1 |

2 |

LIMIT FUNGSI

Standar kompetensi :

Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam

pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di

takhingga.

Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak

tentu fungsi aljabar

Tujuan Pembelajaran :

Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan

nilai-nilai di sekitar titik tersebut

Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik

dan perhitungan

Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dengan cerdas

Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan

limit.

Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.

Bekerjasama dan saling peduli dalam mengerjakan soal limit

secara berkelompok.

Mengerjakan ulangan fungsi limit dengan jujur dan mandiri.

3 |

PETA KONSEP

LIMIT

FUNGSI

LIMIT FUNGSI

ALJABAR

SUBSTITUSI

LANGSUNG

BENTUK TERTENTU

BENTUK TAK TENTU

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇 𝒙

𝒈 𝒙=𝟎

𝟎

Faktorisasi Rasionalisasi

bentuk aljabar

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝒇 𝒙

𝒈 𝒙=∞

∞

Membagi dengan pangkat tertinggi 𝒇 𝒙 𝒅𝒂𝒏 𝒈 𝒙

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

*𝒇 𝒙

− 𝒈 𝒙 + = ∞ −∞

Mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan

TEOREMA LIMIT

4 |

Pengantar

Dalam kehidupan sehari-hari ada beberapa contoh kegiatan yang

perhitungan menggunakan konsep limit fungsi diantaranya :

1. Kartu kredit yang digunakan orang dalam memenuhi kebutuhan sehari-hari.

2. Bola basket yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu kemudian memantul

hingga berhenti (Panjang lintasan bola basket).

A. Limit Fungsi Aljabar

1. Pengertian Limit Fungsi Aljabar

adalah nilai pendekatan fungsi ketika nilai peubahnya mendekati

suatu nilai. Notasi pendekatan / mendekati dalam istilah limit

dinyatakan dengan arah panah (→). Nilai peubah (𝒙) mendekati nilai

𝒂 ditulis : → . Secara utuh, limit fungsi Aljabar ditulis sebagai

berikut :

Nilai pendekatan ke dapat dipandang dari dua arah yaitu :

a. Mendekati dari arah kiri ditulis : →

b. Mendekati dari arah kanan ditulis : →

Agar lebih jelas dalam menentukan limit fungsi aljabar maka dapat

ditentukan secara numerik dan grafik.

Contoh :

1. Tentukan nilai secara numerik dan grafik.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

Catatan :

Nilai a dapat berupa : −∞, 0, bilangan dan ∞

lim 𝑥→2

(𝑥 + 2)

5 |

a. Secara numerik

Tabel : ( ) = + 2

, , , , , → 2 2,0 2, 2,2 2, 2,

( ) , , , , , → ,0 , ,2 , ,

b. Secara grafik

2. Tentukan nilai lim → 2 −

− secara numerik

Jawab :

Tabel : ( ) = + 2

0, 0, 0, 0, 0, → ,0 , ,2 , ,

( ) →

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar

a. Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

6 |

Ada beberapa cara yang digunakan untuk mencari nilainya

yaitu :

1. Substitusi Langsung

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

a) lim →2( + 2)

Jawab :

lim →2( + 2)

= 2 + 2 = + 2 =

b) lim → + 2

2 −

c) lim → √( − )

2. Bentuk 𝒙→𝒂𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)=

𝟎

𝟎

Apabila bentuk limit nilainya

maka penyelesaiannya ada 2 cara

yaitu :

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Jawab :

7 |

a) Faktorisasi

adalah memfaktorkan fungsi – fungsi dalam limit

contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

1) lim → 2 − 2 −

−

Jawab :

lim → 2 − 2 −

−

= lim → ( − ) ( + 2)

−

= lim → ( + 2)

= + 2 =

2) lim →2 2 + 2 −

2 − 2 + 20

3)

4) lim → − 2 2 +

2 + 2

Jawab :

8 |

b) Merasionalkan Pembilang dan Penyebut Bentuk Akar

adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan 1

dalam bentuk sekawan.

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

1) lim → −

√ + −2

Jawab :

lim → −

√ + −2 (

√ 2

√ 2)

= lim → − (√ + + 2)

( + ) −

= lim → − (√ + + 2)

−

= lim → (√ + + 2)

= √ + + 2 = 2 + 2 =

2) lim → 2 − √ −

2 −

Jawab :

9 |

b. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Berbentuk 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒇(𝒙)

Limit fungsi aljabar untuk → ∞ biasanya ditemukan dalam bentuk :

Apabila kita mensubsitusikan langsung nilai → ∞ pada fungsi ( )

( )

dan ( ) − ( ), maka kita akan memperoleh bentuk ∞

∞ dan ∞−∞

yang merupakan bentuk – bentuk tak tentu.

Agar hasilnya menjadi tertentu, kita dapat menggunakan cara-

cara berikut :

1) Membagi dengan variabel pangkat tertinggi dari

pembilang atau penyebut.

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

a) lim →∞ 2 −

2 +

Jawab :

= lim →∞

2 −

2

2 +

2

(dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu 2)

= lim →∞

2

2 −

2

2

2 +

2

= lim →∞

2 −

2

+

2

= 0 − 0 + 0

= 0 = 0

b) lim →∞ 2 2 + −

2 + +

𝒍𝒊𝒎𝒙→∞𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) atau 𝒍𝒊𝒎𝒙→∞*𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)+

10 |

c) lim →∞ − +

2 + 2 +

d) lim →∞ + √ 2 +

2 − √ 2 + +

2) Mengalikan dengan satu (1), tetapi dalam bentuk

sekawan.

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

a) lim →∞(√ + − √ − )

Jawab :

= lim →∞(√ + − √ − ) (√ √

√ √ )

= lim →∞

(( + ) − ( + )

√ + + √ − )

= lim →∞

(−

√ + − √ − )

Jawab :

11 |

= lim →∞

(

−

2

√ +

+ √ − )

=0

√ + 0 + √ − 0=

0

√ + √ = 0

b) lim →∞(√ 2 + + − √ 2 + − )

Berdasarkan cara mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan, maka

dapat dibuktikan bahwa :

Jawab :

lim𝑥→∞(√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − √𝑎𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) =

𝑏 𝑝

2 √𝑎

12 |

Contoh :

Dengan memakai rumus di atas, hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut

ini :

a) lim →∞(√ 2 + 2 + − √ 2 − + 2)

Jawab :

lim →∞(√ 2 + 2 + − √ 2 − + 2) =

2√ =

2 ( )

2√ =

2√

=

=

b) lim →∞ (( − 2) − √ 2 − 2 + )

c) lim →∞(√ 2 − − − 2)

B. Teorema Limit

Selain cara-cara diatas, ada cara lain dalam menyelesaikan konsep limit

yaitu dengan menggunakan Teorema Limit.

Untuk setiap konstanta dan , jika dan merupakan fungsi –

fungsi yang mempunyai limit untuk → maka berlaku teorema limit

berikut ini :

Jawab :

13 |

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan teorema

limit.

1) lim →2(2 − )

Jawab :

lim →2(2 − ) = lim →2 2 − lim →2 (teorema 3)

= 2 2 − = − = − (teorema 1 dan 2 )

2) lim → 2

3) lim → ( 2 − 2 + )

4) lim →

√ 2+

TEOREMA LIMIT

1. lim𝑥→𝑎 𝑘 = 𝑘

2. lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎

3. lim𝑥→𝑎*𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)+ = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)

4. lim𝑥→𝑎 𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

5. lim𝑥→𝑎*𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)+ = (lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥))(lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥))

6. lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

lim𝑥 →𝑎 𝑔(𝑥)

7. lim𝑥→𝑎*𝑓(𝑥)+𝑛 = *lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)+

𝑛

8. lim𝑥→𝑎 √𝑓(𝑥)𝑛

= √lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)𝑛

, dengan lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑛

genap.

Jawab :

14 |

Latihan Soal

A. Pilihan Ganda

1. Nilai x

xx

x 3

42

0

lim 2

= ….

a. –4 c. –3

2 e.

3

4

b. –3

4 d.

3

2

2. Nilai 2

82lim

2

2

x

x

x= …

a. –8 c. –2 e. 8 b. –4 d. 4

3. Nilai 3

lim

x

3

383 2

x

xx....

a. 6 c. 10 e. 19 b. 7 d. 17

4. Nilai dari

3

152lim

2

3 x

xx

x = …

a. –8 c. 0 e. 8 b. –2 d. 2

5. Nilai 42

4148

2

lim 2

x

xx

x= ….

a. –9 c. 0 e. 10 b. –7 d. 7

6. Nilai 352

3

3

lim

2

xx

x

x= ….

a. 5

1 c. 0 e.

5

2

b. 7

1 d.

7

1

15 |

7. Nilai 992

26

3

lim

2

xx

x

x= ….

a. –2 c. 9

2 e. 2

b. 3

2 d.

3

2

8. Nilai 65

9lim

2

2

3

xx

x

x= …

a. –6 c. 0 e. 6

b. –23 d.

23

9. Nilai 4

128lim

2

2

2

x

xx

x= …

a. –4 c. 0 e. 4 b. –1 d. 1

10. Nilai dari 2

2x 5

2x 3x 35Limit

x 5x

= ...

a. 0 c. 352 e. 5

52

b. 252 d. 4

52

11. Nilai 43

8143lim

2

2

4

xx

xx

x= …

a. 4 c. 21 e. – 4

b. 2 d. – 2

12. Nilai 23

124lim

2

2

x

xx

x= …

a. 34 c.

53 e. 0

b. 43 d.

21

16 |

13. Nilai 163

12lim

2

2

xx

xx

x= …

a. –1 c. 0 e. 1

b. –31 d.

31

14. Nilai

1024

52lim

3

23

xx

xx

x=

a. 21 c.

41 e.

b. 21 d. 1

15. Hasil dari

2

34lim

2 xxx = ... .

a. 2 c. 0 e. –2 b. 1 d. –1

16. 54

13 2

x

xxLimx

= ....

a. 33

4 c. 1 e. 0

b. 34 d. 3

4

1

17. Nilai 674

710

2

xx

xLimx

= ... .

a. – 5 c. –1 e. 5 b. – 4 d. 4

18. Nilai dari 3 2

3x

4x 3x 1Limit

(2x 1)

= ...

a. c. 2 e. 21

b. 4 d. 1

19. Nilai

2)2(lim 2xxx

x = …

a. c. 1 e. –1

17 |

b. 2 d. 0

20. Nilai

2312lim 22 xxxx

x= …

a. 6 21

c. 3 21

e. – 2

b. 4 21

d. – 2 21

21. Nilai dari 2 2

xLimit 6x x 7 6x 5x 1

= ... .

a. 6 c. 0 e. 31 6

b. 21 6 d.

61 6

22. Nilai 3516925~

2

xxxx

Limit= ….

a. 10

39 c.

10

9 e.

b. 10

21 d.

10

39

23. Nilai dari

3353 22 xxxLim

x =…

a. 35 c. 33

5 e. 3

6

5

b. 32

5 d. 3

4

5

24. Nilai

1342lim xxxx

= …

a. – 6 c. 0 e. 6 b. – 1 d. 1

25. Nilai

7525)15( 2lim xxxx

= …

a. 23 c.

21 e. –

23

b. 32 d. –

21

18 |

B. Essay

1. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a. lim → 2 + − 2

−

b. lim →2 ( 2 √ + 2

2 − )

2. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a. lim → 2 2 + +

2 −

b. lim →2 (

− 2−

2 − )

c. lim → √ ( − )

√ −

d. lim → 2 − 20 2 + 0

( − )2

e. lim → − 2 2 +

2 + 2

3. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a. lim → −

− √2 −2

b. lim → 2 − 2

− √ 2 +

c. lim →

√ + 2 − √ − 2

d. lim → √ + 2 −

2

4. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a. lim →∞ − 2+ +

−

19 |

b. lim →∞ + 2 + 2

+ 2 2 +

c. lim →∞ 2 ( 2 − 2 + )

2 + +

d. lim →∞ √ 2 +

+ 2

e. lim →∞

√ 2 + +

5. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a. lim →∞ (√ 2 + − √ 2 − + )

b. lim →∞ (√ + − √ ) √ +

c. lim →∞ (√( + )( + ) − √( + )( + ))

d. lim →∞ ((2 + ) − √ 2 − + )

e. lim →∞ (√ 2 + − − ( + 2))

Jawab :

20 |

Glosarium

Bentuk Sekawan Pasangan bilangan atau bentuk aljabar yang

memuat bentuk akar yang hasil kalinya bilangan

rasional atau bentuk aljabar yang tidak memuat

bentuk akar

Contoh :

(√ + √2) sekawan dengan (√ − √2)

Bentuk tak tentu Bentuk – bentuk yang nilainya tidak tepat.

Bentuk tak tentu diantaranya

,∞

∞ dan 0,∞.

Limit Kata – kata “batas, mendekati, hampir, sedikit

lagi” dan sebagainya dapat disamakan dengan

pengertian “limit” dalam matematika.

Limit Fungsi Limit fungsi ( ) = untuk mendekati ( → )

ditulis lim → ( ) = pengertiannya jika

dekat dengan tetapi tidak sama dengan

maka harga fungsi ( ) mendekati .

Daftar Pustaka

Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa

untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung.

Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga.

Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga.

Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA,

Erlangga.

Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1, Erlangga.