Fungsi Limit

download Fungsi Limit

If you can't read please download the document

  • date post

    29-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    133
  • download

    20

Embed Size (px)

description

ligog;oito;ti9tirirfifuiflttiivuvuitiutiutiutviutuututititik

Transcript of Fungsi Limit

  • FUNGSI & LIMIT

  • FUNGSIJika besaran y bergantung pada besaran x sedemikian hingga setiap nilai x menentukan tepat satu nilai y, maka dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x.Contoh: y = 4x + 1f(x) = 4x + 1 y = f(x)Contoh 1: f(x) = 2x2 1f(0) = f(4) =f(k) =f(k + 1) =f(k) + 1 =Nilai dari fungsi2(0)2 1 = 12(4)2 1 =31 2(k)2 1 =2k2 12(k + 1)2 1= 2k2 + 4k + 1= 2(k2 + 2k + 1) 1= 2k2 + 4k + 2 1(2k2 1) + 1 =2k2

  • FUNGSIContoh 2: F(x) = x2 x + 1F(0) =F(3) =F(k) = F(2k) =F(k + 1) == (k2 + 2k + 1) (k+1) + 1 = k2 + 2k + 1 k 1 + 1 = k2 + k + 1 02 0 + 1 = 132 3 + 1 =9 3 + 1 =7 k2 k + 1(2k)2 2k + 1 =4k2 2k + 1(k+1)2 (k+1) + 1

  • Fungsi yang didefinisikan sepotong-sepotongContoh : f(1) =f(2) =f(0,5) =f(3) =f(t+1) = 3, 0 < t + 1 1, -1 < t 033 + 2 (( t + 1) 1), t + 1 > 1 3 + 2(t), t > 0f(t+1) =333 + 2(2 1) =5 3 + 2(3 1) =7f(t) =3, 0 < t 13 + 2(t 1), t > 1f(t+1) = .?, -1 < t 033 + 2(t), t > 0

  • Contoh 2:Tulis fungsi f(x) = |x| dalam bentuk fungsi sepotong-sepotong!Contoh 3:2x 4, 2x 4 02x 4, 2x 4, x 22x 4- (2x 4) , 2x 4 < 0- 2x + 4 , 2x < 4- 2x + 4 , x < 2Jadi Sesuai definisi:Jadi fungsi f(x) = |x| dapat ditulis menjadiTulis fungsi f(x) = | 2x 4 | dalam bentuk fungsi sepotong-sepotong!Sesuai definisi:| 2x 4 |

  • DOMAIN/ DAERAH ASALJika f(x) adalah suatu fungsi, maka domain f adalah himpunan nilai-nilai yang diperkenankan untuk peubah bebas x.Contoh 1: f(x) = 2x2 + 1Domain dari f(x) diatas adalah semua bilangan real, jadi D = { x : x bilangan real}Contoh 2: g(x) = 100 4x2 , 0 x 5Domain dari g(x) diatas adalah D = { x : 0 x 5}

  • DOMAIN/ DAERAH ASALJika nilai x = 1 atau x = 3 maka nilai h(x) menjadi tidak terdefinisi. Jadi 1 dan 3 tidak termasuk dalam domain. D = { x : x 1, x 3, x bilangan real} x 4 0x 4syarat:jadi domain D = { x : x 4 }

  • LATIHAN1. Diketahui f(x) = 3x2 + 2, tentukan:a. f(-2)b. f(4) c. f(a+1) d. f(3t) a. g(-2)c. g(a-1) b. g(1/4) d. g(2t+1) a. g(-2)b. g(3)c. g(t2 - 1) 4. Dapatkan domain dari fungsi-fungsi berikut

  • 5. Nyatakan fungsi berikut dalam bentuk sepotong-sepotonga. g(x) = 3 |x 2|b. g(x) = 3 + |x + 2| LATIHANc. f(x) = |x| + |3x + 1|d. f(x) = 3 |x 2| - |x + 1|6. Dapatkan semua nilai x yang memenuhi f(x) = ab. f(x) = x2 + 5 ; a = 7

  • OPERASI PADA FUNGSIDEFINISI: Diberikan fungsi f dan g, maka(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f g)(x) = f(x) g(x)(f . g)(x) = f(x) . g(x)(f / g)(x) = f(x) / g(x)Domain fungsi f + g, f g dan f . g adalah irisan dari domain f dan g.Domain fungsi f / g adalah irisan dari domain f dan g kecuali titik-titik yang menyebabkan g(x) = 0.

  • Contoh:Maka (f + g)(x) =f(x) + (g)(x) = (f - g)(x) =f(x) - (g)(x) = Domain f :Domain g :{ x: x 2}{ x: x bil real}Domain f + g:{ x: x 2}Domain f - g:{ x: x 2}

  • Contoh:(f . g)(x) =f(x) . (g)(x) = (f / g)(x) =Domain f . g:{ x: x 2}Domain f / g:{ x: x 2}Dan x 1 0 x 1Karena 1 berada di luar { x: x 2} maka dapat ditulisDomain f / g:{ x: x 2}

  • KOMPOSISI FUNGSIDEFINISI: Diketahui fungsi f dan g, maka komposisi f dengan g, ditulis dengan f o g adalah fungsi yang didefinisikan dengan:(f o g)(x) = f ( g(x) )Contoh 1:Diberikan f(x) = x2 dan g(x) = x + 1makaf(g(x)) =g(f(x)) =f(f(x)) = (f o g) (x) =(g o f) (x) = (f o f) (x) = f(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1g(x2) =x2 + 1f(x2) =x4g(g(x)) =(g o g) (x) = g(x + 1) =(x + 1) + 1 =x + 2

  • Contoh 2:Diberikan f(x) = x2 + 3 danmakaf(g(x)) =x + 3g(f(x)) =g(x2 + 3) =f(f(x)) = (f o g) (x) =(g o f) (x) = (f o f) (x) = f(x2 + 3) = (x2 + 3)2 + 3= x4 + 6x2 + 9 + 3= x4 + 6x2 + 12

  • LATIHAN1. Misalkan f(x) = x2 + 1, dapatkana. f(3x)b. f(x + 2) c. f(x + h) 2. Diberikan f(-1) = 4, f(2) = 5, g(-1) = 3 dan g(2) = -1, dapatkana. (f g)(-1) b. (f . g)(-1)c. (f/g)(2)d. (f o g)(2) Untuk no 3 7 dapatkan (f o g)(x) dan (g o f)(x)3. f(x) = 2x, g(x) = x2 + 1

  • LATIHAN8. Diketahui h(x) = 2x 5, dapatkan a. (h o h)(x)b. h2 (x)b. f(x2) f2 (x)Dapatkan (f o g)(x)

  • GRAFIK FUNGSI(-2, 0)Contoh 1: Sketsa grafik f(x) = x + 2f(x) = x + 2y = x + 2Contoh 2: Sketsa grafik f(x) = |x|f(x) = |x|y = |x|(0, 2)0-220

    xy

  • GRAFIK FUNGSI=(x + 2)(x 2)(x 2)= x + 2Tetapi (x 2) 0Jadi untuk x = 2, f(x) tidak terdefinisix 2

  • GRAFIK FUNGSI(0, 1)01f(x) = 1y = 11121(1, 1)(2, 1)(2, 3)23f(x) = x + 1y = x + 13445(3, 4)(4, 5)

    xy

    xy

  • LATIHANBuatlah sketsa grafik fungsi berikut:7. g(x) = |x 3| - x10. g(x) = |x| + |x 3|

  • LIMIT12Pada tabel 1:Nilai x bergerak menuju 0 dari sisi kiri.Nilai f(x) bergerak mendekati 1.Nilai 1 ini disebut limit dari f(x)=(sin x)/x Untuk x mendekati 0 dari kiri.Pada tabel 2:Nilai x bergerak menuju 0 dari sisi kanan.Nilai f(x) bergerak mendekati 1.Nilai 1 ini disebut limit dari f(x)=(sin x)/x Untuk x mendekati 0 dari kanan.

    x-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1-0,010f(x)0,958850,973550,985070,993350,998330,99998?

    x00,010,10,20,30,40,5f(x)?0,999980,998330,993350,985070,973550,95885

  • GrafikTetapi di x = 0,Baca: limit f(x) untuk x mendekati x0 sama dengan L.Arti: nilai f(x) mendekati L untuk x mendekati x0 dari sisi kiri dan sisi kanan.tidak terdefinisiSecara umum:

  • Contoh 1Nilai f(2) =Contoh 2tidak ada141+++

  • Contoh 3Contoh 4: Limit Di Tak Hingga+- 2-1

  • LATIHAN1.f(1) =2.f(1) =f(0) =

  • PENGHITUNGAN LIMITLIMIT DASARf(x) = 3f(x) = x

  • TEOREMAMisalkan lim disini berarti Jika L1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x), maka:lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L22. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 - L23. lim [f(x).g(x)] = lim f(x) . lim g(x) = L1 . L24. 5. Dari teorema diatas didapatkan rumus: lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = L1nlim k.f(x) = k.lim f(x) = k.L1, dengan k adalah suatu konstanta

  • Contoh 1: 52= 25 20 + 3 = 8 4.5+ 3

  • Contoh 1:= 52= 25 20 + 3 = 8 4.5+ 3

  • Contoh 2:= 252 2.5 7=25 10 7

  • Contoh 2:= 2====52 2.5 7=25 10 7

  • Limit fungsi rasional untuk x aContoh 1:Dapatkan Penyelesaian:Contoh 2:Dapatkan Pembilang dan penyebut mempunyai limit mendekati 0 untuk x mendekati 2. Limitnya dapat diperoleh dengan mencoret faktor persekutuannya.2 + 2 = 4

  • Limit fungsi rasional untuk x aContoh 3:Dapatkan Penyelesaian:Contoh 4:Dapatkan

  • Limit fungsi rasional untuk x aJika limit penyebutnya nol, tetapi limit pembilangnya tidak nol: Limit mungkin +Limit mungkin -Limit mungkin + dari satu sisi dan - dari sisi lainnya

  • Limit fungsi rasional untuk x aContoh :0- - - - - - - - - ++++++-242- - (2-x)/(x-4)(x+2) Titik ujiselang(+)/(-)(-) = +-3(-, -2)(+)/(-)(+) = -0(-2, 2)(-)/(-)(+) = +3(2, 4)(-)/(+)(+) = -5(4, +)-+Tidak adaPembuat nol:2 x = 0x = 2x 4 = 0x = 4x + 2 = 0x = -2

  • LATIHAN

  • Limit yang memuat 1/xxy0xy0a

  • Limit polinomial untuk x + atau x -n = 1, 2, 3 Contoh:+---+-

  • Limit fungsi rasional untuk x + atau x -1.2.03.-Latihan:

  • Limit fungsi yg didefinisikan sepotong-sepotongPenyelesaian: Dapatkan limit satu sisinya terlebih dahulu.Untuk x mendekati 3 dari kiri, rumus untuk f adalah Sehingga:32 5 =4Untuk x mendekati 3 dari kanan, rumus untuk f adalah4Sehingga:Karena limit kiri dan limit kanannya sama, makaf(x) = x2 -5

  • Contoh 2Penyelesaian: Untuk fungsi diatas32 5 =4rumus f(x) = x2 -5dansama sama menggunakansehingga

  • LATIHAN

  • KONTINUITASSuatu fungsi f dikatakan kontinu di titik p jika:f(p) terdefinisib.adac.Jika satu atau lebih syarat diatas tidak dipenuhi, maka f dikatakan diskontinu di p. Dan titik p disebut titik diskontinuitas.Contoh 1: Tunjukkan bahwa f(x) = x2 + x + 1 adalah fungsi kontinu!Untuk semua bilangan real p:f(p) =p2 + p +1p2 + p +1Jadi f(x) = x2 + x + 1 adalah fungsi kontinu

  • Contoh 2:Penyelesaian:f(2) =Tidak terdefinisi2 + 2 = 4Karena f(2) tidak terdefinisi maka f diskontinu di x = 224f(x)xy

  • Contoh 3:Penyelesaian:f(2) =32 + 2 = 423f(x)xy

  • Contoh 5:3.12 + 5 =8Penyelesaian:f(1) =k =8Jadi agar f(x) kontinu maka k = 8

  • LATIHANTentukan apakah fungsi berikut kontinu!Dapatkan k sehingga f(x) kontinu!1.2.3.4.5.6.

  • Contoh 4:Penyelesaian:f(x) diskontinu di titik yang menyebabkan x2 4 = 0 x2 4 = 0 (x + 2)(x 2) = 0x + 2 = 0 atau x 2 = 0 x = -2 atau x = 2Jadi titik diskontinuitasnya adalah x = -2 dan x = 2.

  • LATIHANDapatkan titik diskontinuitas!1.2.3.4.

  • LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRITeorema:1.2.Contoh 1:Penyelesaian:1 .1= 1

  • Contoh 2:Dapatkan Penyelesaian:221 .2 =2Contoh 3: Dapatkan Penyelesaian:Sin 3xSin 5x/ x/ x=3355==1.1.35=

  • LATIHANDapatkan limit berikut!

  • LATIHANDapatkan nilai k sedemikian hinggakontinu di x = 0Dapatkan nilai k sedemikian hinggakontinu di x = 014.15.