KELOMPOK 4

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

LIMIT FUNGSIMATEMATIKA WAJIB

X

MIPA

5ZAHRO MUFIDA

NATASHA DINDA

NANDA AUDINA

MAYLINA PUTRI

ELVA SULTANA

Menggunakan konsep l imit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Standar Kompetensi

Kompetensi dasar

Indikator

Mampu menentukan nilai l imit tak hingga suatu fungsi

6.2 Menggunakan sifat l imit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tr igonometri

Mampu menentukan nilai l imit di tak hingga suatu fungsi

Mampu menggunakan sifat l imit fungsi untuk menentukan nilai l imit fungsi tr igonometri di satu t it ik

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

GxgLxfaxax

==→→

)(limdan)(lim

[ ] GLxgxfxgxfaxaxax

±=±=±→→→

)(lim)(lim)()(lim

Misal

(limit dari f , g ada dan berhingga)

maka

[ ] LGxgxfxgxfaxaxax

==→→→

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)(

)(lim ≠==

→

→

→Gbila

G

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

nn

ax

n

axLxfxf ==

→→)(lim)(lim

2.

3.

4. n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

→→= ,n bilangan bulat positif

5. bila n genap L harus positif

1.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

222 )1(1

1sin)1()1( −≤

−−≤−− x

xxx

)()()( xhxgxf ≤≤

01

1sin)1(lim 2

1=

−−

→ xx

x

LxhLxfcxcx

==→→

)(limserta)(lim

Lxgcx

=→

)(lim

1

1sin)1(lim 2

1 −−

→ xx

x

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1 ≤

−≤−

xdan

0)1(lim 2

1=−−

→x

x0)1(lim, 2

1=−

→x

x

maka

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

AO

B

C

D

θ OC= cos θ ; CB= sin θ

Perhatikan gambar di samping.Misalkan θ=∠AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.

Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB

Sehingga ½ θ cos2 θ ≤ ½ sin θ cos θ ≤ ½ θ .1

Bagi dengan ½ θ cos θ > 0 diperoleh;

θθθθ

cos

1sincos ≤≤

Jika θ→0 maka cos θ→1 sehingga : 1sin

lim10

≤≤→ θ

θθit

Sehingga : 1sin

lim0

=→ θ

θθit

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

1sin

lim.10

=→ x

xx

1coslim.20

=→

xx

1tan

lim.30

=→ x

xx

Contoh

2.2

2tan5

4.4

4sin3

lim2tan5

4sin3lim

00

x

xx

x

xx

xxxx

−

+=

−+

→→2.

2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

0

0

x

xx

x

x

x

→

→

−

+=

3

7

2.22tan

lim5

4.44sin

lim3

02

04 =−

+=

→

→

xxxx

x

xx 0 dgn 4x 0

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

t

tt sin1

coslim

2

0 +→

t

ttt sec2

sincotlim

0

π→

t

tt 2

3tanlim

2

0→

tt

ttt sec

43sinlim

0

+→

Hitung

1.

2.

3.

4.

x

xx 2sin

tanlim

0→5.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal =≠=→→

xgLxfaxax

=→ )(

)(lim

xg

xfax

atasarahdari0)(dan0jika,)( →>∞+ xgLi

bawaharahdari0)(dan0jika,)( →>∞− xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( →<∞+ xgLiii

atasarahdari0)(dan0jika,)( →<∞− xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Contoh Hitung

1

1lim

2

1 −+

−→ x

xx

a.1

1lim

2

2

1 −+

−−→ x

xx x

xx sinlim

+→πb. c.

Jawab a. 021lim 2

1>=+

−→x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif

Sehingga −∞=−+

−→ 1

1lim

2

1 x

xx

b. 021lim 2

1>=+

−−→x

x

+∞=−+

−−→ 1

1lim

2

2

1 x

xx

akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 −= xxg

12 −x

Sehingga

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

c.

0lim >=+→

ππx

x

−∞=+→ x

xx sinlim

π

danf(x)=sinx

π x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)

sehingga

Karena

π

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Limit di Tak HinggaLxf

x=

∞→)(lima. jika εε <−⇒>∋>∃>∀ |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh Hitung

42

52lim

2

2

+++

∞→ x

xxx

Jawab

)2(

)1(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

+

++=

∞→42

52lim

2

2

+++

∞→ x

xxx

2

2

42

521

lim

x

xxx

+

++=

∞→= 1/2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Lxfx

=−∞→

)(lim jika εε <−⇒<∋<∃>∀ |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh Hitung

42

52lim

2 ++

−∞→ x

xx

42

52lim

2 ++

−∞→ x

xx

Jawab

)2(

)(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

++

=−∞→ )2(

)(lim

2

2

4

52

x

xx

x ++

=−∞→

= 0

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Contoh Hitung xxx

x+++

−∞→3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )∞ ∞−∞

xxxx

+++−∞→

3lim 2)

3

3(3lim

2

22

xxx

xxxxxx

x −++−+++++=

−∞→

xxx

xxxx −++

−++=−∞→ 3

3lim

2

22

xxx

xx −++

+=−∞→ 3

3lim

2

xx

x

xx

x

x −++

+=

−∞→ )1(

)1(lim

2312

3||2 xx =

xx

x

xx

x

x −++−+

=−∞→

231

3

1

)1(lim

2

1

)11(

1lim

231

3

−=+++−

+=

−∞→xx

x

x

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

ada)(lim xfax→

)()(lim afxfax

=→

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)

º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

a

(ii)

1L2L Karena limit kiri(L1) tidak

sama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada

)(lim xfax→L ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax→

ada

)()(lim afxfax

=→

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara endefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi

a

º

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

contohPeriksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

2

4)(

2

−−=

x

xxf

=

≠−−

=2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

≥−<+

=2,1

2,1)( 2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)f(x) tidak kontinudi x=2b. f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2=+=

−+−=

−−

→→→x

x

xx

x

xxxx

)2()(lim2

fxfx

≠→

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) t idakkontinu di x=2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

c. 312)2( 2 =−=f

31lim)(lim22

=+=−− →→xxf

xx

31lim)(lim 2

22=−=

++ →→xxf

xx

3)(lim2

=→

xfx

)2()(lim2

fxfx

=→

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

=−→

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

=+→

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

≥−<+

=2,1

2,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2

)2()(lim2

fxfx

=−→

aaxxfxx

+=+=→→ −

2)(lim)(lim22

141)2()2( 2 −=−= aaf

2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1

f kontinu kanan di x=2

)2()(lim2

fxfx

=+→

141)2()2( 2 −=−= aaf

141lim)(lim 2

22−=−=

→→ +aaxxf

xx

Selalu dipenuhi

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Kekontinuan pada interval

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x ∈ R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan , maka

◦ f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil

◦ f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0

atau x>4.

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n xxf =)(

4)( −= xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx

==−=++ →→

∞

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

f xx x

x( ) =

++

2 3

3

f xx

x( ) =

−−

2

34

8

f xx

x( )

| |=

−−

2

2

94

1)(

2 −−−=x

xxf

24)( xxxf −=

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

2.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika dan f(x) kontinu di L, maka

Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di a. Bukti

karena f kontinu di g(a)

= f(g(a)) karena g kontinu di a = (fog)(a)

Lxgax

=→

)(lim

( ) )()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax

==→→

))(( xgf

))((lim))((lim xgfxgfaxax →→

=

))(lim( xgfax→

=

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

−++−=

43

13cos)(

2

4

xx

xxxf

))(()( xhgxf =

43

13)(

2

4

−++−=

xx

xxxh dan g(x) = cos x

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu

Jawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN