Fungsi Bernilai VektorLimit, Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 1 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan nvariabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Artilim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
adalah untuk setiap ε > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiapx di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < ‖~x −~a‖ < 0memenuhi
‖f (~x)−~L‖ < ε
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx→a f (~x) sebagai
lim(x1,..., xn) →(a1,...,an)
(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
dengan ~a = (a1, . . . , an) dan ~x = (x1, . . . , xn)Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan nvariabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Artilim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
adalah untuk setiap ε > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiapx di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < ‖~x −~a‖ < 0memenuhi
‖f (~x)−~L‖ < ε
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx→a f (~x) sebagai
lim(x1,..., xn) →(a1,...,an)
(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
dengan ~a = (a1, . . . , an) dan ~x = (x1, . . . , xn)Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan nvariabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Artilim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
adalah untuk setiap ε > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiapx di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < ‖~x −~a‖ < 0memenuhi
‖f (~x)−~L‖ < ε
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx→a f (~x) sebagai
lim(x1,..., xn) →(a1,...,an)
(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
dengan ~a = (a1, . . . , an) dan ~x = (x1, . . . , xn)Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa∥∥∥f (~x)−~L∥∥∥
Rm=√(f1 (~x)− l1)
2 + . . . + (fm (~x)− lm)2
dan |fi (~x)− li | ≤∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm
untuk setiap i .
Ini mengatakan bahwa lim~x→~a f (x) =~L = (l1, . . . , lm) maka
lim~x→~a
fi (~x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m
Sebaliknya∥∥∥f (~x)−~L
∥∥∥Rm≤ 1
m (|fi (~x)− l1|+ . . . + |fm (~x)− lm|)Ini mengatakan bahwa lim~x→~a fi (~x) = li untuk setiap i = 1, . . . , mmaka
lim~x→~a
f (x) =~L = (l1, . . . , lm)
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandangsebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Theorem
Misalkan f (x) fungsi bernilai vektor di Rm dengan n variabel dan atitik limit dari daerah definisi fungsi f . Kemudian
lim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
jika dan hanya jikalim~x→~a
fi (x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m.
Atau
lim~x→~a
(f1(x), . . . , fn(x)) = ( lim~x→~a
f1(x), . . . , lim~x→~a
fm(x))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 4 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Theorem
Misalkan f (x) fungsi bernilai vektor di Rm dengan n variabel dan atitik limit dari daerah definisi fungsi f . Kemudian
lim~x→~a
f (~x) =~L = (l1, . . . , lm)
jika dan hanya jikalim~x→~a
fi (x) = li
untuk setiap i = 1, . . . , m.
Atau
lim~x→~a
(f1(x), . . . , fn(x)) = ( lim~x→~a
f1(x), . . . , lim~x→~a
fm(x))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 4 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)
cukup dengan mencari nilai
lim(x ,y ) →(0,0)
sin xy
xy= 1 dan lim
(x ,y ) →(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
maka
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)= (1, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)
cukup dengan mencari nilai
lim(x ,y ) →(0,0)
sin xy
xy= 1 dan lim
(x ,y ) →(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
maka
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)= (1, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)
cukup dengan mencari nilai
lim(x ,y ) →(0,0)
sin xy
xy= 1 dan lim
(x ,y ) →(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
maka
lim(x ,y ) →(0,0)
(sin xy
xy,
xy√x2 + y2
)= (1, 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagianlinear terhadap ∆x = (∆x1, . . . , ∆x1) dari
f (a + ∆x)− f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn.
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
lim∆x→~0
‖f (a + ∆x)− f (a)− L(∆x)‖m‖∆x‖n
= 0
dengan ‖ − ‖p menyatakan norm di Rp.
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f ′(a) = L, sedangkan nilai
f ′(a)(∆x) = L(∆x) = df (a)(∆x)
yaitu nilai transformasi linear di ∆x , disebut diferensial fungsi f .Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagianlinear terhadap ∆x = (∆x1, . . . , ∆x1) dari
f (a + ∆x)− f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn.
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
lim∆x→~0
‖f (a + ∆x)− f (a)− L(∆x)‖m‖∆x‖n
= 0
dengan ‖ − ‖p menyatakan norm di Rp.
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f ′(a) = L, sedangkan nilai
f ′(a)(∆x) = L(∆x) = df (a)(∆x)
yaitu nilai transformasi linear di ∆x , disebut diferensial fungsi f .Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagianlinear terhadap ∆x = (∆x1, . . . , ∆x1) dari
f (a + ∆x)− f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn.
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
lim∆x→~0
‖f (a + ∆x)− f (a)− L(∆x)‖m‖∆x‖n
= 0
dengan ‖ − ‖p menyatakan norm di Rp.
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f ′(a) = L, sedangkan nilai
f ′(a)(∆x) = L(∆x) = df (a)(∆x)
yaitu nilai transformasi linear di ∆x , disebut diferensial fungsi f .Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagianlinear terhadap ∆x = (∆x1, . . . , ∆x1) dari
f (a + ∆x)− f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn.
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
lim∆x→~0
‖f (a + ∆x)− f (a)− L(∆x)‖m‖∆x‖n
= 0
dengan ‖ − ‖p menyatakan norm di Rp.
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f ′(a) = L, sedangkan nilai
f ′(a)(∆x) = L(∆x) = df (a)(∆x)
yaitu nilai transformasi linear di ∆x , disebut diferensial fungsi f .Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsikomponen
f (x , y) = (f1 (x , y) , f2 (x , y)) atau f (x , y) =
[f1 (x , y)f2 (x , y)
]
Berdasarkan fungsi skalar
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=[
f1 (a, b) + ∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .f2 (a, b) + ∂f2
∂x (a, b)∆x + ∂f2∂y (a, b)∆y + . . .
]
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsikomponen
f (x , y) = (f1 (x , y) , f2 (x , y)) atau f (x , y) =
[f1 (x , y)f2 (x , y)
]
Berdasarkan fungsi skalar
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=[
f1 (a, b) + ∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .f2 (a, b) + ∂f2
∂x (a, b)∆x + ∂f2∂y (a, b)∆y + . . .
]
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsikomponen
f (x , y) = (f1 (x , y) , f2 (x , y)) atau f (x , y) =
[f1 (x , y)f2 (x , y)
]
Berdasarkan fungsi skalar
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=[
f1 (a, b) + ∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .f2 (a, b) + ∂f2
∂x (a, b)∆x + ∂f2∂y (a, b)∆y + . . .
]
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b) ∂f1
∂y (a, b)∂f2∂x (a, b) ∂f2
∂y (a, b)
] [∆x∆y
]
Jadi, terhadap basis standar, matriks turunan fungsi f di (a, b) adalah[∂f1∂x (a, b) ∂f1
∂y (a, b)∂f2∂x (a, b) ∂f2
∂y (a, b)
]
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 8 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
[f1 (a + ∆x , b + ∆y)f2 (a + ∆x , b + ∆y)
]=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b)∆x + ∂f1
∂y (a, b)∆y + . . .∂f2∂x (a, b)∆x + ∂f2
∂y (a, b)∆y + . . .
]︸ ︷︷ ︸
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
=
[f1 (a, b)f2 (a, b)
]+
[∂f1∂x (a, b) ∂f1
∂y (a, b)∂f2∂x (a, b) ∂f2
∂y (a, b)
] [∆x∆y
]
Jadi, terhadap basis standar, matriks turunan fungsi f di (a, b) adalah[∂f1∂x (a, b) ∂f1
∂y (a, b)∂f2∂x (a, b) ∂f2
∂y (a, b)
]
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 8 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn, turunan fungsi f di titik aadalah transformasi linear f ′ (x) dengan matriks penyajian terhadapbasis standar adalah
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
......
. . ....
∂fm∂x1
∂fm∂x2
. . . ∂fm∂xn
m×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1, . . . , am).
Secara singkat ditulis sebagai matriks[
∂fi∂xj
]dan disingkat sebagai
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn, turunan fungsi f di titik aadalah transformasi linear f ′ (x) dengan matriks penyajian terhadapbasis standar adalah
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
......
. . ....
∂fm∂x1
∂fm∂x2
. . . ∂fm∂xn
m×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1, . . . , am).
Secara singkat ditulis sebagai matriks[
∂fi∂xj
]dan disingkat sebagai
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn, turunan fungsi f di titik aadalah transformasi linear f ′ (x) dengan matriks penyajian terhadapbasis standar adalah
∂f1∂x1
∂f1∂x2
. . . ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
. . . ∂f2∂xn
......
. . ....
∂fm∂x1
∂fm∂x2
. . . ∂fm∂xn
m×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1, . . . , am).
Secara singkat ditulis sebagai matriks[
∂fi∂xj
]dan disingkat sebagai
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x1, x2) =(x21x2, x3
1 − x32 , x1x2
2
)Tentukan turunan f di sebarang titik (x1, x2).
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran. . .
yaitu
f ′ (x1, x2) =
2x1x2 x21
3x21 −3x2
2
x22 2x1x2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 10 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x1, x2) =(x21x2, x3
1 − x32 , x1x2
2
)Tentukan turunan f di sebarang titik (x1, x2).
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran. . .
yaitu
f ′ (x1, x2) =
2x1x2 x21
3x21 −3x2
2
x22 2x1x2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 10 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan dan Diferensial
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = p (x). Turunan di titik aadalah p′ (a) dan diferensial dy = p′ (a) dx
1 2 3
−1
1
2
0 dx
dy
y = f (x)
A
B
CD
E
F
Untuk fungsi vektor ~y = f (~x), diferensialnya adalah dy1...
dym
=
∂f1∂x1
. . . ∂f1∂xn
.... . .
...∂fm∂x1
. . . ∂fm∂xn
dx1
...dxn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 11 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan dan Diferensial
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = p (x). Turunan di titik aadalah p′ (a) dan diferensial dy = p′ (a) dx
1 2 3
−1
1
2
0 dx
dy
y = f (x)
A
B
CD
E
F
Untuk fungsi vektor ~y = f (~x), diferensialnya adalah dy1...
dym
=
∂f1∂x1
. . . ∂f1∂xn
.... . .
...∂fm∂x1
. . . ∂fm∂xn
dx1
...dxn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 11 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsif (x , y) =
(x2 − xy , xy + y2
)Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
f ′ (2, 1) =
[2x − y −x
y x + 2y
](2,1)
=
[3 −21 4
]Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsif (x , y) =
(x2 − xy , xy + y2
)Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
f ′ (2, 1) =
[2x − y −x
y x + 2y
](2,1)
=
[3 −21 4
]Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsif (x , y) =
(x2 − xy , xy + y2
)Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
f ′ (2, 1) =
[2x − y −x
y x + 2y
](2,1)
=
[3 −21 4
]Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
−1 1 2 3
−1
1
2
0
dx
dyA B
CD
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
−1 1 2 3
−1
1
2
0
dx
dyA B
CD
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
−1 1 2 3
−1
1
2
0
dx
dyA B
CD
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalahf (2, 1) = (4− 2, 2 + 1) = (2, 3)
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
A
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalahf (2, 1) = (4− 2, 2 + 1) = (2, 3)
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
A
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehfungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalahf (2, 1) = (4− 2, 2 + 1) = (2, 3)
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
A
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehturunannya, yaitu pemetaan linear[
dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 15 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x , y) =(x2 − xy , xy + y2
)Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 olehturunannya, yaitu pemetaan linear[
dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]
−2−1 1 2 3 4 5 6−1123456789
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 15 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
−1 1 2 3−1
1
2
0
dxdyA B
CD
−2 −1 1 2 3 4 5 6−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
AA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b) dan(c , d) adalah√
a2 + b2√
c2 + d2 sin∠ (a, b) (c , d) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segiempat adalah 14.
Secara umum, jika diferensialnya adalah
[dudv
]=
[a cb d
] [dxdy
],
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b) dan(c , d) adalah√
a2 + b2√
c2 + d2 sin∠ (a, b) (c , d) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segiempat adalah 14.
Secara umum, jika diferensialnya adalah
[dudv
]=
[a cb d
] [dxdy
],
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b) dan(c , d) adalah√
a2 + b2√
c2 + d2 sin∠ (a, b) (c , d) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segiempat adalah 14.
Secara umum, jika diferensialnya adalah
[dudv
]=
[a cb d
] [dxdy
],
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Arti geometri
[dudv
]=
[3 −21 4
] [dxdy
]mentransformasikan
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b) dan(c , d) adalah√
a2 + b2√
c2 + d2 sin∠ (a, b) (c , d) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segiempat adalah 14.
Secara umum, jika diferensialnya adalah
[dudv
]=
[a cb d
] [dxdy
],
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn, y = f (x)
maka diferensialnya adalah
dy = f ′ (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn =∣∣det
(f ′ (a)
)∣∣ dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 19 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn, y = f (x)
maka diferensialnya adalah
dy = f ′ (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn =∣∣det
(f ′ (a)
)∣∣ dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 19 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn, y = f (x)
maka diferensialnya adalah
dy = f ′ (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn =∣∣det
(f ′ (a)
)∣∣ dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Bernilai Vektor 19 / 18
Top Related