FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS SEBELAS MARET (UNS)SURAKARTA

DETERMINAN OPERASI BARIS DAN VEKTOR MATRIKS

Pertemuaan ke-6 (kelas A) : Selasa, 31 Maret 2020 Pk. 10.00 – 11.40 wib

Dosen : DR. Suharno, M.Si

Determinan dengan Operasi Baris, OB

KB1716403, MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Menghitung determinan matriks dengan cara mengkalikan unsurunsurdiagonalnya hanya berlaku untuk matriks dengan bentuk segitiga bawah ataupunmatriks segitiga atas

Matriks bujur sangkar OB Matriks Segitiga Atas

Berikut ini adalah pengaruh OB pada nilai determinan suatu matriks, yaitu:

Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan satu kali pertukaran barismaka 𝒅𝒆𝒕 (𝑩) = − 𝒅𝒆𝒕 (𝑨)

1.

Contoh : 𝐴 =2 1−1 1

𝐵 =−1 12 1

𝑏1 ↔ 𝑏2

det 𝐴 = 3 det 𝐵 = −3

Determinan dengan Operasi Baris, OB

KB1716403, MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan mengalikan satu baris 𝐴 dengan 𝑘maka 𝒅𝒆𝒕 (𝑩) = 𝒌 𝒅𝒆𝒕 (𝑨)

Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan perkalian sebuah baris dengankonstanta tak nol 𝑘 lalu dijumlahkan pada baris lain maka 𝒅𝒆𝒕 𝑩 = 𝒅𝒆𝒕 𝑨

𝐴 =2 1−1 1

Contoh :

2𝑏2 𝐵 =2 1−2 2

det 𝐴 = 3 det 𝐵 = 6 𝒅𝒆𝒕 (𝑩) = 2 𝒅𝒆𝒕 (𝑨)

2.

3.

𝐴 =1 32 −6

Contoh :

𝑏2 − 2𝑏1𝐵 =

1 30 −12

det 𝐴 = −12 det 𝐵 = −12

Contoh :

KB1716403, MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Tentukan determinan matriks berikut dengan operasi baris!

𝐴 =2 1 01 2 10 1 2

Solusi : 𝐴 =2 1 01 2 10 1 2

𝑏1 ↔ 𝑏2 𝐴 = −1 2 12 1 00 1 2

𝑏2 − 2𝑏1 𝐴 = −1 2 10 −3 −20 1 2

𝐴 = −1 2 10 −3 −20 1 2

𝑏2 ↔ 𝑏3 𝐴 = −1 2 10 1 20 −3 −2

𝑏3 + 3𝑏2 𝐴 = −1 2 10 1 20 0 4

= 4

Hasil perkalian unsur diagonal = 4Sampai menemukan matrikssegitiga atas

Latihan soal dan Kuis :Cari determinan matriks berikut dengan operasi baris!

KB1716403, MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

𝐴 =1 2 34 5 22 4 6

, 𝐴𝑛𝑠 = 0

𝐴 =5 3 05 1 010 17 5

, 𝐴𝑛𝑠 = −50

𝐴 =

7 8 9 100 1 0 80 0 −1 100 0 0 2

, 𝐴𝑛𝑠 = −14(Kuis 1)

(Kuis 2)

(Latihan soal)

1.

2.

4.

3.

𝐴 =

2 −1 3 71 −2 4 33 4 2 −12 −2 8 −4

, 𝐴𝑛𝑠 = 80

(Latihan soal)

5.

𝐴 =2 0 −3−1 5 43 −2 0

, 𝐴𝑛𝑠 = 55

(Kuis 3)

Aplikasi Determinan

KB1716403, MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Solusi SPL dengan tehnik Cramer’s

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

Bentuk umum SPL :

Syarat 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 ≠ 0

𝑥 =𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

Maka :

dan

𝑦 =𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

𝑥 =

𝑐1 𝑏1𝑐2 𝑏2𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

𝑦 =

𝑎1 𝑐1𝑎2 𝑐2𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

2𝑥 + 3𝑦 = 3𝑥 − 2𝑦 = 5

Tentukan nilai 𝑥 dan 𝑦 dengan cara Cramer’s!

Ans : 𝑥 = 3, 𝑦 = −1 Buktikan!

(kuis 4)

Tentukan nilai 𝑥 dan 𝑦 dengan cara Cramer’s!

𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 + 𝑦 = 15

Vektor Matriks : Vektor Produk

KB1716403, MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Diketahui : Vektor 𝐴 = 𝑖𝐴𝑥 + 𝑗𝐴𝑦 + 𝑘𝐴𝑧 Vektor 𝐵 = 𝑖𝐵𝑥 + 𝑗𝐵𝑦 + 𝑘𝐵𝑧dan

𝐴 𝑥 𝐵 = 𝑖𝐴𝑥 + 𝐽𝐴𝑦 + 𝑘𝐴𝑧 𝑥(𝑖𝐵𝑥 + 𝐽𝐵𝑦 + 𝑘𝐵𝑧)

=

𝑖 𝑗 𝑘𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

= 𝑖 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 + 𝑗 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 + 𝑘(𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)

Contoh :

Diketahui Vektor 𝐴 = 2𝑖 + 𝑗 − 𝑘 dan Vektor 𝐵 = 𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘

Tentukan 𝐴 𝑥 𝐵!, Ans : 𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘 (Latihan soal)

Next : Fungsi Matriks dan Rotasi Matriks (on Part 7)

Diketahui Vektor 𝐴 = 𝑖 − 3𝑗 + 2𝑘 dan Vektor 𝐵 = 5𝑖 − 𝑗 − 4𝑘

Tentukan 𝐴 𝑥 𝐵! (Kuis 5)

TERIMA KASIH DAN SELAMAT BELAJAR

KB1716403, MATRIKS DAN RUANG VEKTOR