Fungsi Khusus Bentuk Integral

FUNGSI KHUSUS FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK DALAM BENTUK INTEGRALINTEGRAL

FUNGSI FAKTORIALFUNGSI FAKTORIAL

Definisi

0

!ndxex xn

1!0 Buktikan bahwa :

110!00

0 0

0

xxx edxedxex

Terbukti

FUNGSI GammaFUNGSI Gamma

Definisi

0;0

1

pdxexp xp

Hubungan fungsi Gamma dengan fungsi Faktorial !1

0 0

11 pdxexdxexp xpxp

!1 pp

dst2!23,1!12,1!01

Nilai Fungsi Gamma Nilai Fungsi Gamma ditabulasi untuk Gamma 1 ditabulasi untuk Gamma 1 sampai dengan Gamma 2sampai dengan Gamma 2

Hubungan Rekursif Fungsi GammaHubungan Rekursif Fungsi Gamma

0

1 dxexp xp

dppxduxu pp 1xx evdxedv

Lakukan integrasi parsial, seperti berikut :

0

10

1 dxpxeexp pxxp

ppdxexpp xp

0

11

ppp 1


ppp 1

21222123

61622.312333134

dst


11 p

pp

6,16,0116,06,0

16,0

5,15,01

5,01

5,11

5,05,01

5,11

15,05,01

5,11

5,05,1115,15,1

15,1

Tabel F. Gamma

Tabel F. Gamma

Nilai Nilai (0,5)(0,5)

dtet

dtet tt

00

15,0 15,0

Misalkan t = y2, maka dt = 2y dy

ydyey

y2

0

125,0

xdxex

x2

0

125,0

0 0

2 2245,0 dydxe yx

2/

0 00

2

22445,02

2

r

r edrdre

5,05,0 2

Nilai Nilai (0,5)(0,5)

Contoh soalContoh soal

Hitunglah integral berikut dengan Fungsi Gamma :

0

2 2 dxex x

0

2 2 dxex x

Jawab

Misal u = x2, maka du = 2x dxUntuk x = 0 maka u = 0Untuk x = maka u = 45,02

1215,12

121

2 0

2/1

0

dueu

uduue uu

40

2 2

dxex x

Soal LatihanSoal LatihanHitunglah integral-integral berikut dengan Fungsi Gamma :

1

0

3/1

0

2

0

3

ln.3

2.2

.1

2

dxx

dyeyy

dtet

y

t

Hint: Kalikan distributif untuk 2 nilai F. Gamma

Hint: u = ln x spy mjd F. Gamma

p

pp

sin1

Formula penting terkait Formula penting terkait Fungsi GammaFungsi Gamma

Untuk p = 0,5

5,0sin5,015,0

5,05,0

15,05,02

z

zzz

sin!!


Bukti zzzz 11!!

zzzzz 1!!

Buktikan bahwa : Inga

t : !1 nn

dan

nnn 1 zzzzz 1!!

dan

n

nn

sin1

zzzz

sin!!

z

zzz

sin!!

Fungsi BetaFungsi Beta

Definisi 1 :

.0;0;1,1

0

11 qpdxxxqpB qp

pqBqpB ,,

Definisi 2 :

aqp

qp dyyaya

qpB0

111

1,

Fungsi BetaFungsi Beta

Definisi 3 :

2/

0

1212 cossin2,

dqpB qp

Definisi 4 :

0

1

1, qp

p

ydyyqpB

Hubungan Fungsi Beta Hubungan Fungsi Beta dan Fungsi Gammadan Fungsi Gamma

0

1 dtetp tp

0

12 22 dyeyp yp

0

12 22 dxexq xq

0

12

0

12 224 dydxeyxqp yxpq

0

122/

0

12 2sincos4

rdrderrqp rpq

Fungsi Gamma

Misal t = y2, maka

atau

Jika (p) dikalikan dengan (q) dikalikan maka :


0

122/

0

12122 sincos4 2

ddrerqp pqrqp

qp21 qpB ,2

1

qpBqpqp ,21.2

14

qp

qpqpB

,


21121,1

212321

B

contoh

Contoh soal 1Contoh soal 1

dxxx2/

0

3 cossin

Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta

Solusi dengan def. Fungsi Beta 3

2/

0

2/12/32/

0

2/13 cossincossin

dxxxdxxx

2/

0

1212 cossin2,

dqpB qp

452312 pp 432112 qq

......22

1,21cossin 4345

43452/

0

3

Bdxxx

Contoh soal 2Contoh soal 2

06

2

1 ydyy

Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta

Solusi dengan def. Fungsi Beta 4

321 pp 36 qqp

0

1

1, qp

p

ydyyqpB

1204

6333,3

106

2

Bydyy

Jadi

Soal LatihanSoal Latihan

2/

0

2

0

2

023

sin.3

2.2

1.1

d

xdxx

ydyy

Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta yang sesuai

Aplikasi dalam persoalan Aplikasi dalam persoalan FisikaFisikaSket grafik

922 yx

Gunakan fungsi Beta untuk menghitung :a.Luas daerah pada kuadran pertamab.Titik pusat massa dari daerah ini (anggap rapat

massanya seragam)Jawab

x

y922 yx

a

3

0

9

0

2y

dydxdydxdAA

dyyA 3

0

29

Aplikasi dalam persoalan Aplikasi dalam persoalan FisikaFisika

dyyA 3

0

29 Misalkan :

xy 2 dxdyy 2

Batas : 93

00

xyxy

9

0

2/12/19

092

12

9 dxxxx

dxxA Gunakan Fungsi Beta kedua

aqp

qp dyyaya

qpB0

111

1,

a

qpqp qpBadyyay0

111 ,

2/3,2/1921 12/32/1 BA

2

2/32/1921

A

49

12/192

1 A

Dengan rumus luas lingkaran :

4934

141 22 rA Sama

B. Titik pusat massa luasan tersebut dihitung dengan rumus :

dAxdA

dMdMx

xpm

dAydA

dMdMy

ypm

Dst ........

Fungsi Error dan PelengkapnyaFungsi Error dan Pelengkapnya

Definisi Fungsi Error

x

t dtexErf0

22

Definisi Pelengkap Fungsi Error

x

t dtexErfc 22

Penggunaan:Probabilitas (peluang)Fisika Statistika

Fungsi ErrorFungsi Error

1212

2

21

0

2

Erf

dteErf t Selesaikan dengan Fungsi Gamma

0;0

1

pdxexp xpDefinisi Fungsi Gamma

Fungsi Error dan PelengkapnyaFungsi Error dan Pelengkapnya

x

x

tt dtedtexErfcxErf0

222

0

22 dtexErfcxErf t

1 ErfxErfcxErf

xErfcxErf 1 xErfxErfc 1

Fungsi ErrorFungsi Error

x

dtttxErf0

42 .....!212

Dari deret pangkat tak hingga :

...!4!3!21432

ttttet ...!4!3!21864

22 tttte t

xtttxErf0

53....!2.53

2

....!2.53

2 53 xxxxErf

1x

Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi ErrorDefinisi pelengkap fungsi error

Kita tuliskan :

dan lakukan integrasi by part sbb :

x

t dtexerfxerfc 22)(1

222

2111 ttt e

dtd

tte

te

Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi Error

Sekarang tuliskan lagi :

22

2111

32tt e

dtd

te

t

kemudian lakukan integral by part lagi sbb :

Pelengkap Fungsi ErrorPelengkap Fungsi Error

Jika proses ini terus dilanjutkan, maka akan didapat ungkapan deret untuk pelengkap fungsi error, sbb :

1x


2

0

2.1 dxe x

10

5

22.2 due u

1

2/22.3 dte t

SolusiSolusi Contoh Fungsi Contoh Fungsi ErrorError

)2(122)2(2

)(.12

0

2 erfcerfxerfdxe x

)10()5(

)5(1)10(1)5()10(

22.25

0

10

0

10

5

222

erfcerfcerfcerfcerferf

dueduedue uuu

1

2/22.3 dte t

Formula StirlingFormula Stirling

Formula Stirling adalah formula pendekatan untuk fungsi Faktorial dan Fungsi Gamma, sbb :

Bukti

Substitusi variabel baru y sehingga

Aplikasi: Distribusi partikel (gas) ex: distribusi Fermi Diract, Boss Einstein


persamaan di atas menjadi :

untuk p besar, logaritma dapat diekspansi dalam deret pangkat berikut :

sehingga


2 0 Untuk p besar

Bandingkan nilai eksakBandingkan nilai eksak n! dengan formula n! dengan formula pendekatan Stirlingpendekatan Stirling

n n! eksak n! Formula Stirling

Persen selisih

5 120

20 2,43 X 1018

50 3,04 X 1064

1. Dalam mekanika statistik sering digunakan persamaan : NNNN ln!ln

disini N berorde bilangan Avogadro, N = 1026Buktikan dari Formula Stirling !

2. Hitunglah :

22 !2!2limn

nnnn

3. Hitunglah :

5,55

Soal

Integral EliptikIntegral Eliptik

Bentuk Legendredisebut juga integral eliptik tak lengkap jenis ke satu dan ke dua

k disebut modulus dan disebut amplitudo integral eliptik. Integral ini ditabulasi untuk nilai = arc sin k dan antara 0 dan /2. k2 dapat dilihat dari bentuk integral, dengan mengetahui k maka dapat ditentukan, sedangkan dapat dilihat pada batas integral, dengan mengetahui dan , maka nilai integral eliptik dapat dilihat pada tabel integral eliptik F(k,) dan E(k,).

Integral EliptikIntegral Eliptik

Integral eliptik lengkapIntegral eliptik lengkap jenis pertama dan kedua adalah nilai-nilai K dan E (sebagai fungsi k) untuk = /2

Sama seperti sebelumnya, k2 dapat dilihat dari bentuk integral, dengan mengetahui k maka dapat ditentukan, dengan mengetahui , maka nilai integral eliptik lengkap dapat dilihat pada tabel integral eliptik lengkap K dan E

Contoh soal

4/

02sin25,01

.1

d

Bagaimana menghitung integral eliptik untuk > /2 ???Tinjau fungsi sin2x [f(sin2x)] yang merupakan integran dari integral eliptik

4/

0

2/

0

4/

0

4/9

0

2

0

2

0.......4...................

Aluas

4/

0

2/

0

4/

0

4/7

0

2

0

2

0.......4...................

Aluas

4/

0

2/

0

4/

0

4/7

0

2/3

0

2/3

0.......3...................

Aluas

catat

Contoh soal

4/5

0

2sin037,01

d

Jika batas bawah integral tidak nol, maka :

dan jika salah satu batas integral adalah negatif, maka :

Karena F(k,) dan E(k,) merupakan fungsi ganjil

Contoh soal

4/11

8/7

2sin64,01

d

Bentuk Jacobi

Jika kita ambil x = sin , pada bentuk Legendre, maka akan didapat integral eliptik bentuk Jacobi jenis pertama dan kedua, sbb :

Contoh soal

8,0

022 16,011 xx

dx

Latihan Soal

4/5

0

2sin037,01.1

d

5,0

02

2

1100.2 dx

xx

4/11

8/7

2sin64,01.3

d

5,0

5,022 341

.4xx

dx

Fungsi Khusus Bentuk Integral

Documents

Transcript of Fungsi Khusus Bentuk Integral