El aprendizaje del Teorema de Thales mediado por el modelo ...

El aprendizaje del Teorema de Thales mediado por el modelo de Van Hiele y el uso

del software Geogebra para los estudiantes de grado 9° de la institución educativa

Popular Diocesano

John de Jesús Asprilla López

Director de tesis

PhD Carlos Arturo Escudero Salcedo

Trabajo presentado para optar el título de Magister en la Enseñanza de la

Matemática

Universidad Tecnológica de Pereira

Facultad de ciencias básicas

Maestría en Enseñanza de la Matemática

Pereira, 2019

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Tabla de contenido

1. Planteamiento del problema 6

1.1 Paralelismo 6

1.1 Proporcionalidad 6

1.2 Proporcionalidad geométrica 8

1.4 Teorema de Thales 10

1.4.1 ¿Por qué es importante comprender el Teorema de Thales? 13

1.5 Pregunta de investigación 13

2. Objetivos 13

2.1 Objetivo general 13

2.2 Objetivos específicos 14

3. Justificación 14

4. Estado del arte 15

4.1 Antecedentes históricos: Teorema de Thales 15

4.1 El Teorema de Thales y su didáctica 17

4.2 Aprendizaje del Teorema de Thales 21

5. Marco teórico 25

5.1 Marco teórico disciplinar 25

5.1.1 Razón 25

5.1.2 Proporción 26

5.1.3 Paralelismo 26

5.1.3.1 Primer criterio del paralelismo. Teorema de los ángulos alternos internos

(primera versión) 27

5.1.4 Semejanza de figuras planas 29

5.1.5 Segmentos proporcionales 29

5.1.6 Congruencia de figuras planas 30

5.2 Teorema de Thales 33

5.2.1 Teorema de Thales 33

5.3 El modelo de Van Hiele 35

3

5.3.1 Niveles del modelo de Van Hiele 35

5.3.1.1 Modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele 35

5.3.1.2 Nivel 1. Reconocimiento o visualización 37

5.3.1.3 Nivel 2. Análisis 37

5.3.1.4 Nivel 3. Deducción informal u orden 37

5.3.1.5 Nivel 4. Deducción 38

5.3.1.6 Nivel 5. Rigor 38

5.3.2 Fases del modelo de Van Hiele 39

5.3.2.1 Fase 1. Información 39

5.3.2.2 Fase 2. Orientación dirigida 40

5.3.2.3 Fase 3. Explicitación 41

5.3.2.4 Fase 4. Orientación libre 41

5.3.2.5 Fase 5. Integración 42

5.4 Las TIC como herramienta para enseñar geometría 43

5.5 El nuevo rol del profesor 49

5.6 El nuevo rol del alumno 52

5.7 Internet en la educación 54

6. Metodología 55

6.1 Recolección de datos 56

6.2 Elaboración de la prueba diagnóstico 57

6.3 Análisis de información recabada 57

6.4 Elaboración de la secuencia metodológica para los estudiantes 58

6.4.1 Diseño de la muestra 59

6.5 Descripción de las técnicas e instrumentos 59

6.6 Tratamiento estadístico e interpretación de los resultados 71

6.6.1 Variable independiente 71

6.6.2 Nivel de reconocimiento o de visualización 71

6.6.3 Nivel de análisis 73

6.6.4 Nivel de ordenación o clasificación 74

7. Conclusiones y recomendaciones 76

4

7.1 Conclusiones por objetivos específicos 76

7.2 Conclusión por objetivo general 77

7.3 Recomendaciones 78

Referencias 79

Anexos 83

5

Lista de Tablas

Tabla 1. Secuencia didáctica 1. ............................................................................................ 61

Tabla 2. Evaluación Secuencia didáctica 1. ......................................................................... 62







Tabla 9. Nivel de reconocimiento o visualización. .............................................................. 72

Tabla 10. Nivel de análisis. .................................................................................................. 73

Tabla 11. Nivel de ordenación o clasificación. .................................................................... 75

Lista de Ilustraciones

Ilustración 1. Aplicación del Teorema Thales. ..................................................................... 12

Ilustración 2. Ángulos entre dos paralelas. .......................................................................... 28

Ilustración 3. Congruencia de triángulos. ............................................................................. 31

Ilustración 4. Semejanza de triángulos. ................................................................................ 33

Ilustración 5. Aplicación del Teorema de Thales. ................................................................ 34

Ilustración 6. Nivel de visualización en el modelo de Van Hiele......................................... 72

Ilustración 7. Nivel de análisis en la aplicación del modelo de Van Hiele. ......................... 74

Ilustración 8. Nivel de clasificación en el modelo de Van Hiele. ........................................ 75

6

1. Planteamiento del problema

Para llegar al planteamiento del problema es necesario revisar unos conceptos

fundamentales relacionados con el tema de esta investigación, ya que permiten comprender

la importancia de buscar estrategias didácticas novedosas y eficaces que aporten, tanto a

docentes como a estudiantes, en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Además, el

desarrollo del pensamiento matemático ayuda a que el estudiante comprenda más y mejor el

mundo que lo rodea por la misma capacidad que adquiere en la resolución de problemas; de

ahí la importancia de que asimilen conceptos básicos y desarrollen competencias en su

formación matemática.

1.1 Paralelismo

Es una relación que se establece entre cualquier variedad de líneas de dimensión

mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano, dos rectas

son paralelas si tienen la misma pendiente y no presentan ningún punto en común, esto

significa que no se cruzan, ni tocan, y que ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones.

1.2 Proporcionalidad

Uno de los conceptos matemáticos más importantes es el de proporcionalidad, para

aplicarlo posteriormente en la comprensión y aplicación de otros conceptos, por ejemplo, en

el Teorema de Thales, debido a que es fundamental en el desarrollo del pensamiento

geométrico y espacial, y es transversal con diversas disciplinas a lo largo de la vida escolar.

Asimismo, establece un estrecho vínculo con numerosos problemas del entorno y es una

herramienta que permite mejorar los niveles de comprensión, promover actitudes de

7

observación, registro y utilización del lenguaje matemático. Por lo tanto, es uno de los

conceptos reconocidos como parte de los conocimientos básicos que toda persona debe

poseer.

Diversas investigaciones evidencian que los estudiantes basan su razonamiento

intuitivo en las razones y proporciones y el Teorema de Thales, en técnicas aditivas y de

recuento, en lugar de razonar en términos multiplicativos, lo que indica una deficiencia

importante (Godino y Batanero, 2002, p. 439).

De acuerdo con Obando, Vasco y Arboleda (2014), el concepto de proporcionalidad

ha sido estudiado ampliamente en los últimos años, y en las evaluaciones se muestra que

continúa siendo un campo del conocimiento que la mayoría de los estudiantes difícilmente

aprende. Tal situación se traduce en la necesidad de investigar e implementar didácticas que

acerquen la comprensión de dicho concepto a los estudiantes, con el fin de lograr un mayor

impacto en los niveles de competencias en el área de matemáticas, y en el sistema educativo

en general.

Asimismo, el concepto de razón, desde la revisión realizada en libros de texto de la

básica primaria y secundaria, se ha enseñado solo desde lo numérico como el cociente entre

dos cantidades; la expresión a es a b, ha sido concebida como a dividido b, lo cual es una

manera errónea de entender la razón, pues solo se hace desde su contexto numérico (Espinosa

y Jiménez, 2013). Dicho concepto está implícitamente asociado a los números racionales y

puede confundir al estudiante al tratarla como una fracción o división, y no como una relación

entre dos partes. Este tipo de confusiones impide que haya una construcción significativa

del objeto matemático que se busca que los estudiantes aprendan. Comprender el concepto

8

de razón es indispensable para el trabajo con proporciones y adquirir la destreza para resolver

aplicaciones en situaciones de proporcionalidad entre segmentos de rectas transversales

cortadas por líneas paralelas.

Por otro lado, con la expresión “regla de tres” se designa un procedimiento que se

aplica a la resolución de problemas de proporcionalidad, en los cuales se conocen tres de los

cuatro datos que componen las proporciones y lo que se requiere es calcular el cuarto.

Aunque aplicado correctamente, el razonamiento supone una cierta ventaja algorítmica en el

proceso de solución, ya que se reduce a la secuencia de una multiplicación de dos de los

números, seguida de una división por el tercero, con frecuencia muchos alumnos manipulan

los números de una manera aleatoria y sin sentido de lo que están haciendo. En cierto modo,

el algoritmo les impide comprender la naturaleza del problema, sin preocuparse de si la

correspondencia entre las cantidades es de proporcionalidad directa, inversa, o de otro tipo.

Por lo tanto, la regla de tres se llega a aplicar de manera indiscriminada en situaciones en las

que es innecesaria o impertinente (Godino y Batanero, 2002, p. 425).

Es aquí donde cobran importancia modelos como el de los esposos Van Hiele, debido

a que es didáctico en su presentación y resulta apropiado para el aprendizaje de conceptos

geométricos como el de proporcionalidad y el Teorema de Thales, entre otros.

1.3 Proporcionalidad geométrica

Los aspectos geométricos han sido tratados durante mucho tiempo de forma

superficial, casi de pasada, como si lo importante y fundamental de las matemáticas fueran

solo los cálculos numéricos y el trabajo del álgebra. En los programas de matemáticas,

elaborados en su mayoría por profesores, así como en los libros de texto, el tema de la

9

geometría y la estadística se abordan en los tres o cuatro últimos capítulos, incurriendo por

lo general en la excusa de que por estar al final del programa no alcanza el tiempo para

orientarlos (Luengo, et al., 1997, p. 98).

Se observa que los planes de área no enfatizan en el tema de la enseñanza de la

proporcionalidad geométrica, pues ni siquiera se le da un espacio para detallar la forma y los

pasos que deben seguirse en su orientación. La revisión de dichos planes demuestra que este

concepto aparece de forma fragmentada en los diferentes grados de la educación básica

primaria y secundaria, y que el tema se enfoca hacia lo aritmético, sin establecer una relación

entre los conceptos de semejanza, Teorema de Thales, triángulos rectángulos, conceptos

relacionados específicamente con la proporcionalidad geométrica.

Es importante resaltar que el estudio del concepto en mención empieza desde la

educación básica con los temas de cantidad y magnitud, segmentos proporcionales, figuras

semejantes y Teorema de Thales. En educación secundaria se incluyen razón y operación

entre segmentos, Teorema de Thales, semejanzas en el plano, homotecias, figuras

semejantes, semejanza de triángulos, entre otros. Por lo general, estos temas no tienen una

secuencia en los planes de área y son vistos de manera independiente sin establecer la relación

que existe entre ellos. Los estudiantes los aprenden de forma aislada y en muchos casos

resuelven sus aplicaciones de forma mecánica.

En esta parte del trabajo, se desarrolla una actividad en el aula con los estudiantes de

grado noveno, con el objetivo de que utilicen las propiedades de los triángulos semejantes,

identifiquen un criterio de semejanza y establezcan la proporción entre sus lados para hallar

10

la incógnita. La actividad implica un tratamiento cuantitativo numérico, dado que en ella se

establece la igualdad entre la medida de la cantidad de magnitud de diferentes segmentos.

1.4 Teorema de Thales

La resolución de problemas es una de las competencias que el estudiante debe

desarrollar, ya que le permite generar sus propios puntos de vista y considerar los de las otras

personas de manera crítica y reflexiva, fomentando así el trabajo colaborativo y en equipo.

Además, esta competencia amplía su campo de aplicación a la vida cotidiana del estudiante,

no ya para resolver solo problemas matemáticos, sino también los que se le presentan en la

vida diaria, gracias a la capacidad que adquiere de analizar y criticar situaciones que lo lleven

a tomar decisiones con criterio, con argumentos.

En esta perspectiva, la propuesta didáctica del presente trabajo se enfoca en el

aprendizaje del Teorema de Thales mediado por el modelo de Van Hiele y con la ayuda del

software Geogebra. Tanto el plan de estudios de la institución educativa Popular Diocesano,

como los programas de los cursos, enfatizan en el desarrollo de las competencias para

aprender el Teorema de Thales de manera lúdica y significativa para el estudiante, con el fin

de que pueda comunicar de manera coherente sus ideas, trabajar con sus pares académicos,

evaluar su trabajo y el de sus compañeros, habilidades que no se aprenden rápidamente, sino

que se adquieren de forma paulatina durante su vida académica.

Cabe también mencionar que el Teorema de Thales permite reforzar o profundizar en

el tema de semejanza, lo cual dota al estudiante de nuevos conceptos geométricos que lo

11

llevan a determinar lados o segmentos desconocidos en figuras planas, a través de la

aplicación correcta de las proporciones entre sus lados.

En cuanto al Teorema de Thales, resulta pertinente aclarar que este condujo a la

resolución de un problema planteado como un verdadero reto para los matemáticos. Thales

consiguió medir la altura de la gran pirámide de Keops, de una manera ingeniosa: “La

relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya”

(Zerbst, 2013, p. 15) De ahí dedujo: “En el mismo instante en que mi sombra sea igual que

mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura” (Zerbst, 2013, p. 15). He aquí la

solución que buscaba.

Baldor (2004) en el libro Geometría plana y del espacio, enuncia el Teorema de

Thales de la siguiente manera: “Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan

en ellas segmentos correspondientes proporcionales” (p. 12).

Además, el Teorema de Thales permite resolver problemas de otro tipo, como:

1. Un semáforo de 3m proyecta una sombra de 8 m, si a esa misma hora un edificio

proyecta una sombra de 30 m. ¿Cuál es la altura del edificio?

2. Las rectas a, b, c, son paralelas. Calcular el valor de x

12

Ilustración 1. Aplicación del Teorema de Thales.

De otro lado, según la experiencia del investigador de este trabajo como profesor de

matemáticas, se observa que algunos textos de matemáticas enuncian y demuestran el

Teorema de Thales, y luego se resuelven uno o dos ejercicios sin especificar los detalles,

los cuales se consideran útiles para la comprensión y aplicación del teorema. Por

ejemplo, el libro de Geometría Plana y del Espacio, de Baldor, A. (2004), no resuelve ni

plantea ningún problema, simplemente lo enuncia y lo demuestra, pero queda vacío en

la ejemplificación del teorema, restándole la importancia a la aplicación de dicho

resultado.

Con respecto a los detalles que se pierden en los libros, pueden citarse los

siguientes:

- Especificar qué rectas son paralelas

- ¿Cuáles son las transversales?

- ¿Qué segmentos de rectas son los proporcionales?

13

- ¿Cómo redactar de manera correcta las proporciones?

- ¿Qué pasaría si las rectas no son paralelas?

1.4.1 ¿Por qué es importante comprender el Teorema de Thales?

La importancia en la comprensión de este teorema radica en su aplicación a un

número considerable de problemas. También involucra muchos conceptos que servirán

como herramientas que los jóvenes podrán usar en otro tipo de situaciones. Algunos de

estos conceptos son: identificación de rectas paralelas, rectas paralelas cortadas por dos

transversales, razón y proporciones.

1.5 Pregunta de investigación

¿Cuál es el impacto al implementar los niveles y fases del modelo de Van Hiele en el

aprendizaje del Teorema de Thales en estudiantes de grado noveno, apoyados en el uso de

Geogebra?

2 Objetivos

2.2 Objetivo General

Determinar el impacto de aplicación del modelo en el aprendizaje del Teorema de

Thales en estudiantes de grado noveno desde el método de Van Hiele, apoyados con el uso

de Geogebra.

14

2.3 Objetivos Específicos

● Interpretar por parte de los estudiantes el concepto del Teorema de Thales y sus

posteriores aplicaciones mediante la aplicación del modelo de Van Hiele.

● Analizar algunas aplicaciones del Teorema de Thales y complementarlas con el uso

del software Geogebra.

● Explicar mediante diálogos en grupo, experiencias y los métodos de resolución de los

problemas propuestos con relación al Teorema de Thales.

● Utilizar el software Geogebra, para hacer del aprendizaje del Teorema de Thales una

actividad práctica y entendible.

● Comprobar que la herramienta Geogebra ayuda a los estudiantes a concretar los

conocimientos y le ayuda a lograr un siguiente nivel de aprendizaje.

3 Justificación

Es importante el estudio de las razones y proporciones y, por ende, su posterior aplicación

en el uso y comprensión del Teorema de Thales, el cual se basa en estos conceptos previos,

porque a partir de ellos los estudiantes desarrollan competencias, no solo para resolver

problemas matemáticos, sino porque se constituye en un conocimiento para la vida.

Por este motivo y considerando la forma como han venido enseñándose los conceptos

de razón y proporción, se plantea que el aprendizaje y comprensión del Teorema de Thales

requiere de un método acorde con las necesidades y expectativas de los estudiantes, que los

guíe en su respectiva apropiación y aplicación y que les permita integrarlo al aprendizaje de

15

otros temas de la matemática y de la geometría. En el diseño de la metodología propuesta

también se tienen en cuenta las exigencias del Ministerio de Educación Nacional (M.E.N) y

en particular en lo referente a los Derechos Básicos de Aprendizaje (D.B.A).

De acuerdo con las consideraciones anteriores, este trabajo indaga por el impacto de

la aplicación del modelo en el aprendizaje del Teorema de Thales, en estudiantes de grado

noveno, desde el modelo de Van Hiele y apoyados con el uso del software Geogebra. Con

esta metodología de aprendizaje se pretende mejorar la forma como los estudiantes de la

institución educativa Popular Diocesano, adquieren los nuevos conocimientos en el área de

matemáticas y, en particular, en lo que compete a la asignatura de geometría, lo que a su vez

redundará en beneficio de las buenas prácticas metodológicas dentro del aula, y en un

aprendizaje más autónomo y significativo de los estudiantes.

4 Estado del arte

4.1 Antecedentes históricos: Teorema de Thales

En la antigüedad, las civilizaciones babilónica, egipcia, hindú, china y griega,

tuvieron una relación especial con el Teorema de Thales, al manifestarse su concepto a través

del uso práctico y empírico de lugares geométricos como una herramienta en la construcción

de templos, altares sagrados, casas, pirámides, delimitación de terrenos, rectificación de

porciones de tierras y en la resolución de problemas geométricos de la época, entre otros

(González, 2004).

16

El hallazgo de piezas arqueológicas, según afirman González (2004), Mankiewicz

(2000) y Esteban (1998), permite dar cuenta del interés que las civilizaciones antiguas tenían

sobre el teorema; los vestigios encontrados y examinados por arqueólogos e historiadores,

como la tablilla Yale, Plimpton, Tell Dhibayi y Susa, el papiro de Kahun y libros como el

Sulbasutra, Zhoubisuanjing y de Euclides, corroboran de igual manera cómo las antiguas

culturas apoyaban sus construcciones y creaciones en el mencionado constructo de Thales.

Es así como se demuestra la incidencia que tiene el Teorema de Thales a lo largo de

la historia de las civilizaciones, y cómo impacta y favorece el desarrollo y evolución de

distintas culturas al aplicarlo de una forma práctica y empírica, donde el uso de artefactos

permitió la construcción de edificaciones y la delimitación de tierras.

Estas acciones habituales llevaron a los griegos a trascender dicha práctica hasta que

logran darle un tratamiento teórico y construir el concepto matemático formal, situación que

se evidencia con el tratado matemático y geométrico que se presenta en el libro Los

Elementos de Euclides, el cual es citado por Esteban (1998) cuando se refiere a la

formulación original del Teorema de Thales. Donde se enuncia que: del primer Teorema de

Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su

vez, consecuencia del mismo): si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas

R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

Se comprende entonces que el Teorema de Thales ha tenido una relación práctica,

empírica y formal en las diferentes culturas, desde la antigüedad hasta el presente,

constituyéndose como una herramienta importante en el desarrollo de las matemáticas. En

17

un recuento desde el punto de vista del desarrollo del pensamiento matemático, González

(2004) refiere lo siguiente:

El análisis histórico de la relación entre los lados de un triángulo se puede dividir en

tres estadios de desarrollo matemático. En el estadio inicial, puramente aritmético y

empírico práctico, se obtienen resultados numéricos concretos para los lados del

triángulo. En el estadio siguiente, aritmético geométrico, se obtienen leyes generales

de formación de los lados. Finalmente se penetra en la profundidad del pensamiento

matemático, las demostraciones de los resultados generales de los estadios

precedentes. Las dos primeras etapas corresponden a las civilizaciones orientales

aludidas, mientras que a la tercera etapa sólo contribuyeron los griegos,

particularmente Thales y Tolomeo (p. 105).

4.2 El Teorema de Thales y su didáctica

El Teorema de Thales ha sido objeto de estudio en muchas investigaciones, desde

distintos enfoques y con objetivos que buscan fortalecer la comprensión del concepto, sus

aplicaciones e historia. Una de estas investigaciones es la de Corberán (1996), quien llevó

a cabo sus estudios con estudiantes de los últimos cursos de educación básica secundaria y

de nivel universitario, a quienes se les aplicó un test como prueba diagnóstica para determinar

el grado de comprensión del concepto de proporcionalidad. A partir de esa prueba se diseñó

una unidad didáctica para 24 estudiantes de 4º grado de secundaria, enmarcada en las fases

de aprendizaje del modelo educativo de van Hiele; luego se aplicó un post test para evaluar

la unidad diseñada, corregir los errores de los estudiantes y ampliar su comprensión del

concepto de proporción, potencializando y facilitando el paso de un nivel de razonamiento a

otro.

En el concepto de proporcionalidad, Corberán abordó los siguientes aspectos:

concepciones, unidad de medida, concepto de conservación, relación área perímetro,

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bidimensionalidad, utilización de fórmulas, comparaciones y significado geométrico del

Teorema de Thales. Una de las conclusiones del trabajo alude al interés de trabajar la

proporción como magnitud autónoma, porque disocian la forma de la superficie y el número

que la mide, evitando confusiones de la proporción y otras propiedades de las figuras

geométricas: “La facilidad con la que los alumnos se han familiarizado durante la

experimentación con los procedimientos geométricos estudiados en la unidad de enseñanza

permite pensar en la viabilidad de trabajarlos en el nivel de primaria” (p. 352).

Según dice el estudio de Corberán (1996), parece ser que emplear procedimientos

geométricos, desde la primaria, permite reconocer desde la visualización y lo procedimental

la proporción como una relación entre los lados de figuras geométricas semejantes. Estos

aspectos son importantes para comprender procesos de comparación de proporcionalidad de

figuras planas, ya sea estableciendo relaciones de igualdad o de inclusión; el primer proceso

se refiere a polígonos distintos que conservan la misma proporción y el segundo, evidencia

relaciones donde la proporción de un polígono puede ser el doble o la mitad de otro.

También señala la autora que la implementación de nuevas formas de enseñar el

concepto de proporcionalidad conduce a cambiar las prácticas didácticas que han llevado al

estudiante a la incomprensión del concepto; esta misma en ciertas ocasiones, puede atribuirse

a la conceptualización de la proporcionalidad como comparación de dos dimensiones

lineales, que emplean fórmulas de figuras planas. Para Corberán (1996), este componente es

importante y reconoce que no puede limitarse, que más bien debe complementar procesos

geométricos y analíticos asociados al concepto. La autora dice que las nuevas prácticas

19

didácticas pueden conducir a: “Realizar con éxito y comprensión tareas de comparación de

regiones geométricas, planteadas en un contexto geométrico” (p. 352).

Según lo anterior, es importante resaltar que la conceptualización de la

proporcionalidad no solo se debe tratar como la comparación de dos dimensiones lineales,

sino como la cantidad de veces que es mayor una región respecto a otra; para ello también es

importante reconocer la existencia de actividades y procedimientos que faciliten procesos de

comprensión para abordar la proporcionalidad como el número de veces en la que una región

geométrica es mayor o menor que otra.

En suma, el estudio de Corberán et al. (1994) diseña una guía metodológica con dos

objetivos: el primero, relacionado con las habilidades de razonamiento para los niveles II y

III, en el marco del modelo de van Hiele y el segundo, con aprendizaje de conocimientos

geométricos. Estos dos aspectos toman en cuenta objetos de estudio como triángulos,

cuadriláteros y generalidades de los polígonos. Como se dijo antes, en el estudio se empleó

como técnica el pretest y el post test, para comparar ambos resultados y obtener conclusiones

al respecto. El pretest se aplicó para obtener información sobre el conocimiento de cada

estudiante y el nivel de razonamiento en que se encontraban, en el marco del modelo de van

Hiele; el post test, para comparar si hubo o no un progreso en su razonamiento al nivel

siguiente, después de realizar las actividades de las fases de aprendizaje.

De acuerdo con los datos e información obtenida se ha permitido constatar, para la

presente investigación, que el pretest y el postest, pueden emplearse como parámetros para

medir los resultados obtenidos por la unidad didáctica y para evaluar cualquier propuesta

20

relacionada con los polígonos, en el contexto de van Hiele. Con la intervención realizada se

observó un moderado incremento de los estudiantes clasificados en el nivel 3.

Por su parte, Vargas y Gamboa (2012) propusieron y desarrollaron una guía didáctica

para la comprensión del teorema de Pitágoras y su recíproco, con apoyo y uso tecnológico

del software Geogebra. El trabajo se llevó a cabo con dos grupos de noveno grado

pertenecientes a un colegio de Costa Rica. El estudio se aborda desde las fases de aprendizaje

del modelo de van Hiele, a través del desarrollo de actividades secuenciales para realizar la

comparación entre el nivel de razonamiento alcanzado por los participantes que estudiaron

el teorema de Pitágoras con el apoyo del software Geogebra, y aquellos que lo hicieron con

un enfoque tradicional.

En una de sus conclusiones, los autores señalan que el uso de software de geometría

contribuye a motivar al estudiante, con el aporte que proporciona la herramienta en favor de

la visualización; de hecho, se percibe que los juicios emitidos por los participantes acerca de

las situaciones analizadas son acertados en comparación con aquellos que usaron solamente

lápiz y papel. Dicen Vargas y Gamboa (2012):

(…) en cuanto al modelo de razonamiento planteado por van Hiele, en el sentido de

que la organización del lenguaje se va construyendo de forma conjunta con la

estructuración geométrica visual y abstracta del pensamiento. Por lo que el profesor

tendrá que conocer el nivel de dominio del lenguaje geométrico de sus alumnos, para

adaptarse a este, y procurar que el avance en complejidad hacia uno más estructurado

y abstracto (p. 116).

De hecho, la forma de utilizar el lenguaje es un aspecto fundamental para detectar el

nivel de razonamiento, porque deja ver la red de relaciones presente en el razonamiento de

un estudiante, frente al concepto matemático. Cuando el estudiante incorpora a esa red de

21

relaciones un nuevo concepto, será posible avanzar a otro nivel, y por supuesto, que logre

respuestas elaboradas, precisas y refinadas con relación al objeto de estudio en cuestión.

También se encontró el trabajo desarrollado por Alfonso López (2007), Las fases del

modelo educativo de van Hiele para el Teorema de Pitágoras, el cual se enmarca

específicamente en el componente prescriptivo, referido a las fases de aprendizaje. El estudio

se propone mejorar el nivel de razonamiento de los estudiantes de grado 9º, mediante un

conjunto de actividades secuenciales reguladas por los descriptores de fases. En la

investigación se caracteriza cada una de las fases del modelo de van Hiele, propendiendo por

el avance de un nivel al inmediatamente superior, para la comprensión del teorema de

Pitágoras.

4.3 Aprendizaje del Teorema de Thales

La conceptualización del Teorema Thales, abordado desde el aspecto cualitativo, no

ha sido una opción de enseñanza para los docentes de primaria y secundaria, pues la mayoría

de ellos enfoca este trabajo desde lo cuantitativo de la proporcionalidad entre diferentes

regiones geométricas, es decir, como razones de dos dimensiones, que se asocia a la

utilización de fórmulas dadas.

Este enfoque puede ser limitado, pues cuando se aborda el concepto de

proporcionalidad entre regiones geométricas de manera inadecuada, se desconoce la

posibilidad de realizar actividades de carácter geométrico, un aspecto necesario para

introducir la comparación de figuras planas o poligonales, las cuales permiten comprender,

por un lado, la equivalencia entre los lados de polígonos distintos, y por el otro, la relación

de proporción doble, triple o mitad entre dos o más polígonos de distintas dimensiones.

22

En concordancia con lo anterior, el tratamiento de la proporcionalidad desde lo

cualitativo dejó de ser un aspecto relevante en la enseñanza del concepto, lo cual implica

entonces el descuido de procedimientos geométricos importantes para la comprensión de los

conceptos asociados a este campo de la matemática, los cuales permiten, según Corberán

(1996):

(…) facilitar la comprensión de la proporcionalidad de ciertas regiones geométricas,

propiciar la comprensión de las propiedades de las proporciones, colaborar en la

disociación del concepto de proporcionalidad de la forma y del perímetro de las

regiones geométricas, por otro lado, resolver y simplificar situaciones numéricamente

imposibles y complejas, jugando un papel primordial en la comprensión de las

interpretaciones numéricas de la proporcionalidad (p. 44).

Sumado a lo anterior, el aspecto cualitativo de la proporcionalidad concibe este

concepto como la relación entre los lados de una región geométrica, el cual se relaciona con

la porción del plano, y también, como una magnitud autónoma donde cualquier polígono

puede cambiar de tamaño a través de recorte y pegado, doblaje, construcciones geométricas,

y seguir conservando el área. En este sentido, es valioso realizar tareas de comparación de

los lados de figuras planas mediante el uso de procedimientos geométricos.

Para las relaciones entre los lados de figuras geométricas, existe un objeto matemático

que permite realizar múltiples actividades y que conlleva a desarrollar procedimientos

geométricos, al comparar polígonos de igual, menor o mayor tamaño. La presente

investigación recurre al Teorema de Thales porque admite realizar una descripción de un

proceso de razonamiento, desde lo más simple hasta lo más complejo, abordando una

variedad de procedimientos de comparación para la comprensión de la proporcionalidad

desde un componente geométrico.

23

Por otro lado, desde la experiencia profesional docente en primaria, se observa que

los estudiantes de 5º grado, a pesar de tener nociones del concepto de proporción, presentan

dificultades para comparar lados de figuras planas. Los estudiantes, con frecuencia, no

argumentan la equivalencia de los lados de figuras cuando esta sufre un cambio; además, no

asocian el concepto de proporcionalidad entre diferentes figuras semejantes y se dejan llevar

por la apreciación visual, manifestando el poco uso de procedimientos geométricos, que para

Corberán (1996) permiten comparar áreas y perímetros de figuras planas a partir del análisis

de los elementos de los que dependen estas.

Es así como los estudiantes no comprenden con facilidad procedimientos

geométricos, tampoco acuden a mecanismos como recorte y pegado, descomposición de

figuras geométricas planas, reconfiguración de una figura geométrica en otra, estimación,

superposición de figuras, reconstrucción de figuras geométricas para mejor visualización del

perímetro y área, entre otras técnicas, que permiten establecer relaciones de proporcionalidad

entre los lados de distintos polígonos. Es importante resaltar, con relación a la comparación

de proporcionalidad de diferentes figuras geométricas, las afirmaciones de Corberán (1996)

frente a algunos investigadores:

Han observado cómo los alumnos se dejan guiar por su percepción visual a la hora de

emitir juicios en tareas de comparación de los lados de figuras geométricas planas,

llevándolos en la mayoría de las ocasiones a conclusiones erróneas. Concretamente

éstos últimos, que trabajaron con estudiantes de primaria comprobaron que rara vez

los niños utilizan argumentos lógicos en tareas donde un elemento físico de una figura

geométrica cambia (por ejemplo, una dimensión), pensando realmente en ellos su

percepción (p.30).

De hecho, según Corberán (1996), a los estudiantes les cuesta trabajo razonar

correctamente cuando se presentan situaciones de comparación entre elementos de figuras

24

planas, por ejemplo, el caso de la relación de proporcionalidad entre los lados de un triángulo

pequeño y los lados de un triángulo de perímetro doble o triple, etc.; el perímetro del

rectángulo y el perímetro del paralelogramo, o también, el área de una superficie puede ser

el doble, el triple o la mitad de otra. (M.E.N, 2010, p. 37)

El proceso de comparación de los lados de figuras planas diferentes es una técnica

que permite relacionar dos o más figuras geométricas. Por tal razón, con el presente estudio

se busca enfatizar en un concepto matemático rico en elementos, características, propiedades

y conceptos de figuras geométricas planas como es el Teorema de Thales, sin lugar a dudas,

un objeto matemático con un fuerte componente visual geométrico que facilita el

razonamiento de los estudiantes en los procesos de comparación.

Se resalta además que en el Teorema de Thales existe una relación especial de

proporcionalidad entre los lados de figuras geométricas semejantes y no semejantes, lo cual

facilita realizar una comparación entre elementos de figuras geométricas planas para

establecer relaciones de proporcionalidad y de equivalencia de figuras planas.

En resumen, con esta investigación se busca acercar el concepto de proporcionalidad

desde un tratamiento cualitativo, utilizando procedimientos meramente geométricos, basados

en la comparación de figuras planas, y que a través de procesos de razonamiento, el estudiante

establezca relaciones de equivalencia o igualdad y de inclusión entre los lados de las

diferentes figuras geométricas planas; esto permite consolidar el concepto de

proporcionalidad entre los elementos de figuras geométricas y la comparación de estas, así

como encontrar la relación especial que existe entre las razones y proporciones y el Teorema

de Thales, lo cual se constituye en un acercamiento a dicho teorema.

25

5 Marco teórico

En este trabajo se presenta una investigación en didáctica de la matemática y, en

particular, en didáctica de la geometría, que contribuya al desarrollo del razonamiento

proporcional en los estudiantes de grado noveno. En consecuencia, en este apartado se

explican las definiciones de magnitud, razón, proporción, así como sus principales

propiedades y algunos teoremas importantes como el Teorema de Thales, que contribuyen

con la sustentación teórica del proyecto. Teniendo en cuenta que la investigación incluye

aplicaciones de la proporcionalidad en geometría, se finaliza con algunas definiciones y

teoremas, como el de Thales.

5.2 Marco teórico disciplinar

5.2.1 Razón

Se denomina razón a cierta relación (usualmente de comparación) entre dos

magnitudes que pueden ser del mismo tipo, por ejemplo, cuando se relacionan la diagonal de

un cuadrado con su respectivo lado, se llaman magnitudes homogéneas; o de diferente tipo,

cuando, por ejemplo, se relaciona el espacio recorrido y el tiempo utilizado por un móvil

desde un cierto punto y se llaman magnitudes heterogéneas.

La razón entre las magnitudes 𝐴 y 𝐵 se expresa de la forma 𝐴: 𝐵 o B: A y se lee 𝐴 es a 𝐵

(Daza, 2014, p. 37)

𝐴 y 𝐵 se llaman términos de la razón. El primero (𝐴) se llama antecedente y el

segundo (𝐵) consecuente.

26

- Nota: con las definiciones anteriores, dado que toda magnitud por definición es

medible, con frecuencia se confunden las magnitudes que se relacionan con sus respectivas

medidas y por eso el problema del razonamiento proporcional termina siendo un problema

de razonamiento entre números. Y como una razón numérica es una relación entre números,

usualmente se trata como el cociente entre ellos, lo cual a veces trae problemas, como se

expondrá más adelante (Daza, 2014, p. 37).

5.2.2 Proporción

Es la igualdad de dos razones; cuando dos razones son iguales se dice que las cuatro

cantidades que las componen son proporcionales. Así: si 𝐴, B, C y 𝐷 son magnitudes y se

cumple que D/C como B/A, se dice que las magnitudes 𝐴 y 𝐷 son proporcionales.

Evidentemente, a las propiedades entre magnitudes se les puede hacer corresponder una

respectiva propiedad entre números reales.

Esto es, si a la razón B/A se le asigna la razón entre números m/n y a D/C se le

asigna la razón entre números:

q/ p, con 𝑛, 𝑚, 𝑝 y 𝑞 ∈ IR, se tiene que: q pn m.

Entonces, las cantidades 𝑛, m, p y 𝑞 resultan proporcionales; los términos m y 𝑞 se

llaman extremos y 𝑝 y n se llaman medios (Mejía, 2015, p. 26).

5.2.3 Paralelismo

La relación de paralelismo. Definición 27. Rectas Paralelas:

Sean 𝑙 y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela

a r, y lo denotamos como si: i. l es la misma recta r o ir. l es diferente a r.

27

Consecuencia: Sean 𝑙 y 𝑟 dos rectas contenidas en un mismo plano. 𝑙 ∦ 𝑟 si y sólo si

𝑙 ≠ 𝑟 y 𝑙 ∩𝑟 ≠ ∅. De otra forma: 𝑙 ∦ 𝑟 si y sólo si 𝑙 ∩𝑟 = {𝑃}, donde 𝑃 es único.

Definición 28. Recta secante a otras dos rectas. Sean ≠; ⊂ 𝜋; entonces se dice que la

recta 𝑡 es secante a las rectas r y l.

5.1.3.1 Primer criterio del paralelismo. Teorema de los ángulos alternos internos

(primera versión)

Demostración: sean l y r las rectas coplanares dadas, l diferente de r y sea t una recta

que corta a l y r en los puntos B y B', respectivamente y de modo que:

vamos a demostrar que es lo mismo.

Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que los ángulos alternos

internos son congruentes y que l no es paralela a r. Entonces se cortan en un punto D.

Podemos suponer que se cortan en el mismo semiplano respecto a t en que están C y C'

Consideremos el triángulo. Como (hipótesis) entonces, (1). (Teorema 24).

Teorema 25. Teorema de los ángulos alternos internos ( ). Si dos rectas interceptadas

por una secante determinan con ella una pareja de ángulos alternos internos congruentes,

entonces dichas rectas son paralelas.

28

Ilustración 2. Ángulos entre dos paralelas.

Ahora, por el axioma de construcción de segmentos, existe E en la semirrecta tal que.

Unamos B con E. los triángulos y son congruentes (L-A-L), de donde:

Pero por (1). Luego.

Y como y están en el mismo semiplano respecto a t, por el axioma de construcción

del ángulo, lo que nos dice a la vez que, es decir E pertenece a la recta l.

Pero también. Luego y como la recta es la misma r, se tiene finalmente que

Contradicción con la hipótesis ya que habíamos supuesto que l y r eran dos rectas

diferentes.

Corolario 1. Si dos rectas interceptadas por una secante determinan con ella ángulos

correspondientes congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.

Corolario 2. Si dos rectas interceptadas por una secante determinan con ella ángulos

alternos externos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.

29

Corolario 3. Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, todas ellas coplanares,

entonces las dos primeras son paralelas entre sí.

5.2.4 Semejanza de figuras planas

Proporcionalidad geométrica: como se mencionó anteriormente, la proporcionalidad

surge de la necesidad del ser humano de resolver problemas cotidianos de su entorno, los

cuales con frecuencia son modelados geométricamente. En este trabajo se encontrarán

algunos problemas clásicos, los cuales se desarrollan a partir de un pensamiento geométrico

y métrico, y por tal motivo es necesario establecer explícitamente el uso de la teoría de las

proporciones en geometría para hallar figuras semejantes, como es el caso de triángulos

semejantes o, en general, de polígonos semejantes.

Es interesante destacar algunos de los teoremas más relevantes para los objetivos de

este trabajo en función de sus aplicaciones. Por lo anterior, se limitará a enunciarlos

siguiendo el estilo de Euclides en sus Elementos, esto es, dar un enunciado general en

lenguaje ordinario para realizar la figura correspondiente y enunciar de nuevo el teorema a

partir de la figura dada (Daza, 2014, p. 43).

5.2.5 Segmentos proporcionales

Se entiende por razón de dos segmentos 𝐴 𝑦 𝐵 a la razón de los números que expresan

las longitudes de estos segmentos, cuando han sido medidos con la misma unidad. Es decir:

𝐴: 𝐵 = b/ a

Dos segmentos son proporcionales cuando la razón entre las dos primeras es igual a

la razón de las otras dos. Más precisamente: si 𝐴, B, C y 𝐷 son cuatro segmentos cuyas

30

longitudes están dadas por los números 𝑎, 𝑏, y 𝑑, decimos que 𝐴 y 𝐷 son proporcionales, esto

es: 𝐴: 𝐵 ∷ 𝐶: 𝐷 si solo si d c b a·

Como con frecuencia los lados de una figura geométrica rectilínea se notan con las

letras mayúsculas que marcan sus extremos, por ejemplo, 𝐴𝐵, en este trabajo seguiremos una

notación bastante convencional con la cual AB se refiere al segmento propiamente dicho y

𝐴𝐵 a la medida de este segmento. Las dos notaciones serán usadas según conveniencia en

lo que sigue (Daza, 2014, p. 44).

Teorema 8. Toda paralela a un lado de un triángulo determina sobre los otros dos lados

segmentos proporcionales.

En otras palabras, sea el triángulo △𝐴𝐵𝐶 y 𝐷, 𝐸 puntos sobre los lados AB y AC

respectivamente. Si DEIIBC entonces se tiene que

EC: EA como DB: DA.

5.2.6 Congruencia de figuras planas

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y

el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento), si existe una isometría

que los relaciona: una transformación que es de traslaciones, rotaciones y reflexiones.

También puede decirse: dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño,

aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras

congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

31

Ilustración 3. Congruencia de triángulos.

- Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma

longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Notación: si dos triángulos y son congruentes, entonces la

relación se notará como:

● Criterios para deducir o establecer la congruencia de dos triángulos.

⮚ Congruencia de triángulos: las condiciones mínimas que deben cumplir dos

triángulos para que sean congruentes se establecen a través de los llamados teoremas de

congruencia 1, los cuales son:

32

● Caso LAL: dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados

respectivos y el ángulo comprendido entre ellos.

● Caso ALA: dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos

respectivos y el lado entre ellos.

● Caso LAL: dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.

● Caso LLA: dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados

respectivos, y el ángulo opuesto mayor medida que ellos.

● Caso LAA: dos triángulos son congruentes si tienen iguales uno de los lados, el

ángulo opuesto a dicho lado y otro de los ángulos.

● Caso AAL: dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos

respectivos y el lado opuesto a cualquiera de los ángulos.

(En el caso LLA, el ángulo dado puede ser el opuesto a cualquiera de los lados, no

necesariamente al mayor, cuando es un ángulo recto u obtuso).

https://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr%C3%ADa)#cite_note-3

https://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr%C3%ADa)#cite_note-3

33

Ilustración 4. Semejanza de triángulos.

5.3 Teorema de Thales

5.3.1 Teorema de Thales

Toda paralela al lado de un triángulo determina un segundo triángulo semejante al

primero.

34

Ilustración 5. Aplicación del teorema de Thales.

En otras palabras, dado el triángulo △𝐴𝐵𝐶 y los puntos 𝐷 y 𝐸 puntos de los segmentos

AB y AC respectivamente, si DE II BE entonces △𝐴𝐵𝐶∼△𝐴𝐷𝐸 y, por lo tanto:

- ¿Qué significa comprender el Teorema de Thales?

En Filloy y Lema (1996) se menciona un estudio experimental cuyo principal objetivo

es explorar cuáles son las competencias necesarias para comprender y utilizar el Teorema de

Thales. Explica el estudio que, a partir de los resultados, se pudo observar, de manera nítida,

que hasta que un usuario no tenga una correcta interpretación de todos los conceptos

involucrados en el Teorema de Thales, no puede contar con nociones estables para operar y

establecer relaciones.

35

5.4 El modelo de van Hiele

5.4.1 Niveles del modelo de van Hiele

De acuerdo con Crowley (1987) y Jaime (1993), el modelo de razonamiento

geométrico de van Hiele tiene su origen en los trabajos doctorales presentados en la

Universidad de Utrech, por dos profesores holandeses de Matemáticas de enseñanza

secundaria, Pierre M. van Hiele y Dina van Hiele- Geldof, quienes mostraron,

respectivamente, un modelo de enseñanza y aprendizaje de la geometría.

Este modelo de razonamiento geométrico de van Hiele explica cómo se produce

la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes, dividiéndolo en cinco

niveles consecutivos: la visualización, el análisis, la deducción informal, la deducción

formal y el rigor, los cuales se repiten con cada aprendizaje nuevo. El estudiante se ubica

en un nivel dado al inicio del aprendizaje y, conforme vaya cumpliendo con un proceso,

avanza al nivel superior. El modelo de van Hiele también indica la manera de apoyar a

los estudiantes para mejorar la calidad de su razonamiento, pues proporciona pautas para

organizar el currículo educativo y para que el estudiante pueda pasar de un nivel a otro.

5.4.1.1 Modelo de razonamiento geométrico de van Hiele

De acuerdo con Jaime (1993), el modelo de van Hiele abarca dos aspectos básicos:

Descriptivo: mediante este se identifican diferentes formas de razonamiento geométrico de

los individuos y se puede valorar su progreso.

Instructivo: marca pautas a seguir por los profesores para favorecer el avance de los

estudiantes en el nivel de razonamiento geométrico en el que se encuentran.

36

De igual manera, el modelo de van Hiele ayuda a explicar cómo, en el proceso de

aprendizaje de la geometría, el razonamiento geométrico de los estudiantes transcurre por

una serie de niveles. Para dominar el nivel en que se encuentra y poder pasar al nivel

inmediato superior, el estudiante debe cumplir ciertos procesos de logro y aprendizaje. Este

modelo distribuye el conocimiento escalonadamente en cinco niveles de razonamiento,

secuenciales y ordenados. Dentro de cada nivel propone una serie de fases de aprendizaje

que el estudiante debe cumplir para avanzar de un nivel a otro, lo que constituye la parte

instructiva del modelo. Ningún nivel de razonamiento es independiente de otro y no es

posible saltarse ninguno: el individuo debe pasar y dominar un nivel para subir al siguiente.

A este respecto, Fouz (2006) afirma que al subir de nivel se hacen explícitos en el

estudiante los conocimientos que eran implícitos en el nivel anterior, lo cual indica que va

aumentando de esta manera el grado de comprensión y dominio del conocimiento. Esto hace

que los objetos de trabajo de este nivel superior sean extensiones de aquellos del nivel

anterior.

Como ya se mencionó, la caracterización del modelo de van Hiele se elabora a través

de 5 niveles, respecto de los que no hay unanimidad en cuanto a su numeración: algunos

autores hablan de los niveles del 0 al 4 y otros los enumeran del 1 al 5. Para efectos de este

trabajo, con el propósito de evitar ambigüedades, se tomó la segunda numeración.

La siguiente descripción del modelo de van Hiele se tomó principalmente de los

autores Fouz y De Donosti (2005), Jaime (1993), Jaime y Gutiérrez (1994), y Beltranetti,

Esquivel y Ferrari (2005).

Los niveles propuestos por el modelo de van Hiele son:

37

5.4.1.2 Nivel 1. Reconocimiento o visualización

El individuo reconoce las figuras geométricas por su forma como un todo, no

diferencia partes ni componentes de la figura. Puede, sin embargo, producir una copia de

cada figura particular o reconocerla. No es capaz de reconocer o explicar las propiedades

determinantes de las figuras, ya que las descripciones son principalmente visuales y las

compara con elementos familiares de su entorno. Tampoco hay un lenguaje geométrico

básico para referirse a figuras geométricas por su nombre.

5.4.1.3 Nivel 2. Análisis

El individuo puede ya reconocer y analizar las partes y propiedades particulares de

las figuras geométricas y las reconoce a través de ellas, pero no le es posible establecer

relaciones o clasificaciones entre propiedades de distintas familias de figuras. Establece las

propiedades de las figuras de forma empírica, a través de la experimentación y manipulación.

Como muchas de las definiciones de la geometría se establecen a partir de propiedades, no

puede elaborar definiciones.

5.4.1.4 Nivel 3. Deducción informal u orden

El individuo determina las figuras por sus propiedades y reconoce cómo unas

propiedades se derivan de otras, construye interrelaciones en las figuras y entre familias

de ellas. Establece las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir las figuras

geométricas, por lo que las definiciones adquieren significado. Sin embargo, su

razonamiento lógico sigue basado en la manipulación. Además, sigue demostraciones,

pero no es capaz de entenderlas en su globalidad, por lo que no le es posible organizar

38

una secuencia de razonamientos lógicos que justifique sus observaciones. Al no poder

realizar razonamientos lógicos formales ni sentir su necesidad, el individuo no

comprende el sistema axiomático de las matemáticas. El estudiante ubicado en el nivel

2 no es capaz de entender que unas propiedades se deducen de otras, lo cual sí es posible

al alcanzar el nivel 3. Ahora puede entender, por ejemplo, que en un cuadrilátero la

congruencia entre ángulos opuestos implica el paralelismo de los lados opuestos.

5.4.1.5 Nivel 4. Deducción

En este nivel ya el estudiante realiza deducciones y demostraciones lógicas y

formales, al reconocer su necesidad para justificar las proposiciones planteadas. Comprende

y maneja las relaciones entre propiedades y formaliza en sistemas axiomáticos, por lo que ya

entiende la naturaleza axiomática de las matemáticas. Comprende cómo se puede llegar a

los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas, lo que le permite

entender que se puedan realizar distintas demostraciones para obtener un mismo resultado.

Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto grado de razonamiento lógico, obtiene una

visión globalizadora de las matemáticas. También, el individuo puede desarrollar secuencias

de proposiciones para deducir una propiedad de otra, percibe la posibilidad de una prueba,

sin embargo, no reconoce la necesidad del rigor en los razonamientos.

5.4.1.6 Nivel 5. Rigor

El individuo está capacitado para analizar el grado de rigor de varios sistemas

deductivos y compararlos entre sí. Puede apreciar la consistencia, independencia y

completitud de los axiomas de los fundamentos de la geometría. Capta la geometría en forma

39

abstracta. Este último nivel, por su alto grado de abstracción, debe ser considerado en una

categoría aparte, tal como lo sugieren estudios sobre el tema de Alsina, Fortuny y Pérez

(1997); Gutiérrez y Jaime (1991) afirman que solo se desarrolla en estudiantes universitarios

con una buena capacidad y preparación en geometría.

En el modelo de razonamiento de van Hiele es posible observar la concordancia que

poseen los diferentes niveles entre sí, además de recalcar el hecho de que un individuo no

puede saltarse ningún nivel de razonamiento.

También el modelo de van Hiele propone unas fases que se describen a continuación,

las cuales sirven como instrumento mediador para revisar el paso del pensamiento

geométrico de los estudiantes entre un nivel y otro más complejo.

5.4.2 Fases del modelo de van Hiele

Los van Hiele propusieron cinco fases de aprendizaje que guían al docente en el

diseño y organización de las experiencias de aprendizaje, adecuadas para el progreso del

estudiante en su paso de un nivel a otro. Dentro del modelo, las fases no son exclusivas

de un nivel, sino que, en cada nivel, el estudiante comienza con actividades de la primera

fase y continúa así, de tal forma que al terminar la fase 5 debe haber alcanzado el nivel

de razonamiento siguiente (Jaime, 1993).

5.4.2.1 Fase 1. Información

En esta fase se procede a tener contacto con el nuevo tema objeto de estudio. El

profesor debe identificar los conocimientos previos que puedan tener sus alumnos sobre

este campo de trabajo, y su nivel de razonamiento en cuanto a este. Fouz y De Donosti

40

(2005) citan a Azubel (1978) para respaldar que este es el primer acercamiento a los

conocimientos del alumno: “Si tuviera que reducir toda la Psicología Educativa a un solo

principio diría lo siguiente: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo

que el alumno/a sabe. Averígüese esto y enséñese en consecuencia” (p. 72). En esta

fase, los alumnos deben recibir información para conocer el campo de estudio que van a

iniciar, los tipos de problemas que van a resolver, los métodos y materiales que

utilizarán, etc.

5.4.2.2 Fase 2. Orientación dirigida

Se guía a los alumnos mediante actividades y problemas (dados por el profesor o

planteados por los mismos estudiantes), con el fin de que estos descubran y aprendan las

diversas relaciones o componentes básicos de la red de conocimientos por formar. Los

problemas propuestos han de llevar directamente a los resultados y propiedades que los

estudiantes deben entender y aprender. El profesor debe seleccionar cuidadosamente estos

problemas y actividades y, cuando lo necesiten, orientar a sus alumnos hacia la solución. De

acuerdo con Jaime (1993), esta fase es fundamental, ya que en ella se construyen los

elementos básicos de la red de relaciones del nivel correspondiente.

Al respecto cita a van Hiele (1986), quien señala que "(…) las actividades (de la

segunda fase), si se seleccionan cuidadosamente, constituyen la base adecuada del

pensamiento de nivel superior" (p. 10). El papel del profesor resulta primordial en esta fase,

ya que debe seleccionar las actividades adecuadas para permitir al estudiante aprender los

conceptos, propiedades o definiciones fundamentales para el nuevo nivel de razonamiento.

Corberán, et al. (1994) indican sobre la planificación de la fase 2 que: “(…) Una planificación

41

cuidadosa de la secuencia tendrá en cuenta la necesidad de conseguir pequeños éxitos que

estimulan su autoestima y favorezcan una actitud positiva hacia las matemáticas” (p. 36).

5.4.2.3 Fase 3. Explicitación

Los alumnos deben intentar expresar en palabras o por escrito los resultados que

han obtenido, intercambiar sus experiencias y discutir sobre ellas con el profesor y los

demás estudiantes, con el fin de que lleguen a ser plenamente conscientes de las

características y relaciones descubiertas y afiancen el lenguaje técnico que corresponde

al tema objeto de estudio. Además, se les exige utilizar el vocabulario adecuado para

describir la estructura sobre la que han estado trabajando, por tanto, deben aprender y

afianzar el vocabulario propio del nivel.

En esta fase no se produce un aprendizaje de conocimientos nuevos, en cuanto a

estructuras o contenidos, sino una revisión del trabajo llevado a cabo con anterioridad, a

partir de conclusiones, práctica y perfeccionamiento de la forma de expresarse, todo lo

cual origina un afianzamiento de la nueva red de conocimientos que se está formando.

El tipo de trabajo que se debe realizar en esta fase es de discusión y comentarios sobre

la forma de resolver los ejercicios anteriores, elementos, propiedades y relaciones que se

han observado o utilizado.

5.4.2.4 Fase 4. Orientación libre

En esta fase se debe producir la consolidación del aprendizaje realizado en las

fases anteriores. Los estudiantes deberán utilizar los conocimientos adquiridos para

resolver actividades y problemas diferentes de los anteriores y, probablemente, más

42

complejos. El trabajo del profesor consiste en proponer a sus alumnos problemas que

no sean una simple aplicación directa de un dato o algoritmo conocido, sino que planteen

nuevas relaciones o propiedades, que sean más abiertos, preferiblemente con varias vías

de resolución, con varias soluciones, o con ninguna.

Por otra parte, el profesor debe limitar al máximo su ayuda a los estudiantes en

la resolución de los problemas. En palabras de van Hiele (1986, citado en Jaime, 1993),

“(…) los estudiantes aprenden a encontrar su camino en la red de relaciones por sí

mismos, mediante actividades generales” (p. 11). Es también esta fase, el momento para

que los alumnos apliquen los conocimientos y lenguaje que adquirieron en otras

situaciones nuevas. Los problemas planteados aquí deben obligar a los estudiantes a

combinar sus conocimientos y aplicarlos a situaciones diferentes de las propuestas

anteriormente. En síntesis, la intervención del profesor en la resolución de las tareas

debe ser mínima, pues son los alumnos quienes deben encontrar el camino adecuado a

partir de lo aprendido en la segunda fase.

5.4.2.5 Fase 5. Integración

En esta última fase, los estudiantes establecen una visión global de todo lo aprendido

sobre el tema y de la red de relaciones que están terminando de formar, integrando estos

nuevos conocimientos, métodos de trabajo y formas de razonamiento con los que tenían

anteriormente. El papel del profesor es el de dirigir resúmenes o recopilaciones de la

información que ayude a los estudiantes a lograr esta integración. Las actividades que

les proponga no deben implicar la aparición de nuevos conocimientos, sino solo la

organización de los ya adquiridos. Se trata de lograr una visión general de los contenidos

43

del tema objeto de estudio, integrada por los nuevos conocimientos adquiridos en este

nivel y los que ya tenían los estudiantes anteriormente. Por lo tanto, no hay un

aprendizaje de elementos nuevos, sino una fusión de los nuevos conocimientos,

algoritmos y formas de razonar con los anteriores. Las actividades de esta fase deben

favorecer dicha integración y permitirle al profesor comprobar si ya se ha conseguido.

El paso por cada una de estas fases y la observación de las mismas, potencia, en gran

medida, la posibilidad de que un estudiante avance del nivel en el que se encuentra y así

pueda desarrollar sus habilidades y capacidad de razonamiento geométrico.

5.5 Las TIC como herramienta para enseñar geometría

La aparición de las llamadas “nuevas tecnologías” en las últimas décadas del siglo

XX, derivaron en lo que hoy se conoce como Tecnologías de la Información y de las

Comunicaciones (TIC), impactando todas las esferas de la sociedad actual, pues se

convirtieron en herramientas indispensables para el trabajo, la vida social, familiar y

personal, para ampliar el cubrimiento de los medios de comunicación, entre otros.

Estas nuevas tecnologías trajeron consigo una nueva sociedad, la sociedad de la

información (SI) y del conocimiento, que se caracteriza por la posibilidad de acceder a mucha

información y de conectarse con otros colectivos o ciudadanos fuera de los límites del espacio

y del tiempo. Según el Ministerio de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación

(MinTIC), la sociedad de la información es:

Aquella en la cual las tecnologías que facilitan la creación, distribución y

manipulación de la información juegan un papel importante en las actividades

sociales, culturales y económicas debe estar centrada en la persona, integradora y

orientada al desarrollo, en que todos puedan crear, consultar, utilizar y compartir la

44

información y el conocimiento, para que las personas, las comunidades y los pueblos

puedan emplear plenamente sus posibilidades en la promoción de su desarrollo

sostenible y en la mejora de su calidad de vida (2019, p. 1).

Sin embargo, en Colombia, el impacto en la educación no ha generado mayores

cambios en el modelo tradicional de enseñanza y aprendizaje. Lo que se observa en las

instituciones educativas, especialmente en las de carácter oficial, es un retraso en la adopción

de estas nuevas tecnologías, debido a las implicaciones de los cambios que trae consigo en

la educación, los cuales suponen no solo invertir en equipamiento tecnológico y en formación

de docentes y administrativos, sino también un cambio de actitud o de mentalidad para

adoptar nuevas metodologías dentro del aula de clase, acordes con las necesidades de los

niños y jóvenes de hoy, tal como lo plantea Hoffer (citado por Bressan, 2000).

Villela (2001), expresa que las causas que explican el retraso en el proceso de

incorporación de las TIC a la educación podrían ser: la falta de recursos financieros, el escaso

apoyo institucional o la dificultad del profesorado para adaptarse a esta realidad. A pesar de

estas dificultades, quienes asumen el reto de introducir el uso de las TIC a las aulas de clase

innovando metodología y didáctica, consideran que esta es una vía para mejorar la calidad

de la enseñanza, pero, sobre todo, un camino para dar respuesta a las nuevas exigencias que

plantea la sociedad de la información (SI).

De otro lado, Alsina, Fortuny y Pérez (1997) plantean en cuanto a los cambios que se

registran en el escenario educativo, que la situación social en la que se encuentra inmerso el

sujeto contemporáneo, caracterizada por nuevos modelos familiares (familias funcional,

disfuncional, nuclear, extendida, etc.), nuevos entornos profesionales y una mayor

45

diversificación del alumnado, exige un nuevo sistema educativo que, regido por el principio

de igualdad de oportunidades, dé respuesta a la nueva SI. En esta transformación, las TIC

juegan un papel esencial, ya que se convierten en el instrumento de los cambios que la SI

genera en el ámbito de la formación.

Aun con los obstáculos que enfrentan los docentes y las instituciones para adoptar el

uso de las TIC en los procesos de enseñanza y aprendizaje, los modelos actuales de educación

se ven obligados a cambiar con las herramientas disponibles. Sin embargo, ya no se trata de

enseñar sobre el empleo de las TIC, es decir, de formar en las habilidades necesarias para

desenvolverse en la SI; es necesario dar un paso más y entender que utilizar las TIC en el

aula significa escoger herramientas y aplicarlas con una intención pedagógica para mejorar

el proceso de orientación del conocimiento en todos los niveles educativos (Alsina, et al.

1997).

Se comprende así que la llegada de las TIC al ámbito educativo abre muchas

posibilidades que plantean el papel tradicional del profesor que enseña y el alumno que

aprende o reproduce lo que este enseña, porque con las nuevas herramientas tecnológicas, el

alumno puede crear y recrear no solo el conocimiento, sino también la forma como lo

construye y aprende.

También, entre los cambios registrados a nivel de educación, es importante destacar

que se presenta la oportunidad de que los conocimientos adquiridos por los estudiantes de

una región, son similares a los de otras, porque existen universidades que implementan

plataformas digitales donde los “usuarios” o estudiantes se inscriben y cursos de pregrado y

posgrado, o se actualizan en información específica de su interés.

46

Ahora, con respecto a los cambios en los objetivos educativos, es claro que los

educadores deben preparar a los alumnos para vivir en la SI. Para ello, deben potenciar las

habilidades necesarias para que estos aprovechen al máximo las posibilidades de las TIC.

Marqués Graells, en el libro de la profesora de la Universidad de Alicante, Rosabel Roig

(2002), Las Nuevas Tecnologías aplicadas a la educación”, sintetiza tales habilidades y

conocimientos en:

Saber utilizar las principales herramientas de Internet. • Conocer las características

básicas de los equipos. • Diagnosticar qué información se necesita en cada caso. •

Saber encontrar la información. • Saber resistir la tentación de dispersarse al navegar

por Internet. • Evaluar la calidad y la idoneidad de la información obtenida. • Saber

utilizar la información. • Saber aprovechar las posibilidades de comunicación de

Internet. • Evaluar la eficacia y la eficiencia de la metodología empleada (citado en

Díaz, 2014, p. 24).

Estas destrezas y conocimientos sirven para que los alumnos se familiaricen desde

temprana edad con las TIC y las aprovechen en sus procesos de aprendizaje escolar y para su

vida cotidiana (Alsina, et al., 1997).

Por otra parte, también la incorporación de las TIC genera cambios en los centros

escolares, pues introducirlas en el proceso de enseñanza y aprendizaje implica equipamiento

e infraestructura. Las instituciones educativas, ya sea para educar sobre las TIC (es decir,

para alfabetizar digitalmente), o para educar con las TIC, necesitan ordenadores y conexión

a Internet de banda ancha.

Sin embargo, hay que tener claro que las necesidades no son las mismas para un

centro educativo que forma a sus alumnos sobre TIC, que para uno que aspira a integrar las

TIC de forma transversal en la enseñanza de todas las asignaturas. En esta perspectiva,

muchas instituciones han optado por instaurar un aula informática, y muchas otras, por dotar

47

a las aulas con herramientas tecnológicas que apoyan la labor del docente, pero, además,

actualizan las metodologías de acuerdo con los intereses de la población escolar.

Hay que considerar, asimismo, que la incorporación de las TIC en los procesos de

enseñanza y aprendizaje se ve afectado por la formación de los maestros, quienes pueden

conocer el manejo de dichas tecnologías, pero desconocen la forma de aplicarlas combinando

los modelos pedagógicos y su empleo dentro del aula. Es una realidad que se debe reconocer:

en el manejo de las tecnologías, a menudo los alumnos saben más que sus profesores (Graells,

citado en Díaz, 2014).

En la actualidad, las nuevas tecnologías son cada vez más accesibles y con ellas, el

acceso al conocimiento, pues a través de celulares, iPhone, mp4, dvds, computadoras,

reproductores, tablets, televisores, etc., es posible acceder a contenidos de todas las

disciplinas. En el sistema educativo también se están aplicando los software libres (software

para compartir libremente, modificarlos y reproducirlos), tales como eMule, Firefox, Linux,

Apache, jDownloader, VLC, OpenOffice.org, etc., cuya característica central es que por ellos

no hay que pagar grandes sumas de dinero, como sí sucedía con los software tradicionales.

Los primeros, igual que los otros software, generan y reproducen conocimiento, por lo cual

su acceso se ha multiplicado en los últimos años.

De lo expuesto hasta el momento se deduce que las escuelas, universidades y, en

general, los centros educativos, deben adaptarse a la realidad mundial y utilizar las TIC como

estrategia didáctica para generar y compartir conocimiento, validar los nuevos conocimientos

o las nuevas metodologías de trabajo en los procesos de enseñanza y aprendizaje. En este

sentido, el empleo de las TIC en la enseñanza de la geometría también exige adaptar e innovar

48

las didácticas dentro del aula para facilitar y mejorar el acceso y la comprensión de los

contenidos.

Centrando esta mirada en la ciudad de Pereira, se encuentra que ya existen centros o

puntos digitales masificar el acceso al conocimiento (puntos digitales propiciados por el

Ministerio de las TIC), el intercambio de experiencias y fomentar la cultura del buen manejo

de las herramientas tecnológicas, en cuanto a mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje

de la ciudad.

En este análisis también es importante referirse a los cambios en las formas

pedagógicas, pues las TIC aportan a una educación no condicionada por el tiempo y el

espacio, que posibilita el aprendizaje en horario extraescolar y fuera de la escuela, a través

de métodos colaborativos o individuales, lo cual significa el asumir un nuevo rol por parte

de maestros y alumnos.

Muchos autores coinciden en la idea de que sólo mediante la manipulación de un

objeto, sea de forma física o abstracta, es posible llegar a la comprensión de un concepto

matemático, y es aquí se valida la utilización de una estrategia mediada por la utilización de

materiales didácticos y las TIC (MEN, 2004). Así, la utilización de un software especializado

como Geogebra permite trabajar la geometría en forma dinámica, pues con el empleo de esta

herramienta es posible darle vida a los objetos que estudia la geometría, ya que los materializa

y admite la flexibilidad en su manejo aprehensión. Estas acciones de representación y las

relaciones que se establecen entre el maestro, el estudiante y el medio tecnológico, generan

un ambiente de trabajo diferente al convencional, integrando aspectos funcionales dentro un

entorno tecnológico, como movimientos, transformaciones, y otros.

49

5.6 El nuevo rol del profesor

La integración de las TIC en el aula supone un proceso largo y constante, ya que es

necesario capacitar a los maestros para que adquieran habilidades en el uso de las

herramientas tecnológicas, pero también, para que adapten la orientación de los contenidos

de sus disciplinas a ellas. Como los desarrollos en este campo suceden de manera vertiginosa,

el maestro debe formarse continuamente para vivir actualizado en el tema. Si su rol cambió

con el advenimiento de nuevos modelos pedagógicos que lo consideran, no ya como un

orador, un instructor que se sabe la lección, sino como un orientador y un guía en la

adquisición del conocimiento, ahora, con el empleo de las TIC, es además un asesor, un

facilitador o mediador que debe ser capaz de conocer la capacidad de sus alumnos, de evaluar

los recursos y los materiales existentes o, en su caso, de crear los suyos propios.

Las herramientas tecnológicas, bien utilizadas, enriquecen la labor del docente. Sin

embargo, cabe señalar que para que sea visible su contribución en el quehacer educativo, se

requiere que el docente desarrolle habilidades y competencias tecnológicas que le permitan

apropiarse de las bondades que estas herramientas brindan al interior del aula de clases. Para

lograrlo, es preciso que el maestro supere los temores iniciales que trae consigo el

experimentar con algo nuevo y replantee las metodologías tradicionales que hoy le resultan

poco atractivas a los estudiantes quienes, en su mayoría, en la vida diaria interactúan con la

tecnología y esperan encontrar entornos similares dentro de las aulas.

Por tanto, el temor a superar el fracaso implica desprenderse de las rutinas y

costumbres que se tienen arraigadas y se hacen visibles en la labor docente, y que sin lugar a

50

dudas generan confort y seguridad al realizar las tareas o actividades que por días, meses y

años han preparado.

Es necesario entonces, reconocer que los procesos educativos actuales plantean la

necesidad de un nuevo rol docente, donde más allá del rol tradicional de enseñante experto,

debe ser un facilitador que contribuye para que los estudiantes se conviertan en responsables

de sus procesos de aprendizaje, de sus decisiones, del manejo del tiempo para el desarrollo

de actividades escolares, y que además los motive a aprender a aprender para su propio

crecimiento. Ello implica que, como guía y orientador, debe combinar estrategias para crear

condiciones adecuadas para el crecimiento personal, con incidencia en el desarrollo integral

de los individuos a los que acompaña u orienta y esto, más allá de la experiencia, formación

y saberes, requiere ser conscientes de que el centro de la formación y el protagonista es el

estudiante. Sobre todo, en estos tiempos cuando las tecnologías adquieren relevancia en la

atención e intereses de los estudiantes y de la sociedad en general.

En este orden de ideas, se plantea la necesidad de un docente que más allá de conocer

las posibilidades y requerimientos de la educación, también reconozca el entorno educativo

y comunicativo de los estudiantes, así como sus habilidades y características, además, según

Duart y Sangre (2000): “se requiere por parte del educador la adquisición de competencias

digitales que aporten a un cambio en la forma como los estudiantes aprenden”, para que la

función esencial contribuya a lograr aprendizajes interactivos significativos.

El nuevo rol docente precisa el cambio de una docencia centrada en la trasmisión de

conocimientos, a la preocupación por coadyuvar a los estudiantes a vincular ambientes y

situaciones de aprendizaje con las tecnologías de la información y la comunicación, teniendo

51

presentes los nuevos contextos históricos. Es ahí donde el docente, como diseñador y creador

de contenidos, requiere de competencias en tecnologías digitales para que el trabajo dentro y

fuera del aula incida a su vez en el rol del estudiante como creador.

Estrategias como Pixtón, Kizoa, infografía, pueden incidir favorablemente en este

propósito. De igual modo, con el propósito de que los estudiantes den a conocer sus

opiniones y reflexiones, intercambien información y conocimiento, expresen su comprensión

de los temas o sus dudas, la participación a través de las redes para conectar los aprendizajes

puede ser altamente significativo, si cuenta con la organización y orientación docente.

En este sentido se considera entonces, que los MOOC (cursos online masivos y

abiertos) pueden contribuir en el desarrollo de la labor docente en la medida en que permiten

fortalecer los saberes y conocimientos. Asimismo, pueden aportar al desarrollo de las clases,

asignándole a los estudiantes la realización de cursos como actividades fuera del aula de

clases, permitiéndoles obtener las bases teóricas y los conceptos clave para, de una manera

diferente, desarrollar un pensamiento crítico, analítico y creativo; además de que estos cursos

les permiten de manera gratuita y asincrónica, desarrollar diferentes temáticas de acuerdo

con el ritmo de aprendizaje de cada uno.

De acuerdo con Ruiz (2014), de esta manera el conocimiento y manejo de

Tecnologías de la Información y la Comunicación, inciden en el desarrollo de procesos

educativos más interactivos e innovadores en el nuevo rol docente; además, el valor de los

nuevos canales de comunicación está en que permiten relacionarse con colegas para

compartir experiencias, problemas y, sobre todo, “estar al día”.

52

5.7 El nuevo rol del alumno

Con el ingreso de las TIC al ambiente escolar, también cambia la posición del alumno,

quien debe enfrentarse, de la mano del profesor, a una nueva forma de aprender, al uso de

nuevos métodos y técnicas. Martín-Laborda (2005) considera que, desde una posición más

crítica y autónoma, ya sea de forma individual o en grupo, las nuevas tecnologías inducen al

estudiante a aprender a buscar la información, a procesarla, es decir, seleccionarla, evaluarla

y convertirla, en última instancia, en conocimiento.

Se necesita que el maestro, en su nuevo rol, tenga la capacidad y las habilidades en

el manejo de las TIC y en la producción de contenidos, pero principalmente, en la orientación

que brinda a sus estudiantes para aprovechar las ventajas de las nuevas herramientas.

Varias investigaciones y proyectos relacionados con el tema del uso de las TIC en la

enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, como: Proyecto GRIMM, Foro Pedagógico

de internet, Sistema Educativo SEK, y el Proyecto Red Nacional de Centros Educativos

Piloto, reconocen las ventajas que favorecen el aprendizaje con el uso de las TIC, las cuales

se transcriben a continuación (citados en Martín-Laborda, 2005):

• Aumento del interés por la materia estudiada.

• Mejora la capacidad para resolver problemas.

• Los alumnos aprenden a trabajar en grupo y a comunicar sus ideas.

• Los alumnos adquieren mayor confianza en sí mismos.

• Los alumnos incrementan su creatividad e imaginación.

• Los alumnos ocupan su tiempo libre en actividades de aprendizaje.

53

• Los alumnos intercambian información con estudiantes de cualquier parte del mundo.

• Los alumnos adquieren capacidades digitales del buen uso de las herramientas

tecnológicas.

• Las temáticas tratadas pueden ir acompañadas de imágenes o videos que refuerzan las

temáticas a tratar.

• Pueden participar en cursos de índole mundial, preparadas por docentes de

universidades reconocidas del mundo.

• Estar actualizado en los últimos avances en temáticas, o en las diferentes áreas del

saber.

• Cualquier persona puede acceder al proceso de aprendizaje, en cualquier parte.

Estas ventajas no tienen por qué afectar de la misma manera a todos los alumnos,

pero “se ha demostrado que el aprendizaje con TIC es muy beneficioso para los estudiantes

poco motivados o con habilidades bajas y medias” (Pico, 2016, p. 6), con quienes se han

conseguido logros, no solo de resultados educativos sino también de integración escolar, ya

que la flexibilidad de la nueva pedagogía permite adaptarse a la capacidad y al ritmo de

aprendizaje de cada alumno.

A pesar de que existe información optimista sobre los resultados del aprendizaje

mediado por las TIC, son curiosos los datos de un estudio realizado por la editorial SM que

revelan:

Los alumnos tienen una actitud más crítica que los profesores hacia el aprendizaje

con TIC. Los alumnos únicamente consideran mejores los nuevos métodos de

aprendizaje por el mayor interés que les infunden y porque facilitan las relaciones con

54

sus compañeros, pero, en general, opinan que se aprende menos que por los métodos

tradicionales (Martín-Laborda, 2005, p. 18).

Lo cierto es que las TIC, y sobre todo Internet, aportan nuevas herramientas

educativas al servicio de los centros escolares, de los profesores y de los propios alumnos,

nuevos instrumentos que generaron un cambio sustancial en el entorno educativo. Depende

de directivos, maestros y estudiantes, que estas herramientas aporten realmente a elevar la

calidad de la educación.

Martín-Laborda (2005) también considera que las aplicaciones educativas de Internet

reflejan los aportes de esta tecnología a la educación, al identificar la red como medio de

comunicación y expresión, como fuente de información y de conocimiento, como soporte

didáctico para el aprendizaje, y como soporte de colaboración.

5.8 Internet en la educación

Como se explicó en apartados anteriores, internet promueve una nueva forma de

comunicarnos, pero, además, influye en los procesos educativos, en el desarrollo social y

económico del mundo contemporáneo.

En el ámbito educativo internet juega un papel crucial, por lo que se da una

explicación de la internet como fuente de información, internet como soporte didáctico para

el aprendizaje, penetración de las TIC en el ámbito educativo colombiano, y Geogebra en la

educación

Entre las grandes funciones de Internet destaca la de facilitar la comunicación a través

de distintas aplicaciones informáticas. Así, un docente puede ponerse fácilmente en contacto

55

con un experto en su materia, hacer un seguimiento a un alumno y atender los requerimientos

de los padres de familia o acudientes.

Dentro de la red, las herramientas más utilizadas son el correo electrónico, las redes

sociales y el whatsapp, que permiten una comunicación, aunque asincrónica, rápida y fluida,

incluso entre profesores y alumnos de diferentes países.

En los chats se puede entablar una comunicación en tiempo real entre muchos

usuarios. Además, sirven para compartir conocimiento ya que a través de ellos se pueden

enviar documentos, transmitir archivos o adjuntar imágenes y sonidos.

En el campo de la trasmisión de información, aparece Internet como soporte para la

creación de aulas virtuales o educación on-line, que se sirve de la videoconferencia para las

clases, de la interactividad y del correo electrónico para la comunicación entre profesores y

alumnos (tutorías) y de los chats para la comunicación entre estos últimos.

6 Metodología de investigación en el aula

Esta investigación es de carácter exploratorio (Hernández, Fernández y Baptista, 1991),

puesto que a pesar de existir estudios sobre razonamiento geométrico aplicados a estudiantes

que cumplan ciertas características (por ejemplo, intervalo de edad, mismo sexo, promedio

de calificaciones similares, etc.), no se encontraron investigaciones que propongan estudios

con este diseño metodológico en la utilización del Modelo de van Hiele para abordar la

resolución de problemas en el área de Geometría y, concretamente, en lo relacionado con el

Teorema de Thales (Aguilera, A. 1997, p. 57). La anterior afirmación se hace después de

revisar diversas bases de datos de libre acceso nacionales e internacionales (Scielo, Redalyc,

56

Dialnet y Clacso), relacionadas con el tema de estudio (el teorema de Thales y el modelo de

Van Hiele). Los trabajos encontrados en estas fuentes de información se especifican al final

en las referencias bibliográficas consultadas.

La metodología aplicada en la investigación se presenta a través de fases, etapas

contempladas para la confección de la propuesta de secuencia metodológica. Para ello, se

describen las características de cada etapa, comenzando por la recolección de los datos de

análisis, para finalizar con la elaboración de la secuencia metodológica.

Para resolver la pregunta de investigación, la tesis se distribuye en fases: recolección

de datos, elaboración de la Prueba de Diagnóstico, análisis de la información recabada y la

elaboración de la secuencia metodológica para el estudiante.

6.2 Recolección de datos

Los datos se obtienen de los Contenidos Mínimos Obligatorios presentados por el

Ministerio de Educación (2009) en Matemáticas para estudiantes que cursan la educación

básica. Se concentran en las características y objetivos de la unidad de Geometría,

concretamente el Teorema de Thales. Para ello, el Ministerio de Educación (2011) distribuye

los contenidos y Aprendizajes Esperados de la unidad de Geometría que se encuentran

presentes en el Programa de Estudio de Matemáticas para el nivel de básica. Estos son

considerados en la etapa de diseño de la prueba de diagnóstico, así como la organización y

planificación de las clases.

Para organizar y orientar la planificación de clases, se utiliza información obtenida

por los investigadores Vargas y Gamboa (2013), y Gutiérrez y Jaime (1990), quienes

57

presentan las características de las Fases del Modelo de van Hiele para trabajar cada nivel de

razonamiento.

6.3 Elaboración de la prueba diagnóstico

Los contenidos en que se basa la construcción de la Prueba de Diagnóstico se extraen

del Programa de Estudio de Matemáticas para la educación básica (Ministerio de Educación,

2011), los cuales son:

a) Concepto de paralelismo

b) Rectas transversales

c) Razones y proporciones

d) Concepto de congruencia, entre otros.

La Prueba de Diagnóstico se aplicó a estudiantes que cursan grado 9º de educación

básica, de la institución educativa Popular Diocesano, con el objetivo de observar si elaboran

una estrategia que permita responder adecuadamente a la situación problemática. Por otro

lado, se visualizan los conocimientos previos de los estudiantes, en cuanto a los contenidos

mínimos precedentes relacionados con el Teorema de Thales. Para el diseño y elaboración

de los problemas y actividades presentes en la Prueba de Diagnóstico, se consideran las

estrategias descritas por Gutiérrez y Jaime (1990).

6.4 Análisis de información recabada

Con base en la confección de las respuestas de los estudiantes sobre identificación y

reconocimiento de conceptos en la unidad de Geometría, concretamente en lo relacionado

58

con el Teorema de Thales, y las estrategias utilizadas para resolver problemas, se

determinará, también, a partir de la elaboración de sus respuestas, el nivel de razonamiento

geométrico en que se encuentran.

6.5 Elaboración de la secuencia metodológica para los estudiantes

La secuencia metodológica propuesta utiliza una matriz de organización que permite

enfocar los contenidos de la unidad de Geometría de forma coherente, a partir de establecer

los Aprendizajes Esperados, logros esperados y los Indicadores de Logros, para los niveles

uno, dos y tres del razonamiento geométrico del Modelo de van Hiele.

Los Aprendizajes Esperados se extraen del Programa de Estudio en Matemáticas para

la educación básica (Ministerio de Educación, 2011) y se utiliza para orientar los logros y los

Indicadores de Logros en los diferentes niveles, y así proponer los objetivos para cada clase.

La recolección de datos, o de información, se realiza mediante una Prueba de

Diagnóstico para detectar el conocimiento previo que poseen los estudiantes sobre conceptos

geométricos previos al Teorema de Thales. La secuencia metodológica se dirige a un nivel

específico del Modelo de van Hiele, en este caso, con el objetivo de lograr tránsito del

primero al segundo nivel de van Hiele. Lo anterior se puede precisar a partir de un diálogo

directo con cada uno de los estudiantes que participaron en las diferentes etapas del proyecto

de investigación, donde se vislumbran los avances de los educandos, comparando su forma

de expresión en lo referente al tema geométrico y, en particular, a los conceptos relacionados

con el teorema de Thales.

59

En este modelo de Van Hiele, uno de los indicadores de avance en los diferentes

niveles y fases es el uso del lenguaje apropiado por los educandos en lo referente a los temas

geométricos, pues es un indicador del nivel de apropiación que estos alcanzan; a lo anterior

se suman los diferentes test aplicados a los estudiantes y la revisión y retroalimentación de

los temas tratados en ellos; también, disertaciones de los estudiantes relacionadas con el tema

de investigación, en las que se observó su avance conceptual y argumentativo.

6.5.1 Diseño de la muestra

La muestra está compuesta por las diversas clases de Geometría, para el nivel de

básica secundaria en la institución educativa Popular Diocesano, que conforman la secuencia

metodológica. Cada clase utiliza un modelo de planificación tipo que se ha construido para

efecto de investigación, y que se adjunta en los anexos.

La población objeto de estudio son los estudiantes de cada uno de los grados noveno

(tres grados noveno) de la institución educativa Popular Diocesano, los cuales pertenecen a

un estrato social 3 y cuyas edades están entre los 14 y 15 años.

La muestra corresponde a los treinta (30) estudiantes seleccionados aleatoriamente

de cada uno los grados noveno de la institución educativa en mención; dicha selección se

hizo a través de un muestreo aleatorio simple, donde cada uno de los estudiantes tenía la

misma probabilidad de ser escogido.

6.6 Descripción de las técnicas e instrumentos

La elaboración de la Prueba de diagnóstico, junto con su correspondiente rúbrica de

respuestas (Anexo 2), plantea tres objetivos:

60

- Diagnosticar si los estudiantes utilizan conceptos sobre paralelismo, rectas

transversales y congruencia de figuras planas.

- Conocer si los estudiantes utilizan estrategias que permitan dar con una solución

coherente en la resolución de problemas relacionados con el Teorema de Thales.

- Identificar en qué nivel de razonamiento geométrico del Modelo de van Hiele se

encuentran los estudiantes, a partir del lenguaje técnico y los conceptos que utilizan.

La elaboración de la secuencia metodológica comienza por estudiar el material

bibliográfico acerca del Modelo de Razonamiento de van Hiele, además de analizar los

contenidos propuestos en el Programa de Estudio para la educación básica (Ministerio de

Educación, 2011) en la Unidad de Geometría, y los aportes de investigadores que han

diseñado actividades para observar los niveles de razonamiento geométrico en distintas

categorías de estudiantes (sexo, nivel educacional, establecimiento educacional, etc.). En

este ejercicio, los conceptos previos al aprendizaje del teorema de Thales son: razones,

proporciones, rectas paralelas, rectas transversales, segmentos proporcionales, entre otros.

Las características que entrega cada una de las cinco fases del Modelo de

Razonamiento Geométrico de van Hiele, se orientan al diseño de las clases. En nuestro caso,

para el aprendizaje del Teorema de Thales, que debe considerar el docente al momento de

impartir, desarrollar y concluir los conceptos geométricos trabajados. Para ello, se utiliza

una matriz (Anexo 3) que permite definir, organizar y distribuir, finalmente, los objetivos de

las clases de una subunidad de Geometría.

A continuación, se desarrollan las respectivas sesiones de aprendizaje con su

correspondiente secuencia didáctica.

61

Sesión de aprendizaje N.º 1

I. Datos generales:

Área: Matemática

Asignatura: Geometría

Grado: 9º

Duración: 60 minutos

Docente: Jhon De Jesús Asprilla López

Fecha: 20 de febrero

II. Título de la sesión: Conceptos preliminares al Teorema de Thales

III. Logro de la sesión: revisión de conceptos básicos para el aprendizaje del Teorema de

Thales.

IV. Secuencia didáctica.

Tabla 1. Secuencia didáctica 1.

Fases Descripción de actividades Estrategias Indicadores Recursos Tiempo

Inicio

Esta actividad fue realizada el

primer día de las sesiones, con la

finalidad de que el alumno

tuviera los conocimientos

básicos para la comprensión del

Teorema de Thales. Al terminar

la secuencia, esta se evaluó con

la hoja de trabajo 1.

Método

Expositivo

Reflexionan

sobre algunos

conceptos

básicos para el

aprendizaje del

Teorema de

Thales.

Tablero,

Marcadores,

Regla,

Lápiz,

lectura

relacionada

con el tema.

15

minutos

62

Desarrollo

Observan imágenes relacionadas

con rectas transversales cortadas

por paralelas.

Analizan las posibles

aplicaciones de rectas

transversales cortadas por

paralelas.

Método

expositivo.

Diálogo

grupal.

Diálogo e

interacción

docente y

estudiante.

Reconoce rectas

transversales

cortadas por

paralela.

Tablero,

Marcadores,

ficha de

aprendizaje

30

minutos.

Cierre

Reconocen en su entorno rectas

transversales cortadas por rectas

paralelas.

Diálogo e

interacción

docente y

estudiante.

Tablero,

Marcadores,

ficha de

aprendizaje

Ficha de

aprendizaje

15

minutos.

V. Evaluación

Tabla 2. Evaluación Secuencia didáctica 1.

Dimensión Indicadores de evaluación Instrumentos de evaluación

Matematiza situaciones Reconoce rectas transversales

cortadas por paralelas.

Ficha de aprendizaje

VI. Tarea para la casa: identificar en su entorno familiar y geográfico, figuras o formas que

representen rectas transversales cortadas por rectas paralelas.

VII. Bibliografía

Gutiérrez, Á. y Jaime, A. (2012). Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en primaria

y secundaria. Tecné Episteme y Didaxis TED, (32).

https://doi.org/10.17227/ted.num32-1859

Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1991). El Modelo de Razonamiento de van Hiele como marco para

el Aprendizaje comprensivo de la Geometría. Un ejemplo: Los Giros. Educación

Matemática, 3 (2), 50.

63


I. Datos generales:

Área: Matemática


Grado: 9º




II. Título de la sesión: Conceptos preliminares al Teorema de Thales.

III. Logro de la sesión: revisión de conceptos básicos para el aprendizaje del Teorema de

Thales.

VI. Secuencia didáctica


Fases Descripción de actividades Estrategias Indicadores Recursos Tiempo

Inicio

Esta actividad se realizó el

segundo día de las sesiones, con la

finalidad de que el alumno

adquiera los conocimientos

básicos para la comprensión del

Teorema de Thales. Al terminar la

secuencia fue evaluada con la hoja

de trabajo 2.

Método

Expositivo

Reflexionan

sobre algunos

conceptos

básicos para el

aprendizaje del

Teorema de

Thales.

Tablero,

Marcador,

Regla,

Lápiz,

Lectura

relacionada.

con el tema.

15 minutos

64

Desarrollo

Observan imágenes relacionadas

con rectas transversales cortadas

por paralelas.

Analizan las posibles aplicaciones

de rectas transversales cortadas

por paralelas.

Método

expositivo.

Diálogo

grupal.

Diálogo e

interacción

docente y

estudiante.

Reconoce

rectas

transversales

cortadas por

paralela.

Tablero,

Marcador,

ficha de

aprendizaje

30 minutos.

Cierre

Reconocen en su entorno rectas

transversales cortadas por rectas

paralelas.

Diálogo e

interacción

docente y

estudiante.

Tablero,

Marcadores,

ficha de

aprendizaje

Ficha de

aprendizaje

15minutos.

V. Evaluación





Ficha de aprendizaje


representen rectas transversales cortadas por rectas paralelas.

VII. Bibliografía

Gutiérrez, Á. y Jaime, A. (2012). Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en primaria y

secundaria. Tecné Episteme y Didaxis TED, (32). https://doi.org/10.17227/ted.num32-1859


el aprendizaje comprensivo de la Geometría. Un ejemplo: Los Giros. Educación


65


I. Datos generales:

Área: Matemática


Grado: 9º




II. Título de la sesión: Aprendizaje del Teorema de Thales.

III. Logro de la sesión: interpretación por parte de los estudiantes de los conceptos asociados

con el Teorema de Thales y sus posteriores aplicaciones mediante el modelo de van Hiele.

Analizar las diversas aplicaciones del Teorema de Thales y complementarlas con el uso del

software Geogebra.

Explicar mediante diálogos en grupo, experiencias y los métodos de resolución de los


II. Secuencia didáctica

66


Fases Descripción de actividades. Estrategias Indicadores Recursos Tiempo

Inicio

Esta actividad fue realizada el

tercer día de las sesiones, con

la finalidad de que el alumno

tenga los conocimientos

básicos para la comprensión

del Teorema de Thales;

también se explicó por parte

del docente, en relación al

Teorema de Thales, sus

diferentes aplicaciones y se

dio una breve introducción al

uso del software Geogebra

para reforzar lo aprendido

sobre el teorema.

Método

expositivo

Reflexionan

sobre algunos

conceptos básicos

para el aprendizaje

del Teorema de

Thales.

Explicación por

parte del docente del

teorema y sus

diversas

aplicaciones, y una

breve explicación

sobre el uso del

software Geogebra

en lo relacionado

con el Teorema de

Thales.

Tablero,

marcador,

regla,

lápiz,

Lectura

relacionada.

con el tema.

Talleres de

aplicación

relacionados

con el tema

propuesto.

Software

Geogebra.

15 minutos

Desarrollo

Observan imágenes

relacionadas con rectas


paralelas.




paralelas.

Aplican lo aprendido sobre

el Teorema de Thales en la

solución de nuevos ejercicios

y también hacen uso del

software Geogebra

para afianzar los conceptos

anteriormente vistos.

Método

expositivo.

Diálogo

grupal.

Diálogo e

interacción

docente y

estudiante.

Reconoce rectas

transversales

cortadas por

paralela.

Aplica el Teorema

en la solución de

problemas de su

entorno.

Aplica el software

Geogebra para

afianzar lo

aprendido en clase.

Tablero,

Marcadores,

ficha de

aprendizaje.

Uso del

software

Geogebra.

30 minutos.

67

Cierre Reconocen en su entorno

rectas transversales cortadas

por rectas paralelas.

Hace posteriores

aplicaciones sobre el

Teorema de Thales.

Usa el software Geogebra

para afianzar lo tratado

anteriormente.

Diálogo e

interacción

docente y

estudiante.

Tablero

marcadores

ficha de aprendizaje.

Uso del software

Geogebra.

Ficha de

aprendizaje

15 minutos.

V. Evaluación





Interpreta el Teorema de Thales y

hace aplicaciones relacionadas

con dicho teorema.

Afianza el Teorema de Thales

haciendo uso del software

Geogebra.

Ficha de aprendizaje.

Software Geogebra.

III. Tarea para la casa: identificar en su entorno familiar y geográfico, figuras o formas

que representen rectas transversales cortadas por rectas paralelas y representarlas mediante

el uso del software Geogebra.

VII. Bibliografía







68


IV. Datos generales:

Área: Matemática


Grado: 9º




II. Título de la sesión: Aprendizaje del Teorema de Thales.

III. Logro de la sesión: interpretación por parte de los estudiantes de los conceptos asociados

con el Teorema de Thales y sus posteriores aplicaciones mediante el modelo de van Hiele.

Analizar las diversas aplicaciones del Teorema de Thales y complementarlas con el uso del

software Geogebra.

Explicar mediante diálogos en grupo, experiencias y los métodos de resolución de los


Utilizar el software Geogebra para aplicar el aprendizaje del Teorema de Thales en un

proceso más lúdico y significativo.

Comprobar que la herramienta Geogebra ayuda a los estudiantes a concretar los

conocimientos y lo impulsa a lograr un siguiente nivel de aprendizaje.

V. Secuencia didáctica

69


Fases Descripción de

actividades

Estrategias Indicadores Recursos Tiempo

Inicio

Esta actividad fue realizada

el cuarto día de las sesiones,

con el objetivo de que el

alumno tenga los

conocimientos básicos para

la comprensión del

Teorema de Thales;

también se explicó, por

parte del docente y en

relación con el Teorema de

Thales, sus diferentes

aplicaciones, empleando el

software Geogebra para

reforzar lo aprendido sobre

el teorema.

Método

expositivo

Reflexionan

sobre algunos

conceptos básicos

para el aprendizaje

del Teorema de

Thales.

Explicación del

teorema y sus

diversas

aplicaciones;

aplicación sobre el

uso del software

Geogebra en lo

relacionado con el

Teorema de Thales.

Tablero,

Marcadores,

Regla,

Lápiz,

Lectura

relacionada.

con el tema.

Talleres de

aplicación

relacionados

con el tema

propuesto.

Software

Geogebra.

15

minutos

Desarrollo

Observan imágenes

relacionadas con rectas


paralelas.




paralelas.

Aplican lo aprendido sobre

el Teorema de Thales en la

solución de nuevos

ejercicios, y también usan

el software Geogebra

para afianzar los conceptos

anteriormente vistos.

Método

expositivo.

Diálogo

grupal.

Diálogo e

interacción

docente y

estudiante.

Reconoce rectas

transversales

cortadas por

paralela.

Aplica el teorema en

la solución de

problemas de su

entorno.

Aplica el software

Geogebra para

afianzar lo

aprendido en clase.

Tablero,

Marcadores,

ficha de

aprendizaje.

Uso del

software

Geogebra.

30

minutos.

70

Cierre

Reconocen en su entorno

rectas transversales

cortadas por rectas

paralelas.

Hacen posteriores

aplicaciones sobre el

Teorema de Thales.

Usan el software Geogebra

para afianzar lo tratado

anteriormente.

Diálogo e

interacción

docente y

estudiante.

Tablero,

marcadores,

ficha de aprendizaje.

Uso del software

Geogebra.

Ficha de

aprendizaje

15

minutos.

VI. Evaluación





Interpreta el Teorema de Thales y

hace aplicaciones relacionadas

con dicho teorema.

Afianza el Teorema de Thales

empleando el software Geogebra.

Ficha de aprendizaje.

Software Geogebra.


representen rectas transversales cortadas por rectas paralelas y representarlas mediante el

uso del software Geogebra.

VII. Bibliografía







71

6.7 Tratamiento estadístico e interpretación de los resultados

6.7.1 Variable independiente

Modelo de van Hiele mediado por el software Geogebra: para el presente trabajo se propuso

alcanzar los primeros tres niveles de razonamiento del modelo propuesto por los esposos van

Hiele: de reconocimiento o visualización, de análisis y el de clasificación; estos serán

analizados en forma cualitativa.

6.7.2 Nivel de reconocimiento o de visualización

Para el nivel de visualización se logró que el 56,67% de los estudiantes alcanzara un nivel de

adquisición completa, y que ningún estudiante se quedara en el nivel de adquisición nula o

baja en la aplicación del modelo de van Hiele mediado por el uso del Software Geogebra,

para el aprendizaje del Teorema de Thales.

Estas categorías de adquisición del conocimiento las seleccionó el docente

investigador, queriendo significar como adquisición nula un resultado inferior al 10% en los

diferentes test aplicados a los estudiantes; la adquisición baja para un porcentaje mayor al

10% e inferior al 60%; adquisición media para un porcentaje mayor al 60%, e inferior al

80%; la adquisición alta para porcentajes mayores al 80% e inferiores a 90%; y la adquisición

completa para porcentajes comprendidos entre el 90% y el 100%.

72

Tabla 9. Nivel de reconocimiento o visualización.

Columna1 Columna2 Columna 3

Valores Frecuencia Porcentaje %

Adquisición nula 0 0

Adquisición baja 0 0

Adquisición media 6 20%

Adquisición alta 7 23,33

Adquisición completa 17 56,66

Total 30 100

Ilustración 6. Nivel de visualización en el modelo de van Hiele.

73

6.7.3 Nivel de análisis

En este nivel se logró que el 50% de los estudiantes alcanzaran una adquisición completa,

el 16% obtuvieron una adquisición nula, un 10% presentan una adquisición baja y no hay

estudiantes en el nivel intermedio en la aplicación del modelo de van hiele mediado por el

software Geogebra en el aprendizaje del Teorema de Thales.

Tabla 10. Nivel de análisis.


Adquisición nula 5 16,66

Adquisición baja 3 10

Adquisición media 0 0


Adquisición completa 15 50

Total 30 100

74

Ilustración 7. Nivel de análisis en la aplicación del modelo de van Hiele.

6.7.4 Nivel de ordenación o clasificación

En este nivel se logró que el 30% de los estudiantes obtuviera una adquisición alta, en cambio

un 17% se ubicó en una adquisición nula, un 7% se ubicó en una adquisición baja y un 23%

se ubicó en un nivel de adquisición media en la aplicación del modelo de van Hiele mediado

por el software Geogebra en el aprendizaje del Teorema de Thales.

75

Tabla 11. Nivel de ordenación o clasificación.


Adquisición nula 5 16,66

Adquisición baja 2 6,66

Adquisición media 7 23,33


Adquisición completa 9 30

Total

30 100

Ilustración 8. Nivel de clasificación en el modelo de van Hiele.

76

7 Conclusiones y recomendaciones

Una vez concluida la presentación de los resultados y expuesto el análisis de los mismos, se

realizan las conclusiones relativas a los objetivos de esta tesis y se plantean estrategias de

trabajo a futuro.

7.2 Conclusiones por objetivos específicos

A continuación, se muestra que se ha cumplido con los objetivos específicos del presente

trabajo.

Primera conclusión: se logró que el 75% de los estudiantes interpretara el concepto del

Teorema de Thales y sus posteriores aplicaciones mediante la aplicación del modelo de van

Hiele; el 25% restante no logró interpretarlo.

Segunda conclusión: se pudieron analizar, en un 80%, las diversas aplicaciones del Teorema

de Thales y complementarlas con el uso del software Geogebra; el 20% restante no logró este

objetivo.

Tercera conclusión: se ha podido explicar mediante diálogos en grupo, experiencias y los

métodos de resolución de problemas propuestos, relacionados con el Teorema de Thales.

Cuarta conclusión: se logró utilizar el software Geogebra para hacer del aprendizaje del

Teorema de Thales, un proceso más práctico y entendible para el educando, al emplear una

herramienta tecnológica, como se demuestra en la realización de la secuencia didáctica.

77

Quinta conclusión: se pudo comprobar que el uso de la herramienta Geogebra ayuda a los

estudiantes a concretar los conocimientos y los impulsa o motiva para lograr un siguiente

nivel de aprendizaje.

7.3 Conclusión por objetivo general

La realización del presente trabajo permitió determinar el impacto de aplicación del modelo

en el aprendizaje del Teorema de Thales por parte de los estudiantes del grado 9º, desde el

modelo de van Hiele, apoyados con el uso de Geogebra, pues, se evidenció en los estudiantes

un notable avance en la adquisición de los contenidos, ya que en la prueba diagnóstica se

observó que sólo un 25% de los estudiantes participantes en el presente proyecto, tenían los

preconceptos relacionados con el tema de estudio de una manera clara y correcta y con la

aplicación del modelo de Van Hiele y apoyado con el uso del software Geogebra se logró

que ya un 90% de los estudiantes aplicaran el teorema de Thales en forma correcta y precisa

además de los preconceptos que se relacionan con dicho teorema; todo esto se consiguió

después de la aplicación de las secuencias didácticas, sus respectivas evaluaciones, la

aplicación de los test, el análisis de los mismos, el diálogo permanente entre los estudiantes

y el docente, frente a los conceptos relacionados con el tema de estudio y por último la

utilización del software Geogebra permitió aplicar y afianzar los conocimientos estudiados

en el presente proyecto, los cuales apuntaban al mejor entendimiento y aplicación del teorema

en mención.

También como impacto positivo se observó en los estudiantes después de la aplicación del

modelo de Van Hiele y apoyado en el uso del software Geogebra que el discente mostró más

78

interés por la adquisición del conocimiento, siendo autónomo en su proceso de formación y

confrontando sus aciertos y dificultades y también siendo propositivos en nuevas alternativas

de solución frente a cada una de las actividades propuestas en el presente proyecto.

7.4 Recomendaciones

Se sugiere para próximos trabajos de matemática, y especialmente de geometría, utilizar este

valioso modelo de van Hiele, con sus niveles y fases de aprendizaje, pues así el estudiante

logra construir sus propios conocimientos relacionados con los temas del área de matemáticas

y, particularmente, de geometría y, sobre todo, que puede ir a su propio ritmo de aprendizaje.

También se recomienda el uso de algún software para lograr que el estudiante afiance

los conocimientos adquiridos. El uso de herramientas tecnológicas demuestra que su

aplicación en los procesos de enseñanza aprendizaje contribuye a cambiar la relación del

estudiante con la adquisición del conocimiento, saliéndose del empleo de recursos

tradiciones, como la exposición magistral, el tablero y el marcador, y convierte este proceso

en una actividad más lúdica y atractiva para el estudiante, especialmente más significativa,

como en el presente caso, para la enseñanza de la geometría.

79

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Anexos

Prueba diagnóstica

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE THALES

INSTITUCIÓN EDUCATIVA POPULAR DIOCESANO

ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA

Nombre: ____________________________________________ Fecha: ______________

Este instrumento forma parte de una investigación por lo cual se le pide el favor de

responder en su totalidad.

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_9/M/MG/MG_M_G09_U02_L06.pdf

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_9/M/MG/MG_M_G09_U02_L06.pdf

http://bibliotecadigital.univalle.edu.co/bitstream/10893/7682/1/3487-0473494.pdf

http://opuntiabrava.ult.edu.cu/index.php/opuntiabrava/article/view/199

http://repobib.ubiobio.cl/jspui/handle/123456789/1146

https://revistas.udistrital.edu.co/ojs/index.php/revcie/article/view/7686/9495



https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491478128/contido/ud7_proporcionalidad_geometrica_y_teorema_Thales/21_problema_inicial.html

https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491478128/contido/ud7_proporcionalidad_geometrica_y_teorema_Thales/21_problema_inicial.html

84

1 Mida cada uno de los siguientes segmentos:

SEGMENTO

MEDIDA

AC

BC

DE

EC

FG

GC

HK

KC

85

AC ____ BC _____

DE ____ EC _____

FG ____ GC _____

HK ____ KC _____

Algunas definiciones relacionadas con la actividad:

Paralelas: Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común.

Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos

iguales. Dichos ángulos son siempre rectos.

Secantes: se puede definir como aquellas rectas que se encuentran en un

mismo plano que han de cortarse en un punto.

2 De acuerdo con las definiciones anteriores que se puede afirmar de los siguientes

segmentos:

AB Y DE ____________ FG Y BC ______________

AC Y BC ___________ DE Y FG ____________

AB Y BC __________ AB Y FG ___________

3 Teniendo en cuenta las medidas de los segmentos de la tabla anterior:

a. Establece la razón entre cada par de segmentos:

𝑨𝑩

𝑩𝑪=

𝑫𝑬

𝑬𝑪=

𝑭𝑮

𝑮𝑪=

𝑯𝑲

𝑲𝑪=

b. Qué se puede decir de la razón entre: ( justifique su respuesta )

𝑨𝑩

𝑩𝑪 Y

𝑫𝑬

𝑬𝑪 Y

𝑭𝑮

𝑮𝑪 y

𝑯𝑲

𝑲𝑪

c. De acuerdo con las siguientes figuras halla las razones indicadas:

86

a) 𝑨𝑩

𝑫𝑬= b)

𝑨𝑩

𝑩𝑪= c)

𝑮𝑱

𝑮𝑯= d)

𝑩𝑪

𝑬𝑭=

e) 𝑫𝑬

𝑬𝑭= f)

𝑮𝑯

𝑲𝑵=

De acuerdo con las figuras del punto anterior responde:

Si la razón entre AC Y DF es de 5 a 3, ¿cuánto mide DF?

Si la razón entre HI Y MN es de 2 a 1, ¿ cuánto mide MN ?

87

Anexo 2

Secuencia didáctica para el aprendizaje del teorema de Thales, mediado por el modelo

de Van Hiele y con la ayuda del software Geogebra

Clase 1

Inicio

Fase 1: Información:

Dialogar con los estudiantes acerca de las nociones que tienen sobre semejanza y sobre

proporcionalidad.

Inducir a los estudiantes en temas de geometría relacionados con los conceptos de semejanza

y proporcionalidad; tales como semejanza entre triángulo y la proporción que forman la razón

entre sus lados.

Preguntar a los estudiantes acerca de cosas, formas o figuras de la vida cotidiana relacionadas

con la semejanza y la proporcionalidad.

Desarrollo

Fase 2: Orientación dirigida:

Razón

En las matemáticas la razón es una relación binaria entre magnitudes (es decir, objetos,

personas, estudiantes, cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es

a b" o a:b. En el caso de números toda razón se puede expresar como una fracción y

eventualmente como un decimal..

Proporción:

En matemáticas, se conoce como proporción a la relación de igualdad que existe entre dos

razones, es decir, entre dos comparaciones entre dos cantidades determinadas. O sea: si a/b

es una razón, entonces la igualdad a/b = c/d será una proporción.

Semejanza:

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria

https://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_b%C3%A1sicas_del_Sistema_Internacional

https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal

https://concepto.de/matematicas/

https://concepto.de/comparacion/

88

En matemáticas se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma

sin importar los tamaños entre ellos. Por ejemplo, dos mapas con distintas escalas son

semejantes, pues la forma del contenido no cambia, pero sí el tamaño.

Ejemplos:

Cierre:

El docente orienta al estudiante sobre una actividad relacionada con la proporción que se

forman en el cuerpo humano, relacionados con la idea desarrollada por Leonardo Da Vinci

en su trabajo “El hombre de Vitruvio “

Se divide el grupo de alumnos en dos y luego se prosigue con los siguientes pasos:

Elige a un compañero o compañera, mida las distancias desde su ombligo hasta cada una de

las extremidades extendidas, y el diámetro de la circunferencia formada por el estudiante y

sus extremidades extendidas.

Conversen con sus compañeros, sobre la actividad realizada y los datos obtenidos.

Clase 2

Continuación de la fase 2

Inicio:

Repaso de semejanza y proporcionalidad,

Introducción al teorema de Thales:

Evolución, importancia y aplicación.

89

Teorema de Thales o teorema fundamental de la proporcionalidad.

Teorema de Thales: Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los

segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos

correspondientes de la otra. ... Anota en tu cuaderno el enunciado del teorema de Thales y

el dibujo que hemos incluido.

Ejemplo

Por ejemplo, dada la figura siguiente, decidir si son o no semejantes los segmentos

resultantes.

90

Ejemplo:

La razón de chicos a chicas en un salón de clases es de 2 a 3, hay 12 chicos ¿cuántas chicas

hay?

Ejemplo:

El director de un liceo prevee que en el próximo curso el número de estudiantes aumentará

en un 5%. Ahora son 300 estudiantes. ¿Cuántos serán el próximo año?

Cierre:

Fase 3: Explicitación.

Explicación de la clase:

103

Anexo 3

Algunas aplicaciones del teorema de Thales con el software Geogebra

Objetivo:

● Analizar las diversas aplicaciones del teorema de Thales y complementarlas con el

uso del software Geogebra.

● Utilizar el software Geogebra, para hacer del aprendizaje del teorema de Thales una

actividad práctica y entendible.

Comprobar que la herramienta Geogebra ayuda a los estudiantes a concretar los

conocimientos y los impulsa a lograr un siguiente nivel de aprendizaje

Aprendizaje esperado:

Resolver algunos de los ejercicios planteados en la secuencia didáctica para el

aprendizaje del teorema de Thales, que aparecen en el anexo 2, utilizando el software

Geogebra.

Tema: Teorema de Thales y algunas aplicaciones de éste en la vida diaria.

Metodología:

. Exposición de videos descargados de internet, relacionados con el uso del software

Geogebra y su aplicación a la solución de situaciones relacionadas con el teorema de

Thales.

Utilización del software Geogebra para resolver diversas situaciones propuestas por el

docente en la secuencia didáctica para el aprendizaje del teorema en mención (anexo 2)

Respuestas a las situaciones planteadas anteriormente, con el objetivo de afianzar lo

aprendido y hacer del espacio académico algo más lúdico y participativo.

Socialización de las actividades desarrolladas por parte de los estudiantes.

Actividades:

Observación y socialización de videos relacionados con el uso del software Geogebra y

sus diversas aplicaciones para el aprendizaje del teorema de Thales.

Tener en cuenta cada uno de los conceptos implícitos en el aprendizaje del teorema de

Thales, como son: Paralelismo, rectas transversales, razones y proporciones, entre otras.

Elaborar algunas construcciones relacionadas con el teorema de Thales y dar soluciones

a éstas con el uso del software Geogebra.

Evaluación de la actividad:

104

¿Qué son rectas paralelas y rectas transversales?

¿Qué son segmentos proporcionales?

¿Qué es congruencia entre figuras geométricas planas?

¿Cuándo decimos que dos o más figuras planas son semejantes?

¿En qué situaciones es conveniente aplicar el teorema de Thales?

105

Anexo 4. Registro fotográfico.

Aplicación de la prueba diagnóstica:

Aplicación de la actividad diagnóstica:

106



107

Aplicación de la secuencia didáctica para el aprendizaje del teorema de Thales


108



109



110

Explicación y aplicación del software Geogebra en el aprendizaje del teorema

de Thales.


de Thales.

111


de Thales.


de Thales.

112


de Thales.


de Thales.

El aprendizaje del Teorema de Thales mediado por el modelo ...

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