Limit-Limit Trigonometripeople.usd.ac.id/.../2018/02/07-Limit-Limit-Trigonometri.pdf1 cosπ₯π₯...
15
Limit-Limit Trigonometri
Transcript of Limit-Limit Trigonometripeople.usd.ac.id/.../2018/02/07-Limit-Limit-Trigonometri.pdf1 cosπ₯π₯...
Limit-Limit Trigonometri
Limit Fungsi-Fungsi Trigonometri
Teorema A Untuk setiap bilangan real a dalam domain fungsi,1. lim
π₯π₯βππsin π₯π₯ = sinππ 2. lim
π₯π₯βππcos π₯π₯ = cosππ
3. limπ₯π₯βππ
tan π₯π₯ = tan ππ 4. limπ₯π₯βππ
cot π₯π₯ = cot ππ
5. limπ₯π₯βππ
sec π₯π₯ = sec ππ 6. limπ₯π₯βππ
csc π₯π₯ = csc ππ
Pembuktian Teorema A
Bukti Teorema A1 Pertama kita akan buktikan untuk x = 0. Misalkan x > 0 dan misalkan titik-titik A, B, dan P didefinisikan seperti pada gambar di samping. Maka,
0 < π΅π΅π΅π΅ < π΄π΄π΅π΅ < οΏ½π΄π΄π΅π΅Karena π΅π΅π΅π΅ = sin π₯π₯ dan οΏ½π΄π΄π΅π΅ = π₯π₯, maka
0 < sin π₯π₯ < π₯π₯Jika π₯π₯ < 0 maka π₯π₯ < sin π₯π₯ < 0. Dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh limπ₯π₯β0
sin π₯π₯ = 0.
ππ π΅π΅ π΄π΄ 1, 0
π΅π΅ cosπ₯π₯ , sin π₯π₯
0, 1
π₯π₯
Pembuktian Teorema A
Untuk melengkapi bukti, kita perlu membuktikan limπ₯π₯β0
cos π₯π₯ = 1. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit akar.
limπ₯π₯β0
cos π₯π₯ = limπ₯π₯β0
1 β sin2 π₯π₯ = 1 β limπ₯π₯β0
sin π₯π₯2
= 1 β 02 = 1
Pembuktian Teorema A
Sekarang, untuk menunjukkan bahwa limπ₯π₯βππ
sin π₯π₯ = sinππ, pertama kita misalkan β = π₯π₯ β ππ sehingga β β 0 jika π₯π₯ β ππ. Maka,
limπ₯π₯βππ
sin π₯π₯ = limββ0
sin ππ + β
= limββ0
sinππ cos β + cosππ sinβ
= sinππ limββ0
cos β + cosππ limββ0
sin β
= sinππ 1 + cosππ 0= sinππ
Contoh 1
Tentukan limπ₯π₯β0
π₯π₯2β1 sin π₯π₯π₯π₯+1
.
PEMBAHASAN Pertama kita gunakan teorema limit perkalian,kemudian kita gunakan Teorema A1.
limπ₯π₯β0
π₯π₯2β1 sin π₯π₯π₯π₯+1
= limπ₯π₯β0
π₯π₯2β1π₯π₯+1
limπ₯π₯β0
sin π₯π₯
= β1 0 = 0.
Limit perkalian
Substitusi dan A1
Latihan 1
Tentukan nilai limit berikut.
limπ‘π‘β0
cos2 π‘π‘1 + sin π‘π‘
Limit-Limit Trigonometri Khusus
Teorema B1. lim
π₯π₯β0sin π₯π₯π₯π₯
= 1 2. limπ₯π₯β0
1βcos π₯π₯π₯π₯
= 0
Pembuktian Teorema B
Bukti Teorema B1 Pada pembuktian sebelumnya, kita telah menunjukkan
limπ₯π₯β0
cos π₯π₯ = 1 dan limπ₯π₯β0
sin π₯π₯ = 0
Untuk β βππ 2 β€ π₯π₯ β€ βππ 2, π₯π₯ β 0, kita gambar ruas garis vertikal BP dan busur BC, seperti pada gambar di samping.Dari gambar kita dapat melihat bahwa
πΏπΏjuring ππππππ β€ πΏπΏβππππππ β€ πΏπΏjuring ππππππ
π΅π΅ cosπ₯π₯ , sin π₯π₯
ππ π΅π΅ π΄π΄ 1, 0
0, 1
π₯π₯πΆπΆ
Pembuktian Teorema B
Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi, sedangkan luas juring dengan sudut pusat x dan berjari-jari r adalah 1
2ππ2 π₯π₯ .
Sehingga,12
cos π₯π₯ 2 π₯π₯ β€ 12
cos π₯π₯ sin π‘π‘ β€ 12
12 π₯π₯
Dengan mengalikan semua ruas dengan β2 π₯π₯ cos π₯π₯ , kita peroleh
cos π₯π₯ β€ sin π₯π₯π₯π₯
β€ 1cos π₯π₯
Pembuktian Teorema B
Karena bentuk βsin π₯π₯ π₯π₯ positif untuk β βππ 2 β€ π₯π₯ β€ βππ 2, π₯π₯ β 0, maka βsin π₯π₯ π₯π₯ = βsin π₯π₯ π₯π₯. Sehingga,
cos π₯π₯ β€sin π₯π₯π₯π₯
β€1
cos π₯π₯Karena limit fungsi-fungsi βterluarβ di atas untuk x mendekati 0 sama dengan 1, maka dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh
limπ₯π₯β0
sin π₯π₯π₯π₯
= 1
Contoh 2
Tentukan limπ₯π₯β0
sin 5π₯π₯π₯π₯
.
PEMBAHASAN Dengan menggunakan teorema-teorema limit, kitaperoleh
limπ₯π₯β0
sin 5π₯π₯π₯π₯
= limπ₯π₯β0
5 οΏ½ sin 5π₯π₯5π₯π₯
= 5 limπ₯π₯β0
sin 5π₯π₯5π₯π₯
= 5 limπ¦π¦β0
sin π¦π¦π¦π¦
= 5 1 = 5
Kalikan dengan 5/5
Limit perkalian konstanta
Misal π¦π¦ = 5π₯π₯
Latihan 2
Tentukan nilai limit-limit trigonometri berikut.
(a) limπ₯π₯β0
sin 2π₯π₯3π₯π₯
(b) limπ‘π‘β0
1βcos π‘π‘sin π‘π‘
(c) limπ₯π₯β0
tan 3π₯π₯sin π₯π₯
Tugas
Pada gambar di samping, misalkan D adalah luas segitiga ABP dan E adalah luas daerah yang diarsir.
(a) Tebaklah limπ₯π₯β0+
π·π·πΈπΈ
dengan melihat gambar di samping.
(b) Temukan rumus D/E dalam x.(c) Gunakan kalkulator untuk mendapat
perkiraan yang lebih akurat dari nilai limπ₯π₯β0+
π·π·πΈπΈ.
π΅π΅ cosπ₯π₯ , sin π₯π₯
ππ π΅π΅ π΄π΄ 1, 0
0, 1
π₯π₯
π₯π₯
#HaveANiceDay
