )( )

( )( )

2 12

2 1 23

1 5Res ,3 .lim 3

2 1 ! 3z

df z

dz z

−

−→

= −

− −

( ) ( )1

2

13

1Res ,3 .lim 3

1! z

df z

dz→= −

( )2

5

3z −

( ) [ ]'

3Res ,3 lim 5

zf

→=

( )Res ,3 0f =

A esta serie ( ) ( ) 25 3f z z

−= − , chama-se Serie de Potencia de Laurent (devido a potencia negativa).



Exercicio sobre Teorema dos Residuos 1 – Determinar as singularidades e calcule os residuos.

( )( )( )2

2)

1 1

za f z

z z=

− + ( ) 2

1)

1b f z

z=

+ ( )

2

) zc f z e−

=

Resolução a) – como saber se os polos são simples ou duplos e qual o seu valor?

É facil, vou tomar o exemplo do exericio. ( )1z − , a sua raiz é 1, logo 1 é o seu polo, e como ( )11z − , tem a

potencia de um, é simples.

( )21z + , a sua raiz é -1, logo -1 é o seu polo, e como ( )2

1z + , tem a potencia de dois, logo é duplo.

Outro que não está no exercicio a) é 8z , a sua raiz é 0, pois na realidade não é 8z , mas sim ( )80z − , e zero é o

seu polo, e como tem a potencia de oito, então é octal. Nota no exercicio, nem 1 nem o -1 fazem parte do dominio da função! Esta introdução foi só para se perceber que com os polos podemos calcular os Residuos.

Formula: ( )( )

( ) ( )( )1

1

1Res , .lim

1 !

nn

nz a

df a z a f z

n dz

−

−→

= − −

Em que “n” representa o facto do polo ser simples, duplo, … e o “a” o polo. Cuidado porque nesta parte do exercicio, o “a” é igual ao “n”!

( )( )

( ) ( )( ) ( )�

( ) ( )( )1 1 0

1

1 1 01 1

1

1 1Res ,1 .lim 1 Res ,1 .lim 1

1 1 ! 0!z z

d df z f z f z f z

dz dz

−

−→ →

=

= − ⇔ = − ⇔ −

Nota – está convencionado que 0! 1= e, também por convenção, 0

01

d

dz=

( ) ( )1

Res ,1 lim 1z

f z→

⇔ = −( )

2

1

z

z − ( )( )

( )( )2 21

2Res ,1 lim

1 1z

f z

zf

z z→

⇔ = ⇔ + +

��

( )( )

( )( )( ) ( )2

2 1 2 1Res ,1 Res ,1 Res ,1

4 21 1f f f⇔ = ⇔ = ⇔ =

+



Agora para o polo 1− (que é duplo, logo 2n = ):

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )2

1

2

2

1 1

1 1

1 1Res , .lim Res , . lim

1 ! 1 !21 1

nn

nz a z

d df a z a f z f z f z

n dz dz

− −

− −→ →−

= − ⇔ = − ⇔ −

−−

−

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1

'1

11 1

1Res , . lim 1 Res , lim 1

1 ! z z

d

dz

df z f z f z f z

dz→ →− −

⇔ = + ⇔− = + ⇔ −

��

( ) ( )2

1Res , 1 lim 1

zf z

→−⇔ − = +

( ) ( )2

2

1 1

z

z z− +( )

''

1

2Res , 1 lim

1z

zf

z→−

⇔ − = ⇔ −

E antes de subsituir o “z” por 1− , tenho que primeiro derivar! Não me posso esquecer que é uma divisão.

( )( ) ( )

( )( )

( )( )2 21 1

2 '. 1 2 . 1 ' 2. 1 2Res , 1 lim Res , 1 lim

1 1z z

z z z z z zf f

z z→− →−

− − − − − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − −

( )1

2Res , 1 lim

z

zf

→−⇔ − =

2 2z− −

( )( )

( )2 21

2Res , 1 lim

1 1zf

z z→−

− ⇔ − = ⇔ − −

Agora sim vou substituir o “z” por 1−

( )( )

( ) ( )2

2 2 1Res , 1 Res , 1 Res

11, 1

4 2f f f

−

− −− = ⇔ − = ⇔ − = −

−



Resolução ( ) 2

1)

1b f z

z=

+ O que fazer com isto? Estava a espera de que fosse TODO o denominador elevado a uma potencia, e não só o “z”. Há um pequeno truque, nos universo dos Complexos, que é

21 3 4 51 1i ii i i i i i= = − =− ==

Ou seja, vou substituir o 1− por 2i .

Assim fica ( ) 2 2

1f z

z i−= . Esta quase lá! Falta o parentesis. Vou desdobrar e fica ( )

( )( )1

zz i

fz i− +

=

Agora está facil, pois tenho dois polos simples que é o polo i− e o polo i+

Vou agora a plicar a formula ( )( )

( ) ( )( )1

1

1Res , .lim

1 !

nn

nz a

df a z a f z

n dz

−

−→

= − −

Em que “n” representa o facto do polo ser simples, duplo, … e o “p” o polo. Cuidado porque nesta parte do exercicio, o “p” é igual ao “n”!

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )�

( )( ) ( )( )1 1 0

1

1 1 0

1

1 1Res , . lim Res , . lim

1 1 ! 0! zi iz

d df z f z f z f z

dz di

zi i i

−

−→ →

=

+ +

= − ⇔ = − ⇔ −

+ +

+ +

Nota – está convencionado que 0! 1= e, também por convenção, 0

01

d

dz=

( ) ( )Res , limz i

f i z i→+

⇔ + = −( )

1

z i− ( )( )

( )( )

( )1 1Res , Res ,1

2

f z

f i fi i iz i

⇔ + = ⇔ = ++

��

Agora para o polo i−

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )1 1 1

1

1 1 1

1 1Res , .lim Res , . lim

1 ! 1 1 !

nn

nz a z i

d df a z a f z f z f z

n dz di

zi

−

− −

− −→ →

= − ⇔ = − ⇔ − −

− −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0

0 0Res , lim Res , lim

z i z i

d df z i f zi if z i f z

dz dz→ →− −

⇔ = + ⇔ = + ⇔

−

−

( ) ( )Res , limz i

iif z→−

=−⇔ +( ) ( )

1

z i iz− +( )

( )( )1 1

Res , Res ,2

f i f ii i i

⇔ − = ⇔ − = −

− −



Resolução ( )2

) zc f z e−

=

Esta é mesmo dificil! Vou utilizar a formula

2 3 4 5

1 ...2! 3! 4! 5!

z z z z ze z= + + + + + +

Agora “adapatado” ao meu exercicio, fica:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 3 4 51 1 1 1 1

1 ...1! 2! 3! 4

2 2 2 2

! !

2

5z z z z z z

f z e−

→ = +

− − − −+ + + + +

−

( ) 1 22

3 42 4 8 161

1! 2! 3! 4!zf z e z z z z− − −− −→ = − + + +

O ponto zero é uma singularidade essencial.

Nota, na equação, o 2º termo é que tem a potencia elevado a menos um , 12

1!z− , logo é aqui que está o residuo

( )1b e o seu valor é 2− . Assim

( )( )

( ) ( )( ) ( )1

1

1Res , .lim Res ,0 2

1 !

nn

nz a

df a z a f z f

n dz

−

−→

= − ⇔ = − −

Afinal até foi facil! Pois é bastava recordar a formula

2 3 4 5

1 ...2! 3! 4! 5!

z z z z ze z= + + + + + +

E adapata-la.



2 - Use o teorema dos residuos para calcular os integrais

( ) ( )22

2)

1 1z

za dz

z z=

− +

∫ ( )( )2 2

2

)1 4z

dzb

z z=

+ −

∫

Resolução a) - primeiro perceber o que é o 2z = , pois de facto é 0 2z − = , e obviamente o “ 0− ” não é

representado, pois é o eixo ortonormado. Assim sendo 0z − define TODOS os pontos que estão dentro de uma

circunferencia, daí o modulo, e com raio de 2. A Formula é z ra− = , circunferencia de centro “a” e de raio “r”.

Seja ( )( ) ( )2

2

1 1

zf z

z z=

− +, sei, agora, duas coisas

A 1ª é que o 1 é um polo simples ( )1z −

A 2ª é que o -1 é um polo duplo ( )21z +

E pelo Teorema dos Residuos, sei que ( ) ( )

( )22

1 2

22

1 1z

zdz ki k

z zπ

=

= + − +

∫

( )( )

( ) ( )( )1

11

1Res , .lim

1 !

nn

nz a

df a z a f z

n dzk

−

−→

= = − ⇔ −

( )( )

( ) ( )( )1 1

1

1 111

1Res ,1 .lim 1

1 1 ! z

dk f z f z

dz

−

−→

⇔ = = − ⇔ −

( ) ( )11

Res ,1 lim 1z

k f z→

⇔ = = −( )

2

1

z

z − ( )( )

( )( )( )212 1

2 1Res ,1 lim

1 1 1zf

zk

→

⇔ = = ⇔ + +

( )1

1Res ,1

2fk = =



( )( )

( ) ( )( )1

12

1Res , .lim

1 !

nn

nz a

df a z a f z

n dzk

−

−→

= = − ⇔ −

( )( )

( )( ) ( )( )2 1

2

2 112

1Res , 1 . lim 1

2 1 ! z

df z f z

dzk

−

−→−

⇔ = − = − − ⇔ −

( ) ( )2

12 Res , 1 lim 1

zzk f

→−⇔ = − = +

( ) ( )2

2

1 1

z

z z− +( )2

1

2' Res , 1 lim '

1z

zk f

z→−

⇔ = − = ⇔ −

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )2 21 1

2 2

2 ' 1 2 1 ' 2 1 2Res , 1 lim Res , 1 lim

1 1z z

z z z z z zf f

z zk k

→− →−

− − − − −⇔ = − = ⇔ = − = ⇔

− −

( )1

2

2Res , 1 lim

z

zk f

→−⇔ = − =

2 2z− −

( )( )

( )22 21

2Res , 1 lim

1 1zf

zk

z→−

⇔ = − = − ⇔

− −

( )( )21

2

2Res , 1 lim

1 1zfk

→−

⇔ = − = − ⇔

− −

( )2

1Res , 1

2fk = − = −

Assim na formula fica: ( ) ( )

( )22

1 2

22

1 1z

zdz ki k

z zπ

=

= + − +

∫

( ) ( ) ( )( )2 22 2

2 21

22 0

1 1

1

2 1 1z z

z zdz i dz

z z z zπ

= =

−

= + ⇔ = − + − +

∫ ∫

Cuidado que os pontos 1 e -1 não pertencem ao dominio!



Resolução b) - primeiro perceber o que é o 2z = , pois de facto é 0 2z − = , e obviamente o “ 0− ” não é

representado, pois é o eixo ortonormado. Assim sendo 0z − define TODOS os pontos que estão dentro de uma

circunferencia, daí o modulo, e com raio de 2 .

A Formula é z ra− = , circunferencia de centro “a” e de raio “r”.

Seja ( )( )( )2 2

1

1 4f z

z z=

+ −, não consigo saber os seus polos! Vou fazer uma equivalencia:

( )( )( )( )( )

1

2 2f z

z i z i z z=

− + − +

Agora já consigo saber os polos, e são quatro: O 1º é que o i e é um polo simples O 2º é que o -i e é um polo simples O 3º é que o 2 e é um polo simples O 4º é que o -2 e é um polo simples

Mas é preciso ter cuidado, por só me interressam os que estão DENTRO da circunferencia de raio 2 , logo os polo 2 e -2 não me interressam.

E pelo Teorema dos Residuos, sei que ( )( ) ( )( )

( )2

2

1

12

2 2z

d kz ii z i z z

kz

π=

= + − + − +

∫

( )( )

( ) ( )( )1

11

1Res , .lim

1 !

nn

nz a

df a z a f z

n dzk

−

−→

= = − ⇔ −

( )( )

( ) ( )( )1 1

1

1 11

1Res , .lim

1 1 ! z i

df i z ik f z

dz

−

−→

⇔ = = − ⇔ −



( ) ( )1 Res , limz i

f ik z i→

⇔ = = −( )

1

z i− ( )( )( )2 2z i z z

⇔ + − +

( )( )( )( )1

1Res , lim

2 2z if i

zk

i z z→

⇔ = = ⇔

+ − +

( )( )( )( )

( )( )1 1 2

1 1Res , Res ,

2 2 2 2 2 4f i f i

i i i i i i ik

ik

⇔ = = ⇔ = = ⇔

+ − + + − −

Sei que 2 1i =

( )( )( )( )

( )1 21

1 1Res , Res ,

2 2 2 2f i f i

i i i i i i ik k

⇔ = = ⇔ = =

+ − + + 2i−( )4

⇔ −

( )( )

( )1 1

1 1Res , Res ,

2 1 4 10f iki f

i ik⇔ = = ⇔ = = −

− −

( )( )

( ) ( )( )1

12

1Res , .lim

1 !

nn

nz a

df a z a f z

n dzk

−

−→

= = − ⇔ −

( )( )

( )( ) ( )( )1 1

1

2 1 1

1Res , . lim

1 1 ! z i

df i z i f z

zk

d

−

−→−

⇔ = − = − − ⇔ −

( ) ( )2 Res , limz i

f ik z i→−

⇔ = − = +( ) ( )

1

z i z i− + ( )( )2 2z z

⇔ − +

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )2 22

1 1Res , Res ,

2 2 2 4f i f i

i i i ik k

i i⇔ = − = ⇔ = − = ⇔

− − − − − + − −

( )2

1Res ,

10ik f i= − =

Assim na formula fica: ( ) ( )

( )22

1 2

22

1 1z

zdz ki k

z zπ

=

= + − +

∫

( )( ) ( )( )2 2 2 22 2

2 01 4 1

1

10

1

1 40z z

dz dzi

z z zi ziπ

= =

= + ⇔ = + − + −

−∫ ∫



3 - Seja ( )

1z ze e

f zz

−=

a) Classifique as singularidades de f e determine os residuos correspondentes.

b) Calcule ( )1z

f x dz=

=∫ .

Resolução a) - Vou recordar 1º as formulas

2 3 4 5

1 ...2! 3! 4! 5!

z z z z ze z= + + + + + +

2 3 4 511 ..., 1

1z z z z z com z

z= + + + + + + <

−

Mas só vou precisar da 1ª, e ao mesmo tempo vou criar uma outra igualdade invertendo-a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

1

1 2 3 51 1

1 1 1 1 11 1 1

1 ...1! 2! 3! 4! 5!

z z z z z ze

= + + + + + +

1 2 3 4 5

1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 ... 1 ...1! 2! 3! 4! 5! 1! 2! 3! 4! 5!

z zz z z z ze e

z z z z z

⇔ = + + + + + + ⇔ = + + + + + + ⇔

1

2 3 4 5

1 1 1 1 11 ...

2! 3! 4! 5!ze

z z z z z= + + + + + +

Assim

( ) ( )

2 3 4 5

12 3 4 5

1 1 1 1 11 ... 1 ...

2! 3! 4! 5! 2! 3! 4! 5!z z

z z z zz

z z z z ze ef z f z

z z

+ + + + + + − + + + + + + − = ⇔ = ⇔

( )1

f z⇔ =

2 3 4 5

... 12! 3! 4! 5!

z z z zz+ + + + + + − 2 3 4 5

1 1 1 1 1...

2! 3! 4! 5!z z z z z

z

+ + + + + +

⇔

( )2 3 4

3 4 5 6

1 1 1 11 ... ...

2! 3! 4! 5! 2! 3! 4! 5!

z z z zf z

z z z z⇔ = + + + + + + + + + + ⇔

( )2 3 4 3 4 5 6

1 ... ...2! 3! 4! 5! 2! 3! 4! 5!

z z z z z z z zf z

− − − −

⇔ = + + + + + + + + + + ⇔

Agora vou reordenar, de modo a que os de expoente negativo fique do lado esquerdo.

( )6 5 4 3 2 3 4

... 1 ...5! 4! 3! 2! 2! 3! 4! 5!

z z z z z z z zf z

− − − −

⇔ = + + + + + + + + + + ⇔



Como a potencia mais baixa é -3, logo o -1 não existe, logo o 1 0b =

( )1 Res ,0 0k f= =

Como só tenho um ponto singular, fico me pelo 1k

Resolução b) - ( )1z

f x dz=

=∫ , o seu ponto singular coincide com o eixo dos ortonormado.

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

1 1 1

002 2z z z

f x dz i f x dz i f x dzkπ π= = =

= ⇔ = ⇔ =∫ ∫ ∫

4 - Seja ( )1

3 zf z z e=

a) Classifique as singularidades de f

b) Calcule

( ) ( )( )2 cos sin4

0. iie e d

π θ θθ θ− =∫ .

Resolução a) - a única singularidade é o ZERO, pois o “z” não pode ser zero 1

z

, porque de facto é 1

0z −

.

Outra coisa que eu sei, é que como esta a expoente 1

ze , só consigo resolver por serie de potencias. Recordar a formula

2 3 4 5

1 ...2! 3! 4! 5!

z z z z ze z= + + + + + +

Mas só vou precisar da 1ª, e ao mesmo tempo vou criar uma outra igualdade invertendo-a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

1

1 2 3 51 1

1 1 1 1 11 1 1

1 ...1! 2! 3! 4! 5!

z z z z z ze

= + + + + + +

1 2 3 4 5

1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 ... 1 ...1! 2! 3! 4! 5! 1! 2! 3! 4! 5!

z zz z z z ze e

z z z z z

⇔ = + + + + + + ⇔ = + + + + + + ⇔



1

2 3 4 5

1 1 1 1 11 ...

2! 3! 4! 5!ze

z z z z z= + + + + + +

Assim

( ) ( )1

3 32 3 4 5

1 1 1 1 1. 1 ...

2! 3! 4! 5!zf z z e f z z

z z z z z

= ⇔ = + + + + + + ⇔

( ) ( )3 3 3 3 3

3 3 22 3 4 5 1 2

1 1 1... ...

2! 3!2! 3! 4! 5! 4! 5!

z z z z z zf z z f z z z

z z z z z z z⇔ = + + + + + + ⇔ = + + + + + + ⇔

( )3 2

1 21 1 1. . ...

0! 1! 2! 3! 4! 5!

z z zf z z z− −⇔ = + + + + + + ⇔

A função cresce para o infinito do lado direito, logo a tendencia do expoente de z, tende para o infinito

Agora vou reordenar, de modo a que os de expoente negativo fique do lado esquerdo: 1

.!

z−∞

∞, logo o “b” tende

para o infinito, e quando assim é posso afirmar de que se trata de uma Singularidade Essencial.

( ) 1 1Res ,0

4! 24f = =

Nota 1: se fosse

( ) ( )2 3 3 2 1 2 33 2 1

5 4 21 ... 5 4 1 ...2f z z z z f z z z z z z z

z z z− − −= + + + + + + + ⇔ = + + + + + + +

( )Res ,0 2f =

O b3 = 5 e o b2 = 4



Nota 2: se fosse

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 3

1

25 3 3 ... 2 3 5 3 3 ...

3f z z z f z z z z

z

−= + + − + − + ⇔ = − + + − + − +

−

O 3 é polo simples

( )Res ,3 2f =

Resolução b) - como ( )( ) ( )1

2 .Res ,0z

f z dz i fπ=

=∫

E como

( ) 1 1Res ,0

4! 24f = =

Fica:

13

1

12 .

24z

zz e dz iπ

=

=

∫

Nota – como o expoente negativo fique do lado esquerdo: 1

.!

z−∞

∞, logo o “b” tende para o infinito, e quando

assim é posso afirmar de que se trata de uma Singularidade Essencial.

13

1 12z

z

iz e dz

π=

=

∫



Calculo Auxiliar:

Vou verificar esta afirmação que fiz:

( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin cos sin 1 1iz e iθ θ θ θ θ= = + = + = =

Vou substituir, e não me posso esquecer de dz .

( )i idzie dz ie d

dθ θ θ

θ= ⇔ =

13

1 12z

z

iz e dz

π=

= ⇔

∫

( )1

2 3

0. . .

12

ii e i ie e i e d

θθ θπ πθ

=

∫

( ) ( )1 1:2 23 3

0 0. . . . .

12 12

i ii

i e i i e ie e e d e e ei

diθ θπ πθ θ θ θπ π

θ θ

⇔ = = ⇔

⇔∫ ∫

Nota – eu dividi TUDO por “i”, pois este é uma constante!

( )11

2 23 4

0 0. . .

12 12

iii i ee ie e e d e e dθ θπ πθ θ θπ π

θ θ

⇔ = ⇔ = ⇔

∫ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 cos sin4 4

0 0

cos sin. .12 12

ii i ie e d e e dπ π θθ θ θθ θπ π

θ θ− + − −⇔ = ⇔ =∫ ∫

E fica por aqui (o exercicio já acabou)!



Intergrais do tipo ( ) ( )( )2

0sin ,cosG d

πθ θ θ∫ , com função G racional de ( )sin θ e ( )cos θ .

Seja γ a circunferencia de centro na origem e raio 1, isto é, iz e θ= com [ [0,2θ π∈ .

A mudança de variavel iz e θ= ( ) ( )1 1

sin , cos2 2

z z z z dze d

iziθ θ θ

− − − += = =

transforma o integral dado num integral do tipo ( )F z dzγ∫ .

Demonstração das afirmações feitas:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos sin

cos sin

i

i

z e z i

z e z i

θ

θ

θ θ

θ θ−

= ⇔ = +

= ⇔ = −

( ) ( ) ( ) ( )11 cos sin

2 2 2

i ii i iz z e e e eθ θθ θ θ θ− −− ++ + += = =

( ) ( )cos siniθ θ+ − ( )( )

2coscos

2 2

θθ= =

( ) ( ) ( )11 cos

2 2 2

i ii iz z e e e

i i

e

i

θ θθ θ θ− −−− − −= = =

( ) ( )sin cosi θ θ+ − ( ) ( )( )

sin 2 sinsin

2 2

i i

i i

θ θθ

+= =



Exemplo:

( ) 1

2

101 1

1 1 1 2

2 42

cos

2z zi

dz dzd

zzz z z zi

π

θθ

=− −

=

= = = − − + −

+∫ ∫ ∫

2 21 1

1 2 1 2

4 11 4z z

dz dziz zzi z= =

= = = − + − + + ∫ ∫

Agora vou multiplicar tudo por “-1” e por o dois cá fora:

21

22 1

4 1

4 4 122 3

2 2z

b b acz

adz

i z z=

= − = = − −

− ± − ±= = = ±

∫

( ) ( )2 3

2

3

1

2dz

i z z− +

= − = − − ∫

Ou seja pelo grafico, o único ponto que pertence é o 0,3 .

( ) ( )2 1 2

2 3 2 3dz

i iz z

= − = − − − − + ∫ 2 iπ ( )( ) ( )( )0.Res , 4 Res , 2 3ff z π= − − =

Calculo Auxiliar:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3

03

lim .Res , 2 3 2 3limz z

z f zf z z→ − → −

= − = − − −( )

1.

2 3z − − ( )( )2 3z

= +

−

( )2 3

1m

2 2

1li

3z z→ −

= = − +

23− − 33

1

2−=

−

Continuando:

( )( ) 1Res , 2 3

2 34

34

32f

ππ π

−

− = − = − =



Exercicios

Exercicio 1 – Calcule ( )0 2 cos

dπ θθ

+

∫

Resolução – a 1ª coisa que noto, é que a função do integral é uma Função Par e Periodica ( )2π .

Com estas caracteristicas posso fazer ( ) ( )0

2

02

1f x dx f x dx

π π

= ∫ ∫

Assim vou transporta o integral para um Intergral do tipo ( ) ( )( )2

0sin ,cosG d

πθ θ θ∫

( ) ( ) ( )2 2

0 0 0

1 1 1

2 cos 2 cos 2 2 cos2

d dd

ππ πθ θθ

θ θ θ

= = + + +

∫ ∫ ∫

Agora vou recordar as regras: Seja γ a circunferencia de centro na origem e raio 1, isto é, iz e θ= com [ [0,2θ π∈ .

A mudança de variavel iz e θ= ( ) ( )1 1

cosi2

s n ,2

z z d

z

ze

z

id

z

iθ θθ

−− + −=

=

=

transforma o integral dado num integral do tipo ( )F z dzγ∫ .

( ) 1

2

10

1 1 1 1

2 2 cos 22

2z

z

zd

d

izz

πθ

θ −=

= = + +

+∫ ∫



Esta troca só me é permitido se eu considerar iz e θ= e com 0 2θ π≤ ≤

idz dz dzie iz d

d d izθ θ

θ θ= ⇔ = ⇔ = e

( )

( )

1

1

cos2

sin2

z z

z z

i

θ

θ

−

−

+=

− =

11

1 2 1

2 4 2z

dz

zz z i−=

= = + +

∫1 2

i ( ) ( ) ( )1 21 1

1 1

4 4 1z z

dz dziz z z z z z z= =

−

= = + + + +

∫ ∫

( )( ) ( )( )2 4 4 12

2 32 2 2 2

1 1

3 3dz

i z z

b b acz

a

− ± − − ±= = = − ±

= = = − −

− − − + ∫

Ou seja pelo grafico, o único ponto que pertence é o - 0,3 .

( )( )1 1 1

2 3 2 3dz

i iz z

= = + − + + ∫ 2 iπ ( )( ) ( )( )0 Res , 2 3.Res , 2f fz π − += =

Calculo Auxiliar:

( ) ( ) ( ) ( )02 3 2 3

lim .Res , 2 3 2lim 3z z

z ff z zz→− + →− +

= − = + − + +( )

1.

2 3z + + ( )2 3z

= + −

2 3

1 1lim

2 3 2z z→ +−

= =

+ + − 23+ + 33

1

2=

+

Continuando:

( )( ) 32 2

3

1Res , 2 3

2 3f

ππ π

− +

= = =



Exercicio 2 – Calcule ( )

2

0 2 sin

dπ θθ

+

∫

Resolução –

( )2

0 11

1 1

2

2

sin2z

dz

izz zd

i

πθ

θ −=

−

= = + +

∫ ∫

Esta troca só me é permitido se eu considerar iz e θ= e com 0 2θ π≤ ≤ . “z” é uma circunferencia de centro em zero e de raio um.

idz dz dzie iz d

d d izθ θ

θ θ= ⇔ = ⇔ = e

( )

( )

1

1

cos2

sin2

z z

z z

i

θ

θ

−

−

+=

− =

( ) ( ) ( )11 2

1 11

2 2 1 2 1

4 4 4 1z z z

dzdz dz

z ii z z i z z z z z z zi ii= = =− −

= = = = + − + − + − ∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( )2 4 4 12

2 32 2 2 3 2 3

12

b b ac i iz i dz

z zi

a i i i i

− ± − − ±= = = − ±

− − − +

= = = − −

∫

Ou seja pelo grafico, o único ponto que pertence é o - 0,3 i.

( )( )( )( ) ( )( )0

12 2 2 .Res , 2 2

2 3 2Res 3

3, 2dz i f z i

z i i z i if i iπ π −

= = = = +

++ + −

∫



Calculo Auxiliar:

( ) ( ) ( ) ( )02 3 2 3

lim .Res , 2 3 2 3limz i i z i i

z ff i i z i iz z→− + →− +

= − = + − + +( )

1.

2 3z i i+ + ( )2 3z i i

= + −

2 3

1 1lim

2 3 2z i i i iz i− +→

= =

−+ + 23i i+ +

1

3 2 3ii=

+

Continuando: ( )( ) 1Res , 2 3

24

33

2 34 f i i i

i

ππ π

− + = = =

Exercicio 3 – Calcule ( )21 sin

dπ

π

θθ−

+

∫

Resolução – posso deslocar π e fica, fazendo

1d

t t d dtdt

θθ π θ π θ+ = ⇔ = − ∧ = ⇔ =

( ) ( )2 2

2 20 0

1 1

1 sin 1 sindt dt

t t

π π

π

= = = + − + ∫ ∫

Esta troca só me é permitido se eu considerar iz e θ= e com 0 2θ π≤ ≤ . “z” é uma circunferencia de centro em zero e de raio um.

idz dz dzie iz d

d d izθ θ

θ θ= ⇔ = ⇔ = e

( )

( )

1

1

cos2

sin2

z z

z z

i

θ

θ

−

−

+=

− =

211 1

2

2 2 2 2 2

21

1 1 4

2 4

2

211 4

z z z

dz i dz

z zz z i z z

i

dz

izz z i i

i

= =− −

=−

= = = = − + + − + + +

−

∫ ∫ ∫

2 2 3 11 1

1 4 4 1

4 2 4 2z z

dzdz

z iz z z z zi z− −= =

− = = − = − + − + − + − + ∫ ∫

Ter o expoente elevado a “-1” é um problema! ( )1z− , por isso vou multiplicar por “z”.



( )41

2

2

43 2 2

61 2

2

4

1z

bzdz

i z z

b acz

a=

− ± −= = ±

= − = = − +

± = ± ±

∫

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2

4dz

i z z

z

z z+ − − + −

= − = − − − −

−∫

Ou seja pelo grafico, os únicos ponto que pertence é o 0, 41 0,41e−

( )( )( )( )4 4

1 2 1 2 1 2 1 2dz

i iz z z z

z = − = − − − − + + − + + ∫ 2 iπ ( )( )0.Res ,f z =

( ) ( )( )Res , 1 2 Res , 1 28 f z f zπ + = − = − +

− +

Calculo Auxiliar:

( ) ( ) ( )1 2

0lim .Res , 1 2z

f z zz f z→ −

= − =+ −

( )1 2

2lim 1z

z→ −

− +=( ) ( )

.1 2 1 2z z

z

− − − + ( )( )1 2 1 2z z

= + − + +

( )( )( )1 2lim

1 2 1 2

1

1 2

2

1z

z

z z z→ −

= = − − + − + +

−

12− −( ) 12− 12− +( ) 22 1− − 1 2+ +( )=

( )( )1 21 2

2 2 2 2 2 2

−−= =

− − ( )8 1 2− − 2

1

8 2= −



( ) ( ) ( )1 2

0lim .Res , 1 2z

f z zz f z→ −

= − =− +

( )1 2

1 2limz

z− +→

= + −( )( ) ( )

.1 2 1 2 1 2

z

z z z− − − + + − ( )1 2z

= + +

( )( )( ) ( ) ( )( )1 2lim

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2

1 2 1 2 1 2 2z z

z

z z→− +

= = = − − − + + + − − − + + +

− +

− + −

+ − +

( )( )1 21 2

2 2 2 2 2 2

− +− += =

− − + ( )8 1 2− − + 2

1

8 2= −

Continuando:

( ) ( )( ) 1 1Res , 1 2 Re8 8 2s , 1 2

8 2 8 2f z f zπ π π = − = − =

+ − + − + − −

Exercicio 4 – Calcule ( )22 1

dx

x

+∞

−∞

+

∫

Resolução – Seja “C” a linha/caminho formada por 1C e 2C , com 1R >

Calculo o Integral ( )22 1C

dz

z

+

∫ Analise Complexa

Calculo Auxiliar: 2 1 0z z i+ = ⇔ = ±



( )( ) ( ) ( )2 2 2

1 1

1 11 1C C

dzz zz z

dz = =

− +− + ∫ ∫

Tenho dois polos, e são duplos, e o seu valor é “i” e “-i”.

O “-i” fica fora da minha area de analise:

Vou então calcular o residuo para z i= , e tenho que ter cuidado, pois é duplo! Esta informação é importante, pois a partir do segundo, tenho derivadas. Assim, fica:

( ) ( )22 Res , 2 lim

z ii f i i z iπ π

→= = −

( )2

1

z i− ( )2z i

= +

Agora entra a derivada:

( )'2

2 limz i

i z iπ−

→ = + =

Regra da Potencia ( )( ) ( )

3

3 3

1 12 lim 2 4 lim 4

z i z ii z i i i

z i i iπ π π

−

→ →

= − + = − = − = + +

( )3 3

1 14 4

82i i

iiπ π = − = − = −

4

8iπ

1

i−

1

2 2

ππ

= =

Assim ( )22 21C

dz

z

π = +

∫

E como tenho 1C e 2C , fica:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 2 22 2 2 2

Aplicando os limites a ambos os membros, quando

lim lim lim2 21 1 1 1C C C CR R R

R

dz dz dz dz

z z z z

π π→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

+ = ⇔ + = + + + +

∫ ∫ ∫ ∫��

⇔

��

`

Como 1C é uma circunferencia, logo o seu limite é zero, só fico com o limite da recta 2C ,

( ) ( )2 22 20

2 21 1

x xd d

x x

π π+∞ +∞

−∞ −∞

⇔ + = ⇔ = + +

∫ ∫



Se fosse 0

+∞

∫ ou 0

−∞∫ , e como é função par, ficaria:

( ) ( )2 22 2.2

1 1 1

2 2 2 41 1

x x

x x

d dπ π+∞ +∞

−∞ −∞

= ⇔ = + +

∫ ∫

Exercicio 5 – Calcule ( )2

41

x dx

x

+∞

−∞

+

∫


Calculo Auxiliar: 4 41 0 1x x+ = ⇔ = − ⇔ Formula Polar ieθρ , e fica:

44 441. .1i i ix e x e x eθ π πρ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

42

4.1 ,k

ix e

π π+

⇔ = com { } K 0,1,2,3∈ ⇔

3 5 7

4 4 4 4i i i i

x e x e x e x eπ π π π

= ∨ = ∨ = ∨ =



Calculo o Integral ( )2

41C

z dz

z

+


Só vou calcular para os que estão no interior:

324 4

3

4 4

2 Res , Res ,i i

i iC

zdz i f e f e

z e z e

π π

π ππ

= = + = − −

∫

Como os polos não são duplos, torna-se mais facil os calculos, pois não tenho que derivar. Também vou fazer um reziduo de cada vez, pois não fica tão confuso.

Para 4Res ,i

f eπ

, fica ( )4 4

2

42

4 4 4 44 4

4

lim . lim . .1

1i i

i

i i i i

iz e z e

ez

z e f z z e e ez

eπ π

π

π π π π

π→ →

= − = − = − = + +

2

4

4

4

0.

1

i

i

e

e

π

π

= =

+

Regra de Gauchy ( )4

2 4

4

'

lim1 'i

i

z e

z z e

zπ

π

→

−

= = +

( )

( )

4 4

2 2

2 2 24 4 4 4 4 4

3 3 34

4 4

' ' 2 1 2 .0

lim lim0 41 '

4 4i i

i i i i i i

i iz e z e

z z e z z e z z e z e e e

zze e

π π

π π π π π π

π π→ →

− + − − + +

= = = = ++

Muito cuidado, pois não posso fazer ( )

2

4 4

3

44

2 .01

1

44

i i

ii

e e

ee

π π

ππ

+

= =

Para 3

4Res ,i

f eπ

, fica ( )3 3

4 4

23

43 3 3 324 4 4 4

4 43

4

lim . lim . .1

1i i

i

i i i i

iz e z e

ez

z e f z z e e ez

eπ π

π

π π π π

π→ →

= − = − = − = + +



23

4

43

4

0.

1

i

i

e

e

π

π

= =

+

Regra de Gauchy ( )3

4

32 4

4

'

lim1 'i

i

z e

z z e

zπ

π

→

−

= = +

( )

( )

3 3

4 4

2 23 3 3 3 3 32 2 24 4 4 4 4 4

3 3 34 3 3

4 4

' ' 2 1 2 .0

lim lim0 41 '

4 4i i

i i i i i i

i iz e z e

z z e z z e z z e z e e e

zze e

π π

π π π π π π

π π→ →

− + − − + +

= = = = ++

Muito cuidado, pois aqui também não posso fazer ( )

23 3

4 4

3 3344

2 .01

2

44

i i

ii

e e

ee

π π

ππ

+

=

Agora tudo junto:

2 23

4 432

4 43 33 3

4 4 4 4

2 Res , Res , 2

4 4

i i

i i

i i i iC

e ez

dz i f e f e i

z e z e e e

π π

π π

π π π ππ π

= = + = + = − −

∫

Este é o motivo pelo qual não podia fazer a igualdade em 1 e 2:

2 6 3

2 2

3 9 3

4 4

4 44 4

2 2

4 4 4 4

i i i i

i i i i

e e e e

i i

e e e e

π π π π

π π π ππ π

= + = + =

Agora olhando para o circulo para saber onde ficam os pontos:



Assim fica 3

4 4

2

4 4i i

i

e

i i

eπ π

π

= + =

−, e vou agora multiplicar os denominadores

O 1º termo por 1, e o 2º termo por 2i

e iπ

= , para ficar com o mesmo denominador. Recordar que 1Xi i− = Assim fica

( )

( )

( )33 344 4 4

3

4

2

2

.. . 2 1

2 2 4

4 . 4 . 4 4

1

1ii

i

i iii

ii ii i

i i i

ee e e e

ei

e

π

π ππ π π ππ π π

− − + = + =

−

+ = =

1 1 1 1 1

3 32 2 2 2 2 2cos sin4 4 2 2

i i ii i i

ii i

π π ππ π

+ + + = = = = − + + − +

( ) ( ) ( )( )( )( )

1 1 11 . .

1 1 12 2 2 2

i i i i ii i i

i i ii

π π π π + + + + = = − = − = − − +− +

21 2 2. .

1 12 2

i i i iπ π + + = − = − + 2

i 2

2 2

iπ π = − =

Assim ( )2

41 2C

z dz

z

π = +

∫


( ) ( ) ( ) ( )1 2

2 2 2 2

4 4 4 41 2

Aplicando os limites a ambos os membros, quando

lim lim lim1 1 1 12 2C C C CR R R

R

z dz z dz z dz z dz

z z z z

π π→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

⇔ + = ⇔ + = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

��

⇔

��


2 2

4 40

1 12 2

xd dx

x x

π π+∞ +∞

−∞ −∞

⇔ + = ⇔ =

+ + ∫ ∫



Exercicio 6 – Calcule ( )( )

2

cos

4

x dx

x

+∞

−∞

+

∫


É um polinomio e uma função trigonometrica.

Calculo Auxiliar: 2 4 0 2x x i+ = ⇔ = ±

Cuidado, pois quando tenho funções trigonometricas, fica ize

Calculo o Integral ( )

2 4

iz

C

e dz

z

+


Cuidado, pois não esta “limpo”, de facto 2 4z + é na realidade ( )( )2 2z i z i− + , e assim já consigo “ver” os

polos. Só vou calcular para o que está no interior:

( )( )( )2 Res , 2

2 2

iz

C

edz i f i

z i z iπ

= = = − + ∫

Como o polo não é duplo, torna-se mais facil os calculos, pois não tenho que derivar.

Fica ( ) ( ) ( )2 2

2 lim 2 . 2 lim 2z i z i

i z i f z i z iπ π→ →

= − = − ( ).

2

ize

z i− ( )

( )2

22 lim 2

2 2 22

i iiz

z i

e ei i

z i i iz iπ π

→

= = = + + +

2 iπ=2

4

e

i

−2

2

1

2 2e

e

ππ −

= =

Nota, no fim dos calculos nunca se pode ter “i”, pois nunca depende dele.




( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 24 2 4 4 2

iz iz iz

C C C

e dz e dz e dz

z e z z e

π π = ⇔ + = ⇔ + + +

∫ ∫ ∫

Aplicando os limites a ambos os membros, quando R → +∞

( ) ( )1 2

2 2 2lim lim lim

4 4 2

iz iz

C CR R R

e dz e dz

z z e

π→+∞ →+∞ →+∞

⇔ + = ⇔ + + ∫ ∫


( ) ( )2 2 2 2

04 2 4 2

ix ixe dx e dx

x e x e

π π+∞ +∞

−∞ −∞

⇔ + = ⇔ = + +

∫ ∫

Nota, de facto é sempre

( )2 2

04 2

ixe dx

x ei

π+∞

−∞

= + +

∫

Pois tem sempre a parte imaginaria.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2

cos sin cos sin0 0

4 2 4 4 2

x i x dx x dx i x dxi i

x e x x e

π π+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

+= + ⇔ + = + ⇔

+ + + ∫ ∫ ∫

( )( )

( )( )

2 2

2

cos

4 2

sin0

4

x dx

x e

i x dxi

x

π+∞

−∞

+∞

−∞

=

+

= +

∫

∫

Sendo a resposta do exercicio

( )( )2 2

cos

4 2

x dx

x e

π+∞

−∞

=

+ ∫

Com funções trigonometricas, tenho sempre dois resultados.



Exame de 2007/08

1 – Resolva a equação 2 3

dy x

dx x y y=

+fazendo a mudança de variavel independente.

Resolução - já me é dito qual o procedimento a seguir, que é a de mudança de variavel independente (MVC).

Seja 2t x= , então x t= .

Vou utilizar a regra da cadeia: ( )2d xdy dy dt dy dt dy dy

dx dx dt dt dx dx dt dx= = ⇔ = ⇔

Ao fazer isto para poderfazer a mudan a de variavel independente para dependentedt dy dtdy

é çd dt dx dt x

=

Notar que ( ) ( )

2'2

x

d xx

dx=

( ) ( ) 22 2dy dy dy dy

dx dt dx d

dy dytt

dx dx

tt ⇔ = ⇔ = =⇔

Substituindo ( )

2 3 2 3 23

2 2x x

x y y x

dy dy dyt t

dx dt dt

t

ty y y y= ⇔ =

+ + +⇔ = ⇔

2dy

tdt

⇔ ( ) t= ( )3 3

12

dy

dt tyty y y=

+⇔ ⇔

+

Bem agora estou com um problema! Não consigo sair daqui. Mas como isto é um exame de 90 minutos, e ainda falta 4 exercicio para fazer, tenho que ser rapido na procura de uma solução! Vou fazer algo que é matematicamente correcto, e dá-me imenso jeito, que é a inversão. Mas nesta inversão, tenho que ter em atenção uma coisa muito importante, que é que também inverto as variaveis independentes e dependentes. Assim após a inversão, o “y” passa a independente (algo novo) e o “t” passa a depender do “y”.

3 312 2

2

dt dtty y ty y

dy dy

= + ⇔ = +

Agora vou-me recordar das Equações Lineares de 1ª Ordem: ( ) ( )'y P x y Q x+ = .

Sei que 'dt

tdy

= e que ty yt= , e que neste exercicio o “ y ” é o ( )P x , ficando 3' 2 2t yt y− =

Cuidado pois como o 3y não tem no seu termo a variavel “t”, logo passa para o 2º membro, e a sua designação

passa a ( )Q x .



1º passo, vou calcular a Equação Associada ' 2 0t yt− =

( ) ( ) ( )3 1 1' 2 2 2 2 2 2

dtt yt y yt dt yt dy dt y dy dt y dy

dy t t

− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

∫ ∫

2 2 2

2

ln 2 ln ln ln ln . ln ln .2

y c y c yyt c t e t e e t e B+⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

2

. yt A e=

Como a equação não é igual a zero, mas sim igual a 3y , vou então inicio ao 2º passo.

2º passo, tenho dois processo, ou vou pela Solução Particular, ou vou pelo metodo da mudança de variavel (MMV). Neste exercicio vou utilizar o MMV.

Como 2

. yt A e= , vou agora calcular a 1ª derivada, pois preciso dela para depois poder substituir na equação 3' 2 2t yt y− = .

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2' '' ' '2' . um produto! ' . . ' . .y y y y yt A e É t A e A e t A e eyA= ⇔ = + ⇔ = + ⇔

2 2'' . .2 .y yt A e A y e= +

Agora uma nota importante, e o porquê de ter chamado a atenção da inversão da variavel dependente e a independente.

Ora eu sei que se a variavel for DEPENDENTE, a derivada é assim ( )'' 1

xx x= = .

Foi facil porque estava notado correctamente na 2ª vez ( )'

xx , pois na primeira tenho 'x , e de facto não sei em que

é que derivo!

Agora quando a variavel é INDEPENDENTE, fica ( )'' '

yx x x= = .

Esta explicação visou o facto de que em 2 2'' . .2 .y yt A e A y e= + tenho 'A no 1º termo, e que no 2º termo tenho

y .

Bom agora que já calculei a 1ª derivada, vou substituir na equação 32' 2 tt y y− = .

( ) ( ) ( )22 2 2 22 3 ' 3 '' 3 3.. . 2 2 . 2. ..y y y yy yy y A e y A y e A y e dA e A y e e yA −−− = ⇔ = ⇔ = ⇔ =+ ∫

Não há maneira de primitivar2ye− vou por isso decompor.

Ora ao fazer esta igualdade vai-me ajudar a primitivar ( )2 23 2. .22 .y yy e y ey− −−= −

Agora para fazer esta integração, vou ter que utilizar o Metodo de Integração por Partes (MPP).



Assim

' '

' '


. .

u v u v u v

uv u v u v

= −

= −

∫

∫


2yv e−= 2

' 2 yv ye−= −

Formula: ' '. .u v u v u v= − ∫ 2u y= − ' 2u y= −

Fica: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 2. 2y y y yA y e e y dy A y e e c− − − −= − − − ⇔ = − − +∫

Como consegui chegar a este ponto, já posso voltar a resubstituir a variavel

2 2

. .y yt Ae A t e−= ⇔ =

2 2 2 22 2. y y y yt e y e e c t y e− − − −= − − + ⇔ = −

2

2 ye−−( ) 2

. yc e ++22 1 yt y ce⇔ = − − +

Ora como também sei que 2t x= , fica 22 2 1 , com K yx y ce R= − − + ∈

Será que já acabei? Já, pois já não tenho derivadas na equação, e ela está com as variáveis “x” e “y”, variáveis essas que são as com que iniciei o exercício. Bom como já passou meia hora e ainda me falta QUATRO exercício, e só tenho mais uma ora pela frente, vou ter que acelerar! 2 – Sabendo que 1y x= é uma solução da equação ( ) ( )2 '' 2 ' 2 0x y x x y x y− + + + = . Determine a solução

geral da equação.

Resolução – nota, regra geral, uma Equação Diferencial Linear de Segunda ordem não se consegue resolver. Apesar de não me ser pedido, vou treinar a sua classificação: É uma Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem Homogenea de Coeficientes não Constantes. Em teoria, para conseguir chegar a solução geral, preciso de das duas soluções paticulares. Mas de facto o que se faz é procurar a solução geral, que depois obtenho a 2ª solução particular. Seja 1y x= , fica y xz=




( )

( ) ( )

' '

'' ' ' ' ' 2 ' ''

y xz

y z xz

y z z x z z xz

=

= +

= + + = +


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2'' 2 ' 2 0 2 ' '' 2 ' 2 0x y x x y x y x z xz x x z xz x xz− + + + = ⇔ + − + + + + =

( )( )2 3 2 22 ' '' 2 ' 2 0x z x z x x z xz x z xz⇔ + − + + + + = ⇔

( )2 3 2 3 2 22 ' '' ' 2 2 ' 2 0x z x z x z x z xz x z x z xz⇔ + − + + + + + = ⇔

3 3 22 2 22 ' 2 2'' ' 0'2xz xx z x zx z xx z x zz z−⇔ + − +− + =− ⇔

22 'x z⇔ 3 2''x z x z+ − 3 ' 2x z xz− − 22 'x z− 2x z+ 2xz+ 0= ⇔

( )3

3 3 3 3

Dividir TUDO por

'' ' 0 '' ' 0 : '' ' 0

x

x z x z x z z x z z ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ��

Vou criar mais uma variavel: ' ' ''w z w z= → =

( ) ( )1 1' 0 1 1

dww w w dw dx dw dx

dx w w

− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

∫ ∫

( ) �ln ln ln x c c x c x

K

w x c w e w e e w e e+⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔

. xw K e=

Como sei que ' ' ''w z w z= → = , então fica . ' .x xw K e z K e= → =

( ) ( ). . .x x xz K e dx z K e dx z K e A⇔ = ⇔ = ⇔ = +∫ ∫

Como y xz= , fica ( ). . , com A e Kx xy x K e A y K e x Ax= + ⇔ = + ∈�



Nota a saber

� �Uma Solução Particular A outra Solução Particular

Além das Soluções Gerais, existe sempre duas Particulares

. , com A e Kxy K e x Ax= + ∈��

Neste exercicio, foi me dado o que está no segundo membro! - o “A” é apenas um multiplo da Solução Particular. Bem esta era facil. Já passou mais 15 minutos. Metade do tempo já lá vai, e ainda me falta 3 exercicios.

3 – Determine a solução geral da equação ( ) ( ) ( )6 4 22 2 6y y y x+ + − =

Resolução – cuidado com o “-2”, pois pertence ao segundo membro, assim sendo fica:

( ) ( ) ( )6 4 22 6 2y y y x+ + = +

Equação Associada ( ) ( ) ( )6 4 22 0y y y+ + =


( )

( )22

26 4 2 2 4 2 2 2

1

2 0 2 1 0 1 0

r

r r r r r r r r

= +

+ + = ⇔ + + = ⇔ + = ��

0 0r r r i r i= ∨ = ∨ = ± ∨ = ± são TODAS DUPLAS.

Como tenho uma raiz zero, e o 2º membro é do grau 1, fica (nota iy incompleto= ):

( ) ( ) ( ) ( )0 0

1ª raiz dupla 2ª raiz dupla

cos sin cos sinx xiy Ae Bxe C x D x Ex x Fx x= + + + + +

��

Não esquecer o seguinte:

4 4 4 2r r r r= ∨ = ∨ = ∨ =

Fica 0 4 1 4 2 4 0 2x x x x

iy Ax e Bx e Cx e Dx e= + + +




( )

( )

( )

( )

( )

2 3 2

2

3

4

5

6

' 3 2

'' 6 2

6

0

0

0

y x ax b ax bx

y ax bx

y ax b

y a

y

y

y

= + = +

= +

= +

=

=

=

=

Substituindo na equação ( ) ( ) ( )6 4 22 2 6y y y x+ + − = , fica

0 0 6 2 6 2 6 2 6 2ax b x ax b x+ + + = + ⇔ + = + .


0 2 2 1

1 6 6 1

Grau b b

Grau a a

→ = = ⇔

→ = =

3 2Py x x= + é uma Solução Particular

3º passo, i Py y y= + , e como 0 1xe =

( ) ( ) ( ) ( ) 3 2cos sin cos siny A Bx C x D x Ex x Fx x x x= + + + + + + +

Bem esta também era facil. Já passou mais 10 minutos. Ainda me falta 2 exercicios.

4 – Calcule 6 1C

dz

z + ∫ em que o caminho é o caminho indicado na figura.



Resolução: ( )162 .....????

1C

dzi K

zπ

= + ∫

Qual é o polo? Será que é zero? Não! Vou ver.

6 6 61 0 1 1z z z+ = ⇔ = − ⇔ = −

6 Distancia ao centro da circunferencia vezes iz eθ=

Vou recordar a formula 2

. .k

iin nne e

θ πθρ ρ

+

=

Fica { }2

66 6

6

1. 1. , com 0,1,2,3,4,5k

ii

n

z e z e kπ π

π+

=

= ⇔ = ∈��

Pois é, tenho 6 polos! Mas será que TODOS estão dentro da minha circunferencia? Vou ver.

Nota – qualquer complexo pode ser escrito da seguinte forma . iz e θρ=

Vou verificar onde ficam os seis polos, substituindo o valores dos “k´s”.

Nota, na formula, para representar o ponto não “ligo” ao é nem ao “i” .i

z eθ

ρ= , pois só me interressa o raio, que

é o ρ , e ao angulo formado por este, que é o θ .



Assim para 0k = , fica ( )2

6 6 66 61. 1. 1.k

i i i

z e e eπ π π π+

= = = , ou seja 1ρ = , logo o raio é um.

Para 1k = , fica ( )2 2

6 6 26 61. 1. 1.k

i i i

z e e e iπ π π π π+ +

= = = =

Para 2k = , fica ( )2 2 5

6 6 66 61. 1. 1.i i i

z e e eπ π π π+

= = =



Para 3k = , fica ( )2 6 7

6 6 66 61. 1. 1.k

i i i

z e e eπ π π π π+ +

= = =

Para 4k = , fica ( )2 8 3

6 6 26 61. 1. 1.k

i i i


= = =

Para 5k = , fica ( )2 10 11

6 6 66 61. 1. 1.k

i i i


= = =



Como se pode ver nos graficos, dos 6 polos, só um pertence a area do exercicio, que é para quando 0k = .

Nota se as “setas” fossem ao contrario, seria 66

2 .Res ,1

i

C

dzi f e

z

π

π = +

−

∫

Assim, vou calcular o residuo, para quando o k = 0

66

2 .Res ,1

i

C

dzi f e

z

π

π = +

∫

( )6 6 6

66 6 6

6 6

1Res , lim lim lim

1 1i i i

ii i i

z e z e z e

z ef e z e f z z e

z zπ π π

ππ π π

→ → →

− = − = − = + +

Tenho 6 zeros!

6

66Res , lim

i

ii

z e

z ef e

π

ππ

→

−=

6

iz e

π −

( ) ( )

5 7 11

6 6 6. . . . .i i i

z i z e z e z i z eπ π π

=

− − − + −

( ) ( )6

65 7 11

6 6 6

1Res , lim

. . . .i

i

i i iz e

f e

z i z e z e z i z eπ

π

π π π→

= = − − − + −

Isto por este caminho, nunca mais acaba!

Vou arranjar outra maneira de resolver.

6

66

6

0Res , lim

01i

ii

z ez

z ef e

π

ππ

→

− = = + Regra de Gauchy

Nota -



A regra de Gauchy, eu derivo em cima e em baixo, independentemente:

6 6 6

566 6

5 5 56

6

1 0 1 1Res , lim lim lim 6

1 6 0 66

i i i

ii i

iz e z e z e

z ef e e

z ze

zπ π π

ππ π

π→ → →

−

− − = = = = = + +

5 – Calcule o valor de ( )

2

43 1

z

z

edz

z=

+ ∫

Resolução “-1” é um polo quadrupulo.

( )( )

2

43

2 .Res , 11

z

z

edz i f

zπ

=

= − + ∫

Vou utilizar outro teorema para não ter que derivar 4 vezes. Vou utilizar por isso a Formula Integral de Gauchy.

Seja f analítica no interior e sobre uma curva fechada C . Se 0z é qualquer ponto no interior de C , então:

( )( )

( )01

0

2.

!n

nC

f z idz f z

nz z

π+

= − ∫

Assim fica:

( )( ) ( )

23

43

2. 1

3!1

z

z

e idz f

z

π

=

= − + ∫



Agora é mais simples

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

1 2

2 2

3 2

2

4

8

z

z

z

z

f z e

f z e

f z e

f z e

=

=

=

=

( )( ) ( )

( )( )

2 23 2

4 4

1

3 3

2 2. .8

3! 61 11

z z

z z

e i e idz f dz e

z z

π π

=

−

=

= ⇔ = ⇔ + +

−∫ ∫

( ) ( )

2 22

4 4 23 3

8.8

3 31 1

z z

z z

e i e idz e dz

ez z

π π−

= =

⇔ = ⇔ = + + ∫ ∫



Exame de 2006/07

1 – Determine a solução da equação ( ) ( )2 0x y dx x y dy+ + + = para a qual

( )2 3y =

Resolução - a equação é homogenea e exacta. Logo tenho tenho, pelos menos, dois processos de resolução. Vou seguir o processo da equação exacta.

( ) ( )2 0M N

x y dx x y dy+ + + =��

Vou primeiro verificar ( )

( )'0 1 1

y

x yMx y

y y

∂ +∂= = + = + =

Agora o 2º termo, ( )

( )'22 1 0 1

x

x yNx y

x x

∂ +∂= = + = + =

Pronto, já confirmei que é exacta!

Seja ( ),u f x y=

u udu dx dy

x y

∂ ∂= +

∂ ∂

Pretendo determinar “u” tal que (t.q.)

2

u uM x y

x x

u uN x y

y y

∂ ∂= = +

∂ ∂ ⇔

∂ ∂ = = +

∂ ∂

Se ( ) ( )2

2

u xx y u x y dx u xy f y

x

∂= + ⇔ = + ⇔ = + +

∂ ∫

Por outro lado

( )( )

2

'222 2 2

2y

xxy f y

u xx y x y xy f y x y

y y

∂ + +

∂ = + ⇔ = + ⇔ + + = + ⇔ ∂ ∂

( ) ( )0 1 ' 2x f y x y x⇔ + + = + ⇔ ( )'f y x+ = ( )2 ' 2y f y y+ ⇔ = ⇔

( ) ( ) ( )2 2f y y dy f y⇔ = ⇔ =∫2

2

y ( ) 2f y y c⇔ = +

Assim, ( )2 2

2

2 2

x xu xy f y u xy y c= + + ⇔ = + + + , e como 0u = ,

A Solução Geral é 2

2 02

xxy y c+ + + =

Cuidado, pois o exercicio ainda não acabou, pois no enunciado tenho também uma solução particular ( )2 3y = ,

logo consigo determinar “c”.



( )( )

( )( ) ( )2

23 3 3 0 2 6 9 0 12

22 7

2y c c c= → + + + = ⇔ + + + = ⇔ =

Assim a Equação Geral é 2

2 17 02

xxy y+ + + = .

Nota importante – só tive uma constante (c), pois trata-se de uma Equação de 1ª Ordem. Se fosse uma de 2ª Ordem, teria duas constantes, que normalmente denomino de “A” e “B”.

2 – Determine a solução geral da equação ( )2 '' ' lnx y xy y x x+ − = , sabendo que 1y x= e 2

1y

x= são duas

soluções da equação sem segundo membro. Resolução – É sempre conveniente fazer a sua classificação, pois fico com uma ideia do caminho a tomar para a sua resolução. Assim sendo posso classificar esta equação como sendo: - É uma Equação Diferencial Linear de 2ª Ordem Não Homogenea de Coeficientes Não Constantes.

1º passo, ora bem, sei que a solução da equação associada 2 '' ' 0x y xy y+ − = é 21 yB

y A B Ay xyx

= + ⇔ = +

Agora vou utilizar o MVC para poder prosseguir na resolução da equação dada (cuidado com a derivada dos produtos):

B

y Axx

= +

( ) ( ) ( )'

'' ' ' '

B B xy Ax A x A x

x = + = + + 2x

2 2

' ''

Bx B BA x A

xx x− = + + −

Agora vou impor uma igualdade a zero dos termos com derivadas '

' 0B

A xx

+ =

Assim fica 2

'B

y Ax

= −

( )2 2 2

4

' ' ''' ' '

B x B x B xy A A

x

−= − = −

4x 2

2B x→

+4x

2 33

' 2'

B BA

x x→+= −

Cuidado com o sinal, pois a fração está precedida de menos, e como o 2º termo também é negativo, fica positivo. Substituindo na equação dada ( )2 '' ' lnx y xy y x x+ − = , fica

( )2

2 3 2

' 2' ln

B B B Bx A x A Ax x x

xx x x

− + + − − + = ⇔

2

2 ''

B xA x⇔ −

2x

22B x+

3xAx+

B x−

2xAx− ( )ln

Bx x

x− = ⇔

2 2' '

B B B

xA

xx

xB +⇔ − −− ( ) ( )2ln ' ' lnx x A x B x x= ⇔ − =



Agora socorrer-me de um sistema, sendo a segunda linha a igualdade a zero que impus:

( ) ( ) ( ) ( )22

222

ln' ' ln ' ' ln' ' ln '2'

' 0 ' '' '' '

x xA x B x x B B x xA x B x x BB

A x B A xB A xB A xx

− = − − =− = = − ⇔ ⇔ ⇔

+ = = −= − = −

( )

( )

( )

( )2

11 ' ln' ln22ln1 1

' ln '2 2

B x xB x x

xA x x x A

x

= −= − ⇔ ⇔

= =

Agora para evitar muita confusão, vou integrar individualmente “A” e “B”.

Vou começar pelo “A”, ( ) ( )ln ln1 1

'2 2

x xA A dx

x x

→ = ⇔ = ⇔

∫

( )( ) ( )2 2

1 1

ln ln1 1 1ln

2 2 2 4

x xA x dx A K A K

x

⇔ = ⇔ = + ⇔ = +

∫


Nota que esta integração é imediata! (e simples) pois respeita seguinte regra

( )�

( )�

( )21

'

ln1'. ln

1 2

n

uu

xuu u dx x dx

n x

+ = → = +

∫ ∫

Agora o “B”, ( )1' ln

2B x x→ = − .

Este já não é imediato, vou ter que ir pelo método de substituição por partes (MSPP):

� ( )�

'

1' .ln

2 u v

B x x dx = − ∫



' '

' '


. .

u v u v u v

uv u v u v

= −

= −

∫

∫


21

2u x=

'u x=


x=

Fica: ( )2 21 1 1ln

2 2 2B x x x

= −

1.

x

( ) ( )21 1 1ln

2 2 2dx B x x x dx

⇔ = − ⇔

∫ ∫

( )( )22 2

22 2

ln1 1 1ln

2 2 2 2 4 8

x xx xB x x K B K

⇔ = − + ⇔ = − +


Continuando o meu sistema, fica

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

1

ln1' ln

2 4 8ln1 ln

'2 4

x x xB x x B K

x xA A K

x

= − = − +

⇔ = = +

E como B

y Axx

= + ⇔( )

( )2 2

22

1

ln

4 8ln

4

x x xK

xy K x

x

− + = + +

4 – Determine a Solução Geral da equação 2 3

'3 2

Y Y−

=

Resolução – Nota que é igual a ' 2 3 ' 2 3

' 3 2 ' 3 2

x x y x x y

y x y y x y

= − − ⇔ = ⇔ = + +

� �'

' 2 3

' 3 2Y YA

x x

y y

− =

��



1º passo, vou resolver algebricamente.

Seja 2 3

3 2A

− =


Breve noção de valores próprios:

0A Iλ− =


2

4

4

3 3

1 3 0

1 5

λ

λ

λ

=

− − −−

−

−

2 3 3

1 4 3 0

1 5 4

λ

λ

λ

−

− = ⇔

− − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 . 4 . 4 3.3. 1 3.1. 5 3. 4 . 1 3.1. 4 3. 5 . 2 0λ λ λ λ λ λ− − − − + − + − − − − + − − + − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 . 16 9 15 3 12 12 3 15 30 0λ λ λ λ λ − − − − − − + − − + − =

( ) ( ) [ ]22 . 16 24 3 12 12 3 15 30 0λ λ λ λ λ − − − − − − − + − =

( ) ( )22 . 16 15 30 0λ λ λ− − − + =

( ) ( ) ( )22 . 16 15. 2 0λ λ λ− − + − =

( ) ( )22 . 1 0λ λ− − =

22 0 1 0λ λ− = ∨ − =

2 1 1λ λ λ= ∨ = − ∨ =

Uma prova dos nove, que ajuda a ganhar autoconfiança neste ponto do exercício, é:

Se somarmos os valores dado nas raízes, o valor é o mesmo da soma da Diagonal Principal

Multiplicidade Algébrica: ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 1a a am m m= ∧ − = ∧ =



Assim de regresso ao exercício, fica:

0A Iλ− =


3 0

3

2

2

λ

λ

−

−

=−

( )( ) ( )( )2 2 3 3λ λ− − − −

( ) ( )2 22 9 0 2 9 2 3iλ λ λ− = ⇔ − = − ⇔ =+ ±

Como obtivemos números Complexos, atingi a complexidade máxima deste tipo de exercício. Bom, o melhor é não desanimar, e seguir em frente.

Nota 2 3 0

0 2 3

i

i

− Λ = +

, só se coloca os valores próprios na diagonal principal.

Assim sendo, tenho dois valores proprios, que são 2 3 2 3i iλ λ= + ⇔ = −

2º passo, agora vou procurar pelo Vectores próprios da associada a 2 3iλ = − (é uma ao acaso, pois qualquer que eu escolha dará o mesmo resultado). Breve noção de vectores próprios:

( ) 0A I Xλ− =

Parecido com Valores Próprios ( )0A Iλ− =



Vou utilizar uma seguinte Multiplicidade Algébrica para este exemplo: ( )1am −

( ) ( )( )0 01A I X A I Xλ −− = ⇔ − =

( )1 0A I X+ =

Cuidado que não é para multiplicar o λ por I , mas sim uma informação de que na matriz A, o 1 vai somar a

Diagonal Principal. Assim sendo, fica:

( )( )3 3 3

1 5 3

1 3

1

5

A I

− = − − −

−

3 3 3 0 3 3 3 0

1 5 3 0 5 3 0

1 5 3 0 5 3 0

x x y z

y x y z

z x y z

= ⇔ = − − − − − −

( )

3 3 3 / 3 0 0

5 3 0 5 3 0

5 3 1 0 5 3 0X

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

= ⇔ = − − − −

0

5 3 0

x y z

x y z

=

( )0

5 3 05 3 0 5 3 3 0

z x yx y z z x y

x y x yx y z x y x y

= − −+ + = = − − ⇔ ⇔

+ + − − =+ + = + − − =



2 2 0

z x y z x x

x y y x

= − − = − − ⇔ ⇔ ⇔

− + = =

2z x

y x

= −

=

Vλ = Vector Próprios associados a λ

( ){ }1 , , 2 : 0V x x x xλ =− = − ≠

( ){ }1 1, 1, 2 : 0V xλ =− = − ≠

Multiplicidade Geométrica: ( )1 1gm − = (é um representante de vector).

Assim no meu exercicio fica:

( ) 0A I Xλ− =

( )( )2 3 0A i XI− − =

( )( )

( )( )�

2 3

2 2 3 3 0

3 2 2 3XA i I

i x

i y

− −

− − − = − − ��

2 2 3 3 0

3 2 2 3

i x

i y

− + − = − +

3 3 0

3 3

i x

i y

− =

3 3ix − 0

3

y =

3x + ( ) 00

y ix

x i ixiy

= ⇔ ⇔

+ ==

Recordar que

( )2

2 21 . 1. 1 1 1i i i i i= − → = − − → = − → = −( ) 2 2 1i→ = −



( ) 0 0 0 0 (p.v.)

y ix y ix y ix

x i ix x x

= = = ⇔ ⇔ ⇔

+ = − = =

Nota tenho que obter SEMPRE uma preposição verdadeira, indiferentemente se é com o “y” ou com o “x”. Assim sendo, fica y ix= .

( ){ }2 3Vectores proprios , : 0iV x y y ix xλ = −→ = = ∧ ≠

Portanto posso afirmar que ( ){ } ( ){ }2 3 2 3 , : 0 1, : 0i iV x x V x xix iλ λ= − = −→ = ≠ ⇔ = ≠

Agora para o 2º vector da associada a 2 3iλ = +

( ) ( )( )0 2 3 0A I X A i XIλ− = ⇔ − + = ⇔

( )( )

( )( )�

2 3

2 2 3 3 0 3 3 0

3 2 2 3 3 3

I XA i

i x i x

i y i y

− +

− + − = − − = ⇔ ⇔ ⇔ − + − ��

3− 3ix − 0

3

y =

3x −

( ) 0 0 0 0 (p.v.)

0

i iy y y y

x iy x iyx iyiy

− − = − = = ⇔ ⇔ ⇔

= ===

Nota tenho que obter SEMPRE uma preposição verdadeira, indiferentemente se é com o “y” ou com o “x”. Assim sendo, fica x iy= .

( ){ }2 3Vectores proprios , : 0iV x iy yy xλ = +→ = = ∧ ≠

Portanto posso afirmar que ( ){ } ( ){ }2 3 2 3 , : 0 , 1 : 0i iV iy y V yy i yλ λ= + = +→ = ≠ ⇔ = ≠

Assim tenho para os dois vectores próprios:

( ){ } ( ){ }2 3 2 3: 0 , : 01, 1i iV x x V y yiiλ λ= − = += ≠ ∧ = ≠

Posso por isso concluir que (as cores ajudam a se perceber a disposição na matriz, pois como são iguais, pode confundir).

1

1

iS

i ∴ =



3º passo, [ ] [ ] 2. 21.1 1iS ii= − = − =

A sua inversa é 1

2 1

11

iS

i− =

.

Agora um truque, que só funciona para matrizes de 2x2. Os números que estão na diagonal positiva, trocam de posição. Os que estão na diagonal negativa, trocam de sinal. Exemplo:

( )( ) ( )( )2 4

2. 3 4. 1 6 4 21 3

A A

= → = − − − = − + = − − −

Ora o inverso de 2− é 1

2− , assim e continuando o exemplo, fica

1 1

32

3 41 21 2 12

12

A A− −

= ⇔ =

−

−−

−

Assim no meu exercício fica:



Assim, continuando, fica 1 1

111 2 2

1 12

2 2

ii

S Si i

− −

− −

= ⇔ = − −

4º passo,

( )1

0t

t SY eS YΛ −=

( )

( )( )

�0

1

2 3 0

0 2 3 0

0

1

2

2

121

1

2

t

i

S

t

S

i t

Y

ti

ei yi

ix

Y

−

Λ

− +

− −

−

− =

��

��

��

( )

( )( )

2 3 0

0 2 3 0

0

11 2 2

1 1

2 2

i t

i t

t

ixi

Y eyi i

− +

− −

= − −

Recordar a equação característica: 2 3 2 3r i r i= − ∨ = +

( ) ( )2 2cos 3 sin 3x xy Ae x Be x= +

( ) ( )2 3 2 3i x i xy Ae Be− −= +

Nota 1:

5

1

5 0 0

0 1 0B e

B ee−

= → = −

Nota 2:

( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3i x i x x ix x ixy Ae Be y Ae e Be e− − − −= + ⇔ = + ⇔

( ) ( )2 2cos 3 sin 3x xy Ae t Be t= − + −

Ora sei, pela regras da trigonometria que ( ) ( )cos 3 cos 3t t− = e que ( ) ( )sin 3 sin 3t t− = − , então fica:

( ) ( )2 2cos 3 sin 3x xy Ae t Be t= −



Ainda me falta multiplicar por tSeΛ

( )

( ) ( )

( ) ( )

0 02 3 2 3

2 3 2 30 0

2 2

2 2

i t i t

t i t i t

x ye ie

Yx yie e

i

i

− +

− +

− = − +

Agora e se tivesse usado o outro valor próprio? Vou refazer os cálculos mas com outro processo mais simples, porque estou presente de números complexos, o que por isso há um processo mais simples para resolver. Aqui vai.

Vectores próprios da associada a 2 3iλ = + → ( ){ }2 3 , 1 : 0iV y i yλ = + = ≠

Para as raízes Complexas, posso escolher um valor próprio ao acaso. Vou escolher números que me facilitam a vida.

( )2 3 2 3

1 1i t t it

P

i iY e e e+

= =

Eu sei que ( ) ( )cos sinie iθ θ θ= + , se o ângulo for π , então fica ( ) ( )cos sinie iπ π π= +

1 0 1 0i ie eπ π= − + ⇔ + =

Continuando, ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 cos 3 sin 31 1 1

i t t it tP

i i iY e e e e t i t+

= = = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 3 2 3 2 2

2 2

cos 3 sin 3cos 3 sin 3

1 1 1 cos 3 sin1 1 1 3

t ti t t it t t

P t t

i i i ei i t e tY e e e e t e

e t e

ii t

t+

= = = + = =

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

2 22 2

2 2 sin 3si cos

cos 3cos 3 sin 3sin 3

3cos 3 n 3

t tt t

P t t ti t

te eY i

tt

ie

e

te

e

tt = = + +

−−

Resposta, Solução Geral: ( )

( )( )( )

2 2

cos 3 sin 3

sin 3 cos 3t tY Ae Bet

t t

t

= +

−



6 – Resolva e marque num referencial ortonormado, as soluções em C (numeros complexos) da equação

4 2 1 0z z+ + =

Resolução – como tem a potencia é elevada a quatro, esta equação, em C (numeros complexos), tem quatro soluções complexas.

4 2 1 0z z+ + =

Vou utilizar uma variavel de subsituição ( )22 2 1 0z z+ + = , e em que 2w z= , ficando

( )( )

222

1 1 4 141 0

2 2 1

b b acw w w w

a

− ± −− ± − + + = ⇔ = ⇔ = ⇔

1 3 1 3

2 2 2 2w i w i= − − ∨ = − +

Como calculo a sua Forma Algebrica?

222 2 1 3

12 2

x yρ ρ ρ

= + ⇔ = − + ⇔ =

Nota: como os valores estão elevados ao Quadrado, não é necessario o sinal, ficando

221 3

2 2ρ

= +

Representação Grafica:

Quanto vale o angulo θ ? ( )3

2 312

arctg arctgπ πθ

= − = −

Agora, pelo facto de não etar habituado a calcular o angulo ao contrario, que é o caso de ( )3arctg , o

raciocionio que é necessario fazer é: ( )( )( )

3sin

2sin ???? 3 3 3

1cos ??cos

2

tg

= ⇔ = ⇔ =

33

tgπ

=



Assim ( )3

22 31 3 32

arctg arctgπ

π πθ π π

= − = − = − =

Concluo então que ( ) 3

2

3

21 31.

2 2

i iiw i e e e

ππθρ= − + = = =

E como 2w z= ⇔

2 2

2 2 2 23 31 3 1 3

2 2 2 2

i iz i z i z e z e

π π−⇔ = − + ∨ = − − ⇔ = ∨ = ⇔

2 2

3 3i i

z e z eπ π−

⇔ = ∨ = ⇔

Agora vou usar a regra 2

2

kiin ne e

θ πθρ ρ

+

= , com { }0,1,..., 1n n∈ −

{ } { }

2 22 2

3 32 2, com K 0,1 , com t 0,1

i k i t

z e z e

π π π π+ +

= ∈ ∨ = ∈

Reduzindo ao mesmo denominador, fica mais simples (pouco mais!)

{ } { }2 6 2 6

6 6, com K 0,1 , com t 0,1i k i k

z e z eπ π π π+ +

= ∈ ∨ = ∈

Recordar o que disse no inicio :

“…como a potencia é elevada a quatro, esta equação tem quatro soluções complexas.”

4 2

3 3 3 3i i i i

z e z e z e z eπ π

π π−= ∨ = ∨ = ∨ =

Mas o exercicio ainda não acabou, pois é me solicitado que

“…e marque num referencial ortonormado, as soluções em � ”

Vou ter que desenhar num plano. Mas nem tudo é mau, pois neste exercicio, as 4 soluções tem o 1ρ = , logo estão TODOS a mesma distancia do centro, visto que o ρ é o raio para os 4 pontos.



7 – Usando o Teorema dos Resíduos, calcule e justifique, o valor de ( )

( )20 2

cos

1 9

xdx

x

+∞ +

∫

Resolução - É um polinomio e uma função trigonometrica.

Calculo Auxiliar: 2 11 9

3x x i+ ⇔ = ±

Cuidado, pois quando tenho funções trigonometricas, fica ize

Seja “C” a linha/caminho formada por 1C e 2C , com 1

3R >

Calculo o Integral ( )

( )221 9

iz

C

e dz

z

+ ∫

Analise Complexa



Nota, se fosse :

( )

( )( )

( )2 2

3

0 2 2

cos

1 9 1 9

3i z

C

e dzxdx

x z

+∞ ⇒ + +

∫ ∫

Só vou calcular para o que está no interior, e tenho que ter cuidado pois é duplo, assim

( )( )2 2 22

12 Res ,

31 11 9 1 13 3

iz iz

C C

e dz edz i f i

z i i

π

= = = + + −

∫ ∫

( )2 2

1 1

3 3

1 12 lim . 2 lim

3 3z i z i

d di z i f z i z i

dz dzπ π

→ →

= − = − 2 2

.1 13 3

ize

z i z i + −

=

'

2 21 1

3 3

1 Derivada, pois polo DUPLORes ,3

2 lim 2 lim1 13 3

iz iz

z i z i

éf i

d e ei i

dzz i z i

π π→ →

= = + +

��

=

2

4 31 1

3 3

1 1 1. 2 . 2

3 3 32 lim 2 lim

1 13 3

iz iz iz iz

z i z i

i e z i e z i i e z i ei i

z i z i

π π→ →

+ − + + − = = = + +

Como já derivei, vou agora substituir o limite

2 2

1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3

3 3 3

1 1 2 2. 2 . 2 . 23 3 3 3

2 2 22 21 13 33 3

i i i i i ii e i i e i e i e i e i e

i i i

i ii i

π π π

− −

+ − − − = = = = +

( )1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

3

2

33

2 62 2 2 2

3 3 32 2 282 2273 3

e e e e ei i i

i i

i

iπ π π

−−

+ − −

= = = =

−

−



82 iπ=

− .3( ).9

3−1

3 8e

2 i

i

π

=

1

3

9

e i

1

31

3

1818 e

e

ππ

− = =

( )( )

1

322

181 9

iz

C

e dze

zπ

− = +

∫


( )( )

( )( )

( )( )

1 1

3 32 2 21 22 2 2

18 181 9 1 9 1 9

iz iz iz

C C C

e dz e dz e dze e

z z zπ π

− − = ⇔ + = ⇔ + + +

∫ ∫ ∫

Aplicando os limites a ambos os membros, quando R → +∞

( )( )

( )( )1 2

1

32 22 2

lim lim lim 181 9 1 9

iz iz

C CR R R

e dz e dze

z zπ

−

→+∞ →+∞ →+∞

⇔ + = ⇔ + + ∫ ∫


( )( )

( )( )

1 1

3 32 22 2

0 18 181 9 1 9

iz ize dz e dze e

z zπ π

− −+∞ +∞

−∞ −∞

⇔ + = ⇔ = + +

∫ ∫

1 1

3 3O limite de 18 é o seu proprio valor, pois não tem variaveis 18 .e eπ π− −

Nota, de facto é sempre

( )( )

1

322

0181 9

ize dze

ziπ

−+∞

−∞

= + +

∫

Pois tem sempre a parte imaginaria.

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

1 1

3 32 2 22 2 2

cos sin cos sin18 0 18 0

1 9 1 9 1 9

x i x dx x dx i x dxe i e i

z z zπ π

− −+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

+ = + ⇔ + = + ⇔ + + +

∫ ∫ ∫



( )( )( )

( )( )( )

1

322

22

cos18

1 9

sin0

1 9

x dxe

z

i x dxi

z

π−+∞

−∞

+∞

−∞

= +

= +

∫

∫

( )( )( )

1

322

cos18

1 9

x dxe

zπ

−+∞

−∞

= +

∫

Como a função é par, fica

2( )( )

( )0 22

cos. 2

1 9

x dx

z

+∞ = +

∫( )( )

( )

1 1

3 3220

cos.9 9

1 9

x dxe e

zπ π

− −+∞ ⇔ = +

∫

Sendo a resposta do exercicio

( )( )( )

1

320 2

cos9

1 9

x dxe

zπ

−+∞ = +

∫

Com funções trigonometricas, tenho sempre dois resultados.

Calculo III - Teoria e Exercícios Resolvidos

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