ANÁLISE MATEMÁTICA I
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ANÁLISE MATEMÁTICA I (2012 - 2013) Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores CADERNO DE EXERCÍCIOS (exercícios propostos, tabelas e provas de avaliação de anos anteriores) Docentes: José Carlos Petronilho Raquel Caseiro Maria João Ferreira Maria Elisabete Barreiro João Nogueira Departamento de Matemática Faculdade de Ciência e Tecnologia Universidade de Coimbra
Transcript of ANÁLISE MATEMÁTICA I
ANÁLISE MATEMÁTICA I
(2012 - 2013)
Mestrado Integrado em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
CADERNO DE EXERCÍCIOS
(exercícios propostos, tabelas e provas de avaliação de anos anteriores)
Docentes: José Carlos Petronilho
Raquel Caseiro
Maria João Ferreira
Maria Elisabete Barreiro
João Nogueira
Departamento de Matemática
Faculdade de Ciência e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra
Analise Matematica I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
2012/2013 Caderno de Exercıcios
1. Na figura estao representados os graficos de duas funcoes f e g.
f g
0 2
2
x
y
f g
0 2
2
f g
0 2
2
f g
0 2
2
f g
0 2
2
(a) Indique os valores de f(−4) e g(0).
(b) Indique os valores de x para os quais f(x) = g(x).
(c) Em que intervalos f e decrescente?
(d) Indique o domınio e o contradomınio de f e g.
2. Diga, justificando, se a curva dada e o grafico de uma funcao de x. Se for o caso, indique o domınioe o contradomınio da funcao.
(a)
x
y
(b)
x
y(c)
x
y
+1
−1
+2
−2
−1 +1
3. Quais dos seguintes subconjuntos de R2 sao graficos de funcoes? Esboce cada um dos conjuntos, e
se o conjunto for o grafico de uma funcao, indique o domınio e o contradomınio.
(a) (x, y) : x2 + y2 = 4(b) (x, y) : x2 + y2 = 4 e y ≥ 2
(c) (x, y) : y =√4− x2
(d) (x, y) : |x|+ |y| = 1
4. Determine o domınio de cada uma das seguintes funcoes:
(a) f(x) = x4
x2+2x−1
(b) f(t) = 3√t− 1
(c) f(x) =√
x(x− 1)(x− 2)
(d) f(x) =√
xx2−1
(e) f(x) =√senx
5. Determine o domınio e esboce o grafico de cada uma das seguintes funcoes:
(a) f(x) = 2x− 3
(b) f(x) = x2 + 2x− 1
(c) f(x) =√x− 5
(d) f(x) = |x|(e) f(x) = x− |x|(f) f(x) = sgnx = x
|x|
(g) f(x) = x2+5x+6x+2
(h) f(x) =
x+ 2 se x ≤ −1
x2 se x > −1
(i) f(x) =
−1 se x ≤ −1
3x+ 2 se |x| < 1
7− 2x se x ≥ 1
6. Encontre a expressao analıtica da funcao cujo grafico e a curva dada.
(a) O segmento de recta unindo os pontos(−2, 1) e (4,−6).
(b) O segmento de recta unindo os pontos(−3,−2) e (6, 3).
(c) A parte inferior da parabolax+ (y − 1)2 = 0.
(d) A parte superior da circunferencia(x − 1)2 + y2 = 1.
7. Deduza a expressao analıtica da funcao descrita, e indique o seu domınio.
(a) Um rectangulo tem um perımetro de 20 metros. Expresse a area do rectangulo como umafuncao do comprimento de um dos seus lados.
(b) Um rectangulo tem uma area de 16m2. Expresse o perımetro do rectangulo como uma funcaodo comprimento de um dos seus lados.
(c) Defina a area de um triangulo equilatero como uma funcao do comprimento de um lado.
(d) Expresse a area da superfıcie de um cubo como uma funcao do seu volume.
8. Num determinado paıs, o imposto sobre o rendimento singular e cobrado da seguinte forma: ficamisentos os que tem rendimento ate 10.000 EUR; aos que tem um rendimento acima de 10.000 EUR eate 20.000 EUR e cobrado um imposto de 10%; e acima de 20.000 EUR e-lhes cobrado um impostode 15%.
(a) Esboce o grafico da percentagem I cobrada sobre o rendimento R.
(b) Qual o montante do imposto cobrado sobre um rendimento de 14.000 EUR? E sobre 26.000EUR?
(c) Esboce o grafico do montante de imposto T cobrado sobre o rendimento R.
9. Em cada um dos casos, averigue se f e uma extensao ou uma restricao de g.
(a) f(x) = x2−1x3−1 , g(x) = x+1
x2+x+1
(b) f(x) = |x|, g(x) = (√x)
2
(c) f(x) =√
xx+1 , g(x) =
√x√
x+1
(d) f(x) =√1− x+
√
|x|, g(x) =√
|1− x|+√x
10. Considere a funcao
f(x) =
x se 0 ≤ x ≤ 1
2− x se 1 < x < 2
Represente graficamente uma extensao de f a R que
(a) seja par.
(b) seja ımpar.
(c) tenha perıodo 2.
11. Em cada caso, averigue se f e par ou ımpar.
(a) f(x) = x4 − 4x2
(b) f(x) = x3 − x
(c) f(x) = x2 + x
(d) f(x) = 3x3 + 2x2 + 1
12. Calcule as raızes reais dos seguintes polinomios:
(a) (x − 1)3(3x2 + 5x+ 2)(x2 + x+ 1)
(b) 2x5 + x4 − 3x3
(c) 5x3 − 4x+ 1
13. A partir do grafico da funcao seno, cosseno ou tangente, esboce o grafico das seguintes funcoes:
(a) f(x) = 2 senx
(b) f(x) = −4 cos (2x)
(c) f(x) = | cos (2x)|(d) f(x) = cos |x|(e) f(x) = cos
(
x− π5
)
(f) f(x) = cosx− π5
(g) f(x) = 3 tg x
(h) f(x) = 4 sen(
x6 − 5π
)
(i) f(x) = 4 sen (6(x+ 5π))
(j) f(x) = arcsenx
(k) f(x) = arctg x
14. Sejam f(x) = x2, g(x) = 1/x e h(x) = senx.
(a) Calcule (f + g)(−2), (fg)(
π3
)
,
(h/g)(
π2
)
, (f h)(
π6
)
, (g h)(
π3
)
,
(b) Determine os domınios das funcoes f + g, g h, h g, g g, g/(fh)
15. A partir dos graficos de f e de g, esboce os graficos de f + g e de f − g.
(a) f(x) = x, g(x) = 1/x
(b) f(x) = x3, g(x) = −x2
16. Determine a expressao analıtica e o domınio de f g, g f , f f e g g.
(a) f(x) = 2x2 − x, g(x) = 3x+ 2
(b) f(x) =√x− 1, g(x) = x2
(c) f(x) =√x, g(x) = 1
x2−1
(d) f(x) =√x2 − 1, g(x) =
√1− x
17. Determine a expressao analıtica e o domınio de f g h.
(a) f(x) = 1x , g(x) = x3, h(x) = x2 + 1
(b) f(x) =√x, g(x) = x
x−1 , h(x) = 3√x
18. Indique funcoes simples f e g tais que F = f g.
(a) F (x) = (x− 9)5
(b) F (t) =√cos t
(c) F (x) = x2
x2+4
19. Indique funcoes simples f , g e h tais que sen4(√x) = f g h.
20. A funcao de Heaviside e a funcao
H(t) =
0 se t < 0
1 se t ≥ 0
Esta funcao e utilizada no estudo de circuitos electricos para representar o surgimento repentino decorrente electrica, ou voltagem, quando uma chave e instantaneamente ligada.
(a) Esboce o grafico da funcao de Heaviside.
(b) Esboce o grafico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 0 e120 volts forem aplicados instantaneamante no circuito. Escreva uma formula para V (t) emtermos de H(t).
(c) Esboce o grafico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 5segundos e 240 volts forem aplicados instantaneamante no circuito. Escreva uma formula paraV (t) em termos de H(t).
21. A funcao de Heaviside definida no exercıcio 20 pode tambem ser utilizada para definir uma funcao
rampa y = ctH(t), que representa um crescimento gradual na voltagem ou corrente do circuito.
(a) Esboce o grafico da funcao rampa y = tH(t).
(b) Esboce o grafico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 0 ea voltagem crescer gradualmente ate 120 volts num intervalo de 60 segundos. Escreva umaformula para V (t) em termos de H(t) para t ≤ 60.
(c) Esboce o grafico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 7segundos e a voltagem crescer gradualmente ate 100 volts num intervalo de 25 segundos.Escreva uma formula para V (t) em termos de H(t) para t ≤ 32.
22. (a) Expresse cada uma das seguintes funcoes como soma de uma funcao par com uma funcaoımpar:
i. 3− 2x+ x4 − 5x7
ii. (x+ 2) senx− x3 sen (5x)
iii. sen(
x+ π3
)
(b) Seja f : R → R. Observe quef = E +O,
onde
E(x) =1
2(f(x) + f(−x))
O(x) =1
2(f(x)− f(−x)).
Mostre que E e par e que O e ımpar. Mostre que existe uma unica decomposicao de f comosoma de uma funcao par com uma funcao ımpar.
(c) Mostre que a soma de duas funcoes pares (respectivamente ımpares) e uma funcao par (re-spectivamente ımpar).
(d) O que podemos afirmar a respeito do produto de duas funcoes pares? E o de duas funcoesımpares? E o de uma funcao par com uma funcao ımpar?
(e) Responda a mesmas questoes, considerando a composicao de funcoes no lugar do produto.
23. Indique quais das funcoes cujos graficos sao apresentados a seguir sao injectivas:
(a)
(b)
(c)
24. Considere as funcoes definidas pelas seguintes expressoes analıticas. Supondo que o contradomıniocoincide com o conjunto de chegada, indique as funcoes que tem inversa; se a inversa existir,determine-a.
(a) f(x) = 7x3 − 3
(b) f(x) = x2 − 2x+ 5
(c) f(x) = senx
(d) f(x) = arccosx
(e) f(x) = |x− 1|(f) f(x) = 2x−1
x
(g) f(x) = 3 +√x− 2
(h) f(x) = −3 + ln x3
(i) f(x) = 210x
(j) f : R\]− 1, 0[ → R
x 7→
x2 se x ≤ −1
1− x se x ≥ 0
(k) f : R \ [−1, 0[ → R
x 7→
x2 se x < −1
1− x se x ≥ 0
25. Esboce o grafico de cada uma das seguintes funcoes, e indique os respectivos domınio e o con-tradomınio:
(a) 2x + 1
(b) 2x+1
(c)(
35
)x
(d)(
35
)−x
(e) 3−x
(f) −3x
(g) 2|x|
(h) 3− ex
(i) − lnx
(j) ln (−x)
(k) ln |x|(l) | lnx|
(m) log10 (x+ 5)
(n) log0,5 (x+ 5)
(o) 2 + senh(x− 1)
(p) −2 cosh (x+ 1)
(q) | tgh (2x)|
(r) argsenh (−x)
(s) argcosh (−x)
(t) − argtghx
26. Calcule o valor exacto de cada expressao:
(a) log2 64
(b) log6(
136
)
(c) log5 10 + log5 20− 3 log5 2
(d) 2log2 3+log2 5
(e) e3 ln 2
27. Prove as seguintes igualdades:
(a) cosx+ cos(
x+ 2π3
)
+ cos(
x− 2π3
)
= 0
(b) sen (3x) = 3 senx− 4 sen3 x
(c) 1 + cos(
x2
)
= 2 cos2(
x4
)
(d) tg (2x) = 11−tg x − 1
1+tg x
(e) cosh2 x− senh2 x = 1
(f) senh (x+ y) = (senhx) · (cosh y) + (senh y) · (coshx)(g) senh (3x) = 3 senh (x) + 4 senh3 (x)
28. Resolva as seguintes equacoes:
(a) 1x−1 + 1
x+1 = 2x2
x2−1
(b)∣
∣
∣
x−13x+4
∣
∣
∣= 2
(c) 2 senx = −√3
(d) sen (2x) + sen π4 = 0
(e) cosx = sen2 x− cos2 x
(f) cosx+ sen (2x) = 0
(g) 3senx+(sen x)·(tgx) = 1
(h) | arcsin(x+ 1)| = π4
(i) log3 x = 12 + log9 (4x+ 15)
(j) ex + 4e−x = 5
(k) log2(senx+ 1)− 1 = 0
(l) log2(arctg x) + 3 log(arctg x) + 2 = 0
29. Para cada uma das seguintes afirmacoes, diga se ela e verdadeira ou falsa. Se verdadeira, expliqueporque; se falsa, de um exemplo que justifique a sua resposta.
(a) Se f for uma funcao, entao f(s+ t) = f(s) + f(t).
(b) Se f(s) = f(t), entao s = t.
(c) Se f for uma funcao, entao f(3x) = 3f(x).
(d) Se x1 < x2 e f for uma funcao decrescente, entao f(x1) > f(x2).
(e) Uma recta vertical intercepta o grafico de uma funcao no maximo uma vez.
(f) Se f e g sao funcoes, entao f g = g f .(g) Se f for bijectiva entao f−1(x) = 1
f(x) .
(h) E sempre possıvel dividir por ex.
(i) Se 0 < a < b, entao ln a < ln b.
(j) Se x > 0, entao (lnx)6 = 6 lnx.
30. Seja h(x) =
x se x < 0
x2 se 0 < x ≤ 2
8− x se x > 2
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) limx→0+
h(x)
(b) limx→0
h(x)
(c) limx→1
h(x)
(d) limx→2−
h(x)
(e) limx→2+
h(x)
(f) limx→2
h(x)
31. Calcule, quando existir, cada um dos limites. No caso do limite nao existir, explique porque.
(a) limx→−4
|x+ 4|
(b) limx→−4−
|x+ 4|x+ 4
(c) limx→2
|x− 2|x− 2
(d) limx→0−
(
1
x− 1
|x|
)
(e) limx→0+
(
1
x− 1
|x|
)
(f) limx→π
2
tg x
(g) limx→2
√x+ 2− 2
x− 2
(h) limx→1
x− 1
x2 − 2x+ 1
(i) limt→9
9− t
3−√t
(j) limx→+∞
1 + x2 + x3
5− 2x+ x2
(k) limx→0+
√x
x
(l) limx→−∞
√x2 + 1
x
(m) limx→(π
2 )−
secx
(n) limx→5+
ln(x− 5)
(o) limx→+∞
cotgh(
√
1 + x2)
32. Determine as assımptotas horizontais e verticais das funcoes:
(a) f(x) = e1x (b) g(x) = ln
(
1 + 1x
)
(c) h(x) = x−9√4x2+3x+2
33. De um exemplo em que limx→a
f(x) e limx→a
g(x) nao existem mas existe
(a) limx→a
(f(x) + g(x)) (b) limx→a
(f(x) · g(x))
34. Use o teorema do limite das funcoes enquadradas para provar que:
(a) limx→0
x sen
(
1
x
)
= 0
(b) limx→0
|x|√x4 + 4x2 + 7
= 0
(c) limx→−∞
(
sen3 x
x+ cos2 x+ 31−x
)
= +∞
(d) limx→1−
(arccosx) · cos(
1
lnx
)
= 0
35. Na Teoria da Relatividade, a formula da Contraccao de Lorentz
L = L0
√
1− v2/c2
expressa o comprimento L de um objecto como uma funcao da sua velocidade v em relacao a umobservador, onde L0 e o comprimento do objecto no repouso e c e a velocidade da luz. Determinelim
v→c−L e interprete o resultado. Porque e que e necessario o limite a esquerda?
36. Estude a continuidade das seguintes funcoes, cujo domınio deve sempre indicar.
(a) f(x) =
2ex − 1 se x < 0
1 se x ∈ [0, 2]
sen(x) se x > 2
(b) f(x) =
1x se x < 0
x se x ≥ 0
(c) f(x) =
x cos(
1x2
)
se x 6= 0
0 se x = 0
(d) f(x) = arctg(
xx−1
)
(e) f(x) = arccos(√
x2−1x
)
(f) f(x) = ln(cosh(x))
(g) f(x) =
2 senhx se x < 0
e− 1ex se x ≥ 0
37. A forca gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distancia r do centrodo planeta e
F (r) =
GMrR3 se r < R
GMr2 se r ≥ R
onde M e a massa da Terra, R o seu raio e G a constante gravitacional. F e uma funcao contınuade r?
38. Seja f a funcao definida por
f(x) =
(
1− 2
x2
)2003
+ ln
(
2 +sen(πx)
2
)
Mostre que f se anula em pelo menos um ponto do intervalo ]1, 2[.
39. Mostre que
(a) a equacao x3 − 9x2 + 7 = 0 tem tres solucoes, uma em cada um dos intervalos ]− 1, 0[, ]0, 1[ e]6, 9[.
(b) a equacao cosx = x tem pelo menos uma solucao no intervalo ]0, 1[.
(c) a equacao lnx = e−x tem pelo menos uma solucao no intervalo ]1, 2[.
40. Seja f uma funcao contınua em [0, 1] e tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1, para todos os valores de x no intervalo[0, 1]. Mostre que existe c em [0, 1] tal que f(c) = c.
41. Para cada uma das seguintes afirmacoes, diga se ela e verdadeira ou falsa. Se verdadeira, expliqueporque; se falsa, de um exemplo que justifique a sua resposta.
(a) limx→4
(
2x
x− 4− 8
x− 4
)
= limx→4
(
2x
x− 4
)
− limx→4
(
8
x− 4
)
(b) limx→1
x2 + 6x− 7
x2 + 5x− 6=
limx→1
(x2 + 6x− 7)
limx→1
(x2 + 5x− 6)
(c) limx→1
x− 3
x2 + 2x− 4=
limx→1
(x− 3)
limx→1
(x2 + 2x− 4)
(d) Se limx→5
f(x) = 2 e limx→5
g(x) = 0, entao limx→5
f(x)
g(x)nao existe.
(e) Se limx→5
f(x) = 0 e limx→5
g(x) = 0, entao limx→5
f(x)
g(x)nao existe.
(f) Se limx→6
f(x)g(x) existe, entao e igual a f(6)g(6).
(g) Se limx→0
f(x) = +∞ e limx→0
g(x) = +∞, entao limx→0
(f(x) − g(x)) = 0
(h) Se a recta x = 1 for uma assımptota vertical de y = f(x), entao f nao esta definida em 1.
(i) Se f(1) > 0 e f(3) < 0, entao existe um numero c entre 1 e 3 tal que f(c) = 0.
(j) Se f for contınua em [−1, 1], e f(−1) = 4 e f(1) = 3, entao existe um numero r tal que |r| < 1e f(r) = π.
42. A quantidade de carga Q em coloumbs que passa atraves de um ponto num fio ate ao instante t(medido em segundos) e dada por Q(t) = t3 − 2t2 + 6t + 2. Determine o valor da corrente emamperes quando t = 0.5 e quando t = 1.
43. Determine os pontos da curva y = x3 − x2 − x+ 1 onde a tangente e horizontal.
44. Uma partıcula move-se segundo a lei do movimento s = f(t), t ≥ 0, onde t e medido em segundose s em metros. Para
• f(t) = t2 − 10t+ 12
• f(t) = t3 − 9t2 + 15t+ 10
• f(t) = tt2+1
resolva os seguintes problemas:
(a) Determine a velocidade da partıcula no instante t.
(b) Quando e que a partıcula esta em repouso?
(c) Quando e que esta a movimentar-se no sentido positivo?
(d) Determine o espaco total percorrido durante os 8 primeiros segundos.
45. Considere a seguinte funcao:
g(x) =
−1− 2x se x < −1
x2 se −1 ≤ x ≤ 1
x se x > 1
(a) Determine o conjunto dos pontos onde g e diferenciavel.
(b) Determine a expressao analıtica de g′.
(c) Esboce os graficos de g e de g′.
46. Supondo que h(x) = f(g(x)) e que g(3) = 6, g′(3) = 4, f ′(3) = 2, f ′(6) = 7, determine h′(3).
47. Supondo que w = u v e que u(0) = 1, v(0) = 2, u′(0) = 3, u′(2) = 4, v′(0) = 5 e v′(2) = 6,determine w′(0).
48. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funcoes:
(a) g(x) = x2 + 1x2
(b) f(x) = 5 + x2+4x−3√x
(c) v = x√x+ 1
x2√x
(d) y = 3t−7t2+5t−4
(e) y = 1x4+x2+1
(f) y = ex
x+ex
(g) f(x) = senx+ cosx
(h) f(x) = ex senx
(i) f(x) = tg x−1sec x
(j) y = x senx cosx
(k) y = 3√1 + x3
(l) y = sen (ex)
(m) f(t) =(
t− 1t
)32
(n) f(t) = tg 3√1 + tg t
(o) g(x) = (3x− 2)10(5x2 − x+ 1)
(p) y = ex cosx
(q) y = senh (coshx)
(r) y = x argtghx+ ln√1− x2
(s) y = x2 argsenh(2x)
(t) y = (sen−1 x)2
(u) y = x arccosx−√1− x2
(v) y = x2 arccotg (3x)
(w) y = arctg (arcsen√x)
(x) y = log10 (x2 − x)
(y) y = ln∣
∣
∣
x2−42x+5
∣
∣
∣
49. (a) Use a diferenciacao implıcita para determinar a derivada da funcao y definida implicitamentepor x2 + y2 = 1.
(b) Determine uma equacao da recta tangente a hiperbole x2 − y2 = 1 no ponto (√2; 1).
50. Determine os pontos do grafico da funcao f(x) = 2 senx + sen2 x nos quais a recta tangente ehorizontal.
51. Determine uma equacao da recta tangente a curva no ponto dado:
(a) y = 2xx+1 , (1, 1)
(b) y = ex
x , (1, e)
(c) y = tg x, (π/4, 1)
(d) y = 1sen x+cosx , (0, 1)
(e) y = 10x, (1, 10)
(f) y = sen(senx), (π, 0)
52. Seja f(x) = 1− 3√x2.
(a) Por que e que f e contınua em R?
(b) Mostre que f(−1) = f(1) mas que nao existe c ∈]− 1, 1[ tal que f ′(c) = 0. Por que e que issonao contradiz o Teorema de Rolle?
53. Seja f(x) = |x− 1|. Mostre que nao existe c tal que f(3)− f(0) = f ′(c)(3− 0). Por que e que issonao contradiz o Teorema do Valor Medio?
54. Utilize o Teorema do Valor Medio para provar a desigualdade
| sena− sen b| ≤ |a− b| ∀a, b ∈ R
55. Mostre que
(a) a equacao x5 + 10x+ 3 = 0 tem exactamente uma raız real.
(b) a equacao 3x+ cos(
π2x
)
= 2 tem exactamente uma raız real.
(c) a equacao x5 − 5x+ c = 0 tem no maximo uma raız no intervalo [−1, 1].
(d) a equacao x4 = c− 4x tem no maximo duas raızes reais.
56. Sejam f(x) = 1x e g(x) =
1x se x > 0
1 + 1x se x < 0.
Mostre que f ′(x) = g′(x), ∀x ∈ R \ 0. Porque e que esta igualdade nao nos permite concluir quef(x) = g(x), ∀x ∈ R \ 0?
57. Prove as seguinte igualdades:
(a) 2 arcsenx = arccos (1 − 2x2), x ∈ [0, 1]
(b) arctg x = arcsen x√1+x2
, x ∈ R
58. Supondo que limx→a
f(x) = 0+ e que limx→a
g(x) = +∞ (respectivamente −∞) mostre que entao
limx→a
f(x)g(x) = 0+ (respectivamente +∞).
59. Calcule os seguintes limites. Utilize a regra de L’Hopital quando tal for possıvel e apropriado. Seexistir um metodo mais elementar, utilize-o. Se a regra de L’Hopital nao for aplicavel, expliqueporque.
(a) limx→−1
x2 − 1
x+ 1
(b) limx→1
x9 − 1
x5 − 1
(c) limx→0
ex − 1
senx
(d) limx→0
ln(x + 1)
x
(e) limx→0
x senx
1− cosx
(f) limx→π
tg x
x
(g) limx→0
x2 sen(
1x
)
senx(h) lim
x→0+
√x lnx
(i) limx→−∞
x2ex
(j) limx→+∞
x1x
(k) limx→+∞
x tg
(
1
x
)
(l) limx→0
(
1
x4− 1
x2
)
(m) limx→0
(
1
x− cossecx
)
(n) limx→+∞
(
√
x2 + x+ 1−√
x2 − x)
(o) limx→+∞
x− senx
x+ senx(p) lim
x→0+xsen x
(q) limx→−∞
(xe1x − x)
(r) limx→1+
(lnx)1
x−1
60. (a) Esboce o grafico de uma funcao de domınio [0, 3] que tenha um maximo local em 2 e que sejadiferenciavel em 2.
(b) Esboce o grafico de uma funcao de domınio [0, 3] que tenha um maximo local em 2 e que sejacontınua mas nao diferenciavel em 2.
(c) Esboce o grafico de uma funcao de domınio [0, 3] que tenha um maximo local em 2 e que naoseja contınua em 2.
61. Determine, se existirem, os valores maximos e mınimos locais e absolutos de cada uma das seguintesfuncoes:
(a) f(x) = 8− 3x, x ∈ [1,+∞[
(b) f(x) = 3− 2x, x ∈]−∞, 5]
(c) f(x) = x2, x ∈]0, 2[(d) f(x) = x2, x ∈]0, 2](e) f(x) = x2, x ∈ [0, 2]
(f) f(x) = 3x2 − 12x+ 5, x ∈ [0, 3]
(g) f(x) = 2x3 + 3x2 + 4, x ∈ [−2, 1]
(h) f(x) = xe−x, x ∈]0, 2[
(i) f(x) =
x2 se −1 ≤ x < 0
2− x2 se 0 ≤ x ≤ 1
(j) f(x) = 2− x4, x ∈ R
(k) f(x) = x5, x ∈ R
(l) f(x) = xx2+1 , x ∈ [0, 2]
(m) f(x) = x− 3 lnx, x ∈ [1, 4]
62. Mostre que se f(x) = x4, entao f ′′(0) = 0, mas (0, 0) nao e um ponto de inflexao do grafico de f .
63. Mostre que a funcao g(x) = x|x| tem um ponto de inflexao em (0, 0) mas que g′′(0) nao existe.
64. Esboce o grafico de cada uma das funcoes dadas, averiguando os seguintes aspectos:
• domınio;
• pontos de interseccao com os eixos coordenados;
• simetria;
• assımptotas;
• intervalos de monotonia;
• valores maximos e mınimos locais;
• concavidades e pontos de inflexao.
(a) f(x) = 2− 15x+ 9x2 − x3
(b) f(x) = x− 1x
(c) f(x) = ex − x
(d) f(x) = x3
x2−1
(e) f(x) = x√1−x2
(f) f(x) = x lnx
(g) f(x) = x√5− x
(h) f(x) =√x2 + 1− 2x
(i) f(x) = sen (2x)− 2 senx
(j) f(x) = ln (x2 − x)
(k) f(x) = x+√
|x|(l) f(x) = xe−x2
(m) f(x) = x− senx
(n) f(x) = senx− tg x
(o) f(x) = ln (2ex − 1)
65. Um numero real a e um ponto fixo de uma funcao f se f(a) = a. Mostre que se f for diferenciavelem R e se f ′(x) 6= 1 para todo o numero real x, entao f tem no maximo um ponto fixo.
66. Um agricultor dispoe de 2400 pes de cerca para fazer um curral rectangular na margem de um riorecto. Ele nao precisa de cerca ao longo da margem do rio. Quais sao as dimensoes do curral dearea maxima?
67. Um agricultor quer cercar uma area de 1500 metros quadrados num campo rectangular e entaodividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do rectangulo. Como fazer isso de formaa minimizar o custo da cerca?
68. Uma caixa sem tampa deve ser construıda a partir de um pedaco quadrado de papelao, com 60centımetros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando porcima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa podera ter.
69. Encontre o ponto sobre a hiperbole y2 − x2 = 4 que esta mais proximo do ponto (2, 0).
70. Pretende-se fazer uma lata cilındrica para receber um litro de oleo. Encontre as dimensoes queminimizarao o custo do metal para produzir a lata (recorde que 1 l = 1000 cm3).
71.
ϕ
a
A
B
O
hr
ℓSeja A um ponto sobre uma recta (que fazemos
coincidir com o eixo dos xx) assente num planohorizontal, e consideremos uma recta vertical ℓ(que fazemos coincidir com o eixo dos yy), quenao contenha o ponto A (ver figura).Pretende-se determinar o ponto B sobre a recta ℓno qual se deve colocar um foco de luz para obter amelhor iluminacao do plano no ponto A, sabendoque a intensidade do fluxo luminoso que incide
sobre o plano no ponto A e igual a
I = csinϕ
r2,
onde r = AB , ϕ = ∡OAB e c e uma constantenumerica.
(a) Pondo h = OB e a = OA, mostre que I se pode expressar em funcao de h por
I(h) =c h
(h2 + a2)3/2.
(b) Determine a funcao derivada I ′(h).
(c) Justifique que as coordenadas do ponto B procurado sao
(
0,a√2
)
.
72. Para cada uma das seguintes afirmacoes, diga se ela e verdadeira ou falsa. Se verdadeira, expliqueporque; se falsa, de um exemplo que justifique a sua resposta.
(a) Se f e contınua em a, entao e diferenciavel em a.
(b) Se f ′(c) = 0, entao f tem um maximo ou um mınimo local em c.
(c) Se f tiver um valor mınimo absoluto em c, entao f ′(c) = 0.
(d) Se f for contınua em ]a, b[, entao f atinge um valor maximo absoluto f(c) e um valor mınimoabsoluto f(d) para alguns c, d ∈]a, b[.
(e) Se f for diferenciavel em R e f(−1) = f(1), entao existe um numero real c tal que |c| < 1 ef ′(c) = 0.
(f) Se f ′(x) < 0 para 0 < x < 6, entao f e decrescente em ]0, 6[.
(g) Se f ′′(2) = 0, entao (2, f(2)) e um ponto de inflexao da curva y = f(x).
(h) Se f ′(x) = g′(x) para 0 < x < 1, entao f(x) = g(x) para 0 < x < 1.
73. Uma partıcula move-se ao longo de uma recta de acordo com os dados que se seguem (onde s(t),v(t) e a(t) designam a posicao, velocidade e aceleracao no instante t, respectivamente). Determinea posicao da partıcula no instante t.
(a) v(t) = sen t− cos t, s(0) = 0; (b) a(t) = cos t+ sen t, s(0) = 0, v(0) = 5;
(c) a(t) = 10 + 3t− 3t2, s(0) = 0, s(2) = 10.
74. Sabendo que o grafico de f passa pelo ponto (1, 6) e que tem em (x, f(x)) uma recta tangente deinclinacao 2x+ 1, calcule f(2).
75. Sejam F e G primitivas de f e g, respectivamente. E verdade que:
(a) F +G e uma primitiva de f + g?
(b) FG e uma primitiva de fg?
(c) F/G e uma primitiva de f/g?
76. Seja F uma primitiva de f . Mostre que:
(a) Se F e uma funcao par, entao f e uma funcao ımpar.
(b) Se F e uma funcao ımpar, entao f e uma funcao par.
77. Calcule primitivas das funcoes indicadas em intervalos adequados:
i) Primitivas Imediatas
(a) x2 − 3x12 (b)
x2 + x+ 2√x
(c) ex√1 + ex
(d)3√9− x
(e)x3
√9− x4
(f)1
x− senx
(g) sen2 x cosx (h) sen2 x (i)1
xlnx
(j)arctg x
1 + x2(k)
arcsenx√1− x2
(l)x√
9− x4
(m)3x+ 5
x2 + 1(n)
x
9 + x4(o)
cosh(lnx)
x
(p)argtgh2x
1− x2(q)
exargsenh(ex)√1 + e2x
(r)senhx
4 + cosh2 x
ii) Primitivas por Partes
(a) x cos x (b) 2xe1+2x (c) lnx
(d) x2 lnx (e) ln2 x (f) arctg(1
x)
(g)x arcsenx√
1− x2(h) senhx ln(1 + senhx) (i)
ln2 x
x3
(j) ex cosx (k) cos(lnx) (l) x2 cosx senx
iii) Primitivas de Potencias de Funcoes Trigonometricas
(a) sen3 x (b) cos5 x (c) cos4 x
(d) tg4 x (e) tg5 x (f) sen5 x√3cosx
(g)senhx+ coshx
cosh3 x(h) cosh2 x (i) senh3x cosh2 x
iv) Primitivas de Funcoes Racionais
(a)2x
(x+ 2)(x− 3)(b)
x2 + 1
x2 + 4(c)
x+ 2
x2(x2 + 1)
(d)4x2 + 6
x3 + 3x(e)
x+ 1
x3 − x2(f)
x+ 2
x2(x4 − 1)
(g)3x+ 2
x3 + x2 − 2x(h)
x2 − 2x+ 4
x2(x − 2)2(i)
x2 + 1
(x− 1)3
v) Primitivas por Substituicao
(a)1
(x2 + 4)2(b)
x2
√25− x2
(c)(sen3 x+ 1) cosx
1 + sen2 x
(d)ex
1 + coshx(e)
√
1−√x
x(f)
1
x√x2 − 9
(g)x2 + 1√x2 + 1
(h)tgh3 x
1 + tgh2 x(i)
1
(x+ 1)√x√x+ 2
vi) Problemas Mistos
Escolha um metodo adequado para calcular as primitivas das seguintes funcoes:
(a)arctg x
(x− 1)2(b) xargtghx (c) x2 sen2 x cos x
(d)xearcsenx2
√1− x4
(e)ln(lnx)
x(f)
√
e2x − 1
ex + 1
(g)1
sen2 x+ senx cosx(h)
ln(x3 + x)
x2(i) ln(
√
1 + x2)
78. Em cada uma das alıneas seguintes, determine o valor do integral definido atraves da identificacaocom a area de uma regiao (que devera esbocar):
(a)∫ 2
−3(2x+ 6) dx (b)∫ 3
0
√9− x2 dx (c)
∫ π2
0
∣
∣x− π4
∣
∣ dx
79. Calcule os seguintes integrais definidos:
(a)∫ 2
02x dx
(b)∫ 2
−21
4+x2 dx
(c)∫ 2π
0 2x dx
(d)∫ 2π
02x cos(2x) dx
(e)∫ 2π
0 | cosx| dx
(f)∫ 5
2t3+1t+1 dt
(g)∫ 2π
πsen4 x cosx dx
(h)∫ e2π
1sen(lnx) dx
(i)∫ 2
0x2
√16−x2
dx
(j)∫
√3
−√3
√4− x2 dx
(k)∫ 1
0
√1 + x2 dx
(l)∫ π
2
0cosx
6−5 sen x+sen2 x dx
80. Mostre que sao nulos os seguintes integrais:
(a)∫ 1
−1x5
√x4 + 1 dx (b)
∫ 1
−1x sen2 x dx
81. Suponha que a funcao f e contınua em R.
(a) Mostre que
i.∫ b
a f(−x) dx =∫ −a
−b f(x) dx
ii.∫ b
af(x+ c) dx =
∫ b+c
a+cf(x) dx
(b) Para o caso em que f(x) ≥ 0, interprete geometricamente as igualdades anteriores.
82. Se f for contınua em [a, b], mostre que
∣
∣
∣
∣
∣
∫ b
a
f(x) dx
∣
∣
∣
∣
∣
≤∫ b
a
|f(x)| dx
(Sugestao: utilize a desigualdade −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|).
83. A corrente num fio electrico e a derivada da carga: I(t) = Q′(t). O que representa∫ b
a I(t) dt?
84. A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova cal-culadora. A taxa de producao dessas calculadoras apos t semanas e modelada pela funcao
dx
dt= 5000
(
1− 100
(t+ 100)2
)
calculadoras/semana
Determine o numero de calculadoras produzidas entre o inıcio da terceira semana e o final da quartasemana.
85. Sejam
f(x) =
0 se x < 0
x se 0 ≤ x ≤ 1
2− x se 1 < x ≤ 2
0 se x > 2
e g(x) =
∫ x
0
f(t) dt .
(a) De uma expressao a g(x) semelhante a que foi dada para f(x).
(b) Esboce os graficos de f e de g.
(c) Indique os pontos de continuidade de f e de g.
(d) Indique os pontos onde f e g sao diferenciaveis.
(e) Interprete os resultados da resolucao das duas alıneas anteriores a luz do Teorema Fundamentaldo Calculo.
86. Determine os intervalos onde o grafico da funcao
f(x) =
∫ x
0
1
1 + t+ t2
tem a concavidade voltada para cima.
87. Calcule
(a) limx→3
(
x
x− 3
∫ x
3
sen t
tdt
)
(b) limx→0
∫ x2
0et
2
dt
cosx− 1
88. Seja g : [0, π] → R uma funcao com derivada contınua. Sabendo que g(0) = 2 e que
∫ π
0
[g′(x) cos x− g(x) sen x] dx = 4
calcule g(π).
89. Considere a funcao real de variavel real definida por:
F (y) =
∫ 1
0
x2eyx dx, y ∈ R
(a) Estude a monotonia de F ;
(b) Utilizando uma mudanca de variavel adequada, mostre que, para todo o y positivo, se tem
F (y) =1
y3
∫ y
0
t2et dt
(c) Verifique que
limy→0+
F (y) =1
3.
90. Calcule o limite, reconhecendo a soma como uma soma de Riemann de uma funcao definida nointervalo [0, 1]:
(a) limn→+∞
n∑
i=1
i3
n4(b) lim
n→+∞1
n
n∑
i=1
√
i
n
91. A electricidade domestica e fornecida na forma de corrente alternada que varia de 155V a −155Vcom uma frequencia de 60 ciclos por segundo (Hz). A voltagem e entao dada pela seguinte equacao:
E(t) = 155 sen(120πt)
onde t e o tempo em segundos. Consideremos voltımetros que leem a voltagem RMS (raız da mediaquadratica), que e a raız quadrada do valor medio de [E(t)]2 num ciclo.
(a) Calcule a voltagem RMS da corrente domestica.
(b) Muitos fornos electricos requerem a voltagem RMS de 220V . Encontre a amplitude A corres-pondente necessaria para a voltagem E(t) = A sen(120πt).
92. Mostre que1
17≤
∫ 2
1
1
1 + x4dx ≤ 7
24
93. Quais dos seguintes sımbolos representam integrais improprios, quais representam integrais definidose quais nao representam integrais definidos ou improprios?
(a)∫ 0
−21
(1+x)√xdx
(b)∫ 2
−21√
4−x2dx
(c)∫ 2
−2sen t dt
(d)∫ 2
−21x dx
(e)∫ 2
−2
√4− x2 dx
(f)∫ 2
−2
√x2 − 4 dx
(g)∫ 1
−11
u2−u dx
94. Determine a natureza dos seguintes integrais improprios e indique os seus valores no caso de con-vergencia:
(a)∫ +∞−∞ x2 dx
(b)∫ +∞1
2x2 dx
(c)∫ 0
−∞ ex dx
(d)∫ +∞4
1x dx
(e)∫ 0
−∞ xe−x2
dx
(f)∫ +∞−∞
xx4+9 dx
(g)∫ 1
01x2 dx
(h)∫ +∞−∞
11+x2 dx
(i)∫ +∞1/2
1x(lnx)1/5
dx
95. Mostre que o integral improprio∫ +∞
1
1
xαdx
e convergente e de valor 1α−1 se α > 1, e divergente se α ≤ 1.
96. Determine a natureza dos seguintes integrais improprios:
(a)∫ +∞5
1x2+6x+12 dx
(b)∫ +∞0
xx3+x2+1 dx
(c)∫ +∞1
e−x
x3 dx
(d)∫ +∞−1
32x+ 3
√x2+1+6
dx
(e)∫ +∞
π2
senxx2 dx
(f)∫ 1
01
ln(1+√x)
dx
97. Calcule a area das figuras limitadas
(a) pelas parabolas y = x2 e x = y2;
(b) pelas curvas y = 1x , y = 1
x2 e x = 2;
(c) pelas curvas y = cosx, y = sen 2x, x = 0 e x = π2 ;
(d) pelas curvas y = senx, y = sen3 x, x = 0 e x = π2 ;
(e) pelas curvas y = |x|, e y = x2 − 2;
(f) pela parabola y2 = −x+ 2y e pela recta x = 0;
(g) pela hiperbole y2 − x2 = 1 e pela recta y = 3;
(h) pela elipse x2
a2 + y2
b2 = 1.
98. Considere a regiao plana A = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π
2 , 0 ≤ y ≤ 12 , y ≤ cosx.
(a) Determine a area de A.
(b) Determine o volume do solido gerado pela rotacao de A em torno da recta y = 0.
99. Determine o volume do solido obtido pela rotacao da regiao limitada pelas curvas dadas em tornodo eixo especificado:
(a) y = senx, x = π2 , x = π, y = 0, em torno do eixo dos xx;
(b) x = y − y2, x = 0, em torno do eixo dos yy;
(c) y = x, y =√x, em torno da recta y = 1;
(d) y = x, y =√x, em torno da recta x = 2;
100. Considere a regiao limitada pela curva y = cos2 x, pelo eixo dos xx e pelas rectas x = 0 e x = π2 .
(a) Determine o volume do solido gerado pela rotacao em torno do eixo dos xx.
(b) Determine o volume do solido gerado pela rotacao em torno do eixo dos yy.
101. Calcule o comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a) 3x = 2(y − 1)3/2, 2 ≤ y ≤ 5 (b) y = lnx− x2
8 , 1 ≤ x ≤ 4
102. Atribua, se possıvel, uma valor a area da regiao R e um valor ao volume do solido obtido pelarotacao em torno do eixo dos xx, sendo:
(a) R = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1
x
(b) R = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 1 ≤ y ≤ 1 + 1√
x
(c) R = (x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1√
x
(d) R = (x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
3√x
(e) R = (x, y) ∈ R2 : x ≤ 0, e2x ≤ y ≤ ex
(f) R = (x, y) ∈ R2 : 1 < x ≤ 2, 0 ≤ y ≤
1x−1
103. Para cada uma das seguintes afirmacoes, diga se ela e verdadeira ou falsa. Se verdadeira, expliqueporque; se falsa, de um exemplo que justifique a sua resposta.
(a) Se f e g forem contınuas em [a, b] entao∫ b
a[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
af(x) dx+
∫ b
ag(x) dx.
(b) Se f e g forem contınuas em [a, b] entao∫ b
a [f(x)g(x)] dx = (∫ b
a f(x) dx)(∫ b
a g(x) dx).
(c) Se f e g forem contınuas em [a, b] entao∫ b
a [5f(x)] dx = 5(∫ b
a f(x) dx).
(d) Se f e g forem contınuas em [a, b] entao∫ b
a[xf(x)] dx = x(
∫ b
af(x) dx).
(e) Se f e g forem contınuas e se f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, entao∫ b
af(x) dx ≥
∫ b
ag(x) dx.
(f) Se f e g forem diferenciaveis e se f(x) ≥ g(x) para a < x < b, entao f ′(x) ≥ g′(x) paraa < x < b.
(g) Se f for contınua e existir limt→+∞∫ t
−tf(x) dx entao o integral improprio
∫ +∞−∞ f(x) dx con-
verge e∫ +∞−∞ f(x) dx = limt→+∞
∫ t
−t f(x) dx.
(h) Se para todo x ∈ R tivermos 0 ≤ f(x) ≤ g(x) e se∫ +∞0 g(x) dx divergir entao
∫ +∞0 f(x) dx
tambem diverge.
104. Mostre que y = 2 + e−x3
e uma solucao da equacao diferencial y′ + 3x2y = 6x2.
105. Verifique que y = 2+ln xx e uma solucao para o problema de valor inicial
x2y′ + xy = 1 y(1) = 2.
106. Uma determinada populacao e modelada pela equacao diferencial
dP
d t= 1, 2 · P ·
(
1− P
4200
)
.
(a) Para que valores de P a populacao esta a crescer?
(b) Para que valores de P a populacao esta a diminuir?
107. Considere o campo de direccoes da equacao diferencial y′ = 2y(y − 2), representado na figura.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Determine graficamente a solucao que satisfaz a condicao dada:
(a) y(0) = 1 (b) y(0) = 2.5 (c) y(0) = −1 (d) y(1) = 1
108. Resolva cada uma das seguintes equacoes diferenciais:
(a) d yd x = e2x
4y3 ; (b) y′ = xy2 ln y ; (c) d z
d t + et+z = 0.
109. Resolva cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
(a) y′ = sen(5x)y, y(π) = −3; (b) xe−t d xd t = t, x(0) = 1;
(c) x+ 2y√x2 + 1 d y
d x = 0, y(0) = 1.
110. Determine uma equacao da curva que passa pelo ponto (1, 1) e cuja inclinacao em (x, y) e y2/x3.
111. Uma cultura de bacterias comeca com 500 bacterias e cresce a uma taxa proporcional ao seutamanho populacional. Depois de 3 horas existem 8000 bacterias.
(a) Determine uma expressao para o numero de bacterias depois de t horas.
(b) Calcule o numero de bacterias e a taxa de crescimento depois de passadas 4 horas.
(c) Quando e que a populacao atingira o numero de 30.000 bacterias?
112. A propagacao de um boato pode ser modelada da seguinte forma: a taxa de propagacao e pro-porcional ao produto da parte da populacao que ja ouviu o boato com a parte que ainda naoouviu.
(a) Escreva a equacao diferencial correspondente a este modelo e resolva-a.
(b) Uma vila tem 1000 habitantes. As 8 horas 80 oitentas pessoas tinham ouvido o boato; e aomeio-dia metade da cidade. A que horas 90% da polulacao tera ouvido o boato?
113. Indique as equacoes diferenciais que sao lineares:
(a) y′ + exy = x2y2
(b) y + senx = x3y′(c) xy′ + lnx− x2y = 0
(d) yy′ = senx
114. Resolva cada uma das seguintes equacoes diferenciais:
(a) y′ + 2y = 2ex; (b) y′ = x+ 5y; (c) xy′ + 2y = ex2
; (d) y2 d ydx = x+ sinx
(e) (1 + t)d ud t + u = 1 + t, t > 0.
115. Resolva cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
(a) y′ + y = x+ ex, y(0) = 0; (b) x2 d ydx + 2xy = cosx, y(π) = 0.
116. A equacao diferencial que governa os circuitos electricos e dada por
Ld I
d t+RI = E0 sen(ωt)
onde L e a indutancia, R e a resistencia, ω e a frequencia da voltagem, E0 a voltagem inicial(todas constantes positivas) e I e a intensidade da corrente em funcao do tempo t. Determine umaexpressao que indique a intensidade da corrente em cada instante t, uma vez conhecido o valorinicial I0.
117. Prove que as funcoes dadas formam um sistema fundamental de solucoes da equacao diferencialrespectiva, no intervalo que se indica.
(a) y′′ − y′ − 12y = 0; e−3t, e4t; ]−∞,+∞[.
(b) t2y′′ − 6ty′ + 12y = 0; t3, t4; ]0,+∞[.
(c) t2y′′ + ty′ + y = 0; cos (log t), sin (log t); ]0,+∞[.
118. Forme a solucao geral das equacoes diferenciais do problema anterior, nos intervalos indicados.
119. (a) Determine os valores de k para os quais tk e solucao da equacao
t2y′′ + ty′ − y = 0. (1)
(b) Diga, justificando, qual e a solucao geral da equacao diferencial (1), no intervalo ]0,+∞[.
120. Prove que
(a) y = c1e2t + c2te
2t + t2e2t + t − 2 e a solucao geral da equacao diferencial y′′ − 4y′ + 4y =2e2t + 4t− 12, em R.
(b) y = c1√t+ c2
t + t2
15 − t6 e a solucao geral da equacao diferencial 2t2y′′ + 5ty′ + y = t2 − t, em
]0,+∞[.
121. Considere a equacao diferencial
t3y′′′ − 4t2y′′ + 8ty′ − 8y = 0. (2)
(a) Mostre que t, t2, t4 e um sistema fundamental de solucoes de (2), em qualquer intervalo quenao contenha a origem.
(b) Escreva, nesse intervalo, a solucao geral de (2).
(c) Determine a solucao particular de (2) que satisfaz as condicoes iniciaisy(1) = 0, y′(1) = 1, y′′(1) = 2.
122. Considere a equacao diferencialy′′ − 4y = 0. (3)
(a) Determine os valores de m para os quais y = emt e solucao de (3).
(b) Escreva, justificando, o respectivo integral geral.
(c) Mostre que y = − cos t5 e solucao particular da equacao diferencial
y′′ − 4y = cos t. (4)
(d) Prove que toda a funcao da forma y(t) = k1e2t + k2e
−2t − cos t5 , com k1 e k2 constantes reais,
e solucao da equacao (4).
123. Determine a solucao geral da equacao 2y′′ + ty′ = t2.
(Sugestao: Efectue a mudanca de variavel v = y′.)
124. Sabendo que y = 1t e solucao particular da equacao 2y′′+3 y′
t − yt2 = 0, determine todas as solucoes
desta equacao.
125. Integre as seguintes equacoes diferenciais lineares homogeneas, sabendo que admitem os integraisparticulares indicados:
(a) (t− 1)y′′ − ty′ + y = 0; y1 = t
(b) (cos2 t)y′′ − 2y = 0; y1 = tan t
(c) ty′′ − y′ = 0
(d) t3y′′′ − t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0; y1 = t
(e) ty′′′ − y′′ + ty′ − y = 0; y1 = sen t, y2 = cos t
126. Sabendo que t3 e t3 + 1t sao solucoes da equacao
t2y′′ + ty′ − y = 8t3,
determine o respectivo integral geral.
127. Utilizando o metodo da variacao das constantes arbitrarias, determine a solucao geral (em algumintervalo real) de cada uma das seguintes equacoes diferenciais, sabendo que as funcoes indicadassao solucoes das equacoes homogeneas associadas:
(a) (t− 1)y′′ − ty′ + y = e2t; y1 = t, y2 = et
(b) t2y′′ + ty′ − y = 2t; y1 = t, y2 = 1t
(c) ty′′ + y′ = t2; y1 = 2, y2 = log t
128. Determine a solucao geral de cada uma das seguintes equacoes diferenciais lineares homogeneas decoeficientes constantes:
(a) y′′ − 5y′ + 6y = 0
(b) y(4) − 4y′′′ + 14y′′ − 20y′ + 25y = 0
(c) y(5) + 5y(4) − 2y′′′ − 10y′′ + y′ + 5y = 0
(d) (D3 − 4D2 + 4D)y = 0
(e) [(D + 1)2 + 1]y = 0
129. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:
(a) y′′ − y′ − 12y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 5
(b) y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 2
130. Determine a solucao geral de cada uma das seguintes equacoes diferenciais:
(a) y′′′ − 4y′′ + 5y′ − 2y = 2t+ 3
(b) y′′ − 9y = e3t
(c) y′′ − y′ = t2et
(d) y′′ + 2y′ + y = etsen t
(e) y′′ − y′ − 6y = e3tsen 2t
(f) y′′′ − y′′ = 3et + sen t
(g) y′′ − y′ = 3et + 2
131. (a) Determine a solucao geral dey′′′ + 4y′ = cos t.
(b) Sabendo que y1 = et2
e uma solucao particular de y′′′ + 4y′ = f(t), determine f(t) e calcule asolucao geral da equacao
y′′′ + 4y′ = 2f(t)− cos t.
132. Um ponto material de massa m desloca-se ao longo do eixo OX sujeito a accao de uma forca F .Determine a funcao x = x(t) que descreve, em cada instante, a posicao desse ponto material.
(a) F = −k2mx (k constante) e no instante t = 0 o ponto esta na posicao a e tem velocidade nula.
(b) F = −2mx− 2mv (onde v e a sua velocidade), e no instante t = 0 o ponto esta na origem comvelocidade 10.
133. Um corpo P e abandonado, com velocidade inicial nula, a altura h do solo. Supondo que g e aaceleracao da gravidade, determine
(a) ao fim de quanto tempo P atinge o solo.
(b) a velocidade de P nesse instante.
134. O movimento vertical de um peso suspenso de uma mola e descrito pela seguinte equacao diferencial
14x
′′ + x′ + x = 0.
Supondo que x(0) = 4 e que x′(0) = 2, determine o deslocamento vertical maximo.
135. Considere-se um circuito eletrico em serie (C-BRC) constituıdo por um gerador G que, em cadainstante t, produz uma voltagem de E(t) volts (V ), por uma bobina B que gera uma indutanciade L henrys (h), por uma resistencia R de R homs (Ω) e por um condensador C com capacitanciade C farads (f). Geralmente, a resistencia, a indutancia e a capacitancia sao constantes e em cadainstante t, representa-se por q(t)C a carga no condensador e por i(t)A a intensidade da correnteno circuito (medida em amperes (A)).
Depois de fechado o circuito, de acordo com a 2a lei de Kirchhoff, a soma das diferencas de potencialem cada no e igual a voltagem produzida pelo gerador, isto e,
VB + VR + VC = E(t) ,
onde VB(t) = L i′(t) e a diferenca de potencial nas extremidades da bobina, VR(t) = R i(t) e adiferenca de potencial nas extremidades da resistencia e VC(t) = q(t)/C e a diferenca de potencialnas extremidades do condensador.
(a) Tendo em conta que a corrente i(t) esta relacionada com a carga q(t) no condensador pori(t) = q′(t), justifique que q(t) satisfaz a equacao diferencial linear de segunda ordem
L q′′(t) +Rq′(t) +q(t)
C= E(t) .
(b) Suponha que E(t) = 3V , L = 0.2 h, C = 10−3 f , R = 30Ω e que, no instante inicial,q(0) = 3× 10−2C e q′(0) = 10−2A. Calcule a carga no condensador em cada instante t > 0.
(c) Suponha que L = 0.05 h, C = 0.01 f , R = 2Ω e que E(t) = 0V . Supondo que, no instanteinicial, q(0) = 5C e i(0) = 0A, determine:
i. a carga no condensador no instante t = 0.01 s;
ii. o primeiro instante em que a carga no condensador se torna nula.
Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra
Analise Matematica I (2012/2013)
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Funcoes Trigonometricas
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−2π − 3π
2−π −π
2 2π3π
2π
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1
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x
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2−π −
π
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−
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| | | |||− 3π
2−π −π
23π
2π
π
2
−
−
1
−1
−
−
2
−2
y
x
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y = cscx =1
sin x
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2−π −π
22π
3π
2π
π
2
−
−
1
−1
−
−
2
−2
y
x
Restricoes Principais de Funcoes Trigonometricas e suas Inversas
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y = sin x
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−π
2
π
2
•
•−
−
1
−1
y
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y = arcsin x
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| |
−1 1
•
•−
−
π
2
−π
2
y
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y = cos x
........................................................................................................................................................................................................
||
ππ
2
•
•−
−
1
−1
y
....................................................................................................................................................................................................................... ..............
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y = arccos x
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| |
π
π
2
•
•
−
−
1−1
y
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y = tanx
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| |−π
2
π
2
y
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y = arctan x
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−π
2
π
2
y
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y = cot x...........................................................................................................................................................................................................................................................................................
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||π
π
2
y
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y = arccot x
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π
2
y
............................................................................................................................................ ..............
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y = sec x.....................................................................................................................................
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•
•π
2π
−
−
1
−1
−
−
2
−2
y
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..............
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y = arcsecx
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.................................................................................................................................................
..........................................................
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ...
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ...
•
•
π
2
π
||1−1
||2−2
y
................................................................................................................... ..............
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y = csc x
.....................................................................................................................................
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•
•−π
2
π
2
−
−
1
−1
y
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..............
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y = arccscx
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•−π
2
π
2
||1−1
y
Funcoes Hiperbolicas
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y = sinh x
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..........................
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−
−
1
−1
y =
ex
2
−→
← y = −e−x
2
y
x
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
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y = cosh x
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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.............
.............
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...
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................
.............
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.............
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..........................
.......................... ............. ............. .............
−1
y =
ex
2
−→ ← y =
e−x
2
y
x
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
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...............
..............y = tanhx
...............................................................................
...........................................................................................................
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............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............1
−1
y
x
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
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y = coth x
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
1
−1
y
x
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
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..............
y = sech x
............................
...............................................................................................................................................................................................................................
1
y
x
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..............
y = csch x
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
y
x
Funcoes Hiperbolicas Inversas
....................................................................................................................................................................................................................... ..............
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y = argsinh x
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y
x
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y = argcosh x
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|
1
y
x
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..............y = argtanhx
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1−1
y
x
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y = argcoth x
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1
−1
y
x
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y = argsech x......................................................................................|
1
y
x
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
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y = argcsch x
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...............................................
...............................................
....................................................
............................................................................
............................
............................................................
y
x
Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra
Analise Matematica I (2012/2013)
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
PRIMITIVAS IMEDIATAS
Na lista de primitivas que se segue considera-se uma funcao f : I −→ IR diferenciavel emI, onde I e um intervalo de IR. Alem disso, denotamos por C a constante de primitivacao(arbitraria) e por a uma constante.
Funcao Primitiva
f ′ · sin f − cos f + C
f ′ · cos f sin f + C
f ′ · tan f − ln | cos f |+ C
f ′ · cot f ln | sin f |+ C
f ′ · sec f ln | sec f + tan f |+ C
f ′ · csc f ln | csc f − cot f |+ C
f ′ · sec2 f tan f + C
f ′ · csc2 f − cot f + C
f ′ · sec f · tan f sec f + C
f ′ · csc f · cot f − cscf + C
f ′
√
1− f2arcsinf + C
ou− arccosf + C
f ′
1 + f2arctanf + C
ou-arccotf + C
f ′
|f | ·√
f2 − 1arcsecf + C
ou−arccscf + C
Funcao Primitiva
a ax+ C
fm · f ′ fm+1
m+ 1+ C (m ∈ IR\−1)
f ′
fln |f |+ C
af · f ′ af
ln a+ C (a ∈ IR+\1)
f ′ · sinh f cosh f + C
f ′ · cosh f sinh f + C
f ′ · tanh f ln | cosh f |+ C
f ′ · coth f ln | sinh f |+ C
f ′ · sech2f tanh f + C
f ′ · csch2f − coth f + C
f ′ · sechf · tanh f −sechf + C
f ′ · cschf · coth f −cschf + C
f ′
√
1 + f2argsinhf + C
f ′
√
f2 − 1argcoshf + C
f ′
1− f2argtanhf + C, se f(x) ∈ (−1, 1)
ouargcothf + C, se |f(x)| > 1
f ′
|f | ·√
1− f2-argsechf + C
f ′
|f | ·√
1 + f2argcschf + C
Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra
Analise Matematica I (2012/2013)
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
REGRAS DE PRIMITIVACAO
I - Potencias de funcoes trigonometricas e hiperbolicas
1. Potencias ımpares de sinx, cosx, sinhx e coshx.
Destaca-se uma unidade a potencia ımpar e o factor resultante passa-se para a co-funcaoatraves das formulas fundamentais:
cos2 x+ sin2 x = 1
cosh2 x− sinh2 x = 1.
2. Potencias pares de sinx, cosx, sinhx e coshx.
Passam-se para o arco duplo atraves das formulas:
sin2 x =1
2(1 − cos 2x)
cos2 x =1
2(1 + cos 2x)
sinh2 x =1
2(cosh 2x− 1)
cosh2 x =1
2(cosh 2x+ 1).
3. Potencias pares e ımpares de tanx, cotx, tanhx e cothx.
Destaca-se tan2 x (tanh2 x) ou cot2 x (coth2 x) e aplica-se uma das formulas:
tan2 x = sec2 x− 1 tanh2 x = 1− sech 2x
cot2 x = csc2 x− 1 coth2 x = 1 + csch 2x
4. Potencias pares de secx, cscx, sech x e csch x.
Destaca-se sec2 x (sech 2x) ou csc2 x (csch 2x) e ao factor resultante aplica-se uma dasformulas:
sec2 x = 1 + tan2 x sech 2x = 1− tanh2 x
csc2 x = 1 + cot2 x csch 2x = coth2 x− 1
5. Potencias ımpares de secx, cscx, sech x e csch x.
Destaca-se sec2 x (sech 2x) ou csc2 x (csch 2x) e primitiva-se por partes comecando poresse factor.
II - Produtos de potencias das funcoes sin x e cosx (sinh x e cosh x)
1. Potencia ımpar de sinx (sinhx) por qualquer potencia de cosx (coshx).
Destaca-se sinx (sinhx) e passa-se o factor resultante para a co-funcao, atraves da formulafundamental:
sin2 x = 1− cos2 x (sinh2 x = cosh2 x− 1).
2. Potencia ımpar de cosx (coshx) por qualquer potencia de sinx (sinhx).
Destaca-se cosx (coshx) e passa-se o factor resultante para a co-funcao, atraves da formulafundamental:
cos2 x = 1− sin2 x (cosh2 x = 1 + sinh2 x).
3. Potencia par de sinx (sinhx) por potencia par de cosx (coshx).
Aplicam-se as formulas:
sin 2x = 2 sinx cosx sinh 2x = 2 sinhx coshx
sin2 x =1− cos 2x
2sinh2 x =
cosh 2x− 1
2
cos2 x =1 + cos 2x
2cosh2 x =
cosh 2x+ 1
2.
III - Produtos em que aparecem factores do tipo sinmx ou cosnx, ouprodutos em que aparecem factores do tipo sinhmx ou cosh nx
Aplicam-se as formulas:
sinx sin y = 1
2(cos(x − y)− cos(x+ y)) sinhx sinh y = 1
2(cosh(x+ y)− cosh(x− y))
cosx cos y = 1
2(cos(x+ y) + cos(x− y)) coshx cosh y = 1
2(cosh(x+ y) + cosh(x− y))
sinx cos y = 1
2(sin(x + y) + sin(x− y)) sinhx cosh y = 1
2(sinh(x+ y) + sinh(x− y))
Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra
Analise Matematica I (2012/2013)
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
FRACCOES RACIONAIS
Consideremos a fraccaof(x)
g(x), em que f(x) e g(x) sao polinomios.
1. Se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, efectua--se a divisaode f(x) por g(x); obtem-se entao
f(x)
g(x)= Q(x) +
R(x)
g(x),
sendo agoraR(x)
g(x)uma fraccao propria.
2. Decompoe-se o denominador da fraccao propria em factores; os factoresobtidos sao da forma
(x− a)m,
correspondendo a raızes reais a de multiplicidade m, ou da forma
[(x− p)2 + q2]n,
correspondendo estes as raızes complexas p± qi de multiplicidade n.
3. Decompoe-se entao a fraccao propria numa soma de elementos simples, de acordo com osfactores obtidos:
(a) cada factor do tipo (x− a)m da origem a
A1
(x− a)m+
A2
(x − a)m−1+ . . .+
Am
x− a,
com A1, A2, . . . , Am constantes a determinar;
(b) cada factor do tipo [(x− p)2 + q2]n da origem a
P1 x+Q1
[(x − p)2 + q2]n+
P2 x+Q2
[(x − p)2 + q2]n−1+ . . .+
Pn x+Qn
(x− p)2 + q2,
com P1, Q1, P2, Q2, . . . , Pn, Qn constantes a determinar.
4. Calculo das constantes
As constantes Ai, Pi e Qi podem ser determinadas conjuntamente pelo metodo dos coefi-cientes indeterminados. Ha no entanto uma forma alternativa de calcular essas constantes,que descrevemos em seguida.
(a) Calculo dos coeficientes relativos a factores do tipo (x−a)m (seja ψ(x) tal que g(x) =ψ(x)(x − a)m):
(i) se m = 1, apenas temos de determinar uma constante A1, que e dada por:
A1 =
[
R(x)
ψ(x)
]
x=a
.
(ii) sem > 1, as constantes calculam-se pelo metodo dos coeficientes indeterminados(a constante A1 ainda pode ser obtida como em (i)).
(b) Calculo dos coeficientes relativos a factores do tipo [(x− p)2 + q2]n (seja ψ(x) tal queg(x) = ψ(x)[(x − p)2 + q2]n):
(i) se n = 1, obtemos as constantes P1 e Q1 fazendo
[
P1 x+Q1 =R(x)
ψ(x)
]
x=p+qi
.
(ii) se n > 1, as constantes calculam-se pelo metodo dos coeficientes indeterminados(as constantes P1 e Q1 ainda podem ser obtidas como em (i)).
Nota: Caso aparecam elementos simples da forma
1
[(x− p)2 + c]n,
com n > 1, estes podem ser primitivados usando a seguinte formula de recorrencia:
P
(
1
[(x− p)2 + c]n
)
=1
c
[
1
2n− 2× x− p
[(x− p)2 + c]n−1+
2n− 3
2n− 2× P
(
1
[(x− p)2 + c]n−1
)]
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Analise Matematica I (2012/2013)
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
PRIMITIVACAO POR SUBSTITUICAO
Sejam a, b, c e d constantes reais. A notacao R(...) indica que se trata de uma funcaoracional (envolvendo apenas somas, diferencas, produtos e quocientes) do que se encontra entreparentesis.
Tipo de Funcao Substituicao
1
(x2 + a2)k, k ∈ IN, k > 1 x = a tan t
P (x)
(ax2 + bx+ c)k, k ∈ IN, k > 1, b2 − 4ac < 0,
onde P (x) e um polinomio de grau inferior a 2k ax+b
2= t
P (x)
((x− p)2 + q2)k, k ∈ IN, k > 1,
onde P (x) e um polinomio de grau inferior a 2k x = p+ qt
R(arx, asx, ...) amx = t onde m = m.d.c.(r, s, ...)
R(loga x) t = loga x
R
(
x,
(
ax+ b
cx+ d
)
p
q
,
(
ax+ b
cx+ d
)r
s
, ...
)
ax+ b
cx+ d= tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x, (ax+ b)p
q , (ax+ b)r
s , ...) ax+ b = tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x, xp
q , xr
s , ...) x = tm onde m = m.m.c.(q, s, ...)
R(x,√a2 − b2x2) x = a
bsin t ou x = a
bcos t ou x = a
btanh t
R(x,√a2 + b2x2) x = a
btan t ou x = a
bsinh t
R(x,√b2x2 − a2) x = a
bsec t ou x = a
bcosh t
R(x,√x,
√a− bx) x = a
bsin2 t ou x = a
bcos2 t
R(x,√x,
√a+ bx) x = a
btan2 t
Tipo de Funcao Substituicao
R(x,√x,
√bx− a) x = a
bsec2 t
R(x,√ax2 + bx+ c) se a > 0 faz-se
√ax2 + bx+ c = x
√a+ t
se c > 0 faz-se√ax2 + bx+ c =
√c+ tx
se ax2 + bx+ c = a(x− r1)(x − r2),
√ax2 + bx+ c = (x− r1)t ou
√ax2 + bx+ c = (x− r2)t
xm(a+ bxn)p
q se m+1
n∈ Z faz-se a+ bxn = tq
se m+1
n+ p
q∈ Z faz-se a+ bxn = xntq
R(sinx, cosx):
(a) se R e ımpar em sinx, isto e,R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cos x) cosx = t
(b) se R e ımpar em cosx, isto e,R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cos x) sinx = t
(c) se R e par em sinx e cosx, isto e,R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) tanx = t, sendo entao (supondo x ∈ (0, π
2))
sinx = t√1+t2
, cosx = 1√1+t2
(d) nos restantes casos (e ate nos anteriores) tan x2= t, sendo entao sinx = 2t
1+t2, cosx = 1−t2
1+t2
R(sinmx, cosmx) mx = t
R(ex, sinhx, coshx) x = ln t
R(sinhx, coshx):
(a) R e ımpar em sinhx coshx = t
(b) R e ımpar em coshx sinhx = t
(c) R e par em sinhx e coshx tanhx = t, sendo entao sinhx = t√1−t2
, coshx = 1√1−t2
(d) nos restantes casos (e ate nos anteriores) tanh x2= t, sendo entao sinh t = 2t
1−t2, coshx = 1+t2
1−t2
R(sinhmx, coshmx) mx = t
Observacao: Quando se efectua uma substituicao, aparece frequentemente uma expressao dotipo
√
f2(t). No caso geral tera de se escrever
√
f2(t) = |f(t)|.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h (Sem consulta) 1a Frequencia — TP1 15/10/2008
1- Seja f : [−π,+∞[→ R definida por
f(x) :=
cosh x se −π ≤ x ≤ 0
1 − arctan x se x > 0 .
Faca um esboco do grafico de f e indique o seu contradomınio.
(Sugestoes: pode apoiar-se nos graficos das funcoes cosh e arctan; cosh π ≈ 11.6)
2- Considere a funcao f definida por
f(x) :=
1
x + 5se x < 0 e x 6= −5
cos(√
1 + ex
)
se x ≥ 0 .
(a) Determine o domınio de continuidade de f .
(b) Diga, justificando, se f e derivavel em 0.
(c) Determine a funcao derivada, f ′, no intervalo ]0,+∞[.
3- (a) Defina a funcao inversa argsenh .
(b) Mostre que
argsenh x = ln(
x +√
x2 + 1)
, x ∈ R .
4- Determine
(a) sin
(
arcsin12
13+ arcsin
4
5
)
(b) limx→4
√2x + 1 − 3√x − 2 −
√2
Fim
Cotacao: 1-(1); 2-(1,5); 3-(1,25); 4-(1,25)
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h (Sem consulta) 1a Frequencia — TP2 15/10/2008
1- Seja f : [−π,+∞[→ R definida por
f(x) :=
1 − cosh x se −π ≤ x ≤ 0
arctan x se x > 0 .
Faca um esboco do grafico de f e indique o seu contradomınio.
(Sugestoes: pode apoiar-se nos graficos das funcoes cosh e arctan; cosh π ≈ 11.6)
2- Considere a funcao f definida por
f(x) :=
sen(√
1 − ex
)
se x ≤ 01
x − 5se x > 0 e x 6= 5 .
(a) Determine o domınio de continuidade de f .
(b) Diga, justificando, se f e derivavel em 0.
(c) Determine a funcao derivada, f ′, no intervalo ] −∞, 0[.
3- (a) Defina a funcao inversa argcosh.
(b) Mostre que
argcosh x = ln(
x +√
x2 − 1)
, x ≥ 1 .
4- Determine
(a) cos
(
arccos15
17− arccos
7
25
)
(b) limx→4
√2x + 1 − 3√x − 2 −
√2
Fim
Cotacao: 1-(1); 2-(1,5); 3-(1,25); 4-(1,25)
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h (Sem consulta) 2a Frequencia — TP1 12/11/2008
1- Determine primitivas das seguintes funcoes:
(a)senx
(5 − cos x)5
(b) arctan (−x)
(c)√
1 − x2 .
2- Na figura ao lado estao esbocosda parabola , definida pelaequacao y = 1
2− x2 , e da recta ℓ,
definida pela equacao y = −x
2.
Determine a area da regiaolimitada por e ℓ.
ℓ
O
x
y
3- Considere a funcao G definida por
G(x) =
∫
cos x
1
e1−t2 dt .
(a) Justifique que G e uma funcao diferenciavel em R, sendo
G′(x) = −sen x · esen2x
em cada ponto x ∈ R.(b) Determine, caso exista,
limx→0
G(x)
1 − cos x.
Fim
Cotacao: 1-(2,5); 2-(1,5); 3-(2)
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h (Sem consulta) 2a Frequencia — TP2 12/11/2008
1- Determine primitivas das seguintes funcoes:
(a)cos x
(5 + sen x)4
(b) ln(x2)
(c)√
1 − x2 .
2- Na figura ao lado estao esbocosda parabola , definida pelaequacao y = x2 , e da recta ℓ,definida pela equacao y = 3
2x .
Designe A a regiao limitada por ℓ e .Determine o volume do solido que se obtemfazendo girar A em torno do eixo dos xx.
O
ℓ
x
y
3- Considere a funcao G definida por
G(x) =
∫
cosh x
1
e1−t2 dt .
(a) Justifique que G e uma funcao diferenciavel em R, sendo
G′(x) = senhx · e−senh2x
em cada ponto x ∈ R.(b) Determine, caso exista,
limx→0
G(x)
1 − cosh x.
Fim
Cotacao: 1-(2,5); 2-(1,5); 3-(2)
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h, 15mn (Sem consulta) 3a Frequencia — TP1, TP2 10/12/2008
1- Determine
∫2x3 + x − 1
x(x − 1)(x2 + 1)dx .
2- (a) Calcule
∫ +∞
1
e−x dx .
(b) Averigue a natureza do integral improprio∫+∞
0
1 + x√
x
1 + x√
x + x3dx .
3- Considere a equacao diferencial linear ordinaria de segunda ordem
y′′ − y = e−t .
(a) Determine a solucao geral da equacao.(b) Determine a solucao particular que satisfaz as condicoes iniciais
y(0) = y′(0) = −1
4.
Responda apenas a uma das questoes 4 e 5 seguintes
4- Determine, caso exista,limx→0
|x|x .
5- Uma equacao diferencial associada aos circuitos electricos e
Ld I
d t+ RI = E0 sin(ωt) ,
onde L e a indutancia, R e a resistencia, ω e a frequencia da voltagem, E0 a voltagem inicial(todas constantes positivas) e I = I(t) e a intensidade da corrente em funcao do tempo, t.Determine uma expressao geral que indique a intensidade da corrente em cada instante t, umavez conhecido o valor inicial dessa intensidade, I0.
Fim
Cotacao: 1-(2,5); 2-(2,5); 3-(2,5); 4,5-(1,5)
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h,30mn (Sem consulta) Exame Normal 7/1/2009
1- Considere a funcao f : R → R definida por
f(x) :=
e1−cos x se x < 0
cosh (sin x) se x ≥ 0 .
(a) Determine o domınio de continuidade de f .(b) Determine a funcao derivada, f ′, nos pontos onde esta existe.
(c) Calcule, se existir,
limx→0
1 − cosh (sin x)
1 − e1−cos x.
2- Determine as seguintes primitivas:
(a)
∫
ex
1 + exdx (b)
∫
√
4 − x2 dx (c)
∫
1
x2(1 + x2)dx .
3- A figura ao lado representa uma regiao limitadapor duas curvas, definidas pela equacoes
y = 1 − x2 + x3 e y = x .Determine a area da regiao.
x
y
(1,1)
4- Determine todas as solucoes da equacao diferencial
y′ − 2ty = 1 − 2t2 .
5- Considere a equacao diferencial linear ordinaria de segunda ordem
y′′ − 5y′ + 6y = −6 .
(a) Determine a solucao geral da equacao.(b) Determine a solucao particular que satisfaz as condicoes iniciais
y(0) = 1 , y′(0) = 0 .
6- (a) Recorrendo a definicao, determine a natureza do integral improprio
∫ +∞
1
lnx
xdx .
(b) Determine a natureza do integral improprio
∫ +∞
1
arctan x
x2dx .
Fim
Cotacao: 1-(4); 2-(5); 3-(2); 4-(3); 5-(3); 6-(3)
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h,30mn (Sem consulta) Exame de Recurso 9/2/2009
1- Considere a funcao f : [−π, π] → R definida por
f(x) :=
cos x se −π ≤ x < 0
cosh x se 0 ≤ x ≤ π .
(a) Faca um esboco do grafico de f e indique, se existirem, as abcissas dos pontos onde f
admite extremos e os pontos do grafico que sao pontos de inflexao.(Nota: pode apoiar-se nos graficos das funcoes cos e cosh; cosh π ≈ 11.6.)
(b) Justifique que a funcao derivada, f ′, existe em todo o domınio de f , e determine f ′(x)para todo o x ∈ [−π, π].
(c) Existe f ′′(x) no ponto x = 0?
(d) Calcule
∫
π
−π
f2(x) dx .
2- Determine as seguintes primitivas:
(a)
∫
cos x
(2 − sen x)2dx (b)
∫
x log(x3) dx (c)
∫
3x2
x + x3dx .
3- Na figura ao lado, R representa um sector circular,situado no primeiro quadrante, limitado pelacircunferencia de equacao x2 + y2 = 1 e pelasduas rectas de equacoes y =
√3 x e y =
√8x.
(a) Determine a area do sector R.(b) Determine o volume do solido de revolucao
obtido por rotacao da regiao R em torno do eixodos xx.
y =√
3x
y =√
8x
x
y
O
R
4- Determine:
(a) limx→0+
(∫
x
0
e−t2
dt
)
x
;
(b) a natureza do integral improprio
∫ +∞
1
x
1 + x3dx .
5- Determine a solucao geral da equacao diferencial linear ordinaria de segunda ordem
y′′ + y = sen t .
Fim
Cotacao: 1-(4); 2-(5); 3-(4); 4-(4); 5-(3)
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h,30mn (Sem consulta) Exame Especial 7/9/2009
1- Seja f : [−1, 1] → R definida por
f(x) :=
arcsin x se −1 ≤ x ≤ 0
arctan x se 0 ≤ x ≤ 1 .
(a) Faca um esboco do grafico de f e indique o contradomınio.(Sugestao: pode apoiar-se nos graficos das funcoes arcsin e arctan.)
(b) Diga, justificando, se f e derivavel para x = 0.
(c) Determine, caso exista, limx→0+
tan [f(x)]
sinx.
2- Determine as seguintes primitivas:
(a)
∫
sin x
(2 − cos x)2dx (b)
∫
x log(x2) dx (c)
∫
√
1 − 4x2 dx .
3- Na figura ao lado, R representa um sector circular,situado no primeiro quadrante, limitado pelacircunferencia de equacao x2 + y2 = 1 e pelasduas rectas de equacoes y =
√3 x e y =
√8x.
(a) Determine a area do sector R.(b) Determine o volume do solido de revolucao
obtido por rotacao da regiao R em torno do eixodos xx.
y =√
3x
y =√
8x
x
y
O
R
4- Determine:
(a) limx→0+
(∫
x
0
e−t2
dt
)
x
;
(b) a natureza do integral improprio
∫ +∞
1
√x
1 + x2dx .
5- Considere a equacao diferencial linear ordinaria de segunda ordem
y′′ − y = e−t .
(a) Determine a solucao geral da equacao.(b) Determine a solucao particular que satisfaz as condicoes iniciais
y(0) = y′(0) = −1
4.
Fim
Cotacao: 1-(4); 2-(5); 3-(4); 4-(3,5); 5-(3,5)
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 3h (Sem consulta) Prova de Defesa de Nota 20/1/2009
1- Mostre que o integral abaixo tem o valor indicado, apresentando detalhadamente os calculosefectuados.
∫
π
π
3
sin x
(2 − cos x)(1 − cos x)dx = ln 2 .
2- Para cada n ∈ N0, define-se
Tn(x) = cos (n arccos x) .
(a) Indique o domınio e o contradomınio de Tn.(b) Determine os valores de x para os quais Tn(x) tem maximos e mınimos locais, indicando
os valores destes extremos.(c) Mostre que
∫
1
−1
Tk(x)Tm(x)dx√
1 − x2=
0 se k 6= mπ se k = m = 0
π/2 se k = m ≥ 1 .
(Sugestao: use uma mudanca de variavel adequada.)(d) Para cada n ∈ N0, considere a EDO linear de segunda ordem
(1 − x2)y′′(x) − xy′(x) + n2y(x) = 0 . (1)
(i) Mostre que uma funcao f(x) e solucao da EDO (1) no intervalo ]− 1, 1[ se e so se afuncao g(θ) := f(cos θ) e solucao, no intervalo ]0, π[, da EDO linear de coeficientesconstantes (na variavel independente θ)
z′′(θ) + n2z(θ) = 0 . (2)
(ii) Resolva a EDO (2) no intervalo ]0, π[.(iii) Usando os resultados obtidos em (i)-(ii), conclua que y = Tn(x) e solucao da EDO
(1) no intervalo ] − 1, 1[.
3- (a) Mostre que o integral improprio∫ +∞
1
senx
xαdx
e convergente para todo o α > 0. (Sugestao: use integracao por partes.)(b) Determine a natureza do integral improprio
∫ +∞
−∞
sen (x2) dx .
(c) Diga, justificando, se a seguinte afirmacao a verdadeira ou falsa: Se f e uma funcao
contınua e limitada em R tal que o integral improprio∫
+∞
−∞f(x) dx e convergente, entao
limx→+∞
f(x) = 0 .
Fim
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 30mn (Sem consulta) Teste (versao A) 21/10/2009
Nome (completo):
Numero de estudante / Curso: /
Assinatura do Professor : Classificacao: valores
1- Considere a seguinte funcao:
g(x) =
−1 − 2x se x < −1
x2 se −1 ≤ x ≤ 1
x se x > 1
(a) Determine o conjunto dos pontos onde g e diferenciavel e indique a expressao analıtica deg′.
(b) Esboce os graficos de g e de g′.
2- Calcule a derivada da funcao f(x) = x arccos x + senh (cosh x) .
3- Calcule limx→0
x senx
1 − cos x.
RESOLUCAO:
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 30mn (Sem consulta) Teste (versao B) 21/10/2009
Nome (completo):
Numero de estudante / Curso: /
Assinatura do Professor : Classificacao: valores
1- Considere a seguinte funcao:
g(x) =
−1 − 2x se x < −1
x2 se −1 ≤ x ≤ 1
x se x > 1
(a) Determine o conjunto dos pontos onde g e diferenciavel e indique a expressao analıtica deg′.
(b) Esboce os graficos de g e de g′.
2- Determine uma equacao da recta tangente a curva y = sen (sen x) no ponto (π, 0).
3- Calcule limx→+∞
x1
x .
RESOLUCAO:
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h 30mn (Sem consulta) 1a Frequencia 18/11/2009
(1) Calcule primitivas das seguintes funcoes:
(a)sen x
(5 − cos x)4
(b) x2 ln x
(c)√
4 − x2
(2) Na figura estao representados um arco de circunferencia e um arco de parabola, definidas pelasequacoes
x2 + y
2 = 4 e y = 1 −
x2
4.
Determine o volume do solido que se obtem rodando a regiao a sombreado em torno do eixodos xx.
x
y
0 2−2
1
2
(3) Efectuando a mudanca de variavel x = ln t, verifique que o integral abaixo tem o valor indicado,apresentando detalhadamente os calculos efectuados.∫
1
0
1
ex(1 + e2x)dx = 1 −
1
e+
π
4− arctan e .
Fim
Cotacao: (1)-3,5; (2)-2,5; (3)-3.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h 15mn (Sem consulta) 2a Frequencia (versao A) 16/12/2009
(1) (a) Utilizando a definicao de integral improprio, justifique que o integral∫
+∞
0
xe−x2
dx
e convergente, e calcule o seu valor.(b) Averigue a natureza do integral improprio
∫
+∞
0
x e−x2
1 + x3dx .
(2) O circuito electrico representado na figura, no qual estao ligados em serie uma bobina deindutancia L = 0.5 henrys e uma resistencia de R = 1 ohms, esta alimentado por uma tensaoalternada dada por V (t) = sen t. A teoria dos circuitos electricos conduz a seguinte equacaodiferencial
L · i′(t) + R · i(t) = V (t) ,
onde i(t) representa a intensidade da corrente no instante t, medida em amperes. Determinea intensidade da corrente no circuito sabendo que no instante t = 0 se mediu uma intensidadede 2 amperes.
∼ V (t)
R
L
i(t)
(3) Considere a equacao diferencial linear de segunda ordem
y′′ + y = cosec x .
(a) Determine a solucao geral da equacao diferencial no intervalo [1, 2].(b) Encontre a solucao particular que satisfaz as condicoes
y(
π
2
)
= y′(
π
2
)
= 0 .
Fim
Cotacao: (1)-3; (2)-2; (3)-3.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h 15mn (Sem consulta) 2a Frequencia (versao B) 16/12/2009
(1) (a) Utilizando a definicao de integral improprio, justifique que o integral∫+∞
0
x2e−x3
dx
e convergente, e calcule o seu valor.(b) Averigue a natureza do integral improprio∫
+∞
0
x2 e−x3
1 + x5dx .
(2) O circuito electrico representado na figura, no qual estao ligados em serie uma bobina deindutancia L = 0.5 henrys e uma resistencia de R = 2 ohms, esta alimentado por uma tensaoalternada dada por V (t) = 3sen t. A teoria dos circuitos electricos conduz a seguinte equacaodiferencial
L · i′(t) + R · i(t) = V (t) ,
onde i(t) representa a intensidade da corrente no instante t, medida em amperes. Determinea intensidade da corrente no circuito sabendo que no instante t = 0 se mediu uma intensidadede 6 amperes.
∼ V (t)
R
L
i(t)
(3) Considere a equacao diferencial linear de segunda ordem
y′′ + y = sec x .
(a) Determine a solucao geral da equacao diferencial no intervalo [0, 1].(b) Encontre a solucao particular que satisfaz as condicoes
y(0) = y′(0) = 1 .
Fim
Cotacao: (1)-3; (2)-2; (3)-3.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h 30mn (Sem consulta) Exame Normal 06/01/2010
(1) Seja f : [−π,+∞[→ R definida por
f(x) :=
cosh x se −π ≤ x ≤ 0
1 − arctan x se x > 0 .
Faca um esboco do grafico de f e indique o seu contradomınio, bem como os extremos, casoexistam. (Sugestoes: pode apoiar-se nos graficos das funcoes cosh e arctan; cosh π ≈ 11.6)
(2) Considere a funcao f : R → R definida por
f(x) :=
ln(1 + x2) se x ≤ 0
cos x − 1
ex − 1se x > 0 .
(a) Estude a continuidade e a diferenciabilidade de f .(b) Mostre que a recta tangente ao grafico de f no ponto (−1, ln 2) passa no ponto (ln 2,−1).
(3) Calcule:
(a)
∫
x2arcsen x3
√1 − x6
dx
(b)
∫
1
0
√
4 − x2 dx
(c)
∫
1
0
1
x1/3dx
(d)
∫
+∞
0
xe−x dx
(4) Na figura estao representados um arco de circunferencia, que passa pelos pontos (−2, 0), (0, 2)e (2, 0), e um arco de parabola, que passa pelos pontos (−2, 0), (0, 1) e (2, 0). Determine aarea da regiao a sombreado.
x
y
0 2−2
1
2
(5) Resolva, no intervalo [−1, 1], o problema de valor inicial
(cos x)y′ − (sin x)y = ex , y(0) = 1 .
(6) Considere a equacao diferencial linear ordinaria de segunda ordem
y′′ − y = e−3t .
(a) Determine a solucao geral da equacao.(b) Determine a solucao que satisfaz as condicoes iniciais
y(0) = y′(0) =1
8.
Fim
Cotacao: (1)-2; (2)-3,5; (3)-5; (4)-3; (5)-2,5; (6)-4.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h 30mn (Sem consulta) Exame de Recurso 25/01/2010
(1) Seja f : [−2π, 2π] → R definida por
f(x) :=
2 se −2π ≤ x < −π
1 − cosx se −π ≤ x ≤ 0
arctanx se 0 < x < π4
1 − sen(
x − π4
)
se π4≤ x ≤ 2π .
(a) Faca um esboco do grafico de f .(Sugestao: pode apoiar-se nos graficos das funcoes cos, arctan e sen.)
(b) Indique o contradomınio de f .(c) Determine o domınio de continuidade de f .(d) Determine o domınio de diferenciabilidade de f .(e) Indique os extremos de f , caso existam.(f) Determine a recta tangente ao grafico de f no ponto (3π
4, 0).
(2) Calcule:
(a)
∫
(√x +
cosx
sen3 x
)
dx (b)
∫ 3/2
0
√
9 − x2 dx (c)
∫ +∞
0
1
1 + 4x2dx
(3) Na figura estao representados um arco de circunferencia e um arco de parabola, definidas pelas equacoes
x2 + y2 = 1 e y = −2x(x + 1) .
Determine a area da regiao a sombreado.
x
y
0 1−1
1
(4) Resolva, no intervalo]
−π2, π
2
[
, o problema de valor inicial
y′ + (tanx)y = x cos2 x , y(0) = 1 .
(5) Resolva a equacao diferencial seguinte sujeita as condicoes iniciais dadas:
y′′(x) − y′(x) = 1 + x2 , y(0) = 1 , y′(0) = 0 .
(6) Para k ∈ R, designe
Ik :=
∫ +∞
0
xk e−x dx .
(a) Justifique que este integral improprio e convergente para k ≥ 0.(b) Usando o metodo de integracao por partes, verifique que
Ik = k Ik−1 se k ∈ N ,
e use esta relacao para determinar Ik para todo o k ∈ N.
Fim
Cotacao: (1)-4,5; (2)-4,5; (3)-3; (4)-3; (5)-3; (6)-2.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h 30mn (Sem consulta) Exame Especial 14/07/2010
(1) Seja f : [−π, +π] → R definida por
f(x) :=
π se −π ≤ x < −1arccosx se −1 ≤ x ≤ 0
π2− arctanx se 0 < x ≤ 1
1 se 1 < x ≤ π .
(a) Faca um esboco do grafico de f .(Sugestao: pode apoiar-se nos graficos das funcoes arccos e arctan.)
(b) Indique o contradomınio de f .(c) Determine o domınio de continuidade de f .(d) Determine o domınio de diferenciabilidade de f .(e) Determine a recta tangente ao grafico de f no ponto (− 1
2, 2π
3).
(2) Calcule:
(a)
∫(
3√
x +coshx
senh8 x
)
dx (b)
∫
√
25 − x2 dx (c)
∫ +∞
0
xe−x dx
(3) Na figura, a regiao a sombreado e limitada superiormente por uma semi-circunferencia e inferiormentepor um arco de parabola. As circunferencia e parabola correspondentes sao definidas pelas equacoes
x2 + (y − 1)2 = 1 e y = x2 .
Determine a area da regiao a sombreado.
x
y
0 1−1
1
(4) Resolva o problema de valor inicial
y′ = y senx , y(π
2
)
= 1 .
(5) Resolva a equacao diferencial seguinte sujeita as condicoes iniciais dadas:
y′′(x) − y′(x) = 1 + x2 , y(0) = 1 , y′(0) = 0 .
(6) (a) Seja m um numero inteiro nao negativo e designem Im e Fm os seguintes integrais:
Im :=
∫ π/2
0
cos2m θ dθ , Fm :=
∫ π/2
0
cos2m+1 θ dθ .
Usando o metodo de integracao por partes, mostre que
I0 = π/2 , Im+1 =2m + 1
2m + 2Im , F0 = 1 , Fm+1 =
2m + 2
2m + 3Fm .
(b) Usando os resultados anteriores prove as formulas de Wallis:∫ π/2
0
cosk θ dθ =
2
3· 4
5· · · k−1
k , se k e ımpar (k ≥ 3)
1
2· 3
4· · · k−1
k · π2
, se k e par (k ≥ 2) .
Cotacao: (1)-3,5; (2)-4,5; (3)-3; (4)-3; (5)-3; (6)-3.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h 30mn (Sem consulta) Prova de Defesa de Nota 6/Janeiro/2010
(1) Calcule o comprimento da curva definida por
y =
∫ x
1
√√t − 1 dt , 1 ≤ x ≤ 16 .
(2) Considere a equacao diferencial logıstica
dP
dt= kP ·
(
1 − P
K
)
,
onde P = P (t) representa o tamanho da populacao no instante t, k e uma constante positiva(constante de proporcionalidade) e K e a capacidade de suporte da populacao.(a) Determine a solucao geral da equacao logıstica.(b) Justifique que lim
t→+∞
P (t) = K e de uma interpretacao para este resultado.
(3) (a) Considere a equacao diferencial linear homogenea de segunda ordem
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 , (∗)onde p(x) e q(x) sao funcoes contınuas num intervalo I. Suponha que e conhecida umasolucao y1(x) de (*) tal que y1(x) 6= 0 para todo o x ∈ I.
(i) Mostre que uma segunda solucao da equacao diferencial (*) e
y2(x) = y1(x)
∫
e−∫
p(x) dx
y21(x)
dx .
(ii) Prove que y1(x), y2(x) e um sistema fundamental de solucoes para a equacao (*).(b) Usando os resultados de (a), e sabendo que y1(x) = x2 e uma solucao em I =]0,+∞[ da
equacao diferencialx2y′′ − 3xy′ + 4y = 0 ,
determine a solucao geral desta equacao em ]0,+∞[.
(4) (a) Sendo a > 0, prove que∫ a
0f(x) dx =
∫ a
0f(a− x) dx
para qualquer funcao contınua f : R → R, e use este resultado para mostrar que∫ π/2
0
sinn x
sinn x + cosn xdx =
π
4
para qualquer numero n ∈ N0.(b) Para n ∈ N0, considere o integral improprio
∫ +∞
0
tn
(1 + tn)(1 + t2)dt .
Justifique que este integral improprio e convergente e determine o seu valor.
Fim
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h 30mn (Sem consulta) Prova de Defesa de Nota 18/Janeiro/2010
(1) Mostre que:
(a)
∫ +∞
1
sin x
xdx e convergente.
(b)
∫ +∞
1
∣
∣
∣
∣
sin x
x
∣
∣
∣
∣
dx e divergente.
(Sugestao: Comece por provar que
∫ +∞
1
sin2 x
xdx e divergente.)
(2) Considere, no intervalo ]0,+∞[, a equacao diferencial linear
t2d2y
dt2− 2y = sin(ln t) . (∗)
(a) Efectuando a mudanca de variavel t = ex, verifique que esta equacao se transforma naequacao diferencial linear de coeficientes constantes
d2y
dx2−
dy
dx− 2y = sin x . (∗∗)
(b) Determine a solucao geral de (**) e use o resultado que obtiver para determinar a solucaogeral da equacao proposta (*).
(3) (a) Seja g uma funcao estritamente crescente e diferenciavel no intervalo [a, b], com inversadiferenciavel em [g(a), g(b)]. Mostre que
∫ b
ag(x) dx +
∫ g(b)
g(a)g−1(u) du = bg(b) − ag(a) .
(Sugestao: Comece por fazer a mudanca de variavel u = g(x).)(b) Usando o resultado da alınea anterior mostre que
∫ 1/2
0arcsin xdx =
π
12+
√3
2− 1
(4) Determine o conjunto dos valores x ∈ R para os quais e valida a igualdade
arcsinx − 1
x + 1= 2arctan
√x −
π
2.
Fim
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 30mn (Sem consulta) Teste (versao A) 13/10/2010
Nome (completo):
Numero de estudante / Curso: /
Assinatura do Professor : Classificacao: valores
1- Considere a seguinte funcao:
f(x) =
π se x < −1
arccos x se −1 ≤ x < 0π
2se 0 ≤ x < 1
π
2cosh (x − 1) se x ≥ 1
(a) Esboce o grafico de f .(b) Indique o contradomınio e o domınio de continuidade de f .
2- Calcule a derivada da funcao f(x) = ex·cosh x − arccos(√
x ) , definida para x > 0.
3- Calcule limx→π
+cos
(
1
x−π
)
·(
π
2+ arctan [ ln(x − π) ]
)
.
RESOLUCAO:
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 30mn (Sem consulta) Teste (versao B) 13/10/2010
Nome (completo):
Numero de estudante / Curso: /
Assinatura do Professor : Classificacao: valores
1- Considere a seguinte funcao:
f(x) =
π
2+ arccot x se x < 0
arccos(x − 1) se 0 ≤ x < 1
sech x se x ≥ 1
(a) Esboce o grafico de f e indique o seu contradomınio.
(b) Determine limx→+∞
arctan
(
1
x
)
· f(x) .
2- Calcule a derivada da funcao f(x) = cosh(cos x) − arcsen
(
1
1 + x2
)
.
3- Considere a curva definida pela equacao
x3− y3 = 7 .
Usando o metodo da diferenciacao implıcita, determine uma equacao da recta tangente aografico da curva no ponto (2, 1).
RESOLUCAO:
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 30mn (Sem consulta) Teste (versao C) 13/10/2010
Nome (completo):
Numero de estudante / Curso: /
Assinatura do Professor : Classificacao: valores
1- Considere a seguinte funcao:
f(x) =
π
2+ arctan x se x < 0
arccos x se 0 ≤ x < 1
senh (x − 1) se x ≥ 1
(a) Esboce o grafico de f .(b) Indique o contradomınio e o domınio de continuidade de f .
2- Calcule a derivada da funcao f(x) = cosh(ecos x) + argsenh(
√
1 + x2
)
.
3- Determine limx→+∞
sen
(
1 + x2
x
)
· arcsen
(
x
1 + x2
)
.
RESOLUCAO:
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h 30mn (Sem consulta) 1a Frequencia 3/11/2010
(1) Calcule:
(a) limx→0−
senx
1 − cos x (b) limx→0
(cos x)1
x2
(2) Determine as dimensoes (comprimento da base e altura) e a area do rectangulo de area maximaque pode ser inscrito no primeiro quadrante sob a curva definida pela equacao y = 3
(x+1)2.
x
y
0
y = 3
(x+1)2
−1
(3) Determine as primitivas seguintes em intervalos adequados:
(a)
∫senhx
3√
1 + cosh xdx (b)
∫1 + tan (
√
x )√
xdx
(4) Na figura, a regiao a sombreado e limitada superiormente por um segmento de recta e por umarco de circunferencia, e inferiormente por um arco de parabola. As recta, circunferencia eparabola correspondentes sao definidas pelas equacoes
y =√
3 x + 1 , x2 + (y − 1)2 = 1 e y = x
2.
Determine a area da regiao sombreada.
x
y
0 1−1
1
Fim
Cotacao: (1a)-1; (1b)-1.5; (2)-2; (3a)-1; (3b)-1; (4)-2,5.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h 30mn (Sem consulta) 2a Frequencia — versao A 13/12/2010
(1) Resolva o problema de valor inicial
y ′−
2
xy = −
3
x2, y(1) = 1 .
(2) Resolva a seguinte equacao diferencial linear de segunda ordem
y ′′− 2y ′ + y =
ex
x2.
(3) (a) Determine a natureza do integral improprio
∫
+∞
1
√
x
1 + x2dx .
(b) Calcule
∫
+∞
0
x
exdx .
(4) Na figura, a regiao a sombreado e um sector do cırculo centrado no ponto C = (0, 1) e de raio
1, sendo A = (1, 1) e B =(
1
2, 2+
√3
2
)
. Determine o volume do solido que se obtem quando a
regiao a sombreado roda em torno do eixo 0y (das ordenadas).
x
y
0 1
C A
B
(5) Calcule o integral seguinte e verifique que tem o valor indicado:∫ π
3
π
6
cos x
sen x (1 + cos2 x)dx = 1
4ln 21
5.
(Sugestao: faca a mudanca de variavel definida por senx = t .)
Fim
Cotacao: (1)-1,5; (2)-1,5; (3a)-1; (3b)-1; (4)-1,5; (5)-1,5.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 1h 30mn (Sem consulta) 2a Frequencia — versao B 13/12/2010
(1) Resolva a seguinte equacao diferencial linear de primeira ordem
y ′ +1
xy = x ln x .
(2) Resolva o problema de valor inicial
y ′′ + y = cos2 x , y(0) = 0 , y ′(0) = 0 .
(3) (a) Determine a natureza do integral improprio
∫
+∞
1
√
x
1 + xdx .
(b) Calcule
∫
+∞
0
1
ex−1dx .
(4) Na figura, a regiao a sombreado e um sector do cırculo centrado na origem e de raio 1, sendo
A = (1, 0) e B =(
1
2,√
3
2
)
. Determine o volume do solido que se obtem quando a regiao a
sombreado roda em torno do eixo 0x (das abcissas).
x
y
0 A
B
(5) Calcule o integral seguinte e verifique que tem o valor indicado:∫ π
4
π
6
sen x
cos x (1 + sen2 x)dx = 1
4ln 9
5.
(Sugestao: faca a mudanca de variavel definida por cos x = t .)
Fim
Cotacao: (1)-1,5; (2)-1,5; (3a)-1; (3b)-1; (4)-1,5; (5)-1,5.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h 30mn (Sem consulta) Exame Normal 5/1/2010
(1) Considere a seguinte funcao:
f(x) =
−arcsecx se |x| ≥ 1π
2+ argsech (x + 1) se −1 < x ≤ 0
arccosx se 0 < x ≤ 1
(a) Esboce o grafico de f .(Sugestao: obtenha o grafico de f a partir dos graficos das funcoes arcsec, argsech e arccos.)
(b) Indique o contradomınio, as assımptotas horizontais e verticais, e o domınio de continuidade de f .(c) Escreva uma equacao da recta tangente ao grafico de f no ponto (1
2, π
3).
(2) Considere a funcao f : [−1, +∞[→ R definida por
f(x) = 1 + 70x − (1 + x)70 .
(a) Mostre que f tem um maximo absoluto e determine-o.(b) Use o resultado obtido em (a) para justificar a desigualdade
1 + 70x ≤ (1 + x)70 se x ≥ −1 .
(3) Calcule:
(a)
∫
ln(x2)
xdx
(b)
∫ +∞
0
xe−x dx
(c)
∫
x + 1
x(x2 + 1)dx
(d) limx→+∞
(ex + x)1
x
(4) Na figura, a regiao a sombreado e um sector do cırculo centrado
na origem e de raio 1, sendo A = (1, 0) e B =(
1
2,√
3
2
)
.
Determine:(a) A area da regiao a sombreado.(b) O volume do solido que se obtem quando a regiao a
sombreado roda em torno do eixo 0y (das ordenadas).x
y
0 A
B
(5) Usando o metodo de D’Alembert (ou de abaixamento de ordem), determine no intervalo ]0, +∞[ asolucao geral da quacao diferencial
x2y ′′ − 3xy′ + 4y = 0 ,
sabendo que y1(x) := x2 e uma sua solucao.
(6) Resolva o problema de valor inicial
y ′′ − y = ex , y(0) = 0 , y ′(0) = 0 .
(7) Seja f uma funcao diferenciavel em R tal que |f ′(x)| < 1 para todo o x ∈ R. Prove que a equacao
f(x) = x
nao pode ter mais que uma solucao.
Cotacao: (1)-3; (2)-2; (3)-5; (4)-3; (5)-3; (6)-3; (7)-1.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h 30mn (Sem consulta) Exame de Recurso 24/1/2011
(1) Considere a funcao f :] − 2π, +∞[→ R definida por:
f(x) =
cosx , se −2π < x < 0π
2− arctanx , se x ≥ 0
(a) Esboce o grafico de f .(b) Indique o contradomınio e determine os zeros e o domınio de diferenciabilidade de f .(c) Escreva uma equacao da recta tangente ao grafico de f no ponto
(
1, π
4
)
.
(2) Calcule:
(a)
∫(
x +1
x
)2
dx (b)
∫
√
1 − x2 dx (c) limx→0+
x1x
(3) Determine:
(a) O valor do integral improprio
∫ +∞
−∞
1
1 + x2dx .
(b) A natureza do integral improprio
∫ +∞
1
x2
1 + x4dx .
(4) Na figura, a regiao a sombreado e limitada superiormente por um arcoda parabola de vertice (0, 4) e que passa nos pontos (−2, 0) e (2, 0).Determine:(a) A area da regiao a sombreado.(b) O volume do solido que se obtem quando a regiao a
sombreado roda em torno do eixo 0y (das ordenadas).x
y
0
(5) Determine no intervalo ]0, +∞[ a solucao geral da equacao diferencial linear de primeira ordem
y ′ +y
x= lnx .
(6) Resolva o problema de valor inicial
y ′′ − 4y = e2x , y(0) = 0 , y ′(0) = 0 .
(7) Seja f uma funcao diferenciavel em R tal que f ′(x) 6= 1 para todo o x ∈ R. Prove que a equacao
f(x) = x
nao pode ter mais que uma solucao.
Cotacao: (1)-3; (2)-4,5; (3)-3; (4)-3; (5)-2,5; (6)-3; (7)-1.
Departamento de Matematica da F.C.T.U.C.
ANALISE MATEMATICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de Computadores
Duracao: 2h (Calculadoras e tabelas autorizadas) Prova de Defesa de Nota 5/Janeiro/2012
(1) A formula:1
f=
1
p+
1
q
e usada em otica, onde f e o comprimento focal de uma lente convexa e p e q sao as distanciasda lente ao objeto e a imagem, respetivamente. Se f e fixo, estabelece uma formula para ataxa de variacao de q em relacao a p.
(2) Considera, no intervalo ]0,+∞[, a equacao diferencial linear
t2d2y
dt2− 2y = sin(ln t) . (∗)
(a) Efetuando a mudanca de variavel t = ex, verifica que esta equacao se transforma naequacao diferencial linear de coeficientes constantes
d2y
dx2−
dy
dx− 2y = sinx . (∗∗)
(b) Determina a solucao geral de (**) e usa o resultado que obtiveres para determinar asolucao geral da equacao proposta (*).
(3) Usa a integracao por partes para estabelecer a seguinte formula de reducao:∫secmxdx =
secm−2x tan x
m− 1+
m− 2
m− 1
∫secm−2xdx , m 6= 1 .
(4) (a) Sendo a > 0, prova que∫ a
0
f(x) dx =
∫ a
0
f(a− x) dx
para qualquer funcao contınua f : R → R, e usa este resultado para mostrar que∫ π/2
0
sinn x
sinn x+ cosn xdx =
π
4
para qualquer numero n ∈ N0.(b) Para n ∈ N0, considera o integral improprio∫ +∞
0
tn
(1 + tn)(1 + t2)dt .
Justifica que este integral improprio e convergente e determina o seu valor.
Fim
