FUNGSI TRANSENDEN

FUNGSI ALJABAR

1. Fungsi Aljabar ( Algebra functions )

Fungsi rasionil

Fungsi irrasional

2. Fungsi Transenden ( Transcendent functions )

Fungsi exponensial

Fungsi trigonometri

Fungsi Logaritma

Fungsi Hiperbol

Fungsi aljabar

Definisi suatu fungsi y=f (x ) disebut fungsi aljabar, jika

y=f (x ) memenuhi persamaan P0 (x)yn+P1 (x )yn−1+P2 (x )yn−2+........+Pn−1 (x )y+Pn (x)=0

dimana P0 (x),P1 (x ).......Pn (x ) adalah polinomial dalam n

Definisi suatu fungsi aljabar y=f (x ) dikatakan fungsi

rasionil bila y=f (x ) dapat dinyatakan sebagai berikut :

f (x)=P (x )Q (x ) ,

dimana P (x ) dan Q (x) merupakan fungsi Polinomial

Macam- macam

1

Fungsi aljabar yang tidak dapat dinyatakan sebagai

f (x)=P (x )Q (x ) disebut Irrasionil

Contoh : f (x)=x2+x−2 rasionil

f (x)=2x+1x rasionil

f (x)=x+√1−x2 irrasionil

bilangan bulat positif

bilangan bulat negatif

Bilangan rasional bilangan nol

Pecahan ab , dengan a dan b bulat

Bilangan Riil

Bilangan irrasional √2=1,4142........π=3,14159

Soal. Tunjukkan bahwa y=√x+1

x+1 untuk x≠−1 adalah

suatu fungsi aljabar

Jawab : y=√x+1

x+1

y (x+1 )=√x+1 {y (x+1) }2=(√x+1)2

y2 (x+1)2=x+1

y2(x2+2x+1)=x+1

( Bilangan dengan desimal yang tak ada hentinya)

2

(x2+2x+1 )y2−x−1=0

FUNGSI TRANSENDEN

Definisi : Fungsi y=f (x ) disebut fungsi transenden bila

y=f (x ) , bukan fungsi aljabar

FUNGSI LOGARITMA ASLI

( logaritma Naperian = ℓn, logaritma dengan bilangan pokok e,

sedangkan dengan bilangan pokok 10 disebut logaritma brigg = log )

Hubungan antara ℓn dan log ?

ℓn a = eloga=

10 loga10 loge

= 10,4343

10 loga=2,302610 loga

Jelas bahwa ℓn 1 = 0 dan ℓn 10 = 2,3026

Definisi : Fungsi logaritma asli, ditulis sebagai ℓn ,

didefinisikan dengan

polinomial

3

y

t

ty 1

R

x1

12

2x

y

t

ty 1

Rx1

12

2x

ℓnx=∫

1

x1t dt

, x>0

daerah definisinya adalah himpunan bilangan riil positip.

Gambar diatas menunjukkan arti geometri dari ℓn x , diagram inimengukur luas dibawah kurva y=

1t , antara 1 dan x Jika x>1

dan nilai negatip dari luas ini jika 0<x<1 , serta ℓn 1 = 0

Turunan Logaritma ASLIDx ℓn x =

1x , x>0

Dengan menggunakan aturan rantai, andaikan u=f (x)>0 , makaapabila f dapat didiferensialkan, kita peroleh Dx ℓn u =1u Dxu

Contoh 1. Tentukan Dx ℓn √xJawab :

andaikan u=√x=x12 , maka Dx ℓn

√x= 1

x12

¿ 12x−

12=

12x

Contoh 2. Tentukan Dx ℓn (x2−x−2 )

Jawab :

Ada artinya, asal x2−x−2>0 , oleh karena x2−x−2=(x−2) (x+1 )

4

Yang positip apabila x<−1 atau x>2 , sehingga daerah

definisi fungsi ℓn (x2−x−2 ) adalah (−∞,−1 )∪(2,∞ ) pada daerah ini

berlakulah :

Dx ℓn(x2−x−2 )= 1

x2−x−2Dx (x2−x−2 )

Dx ℓn(x2−x−2 )= 2x−1

x2−x−2

Contoh 3. Perlihatkan bahwa Dx ℓn|x|=1

x , x≠0

Jawab : Ada 2 (dua) kasus, apabila x>0 , |x|=x dan Dx ℓn |x|=

Dx ℓnx=1

x , apabila

x<0 , |x|=−x , sehingga Dx ℓn |x|= Dx ℓn(−x )=1

xDx (−x)

=(− 1x ) (−1 )=1

x

Pada tiap bentuk turunan itu ada rumus pengintegralan menurut

contoh 3 kita peroleh :

∫ 1xdx= ℓn |x|+c , x≠0

Kalau x diganti dengan variabel u, kita peroleh

∫ 1udu= ℓn |u|+c , u≠0

Ini melengkapkan rumus pengintegralan

∫urdu= 1

(r+1)ur+1+c

, r≠−1

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

5

Soal 1. Tentukan ∫ 5

(2x+7)dx

Jawab : andaikan , ∴du=2dx

∫ 5(2x+7)

dx=52∫

1(2x+7)

¿2dx

∫ 5(2x+7)

dx=52∫

1udu

∫ 5(2x+7)

dx=52 ℓn |u|+c

∫ 5(2x+7)

dx=52 ℓn |2x+7|+c

Soal 2. Hitunglah ∫−1

3 x10−x2

dx

Jawab : andaikan, u=10−x2 , ∴du=−2xdx , maka

∫ x10−x2

dx=− 12∫

−2x10−x2

dx

∫ x10−x2

dx=− 12∫

1udu

∫ x10−x2

dx=− 12 ℓn |u|+c

∫ x10−x2

dx=− 12 ℓn |10−x2|+c

Menurut teorema dasar kalkulus, kita peroleh

∫−1

3 x10−x2

dx=[− 12ln|10−x2|]−1

3

∫−1

3 x10−x2

dx=− 12ln1+

12 ln9

6

∫−1

3 x10−x2

dx= 12 ℓn 9

SIFAT LOGARITMA ASLI

Apabila a dan b bilangan-bilangan positip dan r sebuah

bilangan rasional, maka :

(1) ℓn 1=0

(2) ℓn ab= ℓn a + ℓn b

(3) ℓnab = ℓn a - ℓn b

(4) ℓn ar = r ℓn a

Bukti (1) ℓn1=∫

1

11t dt=0

(2) oleh karena untuk x>0

Dx ℓnax= 1

axa=1

x dan Dx ℓnx=1

x , kita peroleh ℓn ax= ℓnx+c , untuk menghitung c , ambil x=1 , maka ℓn a=c ,sehingga ℓn ax= ℓn a + ℓn x , kemudian ambil x=b

(3) dalam (2) ambillah a=1

b , maka ℓn1b + ℓn b = ℓn ( 1b ¿b)= ℓn 1=

0, ∴ ℓn1b=− ℓn b , dengan menggunakan (2), kita

peroleh : ℓn ab= ℓn (a¿ 1

b ) = ℓn a + ℓn1b

= ℓn a -ℓn b

(4) untuk x>0 berlaku Dx ( ℓn xr ) = 1xr

¿r ¿xr−1=rx dan Dx ( r ℓn x )

= r¿ 1

x=rx Ini berarti menurut teorema yang kita

gunakan diatas dalam ( 2 ) bahwa ℓn xr

= r ℓn x+c . Misalkan x=1 , maka memberikan c=0 ,ini berarti bahwa ℓn xr = r ℓn x , hasilnya ekuivalen dengan (4)

7

PENDIFERENSIALAN LOGARITMA

Menentukan turunan fungsi yang menyangkut hasil bagi, hasil

kali dan pemangkatan dapat disederhanakan dengan menarik

logaritma asli fungsi tersebut terlebih dahulu. Metode ini

dinamakan pendiferensialan logaritma.

Contoh 1. Tentukan dydx untuk y= ℓn

3√ (x−1)x2 , x>1

Jawab : Untuk mencari turunan tersebut, kita tulis y sebagai

berikut :

y= ℓn (x−1x2 )13

= 13 ℓn (x−1x2 )

y= 13 {ℓn (x−1 ) - ℓn x2 }

y= 13 {ℓn (x−1 ) - 2 ℓn x }

Sehingga dydx

=13 ( 1x−1

−2x )= 2−x

3x2−3x

8

Contoh 2. Turunkanlah y=√1−x2

(x+1 )23

Jawab : kita ambil terlebih dahulu logaritma asli, kemudian

kita turunkan secara implisit menurut x

ℓn y=12 ℓn (1−x2)− 2

3 ℓn (x+1)

1ydydx

= −2x2 (1−x2)

− 23 (x+1)

1ydydx=

−(x+2 )3 (1−x2) , sehingga

dydx=

−y (x+2)3 (1−x2)

=−√1−x2 (x+2 )

3 (x+1 )23 (1−x2 )

=−(x+2 )

3 (x+1 )23 (1−x2)

12

GRAFIK LOGARITMA ASLI

Daerah definisi ℓn x adalah himpunan bilangan riil positip,

Jadi grafik y= ℓn x terletak disebelah kanan sumbu y ( yaitu

dengan x>0 ) , berlakulah :

Dx ℓnx=1

x>0

dan

Dx2 ℓn

x=−1x2

<0

Turunan pertama menyatakan bahwa grafik kita kontinu dan

naik begitu x bertambah besar ; turunan kedua menyatakan

bahwa grafik ℓn x cekung kebawah, yang terakhir ℓn 1=0 , semua

a2−b2=(a+b ) (a−b )

9

x1

1

-1

x

y

x

x

x

x

lnlimlnlim

0

ini menyiratkan bahwa grafik y= ℓn x akan terlukis seperti

gambar dibawah ini.

FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA

Misalkan :

Apabila kita balikan ( invers-kan ) fungsi logaritma asli,

akan diperoleh fungsi eksponen asli.

Definisi :

10

y

x11

xy xy exp x

Invers ℓn disebut fungsi eksponen asli dan ditulis

sebagai exp. Yaitu : x=exp.y⇔y = ℓn x

Dari definisi ini kita dengan segera memperoleh :

(1) exp (ℓn x ) = x , x>0

(2) ℓn ( exp y ) =y untuk semua y

Oleh karena exp dan ℓn adalah fungsi-fungsi invers,

grafik y=expx adalah grafik y=lnx yang tercerminkan

pada garis y=x ( lihat gambar dibawah )

Definisi :

Bilangan e adalah bilangan riil positip yang bersifatlne=1

Oleh karena lne=1 , maka exp1=e

Contoh : Buktikan eaeb=ea+b

Jawab :

eaeb=exp (lneaeb )eaeb=exp (lnea+lneb )eaeb=exp (a+b)

(1) elnx=x , ……. x>0

(2) ln(ey)=y, untuksemua y

ex=expx

11

eaeb=ea+b

Turunan ex , oleh karena exp dan ℓn adalah fungsi-fungsi yangsaling berbalikan, maka fungsi expx=ex , dapatditurunkan.

Andaikan y=ex , maka x=lnyRuas kiri dan ruas kanan, kita turunkan menurut x , sehingga

kita peroleh1=1

y Dxy ( aturan rantai )

Sehingga Dxy=y=ex

Dengan demikian terbukti bahwa turunan ex adalah juga ex

Dxex=ex

Apabila u=f (x) dapat diturunkan, maka menurut aturan

rantai :Dxe

u=euDxu

Contoh 1 : Tentukan Dxe√x

Jawab :

Andaikan u=√x , maka

Dxe√x=e√xDx √x=e√x ¿ 12x

− 12=

e√x

2√x

Contoh 2 : Tentukan Dxex2lnx

Jawab :

Dxex2lnx=ex2lnxDx (x2lnx )

Dxex2lnx=ex2lnx (x2¿ 1

x+2xlnx)

Dxex2lnx=xex2lnx (1+lnx2 )

Diferensial

12

Rumus Dxex=ex dapat menghasilkan rumus ∫exdx=ex+c , atau apabila x

kita ganti dengan u , kita peroleh :

∫eudu=eu+c

Contoh 1. Tentukan ∫e−4xdx

Jawab :

Andaikan u=−4x , sehingga du=−4dx ,

Maka ∫e−4xdx=− 14∫e−4x (−4dx)

∫e−4xdx=− 14∫e−4x (−4dx )

∫e−4xdx=− 14∫eudu=− 1

4 eu+c

−14∫eudu=− 1

4eu+c=− 1

4e−4x+c

Contoh 2. Tentukan ∫x2e−x3dx

Jawab :

Andaikan u=−x3 , sehingga du=−3x2dx ,

Maka ∫x2e−x3dx=−

13∫e−x3 (−3x2dx)

∫x2e−x3dx=−13∫eudu=−

13eu+c=−

13e−x3+c

Contoh 3. Hitunglah ∫1

3

xe−3x2dx

13

Jawab :

Andaikan u=−3x2 , sehingga du=−6xdx ,

Maka∫1

3

xe−3x2dx=−16∫e−3x2 (−6xdx )=−

16∫eudu

−16∫eudu=− 1

6eu+c=− 1

6e−3x2+c

Maka menurut teorema dasar kalkulus

∫1

3

xe−3x2dx=[−16e−3x2]1

3

=−16

(e−27−e−3 )=e−3−e−27

6¿0,0082978

Secara umum pembalikan atau peng-invers-an suatu fungsi dapat

dilihat pada gambar dibawah ini :

Perhatikan bahwa daerah asal f−1 adalah R dan daerah hasilnya adalah D

dan sebaliknya.

DD

R

R

x

yf f−1

y=f (x )=2xx=f−1 (y )=1

2 y

y=2xx=1

2 y

y

x

ff−1

y=f (x )=x3−1x=f−1 (y )=3√y+1

14

Apabila f memiliki invers f−1 , maka f−1 juga memilikiinvers, yaitu f . Jadi dapat dikatakan bahwa f dan f−1

merupakan pasangan fungsi invers. Dirumuskan sebagai berikut:

f−1 (f (x ))=x dan f−1 (f (y ))=y

Lambang f−1 bukan berarti 1f

FUNGSI INVERS

Pengertian : Jika pada suatu fungsi f (x) semua unsur-unsurnyadibalikkan dan didapat suatu fungsi lagi makafungsi yang baru ini disebut fungsi invers dari f (x)

dan ditulis f (x)−1 . Pengertian dari fungsi invers iniialah cerminan dari f (x) terhadap garis y=x

Contoh 1 : Buktikan bahwa f (x)=2x+6 , memiliki invers ;tentukan rumus untuk f (y)−1

dan cocokkanlah denganrumus diatas.

Jawab :

15

y

x

xy

ab,

ba,

4,1

1,4

y

x 1 xfy

xfy

xy,

yx,

Oleh karena f naik, maka f (y)−1, kita mencari x dari

f (x)=y=2x+6 , yang mengahsilkanx= (y−6 )

2=f (y)−1

, sedangkanf−1 (f (x ))=f−1 (2x+6 )= (2x+6 )−6

2=x

sedangkan f (f (y )−1)=f(y−62 )=2 y−62 +6=y

.GRAFIK y=f (x )−1

andaikan f memiliki invers, maka

x=f (y )−1⇔y=f (x )

Jadi y=f (x ) dan x=f (y )−1 menentukan pasangan bilangan (x,y)

yang sama, sehingga grafik dua hubungan itu identik. Akan tetapi kita

biasanya menggunakan x sebagai variabel bebas dan y sebagai

variabel tak bebas.

Timbul pertanyaan, bagaimanakah bentuk grafik y=f (x )−1

(Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan x dan y ), apabila kitaperhatikan, penukaran peranan ini mengakibatkan pencerminan grafik pada

garis y=x , ini berarti bahwa grafik y=f (x )−1 adalah gambar cermin grafik

y=f (x ) pada garis y=x ( lihat gambar dibawah ini )

16

Cara yang sama dapat pula digunakan untuk menemukan suatu rumus untukf (x)−1

. Untuk hal ini kita tentukan terlebih dahulu f (y)−1, kemudian kita tukar x

dan y dalam rumus x=f (y )−1. Jadi kita dapat menentukan g=f (x)−1

denganlangkah-langkah berikut :

Langkah 1 Nyatakanlah x dengan y dari persamaan y=f (x ) Langkah 2 Nyatakanlah bentuk dalam y yang telah ditentukan itu sebagai

f (y)−1⇒x=f (y )−1

Langkah 3 Gantilah kemudian y dengan x dan x dengan y dalam bentukx=f (y )−1

, kita y=f (x )−1

Contoh 2 : Tentukan rumus untuk f (x)−1 apabila y=f (x )= x

(1−x )

Jawab : Kita buktikan terlebih dahulu bahwa f memilikiinvers. Akan tetapi, apabila dalam langkah pertamakita memperoleh satu nilai x untuk tiap y , makaf−1

ada. ( Perhatikan bahwa untuk y=g (x )=x2 , kita perolehx=±√y , yang menyatakan bahwa g−1

tidak ada dengan membatasidaerah asal x , kita dapat memperoleh g−1

)

Untuk contoh 2 , langkah-langkah diatas menghasilkan :

Langkah 1. y= x

1−x⇔ (1−x)y=x

y−xy=x

x+xy=y

x (1+y )=y

x= y

1+y

Langkah 2. f (y)−1= y

1+y

17

Langkah 3. f (x)−1

=x

1+x

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

( Tentukan fungsi invers dari fungsi yang ditentukan )

Soal 1. y=f (x )=3x+4

Jawab y=3x+4→3x=y−4

x=13 (y−4)

Soal 2. y=f (x )=x−1

x−2

Jawab y=x−1

x−2→yx−2y=x−1

yx−x=2y−1

x (y−1)=2y−1

x=2y−1

y−1

Soal 3. y=f (x )= x

x−1

Jawab y=f (x )= x

x−1→yx−y=x

(y−1 )x=y

x= y

y−1

x=f (y )= 13 (y−4)

Fungsi invers : f (x)−1=1

3 (x−4 )

Fungsi invers :f (x)−1=2x−1

x−1

Fungsi invers :f (x)−1

=x

x−1

18

Soal 4. y=f (x )=3x−5

Jawab y=f (x )=3x−5→3x=y+5

x=13 y+5

3

Soal 5. 3y=2x+8

Jawab 3y=2x+8→2x=3y−8

x=32 y−4

TURUNAN FUNGSI INVERS

(f−1 )' (y)= 1f (x)' Rumus ini dapat pula ditulis sebagai

dxdy

=1dydx

Contoh : Andaikan y=f (x )=x5+2x+1

Tentukan (f−1 )' (4)

Jawab : Walaupun kita tidak dapat menentukan rumus untukf−1 disini, kita lihat bahwa y=4 sepadan denganx=1 , oleh karena f (x)'=5x4+2 , kita peroleh(f−1 )' (4)= 1

f (1 )'=

15+2

=17

Fungsi invers :f (x)−1

=13 x+

53

Fungsi invers :f (x)−1

=32 x−4

logex=lnx

logax expx=ex

19

Fungsi ax , xa dan xx Andaikan a konstanta dan x

variabel. Janganlah dicampuradukkan fungsi f (x)=ax , yaitufungsi eksponen dengan fungsi g (x )=xa , suatu fungsi pangkat.

Dx (ax)=axlna

Dx (xa)=axa−1 , a= bilangan rasional

Dx (xa)=Dx (ealnx )=ealnx ax

Dx (xa)=xa¿ ax=axa−1

, a= bilangan tak-rasional

Contoh 1 : y=xx , x>0 , tentukan Dxy dengan dua cara

Cara pertama : y=xx=exlnxDxy=e

xlnxDx (xlnx )=xx (x ¿1x+lnx)=xx (1+lnx )

Cara kedua : ( Pendiferensialan logaritma )y=xx⇔lny=xlnx

1y Dxy=x¿1x+lnxDxy=y (1+lnx)Dxy=x

x (1+lnx )

Contoh 2 : y=(x2+1)sinx , tentukan dydx

Gunakan pendiferensialan logaritma

lny=sinxln (x2+1)

ax

20

1ydydx

=(sinx) 2xx2+1

+(cosx)ln (x2+1)

dydx

=(x2+1 )sinx [2xsinxx2+1+(cosx )ln(x2+1 )]

Contoh 3 : y=(x2+1)π+πsinx , tentukan dydx

dydx

=π (x2+1)π−1(2x )+πsinxlnπcosx

FUNGSI TRIGONOMETRI

Enam fungsi dasar trigonometri yaitu :1. sinus ( sin )

rt

2. kosinus ( cos ) st

3. tangen ( tan ) rs

4. kotangen (cot ) sr

5. sekan ( sec ) ts

6. kosekan ( csc ) tr

Lambang sin−1

kerapkali ditulis sebagai arc sin dan cos−1

sebagai arccos

arc sin berarti “ busur yang sinusnya adalah “ atau sudut yang sinusnya

α (proyektum )

r ( proyektor )

s ( proyeksi )

α

21

Daerah asal yang dipersempit

y

x2 23

1

1

223

xy sin

2 2

y

x2

211

xy 1sin

y

x2

1 1

xy 1cos

Daerah asal yang dipersempit

y

x 2

1

12

23

2xy cos

0

0

Fungsi INVERS SINUS dan KOSINUS, dalam kasus sinus dan kosinus,

kita batasi daerah asal sedangkan daerah hasilnya kita ambil

seluas mungkin, asal fungsi itu memiliki INVERS.

Kita definisikan fungsi-fungsi invers sinus dan kosinus sebagai

berikut :

Definisi :

y

(x,y)

22

y

x1

1xy tan

23 21 21 23

Daerah asal yang terbatas

21 21

y

x

xy 1tan

11

21

21

Untuk memperoleh invers dari sinus dan

kosinus, kita batasi daerah asal fungsi-

fungsi itu pada selang (− π2 ,

π2 ) dan (0,π)

x=sin−1y↔y=sinx dan − π2≤x≤

π2

x=cos−1y↔y=cosx dan 0≤x≤π

INVERS TANGEN (tan−1)

Definisi

Untuk memperoleh invers fungsi tangen, kita batasi daerahasalnya pada selang (− π

2 ,π2 ) , sehingga x=tan−1y↔y=tanx dan

− π2<x<

π2

x(1,0 )0

arcsiny

23

x

xy 1sec

11

21

y

x1

1xy sec

23 2

1 21 2

3

Daerah asal yang terbatas

y

0

0

INVERS SEKAN (sec−1)

Definisi

Untuk memperoleh invers fungsi sekan, kita batasi daerah asal sekanpada himpunan (0, π

2 )∪( π2 ,π ) , sehingga x=sec−1y↔y=secx dan0≤x≤π , dengan x≠

π2

24

EMPAT PEMAKAIAN KESAMAAN

i. sin (cos−1x )=√1−x2

ii. cos (sin−1x )=√1−x2

iii. sec (tan−1x )=√1+x2

iv. tan (sec−1x )=±√x2−1

cos−1x√1−x2

x

1

sin−1x

tan−1x

1

1

x

x

x

√1−x2

√1+x2

25

Untuk membuktikan (i), kita gunakan hubungan sin2θ+cos2θ=1 ;

khususnya, apabila 0≤θ≤π , maka sinθ=√1−cos2θ

Kita ambil θ=cos−1x dan oleh karena cos (cos−1x )=x , kita

memperoleh :

sin (cos−1x )=√1−cos2 (cos−1x)

sin (cos−1x )=√1−x2

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

tanx=sinxcosx

secx= 1cosx

cscx= 1sinx

Dxsinx=cosx Dxcosx=−sinx

Dxtanx=sec2x Dxcotx=−csc2x

Dxsecx=secxtanx Dxcscx=−cscxcotx

sec−1x1

√x2−1

y=uv→y'=u'v−uv'

v2

26

Dxcotx=Dx(cosxsinx )=sinx (−sinx )−cosxcosxsin2x

=1

sin2x=−csc2x

Fungsi-fungsi komposit, aturan diatas dapat kita rangkaikandengan aturan rantai untuk memperoleh turunan fungsi u yanglebih rumit misalnya, kalau u=f (x) dapat didiferensialkan,maka

Dxsinu=cosuDxu

Contoh 1. Tentukan Dxsin (3x2+4)

Misal u=3x2+4 , maka Dxsin (3x2+4)=Dxsinu

Dxsin (3x2+4)=cosuDxu

Dxsin (3x2+4)=[cos (3x2+4) ]¿6x=6xcos (3x2+4)

Contoh 2. Tentukan Dxtan2 (9x)

Kita harus menggunakan 2 ( dua ) kali aturan rantai sebagai berikut :Dxtan

2 (9x)=2tan (9x )Dxtan (9x )Dxtan

2 (9x)=2tan (9x )sec2 (9x )Dx (9x )Dxtan

2 (9x)=2tan (9x )sec2 (9x )¿9Dxtan

2 (9x)=2tan (9x )sec2 (9x )¿9Dxtan

2 (9x)=18tan (9x)sec2 (9x)

Contoh 3. y=sin

2x(1−cotx ) , tentukan

dydx

Jawab : dydx

=(1−cotx)Dx (sin2x )−sin2xDx (1−cotx)

(1−cotx)2

dydx=

(1−cotx) ¿2sinxcosx−sin2xcsc2x(1−cotx )2

dydx=

2sinxcosx−2cos2x−1(1−cotx )2

27

INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI

(i) Dxsin

−1x= 1√1−x2 −1<x<1

(ii) Dxcos

−1x= −1√1−x2 −1<x<1

(iii) Dxtan

−1x= 11+x2

(iv) Dxsec

−1x= 1|x|√x2−1 |x|>1

(i)Pembuktian Dxsin

−1x= 1√1−x2 −1<x<1

Misal y=sin−1x , maka x=siny

1=cosyDxy

1=cos (sin−1x )Dx (sin−1x )

1=√1−x2Dx (sin−1x )

Dx (sin−1x)= 1

√1−x2

Hasil (ii), (iii) dan (iv) diatas dapat dibuktikan

dengan cara serupa. Untuk (iv) ada hal yang lain

sedikit. Sebagai berikut : Andaikan y=sec−1x , makax=secy

Ruas kiri dan kanan kita turunkan menurut x , kita

peroleh1=secytanyDxy

28

1=sec(sec−1x)tan (sec−1x )Dx (sec−1x )

1=(±x√x2−1 )Dx (sec−1x )

Untuk langkah terakhir kita gunakan kesaman (iv), kita

gunakan tanda positif untuk x>1 dan tanda negatif

untuk x<−1 , sehingga

1=±x√x2−1Dx (sec−1x)

1=|x|√x2−1Dx (sec−1x )

Dengan demikian terbuktilah (iv)

Tiap rumus pendiferensialan menghasilkan rumus integral

(v) ∫ 1

√1−x2dx=sin−1x+c

(vi)

∫ 11+x2

dx=tan−1x+c

(vii)

∫ 1x√x2−1

dx=sec−1|x|+c

Contoh : Hitunglah

∫0

12 dx

√1−x2

29

Solusi :

∫0

12 dx

√1−x2=[sin−1]0

12=sin−1 1

2−sin−10

∫0

12 dx

√1−x2=π6−0=π

6

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

Soal 1. Tentukan Dxsin−1 (3x−1 )

Jawab :

Dxsin−1 (3x−1 )= 1

√1−(3x−1 )2Dx (3x−1 )

Dxsin−1 (3x−1 )= 3

√−9x2+6x

Soal 2. Tentukan Dxtan

−1 √x+1

Jawab :

Dxtan−1 √x+1= 1

1+(√x+1)2Dx√x+1

Dxtan

−1 √x+1= 11+2

⋅12

(x+1)− 1

2

30

Dxtan−1 √x+1= 1

2 (x+2 )√x+1

BUNGA MAJEMUK, apabila kita menyimpan $ 100 disebuah bank

dengan bunga majemuk 12% maka modal tersebut menjadi $100(1+ 12

100 ) pada akhir bulan pertama; pada akhir bulan kedua

modal itu menjadi $ 100 (1+ 12100 )2 dan pada akhir bulan

keduabelas ( atau satu tahun ) ia menjadi $ 100(1+ 12100 )12 .

Secara lebih umum ; apabila kita menyimpan modal A0 dolar

disebuah bank dengan bunga majemuk 100r sebanyak n kali tiap

tahun, maka modal itu, setelah t tahun, akan menjadi

sebanyak A(t) , dengan formula :

A(t)=A0(1+rn )nt

Soal 3. Andaikan John menyimpan uang sebanyak $ 500

pada suatu bank dengan bunga majemuk tiap hari sebesar

13%. Berapakah banyak uang itu pada akhir dua tahun?

Jawab :

Disini r=0,13 dan n=365

Maka A(t )=500(1+0,13365 )(365×2 )

≃¿ ¿$ 648,43

Soal 4. Seorang berdiri diatas sebuah bukit vertikal kira-

kira 200 kaki diatas sebuah danau. Dia melihat sebuah

31

perahu bermotor yang bergerak menjauhi bukit dengan

laju 25 kaki tiap detik. Berapa laju perubahan sudut

penglihatan θ ( lihat gambar ), apabila

perahu berada pada jarak 150 kaki dari bukit itu ?

Jawab :

FUNGSI HIPERBOL DAN INVERSNYA

Definisi fungsi hiperbol

sinhx=12

(ex−e−x) cschx=1

sinhx

Dari gambar tampak bahwa sudut depresi θ memenuhi hubungan

θ=tan−1(200x ) , maka

dθdt

=1

1+(200x )2 ¿(−200x2 )dxdt

dθdt

=( −200x2+40000 )dxdt

Apabila kita substitusikan x=150 dan dxdt

=25, kita peroleh

dθdt

=−0,08radian/detik

θ

200 kak

150 kak

bukit

Perah

ddx

(tan−1x )= 11+x2

⇔∫ 11+x2

dx=tan−1x+c

32

A 0,1

ttyx sin,cos, t x

y

122 yxtytx

sincos

A 0,1

ttyx sinh,cosh,

t x

y

122 yx

122 yx

coshx=12

(ex+e−x ) sechx=1

coshx

tanhx=sinhxcoshx

cothx=coshxsinhx

Kesamaan dasar fungsi hiperbol ( semacam cos2x+sin2x=1

dalam trigonometri ) adalah cosh2x−sinh2x=1

cosh2x−sinh2x=(e2x+2+e−2x

4 )−(e2x−2+e−2x

4 )=1

33

xy sinh

x

y

11

x

y

1

1

xy cosh

sinh (−x )=−sinhx , maka sinh fungsi ganjil, sedangkan cosh (−x )=coshx , makacosh fungsi genap

Turunan fungsi Hiperbol

Dxsinhx=coshx Dxcschx=−cschxcothx

Dxcoshx=sinhx Dxsechx=−sechxtanhx

Dxtanhx=sech2x Dxcothx=−csch2x

Dxsinhx=Dx(ex−e−x

2 )=ex+e−x

2=coshx

Dxcoshx=Dx(ex+e−x

2 )=ex−e−x

2=sinhx

Contoh Tentukan Dxcosh2 (3x−1 )

Jawab : Kita gunakan dua kali aturan rantai

Dxcosh2 (3x−1 )=2cosh (3x−1 )Dxcosh(3x−1 )

34

Dxcosh2 (3x−1 )=2cosh (3x−1 )sinh (3x−1 )Dx (3x−1 )

Dxcosh2 (3x−1 )=6cosh (3x−1 )sinh (3x−1 )

Invers fungsi hiperbola

x=sinh−1y↔y=sinhx

x=cosh−1y↔y=coshx dan x≥0

x=tanh−1y↔y=tanhx

x=sech−1y↔y=sechx dan x≥0

y=coshx , untuk x≥0 , ini berarti bahway=ex+e−x

2 , x≥0

dikalikan (¿ )

dengan 2ex

y¿2ex=e2x+1 atau

(ex)2−2yex+1=0 , x≥0

Apabila kita mencari ex dari persamaan tersebut, kita peroleh

ex=2y±√ (2y )2−42

=y±√y2−1

Kita tarik ke-logaritma asli-nya

x=ln(y±√y2−1)Syarat agar x≥0 , mengakibatkan bahwa kita harus memilih

tanda positif, sehingga

x=cosh−1y=ln (y+√y2−1)

sinh−1x=ln (x+√x2+1 )

cosh−1x=ln (x+√x2−1) , x≥1

35

tanh−1x= 12ln

1+x1−x , −1<x<1

sech−1x=ln(1+√1−x22 ) , 0<x≤1

Tiap fungsi diatas dapat didiferensialkan

Dxsinh−1x= 1

√x2+1

Dxcosh−1x= 1

√x2−1 , x>1

Dxtanh−1x= 1

1−x2 , −1<x<1

Dxsech−1x= −1

x√1−x2 , 0<x<1

Contoh Buktikan bahwa Dxsinh

−1x= 1√x2+1

Metode 1. Andaikan y=sinh−1x , makax=sinhy

Ruas kiri dan ruas kanan diturunkan menurut x , maka

1=(coshy )Dxy

∴Dxy=Dx(sinh−1x )= 1coshy

=1

√1+sinh2y=

1√1+x2

36

Metode 2. Gunakan bentuk logaritma sinh−1x

Dx (sinh−1x )=Dxln(x+√x2+1)

Dx (sinh−1x )= 1x+√x2+1

Dx(x+√x2+1)

Dx (sinh−1x )= 1x+√x2+1 (1+ x

√x2+1 )Dx (sinh−1x )= 1

√x2+1

37