Limit Fungsi Bab7

38
BAB VII ~ Limit Fungsi 227 LIMIT FUNGSI VII BAB Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan mampu: 1. menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik, 2. menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik, 3. menghitung limit fungsi trigonometri di suatu titik, 4. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit, 5. menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar, 6. menjelaskan limit dari bentuk tak tentu, 7. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit fungsi bentuk tak tentu, 8. menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap peubah bebasnya, 9. menghitung limit fungsi yang mengarah kepada konsep turunan.

Transcript of Limit Fungsi Bab7

Page 1: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 227

LIMIT FUNGSI���

BAB

Tujuan Pembelajaran

�������������� ����� ������������������� ����������

�� ������������ ��������*���������������������

�� ��������������*������������ ����������������

!� ��������������*������� ��#�#�� �����������������

"� �������������*�����*��� ��������������������� �������� �����

$� ������������ ���������������������� �� ����� *������������ �

%� ������������������ �������������������

&� �������������*�����*��� ��������������������� �������������*�����

�����������������

'� ���������� ������� ������������ *������ �� ����������������� ��

<� ��������������*������ �������� ����������#������� �����

Page 2: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������228

���� ������ ������� ��������� � ������ ���� �������� ����� ����������� �����

���������� ��������� )� �� �� ����������������� � ������ �������� ������������

�#�#��������� #��������������>���������������2��������������� ������ ���������� ���

� ���������������� ��)� �� ��� ������������ ����������� ����������E�������� ���

������ ������������������*�����

2( ) 0,1 2,155 20T w w w= + +

��������:����������������oC ������$��������� ��������������>�����4��)������� ���

�� ��� ������ ������������������0� ����������� ������������������*������$-�����������

���� ������-�/������ �� ������ �����������������>������������������ �������� ���� -�3����

������� ������ �� ��)��-

2������� ������������ �������� �� ������� ������� ������� ����������������� ���

�#��������������#������������������������������������� ��� ��#�#�� �������*������

������2���:#���#�"���#� ������ ��

�#������� ��������%���8�����$7!"���

Pengantar

Page 3: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 229

>� ���������������

3#����������*������� ����������� �������������� ����������������������������

����� �� ���������������� �#���+��� � ��0�3�<��������(��������@�' �'�����&��:�����

�� �����������������&�������������#����������*�������� �������������#������ ���

���� ����0 2���������������'�

3#���������� *��������������������� �������������������� �������������������������

�������*�� ���������������������������������������� *��������� ������ � ������ �� ������

�� ��)����������������������� �����������)#��#�������� �������*������8� � �������� ����

#��

2 1( )

1x

f xx−

=−

,� �������>����� �� ������� �� 8� � ������ �������������� ����'� � ��)�����'�;� ��

�� ��� (1)f ������������3����������� ��������������*������8���������'������������������

��������������������4��������'����������������=����$=���$=���&$=���<=���<<=���<<<=���<<<<

�������� ��� ���(������������������������������'� ������������������������������

��)��� ���D����������� *������ � 8� � ������� ���� ��� �������� �����5����� &����3�������

��������'���������������������������� ������������� ����� �����'����������������=

��&$=���$=����$=����=�����=������=�������=������������������ ��� ���9����5�����&���

)�&�'� >� )�&�'� >�!

(� ������������������������������ �������>�������'��� �� �������������������������

�� ��� ���� ���������� ��� ��������������8�'���� �� �����������������������������

)#��#���� ��5�����&���������'�;���<<<������8�'��;���<<<��G����������'��������)����������� �

�������8�'���������)������������ ����

(� ��5�����&���������'�;������������8�'��;�������� �����������'���������� �������� ����

�����8�'����������� ��������� ����

����������� �����������������>������������������������� � 8� �'����������� �

������������� ���������'� )����������������������������������� � (1)f � ����������

�����������)���������)� �������������������������������

1lim ( ) 2x

f x→

=

,� �����)���������������>��������� 2 (1)f≠ ���� ����8��������� ��*���������'�;������)� �

� �*��������������������������� ������>���������'�;����� �*��� ���� ��������� ��������

(

���$

��$

��&$

��<

��<<

��<<<

��<<<<

!

� �

() (

(

−= −�

���$

��$

��&$

��<

��<<

��<<<

��<<<<

(

��&$

��$

���$

���

����

�����

������

!

� �

() (

(

−= −!

��&$

��$

���$

���

����

�����

������

Page 4: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������230

���������2�����8���2( 1) ( 1)x xy − −=

��)� ��������������������#������� �����

������ �� >�

9����8��'���������'����������%�����������������������������������

lim ( )x c

f x L→

=

����������������������������8��'������ ���� ���������������������������

��������������������)� ����������������'� �����������������%��������

�����������������%�

3��� � ���������8��'��������������������������������������'����������������%���� �����

������������� x c≠ ��(�*��������)� ��*# ������������������� ��������������������� ���������

����� �� �����������

D#����� ���� ����*������

lim ( )x c

f x L→

=

�����

( )f x L→ ��� � �� x c→ ������)� ���������)��I8��'��������������������'����������%I�

3������ ����������������I������� x c≠ I��������*����������������� �������>�

��������������������8��'���������'����������%��������������� �������������'�;�%�

0�����8��'��������� ����� ��*���������'�;�%��5������ ����� �����������������������

����������8���� ��*���������������%�

(��������������������������� ��������>���#���������� ��>�� �����lim ( )x c

f x→

����� ����� �� ������ �������� ���� ��� ��*��� ���� ���� ����� �������� �������� �������

��������'��� '�����

−=−

'

&

'

&

�����������������������������������������������!

!

'

Page 5: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 231

A��� � &�!���� ��������� �*����� �� ����� *�������3������ ���������>����

����������� ( )L f c≠ ������������������������)�� ( )f c ��������� ��*�������5�����������������

�������������� ������ ��������%��� lim ( )x c

f x L→

= �

L L L

c c c0 x

y y y

x x0 0

(a) (c) (b)

������2��� lim ( )x c

f x L→

= �!����� �������#�

����� � >��

5������������� 22

2lim

4x

xx→

−−

�����������

,� ���������>��*������2( ) ( 2) ( 4)f x x x= − − ��������� ��*���������'�;�����������������

������������������� �� ���� ������ ��� ����� �� �����������������������

2lim ( )x

f x→

������� ��������������������� ���������������'�;����5������� �������� ����

������ 8� �'�� �������������������������������'� ������������� �� �������� ���������

�����������(������� �������������������������������������������������>�

22

2 1lim

4 4x

xx→

−=

−���������)�&�'�>�$ )�&�'� >��

(�A�!

��$

��&$

��<

��<<

��<<<

��<<<<

���'$&�"

���%%%%&

���$%"��

���$�%�%

���$��%!

���$���%

)�(� (�B�!

��$

���$

���

����

�����

������

��������

���!$�<"

���"!�<�

���"<!&&

���"<<!'

���"<<<"

)�(�

Page 6: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������232

.���� ����� �*������� �����#������� �&�"��� ����

������2�����8���8#�����2( 2) ( 4)y x x= − −

����� � >��!

+������E��J������=�����*���������#��

0 , untuk 0( )

1 , untuk 0t

H tt<

=≥

⎧⎨⎩

W+�����������������#��������� �����# ��������� � ������ ����'�1���6��1� ������'$�

8��<�$���A �*��� ������ �����#���A��� �&�"��� �����

������2�*�/#�����=��>���!�

3������ �������������� ��� ���� ���=� �������������������������� �������������� ��� �

�������=� ��������������7����� ����������������������������������� �������������#��

=� ��������� �������������(���������������� ����������������������>��

0lim ( )t

H t→

������

����

&

'

��&$

��$

���$

��������������������������������������������������������������!

&

'

Page 7: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 233

������ +���� +� �

,����)#��#�&�������>��=� �������������������� �������������� ��� ���� �����

=� �������������������� �������������� ��� ������������� �������������������)#��#

�������>��

0lim ( )t

H t→

������������D������)� ��������������������������������>�

0lim ( ) 0t

H t−→

= �����

0lim ( ) 1t

H t+→

=

���#�� 0" "t −→ ��������������>�� ����������� ������������� ���������� �� ���

�������)����� �����(������������� 0" "t +→ ��������������>�� ����������� ���������

�� ���������� � ������������� ��� �������)� �������������� �����*�������� ���������

Definisi 7.2

Limit kiri f (x) ketika x mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan

lim ( )x c

f x L−→

= jika kita dapat membuat f (x) sembarang dekat dengan L dengancara mengambil nilai x cukup dekat ke c, dan x lebih kecil daripada c.

/��������������������(�*������&����������(�*������&����� ������� ����������>�

������ � ������'�� ����������)����� ������%��(������)� ���� ���������������� � ������'

� ������������ ��� ������%��������� #���I'����������������)��(���������(�����������*

������������������I������������#��������������

lim ( )x c

f x L+→

=

(������������������(�*������&���������*�������������������������� ���������� ���������

)������� >�

lim ( )x c

f x L→

= jika dan hanya jika lim ( )x c

f x L−→

= dan lim ( )x c

f x L+→

=

����� � >��$

4�������

3 , untuk 1( )

3 , untuk 1x x

f xx x+ ≤

=− + >⎧⎨⎩

E�������������������

��

1lim ( )x

f x−→

��

1lim ( )x

f x+→

)�

1lim ( )x

f x→

�����������

�� /��������������'�������������� ��� ���� �������������8��'�����������"��7����� ��������

1lim ( ) 4x

f x−→

=

�� /��������������'�������������� ��� �������������������8��'���������������(��������������

1lim ( ) 2x

f x+→

=

Page 8: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������234

)� (� �� ���� ��>����� ��� ������

1 1lim ( ) lim ( )x x

f x f x− +→ →

≠ �� ��� ��� 5�# ��� &��� ����

�����������>�

1lim ( )x

f x→

����������

������������� ������������������ �*���*������8����� �����#������� �&�%�

������ 2�1

4����������������>��������8�����;�"���������� � ���

1lim ( ) 4x

f x→

= �

(��������

2 1( )

1x

f xx−

=−

�� ?� ����

1lim ( )

xf x

+→�����

1lim ( )

xf x

−→�

�� ������

1lim ( )x

f x→

���-

)� A��� ������������ �*���8�

����� � >��*

4��������

2 1 , untuk 2( )

5 , untuk 2x x

f xx

− ≠=

=⎧⎨⎩

���5�������� 2lim ( )x

f x→ �

�����������

(�����������8�����;�$�������������� 2x ≠ �����'� ����)�������������������������������8��'�

�������������!��/����

2lim ( ) 3x

f x→

=

&

$

"

!

����"������!��������������������������������������!�����" '

&�+�8�P�

Tugas Mandiri

Page 9: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 235

,� ������� ����� ����� �*��� ����������� �&�&�

������ 2�2

(� �� )#��#� &����� ���� ����� ����� ���� ��� �>��� ���������������� ��� ���� )� �

���������������������*������������������������������#����� �������� �����������

�����������*�������,������������������������������ ����*����������������������������

��*���# ����������������� ������������ ��������������)#��#�&�������>�������� 2x ≠

����� 2 0x − ≠ ��*������2( ) ( 2) ( 4)f x x x= − − ���������������� �������������

22 2 1

( )4 ( 2)( 2) 2

x xf x

x x x x− −

= = =− − + +

3����������������������'��������������������� ������������������ ���� ��������

������8��'������������K"��7����� ��������

22 2 2

2 2 1 1lim lim lim

4 ( 2)( 2) 2 4x x x

x xx x x x→ → →

− −= = =

− − + +

(��������������������#�#������������������������������������������� �����

�������

2

2 2

3 3lim

2x

x ax ax x→−

+ + ++ −

�����/��������������������������������������� ���3������������������������ ��

&

$

"

!

����"������!��������������������������������������!�����" '

&�+�8�P�

��

Tugas Kelompok

Page 10: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������236

�� /������������������������������ �������� ��������������������� �����

2lim ( ) 7x

f x→−

=

4����������� � �������������� ������ ��� ( 2) 7f − = ��/��������

�� /�������������� ����������������������������

1lim ( ) 5x

f x−→

= �����

1lim ( ) 4x

f x+→

= −

(��������������������������

1lim ( )x

f x→

����-�/��������

!� 2�����*������ ����� �*��� ������ ������ ����������������� ��� �������� �����

����������/������������������������������-

��

1lim ( )x

f x→

��

3lim ( )x

f x→

�� (3)f

��

3lim ( )x

f x−→

)�

3lim ( )x

f x+→

������ 2�3

"� A��� ������������ �*��� *������ 8� ��� ����������������������������������

������%��������� lim ( )x c

f x→

�����

2 5 , untuk 1( )

6 , untuk 1 x x

f xx x+ <

=≥

⎧⎨⎩

$� �(���������'��'������/����������������������������� �������� ������� ������/���

�����������������-

��

2lim 3 2x

x→−

+ )�

2

2lim

2x x→ +

��2

2lim ( 2 1)x

x x→

+ − ��

2

1

1lim

2 2x

xx→−

−+

"

������������������������������������"

&

'

Latihan 7.1

Page 11: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 237

%� 5����������������������������� �������� ���������

��

2lim ( )x

f x→

����������

3 2 , untuk 2( )

5 , untuk 2x x

f xx k x+ ≤

=+ >

⎧⎨⎩

��

1lim ( )x

f x→−

���������� 2

3 , untuk 1( )

, untuk 1kx x

f xx k x

− ≤ −=

+ > −⎧⎨⎩

&� ��# �������������� �������������$����#�����������"�����A �*�������������

��� ��� ��8�� ��#��������������� ����� ��������� �����5�������

12lim ( )

xf t

−→�����

��

�� � �

'

8 +→

�������������� ���������������������� ������

������ 2�4

'� (������# �� �����J������������� ������ ������ �� ������������)�������>������

02 21

mm

v c=

������� 0m � ������������� ��������������� %� ��������)������� )�� ������

������ ������������� v c−→ -

>�! )������������

,������������������ ���������������������������# ������ �*���������������

������ ���������� �������� �� ������������� ������ �������(�����#��� �� ������ �� �����

�� �����*��������������������������#������� ���������������������������������

�������������*�����*���������� ������ ������������)���������������������������

�����������*�������5�# �����# ���������� ������������������������������ ���������� �

�������������*������*# ���� ����������� ��������������������

8���

!��

�$�

�������������"��������������'�������������������������������%

Page 12: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������238

Teorema 7.2 (Teorema Limit)

1. lim x c

k k→

= , k adalah suatu konstanta

2. lim x c

x c→

=

3. lim n n

x cx c

→= , n bilangan asli

4. Jika k adalah suatu konstanta, dan

lim ( )x c

f x→

dan lim ( )x c

g x→

maka :

a. lim ( )( ) lim ( )x c x c

kf x k f x→ →

=

b. lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f g x f x g x→ → →

+ = +

c. lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

fg x f x g x→ → →

= ⋅

d.lim ( )

lim ( )lim ( )x c

x cx c

f xfx

g g x→

→→

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, asalkan lim ( ) 0x c

g x→

e. lim ( ) lim ( )n

n

x c x cf x f x

→ →= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , untuk n bilangan asli

f. lim ( ) lim ( )n nx c x c

f x f x→ →

= , n bilangan asli, dan lim ( ) 0x c

f x→

>

����� � >�!�

E������������� ����������� ���������������������

��2

3lim ( 8 6)x

x x→

+ − )�

3 2

2

2 1lim

5 3x

x xx→

+ −−

��3 2

2lim ( 3)( 5 )x

x x x→−

+ −

�����������

���2 2

3 3 3 3lim ( 8 6) lim lim8 lim 6x x x x

x x x x→ → → →

+ − = + − �5�# ���&����������"��

������

2

3 3 3lim 8lim lim 6x x x

x x→ → →

= + − �5�# ���&����������"��

������23 8 3 6= + ⋅ − �5�# ���&����������������!�

������ 27=

Page 13: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 239

��3 2 3 2

2 2 2lim ( 3)( 5 ) lim ( 3) lim ( 5 )x x x

x x x x x x→− →− →−

+ − = + ⋅ − �5�# ���&����������")�

( ) ( )3 2

2 2 2 2lim lim 3 lim 5limx x x x

x x x→− →− →− →−

= + −⋅ ��5�# ���&���������

����"������"��

( ) ( )3 2( 2) 3 ( 2) 5( 2)= − + − − −⋅ �5�# ���&����������������!�

;��8$���"��;�8&�

)�

3 23 22

22

lim 2 1)2 1 15lim 15

5 3 lim(5 3 ) 1

(x

xx

x xx xx x

→→

+ −+ −= = = −

− − −�5�# ���&����������"��

(��������������������#�#��������������������#����#����� ���������

�� 0� �����)#��#���������*������8��������������� lim ( )x c

f x→

������ lim ( )x c

g x→

������

������������ lim [ ( ) ( )]x c

f x g x→

+ �����

�� 0� �����)#��#���������*������8���������������������������������������������

(����� ������ ������� �� ������������������� �

( ) 0lim

( ) 0x c

f xg x→

= �� �������� ��*��

�����"��������������������� ��������)� �������������� ����������������������������

�#�� ������������ �����9����#���� ���� �� ������������ �������� '�����&������ ���� ������

?� ����������������������������� �������������������� ����������������� ���#������

�� ����� ������� 0� ����� ���� ���� ���� )#��#� ���� �� ������� ������� ��������

���������������� �������������������

����� � >�!�!

5���������

2

3

9lim

3x

xx→

−−

�����������

3� ����

3lim ( 3) 0x

x→

− = ����������� ��������������� ������ ��*��� ����� "���(�����

�*���# �������������������� #��

2 9 ( 3)( 3)3 3

x x xx x− − +

=− −

Tugas Kelompok

Page 14: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������240

/���� 3x ≠ �� 3 0x − ≠ ����������������������� ������������������������� 3x − �

2 9 ( 3)( 3)3

3 3x x x

xx x− − +

= = +− −

3� ������������������������������ ����� �������������'���������� �!�������

�����������������!��������������������������� �#�������/����

2

3 3

9lim lim( 3) 6

3x x

xx

x→ →

−= + =

−�

����� � >�!�$

4�������2( ) 3 1f x x x= + − �����������

0

( ) ( )lim h

f x h f xh→

+ −�

�����������

3� ���� 0h ≠ ������������� #��

2 2( ) ( ) [( ) 3( ) 1] [ 3 1]f x h f x x h x h x xh h

+ − + + + − − + −=

22 3xh h hh

+ +=

2 3x h= + +/����

0 0

( ) ( )lim lim (2 3 ) 2 3h h

f x h f xx h x

h→ →

+ −= + + = +

�� (����������>�

lim ( ) 2x c

f x→

= − lim ( ) 0x c

g x→

= lim ( ) 16x c

h x→

=�

5��������������� �����������������/������������������������������-

�� lim [ ( ) ( )]x c

f x h x→

+ ��

( )lim

( )x c

f xh x→

��3lim [ ( )]

x cf x

→��

( )lim

( )x c

f xg x→

)�4lim ( )

x ch x

→*�

3 ( )lim

( ) 2 ( )x c

f xh x f x→ −

Latihan 7.2

Page 15: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 241

�� 5�������������������� �������� ��������������������������# ��������*������

��

2

3lim (2 5)x

x x→

− + ��

24 2

41

6lim

2 3x

x xx x→

+ −+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��

3 2

2lim ( 2)( 8 )x

x x x→

+ − ��4

2lim 3 6t

t t→−

+ +

)� 21

2 1lim

3 4x

xx x→−

+− +

*�2

4lim 16x

x−→

!� �� ���� ������������������ �������� ����-

2 3 44

1x x

xx+ −

= +−

�� (������*������������������������������������ ���������

2

1 1

3 4lim lim ( 4)

1x x

x xx

x→ →

+ −= +

−���� �

"� E���������������������� ���������������

��

2

5

25lim

5t

tt→−

−+

)�

2

23

5 6lim

12x

x xx x→−

+ +− −

��

2

3/ 2

4 9lim

2 3x

xx→−

−+

��

2

22

2 3 2lim

16 6y

y yy y→−

− −+ −

��

9

9lim

3x

x

x→

−−

� 21

1 2lim

1 1x x x→−

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

*�

0

9 3lim x

xx→

− −��

4 2 2

20

2lim x

x x xx→

− −

��

5

5lim

4 3x

x

x→

−+ −

��

3

0

1 1lim t

tt→

+ −

$� 5��������

0

( ) ( )lim h

f x h f xh→

+ −��������������*������ �������� �����

��2( ) 3 6f x x x= − + �� ( ) 2f x x=

��3( ) 8f x x= − ��

1( ) , 2

2f x x

x= ≠ −

+

)�

1( ) , 0f x x

x= ≠

%� 5��������0

(3 ) (3)lim h

f h fh→

+ −��������������*������8��������#����## �$�

Page 16: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������242

>�$ ��������&� ��� �����2����

4��������&����������������� ��� ������ ����������������� ��������'����������

&�������*�������� ��'�������������������������&�;�8��'���/����'��� ������ �� x c= ������

x c h= + �������� ������'������

( )x c h c hΔ = + − =� xΔ ����)��H������'I�������� �������������� �������

( ) ( )y f c h f cΔ = + −E����������������

( ) ( )y f c h f cx hΔ + −

���������������'��������&� �������� �����(��������������� J���[ , ]c c h+ ����������*�� ���

����������� ��������������� ��)���������� �&����

������2��5��0�� ����A#�"�#��6��

3������������������ ������ � ������������� J��� �������������)��� [ , ]c c h+ ���������

6�������������9����������� ������ � ����������������'��������&� ��� � ��������� ����

(������ x c= �� ��������*�� ��������������� �������� ������������������� J�� ( )y f x=��� ( , ( ))P c f c �

���������������������� ������� ������������

0 0

( ) ( )lim lim x h

y f c h f cx hΔ → →

Δ + −= =

����������������&���

�����������������������*�� ���*�������� ���������������������������� ���������

�� �������� ��������� � ������ ���� ������������ ����� �>��� ����� ���

������ �������������� )#��#��� �����

����� � >�$�

���� ������ ������� ��������� � ������ ���� �������� ����� ����������� �����

�������������������)� ���� ������������������ ������ �������� ������������

�#�#��������� #��������������>���������������2��������������� ������ ���������

����� ������������������)� ����� ������������ ����������� ����������E�������

���������� ������������������*�����

2( ) 0,1 2,155 20T w w w= + +

��������:����������������oC ������$��������� ��������������>����

�������������������������%����������������%�:�6

'

&

�F%� 8F%@@

)F%�9�6� 8F%�9

6@@

Δ '

Δ &

Page 17: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 243

�� 0� ������������� ������������ ������� ���������$-������������ �-

�� /������ �� ������ �����������������>������������������ �������� ���� ����������

������� ������ �� ��)��-

�����������

�� 4��� ��� �����&��������� �������� ������������ ������� ���������$������

0 0

( ) ( )lim lim h h

T T w h T ww h→ →

Δ + −=

Δ3���������������

2 2( ) ( ) [0,1( ) 2,155( ) 20] [0,1 55 20]2,1T w h T w w h w h w wh h

+ − + + + + − +=

+

���

20, 2 2,155 0,1wh h hh

+ +=

��� 0, 2 2,155 0,1w h= + +(��������������

0 0 0

( ) ( )lim lim lim (0, 2 2,155 0,1 ) 0, 2 2,155h h h

T T w h T ww h w

w h→ → →

Δ + −= = + + = +

Δ/��������� �������� ������������ ������� ���������$������� 0, 2 2,155w + �

0��� ����������� ����������o wattC �

�� (� �� ���� �� ������ ������ � �����>�����(� �� *������ ����� �� ����������� ����

�� �������� ���� ��� ������������$�;������������ ��)��������$�;����/����

������� �������� ���� �;������������:�����$;������$$o wattC �

������� �������� ��)���;���������:�����$;����$$�o wattC �

�� ������ �#��� ����������� ������� *���� ,������������� � ��>�� � � �� ������

������� ���������������# ���� ����������*������� �����#���*�����

2 3( ) 120 2p t t t= − �������� 0 40t≤ ≤0� ���������������� � ��*������������� �;����� �;���������� �;�"�-

�� A��#�������� ������������������ �������4���5��� ��� � � ������� �����

����������:��������

20,1(400 40 ), 0 12T t t t= − + ≤ ≤�� 5�������� � ����������� �������� ��:��� ����� �������� �����$���������

���%������

�� 5��������������� �������������:��� ����� ���������$������

!� �������� �������������� #�� ����������"�,�� �� �� ������,�����������#�#

��������� ������������������ ������������"� ����� ������������

2( ) 50.000 18.000 600p t t t= + +5�������� ������� �������������������#�# �������"�,�� �� �����&�

Latihan 7.3

Page 18: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������244

>�� =����������� �����2����

,�����>������������������*������8�����*���������#��

2 1( )

1x

f xx−

=−

3������ ���������>��8� ��� ��*�����������������'���)��������'�;������������ �*��� �

�� �� ���� �������������������� ���&�+�'�9�����)����������������������������������������

&�����A �*���*������������ �������������������������������� ����� ����>��*�������8�����

������������������� ��������������������3�����#�������������� ������� ����8���������������

������2������8���2( 1) ( 1)x xy − −=

/���� *������ 8���� �������� ������ ��������� ����������� 8� ���� ;� !������� �*��� �����

�� ��������� ������'�;�������� *������ 8� � �� ������ ������ �����#��������� ���5������� ���������

����*���������8�����;���������������� ������������ �*��� ������ ������������*���������

���� *������ 8������������������� ��� �����������'��E��� ���� �����#��J������*�����

�� �����

������ �� >�$

+������8������������#���������������%��������������������� � ����� �����

��� 8��%�����

��� lim ( )x c

f x→

����

�!� lim ( ) ( )x c

f x f c→

=/��������������������� ���������� � ������������������������%������*������8

����������������������������� �����������%��+������ �����#���������������������

�� ������ ������� ���������� ���� ����������

����� � >���

5�����������>��*������3( ) 4 7f x x x= + − �� x∈� ���#���������'�;���

°2

0 x2

y

1 3

1

3

2 1

1

xy

x

−=

Page 19: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 245

�����������

3�������������������������� � ������#��������

���3(1) (1) 4(1) 7 2f += − = − �!� �

1lim ( ) 2 (1)x

f x f→

= − =

���

1 1

3lim ( ) lim ( 4 7) 2x x

f x x x→ →

= + − = −

3������� � ������#�����������������/������8���#����������'�;���

����� � >���!

5�����������>��*������ 2

1( )

6f x

x x=

− −������#���������'�;�!�����'�;�8���

�����������

/����������������������������'�;�!�����'�;�8����������*������8������8��!������8��8��������� �

����������

/������ � ������#�������� ������ ������������ �������(���������������*������8�����

�#���������'�;�!�����'�;�8��

����� � >���$

5����������� ������� �� ������ ��������������� *�������� ������#������

�� 2

1( )

4 3x

f xx x

+=

− +�� ( ) 3g x x= +

�����������

�� +������8��#������������������������� ����'����)�����������'� ���������

2 4 3 0x x− + = �� ,� �����

2 4 3 0x x− + = �⇔ � ( 1)( 3) 0x x− − =����⇔ �'�;��������'�;�!

/�������� ���������������8���#������������ { }| 1 atau 3fD x x x= ∈ ≠ ≠� �

�� +���������#��������� ���������������� ����'� �������� 3 0x + ≥ � ������� ��*��� ��� ��

3� ���� 3 0x + ≥ ��������������� 3x ≥ − ��������� ������� ������ �������

�#�������������� { }| 3gD x x= ∈ ≥ −� �

����� � >����

4�������3 7 , untuk 4

( )1 , untuk 4

x xf x

kx x+ ≤

=− >

⎧⎨⎩

��5������������������������8���#���������'�;�"�

�����������

� � ������� �*������8���#���������'�;�"�������

4lim ( ) (4)x

f x f→

= ��3������ ���������>�

8��"��;�!�Q�"�:�&�;��<

������������ 4x ≤ �

44lim ( ) lim (3 7) 19

xxf x x

−− →→= + =

Page 20: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������246

2����� 4x > �

44lim ( ) lim ( 1) 4 1

xxf x kx k

++ →→= − = −

��� �

4lim ( )x

f x→

������ �����

4 4lim ( ) lim ( )

x xf x f x

− +→ →= �� ����

"��8���;��<��⇔ ���;�$�

/�������� �*������8���#���������'�;�"�� �������;�$�

�� 5�������������������� �������� ������� *������ �� ����� ���� �#��������� �����������

�� ������

��

2 6( )

3x x

f xx+ −

=+

�� ( )2 3

xk x

x=

�� 2

3( )

6x

g xx x

+=

+ −��

2

2

4( )

3 2

xp x

x x

−=

− +

)�

5 , untuk 2

( ) 22 , untuk 2

xh x x

x

≠ −= +

= −

⎧⎪⎨⎪⎩

�� 5����������� ������� ������ ���������������*�������� ������#������

�� �8��'��;�'��'�:���

�)� 2

2( )

2 8x

h xx x

−=

+ −

��

1( )

2 7x

g xx−

=+

��

2( 2) , untuk 0( ) 2 2 , untuk 0

x xk x

x x

+ ≤=

+ >

⎧⎪⎨⎪⎩

!� �� ������*�������#������� �������*�������#�����-

�� ������*�������������� �������*������ �����#�����-

)� ������*���������� ���� �������*�������#�����-

"� 5���������#��������%���������������*������ �������� ������#��������������� ���

���� �����

�� 2

1 , untuk 2( )

, untuk 2kx x

f xkx x

− <=

≥⎧⎨⎩

� �������'�;��

��

, untuk 1( ) , untuk 1 4

2 , untuk 4

x xg x cx k x

x x

≤= + < <

− ≥

⎧⎪⎨⎪⎩

���������'�;�������'�;�"

Latihan 7.4

Page 21: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 247

$� A� ��� �J���������� ���������)� ����#���0������������������������ ���

�� ����������� ������ ��������������������

3

2

, untuk ( )

, untuk

r RF r

r R

GMrR

GMr

<=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

�������������������������0��� ���� ��������������#�������� �J������������

*������/��#�������� ���-

>�* ������)���6������ �����2����

4���������8��*������ ��������*���������#��

2

1( )

( 2)f x

x=

−�������� �*���*�������������� �����#������� �&������3����������� ��������������*�����

8���������'�������������4��������'�������������� ��� ����������� �������������8��'�

�������� ����������5�����&�%��(� �� ������ ��������� ����� ��)� �� �������*���>��������'

������ �� ����������������������������������������'� ������������� ��� ��������

������8��'������� ������� �������(���������������������������������#����

22

1lim

( 2)x x+→= +∞

1 2 3 4x

2

4

6

8

y

0

������2������8���8#�����2( ) 1 ( 2)f x x= −

Page 22: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������248

���������������)�&�'�>�- )�&�'� >�>

���� ���� �����'���������� �� �� �� � �� �� ��� �� ������� ��>�������� 8� �'�� ���

���� ����������5�����&�&��(� ��������������)� ���������*�������������������>��������'

������ �� ����������������������������������������'� �����������)����� ��������

������8��'������� ������� �������(���������������������������������#����

22

1lim

( 2)x x−→= +∞

−7����� ���� �����������'���������� ��������� �� �������������� �� �� ��� ������ 8� �'�

����� � ��������������������������������������

22

1lim

( 2)x x→= +∞

−.���� ��������������#��J������*�������� �����

������ �� >��

4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�

��)���������������%������ ���3�������������

lim ( )x c

f x→

= +∞

�����������'����������%�������������������������%�������������8��'�������

������ �����

,� ���������� ���������� �������>�� +∞ � ������ ���������������� ����� �������

�������������������� lim ( )x c

f x→

= +∞ �� ��� ������������������� lim ( )x c

f x L→

= ��������

�� ��������� �����D#����� lim ( )x c

f x→

= +∞ � �� ���������������������>���� �����

������*������8�������'��� �� �����������������������%������� ������� ������� ������

(������)� �� �������������������������������� ������������*������ ���������� �

����)����������������,� �������*�������� ��������*���������#��

2

1( )

( 2)g x

x−

=−

�������/ ��/��C�

( )21

x -2�������/ ��/��C�

( )21

x -2

! � � �

��$ " ��$ "

���$ �% ��&$ �%

���� ��� ��< ���

���� ������ ��<< ������

����� ��������� ��<<< ���������

������ ����������� ��<<<< �����������

Page 23: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 249

�������� �*���*��������������������������������� �&��!�

1 2 3 4x

-2

-4

-6

-8

y

0

������2��(����8���8#�����2( ) 1 ( 2)g x x= − −

D�����*�������� �����'�������������� ���� ����������������'������)�������������������

����������������������

22

1lim

( 2)x x→

−= −∞

������ �� >�*

4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�

��)���������������%������ ���3������������

lim ( )x c

f x→

= −∞

�����������'����������%�������������������������%�������������8��'������)��

������������

�������������� ������ ����)#��#��������� ��������# ����� ���������� ���

������������������������� ���������� ��������������������

Teorema 7.3/���������������������#����*�����

1.0

1lim rx x+→

= + ∞ 2.0

jika ganjil1lim

jika genaprx

rrx−→

−∞=

+∞⎧⎨⎩

����� � >�*�

5���������������� ��

��

5

1lim

5x x+→ −��

3

2 1lim

3x

xx+→

+−

)� 21

2lim

( 1)x

xx→

+−

Page 24: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������250

�����������

(�����������������5�# ���&�!�

�� 4������������������ �+�'�8�$������������� 5x +→ �������������� 0t +→ �

5 0

1 1lim lim

5x tx t+ +→ →= = +∞

−�� /��������������� �+�'�8�!�����

3 3 0

2 1 2( 3) 7 2 7lim lim lim

3 3x x t

x xx x t t+ + +→ → →

+ − += = + = +∞

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

)� /��������������� �+�'�8��������

����������� 2 21 1

2 1 3lim lim

( 1) ( 1)x x

x xx x→ →

+ − +=

− −

� 2 21 0

1 3 1 3lim lim

1 ( 1)x tx x t t→ →= + = + = +∞

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠�

E�������������������� �������� ������� ���������

�� 30

2limx x→

%�

2

21lim

2 1x

xx x→ − +

�� 40

1limx x→

−&�

2

23

4lim

9x

xx+→ −

!�

2

1lim

2x x−→ −'�

3 2

23

9 20lim

20x

x x xx x−→

+ ++ −

"�32

1lim

( 2)x x−→ −<�

2

24

12lim

6 8x

x xx x−→

− −− +

$�

2

1lim

1x

xx→ −

���

2

24

12lim

6 8x

x xx x+→

− −− +

>�- ���������)���6�����

���� ���������������������������*��������������������������'������������� ��

������ �������9�������)�������� ��*����������������������� �� �*���*������

(�������� ����� ���������� ���� ������������������������������������������������

���� ��*�������������������� �����

3����������������*������ �����������4������������*���������#��

2

1( )f x

x=

Latihan 7.5

Page 25: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 251

�������� �*���*�������������� �����#������� �&��"��4��������'�����������������������

���!��"��$������������������������ ��� ����������'������ ���� �� �������D����������� *�����

�� ��������� ����������5�����&�'��(� ���������� �������������������������>�������������

*������8��'����������������������������������������'����������������� ��������

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

1

2

3

y

������2������8���8#�����2( ) 1f x x=

���)�&�'�>�? �������)�&�'�>�D

��)� �����������������������������>��������8��'��������������������������������������'

)��������� ��2������������������������������#�������

2

1lim 0

x x→+∞=

D#����� x → +∞ ������� ��������>��������'������������ ��������������������������#����*�

����+∞ ���������������� �����7����� ����������#����� x → +∞ ���������������� ����� �

������� 10x → ��.���� �������������#��J������*�������� �����

������ �� >�-

4���������8��*������ ������ ��*��������������� �������� J��� ( , )a +∞ ��3���

��������

lim ( )x

f x L→+∞

=

�����������'��#����*� ������������� ��������������������8��'��������������

(

$

��

���

�����

���$

���"

����

������

��������

!� �

) (

(

= (

8�

8�

8$

8��

8���

8�����

���$

���"

����

������

��������

!� �

) (

(

=

Page 26: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������252

���� ����������������*�������8������������������'����������������������8���8���8!��8

"�� 8$�� 8���� 8����� 8�����M����� ���� ��� ����������'� �� ���������������� ������*� ���

�� �������5�����&�<���� �����������������*������8��'���� �����

��)� �����������������������������>��������8�'��������������������������������������'

)�������)����� �����������������*��(�������������������������

2

1lim 0

x x→−∞=

������ �� >�>

4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J��� ( , )b−∞ ��3������������

lim ( )x

f x L→−∞

=

�����������'�������*� ������ �����)���������������������8��'�������������

5�# �����# ��� �������� ��������&�������&�"� �������� ������������� x c→ � ����

������������� x → +∞ ������ x → −∞ ��3�������� �����# ������������ ���������

�����������������������������

)������� >��

/���������������������#����*�����

���

1lim 0rx x→+∞

= ���

1lim 0rx x→−∞

=

����� � >�-�

5���������������� ��

��

4 7lim

3 5x

xx→+∞

−+

��

2

3 2

5 4lim

1x

xx x→+∞

++ +

�����������

2����������������5�# ���&�"���������������������������� �������������������

�� ������� ������)������������������������� �����

��

744 7

lim lim53 5 3

x x

x xx

x→+∞ →+∞

−−=

+ +

4 0 43 0 3−

= =−

)�

2

3 2

5 4lim

1x

xx x→+∞

++ +

;�

2

3 3

3 2

3 3 3

5 4

lim1x

xx x

x xx x x

→+∞

+

+ +;�

3

3

5 4

lim1 1

1x

x x

x x→+∞

+

+ +

;�

0 06 0 0

++ + �;�

06

�;��

Page 27: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 253

����� � >�-�!

E������������� �������� �����

��2

5lim

2 3x

x

x→−∞

+

−�� ( )2 2lim 2

xx x x x

→+∞+ − −

�����������

�� ,������� �� ��������� ��'� �������� ������)��������>�� ��������� ��3� ���� ���

���������������� ����������������������2x x= ��3� ���� x → −∞ ������ 0x <

���� x x= − ��/����

2

5lim

2 3x

x

x→−∞

+

− ;�

2

5

lim3

2x

xx x

x

→−∞

+

−�;�

2

5

lim3

2x

xx x

x

→−∞

+− −

;�

2

51

lim3

2x

x

x

→−∞

− −

;�

1 02 0− −− �;�

12−

�� 3���� ���#����������������� �����

( )2 2lim 2x

x x x x→+∞

+ − −

;� ( )2 2

2 2

2 2

2lim 2

2x

x x x xx x x x

x x x x→+∞

+ + −+ − − ⋅

+ + −

;�

2 2

2 2

2lim

2x

x x x x

x x x x→+∞

+ − +

+ + −

;�

3lim

2 11 1

x

x

x xx x

→+∞+ + −

;�

3lim

2 11 1

x

x x

→+∞+ + − ;�

31 0 1 0+ + − �;�

32

Page 28: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������254

5�������������������� �������� �����

��

3 1lim

4 9x

xx→+∞

++

<�2lim 1

xx x

→+∞+ −

��

2

2

4 8lim

2 3x

x xx→+∞

+−

���2lim )(

xx x x

→+∞+ −

!� 2

8 1lim

2 3x

xx x→+∞

+− +

���2lim 4 (2 3))(

xx x x

→+∞+ − +

"�

24 3 3lim

1y

y yy→+∞

− ++

���3 33 3lim 1)(

xx x x

→−∞+ − +

$� 2

3lim 5

xx

x→−∞+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�!�

2 1 3lim

2 2x

x

x→+∞

+ −

− −

%� 2

5lim 4

yy

y→−∞−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�"�

12 2lim

3 1

x

xx

+

→ −∞

++

&�

2 9lim

3x

x

x→+∞

++

�$� 2

1 2 3 ...lim

x

xx→+∞

+ + + +

'�

4

2

1lim

2 3t

tt→−∞

++

>�> ������ 5��� ��)�����������

2������������������#��������*������� ��#�#�� ��������������������������������

��������� ������� �

0

sinlim

x

xx→

�������

0

tanlim

x

xx→

7����� ����������� ���������������� ������������������� ����������������������2����

������������>��������������������������������������������# ��� ����������

�� ��������������������� �����5�# ���������4����������# ������������ ��������� ����

������������

Latihan 7.6

Page 29: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 255

)�������>�-� �)������������

4��������8�������6�*������ ������ ��*��������������� J����� ������� ��������

%���)���������������%������ ����������� ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ �������������� x I∈ �

x c≠ ��/���� lim ( ) x c

f x→

;� lim ( ) x c

h x→

;�������� lim ( ) x c

g x L→

= �

(������5�# �������������������������������������������� ���������

)������� >�>

0

sinlim 1

x

xx→

= ��������������

0

tanlim 1→

=x

xx

�� �

4�������������� ������������ ���� ������������� ��/������ ���������� ��� ���������

������������'� ����������AB ������������������� ��������

�AB �;�'

(� ������ ������>����������� ��

����� �,�< ������ ���< ������ �-

x

A

B

D

r

O C

������ 2��*

������� ��

�1 1 1. . . .

2 2 2BC OC AB r OA AD< < � . . .BC OC AB r OA AD⇔ < <

�1 1 1. . . . .

2 2 2BC OC AB r OA AD< < � . . .BC OC AB r OA AD⇔ < <

2 2 2

. . .

BC OC AB r OA ADr r r

⇔ < <

Page 30: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������256

�1 1 1. . . . .

2 2 2BC OC AB r OA AD< < 2 2

. . .

BC OC rx r r ADr r r r

⇔ < <

BC OC AD

xr r r

⇔ < <

sin .cos tan x x x x⇔ < < ����������������X�

1 cos

sin cos x

xx x

⇔ < <

3� ����

0lim cos 1

xx

→= �����������

0

1lim 1

cos x x→= �������������5�# �������

0lim 1

sin x

xx→= ����������

0

sin lim 1

x

xx→

=

��������� ���� �� �X����������� ��

����'���)#��'�< �'�< �����'�2 cos 1

tan x

xx

⇔ < <

3� ����

0lim cos 1

xx

→= �������������5�# ����������������� ��

0

tanlim 1

x

xx→

= ��������

0

tan lim 1

x

xx→

=

(������)� �� ������������������� ������������� �������������������� ��

��# ������������������������� �����

0

sin lim 1

x

axax→

= ������� 0

tan lim 1

x

axax→

=

����� � >�>�

5���������������� ��

��

0

sin 2lim

x

xx→

��

0

sin 2lim

tan 5x

xx→

�����������

��

0

sin 2lim

x

xx→

;�

0

sin 2 2lim .

2x

x xx x→

�;�

0

sin 2lim . 2

2x

xx→

;���Q���;��

��

0

sin 2lim

tan 5x

xx→

;�

0

sin 2 5 2lim . .

2 tan 5 5x

x x xx x x→

;� 0

sin 2 3 2lim . .

2 tan 5 5x

x xx x→

;� 0 0

2 sin 2 5 lim lim

5 2 tan 5x x

x xx x→ →

;�

2 21 1

5 5⋅ ⋅ =

Page 31: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 257

����� � >�>�!

5���������������� ��

��

1lim sin

xx

x→ ∞)�

12

12

1 sin lim

x

xxπ π→

−−

�� 3 0

tan sin lim

2x

x xx→

�����������

�� 4�������������������

1y

x= ��3� ���� x →∞ ������� 0y → �

/����

0 0

1 1 sin lim sin lim sin lim 1

x y y

yx y

x y y→ ∞ → →= = =

��3 3 0 0

tan sin sin sin coslim lim

2 2 cosx x

x x x x xx x x→ →

− −=

;�

122

3 3 0 0

sin 2sin sin (1 cos )lim lim

2 cos 2 cosx x

x xx xx x x x→ →

⋅−=

;�

122

1 2 02

sin sin 1 1lim

( ) cos 4x

xxx x x→

⋅ ⋅ ⋅

�;�

2 1 11 1 1

4 4⋅ ⋅ ⋅ =

)� 4��������12y x π= − ����������������

12x π→ �� ������� 0y → �

�/����

12

12

1 sinlim

xx xπ π→

−− ;�

12

0

1 sin( )lim

y

y

y

π→

− +

;� 0

1 cos lim

y

yy→

;

122

0

2sinlim

y

y

y→

;�

122

1 2 02

sin 0lim 2 2 1 0

( ) 4 4y

y yy→

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Page 32: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������258

���� ������������������������������������������ �������)�������������� ���

��

0

2lim

sin 3x

xx→

���

0

sin( ) sinlim

h

x h xh→

+ −���

4

sin coslim

1 sin 2x

x xxπ→

−−

��

0

sin 5lim

sin 7x

xx→

��� 0

sinlim

1 cosx

x xx→ −

��� 2 0

tan 2 2 tanlim

x

x xx→

!�

2

2 0

sinlim

3x

xx→

�!�

2

1 cos 2lim

cosx

xxπ→

+�!� �

2

1 cos2lim cosπ→

+x

xx

"�

3

2 0

sinlim

x

xx→

�"�

0

tanlim

1 cos 3x

x xx→ −

�"�

2

0

3lim

sin x

x xx→

+

$� 0lim

cosx

xx→

�$�2 2lim 1 cos

xx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠→ ∞− �$�

0

sin lim

1 1x

x

x→ − −

%�

0

1 coslim

1 cos 2x

xx→

−−

�%�

0

sin sin 3lim

1 cos 4x

x xx→ −

&� 2 0

1 coslim

a

aa→

−�&�

4lim sin

xx

x→ ∞

'�

0

tanlim

sin 2y

yy→

�'�

2

0

sin tanlim

1 cosx

x x xx→

+−

<�

0

sinlim

tanx

pxqx→

�<� 5lim ( 5) cot

xx xπ

→−

���

2 2

1 2 02

sin tanlim

x

x xx→

+���

4

sin coslim

1 sin 2x

x xxπ→

−−

�%� 5��������

0

( ) ( )lim

h

f x h f xh→

+ −��������������*������ �������� �����

�� �8��'��;�����' )� �8��'��;�����!'

�� 8��'��;�)#��' �� 8��'��;�)#��!'

��&� �5��������

( ) ( )4 4

0lim

h

f h f

h

π π

+ −��� ��*������*������������#����## ��%�

Latihan 7.7

Page 33: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 259

�� 9����8��'���������'����������%���������������������������������lim ( )x c

f x L→

=�

����������������������������8��'������ ���� ���������������������������� ���

����������������)� ����������������'� �����������������%������������������

�������%�

�� 9���� �� �� 8� �'�� ������� '���������� %� ���� ���������� ����� ��������� ������

lim ( )x c

f x L−→

= � ����������������������8��'������ ������������������� �������

)� ����������������'�)��������������%������'��������)����� ������%�

!� /��������� ������� � ������'� � ��� ��������� ��� ������ %���������� #��� ����

�������� ��8��'����������#��������������� lim ( )x c

f x L+→

= �

"� lim ( )x c

f x L→

= ����������� ������� lim ( )x c

f x L−→

= ����� lim ( )x c

f x L+→

= �

$� 7�� ���������� ��� ������� �������� ����� *������

%� 9���� �� ������ ������� �� �� *������ � 8� ��� ������ %� ����*��������� �������

0

( ) ( )lim h

f c h f ch→

+ −�

&� +������8������������#���������������%��������������������� � ��������8��%�����=�����

lim ( )x c

f x→

=����=������!�� lim ( ) ( )x c

f x f c→

= �

'� 4���������8� �*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�

��)���������������%������ ���/����������'����������%�������������������������%�

�����������8��'������� ������������������������� lim ( )x c

f x→

= +∞ �

<� 4���������8� �*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�

��)���������������%������ ���/����������'����������%�������������������������%�

�����������8��'������)��������������� lim ( )x c

f x→

= −∞ �

��� 4���������8��*������ ������ ��*��������������� �������� J��� ( , )a +∞ ��/����������'

�#����*� ���� ����� ���� � �������� ���� ������ � 8� �'�� � ��������� ��

���������� lim ( )x

f x L→+∞

= �

��� 4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J��� ( , )b−∞ ��/����������'�������*

������ �����)���������������������8��'������������������������� lim ( )x

f x L→−∞

= �

���

0

sinlim 1

x

xx→

= ��������������

0

tanlim 1

x

xx→

=

Rangkuman

Page 34: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������260

���� �������� ����0 2

>?D�E�?*>

���������9#����?��) ���� ����,� ������������������L)#���,#� ��)��V����3� ���

��������� ������ ������������������������������������� �����������������

�������� � � ��� ��������������� ����� L)#���,#� ��)��V���� �# �#����� ���

?#������ ��� + ��)��� ������������������ �������� �� )�� ����� ���

���������������� ����� ���, #�����J����� �� ������������ ���������)���

,� ������������������������� ��������� ������������� ����������

�������������� ����� ��?��) �

?��) � ��# �����������3��#���

������������������6���� ���������

(��������#���� �� ����� �����

������� ��� ����� ,� ��)��� ���

�� ������ ����� ����� �'!��� ��

������������ �� �� ��� .������ �����

���� ���� ����� ���� ������ � ��

���� ���� ���������������������,� ��

������������������������������

������� �J#������'"'�

?��) ����� ��� �� �����

������.����)�������������������� ���

����������������� ������ �������

������G������3������� ������

�� ����� ������� � ��� 4���

��#��# �� �� ��� �#����� ������ �������

����������������� ��������

Y�������� ��������� ��)�������

�������� ������������������������� �

���� � �� ��������)��������� �������

������?��) ����� ����� ���� �� �

�A������������ ����0#�F��#������������ ����������� ������3������?��) � ����

�� ����������� ������� �������� �����������������*������ ������������ ���#����

�����

�#���D�����#�#��!�����7�� ������� ����433�6�����(

������2��1��#�#� ����7#���,�#%6&

�#�����$$$��%��6��#��!#�6�

Math Info

Page 35: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 261

�� ���� ��������������������������������������������������������

���������������� �!���� ������� ������������

�� D�����2 2

1 4lim

2 4x x x→−

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�������M�

�� � 0� �K" ?� �K� (� � L� "

��

2

2 2

5 6lim ...

4x

x xx→

+ +=

−�

��� �K� 0� �K" ?� � (� 8�K" L� 8�K�

!�

2 1

1lim ...

3 2x

x

x→

−=

+ −�

�� 8% 0� 8" ?� � (� " L� %

"�

1

( 3)( 3)lim ...

3x

x x

x→

− +=

−�

�� � 0� ! ?� % (� �� L� �$

$� 2 2

1 cos( 2)lim ...

4 4x

xx x→−

− +=

+ +�

�� � 0� �K" ?� �K� (� � L� "

%� /����

4

3lim

4 4x

ax b xx→

+ −=

−���������9���;�M�

��� ! 0� � ?� � (� 8� L� 8�

&�

2

2 0

tan 2 sin 8lim ...

sin 4x

x xx x→

⋅= �

��� !� 0� �" ?� �% (� ' L� "

'�

2

2 0

(cos 6 1)lim ...

sin 3 tan 2x

x xx x→

−=

⋅�

��� ! 0� � ?� 8! (� 8� L� 8�

Uji Kompetensi

Page 36: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������262

<� /����2( ) 1 2f x x= ������

0

( ) ( )lim ...t

f x t f xt→

+ −= �

���� 1 4x− 0��31 x− ?��

31 4x (��1 4x L��31 x

���

( ) ( ) 1

1 1sin 1 cos 1lim ...

1x

x xx→

− −=

−�

��� � 0� �K� ?� � (� 8�K� L� 8�

��� ( )lim ( )( ) ...x

x p x q x→∞

+ + − = ��

�� � 0� "< ?� "�?�< (�12 ( )p q+ L� �"�?�<

��� ( )2lim (4 5) 4 3 ...x

x x x→∞

+ − − = ��

�� ∞ 0� ' ?� $K" (� �K� L� �

�!� ( )2 2lim sec 1 ...x

x x→∞− = ��

�� � 0� � ?� � (� 8� L� 8�

�"�

3 4lim (1 tan ) tan 2 ...

xx x

π→+ = �

�� ∞ 0� � ?� � (� � L� 8�

�$� 0

31 sin 2lim sin 2 cos 2 ...

cos 2t

tt t

t t→+ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��� � 0� �K� ?� � (� � L� ∞

B. ���� �������������"���������������������#�� ���� ���������

��� ������� �����

�%� E��������

2

6 2lim

3 1x

x

x→

− −− −

�&� E��������

3

0

1 1lim x

cxx→

+ −���������%��#�������

�'� ?� ����������������������������

0

2lim 1x

ax bx→

+ −= �

Page 37: Limit Fungsi Bab7

�������� ��� ����� �/#���� 263

�<� /���� lim [ ( ) ( )] 2x c

f x g x→

+ = ����� lim [ ( ) ( )] 1x c

f x g x→

− = ��)� ���� lim ( ) ( )x c

f x g x→

��� 4��������8��*������ ��������*���������#��

1 , untuk bilangan bulat( )

0 , untuk bukan bilangan bulatx

f xx

= ⎧⎨⎩

�� A��� ������������ �*���8�

�� 2�����������%� ����������������lim ( )x c

f x→ ����-

)� 2�������������� ����������8���#�����-

�� ����������������� ������ ������ �� ��������������� ����� ������������ �

���� �����#����� �������� ���34 6 2s t t= + + ��������� ������ ������������

5��������������� ���������������� t c= �� �;���� �;�������� �;�!�

�� 0�� ��� #������������������� ������'�������##�������� �����������

2( ) 5000 10 0, 05C x x x= + +�� 5�������� � ���� ������� �������� ��,� �� �����'�������� ��������� #�����

�����

�� �� ��'�;�����������'�;���$

�� �� ��'�;�����������'�;����

�� 5��������������� ��������������� ��,��� �����'�������'�;�������.����������

&��2���������'7�� ����������� �����������������������0���'�

!� ������ ������� ���� � �� ������� ������� �� ���� $������ ���� � �� �� ���� �����

���#�#�������� ����>������������������������E����5# �)������� ������

��>��J#������ � ������ ��������������������������� �����������

2

( ) 50.000 160t

V t = −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���� 0 60t≤ ≤

5���������������� ����� ������� ���������������� �������������C��� ����� ���������

*������ ��������������� �-�2�����>����� �;������������!���"���$�������%�������

����������������� ���������� �� ���� � ������ ������������������3�����������

��� �������������� -����������������������)��-

Soal Analisis

Page 38: Limit Fungsi Bab7

�� ��� �������������������������264

����1���

D�� ��MMMMM 5������ ��MMMM

3���� ��@. 4��� ��,#�#� ��9����+�����

3��#�#� ��MMMMM ������ ���������

3������� ��4������ ������ ��� ����������

5����� ��4������������������ � ���������� ��� ����������

A. �'�������&� ���2�������������

�� (�������

�� ��������#���� ���� �����<����� �

!� A��������

"� ����������������#����

$� 0����)������

%� ��#�>��)

�� ����������

�� 0���������#�#�� ������ ����#������"������$����>��

�� �����������#���� �������������� ����#�>��)����������������

!� ��� ������ ��� ���������� ��?�������� ��� ��J#������ � ��������� ��� �

�������� ���������������� �#���>�����$����������������������>��

�� ���'� �

�� 0����� �*����� ������� ����������� #������������/������������������

�#���� �

�� /������ ��C�������������������� �;��$��)� ������� ��������������� ��)��������

)������������������� �*���������� �;�$�������$�������$������!��

!� ,� �� �������� �������� ������������������������� ���� ������� �����

������������� �

"� A�������� �*���*��������������� �� �������� �������� �����������

������3�� ������ ������ ������������� �� � ���������� ��� ����������

��������$������

$� 5�*�� ��������������������������#����� �����

Aktivitas Proyek

��������������� ���$ ��� ��$ ���� ���$ ��!�

������+��'�����