LIMIT FUNGSI

FUNGSI TRIGONOMETRI

LIMIT FUNGSILimit Fungsi. Limit fungsi f(x) merupakan nilai hampiran dari f(x) untuk nilai x mendekati nilai tertentu misal x=a. Bentuk umum : Lim f(x)

x->a

Jika diketahui dua buah fungsi f(x) dan g(x) masing-masing memiliki sebuah nilai limit, maka jumlah, selisih, perkalian, dan pembagian dari kedua fungsi tersebut juga mempunyai sebuah nilai limit. Di bawah ini sifat-sifat limit fungsi aljabar :

1. Limit penjumlahan fungsi merupakan penjumlahan limit masing-masing fungsi.

lim (f(x) +g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

2. Limit selisih fungsi merupakan selisih limit masing-masing fungsi.

lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)

3. Limit perkalian fungsi merupakan perkalian limit masing-masing fungsi.

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

4. Limit pembagian fungsi merupakan pembagian limit masing-masing fungsi.

lim =

Operasi limit pada bentuk-bentuk tak tentu seperti , , 0 x , 1, 0, dan - harus mengikuti prosedur pengerjaan sesuai dengan ketentuan LHospital1. Bentuk tak tentu

lim = lim

2. Bentuk tak tentu

lim = lim

3. Bentuk tak tentu 0x 1, 0, dan - terlebih dulu harus dikembalikan ke bentuk 1 dan 2

Contoh 1 : (Bentuk )limit = limit = 12

x->2 x->2

Contoh 2 : (Bentuk )

lim - x = lim

x->

x->

= lim

x->

= lim = 3

x->

Latihan :

1. Limit =

x->0

2. Limit =

x-> 1

3. Limit =

x-> 04. Limit =

x->05. Limit =

x-> 0

6. Limit =

x ->

Beberapa cara yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan soal limit yaitu : penyederhanaan, pengalihan ke bentuk sekawan, penurunan ataupun dengan cara khusus. Dibawah ini rumus dasar limit trigonometri untuk x mendekati 0.

1. Limit =

2. Limit =

3. Limit =

4. Limit =

5. Limit =

6. Limit =

Contoh :

Lim x cosec 2x = lim

x->0

x->0

= lim ( ingat : lim = 1

x->0

x->0

= Latihan : 1. Limit =

x->1

2. Limit =

x->23. Limit =

x->0

4. Limit =

x->05. Limit =x->06. Limit =x->07. Limit =x-> 8. Limit =x->

DIFERENSIALDiferensial. Diferensial merepresentasikan persamaan kemiringan grafik fungsi f(x). Hitung diferensial mempunyai keterkaitan dengan perhitungan limit (kaidah L Hospital). Bentuk umum diferensial :

y' = = f(x) Di bawah ini merupakan diferensiasi berbagai fungsi dasar yang penting untuk diingat.

1. y = cos xy = - sin x

2. y = tg xy = sec2 x

3. y = ctg xy = -cosec2 x

4. y = sec xy = sec x. tg x

5. y = cosec x y = -cosec x cotg x

6. y = sinh xy = cosh x

7. y = cos x y = -sin x

8. y = xny = nxn-19. y = exy = ex10. y = ekxy = kekx11. y = ln xy = 1/x

12. y = alog xy = 1/(x ln a)

13. y = axy = ax ln a

14. y = sin xy = cos x

Ada beberapa ketentuan yang harus diperhatikan dalam operasi diferensiasi

1. Jika sebuah fungsi dikalikan dengan konstanta maka turunannya dikalikan juga dengan konstanta itu.

2. Diferensiasi jumlah atau selisih aljabar dari beberapa fungsi sama dengan penjumlahan atau selisih diferensiasi masing-masing fungsi.

3. Diferensiasi perkalian dua buah fungsi adalah sama dengan perkalian turunan fungsi yang pertama dikalikan fungsi kedua ditambah dengan turunan fungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama

4. Diferensiasi pembagian dua buah fungsi adalah sama dengan perkalian penyebut dan turunan pembilang dikurangi perkalian pembilang dan turunan penyebut dibagi kuadrat penyebut.

Contoh 1 : (perkalian)y = x3 sin x tentukan y.Jawab :

f(x) = x3 dan g(x) = sin x sehingga f(x) = 3x2 dan g(x) = cos x maka

y = f(x).g(x) + f(x).g(x)

y = 3x2.sin x + x3 cos xContoh 2: (pembagian)y = tentukan y=Jawab:

f(x) = sin x f(x) = cos x g(x) = cos x g(x) = -sin x

y =

= = sec2 x

Latihan:

1. y = ex sin x tentukan y

2. y = 4x3 sin x tentukan y.3. y = ex cos x tentukan y....

4. y = cos x sin x tentukan y....

5. y = tentukan y....

6. y = tentukan y....

Diferensiasi berantai. Untuk fungsi komposisi (fungsi di dalam fungsi yang lain) maka harus diturunkan satu persatu secara berurutan. Ini dinamakan Diferensiasi berantai. Aturan turunan berantai :

Contoh :

y = sin (3x + 5) tentukan y?

Jawab :

Misal u = 3x +5 u = 3

Jadi y = u.y= 3 cos (3x +5)Latihan :

Tentukan turunan fungsi (y) dibawah ini :1. y = sin (4x + 3)

2. y = (2x-5)43. y = sin3 x4. y = tg 5x

5. y = e2x-36. y = 4 cos(7x+2)

Fungsi implisit. Dalam fungsi implisit tidak dapat dipisahkan y dan x pada dua ruas yang berbeda. Sebagai contoh adalah fungsi 2x + tg(y+1) = 5. Untuk mendiferensiasikan fungsi tersebut harus diingat bahwa y adalah fungsi x.

Contoh :

Tentukan dari x2 + y2 = 25 (persamaan lingkaran bejari-jari 5)

Jawab :

Dengan tetap mengingat bahwa y adalah fungsi x maka2x + 2y = 02y = -2x

=

Latihan :

Tentukan dari :1. x2 + y2 -2x 6y + 5 = 0

2. x2 + 2xy +3y2 = 03. x3 +y3 +3xy2 = 0

4. (x+y)2 = 0

Persamaan Parametrik. Biasanya fungsi f(x) dinyatakan sebagai y = f(x). Tetapi dapat pula baik y maupun x merupakan fungsi variabel lain misal t. Sehingga y=f(t) dan x=f(t). Ini dinamakan persamaan parametrik. Untuk mendapatkan turunan persamaan parametrik mirip dengan menggunakan turunan berantai.Contoh:

y = cos 2t dan x = sin t tentukan dan

Jawab:

= = -2 sin 2t. = -4 sin t

= = . = -4 Latihan : Tentukan dan dari :

1. y = 3 sin t - sin3 tx = cos3 t2. y = 3(t-sin t)x = 3(1-cos t)

Aplikasi Diferensiasi. Setelah mempelajari tentang konsep diferensiasi maka diferensiasi fungsi dapat diaplikasikan dalam banyak hal di antaranya:1. Menentukan harga limit dengan ketentuan LHospital2. Menentukan gradien garis singggung (m) pada titik pada grafik y = f(x)

m = y(x) = f(x)

3. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi y = f(x)

Ekstrim maksimumsyarat : y = 0 dan y< 0

Ekstrim minimumsyarat : y = 0 dan y>0

4. Menentukan titik belok grafik fungsi y = f(x)

syarat : y = 0

5. Menentukan fungsi naik atau fungsi turun dari grafik fungsi y = f(x)

Fungsi naik

syarat : y > 0

Fungsi turun

syarat : y < 0

6. Menentukan kecepatan dan percepatan Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak

Percepatan merupakan turunan pertama fungsi kecepatan

Contoh :Diketahui sebuah fungsi gerak vertikal ke atas h = 20t 5t2. Dengan h menyatakan tinggi (m) dan t menyatakan waktu (sekon). Tentukan :a. kecepatan pada saat t = 3 s

b. tinggi maksimum

Jawab :

a. v = = 20 -10.t ( v(3) = 20 -10.3 = -10 m/s

b. syarat h maksimum : h = 0 20-10t = 0 ( t = 2 s

hmaks = 20(2) 5(2)2 = 320 mLatihan :1. Jika f(x) = 6x3 + 5x2 + x +8 tentukan f(0)

2. Tentukan gradien fungsi di bawah ini di pusat koordinat :

y =

y = (X-3)23. Tentukan titik ekstrim fungsi y = x3 -3x +1 dan tentukan jenisnya?

4. Jika f(x) = 5x2 + -1/2 maka tentukan f(x)?

5. Tentukan persamaan garis normal y = di titik (2,3) dan persamaan garis singgung di x= 1?

6. Tentukan persamaan garis singgung y = 2x2 2x +3 di titik (1,3)7. Tentukan persamaan gradien grafik y = di titik (1,0)

INTEGRALIntegral Baku. Integrasi merupakan kebalikan dari diferensiasi. Bentuk umum :

Y =

dinamakan integral tak tentu dari fungsi f(x). Dinamakan tak tentu karena tidak memiliki bata-batas pengintegrasian tertentu. Dibawah ini merupakan ringkasan rumus integral baku yang sering digunakan :

=

= ln x + c

= ex + c

= + c

= + c

= -cos x + c

= sin x + c

= tg x + c

= -cotg x + c

= cosh x +c

= sinh x + c = arc sin x + c = - arc cos x + c

= arc tg x + c

= - arc cotg x + c

= arc sinh x + c

= arc cosh x + c

= arc tgh x + c

Latihan :

1. =

2. =

3. dx =

4. =

5. =

6. =

Integral Substitusi. Pada permasalahan integral terkadang ditemukan turunan fungsi yang satu merupakan fungsi yang lain. Ini dinamakan integral substitusi. Bentuk umum :

dan .

Contoh 1: (pembagian)

= = ln ( x2 + 3x 5) + cDari contoh tersebut diketahui bahwa pembilang merupakan turunan penyebut. Inilah yang disebut bentuk integral substitusi pembagian.

Latihan :

1. = 2. =3. =4. =

Contoh 2 : (perkalian)

=

= + cDari contoh tersebut diketahui bahwa fungsi yang satu merupakan turunan fungsi yang lain. Inilah yang disebut bentuk integral substitusi perkalian.

Latihan :1. =

2. =3. =4. =

Integral Parsial. Jika integral perkalian fungsi tetapi masing-masing fungsi bukan merupakan diferensial fungsi yang lain maka proses integral dilakukan perbagian. Ini dinamakan integral parsial.

Bentuk umum :

= uv -

Contoh :

= ............

dipilih u = ln x sehingga du = 1/x dx dan dv = x2 dx sehingga v = =

= ln x. - = + c

Latihan :

1. =

2. =3. =

4. =

Integrasi dengan Pecahan Parsial. Integral yang melibatkan pembagian fungsi yang kompleks dapat dikerjakan dengan mengubah kebentuk pecahan parsial yang lebih sederhana. Ketentuan yang harus diingat dalam pecahan parsial :

1. Derajat pembilang harus lebih rendah dari penyebut.2. Faktorkan penyebut karena dari sini akan ditentukan bentuk pecahan parsial.

Faktor (ax + b) pecahan parsial

Faktor (ax + b)2 pecahan parsial

Faktor (ax + b)3 pecahan parsial

Faktor (ax2+bx+c)pecahan parsial

Contoh :

= ............

= = +

selanjutnya dengan menyamakan ruas kiri dan kanan diperoleh A= -2 dan B = 3 maka diperoleh :

= +

= -

= ln (x-2) ln (x-1) + c

Latihan :

1. =2. dx =3. =4. =

Integrasi fungsi trigonometri. Integral dari fungsi trigonometri terkadang melibatkan identitas fungsi trigonometri.sin2 x + cos 2 x =1

cos 2x = cos2 x sin2 x

cos 2x = 2 cos2 x -1

cos 2x = 1 2 sin2 x1 + tg2 x = sec2 x1 + ctg2 x = cosec2 x

sec x = cosec x =

Contoh :

= =

Latihan :

1. =

2. =3. =

4. =

Apabila integrasi trigonometri melibatkan perkalian fungsi trigonometri maka hubungan identitas trigonometri di bawah ini harus diperhatikan.

2 sin A cos B = sin (A+B) + cos (A-B)

2 cos A sin B = sin (A+B) cos (A-B) 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos (A-B)

2 sin A sin B = cos (A-B)-cos (A+B)Contoh :

= 1/2

= 1/2

= 1/2+cLatihan :1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7.

8. =9. =

10. =11. =

12. =

13. =

14. =

PENERAPAN INTEGRAL

Integral Tertentu. Integral yang telah dibahas sejauh ini merupakan integral tak tentu. Dikatakan demikian karena tidak memiliki batas integrasi. Integral dengan batas atas dan batas bawah dinamakan integtral tertentu. Bentuk umum : . Huruf a dan b menyatakan batas atas dan batas bawah integrasi.

Luas Kurva. Luas kurva dapat dihitung dengan metode integrasi tertentu (berbatas) asal diketahui fungsi dari kurva yang bersangkutan serta nilai batas atas dan batas bawah. Langkah menghitung integral berbatas :

Prosedur penghitungan integral berbatas:1) Intrgrasikan fungsi dan tuliskan hasilnya alam notasi kurung siku dengan batas integral di ujung kanan

2) Substitusikan batas atas 3) Asubstitusikan batas bawah4) Kurangkan hasil pertama dengan hsil kedua

Contoh :

= 4 = 2 (e-e-2) = 5,166

Latihan :

1. =2. =

3. =4. =5. =

6. =

Luas kurva yang dibatasi f(x) yang berada di bawah sumbu x =0 yang dihitung dengan metode integral berbatas akan bertanda minus. Ini akan rancu bila ada sebagian luasan yang berada di bawah sumbu dan diatas sumbu x=0.

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 -6x +5 ,sumbu x mulai dari x=1 dan x=3?Jawab :

Luas = = = = -5 1/3 satuan

Tanda minus meyatakan bahwa luas daerah yang dihitung berada di bawah sumbu x = 0. Silahkan Anda coba dengan membalik batas integrasi....

Latihan :

1. Hitunglah luas grafik yang dibatasi kurva y=sin x dengan batas x = 0 rad dan x = rad?

2. Hitunglah luas kurva yang dibatasi kurva y= sin x dengan batas x = rad dan x = 2 rad?

3. Hitunglah luas kurva yang dibatasi kurva y= sin x dengan batas x = 0 rad dan x = 2 rad?

Persamaan Parametrik. Persamaan parametrik merupakan persamaan dimana baik y maupun x merupakan fungsi variabel lain yang dinamakan parameter. Langkah pengintegrasian persamaan parametrik adalah :Prosedur Integrasi :

1) Nyatakan x dan y dalam persamaan parametrik

2) Ubah variable yang bersesuaian

3) Sisipkan batas-atas parameter

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva dengan persamaan parametrik x = at2 y = 2at t = 1 dan t=2?Jawab :

x = at2 ; ; dx = 2at dtLuas = = = = =

Latihan :

1. Jika x = a sin t dan y = b co t tentukan luas daerah dibawah kurva tersebut antara t = 0 dan t = phi?

2. Jika x = t sin t dan y = 1 cos t tentukan luas dibawah kurva di antara t = 0 dan t = phi?

Nilai rerata (mean). Untuk menghitung nilai rerata fungsi f(x) di antara x = a dan x = b dapat dilakukan dengan membagi luasan daerah tersebut dengan selisih b dan a.Contoh :

Tentukan mean dari y = 3x2 + 4x + 1 di antara x=-1 dan x=2?Jawab :

Mean = = = 6

Harga RMS. Harga RMS menyatakan akar dari kuadrat y rata-rata di antara batas-batas tertentu. Dalam bahasa Inggris dinyatakan sebagai harga Root Mean Square.

Contoh :

Tentukan rms dari y = x2+3 di antara x=3 dan x=3?

Jawab :

(rms)2 = = = 59,2jadi rms =

Latihan :

1) Tentukan mean dari y = 3 sin 5t + 2 cos 3t di antara t = 0 dan t = phi?

2) Tentukan harga rms dari y =- 400 sin 200t di antara t =0 dan t = 0.01

Volume Benda Putar. Jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x) sumbu x dan x = a dan x = b diputarkan penuh terhadap sumbu x maka akan diperoleh volume benda putar terhadap sumbu x. Demikian pula jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x) sumbu x dan x = a dan x = b diputarkan penuh terhadap sumbu y maka akan diperoleh volume benda putar terhadap sumbu y.Rumus untuk menghitung volume benda putar (sumbu x): V = .

Rumus untuk menghitung volume benda putar (sumbu y):

V =

Contoh :

Carilah volume benda putar yang dibatasi y = 5 cos 2x sumbu x dan ordinat pada x=0 dan x = phi diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu x?Jawab :

V = = 25 = 25 =

Latihan :

1) Diketahui persamaan parametrik kurva adalah x=3t2;y=3t-t2. Hitunglah volume benda putar terhadap sumbu x yang dibatasi oleh kurva, sumbu x dan ordinat yang berkaitan dengan t=0 dan t=2?2) Carilah volume benda yang terjadi bila bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y=x2+5 sumbu x dan ordinat pada x=1 dan x=3 diputar satu putaran penuh terhadap sumbu y?

Sentroid. Posisi sentroid merupakan posi koordinat kartesius (x,y) yang menggambarkan titik berat luasan benda yang dibatasi sumbu x, kurva serta ordinat yang berkaitan dengan x= a dan x= b. Rumus untuk menghitung koordinat sentroid:x = y =

Pusat Gravitasi. Analog dengan sentroid untuk mencari pusat gravitasi suatu benda yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = f(x) sumbu x dan ordinat pada x=a dan x=b diputar mengelilingi sumbu x dengan rumus : x = ; y = 0.

Contoh :

Tentukan pusat gravitasi dari benda yang trentuk jika bidang yang dibatasi oleh kurva x2+y2 = 16, sumbu x dan ordinat pada x=1 dan x=3 diputar poros sumbu x?

Jawab:

= = = 44

= = 23 1/3 x = ( jadi koordinat pusat gravitasi (1,89;0)

Panjang kurva. Jika diketahui sebuah fungsi f(x) maka dapat dihitung panjang kurva mulai dari ordinat x =a sampai dengan ordinat x=b. Rumus untuk menghitung panjang kurva : s = .

Contoh :

Tentukan panjang kurva y2 = x3 di antara x = 0. dan x =4 ?Jawab :

( 1 + = 1 +

s = = 9,07 satuan

Persamaan Parametrik. Untuk menghitung panjang kurva persamaan parametrik maka dapat dihitung dengan rumusan :s =

Latihan :

1) Tentukan posisi sentroid dari gambar yang dibatasi oleh y = e2x sumbu x, sumbu y dan ordinat pada x = 2?

2) Tentukan posisi sentroid dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = 5 sin 2x sumbu x dan ordinat pada x = 0 dan x = phi/6?

3) Tentukan pusat gravitasi benda yang terbentuk oleh kurva y=sin x sumbu x dan ordinat pada sumbu x=0 dan x = phi radian diputar dengan poros sumbu x?4) Tentukan panjang kurva y = 10 cosh di antara x= -1 dan x=2?

5) Tentukan panjang kurva persamaan parametrik x = 2cos3 t , y=2 sin3 t di antara titik-titik yang besesuaian pada t = 0 dan t = phi/2?

_1214798433.unknown

_1214807348.unknown

_1223872380.unknown

_1223884392.unknown

_1223960180.unknown

_1224056402.unknown

_1224057258.unknown

_1224057301.unknown

_1224057342.unknown

_1224057384.unknown

_1224057275.unknown

_1224056478.unknown

_1223963269.unknown

_1224056229.unknown

_1224056316.unknown

_1223963370.unknown

_1223966366.unknown

_1224056165.unknown

_1223964723.unknown

_1223963323.unknown

_1223961322.unknown

_1223963222.unknown

_1223961269.unknown

_1223960000.unknown

_1223960098.unknown

_1223960150.unknown

_1223960041.unknown

_1223893218.unknown

_1223959658.unknown

_1223893011.unknown

_1223876494.unknown

_1223880459.unknown

_1223880887.unknown

_1223882656.unknown

_1223883426.unknown

_1223883479.unknown

_1223883344.unknown

_1223880954.unknown

_1223880853.unknown

_1223876612.unknown

_1223880404.unknown

_1223876530.unknown

_1223873411.unknown

_1223876406.unknown

_1223876454.unknown

_1223876311.unknown

_1223873311.unknown

_1223873353.unknown

_1223872504.unknown

_1223712852.unknown

_1223794818.unknown

_1223872008.unknown

_1223872145.unknown

_1223872366.unknown

_1223872052.unknown

_1223812265.unknown

_1223812331.unknown

_1223797794.unknown

_1223794385.unknown

_1223794630.unknown

_1223794770.unknown

_1223794611.unknown

_1223793211.unknown

_1223793253.unknown

_1223713556.unknown

_1222749686.unknown

_1223712454.unknown

_1223712652.unknown

_1223712732.unknown

_1223712773.unknown

_1223712629.unknown

_1222839008.unknown

_1223698246.unknown

_1223712416.unknown

_1223697523.unknown

_1222839421.unknown

_1222750243.unknown

_1222838793.unknown

_1222750216.unknown

_1222665002.unknown

_1222667058.unknown

_1222667125.unknown

_1222749039.unknown

_1222665098.unknown

_1222665560.unknown

_1222665707.unknown

_1222665011.unknown

_1214807852.unknown

_1214813301.unknown

_1214816238.unknown

_1214818151.unknown

_1214818231.unknown

_1222664054.unknown

_1214818358.unknown

_1214818187.unknown

_1214817220.unknown

_1214815175.unknown

_1214815186.unknown

_1214813440.unknown

_1214813496.unknown

_1214813395.unknown

_1214811974.unknown

_1214813155.unknown

_1214813253.unknown

_1214808064.unknown

_1214809274.unknown

_1214807520.unknown

_1214807828.unknown

_1214807489.unknown

_1214799829.unknown

_1214801507.unknown

_1214801864.unknown

_1214802125.unknown

_1214803413.unknown

_1214803547.unknown

_1214806419.unknown

_1214803513.unknown

_1214803289.unknown

_1214802034.unknown

_1214802101.unknown

_1214802009.unknown

_1214801722.unknown

_1214801815.unknown

_1214801558.unknown

_1214800100.unknown

_1214800228.unknown

_1214800648.unknown

_1214800177.unknown

_1214799896.unknown

_1214799935.unknown

_1214799853.unknown

_1214799467.unknown

_1214799626.unknown

_1214799693.unknown

_1214799706.unknown

_1214799666.unknown

_1214799565.unknown

_1214798810.unknown

_1214799309.unknown

_1214799372.unknown

_1214799226.unknown

_1214798704.unknown

_1214798777.unknown

_1214798619.unknown

_1214793290.unknown

_1214796731.unknown

_1214798006.unknown

_1214798222.unknown

_1214798299.unknown

_1214798338.unknown

_1214798245.unknown

_1214798052.unknown

_1214797166.unknown

_1214797301.unknown

_1214797988.unknown

_1214797233.unknown

_1214796847.unknown

_1214797141.unknown

_1214796817.unknown

_1214794381.unknown

_1214796480.unknown

_1214796587.unknown

_1214796616.unknown

_1214796531.unknown

_1214794622.unknown

_1214794631.unknown

_1214794421.unknown

_1214793817.unknown

_1214793891.unknown

_1214793996.unknown

_1214793866.unknown

_1214793607.unknown

_1214793770.unknown

_1214793358.unknown

_1214785359.unknown

_1214788398.unknown

_1214792839.unknown

_1214793061.unknown

_1214793128.unknown

_1214792959.unknown

_1214792737.unknown

_1214792792.unknown

_1214788442.unknown

_1214791274.unknown

_1214788410.unknown

_1214787981.unknown

_1214788184.unknown

_1214788260.unknown

_1214788397.unknown

_1214788216.unknown

_1214788041.unknown

_1214786806.unknown

_1214787960.unknown

_1214785953.unknown

_1214783467.unknown

_1214784075.unknown

_1214784224.unknown

_1214784755.unknown

_1214784133.unknown

_1214783531.unknown

_1214783567.unknown

_1214783511.unknown

_1214783323.unknown

_1214783418.unknown

_1214783440.unknown

_1214783370.unknown

_1214783259.unknown

_1214783305.unknown

_1214783233.unknown

_1214779602.unknown