Matemática Financiera II

I EVALUACIÓN A DISTANCIA

1. Un ahorrista busca asegurar el futuro de sus hijos y deposita$ 1,200 dólares en una cuenta de ahorros al 9% anualcapitalizable semestralmente por un periodo de 5 años, si elcambio es de S/. 3.50 por dólar, calcular:a. El monto en dólares.

Solución:P = $ 1,200 i = 4.5% semestral n = 10 semestersFormula:

F = 1 200 (1.045)10 = $ 1,863.56

b. El monto en soles.Solución:P = 3.5 (1,200) = S/. 4,200 i = 4.5% semestraln = 10 semestresF = s =P (1 + i)n S = 4,200 (1.045) 10

= S/. 6,522.47 2. Un jefe de familia deja en un banco al fallecer S/. 30,000

soles, los cuales ganan el 18% anual para que se entreguen asus hijos cuando cumplan 18 años respectivamente. Si la edadde los hijos es de 12, 9 y 6 años y el capital se distribuyepreviamente en forma proporcional a las edades ¿Cuántorecibió cada hijo al cumplir los 18 años?Solución:P = S/. 30, 000 i = 18% anualSean: A, B y C los hijos A: tiene 12 años. B: tiene 9 años. C: tiene 6 años.Distribución proporcional del capital.Fórmula: PA = A PPA = 12 30,000 = 13,333.33 A + B + C(12+9+6) PB = B P PB = 930,000 = 10,000.00

F = s = P

(A + B +C)27PC = C P PC = 630,000 = 6,666.67 (A + B + C)27Comprobación: P = PA + PB + PC = 13,333.33 + 10,000.00 +6,666.67 = 30,000Ahora hallamos el monto que tendrán cada uno de los hijos.Fórmula: S = P (1+i)n Para A: PA =13,333.33 n = 12 i = 18%

SA = 13,333.33 (1.18)12 = S/. 97,167.877 Para B: PB = 10,000.00 n = 9 i = 18%SB = 10,000.00 (1.18)9 = S/.44,357.54 Para C: PC = 6,666.67 n = 6 i = 18%SC = 6,666.67 (1.18)6 = S/. 29,567.701

3. Se invierte S/. 2,000 ahora, S/. 1,500 dentro de 2 años y S/.1,000 dentro de 4 años, todos al 15% anual. ¿Cuál será lacantidad acumulada después de 10 años?Solución: F

0 1 2 34 5 6 7 89 . . . .. . . . .. . 10

S = P (1+ i)n

S/. 2 000 S/. 1 500 S/. 1 000i = 15% anual

Fórmula: S= P(1+i)n S = 2 000 (1.15)10 + 1 500(1.15)8 + 1 000 (1.15)6 = S/. 14 992.71

4. Si un banco paga el20% de interés compuesto anual concapitalización trimestral sobre los depósitos en ahorros.¿Cuál será el capital a colocarse, para obtener un monto deS/. 65,000 AL cabo de 4 años?Solución:i = 20% anual capitalización Trimestral i = 5%trimestral $ = S/. 65 000 n = 4 añosn = 4 años = 16 trimestres.Formula:P= 65 000 (1.05)- 16 = S/. 27 777.25

5. Se contrae una deuda de S/. 16,140 con un interés compuestodel 20% anual con capitalización trimestral a liquidarsedentro de 3 años. ¿Cuál será el interés acumulado a pagar?Solución:Fórmulas:

S= 16 140 (1.05)12 S = S/. 28985.12Luego: I = 28 958.12 – 16 140.00 = S/. 12 845.12

6. Un documento de valor nominal de S/. 5,500 que vence dentrode 5 años, se somete a descuento a la tasa del 20% anual concapitalización semestral. Calcular su valor efectivo y eldescuento racionalSolución:Vn = $ = S/. 5 500 n = 10 semestres d = 20% = 10%semestralFórmula: Ve = 5 500 1 Ve = s/. 2 120.49

Ve = VN 1 – 1

S= P (1+i)n

I = S - P

S= P

S= P(1+i)n

(1.10)10

Descuento Racional: Primera forma de cálculoD = VN – Ve = 5 500 – 2 120.49 = S/. 3 379.51 Segunda forma de cálculo:

D = 5 500 1 - 1 D = S/. 3379.51 (1.10)10

7. Un documento de valor nominal de S/. 3,000 que vence dentrode 4 años, se somete a descuento bancario a interés compuestodel 22% , calcular el descuento comercial.Solución:VN = S/. 3 000 n = 4 años d = 22% Fórmula:

D = 3 000 1- (1 – 0.22)4 D = 3 000 1-0.784 = S/. 1 889.55

8. Un documento cuyo valor actual asciende a S/. 2,800 afectadopor un interés compuesto del 22% anual con capitalizaciónbimestral en 2 años. ¿Cuál será su valor nominal?Solución:Ve = Va = S/. 2 800 d = 22% capitalización bimestraln= 2 años = 12 bimestres.Fórmula: Vn = Ve (1+d)n Vn = 2 800(1+0.22/6)12 = S/. 4 313.48

9. Una letra se deposita en el banco para su descuento racional,cuyo valor nominal es de S/. 8,300 con vencimiento dentro de2 años 2meses con interés del 25% anual con capitalizaciónsemestral. ¿Cuál será el valor actual de la letra?Solución:Vn = S/. 8 300 n = 2 años 2 meses d= 25% anual concapitalización semestral

VN 1 – 1

D = VN 1 – 1

d = 12.5% semestralFórmula:

Ve =8 300 1 = S/. 4 982.15 (1+0.125)4+2/6

10. ¿Al cabo de cuanto tiempo un capital de S/. 12,800acumulara un monto de S/. 22,000 AL 16% anual concapitalización trimestral?Solución:n =? P = S/. 12 800 S= S/. 22 000 i = 16% anual = 4%trimestral.Fórmula:

n = Log (22 00) - Log (12 800) Log (1.04)n = 13.81 trimestres = 13 trimestres y 23 mesesaproximadamente.

11. ¿A qué tasa efectiva estuvo colocado un capital de S/.4,000 para que en 3 años produjera S/. 2,600 de interés, sila capitalización de los intereses se efectúantrimestralmente?Solución: P = s/. 4 000 n = 3 años = 12 trimestres I=S/. 2 600Fórmula: i = n 1 + I - 1 i = 12 1 + 2 600- 1 P4 000i = 12 1 + 0.65 - 1 = 12 1.65 - 1 = 0.0426 = 4.26%

12. ¿Durante que tiempo estuvo colocado un capital de S/.7,500 para que al 14% de interés compuesto anualcapitalizable semestralmente se convierta en S/. 12,240?SOLUCIÓN:

n = Log S - Log P

Ve = VN 1 – 1

Datos: P= S/. 7 500 i = 7% semestral S= S/. 12 240Fórmula:

n = Log (12 240) – Log (7 500) Log (1.07)n = 7.24 semestres =7 semestres, 1 mes y 13 díasaproximadamente.

13. Si en la fecha se dispone de un monto de S/. 2,600producto de un deposito de S/. 680 impuesto hace 4 años y 6meses, determinara la tasa nominal y efectiva, teniendo encuenta que la capitalización fue trimestral.Solución:S = S/. 7 500 P= S/. 680 n = 4 años y 6 meses = 18trimestresCalculo de la tasa nominal.j = m n S - 1 j = 4 18 7500 - 1j = 0.5707 = 57.07% tasa nominal anual P 680 . . . j 0= 14.27% trimestral Cálculo de la tasa efectiva i = n S - 1 = 18 7500 - 1 =0.14266671 P 680La tasa efectiva anual se calcula de la siguiente forma:I = (1+0.1426671)4 -1 = 70.48% tasa efectiva anual.

14. Un deudor tiene a su cargo los siguientes pagares S/.20,000 a 4 años de plazo, S/. 50,000N a 3 años de plazo, S/.40,000 a un 1 año de plazo y S/. 50,000 exigibles deinmediato. Si con su acreedor se ponen de acuerdo liquidarlas deudas de la manera siguiente: S/.30,000 de inmediato yel saldo a 2 años de plazo, calcular el valor del pago únicoal 12% de interés con capitalización trimestralSolución: 50 000 40 00050 000 20000

n = Log S -Log P

. . .

. . 0 1 23 4 30 000 Fi = 12% Fórmula: Fórmula:

50 000(1.12)2 + 40 000(1.12) + 50 000(1.12)-1 + 20000(1.12)-2 = 30 000(1.12) + F168 106.73 = 37 632 + f F = S/. 130 474.73

15. Calcular el vencimiento medio de las siguientesobligaciones S/. 15,000 S/. 26,000, y S/. 10,000 convencimientos a 2,4 y 6 años respectivamente a la tasa deinterés del 16% anual con capitalización trimestral.Solución:Primero hallamos el valor presente de las deudas. DEUDA V.P. 15 000 10 960.35 n = 2años = 8 trimestres

26 000 13 881.61n = 4 años = 16 trimestres i = 4% trimestral

10 000 3 901.21 n = 6años = 24 trimestres Fórmula: 51 000 28 743.17Ahora hallaremos el vencimiento medio Fórmula: n = Log (S)- Log (P) n = Log (51 000) -Log (28 743.17) Log (1+i)Log (1.12) n =5.06trimestres.

16. Un comerciante después de 20años de haber depositado enun banco la cantidad de S/. 1,000 al final de cada año, desearetirar totalmente su dinero para invertirlo en un negocio.

F = P (1

F = P (1

F = P (1 + i)-n

Si el banco paga el 22% anual capitalizable anualmente. ¿Acuanto ascenderá el monto a recibir? Solución:n = 20 años R = S/. 1 000 S = ? i= 22% Fórmula: S = R (1+i)n -1 S = 1 000 1.2220 - 1S = S/. 237 989.27 i0.22

17. ¿Cuánto deberá depositarse trimestralmente y en formaordinaria en una cuenta de ahorros, que paga el 16% anualconvertible trimestralmente, durante 3 años para comprar unautomóvil que cueste $ 8,000 al tipo de cambio del S/. 3.50?Solución:R =? i = 4% trimestral n = 12 trimestres S =8 000 x 3.5 = 28 000Fórmula: R = S I R = 28000(0.04) R = S/. 1 863.46 (1+i)n – 11.0412 - 1

18. Se desea acumular la cantidad de S/. 20,000 mediantecuotas ordinarias mensuales, durante 2 años y 8 meses; si latasa es del 18% anual con capitalización mensual, calcular elvalor de la cuota.Solución:S = S/. 20 000 n = 32 meses i = 1.5% mensual R =?Fórmula:R = 0.015(20 000) R= S/. 491.54 1.0.1532 - 1

19. Al comprar un artefacto eléctrico se conviene en pagarsu valor de la siguiente manera: cuota inicial S/. 150 y 10cuotas mensuales de S/. 150 c/u, comenzando los pagos alfinal del mes de celebrado el contrato, el interés de recargoes del 2% efectivo mensual. ¿Cuál será el valor al contado?Solución:

R = S i

P =? Cuota inicial: S/. 150 R = S/. 150i = 2% mensualFórmula: P = C 1 + R (1+i)n - 1 n = 10 i(1+i)n

P = 150 + 150 1.0210 – 1 P= 150 + 1347.39 = S/. 1 497.39 0.02(1.02)10

20. Un industrial invierte en un proyecto S/ 50,000 elmismo que debe recuperarse en 10años. ¿A cuanto ascenderá larenta semestral dad una tasa de interés del 20% anualcapitalizable semestralmente?Solución:P = S/. 50 000 n= 10 años = 20 semestresR =? i = 10% semestres Fórmula: R = P i (1+i)n R = 50 0000.10 (1.1)20 1+i n - 11.1020 - 1 R = S/. 5 872.98

II EVALUACIÓN A DISTANCIA

1. ¿En cuánto se convertirá una serie de pagos anticipados deS/. 500.00 mensuales, depositados durante 1 año y medio, auna tasa de interés compuesto mensual del 2%?Solución:Datos: R = S/ 500 n = 1.5 años = 18 meses i =2% mensual Fórmula: $ = R (1+i)n - 1 ( 1+i) S = 5001.0218 – 1 (1.02) = 10 920.28 i0.02 . .

. S = S/. 10 920.282. Calcular el monto de un renta de pago anticipado si las

cuotas semestrales son de S/. 1,200.00 c/u. y la tasa deinterés compuesto es de 20% anual con capitalizaciónsemestral durante 4 años y 6 meses.Solución:Datos: S =? R = S/. 1 200 anticipados i =10% semestral n = 4.5 años = 9 semestres Fórmula: S = R (1+i)n – 1 (1+i) 1 2001.19 - 1 = 17 924.91 i0.10 . . . S =S/. 17 924.91

3. Una persona con el propósito de adquirir un artefacto para suhogar, efectúa depósitos anticipados de S/. 10,000semestrales, durante 4 años y 6 meses. ¿De cuánto dispondráal término del periodo si la tasa de interés anual es de 15%con capitalización semestral?Solución:R = S/. 10 000 n = 9 semestres i = 7.5% semestresS =?Fórmula: S = R (1+i)n – 1 (1+i) S = 10001.0759 - 1 (1.075) i0.075 . . . S = S/. 131470.88

4. Un ahorrista deposita la cantidad de S/.13, 000 al principiode cada año en una cuenta de ahorros que paga el 16% efectivoanual y luego de transcurrido 5 años interrumpe susdepósitos. ¿De cuánto dispondrá en su cuenta después de 5años más, sin haber efectuado retiros ni nuevos depósitosdurante el segundo periodo?Solución: R = S/. 13 000 i = 16% n= 5años S = ? Hallamos el monto acumulado Durante los 5 primeros años Fórmula: S = R (1+i)n – 1 (1+i) S = 13 0001.165 - 1 (1.16) = S/. 103 707.20 i0.16 Ahora hallaremos el valor futuro del monto calculado.Fórmula: F = P(1+i)n f = 103 707.20(1.16)5 = S/. 872.17

5. Una persona desea acumular mediante depósitos anticipados, uncapital de 11,100 durante 7 años. Si la tasa de interéscompuesto es del 15% anual. ¿A cuánto ascenderá el depósito?Solución:S = 11 100 n = 7 años i = 15% anual R =?Fórmula: R = S i R = 11 1000.15 = S/. 872.17

(1+i) (1+i)n -1 1.151.157-1

6. ¿Cuánto tiempo será necesario depositar a un fondo S/.80,000 a principio de cada semestre para acumular S/. 2 800,000 a una tasa de interés compuesto del 20% anualcapitalizable semestralmente?Solución:Datos:R = S/. 80 000 S = 2 800,000 i = 10% semestral n=?Fórmula: Log Si + R (1+i) - Log R(1+i) Log (1+i) n = Log 2 800,000(0.10) + 80 000(1.1) - Log 80 000 x1.10 Log (1.1)n = Log 368 000 – Log 88 000 = 15.01 semestres Log (1.1)

7. Con el propósito de formar un fondo se pone en alquiler unedificio. ¿Cuánto será la merced conductiva mensual para queen 2 años y 3 mese se acumule S/ 3 800, 000, si la tasa deinterés asciende al 2% mensual y los pagos son poradelantado?Solución:R =? n = 27 meses S = S/ 3 800,000 i = 2%mensualFórmula: R = S i R = 3 800 0000.02 (1+i) (1+i)n -11.02 1.0227 - 1

. . . R = S/. 105405.62

8. Calcular el valor futuro de una anualidad anticipada de S/2,000 cada trimestre, si el primer pago debe efectuarse

dentro de un 1 año y se continua por espacio de 3años mas, ala tasa de interés compuesto del 12% anual con capitalizacióntrimestral.Solución:S =? R = S/. 2 000 i = 3% trimestral 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16. . .0 R R R R RR R R R R RR R 1 año Fórmula: S = (1+i)n -1 (1+i) S = 1.0312 – 1(1.03) 2 000 i0.03

. . . S= S/. 29 253.58

9. Una persona deposita S/. 50,000 en un banco que paga el 18%de interés anual para que, dentro de 5 años, empiece arecibir una renta anual durante 8 años mas. Halla la rentaanual a recibir.Solución:P = S/. 50 000 i = 18% R =? R R R R R R RR R . . . . .. . . . .. . .0 1 2 3 46 7 8 9 10 1112 13

P = 50 000 F

Primero acumulamos el capital al año

Fórmula: F = P(1+i)n F = 50 000(1.18)5 = 114 387.89 Ahora el monto calculado se convertirá en el capital Fórmula: R = P i(1+i)n 1 ( 1+i)n – 1 (1+i)

R = 114 387.89 0.18(1.18)8 - 1 1 R = S/. 23 773.72 (1.18)8 - 1(1.18)

10. Se ha invertido en un negocio que empezara a rendir unaganancia mensual de S/. 1,000 dentro de 2 años por espacio de2 años más. Si la tasa de mercado es del 2% de interésmensual, calcular el valor actual.Solución:R = S/. 1 000 i = 2% mensual R . .. 1 2 2424 meses p48 mesesFórmula:K = 24 n = 24

P = 1 000(1.0.20)-23 1.02525 -1 P = S/. 12380.92 0.02(1.02)25

11. El estado crea un fondo, con la finalidad de generar unarenta a perpetuidad de S/. 80,000 al final de cada semestre

P = R (1+i)1-K

(1+i)n+1 – 1

para financiar un asilo de ancianos. Si la tasa de interés esdel 8% semestral, determinar el valor actual de dicho fondo.Solución:R = 80 000 i = 8% semestral VA = PFórmula: PW = R PW = 80 000 PW =S/. 100 000 i 0.08

12. Hallar la renta anual de una perpetuidad cuyo valoractual es S/ 200,000 con el interés del 16% anualcapitalizable semestralmente.Solución:Datos: VA = P = S/. 200 000 i = 8% semestral R=?Fórmula: PW = R R = PW

i R = 200000(0.08) i . . . R = S/. 16 000

13. Hallar el monto de una serie de pagos de S/. 5,000 alfinal de cada trimestre, colocado al 18% de interés compuestocon capitalización mensual durante 1 año.Solución: S =? R = S/. 5 000 i = 1.5 mensual n= 12 mesesFórmula: S = R (1+i)n -1 S = 5 000 1.015 12 - 1S = S/. 65 206.06 i0.015

14. Calcular la cuota ordinaria trimestral de una anualidadcuyo monto es de S/ 30,000 durante 4 años y 6 meses, con el18% anual con capitalización semestral.Solución:R =? S = S/. 30 000 n = 9 semestresi = 18% anual i = 9 % semestralFórmula: R = 30000(0.09) R = S/. 2 303.96 (1.09)9 -1

R = Si

15. Calcular el valor presente de una serie de pagos de S/.15,000 cada uno, efectuados ordinariamente y en formasemestral durante 7 años y 6 meses al 12% anual concapitalización trimestral.Solución:VP = P =? R= S/. 15 000 i = 12% anual concapitalización trimestral i = 3% trimes.Primero convertiremos la renta semestral a trimestral.Fórmula: R= 15 000 0.03 = S/. 7 389.16 1.032 -1 Renta trimestral

Ahora recién hallaremos el valor presenteFórmula: R = S (1+i)n - 1 P = 7 389.161.0330 - 1 = S/. 144 830.80 (1+i) n

0.03(1.03)30

16. Una deuda de S/. 220,000 se debe amortizar en 5 años concuotas ordinarias semestrales al 16% de interés compuestoanual con capitalización semestral sobre el saldo. Calcularel valor de la cuota semestral y elaborara el cuadro deamortización de la deuda.Solución:P = S/. 220 000 n = 5 años = 10 semestres i = 8%semestralFórmula: R = P (1+i)n -1 i(1+i)n

R = 220 000 1.0810 – 1 R = 32786.49 0.08(1.08)10

CUADRO DE AMORIZACION DE LA DEUDA

N CUOTA INTERÉS AMORTIZACIÓ SALDO

R = Si

N012345678910

-32 786.4932 786.4932 786.4932 786.4932 786.4932 786.4932 786.4932 786.4932 786.4932 786.47

-17 600

16 385.0815 072.9713 655.8912 125.4410 472.558 687.446 759.524 677.362 428.63

-15 186.4916 401.4117 713.5219 130.6020 661.0522 313.9424 099.0526 026.9728 109.1330 257.84

220 000204 813.51188 412.10170 698.58151 567.98130 906.93108 592.9984 493.9458 466.9730 357.84

0TOTAL 327 864.88 107 864.88 220 000.00

17. Un transportista compra un autobús por S/. 140,000, alque se le estima una vida útil de 5 años y un valor residualde S/. 20,000. Si la tasa de interés de mercado es del 20%anual, calcular la depreciación anual y formular el cuadro dedepreciaciones por el método del fondo de amortizaciones.Solución:Costo: C = S/. 140 000 n = 5 años Valor Residual: L = 20000 i = 20%Depreciación Anual: D =?Fórmula: D(C – 1) i D = (C –1) (FDFAi,n) (1+i)n - 1 D = 14 000 – 20 000 0.20 D = 120000 0.20 (1.2) 5 – 11.25 – 1 . . . D = S/.16 125.56

CUADRO DE DEPRECIACIONES

AÑON

CARGO ANUALDE DEPREC.

INTERÉS SOBREEL FONDO

TOTALADICION

AL FONDO DE

VALORCONTABLEEN LIBROS

(20%) RESERVA012345

16 125.5616 125.5616 125.5616 125.5616 125.57

0.003 225.117 095.2511 739.4117 312.42

16 125.5635 476.2358 697.0486 562.01120 000.00

140 000123 847.44104 523.7781 302.9653 437.9920 000.00

TOTAL 80 627.81 39 372.19 120 000.00

18. Una empresa es propietaria de una mina cuya inversióninicial asciende a S/. 2 500,000 y se estima un periodo deexplotación de 8 años, un valor residual en activosrecuperables por S/. 250,000 y la tasa de reembolso es del6%. Calcular las cargas por agotamiento anual con aplicacióndel método del fondo de amortizaciones y formular el cuadrorespectivo.Solución:P= S/. 2 500 000 = C n = 8 años L = S/ 250 000i = 6%Fórmula: Agotamiento (A) = (C-1) iA 0 (2 500 000 – 250 000) 0.06 (1+i)n -11.068 - 1

A = 2 250 000 0.06 A = S/. 227330.87 anual. 1.068 – 1

Cuadro de Agotamiento

AÑO(n)

Cargo AnualDe

Agotamiento

Interéssobre elFondo(6%)

TotalAdiciónAl fondo

Acumulado Fondo

deReserva

Valor enLibros

0123

227 330.87227 330.87227 330.87

013

639.85

227330.87240

227330.87468

2 500 00000

2 272669.13

45678

227 330.87227 330.87227 330.87227 330.87227 330.88

28098.1043

423.8359

669.1276

889.1195

142.31114

490.71

970.72255

428.97270

754.70286

99.99304

219.98322

473.18341

821.59

301.59723

730.56994

485.261 281485.251 585705.231 908178.412 250000.00

2 031698.411 776269.441 505514.741 218514.75914

294.77591

821.59250

000.00TOTAL 1 818

646.97431

353.032 225000.00

19. Una empresa tiene la oportunidad de invertir en unamaquina que tiene un costo de S/. 656 670. Los ingresos netosde efectivo después de impuesto, provenientes de la maquina,serian de S/. 210 000 al año durante 5 años. La tasa mínimarequerida es del 12% anual. Determinar si es rentableinvertir mediante el valor actual neto.Solución:Datos: P = C = S/. 656 670 R = S/. 210 000 n = 5años i = 12% VAN = VPN =?

Flujo de Efectivo

R R R R R. . . . . 12 3 45 656 670

VAN = - P + R (1+i)n – 1 van = - 656 670 + 210000 1.125 1 i(1+i)n

0.12(1.12)5

VAN = - 656 670. 00 + 75 003.00 =100 333.00Respuesta: La inversión es rentable porque el VPN es (+),su ejecución agregará un valor de S/. 100 333.00 a laempresa.

20. Con los datos del ejercicio anterior medir larentabilidad e interpretar los resultados mediante la TIR yla B/C.Solución:Calcularemos la TIR mediante el método de Tanteo:Si i = 18% VAN = 35.9143978Si i = 19% Van = -14 566.67313Ahora interpolamos los valores determinados.Tasa VAN 18% 35.9143978TIR – 18% = -35.9143978TIR 01% - 14 602.5875319% -14 566.67313 TIR = 18.00246% = 18%Interpretación: El rendimiento del proyecto cubre lasexpectativas del empresario, puesto que la TIR (18%) es mayora la tasa mínima requerida.Hallamos la relación costa beneficioVA = 757 003 c = 656 670Fórmula:

B/C = 757 003 = 1.15 656 670 B/C > 1 Donde 1.15 >1Interpretación: E l indicador B/C nos muestra que por cadaS/. 1 de inversión se obtiene un beneficio de S/.1.15

B/C = VA