Curso: Matemática Financiera

Curso: Matemática Financiera

Unidad 3: Anualidades: Vencidas, Anticipadas, Diferidas y Perpetuas. Gradientes: Aritmética y Geométrica

UNIDAD 3

• LOGRO: El alumno evalúa situaciones reales de las transacciones económico-financieras y critica la aceptación o no de éstas por parte de los agentes comprendidos.

• TEMARIO:

– Teoría de Rentas.

Modelo Matemático-financiero.

Análisis de rentas vencidas, inmediatas, diferidas y perpetuas.

– Rentas con gradientes aritméticas y geométricas

Facultad de Negocios, UPC Carrera de Administración y Finanzas

Serie de depósitos, pagos o cobros iguales, consecutivos y efectuados a intervalos iguales de tiempo. Forma simplificada de calculo.

Rentas o Anualidades: Definición


Calculo de cuotas en prestamos o créditos comerciales

Determinación de capacidad de endeudamiento

Valorización de empresa – Valor residual del negocio

Evaluación de Inversiones

Análisis de reemplazo de equipos

Rentas: Aplicaciones


– C = Valor actual o presente de una renta – S = Valor Futuro o Monto de una renta – R = Termino periódico de la renta. – TEP = Tasa efectiva del periodo de análisis – n = Número de términos de la renta. – Y = Plazo de diferimiento de la renta. – Y + n = Plazo de la renta diferida

Rentas: Elementos


0

R R R tiempo

- Fluj

o de

caj

a u.

m.

R = Término de la renta

S = Valor Futuro

•n = Numero de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico.

R R R

1 2 3 4 5 n-2 n n-1

R R

C = Valor Actual

Intervalo de pago

Rentas: Diagrama de Flujo de Caja


Rentas: Clasificación


0

R R R tiempo

- Fluj

o de

caj

a u.

m.


Valor : Futuro

•n = Numero de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico. •TEP= i = Tasa efectiva del periodo de análisis

R R R

1 2 3 4 5 n-2 n n-1

R R

Valor : Actual

Intervalo de pago

−+=

TEPTEPRS

n

v1)1(*

Rentas: Pago Vencido (Fin de período)

+−=

−

TEPTEPRC

n

v)1(1*


• La TEP a utilizar en la formula deberá guardar correspondencia con la periodicidad de la frecuencia de pago. Es decir si los pagos son mensuales debo utilizar una TEM, si los pagos son trimestrales debo utilizar una TET, etc.

• El Valor actual de la anualidad calculado con la formula, siempre se ubica un periodo antes del primer termino de la renta. Es decir si los pagos son trimestrales el valor calculado se ubica un trimestre antes del primer pago, si son mensuales un mes antes, etc.

• El valor futuro de la anualidad siempre coincide con el ultimo termino de la renta

Rentas: Pago Vencido (Fin de período)


0

R R R tiempo

Fluj

o de

caj

a u.

m.


Valor : Futuro

R R R

1 2 3 4 5 n-2 n n-1

R

Valor : Actual

Intervalo de pago

R

)1(*1)1(* TEP

TEPTEPRS

n

a +

−+=

•n = Numero de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico. •TEP= Tasa efectiva del periodo de análisis

+−+=

−−

TEPTEPRRC

n

a

)1()1(1*

Rentas: Pago Anticipado (Inicio de período)



• El valor Actual de la anualidad siempre coincide con el primer termino R de la renta

• El Valor Futuro de la anualidad calculado con la formula, siempre se ubica un periodo después del ultimo termino R de la renta. Es decir si los pagos son trimestrales el valor calculado se ubica un trimestre después del ultimo pago R, si son mensuales un mes después, etc.

Rentas: Pago Anticipado (Inicio de período)


0

R tiempo

Fluj

o de

caj

a u.

m.


Sv = Valor Futuro

•n = Número de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico. •Y = Período de diferimiento.

R

1 Y-1 Y 1 n-2 n n-1

R

Intervalo de pago

2

R

Plazo de Diferimiento Renta de pago vencida

Cv = Valor actual de la renta vencida

R

( )yv

dv TEPCC

+=

1

Rentas: Diferida de pago vencido


0

R R tiempo

Fluj

o de

caj

a u.

m.


Sa = Valor Futuro

•n = Número de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico. •Y = Período de diferimiento.

R

1 Y-1 Y 1 n-2 n n-1

R

Intervalo de pago

2

R

Plazo de Diferimiento Renta de pago vencida

Ca = Valor actual de la renta anticipada

( )ya

da TEPCC

+=

1

Rentas: Diferida de pago anticipado


0

R R tiempo

Fluj

o de

caj

a u.

m.


•R = Término de la renta o pago periódico. •TEP= Tasa efectiva del periodo de análisis •n = Tiene duración indefinida

R R R

1 2 3 4 5

Valor Actual =

Intervalo de pago

¡No se puede calcular valor futuro!

=

TEPRCv

Rentas: Perpetua de pago vencido


0

R R tiempo

- Fluj

o de

caj

a u.

m.


R R R

1 2 3 4 5

Valor Actual :

Intervalo de pago

¡No se puede calcular valor futuro!

R

•R = Término de la renta o pago periódico. •TEP= Tasa efectiva del periodo de análisis •n = Tiene duración indefinida

+=

TEPRRCa

Rentas: Perpetua de pago anticipado


Rentas: Ejercicios


A continuación desarrolle los problemas presentados en el Compendio de Ejercicios del Curso

Rentas: Gradientes

Las elementos de las series de pagos, cobros o depósitos no siempre son constantes, pueden ser variables en cuyo caso podrían presentar algún patrón de evolución particular y reconocible, en cuyo caso podemos estar frente a series con:

– GRADIENTE ARITMETICA – GRADIENTE GEOMETRICA


Son series en la que los términos de la renta crecen o

decrecen en razón de una cantidad constante (G) por periodo

con respecto al valor que alcanzaron en el periodo anterior

Rentas: Gradiente Aritmética


0

R +G

tiempo

- Fluj

o de

caj

a u.

m.

S = Valor Futuro

R

1 2 3 4 5 n-2 n n-1

C = Valor Actual Intervalo de pago


•n = Número de elementos de la serie •G = Gradiente aritmético (unidades monetarias de crecimiento o decrecimiento de la cuota) •R = Primer elemento de la renta

R +2G R +(n-1)*G


( )

+

−+−

+

+−=

−−

n

nn

TEPn

TEPTEP

TEPG

TEPTEPRC

)1()1(1*11*

•C = Valor actual total de la anualidad con gradiente aritmética •n = Número de términos de la renta. •G = Gradiente aritmético. (Puede ser positivo o negativo) •R = Primer termino de la renta •Rk = Termino k de la renta. •TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de estudio

( )nTEPCS += 1*

( ) GKRRK *1−+=

CnRRIntereses n −

+

= *2

1


Elemento “K” de la serie:


2TEPG

TEPRC +=

•C = Valor actual total de la anualidad con gradiente aritmética •G = Gradiente aritmético. (Puede ser positivo o negativo) •R = Primer termino de la renta •Rk = Termino k de la renta. •TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de estudio

Rentas: Perpetuas con Gradiente Aritmética



• El Valor actual de la renta calculado con la formula, siempre se ubica un periodo antes del primer termino de la renta. Es decir si los pagos son trimestrales el valor calculado se ubica un trimestre antes del primer pago, si son mensuales un mes antes, etc.

• La Gradiente Aritmética se expresa en unidades monetarias y puede ser positiva o negativa según la serie sea creciente o decreciente

• El valor futuro de la anualidad se calcula trasladando el valor actual de la renta hacia el periodo solicitado



Son series en la que los términos de una renta crecen o

decrecen en razón de una tasa porcentual constante (G%) por

período con respecto al valor que alcanzaron en el período

anterior

Rentas: Gradiente Geométrica


0

R*(1+G)

tiempo

Fluj

o de

caj

a u.

m.

S = Valor Futuro

•n = Número de elementos de la serie •G = Gradiente geométrico (tasa porcentual de crecimiento o decrecimiento de la cuota) •R = Primer elemento de la renta

R

1 2 3 4 5 n-2 n n-1

C = Valor Actual Intervalo de pago

R*(1+G)2

R*(1+G)n-1



•C = Valor actual de la anualidad con gradiente geométrica •n = Número de términos de la renta. •G = Tasa de crecimiento de la cuota •R = Término inicial de la renta o pago periódico. •Rk = Termino k de la renta. •i = TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de análisis

GTEP ≠SI:

)1( TEPnRC+

=SI: GTEP =



−

++

−=

GTEPTEP

G

RC

n

111

*

•C = Valor actual de la anualidad con gradiente geométrica •n = Número de términos de la renta. •G = Tasa de crecimiento o decrecimiento de la cuota •R = Término inicial de la renta o pago periódico. •Rk = Termino k de la renta. • TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de análisis

( ) ( ) Crr

RIntereses n −

−

−= 1*

1

( )nTEPCS += 1*

( ) 11* −+= KK GRR

SI:

TEPGr

++

=1

1



•C = Valor actual de la anualidad con gradiente geométrica •G = Tasa de crecimiento o decrecimiento de la cuota •R = Término inicial de la renta o pago periódico. •Rk = Termino k de la renta. •TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de análisis

GTEPRC−

=GTEP >SI:

∞=CSI: GoTEP =<

Rentas: Perpetuas con Gradiente Geométrica



• El Valor actual de la renta calculado con la formula, siempre se ubica un periodo antes del primer termino de la renta. Es decir si los pagos son trimestrales el valor calculado se ubica un trimestre antes del primer pago, si son mensuales un mes antes, etc.

• La Gradiente Geométrica se expresa como una tasa porcentual (%) y puede ser positiva o negativa según la serie sea creciente o decreciente

• El valor futuro de la anualidad se calcula trasladando el valor actual de la renta hacia el periodo solicitado



Gradientes: Ejercicios


A continuación desarrolle los problemas presentados en el Compendio de Ejercicios del Curso

Bibliografía

• VALERA MORENO, Rafael. Matemática Financiera. Conceptos, Problemas y Aplicaciones.

• Capítulo III: Anualidades. • BLANK, Leland, TARQUIN, Anthony. Ingeniería Económica.

• Capítulo 2: Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero.

• Capítulo 5: Análisis del valor presente.


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