materi dan soal limit (lks)

Cara menggunakan lks ini

1. Kompetensi dasar, standar kompetensi, indikator:-hal-hal yang harus dicapai dan dilakukan siswa.

2. Inspirasi:

-Bagian ini memberikan contoh aplikasi pembahasan dalam kehidupan sehari- hari, untuk mempermudah siswa memahami pembahasan.

3. Math trik:

-Bagian ini berisi cara mudah memahami dan menggunakan rumus- rumus yg terdapat pada pembahasan.

4. Diskusi math:

-Bagian ini adalah tugas kelompok untuk siswa untuk menyelesaikan/memahami isi pembahasan dengan cara berdiskusi , mengeluarkan pedapat dan menarik kesimpulan bersama-sama.

5. Contoh dan pembahasan:

-Bagian ini berisi soal-soal dan pembahasan soal-soal, sebagai alat untuk melatih siswa dengan jenis-jenis soal latihan.

6. Soal latihan:

-Bagian ini berisi soal-soal untuk mengetahui tingkat kemampuan siswa.

Gemar Belajar Matematika XI SMA 1

Indikator :


1. Pengertian Limit

2 percakapan tersebut adalah contoh pengunaan kata limit dalam kehidupan sehari-hari.

Jadi limit apa yang kita pelajari dan apa hubungannya dengan kehidupan kita?. Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang bila variabel didalam fungsi tersebut terus menerus mendekati suatu nilai tertentu. Dengan kata lain limt fungsi f(x) untuk x mendekati a,berarti jika variabel x berkembang secara terus menerus hingga mendekati titik tertentu a, maka nilai fungsi f(x) juga akan berkembang hingga mendekati L.


Haduh, limit kartu

kredit tinggal 1juta, cukup buat apa?

Tau gak sih, ngomong sama

dia itu bikin kesabaran hampir mendekati batas

Pengertian limit secara intuitif:

Untuk mengatakan lim x→a

f (x)=L , berarti

bahwa saat x dekat dengan c (tetapi x bukan c maka F(x) dekat dengan L.


Untuk lebih memahami pengertian limit, coba diskusikan tugas berikut dalam bentuk kelompok!

Berikut adalah tabel fungsi f(x)=x+1. Dengan daerah asal Df = , memiliki beberapa nilai fungsi f(x) jika x mendekati 2. Isilah tabel berikut ini dengan nilai- nilai fungsi f(x)=x+1, utuk x yang dekat dengan 2.

x 1.89 1.8 1,9 1,99 2,01 2,02 2,1 2,2

f(x)=x+1 2,89 ... ... ... 3 ... ... 3,1 3.2

Diskusikan dengan teman-teman,dan isi kolom kesimpulan:

Kesimpulan: Nilai: Paraf Guru:

Paraf orang tua:

DISKUSI MATH:..

1. Ketentuan atau aturan yang berlaku ada limit fungsi.a. Bilangan yan tak berhingga dinotasikan dengan ∞ (dibaca tak hingga).

Akibatnya ∞ dapat dinyatakan biangan paling besar, maka: ∞2= ∞ ∞10= ∞ √∞= ∞

log∞= ∞

∞100

= ∞

b. Bilangan yang nilainya kecil dan mendekati nol dari bilangan positif yang mana saja,atau bilangan yang palng kecil sekali biasanya diabaikan (ditiadakan) atau sama dengan nol.

c.bilangana

bilangan yangbesar sekali=bilangan yangkecilsekali

Atau a∞

=0 , a≠0

d.bilangana

bilangan ygkecil sekali=bilangan ygbesar sekali

Atau a0=∞ ,a≠0

2. Limit Fungsi Aljabar

2.1limt fungsi disuatu titik tertentu berbentuk lim x→a

f (x)

Limit fungsi f(x) disuatu titik x=a adaah nilai yang didekati oleh f(x) untuk x mendekati a dan x≠a. Jika x mendekati a, maka f(x) mendekati L, dapat ditulis:

lim x→a

f (x)=L

Cara menyelesaikan limit bentuk aljabar, antara lain: Substitusi langsung

Perhatikan lim x→2

x2−1, bentuk limit ini dapat diselesaiakan dengan

mensubstitusikan x=2 pada persamaan lim x→2

x2−1

lim x→2

x2−1

=22-1=3

Maka nilai lim x→2

x2−1 adalah mendekati 3.


Cara in dapat digunakan bila persamaan sudah sederhana dan tidak

menghasilkan nilai 00

(bentuk tak tentu)

PemfaktoranUraikan atau faktorkan pembilang dan penyebut kemudian meringkas f(x) sehingga dapat nilai lebih sederhana. Contoh

= lim x→3

x2−9x−3

= lim x→3

(x−3 ) (x+3 )x−3

=lim x→3

x+3

=3+3=6

Mengkalikan dengan faktor sekawanJika dengan langkah diatas belum dapat disederhanakan, kalikan masing- masing pembagi dan penyebut dengan bentuk sekawan dari pembilang atau penyebut, kemudian sederanakan. Contoh:

Tentukan nilai dari lim x→0

√2+x−√2−xx

= lim x→0

√2+x−√2−xx

x√2+x+√2−x√2+x+√2−x

= lim x→0

(2+x )−(2−x )x (√2+x+√2−x )

=lim x→0

2 x

x (√2+x+√2−x )

=lim x→0

2(√2+x+√2−x )

=2

√2+0+√2−0

=2

2√2 =√2

2


Jika disubstitusi

menghasilkan 00

tak hingga

Faktorkan sehingga menghasilkan f(x) yg lebih sederhana.

Jika disubstitusikan

menghasilkan 00

tak

tentu Tidak dapat difaktorkan Jika belum sederhana Kalikan dengan bentuk

sekawan penyebut atau pembilang

Substitusi nilai x

2.2. Limit berbentuk lim x→∞

f ( x) (limit tak hingga)

Membagi setiap pembilang dan penyebut dengan x berpangkat tertinggi,

misal untuk menyelesaikan lim x→∞

f (x)g( x)

Mengalikan pembilang dan penyebut dari f(x) dengan bentuk sekawan dari

pembagi atau penyebut, misal bentuk lim x→∞

g ( x )−h (x)x

dengan cara :

= lim x→∞

g ( x )−h (x)x

dikalikan dengan g ( x )+h (x)g ( x )+h (x)

Atau dalam bentuk lim x→∞

{√ f ( x)−√ g(x )} Substitusi x=∞ jika bentuk persamaan sudah paling sederhana.


Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!perhatikan tabel berikut

tabel untukpersamaan f(x)=

x -100 -10 -2 -1 0 2 10 100f(x)= 1 ... ... ... ... ... ... ...

Lengkapi tabel tersebut dan buat grafik fungsi f(x) untuk menujukkan bahwa

Berikan kesimpulan:


Paraf orang tua:

DISKUSI MATH:..


Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!perhatikan tabel berikut

tabel untukpersamaan f(x)=

x -100 -10 -2 -1 0 2 10 100f(x)= 1 ... ... ... ... ... ... ...

Lengkapi tabel tersebut dan buat grafik fungsi f(x) untuk menujukkan bahwa

Berikan kesimpulan:


Paraf orang tua:

Penyelesaian praktis limit untuk limit tak hingga:

lim x→∞

axp+bxq

cxr+dxs

Dimana -p= pangkat tertinggi pembilang - r= pangkat tertinggi penyebutHasil limitnya:

Jika p>¿r hasilnya ∞

Jika p=r hasilnya ac

Jika p<r hasilnya 0

lim x→∞

{√ax2+bx+c−√ px2+qx+c }Hasil limitnya: Jika a>¿p hasilnya ∞

Jika a=p hasilnya b−q

2√a Jika a< p hasilnya −∞

Misal lim f ( x )x→∞

¿ L dan lim g ( x )x→∞

¿0, maka lim

f ( x )g ( x )

x→∞

¿

+∞, jika L>0 dan g(x)→0 dari arah atas

3. Kontinuitas dan diskontinuitas Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu dititik x=a, jika dipengaruhi syarat

sebagai berikut:a. Jika f(a) terdefinisi atau f(a) ada

b.lim x→a

f (x) ada

c.lim x→a

f (x) = f(x)

Jika satu atau lebih syarat tidak terpenuhi, maka f(x) dikatakan tidak kontinu

dititik x=a (diskontinu)

Kekontinuan fungsi

Berikut grafik fungsi kontinu dan diskontinu

1. F(a) tidak ada


Semua fungsi dinamakan kontinu sebagian-sebagian didalam sebuah interval a≤ x≤b, jika interval itu dapat dibagi dalam sejumlah berhingga sub interval dan didalam sub interval tersebut.

F tidak kontinu di x=a

a

2.karena limit kiri L(1) tidak sama

L2 dengan limit kanan(L2) maka

F(x) tidak punya limit di x=aL1

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

→ a ←3. f(a) ada

f(a)lim x→a

f (x) ada

tapi limit fungsi tidak samaL dengan limt fungsi

→ a ← fungsi (x) tidak kontinu di x=a

4. f(a) ada

f(a)lim x→a

f (x) ada

lim x→a

f (x)= f(a)

→ a ← f(x) kontinu di x=a



DISKUSI MATH:..

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!

Untuk grafik fungsi pada gambar berkut, periksalah fungsi manakah yang nilai lmitnya adalah disekitar x=a? Jelaskan!

a.y=f(x) b. Y=f(x)

x=a x=a

c. y=f(x) d. Y=f(x)

x=a x=a

Jelaskan, dan berikan kesimpulan:


4. Limit fungsi trigonometriUntuk mnyelesaikan fungsi trigonometri dengan x→o, maka dapat digunaka fungsi hampiran berikut

Sin x≈x tan x≈x

cos x≈1−12x2

sehingga:

sec x1−12x2

tan x-sin x≈1−12x3

bentuk perluasan:

lim x→0

sinaxtan bx

=ab

lim x→0

1−cos ax

x2 = 12a2

lim x→0

cosax−cosb x

x2 = 12

(b2−a2 )


lim x→0

sinaxax

=1

lim x→0

tan axax

=1

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!

Untuk grafik fungsi pada gambar berkut, periksalah fungsi manakah yang nilai lmitnya adalah disekitar x=a? Jelaskan!

a.y=f(x) b. Y=f(x)

x=a x=a

c. y=f(x) d. Y=f(x)

x=a x=a

Jelaskan, dan berikan kesimpulan:



Sifat-sifat limit dapat dirangkum dalam teorema limit segai berikut:

Jika f()=k, maka lim x→a

f (x)=k (untukk konstanta dan a bilangan real)

Jika f(x) =x, maka lim x→a

f (x)=a (untuk semua a bilangan real)

lim x→a

{f ( x )+g (x)}= lim x→a

f (x)+ lim x→a

g (x)

lim x→a

{f ( x )−g(x )}= lim x→a

f (x)− lim x→a

g(x )

Jika k suatu konstanta ,maka lim x→a

k . f (x)=k.lim x→a

f (x)

lim x→a

{f ( x ) . g(x )}={ lim x→a

f (x )}. { lim x→a

g(x )}

lim x→a

f (x )g(x)

=

lim x→a

f (x )

lim x→a

g(x), dengan

lim x→a

g(x )≠0

Pada suatu medium tertentu, sebuah bola dijatuhkan lurus dari suatu ketinggian dengan panjang lintasan t2 meter setelah t sekon. Bagaimanakah cara menentukan laju bola tersebut setelah 2 sekon? 2sekon

4meter (t2-4) t2

Diskusikan dengan teman-teman,dan isi olom kesimpulan:

DISKUSI MATH:..


Contoh soal

a. lim ¿ x→3x2−9x−3

= . . .

Penyelesaian:

Bila x = 3 disubstitusikan ke x2−9x−3

maka menghasilkan 00

, sehingga

lim ¿ x→3x2−9x−3

= lim ¿ x→3x2−9x−3

= lim ¿ x→3(x+3) = 3 + 3 = 6

b. lim ¿ x→2x2+2 x−8x−2

= . . .

Penyelesaian:

lim ¿ x→2x2+2 x−8x−2

= lim ¿ x→2( x−2 )(x+4 )

x−2

= lim ¿ x→2(x+4) = (2 + 4) = 6

c. lim ¿ x→0 √2+x−√2−xx

= . . .

Penyelesaian:Substitusi langsung x = 0 menghasilkan

lim ¿ x→0(√2+x−√2−x)

x = ¿¿ =

00

, (bentuk tak tentu). Oleh karena itu, kita

kalikan masing-masing pembilang dan penyebut dari f (x) dengan bentuk sekawan dari pembilang dan penyebut f (x) tersebut.

lim ¿ x→0(√2+x−√2−x)

x

= lim ¿ x→0¿¿¿ . √2+x+√2−x√2+x+√2−x

= lim ¿ x→0x(2+x )−(2−x )x (√2+x+√2−x )

= lim ¿ x→02 x

x (√2+x+√2−x)

= lim ¿ x→02

(√2+x+√2−x )

= lim ¿ x→02

(√2+0+√2+0)

= 2

2√2 =

12

√2

d. lim ¿ x→∞x3−2x2+5

2x3+4 x+10 = . . .

Penyelesaian :


kalikan masing- masing dengan bentuk sekawan pembilang

Substitusi x = 0

Pembilang dan penyebut dibagi

dengan x3 (pangkat tertinginya 3)

lim ¿ x→∞x3−2x2+5

2x3+4 x+10 = lim ¿ x→∞

1−2x+ 5

x3

2+ 4x2 +

10x3

=

1− 2∞

+ 5

∞3

2+ 4∞2 + 10

∞3

= 1−0+02+0+0

= 12

e. lim ¿ x→∞5 x+2

√ x2−3+√4 x2+7 x = . . .

Penyelesaian

lim ¿ x→∞5 x+2

√ x2−3+√4 x2+7 x =

lim ¿ x→∞5x+2

√ x2(1− 3x2 )+√ x2(4+ 7

x)

= lim ¿ x→∞

5 x+2

x√(1− 5x2 )+x √(4+ 7

x)

= lim ¿ x→∞(5+ 2

x)

√(1− 3x2 )+√(4+ 7

x)

= lim ¿ x→∞5+ 2

∞

√(1− 5

∞2 )+√(4+ 7∞ )

= 5+0

√1−0+√4+0

= 5

1+2 =

53

= 123

f. lim ¿ x→∞ (√x2+2 x−√x2−x )=¿¿ . . .

Penyelesaian :Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Karena bentuk fungsi dari limit di atas tidak berbentuk rasional maka harus dikalikan dengan faktor sekawan, yaitu

√x2+2 x+√x2−x

√x2+2 x+√x2−x sehingga:

lim ¿ x→∞√ x2+2x−√x2−x


Memanipulasi bentuk aljabar dari penyebut dengan sifat asosiatif

Memanipulasi bentuk aljabar

penyebut dengan sifat √ab =

√a x √b

Membagi pembilang dan penyebut dengan x

Substitusi x dengan ∞

Perlu diingat!

Jika nilai x = ∞ langsung disubstitusi ke f(x)

mendapatkan hasil

∞ ,−∞,∞0, atau (0 x ∞) maka

lim ¿ x→∞ f (x ) disebut bentuk tak

= lim ¿ x→∞(√ x2+2 x¿−√x2−x )¿ . (√ x2+2 x+√x2−x

√ x2+2 x+√x2−x )¿ lim ¿x→∞

(x2+2x )−(x2−x )

√ x2(1+2x )+√ x2(1−

1x)

Kemudian dengan memanipulasi aljabar, diperoleh :

lim ¿ x→∞(x2+2x )−(x2−x )

√ x2(1+2x )+√ x2(1−

1x)

¿ lim ¿x→∞3 x

x√1+ 2x+x√1−1

x

¿ lim ¿x→∞3

√1+ 2x+√1−1

x

Substitusi x dengan ∞

lim ¿ x→∞3

√1+ 2x+√1−1

x =

3

√1+ 2∞

+√1− 1∞

= 32

=112

a. Sebuah bola dilemparkan ke udara pada kecepatan 40 kaki/detik dan ketinggiannya (dalam kaki) setelah t detik diberikan y = 40t - 16t 2. Tentukan kecepatan bola ketika t = 2 detik.Jawab :

Kita tuliskan terlebih dahulu persamaan kecepatan sesaat sebagai limit kecepatan rata-rata.

V(t) ¿ lim ¿h→0f (t+h )− f (t)

h

= lim h→0

40 (t+h )−16(t+h)2−(40 ( t )−16 t 2)h

= lim h→0

40t+40h−16 (t 2+2th+h2 )−40 t+16 t2

h

= lim h→0

40h−32 th−16h2

h

= lim h→0

h (40−32t−16 h)h


V(t) = 40 – 32tDengan demikian kecepatan pada saat t = 2 detik adalah v = 40 – 32 (2) = -24 kaki/detik. Tanda negative menunjukan gerak bola berlawanan dengan gerak bola pada saat dilemparkan ke udara.


Contoh soal Trigonometri

1. Nilai dari

Penyelesaian :

=

=

= +

=

2. Hitunglah

Penyelesaian:

=


Contoh soal Trigonometri

1. Nilai dari

Penyelesaian :

=

=

= +

=

2. Hitunglah

Penyelesaian:

=


Contoh :

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya

a. f ( x )= x2−4x−2

b. f ( x )={x2−4x−2

, x≠2

3 , x=2

c. f ( x )={ x+1 , x<2x2−1 , x≥2

Penyelesaian:

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) Maka f(x) tidak kontinu di x=2

b. ↔f (2 )=3

↔ limx→2

x2−4x−2

=limx→2

( x−2 )(x+2)(x−2)

=limx→2

x+2=4

↔ limx→2

f (x)≠ f (2)

Uji Kompetensi Bab Limit.

A. Pilihlah satu jawaban yang benar!

1. Nilai lim x→1

(x2+6 x−7) adalah ….

a. -2 d. 2

c. 0

2. Nilai lim ¿2x→110x−5

2 x ²+5 x−3 adalah …..

a.2

35d.

75

b.5

14e.

52

c.107

3. Nilai lim ¿ x→39−x ²

4−√x ²+7 adalah …..

a. 0 d. 8b. 5 e. ∞c. 6.5

4. Nilai lim ¿ x→1(x−1) ²

3√x ²−23√x+1

adalah ….

a. 10 d. 7b. 9 e. 6c. 8

5. Nilai lim x→∞

√3 x−5−√3 x+7 adalah …..


a. 0 d. 3b. ∞ e. 4c. -∞

6. Nilai lim ¿ x→∞ {√x (4 x+5)−√4 x ²−3 } adalah ….

a. 0 d. 8b. 2 e. ∞

c.54

7. Nilai lim ¿ x→∞(3 x3+3 x+5) ⁵

¿¿ ¿ adalah …..

a. 0 d. 24364

b.34

e. ∞

c.53

8. Nilai lim ¿ x→∞x (2−√4+ 6x ) adalah ……

a. - 2 d. 1

b. -32

e. 32

c. - 1

9. Nilai lim ¿ x→0sin ² 3 x

x sin x cos x adalah …..

a. 9 d. 6b. 8 e. 5c. 7

10. Nilai lim ¿ x→0sin 4 x+ tan 3 x

7 x adalah …..


a.37

d. 2

b.57

e. 3

c. √2

11. Nilai lim ¿ x→∞ √25x 4+√16 x2

(2 x+1 ) adalah …...

a.253

d. 54

b.94

e. 92

c.254

12. Nilai lim ¿ x→02 x2−5 x3−√9+x

adalah ……

a. 30 d. 20b. 15 e. 40c. 25

13. Nilai lim ¿a→ba√a−b√b√a−√b adalah …….

a. 2b d. 3a

b. a+b e. 4 b

c. 3b

14. Nilai lim ¿ t→4 √t−2t−4

adalah …..

a.12

d. 14


b.34

e. 1

c.23

15. Nilai lim ¿ x→∞x2−4x3+1

adalah …..

a. 3 d. -1

b. -4 e. 0

c. 2

16. Nilai lim x→−1

x4 +7 x3+15 x2+13 x+4x4+5 x3+9x2+7 x+2

adalah …..

a. 1 d. 4b. 2 e. 5c. 3

17. Nilai lim ¿ x→4 √2x2−7−√6 x+1

√5x−4−√ x2−x+4 adalah …..

a. -4 d. 4b. -2 e. 6c. -1

18. Nilai lim ¿ x→05 x sin x

√8+cos x−√8+cos2 x adalah …..

a. 10 d. 40b. 20 e. 50c. 30

19. Nilai lim ¿ x→0sin 2 x+ tan 3 x

4 x+sin x adalah ….

a.12

d. 54

b.34

e. 32


c. 1

20. Diketahui g ( x )=√2x+1

Nilai lim ¿ x→0g (1−x )−g (1+x )

x adalah ….

a. −6√3 d. −23

√3

b. −2√3 e. −13

√3

c. −√3

B. Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan tepat!

1. Diketahui f ( x )={x2−1 , x ≤−12 x+2 , x>−1

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

2. Diketahui : f ( x )=√x2+mx+n−√ x2+nx+m, lim ¿x→∞ f (x )=212dan f (0 )=−1.

Tentukanlah : a. nilai mdan n

b. batas-batas xyang memenuhi f(0) = -1

3. Sebuah bola dilempar lurus ke atas dengan kecepatan awal 96 m/s dari ketinggian 112 meter. Fungsi ketinggian terhadap waktu adalah y(t) = -16t² + 96t + 112. Berapakah tinggi maksimum yang dapat dicapai bola?

4. Jika sebuah bola dilempar secara tegak lurus ke atas dengan kecepatan 80 m/s, maka ketinggian setelah tdetik adalah s= 80t -16t². Berapakah kecepatan bola pada saat bola berada 96 meter di atas tanah pada waktu ke atas?


5. Jika sebuah tangki berbentuk silinder berisi 100.000 galon air, yang dapat dikosongkan dari bawah tangki dalam waktu satu jam. Hukum Torricelli menyatakan volume air yang tersisa dalam tangki setelah t menit sebagai

V ( t )=100.000(1− t60 )

2

,0≤ t<60. Tentukan laju aliran air keluar tangki sebagai

fungsi waktu, t.

6. lim ¿ x→1sin (2x−2 ) tan (3−3 x )

(x2+2 x−3 )2 =

7. lim x→0

4−√16cos xx4 =

8. Suatu fungsi didefinisikan dengan f ( x )={x2+2 x−8x−2

, untuk∧ x≠2

4 ,untuk∧x=4

a. Selidiki apakah f(x) kontinu di x= 2?b. Jika f(x) tidak kontinu, carilah rumus agar f(x) menjadi fungsi yang kontinu!

9. lim x→∞

√3−x−√x−12 x−x2 =

10. lim x→∞

2 x2+ xx2−5

=


Nilai: Parf guru:

Paraf orangtua:


materi dan soal limit (lks)

Education

Transcript of materi dan soal limit (lks)