LIMIT FUNGSI

Standar Kompetensi :

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik

2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar

Indikator :

Menjelaskan arti limit fungsi aljabar di suatu titik

Menjelaskan arti bentuk tak tentu pada hasil limit

Menghitung limit fungsi aljabar

Menghitung limit fungsi menggunakan teorema limit

Menghitung limit fungsi trigonometri sederhana

Materi Pokok Pembelajaran :

A. Limit Fungsi Aljabar

1. Pengertian

Notasi : limx→c

f (x )=L

( baca : limit x mendekati c f (x) sama dengan L )

Artinya bahwa untuk x mendekati c nilai f (x) mendekati L.

Pemahaman yang mudah untuk limit adalah mencari nilai substitusi konstanta tertentu

terhadap fungsi f (x). Kemudian jika dengan substitusi menghasilkan bentuk tak

tentu, maka secara aljabar terdapat metode-metode tertentu untuk menyelesaikan

persoalan limit tersebut.

Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah : 00

, dan −

Contoh 1

Hitung :

a. limx→1

(2 x+3)

b. limx→−2

(x2−x−6)

c. limx→4

x+5x−1

d. limx→−3

x+3

x2+2 x−3

Jawab :

a. limx→1

(2 x+3)

= 2.1+3

= 2+3

= 5

b. limx→−2

x2−x−6

= ¿

= 4+2−6

= 0

c. limx→4

x+5x−1

= 4+54−1

= 93

= 3

d. limx→−3

x+3

x2+2 x−3

= −3+3

(−3)2+2(−3)−3

= 0

9−6−3

= 00

, bentuk tak tentu

Dikerjakan sebagai berikut :

limx→−3

x+3

x2+2 x−3

= limx→−3

x+3(x−1)(x+3)

= limx→−3

1x−1

= 1

−3−1

= −14

Soal-soal Latihan 1

Hitung :

a. limx→13

(x−10)

b. limx→2

(2 x2−x−3)

c. limx→−1

2x+5−3 x−1

d. limx→ 4

x−4

x2+2x−24

2. Ketentuan-ketentuan :

a. Jika f (c )=L, dengan Lkonstanta maka limx→c

f (x )=L

b. Jika f (c )=0L

, maka limx→c

f (x )=0

c. Jika f (c )=± L0

, maka limx→c

f (x )=±

d. Jika f (c )=00atau atau − ( tak tentu), maka penyelesaian limit dikerjakan

dengan metode tertentu

Contoh 2 :

Tentukan hasilnya :

a. limx→10

(x−8)

b. limx→5

2 x−103 x

c. limx→0

3 x+7x

d. limx→−2

4 x3 x+6

Jawab :

a. limx→10

(x−8)

= 10−8

= 2

b. limx→5

2 x−103 x

= 2.5−10

3.5

= 10−10

15

= 0

15

= 0

c. limx→0

3 x+7x

= 3.0+7

0

= 70

= +

d. limx→−2

4 x3 x+6

= 4 (−2)

3(−2)+6

= −8

−6+6

= −80

= −

Soal-soal Latihan 2

Tentukan hasilnya :

a. limx→−7

(6−2 x)

b. limx→1

3 x−38 x

c. limx→0

x+152 x

d. limx→−4

2xx+6

3. Bentuk –bentuk limit fungsi aljabar dan penyelesaiannya

a. Limit fungsi rasional, penyelesaiannya dengan faktorisasi.

Contoh 3 :

Hitung :

a. limx→6

2x−12

x2−8 x+12

b. limx→−4

x2−163 x+12

c. limx→3

x2−8 x+15x2−9

d. limx→

12

10 x−5

2 x2+5 x−3

Jawab :

a. limx→6

2x−12

x2−8 x+12

= limx→6

2(x−6)(x−6)(x−2)

= limx→6

2(x−2)

= 2

6−2

= 24

= 12

b. limx→−4

x2−163 x+12

= limx→−4

(x+4)(x−4)3(x+4)

= limx→−4

x−43

= −4−4

3

= −83

c. limx→3

x2−8 x+15x2−9

= limx→3

(x−3)(x−5)(x+3)(x−3)

= limx→3

x−5x+3

= 3−53+3

= −26

= −13

d. limx→

12

10 x−5

2 x2+5 x−3

= limx→ 1

2

5(2 x−1)(x+3)(2x−1)

= limx→

12

5x+3

= 5

12+3

= 572

= 107

Soal-soal Latihan 3

Hitung :

a. limx→3

x−3

x2−x−4

b. limx→4

x2−2 x−82x−8

c. limx→−3

x2+5 x+15x2−9

d. limx→

13

6 x−2

3 x2−x

b. Limit fungsi rasional yang memuat tanda akar, penyelesaiannya dengan

mengalikan sekawannya.

Contoh 4

a. limx→1

x−1

√5 x−1−2

b. limx→2

√4 x+1−32x−4

c. limx→3

√3 x−√ x+6√2 x−5−1

d. limx→−1

2−√x+5√5−4 x−3

Jawab :

a. limx→1

x−1

√5 x−1−2

= limx→1

(x−1)(√5 x−1−2)

.(√5 x−1+2)(√5 x−1+2)

= limx→1

(x−1)(√5 x−1+2)5 x−1−4

= limx→1

(x−1)(√5 x−1+2)5 x−5

= limx→1

(x−1)(√5 x−1+2)5(x−1)

= limx→1

(√5 x−1+2)5

= √5.1−1+25

= 45

b. limx→2

√4 x+1−32x−4

= limx→2

(√4 x+1−3)(2 x−4 )

.(√4 x+1+3)(√4 x+1+3)

= limx→2

4 x+1−92(x−2)(√4 x+1+3)

= limx→2

4 x−82(x−2)(√4 x+1+3)

= limx→2

4 (x−2)2(x−2)(√4 x+1+3)

= limx→2

2(√4 x+1+3)

= 2

√4.2+1+3

= 26

= 13

c. limx→3

√3 x−√ x+6√2 x−5−1

= limx→3

¿¿¿. ¿¿.(√2 x−5+1)(√3 x+√x+6)

= limx→3

(3 x−(x+6))(2x−5−1)

.(√2 x−5+1)(√3 x+√x+6)

= limx→3

(2x−6)(2x−6)

.(√2 x−5+1)(√3 x+√x+6)

= limx→3

(√2x−5+1)(√3x+√ x+6)

= (√2.3−5+1)(√3.3+√3+6)

= 1+13+3

= 13

d. limx→−1

2−√x+5√5−4 x−3

= limx→−1

¿¿¿.¿¿

= limx→−1

(4−(x+5))(5−4 x−9)

.(√5−4 x+3)(2+√ x+5)

= limx→−1

(−x−1)(−4 x−4 )

(√5−4 x+3)(2+√x+5)

= limx→−1

−(x+1)−4 (x+1)

.(√5−4 x+3)(2+√x+5)

= limx→−1

(√5−4 x+3)4 (2+√ x+5)

= √5−4 (−1)+34¿¿

= 3+3

4 (2+2)

= 6

16

= 38

Soal-soal Latihan 4

a. limx→1

x−1

√5 x−1−2

b. limx→2

√4 x+1−32x−4

c. limx→3

√3 x−√ x+6√2 x−5−1

d. limx→−1

2−√x+5√5−4 x−3

4. Limit di tak berhingga

Limit fungsi di tak berhingga dinotasikan : limx→f (x ).

Ketentuan-ketentuan pengerjaan persoalan limit fungsi di tak berhingga adalah

sebagai berikut :

a. Jika bentuk fungsi rasional maka nilai limx→

f (x)g(x ) diperoleh dengan pangkat

tertinggi pembilang atau penyebut

b. Jika bentuk fungsi adalah pengurangan bentuk akar maka nilai limx→

√ f (x )−√g (x)

diperoleh dengan mengalikan bentuk √ f (x )+√g( x)√ f (x )+√g( x)

Contoh 5

Hitung :

a. limx→

x+1

x2−x−1

b. limx→

2 x2+x−33 x−4

c. limx→

x2−x−63 x2+1

d. limx→

(3 x+1)(2 x−4 )(2 x−1)2

Jawab :

a. limx→

x+1

x2−x−1 ( pangkat tertinggi x2)

¿ limx→

x

x2+ 1

x2

x2

x2−xx2−

1x2

¿ limx

1x+ 1

x2

1−1x− 1x2

¿

1+ 12

1−1− 12

¿ 0+01−0−0

¿ 01

¿0

b. limx→

2 x2+x−33 x−4

( pangkat tertinggi x2¿

¿ limx→

2x2

x2 + xx2 −

3x2

3 xx2 − 4

x2

¿ limx→

2+ 1x− 3

x2

3x− 4x2

¿2+ 1x− 3

x2

3x− 4x2

¿ 2+0−00−0

¿ 20

¿+

c. limx→

x2−x−63 x2+1

¿ limx→

x2

x2−xx2−

6x2

3 x2

x2+ 1

x2

¿ limx→

1−1x− 6

x2

3+ 1x2

¿1−1− 6

2

3+ 12

¿ 1−0−03+0

¿ 13

d. limx→

(3 x+1)(2 x−4 )(2 x−1)2

¿ limx→

6 x2−10 x−44 x2−4 x+1

¿ limx→

6 x2

x2 −10 xx2 − 4

x2

4 x2

x2−4 x

x2+ 1

x2

¿ limx→

6−10x

− 4

x2

4−4x+ 1x2

¿6−10− 4

2

4−4 + 12

¿ 6−0−04−0+0

¿ 64

¿ 32

Soal-soal latihan 5

a. limx→

6 x

2 x2−x

b. limx→

x2+x−24 x−3

c. limx→

x2−x−12x2−10 x

d. limx→

(2x+1)(3 x−1)(3x+1)2

Contoh 6

Tentukan hasilnya :

a. limx→

√x+1−√2 x−3

b. limx→

√2 x2+3x−1−√ x2−1

c. limx→

√x2−2 x−3−√x2−6 x+5

d. limx→

√(2 x+3)2−√4 x2−4 x

Jawab :

a. limx→

√x+1−√2 x−3

¿ limx→

(√ x+1−√2x−3) .(√ x+1+√2 x−3)(√ x+1+√2 x−3)

¿ limx→

x+1−(2 x−3)(√x+1+√2 x−3)

¿ limx→

−x+4(√x+1+√2 x−3)

( pangkat tertinggi adalah x )

¿ limx→

−xx

+ 4x

(√ xx2 +1x2 +√ 2 x

x2 − 3x2 )

¿ limx→

−1+ 4x

(√ 1x+ 1x2 +√ 2

x− 3x2 )

¿−1+ 4

(√ 1 + 12 +√ 2− 3

2 )

¿ −1+0

√0+0+√0−0

¿ −10

¿−

b. limx→

√2 x2+3x−1−√ x2−4 x

Gunakan ketentuan :

limx→

√ax2+bx+c−√ px2+qx+r

¿+ , jikaa>p

¿b−q2√a

, jikaa=p

¿− , jikaa< p

Maka :

limx→

√2 x2+3x−1−√ x2−4 x=+

c. limx→

√x2−2 x−3−√x2−6 x+5

¿ b−q2√a

¿−2−(−6)

2√1

¿ 42

¿2

d. limx→

√(2 x+3)2−√4 x2−4 x

¿ limx→

√4 x2+12x+9−√4 x2−4 x

¿12−(−4)

2√4

¿ 164

¿4

Soal-soal latihan 6

Tentukan hasilnya :

a. limx→

√2 x−1−√x+3

b. limx→

√x2+x−2−√3 x2−1

c. limx→

√x2−6 x+7−√ x2−10x

d. limx→

(3 x−4)−√9 x2−x+1

B. Teorema Limit

Untuk C ,kϵR ,nϵB dan f dangfungsi-fungsi yang memiliki limit di c, berlaku teorema-

teorema limit sebagai berikut :

1. limx→C

k=k

2. limx→C

x=C

3. limx→C

kf ( x)=k limx→C

f (x)

4. limx→C

( f (x )+g (x))=limx→C

f (x)+ limx→C

g(x )

5. limx→C

( f (x )−g(x ))= limx→C

f (x )−limx→C

g(x)

6. limx→C

( f (x ). g(x ))= limx→C

f (x ). limx→C

g (x)

7. limx→C

f (x)g (x)

=limx→C

f (x)

limx→C

g (x), asalkan lim

x→Cg(x )≠0

8. limx→C

¿¿¿

9. limx→C

n√ f (x )=n√ limx→C

f ( x) , asalkan limx→C

f (x)≥0

Contoh 7

Dengan menggunakan teorema limit carilah nilainya !

a. limx→3

3x+2 x2

b. limx→−2

2 x−1

√5+2 x

Jawab :

a. limx→3

3x+2 x2

= limx→3

3x+ limx→3

2x2 ( T.4 )

= 3 limx→3

x+2 limx→3

x2 ( T.3 )

= 3.3+2( limx→ 3

x)2 ( T.2 dan T.8 )

= 9+2.32 ( T.2 )

= 9+18

= 27

b. limx→−2

2 x−1

√5+2 x

= limx→−2

¿¿ ( T.7 )

=

limx→−2

2 x− limx→−2

1

√ limx→−2

(5+2 x ) ( T.5 dan T.9 )

= (2 lim

x→−2x)−1

√ limx→−2

5+ lim−2

2 x ( T.1, T.3, dan T.4 )

= 2.(−2)−1

√5+2 limx→−2

x ( T.1, T.2, dan T.3 )

= −4−1

√5+2(−2) ( T.2 )

= −5

√1

= −5

Soal-soal Latihan 7

Dengan menggunakan teorema limit carilah nilainya !

a. limx→1

3x2+4 x

b. limx→−3 √ 2−2 x

4 x+14

c. limx→5

( 4 x−8x+1

)3

d. limx→2

3√(13 x+13 x−5

)2

C. Limit Fungsi Trigonimetri

Rumus Dasar :

1. limx→0

sinxx

=1

2. limx→0

tanxx

=1

3. limx→0

xsinx

=1

4. limx→0

xtanx

=1

5. limx→0

cosx=1

6. limx→0

sinx=0

Rumus Pengembangan

1. limx→0

sinaxax

=1

2. limx→0

tanaxax

=1

3. limx→0

axsinax

=1

4. limx→0

axtanax

=1

5. limx→0

cosax=1

6. limx→0

sinax=0

Contoh 8

Hitung :

a. limx→0

sin 3 xsin 6 x

b. limx→0

tan 12xsin 2x

c. limx→0

1−cos2 x3 xsin2x

d. limx→0

tan2 xsin3xcos 5x−cosx

Jawab :

a. limx→0

sin 3 xsin 6 x

= limx→0

sin 3 x3x

.6 xs∈6 x

.36

= 36

limx→0

sin3 x3 x

.6 x

sin 6 x

= 36

.1 .1

= 12

b. limx→0

tan 12xsin 2x

= limx→0

tan 12x12 x

.2 x

sin2 x.122

= 122

limx→0

tan12 x12 x

.2x

sin 2 x

= 122

.1.1

= 6

c. limx→0

1−cos2 x3 xsin2x

= limx→0

2sin2 x3 xsin2x

= limx→0

2. si nx . sinx3. x . sin 2 x

( dengan memperhatikan koefisien )

= 2.1.13.1.2

= 13

d. limx→0

tan2 xsin3xcos 5x−cosx

= limx→0

tan 2xsin3 x−2sin 3 xsin2 x

= 2.3

−2.3 .2

= −12

Soal-soal Latihan 8

Hitung :

a. limx→0

tan 3 xsin 21 x

b. limx→0

1−cos 6 x3 sinxtan2x

c. limx→0

cos 6 x−cos2 xcos 4 x−1

d. limx→0

4−4 cos 4 x2 sin 2 tan 2 x