Fungsi Bernilai Vektor
60
Fungsi Bernilai Vektor Limit, Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB) Fungsi Bernilai Vektor 1 / 18
-
Upload
cafe-acoustic -
Category
Documents
-
view
0 -
download
0
Transcript of Fungsi Bernilai Vektor
Fungsi Bernilai VektorLimit, Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 1 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan nvariabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Artilim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
adalah untuk setiap ε > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiapx di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < ‖~x −~a‖ < 0memenuhi
‖f (~x)−~L‖ < ε
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx→a f (~x) sebagai
lim(x1,..., xn) →(a1,...,an)
(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
dengan ~a = (a1, . . . , an) dan ~x = (x1, . . . , xn)Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan nvariabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Artilim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
adalah untuk setiap ε > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiapx di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < ‖~x −~a‖ < 0memenuhi
‖f (~x)−~L‖ < ε
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx→a f (~x) sebagai
lim(x1,..., xn) →(a1,...,an)
(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
dengan ~a = (a1, . . . , an) dan ~x = (x1, . . . , xn)Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan nvariabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Artilim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
adalah untuk setiap ε > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiapx di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < ‖~x −~a‖ < 0memenuhi
‖f (~x)−~L‖ < ε
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx→a f (~x) sebagai
lim(x1,..., xn) →(a1,...,an)
(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
dengan ~a = (a1, . . . , an) dan ~x = (x1, . . . , xn)Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Theorem
Misalkan f (x) fungsi bernilai vektor di Rm dengan n variabel dan atitik limit dari daerah definisi fungsi f . Kemudian
lim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
jika dan hanya jikalim~x→~a
fi (x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m.
Atau
lim~x→~a
(f1(x), . . . , fn(x)) = ( lim~x→~a
f1(x), . . . , lim~x→~a
fm(x))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 4 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Theorem
Misalkan f (x) fungsi bernilai vektor di Rm dengan n variabel dan atitik limit dari daerah definisi fungsi f . Kemudian
lim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
jika dan hanya jikalim~x→~a
fi (x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m.
Atau
lim~x→~a
(f1(x), . . . , fn(x)) = ( lim~x→~a
f1(x), . . . , lim~x→~a
fm(x))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 4 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)
cukup dengan mencari nilai
lim(x ,y ) →(0,0)
sin xy
xy= 1 dan lim
(x ,y ) →(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
maka
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)= (1, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)
cukup dengan mencari nilai
lim(x ,y ) →(0,0)
sin xy
xy= 1 dan lim
(x ,y ) →(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
maka
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)= (1, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)
cukup dengan mencari nilai
lim(x ,y ) →(0,0)
sin xy
xy= 1 dan lim
(x ,y ) →(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
maka
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)= (1, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagianlinear terhadap ∆x = (∆x1, . . . , ∆x1) dari
f (a + ∆x)− f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn.
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
lim∆x→~0
‖f (a + ∆x)− f (a)− L(∆x)‖m‖∆x‖n
= 0
dengan ‖ − ‖p menyatakan norm di Rp.
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f ′(a) = L, sedangkan nilai
f ′(a)(∆x) = L(∆x) = df (a)(∆x)
yaitu nilai transformasi linear di ∆x , disebut diferensial fungsi f .Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagianlinear terhadap ∆x = (∆x1, . . . , ∆x1) dari
f (a + ∆x)− f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn.
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
lim∆x→~0
‖f (a + ∆x)− f (a)− L(∆x)‖m‖∆x‖n
= 0
dengan ‖ − ‖p menyatakan norm di Rp.
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f ′(a) = L, sedangkan nilai
f ′(a)(∆x) = L(∆x) = df (a)(∆x)
yaitu nilai transformasi linear di ∆x , disebut diferensial fungsi f .Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagianlinear terhadap ∆x = (∆x1, . . . , ∆x1) dari
f (a + ∆x)− f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn.
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
lim∆x→~0
‖f (a + ∆x)− f (a)− L(∆x)‖m‖∆x‖n
= 0
dengan ‖ − ‖p menyatakan norm di Rp.
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f ′(a) = L, sedangkan nilai
f ′(a)(∆x) = L(∆x) = df (a)(∆x)
yaitu nilai transformasi linear di ∆x , disebut diferensial fungsi f .Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagianlinear terhadap ∆x = (∆x1, . . . , ∆x1) dari
f (a + ∆x)− f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn.
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
lim∆x→~0
‖f (a + ∆x)− f (a)− L(∆x)‖m‖∆x‖n
= 0
dengan ‖ − ‖p menyatakan norm di Rp.
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f ′(a) = L, sedangkan nilai
f ′(a)(∆x) = L(∆x) = df (a)(∆x)
yaitu nilai transformasi linear di ∆x , disebut diferensial fungsi f .Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsikomponen
f (x , y) = (f1 (x , y) , f2 (x , y)) atau f (x , y) =
[f1 (x , y)f2 (x , y)
]
Berdasarkan fungsi skalar
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=[
f1 (a, b) + ∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .f2 (a, b) + ∂f2
∂x (a, b)∆x + ∂f2∂y (a, b)∆y + . . .
]
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsikomponen
f (x , y) = (f1 (x , y) , f2 (x , y)) atau f (x , y) =
[f1 (x , y)f2 (x , y)
]
Berdasarkan fungsi skalar
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=[
f1 (a, b) + ∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .f2 (a, b) + ∂f2
∂x (a, b)∆x + ∂f2∂y (a, b)∆y + . . .
]
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsikomponen
f (x , y) = (f1 (x , y) , f2 (x , y)) atau f (x , y) =
[f1 (x , y)f2 (x , y)
]
Berdasarkan fungsi skalar
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=[
f1 (a, b) + ∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .f2 (a, b) + ∂f2
∂x (a, b)∆x + ∂f2∂y (a, b)∆y + . . .
]
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b) ∂f1
∂y (a, b)∂f2∂x (a, b) ∂f2
∂y (a, b)
] [∆x∆y
]
Jadi, terhadap basis standar, matriks turunan fungsi f di (a, b) adalah[∂f1∂x (a, b) ∂f1
∂y (a, b)∂f2∂x (a, b) ∂f2
∂y (a, b)
]
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 8 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b) ∂f1
∂y (a, b)∂f2∂x (a, b) ∂f2
∂y (a, b)
] [∆x∆y
]
Jadi, terhadap basis standar, matriks turunan fungsi f di (a, b) adalah[∂f1∂x (a, b) ∂f1
∂y (a, b)∂f2∂x (a, b) ∂f2
∂y (a, b)
]
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 8 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn, turunan fungsi f di titik aadalah transformasi linear f ′ (x) dengan matriks penyajian terhadapbasis standar adalah
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
......
. . ....
∂fm∂x1
∂fm∂x2
. . . ∂fm∂xn
m×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1, . . . , am).
Secara singkat ditulis sebagai matriks[
∂fi∂xj
]dan disingkat sebagai
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn, turunan fungsi f di titik aadalah transformasi linear f ′ (x) dengan matriks penyajian terhadapbasis standar adalah
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
......
. . ....
∂fm∂x1
∂fm∂x2
. . . ∂fm∂xn
m×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1, . . . , am).
Secara singkat ditulis sebagai matriks[
∂fi∂xj
]dan disingkat sebagai
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn, turunan fungsi f di titik aadalah transformasi linear f ′ (x) dengan matriks penyajian terhadapbasis standar adalah
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
......
. . ....
∂fm∂x1
∂fm∂x2
. . . ∂fm∂xn
m×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1, . . . , am).
Secara singkat ditulis sebagai matriks[
∂fi∂xj
]dan disingkat sebagai
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x1, x2) =(x21x2, x3
1 − x32 , x1x2
2
)Tentukan turunan f di sebarang titik (x1, x2).
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran. . .
yaitu
f ′ (x1, x2) =
2x1x2 x21
3x21 −3x2
2
x22 2x1x2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 10 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x1, x2) =(x21x2, x3
1 − x32 , x1x2
2
)Tentukan turunan f di sebarang titik (x1, x2).
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran. . .
yaitu
f ′ (x1, x2) =
2x1x2 x21
3x21 −3x2
2
x22 2x1x2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 10 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan dan Diferensial
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = p (x). Turunan di titik aadalah p′ (a) dan diferensial dy = p′ (a) dx
1 2 3
−1
1
2
0 dx
dy
y = f (x)
A
B
CD
E
F
Untuk fungsi vektor ~y = f (~x), diferensialnya adalah dy1...
dym
=
∂f1∂x1
. . . ∂f1∂xn
.... . .
...∂fm∂x1
. . . ∂fm∂xn
dx1
...dxn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 11 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan dan Diferensial
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = p (x). Turunan di titik aadalah p′ (a) dan diferensial dy = p′ (a) dx
1 2 3
−1
1
2
0 dx
dy
y = f (x)
A
B
CD
E
F
Untuk fungsi vektor ~y = f (~x), diferensialnya adalah dy1...
dym
=
∂f1∂x1
. . . ∂f1∂xn
.... . .
...∂fm∂x1
. . . ∂fm∂xn
dx1
...dxn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 11 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsif (x , y) =
(x2 − xy , xy + y2
)Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
f ′ (2, 1) =
[2x − y −x
y x + 2y
](2,1)
=
[3 −21 4
]Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsif (x , y) =
(x2 − xy , xy + y2
)Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
f ′ (2, 1) =
[2x − y −x
y x + 2y
](2,1)
=
[3 −21 4
]Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsif (x , y) =
(x2 − xy , xy + y2
)Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
f ′ (2, 1) =
[2x − y −x
y x + 2y
](2,1)
=
[3 −21 4
]Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
−1 1 2 3
−1
1
2
0
dx
dyA B
CD
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
−1 1 2 3
−1
1
2
0
dx
dyA B
CD
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
−1 1 2 3
−1
1
2
0
dx
dyA B
CD
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalahf (2, 1) = (4− 2, 2 + 1) = (2, 3)
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
A
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalahf (2, 1) = (4− 2, 2 + 1) = (2, 3)
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
A
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalahf (2, 1) = (4− 2, 2 + 1) = (2, 3)
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
A
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehturunannya, yaitu pemetaan linear[
dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 15 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehturunannya, yaitu pemetaan linear[
dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 15 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b) dan(c , d) adalah√
a2 + b2√
c2 + d2 sin∠ (a, b) (c , d) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segiempat adalah 14.
Secara umum, jika diferensialnya adalah
[dudv
]=
[a cb d
] [dxdy
],
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b) dan(c , d) adalah√
a2 + b2√
c2 + d2 sin∠ (a, b) (c , d) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segiempat adalah 14.
Secara umum, jika diferensialnya adalah
[dudv
]=
[a cb d
] [dxdy
],
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b) dan(c , d) adalah√
a2 + b2√
c2 + d2 sin∠ (a, b) (c , d) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segiempat adalah 14.
Secara umum, jika diferensialnya adalah
[dudv
]=
[a cb d
] [dxdy
],
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b) dan(c , d) adalah√
a2 + b2√
c2 + d2 sin∠ (a, b) (c , d) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segiempat adalah 14.
Secara umum, jika diferensialnya adalah
[dudv
]=
[a cb d
] [dxdy
],
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn, y = f (x)
maka diferensialnya adalah
dy = f ′ (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn =∣∣det
(f ′ (a)
)∣∣ dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 19 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn, y = f (x)
maka diferensialnya adalah
dy = f ′ (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn =∣∣det
(f ′ (a)
)∣∣ dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 19 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn, y = f (x)
maka diferensialnya adalah
dy = f ′ (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn =∣∣det
(f ′ (a)
)∣∣ dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 19 / 18
