Curso: Matemática Financiera
Unidad 3: Anualidades: Vencidas, Anticipadas, Diferidas y Perpetuas. Gradientes: Aritmética y Geométrica
UNIDAD 3
• LOGRO: El alumno evalúa situaciones reales de las transacciones económico-financieras y critica la aceptación o no de éstas por parte de los agentes comprendidos.
• TEMARIO:
– Teoría de Rentas.
Modelo Matemático-financiero.
Análisis de rentas vencidas, inmediatas, diferidas y perpetuas.
– Rentas con gradientes aritméticas y geométricas
Facultad de Negocios, UPC Carrera de Administración y Finanzas
Serie de depósitos, pagos o cobros iguales, consecutivos y efectuados a intervalos iguales de tiempo. Forma simplificada de calculo.
Rentas o Anualidades: Definición
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Calculo de cuotas en prestamos o créditos comerciales
Determinación de capacidad de endeudamiento
Valorización de empresa – Valor residual del negocio
Evaluación de Inversiones
Análisis de reemplazo de equipos
Rentas: Aplicaciones
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– C = Valor actual o presente de una renta – S = Valor Futuro o Monto de una renta – R = Termino periódico de la renta. – TEP = Tasa efectiva del periodo de análisis – n = Número de términos de la renta. – Y = Plazo de diferimiento de la renta. – Y + n = Plazo de la renta diferida
Rentas: Elementos
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0
R R R tiempo
- Fluj
o de
caj
a u.
m.
R = Término de la renta
S = Valor Futuro
•n = Numero de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico.
R R R
1 2 3 4 5 n-2 n n-1
R R
C = Valor Actual
Intervalo de pago
Rentas: Diagrama de Flujo de Caja
Facultad de Negocios, UPC Carrera de Administración y Finanzas
0
R R R tiempo
- Fluj
o de
caj
a u.
m.
R = Término de la renta
Valor : Futuro
•n = Numero de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico. •TEP= i = Tasa efectiva del periodo de análisis
R R R
1 2 3 4 5 n-2 n n-1
R R
Valor : Actual
Intervalo de pago
−+=
TEPTEPRS
n
v1)1(*
Rentas: Pago Vencido (Fin de período)
+−=
−
TEPTEPRC
n
v)1(1*
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• La TEP a utilizar en la formula deberá guardar correspondencia con la periodicidad de la frecuencia de pago. Es decir si los pagos son mensuales debo utilizar una TEM, si los pagos son trimestrales debo utilizar una TET, etc.
• El Valor actual de la anualidad calculado con la formula, siempre se ubica un periodo antes del primer termino de la renta. Es decir si los pagos son trimestrales el valor calculado se ubica un trimestre antes del primer pago, si son mensuales un mes antes, etc.
• El valor futuro de la anualidad siempre coincide con el ultimo termino de la renta
Rentas: Pago Vencido (Fin de período)
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0
R R R tiempo
Fluj
o de
caj
a u.
m.
R = Término de la renta
Valor : Futuro
R R R
1 2 3 4 5 n-2 n n-1
R
Valor : Actual
Intervalo de pago
R
)1(*1)1(* TEP
TEPTEPRS
n
a +
−+=
•n = Numero de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico. •TEP= Tasa efectiva del periodo de análisis
+−+=
−−
TEPTEPRRC
n
a
)1()1(1*
Rentas: Pago Anticipado (Inicio de período)
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• La TEP a utilizar en la formula deberá guardar correspondencia con la periodicidad de la frecuencia de pago. Es decir si los pagos son mensuales debo utilizar una TEM, si los pagos son trimestrales debo utilizar una TET, etc.
• El valor Actual de la anualidad siempre coincide con el primer termino R de la renta
• El Valor Futuro de la anualidad calculado con la formula, siempre se ubica un periodo después del ultimo termino R de la renta. Es decir si los pagos son trimestrales el valor calculado se ubica un trimestre después del ultimo pago R, si son mensuales un mes después, etc.
Rentas: Pago Anticipado (Inicio de período)
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0
R tiempo
Fluj
o de
caj
a u.
m.
R = Término de la renta
Sv = Valor Futuro
•n = Número de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico. •Y = Período de diferimiento.
R
1 Y-1 Y 1 n-2 n n-1
R
Intervalo de pago
2
R
Plazo de Diferimiento Renta de pago vencida
Cv = Valor actual de la renta vencida
R
( )yv
dv TEPCC
+=
1
Rentas: Diferida de pago vencido
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0
R R tiempo
Fluj
o de
caj
a u.
m.
R = Término de la renta
Sa = Valor Futuro
•n = Número de términos de la renta. •R = Término de la renta o pago periódico. •Y = Período de diferimiento.
R
1 Y-1 Y 1 n-2 n n-1
R
Intervalo de pago
2
R
Plazo de Diferimiento Renta de pago vencida
Ca = Valor actual de la renta anticipada
( )ya
da TEPCC
+=
1
Rentas: Diferida de pago anticipado
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0
R R tiempo
Fluj
o de
caj
a u.
m.
R = Término de la renta
•R = Término de la renta o pago periódico. •TEP= Tasa efectiva del periodo de análisis •n = Tiene duración indefinida
R R R
1 2 3 4 5
Valor Actual =
Intervalo de pago
¡No se puede calcular valor futuro!
=
TEPRCv
Rentas: Perpetua de pago vencido
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0
R R tiempo
- Fluj
o de
caj
a u.
m.
R = Término de la renta
R R R
1 2 3 4 5
Valor Actual :
Intervalo de pago
¡No se puede calcular valor futuro!
R
•R = Término de la renta o pago periódico. •TEP= Tasa efectiva del periodo de análisis •n = Tiene duración indefinida
+=
TEPRRCa
Rentas: Perpetua de pago anticipado
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Rentas: Ejercicios
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A continuación desarrolle los problemas presentados en el Compendio de Ejercicios del Curso
Rentas: Gradientes
Las elementos de las series de pagos, cobros o depósitos no siempre son constantes, pueden ser variables en cuyo caso podrían presentar algún patrón de evolución particular y reconocible, en cuyo caso podemos estar frente a series con:
– GRADIENTE ARITMETICA – GRADIENTE GEOMETRICA
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Son series en la que los términos de la renta crecen o
decrecen en razón de una cantidad constante (G) por periodo
con respecto al valor que alcanzaron en el periodo anterior
Rentas: Gradiente Aritmética
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0
R +G
tiempo
- Fluj
o de
caj
a u.
m.
S = Valor Futuro
R
1 2 3 4 5 n-2 n n-1
C = Valor Actual Intervalo de pago
Rentas: Gradiente Aritmética
•n = Número de elementos de la serie •G = Gradiente aritmético (unidades monetarias de crecimiento o decrecimiento de la cuota) •R = Primer elemento de la renta
R +2G R +(n-1)*G
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( )
+
−+−
+
+−=
−−
n
nn
TEPn
TEPTEP
TEPG
TEPTEPRC
)1()1(1*11*
•C = Valor actual total de la anualidad con gradiente aritmética •n = Número de términos de la renta. •G = Gradiente aritmético. (Puede ser positivo o negativo) •R = Primer termino de la renta •Rk = Termino k de la renta. •TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de estudio
( )nTEPCS += 1*
( ) GKRRK *1−+=
CnRRIntereses n −
+
= *2
1
Rentas: Gradiente Aritmética
Elemento “K” de la serie:
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2TEPG
TEPRC +=
•C = Valor actual total de la anualidad con gradiente aritmética •G = Gradiente aritmético. (Puede ser positivo o negativo) •R = Primer termino de la renta •Rk = Termino k de la renta. •TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de estudio
Rentas: Perpetuas con Gradiente Aritmética
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• La TEP a utilizar en la formula deberá guardar correspondencia con la periodicidad de la frecuencia de pago. Es decir si los pagos son mensuales debo utilizar una TEM, si los pagos son trimestrales debo utilizar una TET, etc.
• El Valor actual de la renta calculado con la formula, siempre se ubica un periodo antes del primer termino de la renta. Es decir si los pagos son trimestrales el valor calculado se ubica un trimestre antes del primer pago, si son mensuales un mes antes, etc.
• La Gradiente Aritmética se expresa en unidades monetarias y puede ser positiva o negativa según la serie sea creciente o decreciente
• El valor futuro de la anualidad se calcula trasladando el valor actual de la renta hacia el periodo solicitado
Rentas: Gradiente Aritmética
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Son series en la que los términos de una renta crecen o
decrecen en razón de una tasa porcentual constante (G%) por
período con respecto al valor que alcanzaron en el período
anterior
Rentas: Gradiente Geométrica
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0
R*(1+G)
tiempo
Fluj
o de
caj
a u.
m.
S = Valor Futuro
•n = Número de elementos de la serie •G = Gradiente geométrico (tasa porcentual de crecimiento o decrecimiento de la cuota) •R = Primer elemento de la renta
R
1 2 3 4 5 n-2 n n-1
C = Valor Actual Intervalo de pago
R*(1+G)2
R*(1+G)n-1
Rentas: Gradiente Geométrica
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•C = Valor actual de la anualidad con gradiente geométrica •n = Número de términos de la renta. •G = Tasa de crecimiento de la cuota •R = Término inicial de la renta o pago periódico. •Rk = Termino k de la renta. •i = TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de análisis
GTEP ≠SI:
)1( TEPnRC+
=SI: GTEP =
Rentas: Gradiente Geométrica
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−
++
−=
GTEPTEP
G
RC
n
111
*
•C = Valor actual de la anualidad con gradiente geométrica •n = Número de términos de la renta. •G = Tasa de crecimiento o decrecimiento de la cuota •R = Término inicial de la renta o pago periódico. •Rk = Termino k de la renta. • TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de análisis
( ) ( ) Crr
RIntereses n −
−
−= 1*
1
( )nTEPCS += 1*
( ) 11* −+= KK GRR
SI:
TEPGr
++
=1
1
Rentas: Gradiente Geométrica
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•C = Valor actual de la anualidad con gradiente geométrica •G = Tasa de crecimiento o decrecimiento de la cuota •R = Término inicial de la renta o pago periódico. •Rk = Termino k de la renta. •TEP = Tasa de interés efectiva del periodo de análisis
GTEPRC−
=GTEP >SI:
∞=CSI: GoTEP =<
Rentas: Perpetuas con Gradiente Geométrica
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• La TEP a utilizar en la formula deberá guardar correspondencia con la periodicidad de la frecuencia de pago. Es decir si los pagos son mensuales debo utilizar una TEM, si los pagos son trimestrales debo utilizar una TET, etc.
• El Valor actual de la renta calculado con la formula, siempre se ubica un periodo antes del primer termino de la renta. Es decir si los pagos son trimestrales el valor calculado se ubica un trimestre antes del primer pago, si son mensuales un mes antes, etc.
• La Gradiente Geométrica se expresa como una tasa porcentual (%) y puede ser positiva o negativa según la serie sea creciente o decreciente
• El valor futuro de la anualidad se calcula trasladando el valor actual de la renta hacia el periodo solicitado
Rentas: Gradiente Geométrica
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Gradientes: Ejercicios
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A continuación desarrolle los problemas presentados en el Compendio de Ejercicios del Curso
Bibliografía
• VALERA MORENO, Rafael. Matemática Financiera. Conceptos, Problemas y Aplicaciones.
• Capítulo III: Anualidades. • BLANK, Leland, TARQUIN, Anthony. Ingeniería Económica.
• Capítulo 2: Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero.
• Capítulo 5: Análisis del valor presente.
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