RESUME RANGKAIAN LISTRIK II

Penerapan Teorema Mesh dalam PenyederhanaanArus

Bolak – Balik serta Penyelesaian Matriks(Minor, Kofaktordan Determinan)

Kelompok 6 :

Arief Rachman Rida A. (5115122623)

Cut Zarmayra Zahra (5115120353)

Fajar Muttaqin (5115122606)

Inggih Piany Syanita (5115122568)

Moh. Syamsul Nur (5115122604)

Reza Irhamsyah (5115122572)

Siti Mardiah (5115122581)

Yusup Fawzi Yahya (5115122591)

PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

JAKARTA

2013

Tujuan

1. Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan

menggunakan analisis Mesh.

2. Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan teorema Mesh

dalam menyelesaikan soal rangkaian listrik.

3. Mahasiswa dapat memahami pengertian Minor dan Kofaktor

serta dapat menerapkannya dalam mencari Determinan.

4. Mahasiswa dapat menggunakan perhitungan matriks dengan

baik.

I. PENDAHULUAN

Suatu rangkaian yang terhubung secara seri maupun

paralel yang telah kita pelajari sebelumnya merupakan contoh

rangkaian yang sederhana. Pada rangkaian sederhana yang

mengkombinasikan tahanan-tahanan atau sumber-sumber yang

seri atau paralel dapat kita analisis dengan menggunakan

prinsip pembagian arus dan tegangan sesuai hukum yang telah

dipelajari yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchoff.

Rangkaian-rangkaian sederhana tersebut merupakan suatu

latihan pemahaman dalam pemecahan masalah untuk menolong

kita memahami hukum-hukum dasar yang selanjutnya akan kita

gunakan dalam rangkaian-rangkaian yang lebih sukar atau

lebih kompleks.

Dalam menyederhanakan analisis pada rangkaian yang

lebih sukar diperlukan suatu metode analisis yang lebih

cocok dan mudah. Metode mesh dapat pula digunakan untuk

menyederhanakan rangkaian dalam arus bolak-balik

II. TEOREMA MESH

Pada Rangkaian Listrik I kita telah mempelajari caramenyederhanakan rangkaian dalam arus DC (searah) denganmenggunakan teorema Mesh. Kali ini kita akan mempelajari caramenyederhanakan suatu rangkaian yang berada dalam arus AC(bolak-balik).

Pada dasarnya cara perhitungannya sama dengan perhitunganteorema Mesh pada arus searah. Yang berbeda adalah, dalampenyederhanaan rangkaian arus bolak-balik, bukan hanyaresistor yang menjadi tahanannya namun juga terdapat

induktansi dan kapasitansi. Sehingga terlebih dahulu kitaharus mencari impedansi (Z) dari tiap-tiap bagian.

Pada suatu rangkaian yang terlihat pada Gambar 1.1 dapatmenggunakan analisis Mesh untuk menyelesaikannya denganmenggunakan konsep arus mesh dan Hukum Tegangan Kirchoff(Kirchoff Voltage Law/KVL).

Gambar 1.1 Rangkaian dengan analisis teorema Mesh

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Mesh :

1. Tentukan impedansi (Z) dari setiap bagian rangkaian dansumber tegangannya. Pada rangkaian tersebut didapatkan tigaimpedansi yaitu Z1, Z2, dan Z3.

Z1 hanya terdiri dari induktor, sehingga impedansinya:Z1 = 0 + j2= +j2

Z2 hanya terdiri dari kapasitor, sehingga impedansinya:Z2 = 0 – j1= -j

Z3 hanya terdiri dari resistor, sehingga impedansinya:Z3 = 4

VA = 2 ∠ 00

VB = 6 ∠ 00

2. Tentukan arah loop dan arusnya. Arah loop pada teoremaMesh sebaiknya searah jarum jam. Apabila arah arus searahdengan arah loop, maka tandanya negatif (-), namun apabilaarah arus berlawanan dengan arah loop, maka tandanya positif(+)

Gambar 1.2. Menentukan arah arus, loop dan tegangan.

3. Tentukan arah dari masing-masing tegangan. Pada tegangan,apabila arahnya searah dengan arah loop, maka tandanya (+),namun apabila tegangan berlawanan dengan arah loop, makatandanya negatif (-).

4. Kemudian buat persamaan tegangan masing-masing loop.

Gambar 1.3. Daerah loop 1

Loop 1:ΣV=0VA – I1.Z1 – I1.Z3 + I2.Z3 = 02 ∠ 00 – I1.j2 – I1.(4) + I2.(4) = 02 ∠ 00 – (4+j2).I1 + 4I2 = 0

(4+j2).I1 – 4I2 = 2 ∠ 00 .............(1)

Gambar 1.4. Daerah loop 2 Loop 2:

ΣV=0-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z3 = 0

-VB – (Z2 + Z3).I2 + I1 Z3 = 0

-6 ∠ 00 – (-j+4).I2 + I1.(4) = 0

-6 ∠ 00 – (4-j).I2 + 4I1 = 0

4I1 – (4-j).I2 = 6 ∠ 00 ................(2)

5. Setelah mendapatkan kedua persamaannya, masukkan

persamaaan tersebut ke dalam matriks.

[4+j2 −4−4 4−j ][I1I2]=[ 2∠0−6∠0 ]

6. Untuk mencari I1, maka kolom pertama [4+j2 −4−4 4−j ]

diganti dengan [ 2∠0−6∠0] sehingga matriksnya menjadi [ 2∠0 −4−6∠0 4−j]

. Kemudian dibagi dengan bentuk matriks awalnya.

I1=[ 2+j0 −4−6+j0 4−j ][4+j2 −4

−4 4−j]Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.

I1=2 (4−j)−(−6) (−4 )(4+j2) (4−j)−16

I1=−16−j24j−j22

I1=−16−j24j+2

Lalu ubah ke bentuk polarnya.

I1=16,1∠−172,874,47∠63,43

I1=3,61∠123,70

7. Untuk mencari I2, maka kolom kedua [4+j2 −4−4 4−j ]

diganti dengan [ 2∠0−6∠0 ] sehingga matriksnya menjadi

[4+j2 2∠0−4 −6∠0]. Kemudian dibagi dengan bentuk matriks awalnya.

I2=[4+j2 2+j0

−4 −6+j0 ][4+j2 −4

−4 4−j]

Ingat, j2= 1

Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.

I2=−6 (4+j2)−(−4 ) (2 )(4+j2 ) (4−j )−16

I2=−16−j164j−j22

I2=22,6∠45

4,47∠63,43I2=5,06∠−18,43

Cara Kedua

Cara kedua dalam analisis Mesh ini adalah dengan membuat

daerah loop 2 satu rangkaian penuh seperti pada gambar

1. .berbeda dengan cara yang pertama yaitu daerah loop 1 dan

loop 2 dibagi menjadi dua bagian yang sama.

Gambar 1.5. Cara kedua menggambarkan loop

Langkah-langkah penyelesaiannya sama dengan cara pertama

dari nomor 1-3, yang berbeda adalah dalam penghitungan

persamaan loop 2. Persamaan pada loop 1 sama dengan cara

sebelumnya.

Loop 1:ΣV=0VA – I1.Z1 – I1.Z3 + I2.Z3 = 02 ∠ 00 – I1.j2 – I1.(4) + I2.(4) = 02 ∠ 00 – (4+j2).I1 + 4I2 = 0(4+j2).I1 – 4I2 = 2 ∠ 00 .............(1)

Loop 2:ΣV=0VA - VB – I2 Z1 – I2 Z2 + I1 Z1 = 0

VA - VB – (Z1 + Z2).I2 + I1 Z1 = 0

2 ∠ 00 - 6 ∠ 00 – (j2 - j).I2 + I1.(j2) = 0

-6 ∠ 00 – (4-j).I2 + 4I1 = 0

4I1 – (4-j).I2 = 6 ∠ 00 ................(2)

Setelah mendapatkan kedua persamaannya, masukkan

persamaaan tersebut ke dalam matriks. Lalu hitung I1 dan I2

nya dengan cara sama seperti cara sebelumnya.

[4+j2 −4−4 4−j ][I1I2]=[ 2∠0−6∠0 ]

Contoh Soal 2:

Perhatikan gambar rangkaian di bawah ini.

Gambar 1.6. Contoh soal rangkaian analisis Mesh

Tentukanlah berapa besar I1 dan I2 pada rangkaian tersebut!

Jawab:

Langkah-langkahnya adalah:a. Tentukan impedansi (Z) dari setiap bagian rangkaiandan sumber tegangannya. Z1 = 1 + j2 Z2 = 4 – j8 Z3 = j6 VA = 8 ∠ 200

VB = 10 ∠ 00

b. Tentukan arah loop, arus dan tegangannya.

Gambar 1.7. Arah loop, arus dan tegangan pada analisis Mesh

c. Kemudian buat persamaan tegangan masing-masing loop. Loop 1:

ΣV=0VA + VB – I1 . Z1 – I1 . Z2 + I2 . Z2 = 0VA + VB – I1(Z1 + Z2) + I2 . Z2 = 08 ∠ 200 + 10 ∠ 00 - (5-j6).I1 + (4-j8) I2 = 0(5-j6).I1 - (4-j8) I2 = 8 ∠ 200 + 10 ∠ 00 (1)

Loop 2:ΣV=0-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z2 = 0

- VB – (Z2 + Z3).I2 + I1 Z2 = 0

(4-j2).I2 - I1.(4-j8) = – 10 ∠ 00 .......(2)

Masukkan ke dalam persamaan matriks:

[5−j6 −(4−j8)4−j8 4−j2 ][I1I2]=[8∠200 +10 ∠ 00

– 10 ∠ 00 ]Mencari I1:

I1=[8∠200 +10 ∠ 00 −(4−j8)– 10 ∠ 00 4−j2 ]

[5−j6 −(4−j8)4−j8 4−j2 ]

Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.

I1=42−j69,2056+j30

I1=80,95∠ - 58,7463,53∠ 28,18

I1=1,27∠ -86,92

III. PENYEDERHANAAN DENGAN DETERMINAN MATRIKS

Matriks adalah suatu susunan dari banjar (array)

bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat, dengan jumlah baris

sebanyak m dan jumlah kolom sebanyak n dan dinotasikan sebagai

A = (aij)mxn; I = 1,…,m; dan j = 1,…,n serta aij adalah elemen

dari matriks A pada baris ke-I kolom ke-j.

mnmjmm

inijii

njnj

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

A

21

21

222221111211

Gambar 3.1. Matriks A

Minor dan KofaktorMinor aij yang dinyatakan dengan Mij adalah determinan

submatriks setelah baris ke-I dan kolom ke-j dihilangkan dari[A].

Contoh :Minor dari a13 adalah M13, baris pertama dan kolom ketiga

dihilangkan sehingga

M13 ¿ [a1.1 a1.2 a1.3

a2.1 a2.2 a2.3

a3.1 a3.2 a3.3]=[a2.1 a2.2

a3.1 a3.2]

Kofaktor

Kofaktor entri aij dinyatakan oleh cij adalah bilangan (-1)i+j

. Mij , dimana Mij adalah minor dari aij. Pangkat dari kofaktor

adalah penjumlahan dari posisi baris (i) dan kolom (j) satu

elemen dalam sebuah matriks. Apabila besar pangkatnya ganjil,

maka minornya bernilai negatif (-). Apabila besar pangkatnya

genap, maka minornya bernilai positif (+). Kofaktor

dilambangkan dengan Δ.Contoh :

Δ23 = (-1)2+3 . M23 = - M23 , karena 2+3 = 5 (ganjil) maka

minornya negatif.

Δ31 = (-1)3+1 . M31 = + M31 , karena 3+1 = 4 (genap) maka

minornya positif.

Determinan

Determinan dapat disimbolkan dengan detA , △Aatau |A|.Untuk mencari determinan orde tinggi bisa dengan menggunakan

kofaktor minor dari matriks.

Contoh :

B = [ 0 3 2−1 0 −12 4 3 ]

Tentukan determinan dari matriks B!

Jawab :

Langkah-langkahnya adalah:

1. Tentukan baris atau kolom mana yang akan menjadi acuan

kofaktor minornya.

-

B = [ 0 3 2−1 0 −12 4 3 ]

2. Hitung jumlah kofaktor minor dari baris kedua.

△B = a21 . △21 + a22 . △22 + a23 . △23

= a21 . (-1)2+1 . M21 + a22 . (-1)2+2 . M22 + a23 . (-1)2+3 . M23

= - a21 . M21 + a22 . M22 - a23 . M23

= - (-1) [3 24 3] + 0 [0 2

2 3] - (-1) [0 32 4]

= (1) . (3.3- 2.4) + 1 . (0.4 – 3.2)

= 1 - 6

= -5

Cara lain mencari determinan adalah dengan menambahkan dua

kolom pertama pada matriks tersebut disebelah kanan, kemudian

mengalikannya secara diagonal.

Contoh :

B = [ 0 3 2−1 0 −12 4 3 ]

Tentukan determinan dari matriks B!

Jawab :

+ ++

Langkah-langkahnya adalah:

1. Tambahkan dua kolom yang sama di sebelah kanan matriks.

Det B= | 0 3 2−1 0 −12 4 3 | 0 2

−1 02 4

2. Hitung determinan dengan mengalikan entri secara diagonal.

0.0.3 + 3.(-1).2 + 2.(-1).4 – 2.0.2 – 0.(-1).4 – 3.(-1).3= -14 + 9= -5 Hasilnya sama dengan cara pertama yaitu -5.

IV. SOAL DAN JAWABAN1.

Tentukanlah I1 dan I2pada rangkaian tersebut!Jawab :Diketahui :VA = 4V VB = 2VZ1 = 2 Z2 = 1 + j0 Z3 = -ja. Tentukan arah loop, arus, dan tegangannya

b. Persamaan loop

Loop 1V = 0∑

VA – I1 ZI – I1 Z3 + I2 Z3 =0VA – I1 (Z1 + Z3) + I2 Z3 =0I1(Z1 + Z3) – I2 Z3 = VA

(2-j) I1 – (-j) I2 = 4∠ 0............ (1)

Loop 2V = 0∑

-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z3 = 0-VB – I2 (Z2 + Z3) + I1 Z3 = 0I1 Z3 – I2(Z2 + Z3) = VB

(-j) I1 – (1+j) I2 = 2 ∠ 0........... (2)

[2−j jj 1+j ][I1I2]=[ 4∠0−2∠0 ]

I1 = | 4+j0 j−2+j0 1+j||2−j jj 1+j|

I1 = (4 ) (1+j)−(−2)(j)

(2−j) (1+j )−(j)(j)

I1 = 4+j4+j22+j−j2−j2

I1 = 4+j6

2+j−2j2

I1 = 4+j64+j

I1 = 7,2∠56,304,1∠14,03

I1 = 1,75 ∠ 42,27

I2 = |2−j 4+j0j −2+j0||2−j jj 1+j|

I2 = (−2 ) (2−j )−(4)(j)

(2−j) (1+j )−(j)(j)

I2 = −4+j2−j42+j−j2−j2

I2 = −4−j22+j−2j2

I2 = −4−j24+j

I2 = 4,5∠26,564,1∠14,03

I2 = 0,4∠12,53

2.

Tentukanlah I1 pada rangkaian tersebut!Jawab :Diketahui :V1 = 6 ∠ 10 V2 = 8∠20Z1 = 1 + j Z2 = 2 - j4 Z2 = j3

a. Tentukan arah loop, arus, dan tegangannya

b. Persamaan loopLoop 1V = 0∑

V1 – I1 ZI – I1 Z3+ I2 Z3 = 0V1 – I1 (Z1 + Z3) + I2 Z3 = 0I1 (Z1 + Z3) - I2 Z3 = V1

(1+j4) I1- (j3) I2 = 6∠10 .......... (1)

Loop 1V = 0∑

V2 – I2 Z3 – I2 Z2+ I1 Z3 = 0V2 – I2 (Z2 + Z3) + I1 Z3 = 0I1 Z3- I2 (Z2 + Z3) = -V1

(j3) I1+ (2-j) I2 = -8∠20 ........... (2)

[1+j4 −j3j3 2−j ][I1

I2]= 6∠10−8∠20

I1 = | 6+j −j3−7,5−j2,8 2−j|

|1+j4 −j3j3 2−j|

I1 = (6+j ) (2−j )−(−7,5−j2,8)(−j3)

(1+j4) (2−j )−(j3)(−j3)

I1 = (12−j4−j2)−(j22,5+8,4j2)

(2+j7−4j2)−(−9j2)

I1 = 7,4j2−j26,5+12

5j2+j7+2

I1 = 4,6−j26,5

j7−3

I1 = 26,9∠−80,157,6∠−66,8

I1 = 26,9∠279,857,6∠293,2

I1 = 3,54 ∠ -13,35

I1 = 3,54 ∠ 373,35

3. Tentukan M13 dari satu matriks A33 dengan elemen a11 = 4; a12

= 3; a13 = -1; a21 = 0;a22 = 4; a23 = 1; a31 = -2; a32 = 0; dan a33 = 2 !

Jawab :

A=[ 4 3 −10 4 1

−2 0 2 ] M13 = | 0 4−2 0|

4. Tentukan kofaktor dari soal nomor 1 !

Jawab :∆13=(−1)1+3M13 ∆13=+M13

5. Tentukan determinan dari soal nomor 1 !

Jawab :∆ A=a11.∆11+a12.∆12+a13.∆13

∆ A=a11.(−1)1+1M11+a12.(−1)1+2M12+a13.(−1)1+3M13

∆ A=4|4 10 2|−3| 0 1

−2 2|−1| 0 4−2 0|

∆ A=4 (8)−3 (2 )−1 (8 )∆ A=18

DAFTAR PUSTAKA

Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik.

Jakarta: Erlangga.

Guntoro, Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta: Rosda