Post on 07-May-2017
1
Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosongMisal : A={Orang yang Istrinya 1000}
Terdapat bilangan x mendekati 0 dari kiri/bawah/negatifTerdapat Bilangan x mendekati 0 dari kanan/atas/positifTerdapat Bilangan x menuju tidak berhingga atau x naik
tidak berhinggaTerdapat bilangan x menuju minus tidak berhingga atau
turun minus tidak berhingga
Bilangan tidak tertentu = bilangan yang diberi hasil apa saja akan bernilai benar
Bilangan tidak tertentu dimunculkan sebab sering dikacaukan antara bilangan tertentu dan tidak tertentu pada operasi hitung untuk bilangan 0, 1, dan ∞
0 , ∞ , ∞ - ∞ , 0. ∞ , 00 , ∞0 , 1∞
0 ∞
11)(
2
xxxf
4
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
xf(x)
0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011?1.9 1.99 1.9991.9999 2.00012.001 2.01 2.1
5
1
º2
x x
f(x)
f(x)
Secara grafik
Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut
211lim
2
1
xx
x
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1
12
xx
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa
Lxfcx
)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
2)2)(12(lim
2232lim
2
2
2
x
xxxxx
xx512lim
2
x
x
33
39lim
39lim
99
x
xxx
xx
xx 9)3)(9(lim
9
x
xxx
6
853lim1
x
x
Contoh
1.
2.
63lim9
xx
3.
4. )/1sin(lim0
xx
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x)/1sin( x
/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2
1 0 -1 0 1 0 -1 00?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
)(lim xfcx
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
7
Limit Kiri dan Limit Kanan
cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,
)(lim xfcx
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,
c x
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
notasi
notasi
Jika )(lim xfcx
)(lim xfcx
maka tidak ada )(lim xfcx
)(lim1
xfx
)(lim2
xfx
8
1,210,0,
)(2
2
xxxxxx
xf
)(lim0
xfx
Contoh Diketahui
a. Hitung
d. Gambarkan grafik f(x)Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0
c. Hitungb. Hitung) Jika ada
1.
0)(lim0
xfx
)(lim2
xfx
9
)(lim0
xfx
0lim 2
0
x
x
)(lim0
xfx
0lim0
x
x
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
)(lim1
xfx
1lim1
x
x
)(lim1
xfx
32lim 2
1
x
x
11lim)(limxx
xf )(lim1
xfx
62lim 2
2
x
x
Karena Tidak ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
22)( xxf
10
d.
Untuk x 02)( xxf
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 0
Grafik: parabola
1
3
º
di x=1 limit tidakada
11
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1,1,3
)( 2 xcxxcx
xf
mempunyai limit di x=-1Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan
)(lim1
xfx
ccxx
33lim1
)(lim1
xfx
ccxx
1lim 2
1
Agar limit ada 3 + c = 1 - c
C=-1
12
)(lim3xf
x
)(lim1xf
x
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
f(-3)f(-1)f(1)
1.
2.
3.
4.
5.6.7.8.
Soal Latihan
13
Soal Latihan
1,2
1,1)(
2
2
xxxxx
xf
)(lim1
xfx x
f x 1lim ( )
xf x
1lim ( )
xxxg 32)(
xg x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
22
)(
xx
xf
xf x
2lim ( )
xf x
2lim ( )
xf x
2lim ( )
1. Diketahui :
a.Hitung dan
b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya
2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :
3. Diketahui , hitung ( bila
ada )
a. b. c.
a. b. c.
B.
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim
)(lim
)()(lim
Gbila
GL
xg
xf
xgxf
ax
ax
ax
nnax
nax
Lxfxf
)(lim)(lim
14
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Sifat limit fungsiMisal
(limit dari f , g ada dan berhingga)maka
2.
3.
4. n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
,n bilangan bulat positif
5. bila n genap L harus positif
1.
222 )1(1
1sin)1()1(
xx
xx
)()()( xhxgxf
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x
15
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
1
1sin)1(lim 2
1
xx
x
Prinsip ApitMisal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena 1)1
1sin(1
x
dan 0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
maka
16
Limit Fungsi Trigonometri
1sinlim.10
x
xx
1coslim.20
xx
1tanlim.30
x
xx
Contoh
2.22tan5
4.44sin3
lim2tan54sin3lim
00
xxxx
xxxx
xx
2.
22tanlim5
4.44sinlim3
0
0
xxxx
x
x
37
2.22tanlim5
4.44sinlim3
02
04
xxxx
x
x
x 0 ekivalen dgn 4x 0
17
Soal Latihan
tt
t sin1coslim
2
0
ttt
t sec2sincotlim
0
tt
t 23tanlim
2
0
tttt
t sec43sinlim
0
Hitung
1.
2.
3.
4.
xx
x 2sintanlim
05.
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi
18
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
maka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxfaxax
)(
)(lim
xgxf
ax
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Ctt :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif. g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.
021lim 2
1
x
x
11lim 2
2
1 xx
x19
Contoh Hitung
11lim
2
1
xx
xa.
11lim 2
2
1
xx
x xx
x sinlim
b. c.
Jawab
a. 021lim 2
1
x
x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif
Sehingga
11lim
2
1 xx
x
b. akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1)( 2 xxg
12 x
Sehingga
0lim
x
x
xx
x sinlim
20
c.
danf(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)
sehingga
Karena
Lxfx
)(lim
21
Limit di Tak Hingga
a. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL
x
Contoh Hitung
4252lim 2
2
xxx
x
Jawab
)2(
)1(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
4252lim 2
2
xxx
x2
2
42
521lim
x
xxx
= 1/2
22
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
xContoh Hitung
4252lim 2
x
xx
4252lim 2
x
xx
Jawab
)2()(
lim2
2
42
522
x
xx
x xx
)2(
)(lim
2
2
4
52
x
xx
x
= 0
xxxx
3lim 2)
3
3(3lim2
22
xxx
xxxxxxx
23
Contoh Hitung xxx
x
3lim 2
Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
xxx
xxxx
33lim
2
22
xxx
xx
3
3lim2
xx
x
xx
x
x
)1(
)1(lim
2312
3||2 xx
xxx
xx
x
x
231
3
1)1(
lim
21
)11(1
lim231
3
xx
x
x
24
Soal Latihan
limx
xx
3
33
limx x 2 2
3
4
)1(lim xxx
limx
x
x 1 2
11lim
2
xx
x
limx
x xx
2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.