1

LIMIT FUNGSI

1. TUJUAN PEMBELAJARAN

KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MATERI1. Menjelaskan limit

fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya

menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan di tak hingga

menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga

menghitung limit fungsi trigonometri di satu titik

menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit

Limit Fungsi

2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.

menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar dan trigonometri

menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan

menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi

Limit Fungsi

2

2. PETA KONSEP

LIMIT FUNGSI

MENJELASKAN SECARA INTUINTIF ARTI LIMIT FUNGSI DI SUATU

TITIK & DI TAK HINGGA

MENGGUNAKAN SIFAT LIMIT FUNGSI UNTUK BENTUK TAK TENTU FUNGSI ALJABAR DAN

TRIGONOMETRI

Arti Limit Fungsi di 1 Titik Melalui

Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar Titik

Arti Limit Fungsi Tak Hingga

Menghitung Limit Fungsi Trigonometri

Menghitung Limit Fungsi

Aljabar

3

A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga

1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar

Titik Tersebut

Limit biasa disebut sebagai nilai pendekatan. Pengertian limit fungsi

di suatu titik dapat pula dipahami dengan cara menghitung nilai-nilai

fungsi disekitar titik yang ditinjau. Sebagai contoh diketahui fungsi

f : R → R yang ditentukan oleh f (x)=2x – 1. Jika variabel x diganti

dengan 3, maka f (3) = 2 ⋅ 3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati

f (x) jika variabel x mendekati 3?. Untuk menjawab persoalan ini

diperlukan tabel sebagai berikut:

x 1,5 2,5 2,85 2,99 …

f (x) 2 4 4,7 4,98 …

Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3,

maka nilai f ( x ) mendekati 5. Apakah nilai f (x) akan mendekati 5 jika x

lebih besar dari 3?. Untuk menjawabnya kita lihat tabel berikut ini:

x … 3,01 3,10 3,50 …

f (x) … 5,02 5,20 6,00 …

Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak lebih dari 3,

maka nilai f (x) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa fungsi

f (x)=2x – 1 mempunyai limit 5 untuk x mendekati 3 dan ditulis “jika

f (x)=2x – 1, maka 2 x−1=5.x →3lim ¿ ¿

1.1. Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan

sebagai berikut:

f ( x )=L ,x→ alim ¿ ¿ jika untuk x yang dekat dengan a (tetapi x≠ a)

maka berlaku f ( x ) dekat dengan L

4

1.2. Pengertian Limit Secara Matematis

f ( x )=L ,x→ alim ¿ ¿ berarti bahwa untuk setiap bilangan positif ε yang

diberikan (betapapun kecilnya), terdapat δ >0 sedemikian sehingga

jika 0<|x−a|<δ, maka berlaku |f ( x )−L|<ε

1.3. Pengertian Limit di tak hingga

Andaikan f terdefinisi pada ¿ untuk suatu bilangan c. Dikatakan

bahwa f ( x )=L .x→ ∞lim ¿ ¿ Jika untuk setiap ε>0 (ε positif ¿ terdapat

bilangan positif M, sedemikian sehingga apabila x>M , maka

|f ( x )−L|<ε

1.4. Bentuk Tak Tentu Suatu Limit

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan

tertentu, misalnya : .

Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai,

misalnya :

Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang,

misalnya :

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi

bentuk tertentu.

2. Sifat-Sifat Limit

Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang

mempunyai limit untuk x → a, a ∈ R maka berlaku:

5

Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh

soal berikut.

Contoh 1

Diketahui f ( x )=2 x−5 dan g ( x )=3 x2+4 x. Tentukan:

1. f ( x )+ g ( x )=…¿¿ ¿

2. [ f ( x )+g(x )]=…x →3

lim ¿ ¿

Penyelesaian 1

1. f ( x )+g ( x )= ¿¿¿ ¿¿

¿2.3−5+3.32+4.3

¿6−5+3.9+12

¿1+27+12=40

2. [ f ( x )+g(x )]= [ (2x−5 )+ (3 x2+4 x ) ]¿

¿¿

k=kx→ alim ¿ ¿

f (x)=f (a)x→ alim ¿ ¿

k . f ( x )=k f (x)¿¿ ¿

[ f ( x ) ± g ( x ) ]=f (x )± g(x )¿¿ ¿¿

[ f ( x ) . g ( x ) ]=f ( x ) . g(x )¿¿ ¿¿

f (x )g (x)

=f (x)x→ a

lim ¿

g (x)x → alim ¿

x → alim ¿¿ ¿¿,untuk g(x )≠ 0x→ a

lim ¿ ¿

{f ( x )}n={ f (x)}n¿¿ ¿

n√ f (x)=n√ f (x)x →a

lim ¿x →a

lim ¿ , f ( x)>0x →alim ¿¿ ¿ ¿

6

¿ (3 x2+6 x−5 )x →3lim ¿ ¿

¿3. 32+6.3−5=40

3. Limit Fungsi Tak Berhingga f (x)x→ ∞lim ¿ ¿

3.1. Pengertian.

Diketahui f(x) = 2x

. Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai

berikut:

x 1 2 3 … 10 … 100 …

f (x) 2 1 23

… 15

… 150

…

Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f(x) makin lama makin

kecil. Apabila x besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x

→ ∞ , maka nilai 2x akan mendekati nol, dikatakan limit dari 2x untuk

x mendekati tak berhingga adalah nol dan ditulis: 2x=0

x→ ∞

lim ¿ ¿

.

Limit fungsi yang berbentuk f (x )g (x)x→ ∞

lim ¿ ¿

dapat diselesaikan dengan

cara membagi bagian pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan

xn, n adalah pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x) untuk setiap n

bilangan positip dan a bilangan real, maka:

Kesimpulan dari f (x )g (x)x→ ∞

lim ¿ ¿

adalah sebagai berikut:

a xm+b xm−1+…+cp xn+q xn−1+…+r

=Lx→ ∞

lim ¿ ¿

Jika m<n , L=0 (kesimpulan 1)

Jika m=n ,L= ap

(kesimpulan 2)

Jika m>n , L=∞ (kesimpulan 3)

axn =0

x→ ∞

lim ¿ ¿

7

Contoh Soal dan penyelesaian 2.

1.x10−2 x8+3 x7

x12+12 x5−x2 =0x→ ∞

lim ¿ ¿

(kesimpulan 1)

2.2 x5+x4−7 x3

6 x5−2 x3−8 x2 =26x → ∞

lim ¿=13¿

(kesimpulan 2)

3.3 x7+6 x4−33 x6+7 x4−x3=∞

x→ ∞

lim ¿ ¿

(kesimpulan 3)

3.2. Menghitung Limit Tak Berhingga.

3.2.1.Membagi dengan Pangkat Tertinggi dari Penyebut ∞∞

Jika f ( x )= g(x )h(x) dan dengan disubtitusikan langsung didapat hasil

∞∞

(bentuk tak tentu) maka dapat diselesaikan dengan cara

membagi bagian pembilang g(x ) dan bagian penyebut h( x)

dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari g ( x ) atau h( x). n ≥ 1

Contoh Soal 3

1.x2−2 x+3

2 x2+5 x−3=…

x→ ∞

lim ¿ ¿

Penyelesaian 3

1. Jika soal di atas disubtitusikan langsung maka hasilnya adalah

∞∞

. Oleh karena itu, bentuk tersebut dibagi pangkat tertinggi

yaitu x2

x2−2x+32x2+5 x−3

=

x2−2 x+3x2

2x2+5 x−3

x2¿

¿

¿

¿1−2

x+ 3

x2

2+ 5x− 3

x2x →∞

lim ¿=1−0+02+0−0

¿

8

¿ 12

3.2.2.Mengalikan dengan Faktor Lawan/Sekawan (∞−∞)

Agar lebih mudah difaktorkan, maka bentuk akar dikalikan

dengan akar sekawannya (merasionalkan bentuk akar)

Contoh Soal 4

1. ¿¿

Penyelesaian 4

1. ¿¿

¿ (x+8−√x2−2 x+5 )¿¿

¿¿¿¿

¿ x2+16 x+64−x2+2x−5

x+8+√x2−2 x+5x→ ∞

lim ¿ ¿

¿ 18 x+59

x+8+√x2−2 x+5

.

1x1xx→ ∞

lim ¿ ¿

¿18+59

x

1+ 8x+√ x2

x2 −2xx2 + 5

x2

= 18+01+√1

x → ∞

lim ¿=182

=9¿

4. LATIHAN SOAL 1

1. Nilai ( (5 x−1 )−√25 x2+5 x−7)=…x→ ∞

lim ¿ ¿

A.32

B.23

C.12

9

D.−12

E.−32

(UAN 2010/2011 PAKET 39 IPS NO.29)

2. Nilai 4 x2+5 x−10

x2+7 x+2x → ∞

lim ¿=…¿

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

E. ∞ (UAN 2003/2004 E3-2 MatematikaTeknik Pertanian Paket 1 no 30)

3. Nilai (√4 x2+7 x+1−√4 x2−4 x+1 )x → ∞

lim ¿=…¿

A.34

B.74

C.72

D.114

E.112

(UAN 2007/2008 IPS no. 27)

4.7 x2−7 x−10

2−x2 =…x→ ∞

lim ¿ ¿

A. 7

B. -7

C. 6

D. -6

E. 5

B. Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu Fungsi Aljabar

dan Trigonometri

1. Limit Fungsi Aljabar

10

Untuk menyelesaikan f (x)x→ alim ¿ ¿ maka dapat dilakukan dengan cara

yang lebih cepat dengan menggunakan sifat sebagai berikut:

Jika f(a) = C, maka nilai f ( x)x → alim ¿=f ( a)=C .¿

Jika f(a) = C0

, maka nilai f (x)x→ a

lim ¿= c0=∞¿ ,

Jika f(a) = 0C

,maka nilai f (x)x →a

lim ¿= 0C

=0.¿

Jika f(a) = 00

, maka nilai f (x)x→ alim ¿ ¿ harus disederhanakan atau

ubahlah lebih dahulu bentuk f(x) hingga menjadi bentuk (1), (2),

atau (3).

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk f (x)x→ alim ¿ ¿ .

2.1. Metode Subtitusi Langsung

Nilai x=a langsung disubtitusikan ke dalam fungsi f ( x ) .

Contoh Soal 5

1. ( x2+2x−1 )=…x →1lim ¿ ¿

2. x2−1x−1

=…x →2

lim ¿ ¿

Penyelesaian 5.

1. ( x2+2 x−1 )= ¿x →1lim ¿ 12+2.1−1=2¿ ¿

2.x2−1x−1

=22−12−1

=31=3

x →2

lim ¿ ¿

2.2. Metode Pemfaktoran

Jika f ( x )= g(x )h(x)

dan dengan subtitusi langsung didapat hasil 00

,

bentuk g(x ) dan h( x) difaktorkan terlebih dahulu sehingga

mempunyai factor yang sama yang dapat disederhanakan sedemikian

11

sehingga f (x)≠00

. Selanjutnya perhitungan limit dapat dilakukan

dengan cara subtitusi.

Contoh Soal 6

1.x2−1x−1x→ 1

lim ¿=…¿

2.x2−9x−3

=…x →3

lim ¿ ¿

Penyelesaian 6

1. Jika soal tersebut disubtitusikan langsung maka hasilnya adalah

12−11−1

=00

maka kita gunakan metode pemfaktoran.

x2−1x−1x→ 1

lim ¿=( x−1) ( x+1 )

( x−1)x→1

lim ¿=¿¿ ¿

¿) = 1+1= 2

2. x2−9x−3

=( x−3 ) ( x+3 )

( x−3 )¿

¿

¿

¿ ( x+3 )=3+3=6x →3lim ¿ ¿

2.3. Merasionalkan bentuk akar.

Agar lebih mudah difaktorkan, maka bentuk akar dikalikan dengan

akar sekawannya (merasionalkan bentuk akar).

Contoh Soal 7

1. x

2−√4−x=…

x→ 0

lim ¿ ¿

2. x2−9

√x2+7−4=…

x →3

lim ¿ ¿

Penyelesaian 7

12

1.x

2−√4−x= x

2−√4−x.2+√4−x2+√4−x¿

¿

¿

¿x(2+√4−x)4−(4−x )

=x (2+√4−x )

x¿

¿

¿

¿ 2+(√4−x )=2+√4−0=4x→ 0lim ¿ ¿

2. x2−9

√x2+7−4= x2−9

√x2+7−4. √x2+7+4

√x2+7+4¿

¿

¿

¿(x2−9)√x2+7+4

( x2+7 )−16x →3

lim ¿ ¿

=(x2−9)√x2+7+4

( x2−9 )x →3

lim ¿= (√x2+7+4 )x→ 3

lim ¿¿¿

¿√(32+7)+4=8

3. Teorema Limit dan Limit Fungsi Trigonometri

Dalam menentukan limit suatu fungsi, diperlukan suatu metode yang

dapat memudahkan. Pada subbab ini disajikan beberapa teorema yang

sangat berguna untuk menyelesaikan masalah menentukan limit suatu

fungsi.

3.1. Beberapa Rumus Limit Fungsi Trigonometri

f (x)x→ alim ¿ ¿ dinamakan limit fungsi trigonometri jika fungsi f (x) pada

limit tersebut merupakan fungsi trigonometri.

sinxxx→ 0

lim ¿=1¿

atau xsinxx→ 0

lim ¿=1¿

tanxxx→ 0

lim ¿=1¿

atau xtanxx→ 0

lim ¿=1¿

sinaxbxx→ 0

lim ¿= axsinbx

=abx→ 0

lim ¿¿

¿

13

Contoh soal 8

1.sin x

sin 2 x=…

x→ 0

lim ¿ ¿

Penyelesaian 8

1.sin x

sin 2x= Sinx

2 sinx . cos x= 1

2 cosx= 1

2 cos 0= 1

2.1=1

2¿

¿

¿¿

4. Limit Fungsi ke Konsep Turunan.

Turunan fungsi f (x) di titik x=a dinyatakan dalam bentuk:

f ( a )= f (a+h )−f (a)hh→ 0

lim ¿=1¿

Contoh Soal 9

1. Tentukan Laju perubahan f ( x )=16 x2+2 x di x=2

Penyelesaian 9

f ( x )=16 x2+2 x

f ( x+h )=16¿

f ' ( x )= f ( x+h )−f (x )hh →0

lim ¿ ¿

sinxxx→ 0

lim ¿=1¿

atau xsinxx→ 0

lim ¿=1¿

tanxxx→ 0

lim ¿=1¿

atau xtanxx→ 0

lim ¿=1¿

sinaxbxx→ 0

lim ¿= axsinbx

=abx→ 0

lim ¿¿

¿

14

¿(16 x2+32 xh+16 h2+2 x+2 h )−(16 x2+2 x)

hh→ 0

lim ¿ ¿

¿ 32 xh+16 h2+2hh

=h(32 x+16 h+2)

h¿

¿

¿

¿ (32 x+16 h+2 )=32 x+2h→ 0lim ¿ ¿

f ' ( x )=32 x+2

f ' (2 )=32.2+2=66

5. LATIHAN SOAL 2

1. Nilai 3 x2−14 x+8

x2−3 x−4x → 4

lim ¿=…¿

A. 4

B. 2

C.12

D. -2

E. -4 (UAN 2010/2011 paket 25 IPS no.28)

2. Nilai x2−x−2x2−2 xx→ 2

lim ¿=…¿

A. 5

B. -3

C. 212

D. 112

E. 1 (UAN 2007/2008 IPS no.26)

3. Nilai 1−cos2 x2 x . sin2 x

=…x→ 0

lim ¿ ¿

A.18

B.16

C.14

y

f(a)

f(x)

xa

)()(lim afxfax

1.

15

D.12

E. 1 (UAN 2010/2011 IPA paket 12 no.11)

4. Nilai ( sin 4 x−sin 2x6 x )

x → 0

lim ¿=…¿

A. 1

B.23

C.12

D.13

E.16

(UAN 2009/2010 Matematika D10 P12 IPA no. 29)

C. Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

1. Pengertian.

Suatu fungsi f (x) dikatakan kontinu di titik ¿a , jika dipenuhi syarat-

syarat berikut:

f ( a ) terdefinisi atau f (a) ada

¿x →alim ¿ f (x)¿ ada

x → alim ¿ f ( x )=f (a)¿

Jika satu atau lebih syarat di atas tidak dipenuhi, f (x) dikatakan tidak

kontinu di titikx=a (diskontinu). Fungsi f (x) yang kontinu di setiap titik

disebut fungsi kontinu.

Perhatikan gambar berikut :

y

f(a)

f(x)

xa

lim ( )x a

f x

2.

lim ( )x a

f x

y

f(a)

f(x)

x

a

3.

16

Contoh Soal 10

1. Diketahui fungsi f ( x )=x2−x . Apakah f ( x ) kontinu pada x=1 ?

Penyelesaian 10

Syarat-syarat kontinuitas fungsi f ( x )=x2−x pada x=1 diperiksa sebagai

berikut:

1. (1 )=12−1=0 , f (1 ) ada

2. f ( x )=( x2−x )=¿¿¿, f (x)x→ 0lim ¿ ¿ ada

3. Berdasarkan perhitungan di atas jelas bahwa f (x)x →0lim ¿=f ( 1)=0¿

Jadi, fungsi f ( x )=x2−x kontinu pada x=1

2. Latihan Soal 3.

17

1. Selidiki apakah fungsi

f ( x )={ x2−4

x−2, untuk x ¹2

4 , untuk x=2 kontinu di x = 2

18

DAFTAR PUSTAKA

Soal Ujian Nasional Tahun 2003/2004 E3-2 Matematika Teknik

Pertanian Paket 1

Soal Ujian Nasional Tahun 2004/2005 IPA P1.

Soal Ujian Nasional Tahun 2007/2008 IPS.

Soal Ujian Nasional Tahun 2009/2010 P12 IPA.

Soal Ujian Nasional Tahun 2010/2011 Paket 12 IPA.

Soal Ujian Nasional Tahun 2010/2011 paket 39 IPS.

Tim Penyusun. 2004. Matematika 2b Kelas 2 SMA Semester 2. Klaten:

PT Intan Pariwara.

Waluyo, Slamet., dkk. 2008. Matematika 2 SMA/MA Program Ilmu

Pengetahuan Alam. Jakarta: Bumi Aksara.

Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI

Semester 2 Program IPA. Jakarta: PT Erlangga.

19

LAMPIRAN/KUNCI JAWABAN

Kunci Jawaban Latihan Soal 1. (halaman7)

1. ( (5 x−1 )−√25 x2+5 x−7)=…x→ ∞

lim ¿ ¿

= √√ (5 x−1 )2−√25 x2+5 x−7x→ ∞

lim ¿ ¿

= √√25 x2−10 x+1−√25 x2+5 x−7x→ ∞

lim ¿ ¿

=

(√√25 x2−10 x+1−√25 x2+5 x−7)(√√25 x2−10 x+1+√25 x2+5 x−7

√√25 x2−10 x+1+√25 x2+5 x−7 )x→ ∞

lim ¿ ¿

=(25 x2−10+1 )−(25 x2+5 x−7 )√25 x2−10 x+1+√25 x2+5 x−7x→ ∞

lim ¿ ¿

=

−15 x+8

(x √25−10x

+1

x2 +√25+5x−

7

x2 )x→ ∞

lim ¿ ¿

=

−15 x+ 8x

(√25−10x

+1

x2 +√25+5x−

7

x2 )x→ ∞

lim ¿ ¿

=−15+0

√25−0−0+√25−0−0=−15

10=−3

2 (Jawaban E)

2.4 x2+5 x−10

x2+7 x+2x → ∞

lim ¿=…¿

=

4 x2

x2 +5 xx2 −10

x2

x2

x2+7 x

x2− 2

x2x→ ∞

lim ¿=4+ 5

x−10

x2

1+7x− 2

x2

= ¿x→ ∞

lim ¿ 4 +0−01+0−0

=4¿¿ ¿

(Jawaban A)

3. (√4 x2+7 x+1−√4 x2−4 x+1 )x → ∞

lim ¿=…¿

= (√4 x2+7 x+1−√4 x2−4 x+1 )x →∞

lim ¿ .(√4x2+7 x+1+√4 x2−4 x+1)(√4x2+7 x+1+√4 x2−4 x+1)

¿

20

=( 4 x2+7 x+1 )−(4 x2−4 x+1 )

(√4 x2+7 x+1+√4 x2−4 x+1 )= 11 x

(√4 x2+7 x+1+√4 x2−4 x+1 )¿

¿

¿

ingat x=√ x2

=

11 xx

(√ 4 x2+7 x+1x2 +√ 4 x2−4 x+1

x2 )=

11

√4+ 7x+ 1

x2 +√4−4x+ 1

x2¿

¿

¿

=11

√4+√4=11

4 (Jawaban D)

4.7 x2−7 x−10

2−x2 =

7 x2

x2 −7 xx2 −10

x2

2

x2− x2

x2

=7−7

x−10

x2

2x2−1

¿

¿

¿¿

=7−0−0

0−1= 7

−1=−7 (Jawaban B)

Kunci Jawaban Latihan 2. (halaman 13)

1.3 x2−14 x+8

x2−3 x−4x → 4

lim ¿=(3 x−2 )( x−4 )( x−4 ) ( x+1)

= 3 x−2x+1¿

¿

¿¿

=3.4−24+1

=105

=2 (Jawaban B)

2.x2−x−2x2−2 xx → 2

lim ¿= 2 x−12 x−2

=2.2−12.2−2

=32x→ 2

lim ¿¿

¿ (Jawaban D)

3. 1−cos2 x2 x . sin2 x

=1−(1−2sin2 x )

2x . sin 2 x= 2sin2 x

2 x . sin 2 x= ¿¿

¿ ¿¿¿

=sinx

xsinx

sin2 x=1.

12=1

2x→ 0

lim ¿ ¿

(Jawaban D)

4. ( sin 4 x−sin 2x6 x )

x→ 0

lim ¿= ( sinx6 x

+ sin5 x6 x )

x→ 0

lim ¿¿

¿

=x →0

lim ¿ sinx6 x

+ x→ 0

lim ¿ sin 5x6 x

=16+5

6=1¿

¿

21

(Jawaban B)

Kunci Jawaban Latihan 3 (halaman 15)

1. Syarat Kontinu ada 3.

1) f(1) = 4 (terdefinisi)

2)limx→1

f ( x )= limx→ 1

x 3−1

x−1= lim

x→1

(x−1)( x2+ x+1 )

x−1= lim

x→1( x2 +x+1 )=12+1+1=3

(terdefinisi)

3)limx→1

f ( x )≠ f (1), berarti f(x) diskontinu di x = 1

"LIMIT FUNGSI”

TELAAH KURIKULUM SEKOLAH MENENGAH

Dosen Pembimbing : Drs. Pancahadi Siswasusila, M.Si

Nama Kelompok:

1. Dedi Hariyanto (105.532)2. Reski Dwi A (105.481)3. Melda Verdiana (105.579)4. Siti Ruqoiyah (105.599)

22

5. Ayu Rosida (105.695)6. Andik Koswanto (105.707)

Pendidikan Matematika 2010/E

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

JOMBANG

2012/2013

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT

yang telah memberikan petunjuk, kasih, dan karuniaNya sehingga penulis

dapat menyelesaikan tugas makalah ini. Sholawat dan salam penulis lantunkan

kepada Baginda Rasulullah Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat, dan

para pengikut syariatnya.

Makalah yang berjudul "Limit Fungsi”, Ini disusun sebagai syarat

untuk menyelesaikan mata kuliah Telaah Kurikulum Sekolah Menengah serta

sebagai sumber belajar siswa Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah

khususnyadalam bidang Kalkulus: Limit Fungsi.

Banyak pihak telah membantu dan membimbing penulis dalam

menyelesaikan tugas akhir ini. Pada kesempatan yang baik ini penulis ingin

menyampaikan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada :

1. Drs. Pancahadi Siswasusila, M.Si. Selaku dosen pembimbing mata kuliah

Telaah Kurikulum Sekolah Menengah,

2. Kedua orang tua yang senantiasa memberi semangat kepada kami,

3. Serta teman-teman yang telah mendukung kami, dan

ii

23

4. Serta semua pihak yang telah membantu terselesainya makalah ini.

Penulis sadar bahwa makalah ini sangatlah jauh dari sempurna. Oleh

karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun, sehingga

makalah ini dapat mendekati sempurna. Tidak lupa penulis mohon maaf atas

semua kekeliruan dan kekhilafan selama penulis menyelesaikan makalah ini.

Semoga makalah ini bisa memberi kebaikan dan kemanfaatan bagi kita semua.

Jombang, 26 April 2012,

Penulis.

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ………………………………………………………….. ii

Daftar Isi ………………………………………………………………… iii

Tujuan Pembelajaran …………………………………………………… 1

Peta Konsep ……………………………………………………………… 2

A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ……….. 3

1. Limit Fungsi di Satu titik …........................................................ 3

1.1. Pengertian Limit di Satu Titik …………………………….. 3

1.2. Pengertian Limit Secara Matematis ………………………. 4

1.3. Pengertian Limit di Tak Hingga …………………………… 4

1.4. Bentuk Tak Tentu Suatu Limit ……………………………. 4

2. Sifat-Sifat Limit …………………………….…………………… 4

3. Limit Fungsi Tak Berhingga ……..…………………………….. 6

3.1. Pengertian …………………………………………………. 6

3.2. Menghitung Limit Tak Berhingga ………………………... 7

3.2.1. Membagi Dengan pangkat Tertinggi ……………..… 7

3.2.2. Mengalikan Faktor Lawan ………………………..… 7

4. Latihan Soal 1 ………………………………………………..…. 8

B. Menghitung Bentuk Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri ……… 9

1. Limit Fungsi Aljabar …………………………….……………… 9

iii

24

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bentuk Berhingga ……….…. 9

2.1. Metode Subtitusi Langsung ……………………………… 9

2.2. Metode Pemfaktoran ……………………………..……… 10

2.3. Merasionalkan Bentuk Akar …………………….……….. 10

3. Teorema Limit dan Limit fungsi Trigonometri ………….………. 11

3.1. Berapa Rumus Limit Fungsi Trigonometri ……………….. 12

4. Limit Fungsi Ke Konsep Turunan ……….……………………… 12

5. Latihan Soal 2 …………….……………….…………………….. 13

C. Kekontinuan dan Diskontinu Fungsi ………….…………………… 14

1. Pengertian ……………………………………………………… 14

2. Latihan Soal 3 ………………………………………………….. 15

Daftar Pustaka …………………………….…………………………….. 16

Lampiran/Kunci Jawaban ...................................................................... 17