1

Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosongMisal : A={Orang yang Istrinya 1000}

Terdapat bilangan x mendekati 0 dari kiri/bawah/negatifTerdapat Bilangan x mendekati 0 dari kanan/atas/positifTerdapat Bilangan x menuju tidak berhingga atau x naik

tidak berhinggaTerdapat bilangan x menuju minus tidak berhingga atau

turun minus tidak berhingga

Bilangan tidak tertentu = bilangan yang diberi hasil apa saja akan bernilai benar

Bilangan tidak tertentu dimunculkan sebab sering dikacaukan antara bilangan tertentu dan tidak tertentu pada operasi hitung untuk bilangan 0, 1, dan ∞

0 , ∞ , ∞ - ∞ , 0. ∞ , 00 , ∞0 , 1∞

0 ∞

11)(

2

xxxf

4

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

xf(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011?1.9 1.99 1.9991.9999 2.00012.001 2.01 2.1

5

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafik

Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut

211lim

2

1

xx

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

12

xx

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa

Lxfcx

)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

2)2)(12(lim

2232lim

2

2

2

x

xxxxx

xx512lim

2

x

x

33

39lim

39lim

99

x

xxx

xx

xx 9)3)(9(lim

9

x

xxx

6

853lim1

x

x

Contoh

1.

2.

63lim9

xx

3.

4. )/1sin(lim0

xx

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

x)/1sin( x

/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 00?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

)(lim xfcx

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

7

Limit Kiri dan Limit Kanan

cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,

c x

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

maka tidak ada )(lim xfcx

)(lim1

xfx

)(lim2

xfx

8

1,210,0,

)(2

2

xxxxxx

xf

)(lim0

xfx

Contoh Diketahui

a. Hitung

d. Gambarkan grafik f(x)Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0

c. Hitungb. Hitung) Jika ada

1.

0)(lim0

xfx

)(lim2

xfx

9

)(lim0

xfx

0lim 2

0

x

x

)(lim0

xfx

0lim0

x

x

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1

)(lim1

xfx

1lim1

x

x

)(lim1

xfx

32lim 2

1

x

x

11lim)(limxx

xf )(lim1

xfx

62lim 2

2

x

x

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

22)( xxf

10

d.

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 0

Grafik: parabola

1

3

º

di x=1 limit tidakada

11

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,1,3

)( 2 xcxxcx

xf

mempunyai limit di x=-1Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1

xfx

ccxx

33lim1

)(lim1

xfx

ccxx

1lim 2

1

Agar limit ada 3 + c = 1 - c

C=-1

12

)(lim3xf

x

)(lim1xf

x

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.

f(-3)f(-1)f(1)

1.

2.

3.

4.

5.6.7.8.

Soal Latihan

13

Soal Latihan

1,2

1,1)(

2

2

xxxxx

xf

)(lim1

xfx x

f x 1lim ( )

xf x

1lim ( )

xxxg 32)(

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

22

)(

xx

xf

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

1. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :

3. Diketahui , hitung ( bila

ada )

a. b. c.

a. b. c.

B.

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)()(lim

Gbila

GL

xg

xf

xgxf

ax

ax

ax

nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim

14

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsiMisal

(limit dari f , g ada dan berhingga)maka

2.

3.

4. n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

,n bilangan bulat positif

5. bila n genap L harus positif

1.

222 )1(1

1sin)1()1(

xx

xx

)()()( xhxgxf

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

15

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

1

1sin)1(lim 2

1

xx

x

Prinsip ApitMisal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan 0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

maka

16

Limit Fungsi Trigonometri

1sinlim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tanlim.30

x

xx

Contoh

2.22tan5

4.44sin3

lim2tan54sin3lim

00

xxxx

xxxx

xx

2.

22tanlim5

4.44sinlim3

0

0

xxxx

x

x

37

2.22tanlim5

4.44sinlim3

02

04

xxxx

x

x

x 0 ekivalen dgn 4x 0

17

Soal Latihan

tt

t sin1coslim

2

0

ttt

t sec2sincotlim

0

tt

t 23tanlim

2

0

tttt

t sec43sinlim

0

Hitung

1.

2.

3.

4.

xx

x 2sintanlim

05.

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi

18

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xgxf

ax

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif. g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.

021lim 2

1

x

x

11lim 2

2

1 xx

x19

Contoh Hitung

11lim

2

1

xx

xa.

11lim 2

2

1

xx

x xx

x sinlim

b. c.

Jawab

a. 021lim 2

1

x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif

Sehingga

11lim

2

1 xx

x

b. akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 xxg

12 x

Sehingga

0lim

x

x

xx

x sinlim

20

c.

danf(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)

sehingga

Karena

Lxfx

)(lim

21

Limit di Tak Hingga

a. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL

x

Contoh Hitung

4252lim 2

2

xxx

x

Jawab

)2(

)1(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

4252lim 2

2

xxx

x2

2

42

521lim

x

xxx

= 1/2

22

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

xContoh Hitung

4252lim 2

x

xx

4252lim 2

x

xx

Jawab

)2()(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

)2(

)(lim

2

2

4

52

x

xx

x

= 0

xxxx

3lim 2)

3

3(3lim2

22

xxx

xxxxxxx

23

Contoh Hitung xxx

x

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxx

xxxx

33lim

2

22

xxx

xx

3

3lim2

xx

x

xx

x

x

)1(

)1(lim

2312

3||2 xx

xxx

xx

x

x

231

3

1)1(

lim

21

)11(1

lim231

3

xx

x

x

24

Soal Latihan

limx

xx

3

33

limx x 2 2

3

4

)1(lim xxx

limx

x

x 1 2

11lim

2

xx

x

limx

x xx

2

1

.

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

6.