B Función Característica y teorema de límite central.

Introduccion Funciones de distribucion y funcion caracterıstica Funcion caracterıstica Algunas distribuciones circulares y resultados de tipo lımite central

Funcion caracterıstica y resultados de tipolımite central en datos circulares.

Miguel Fernando Uicab Perera

Profesor: Dr. Jose Luis Batun Cutz

Universidad Autonoma de YucatanFacultad de Matematicas

Probabilidad Avanzada

Junio 2014


CONTENIDO

1 IntroduccionEstadıstica direccionalEstadısticos descriptivosMomentos trigonometricos muestrales

2 Funciones de distribucion y funcion caracterısticaFunciones de distribucion

3 Funcion caracterısticaDefinicionSeries de FourierIndependenciaMomentos trigonometricosPropiedades de la funcion caracterıstica

4 Algunas distribuciones circulares y resultados de tipolımite central

Distribuciones circularesResultados de tipo lımite central


Estadıstica direccional







Estadıstica direccional

Definicion

Los datos direccionales son aquellos que se pueden representarcomo vectores unitarios de Rn.

Definicion

Los datos direcionales o datos circulares en dos dimensionales,son aquellos que puede representarse como vectores unitarios en R2


Estadısticos descriptivos








Media direccional θ

En el caso de vectores unitarios, el camino natural para ”combinar”estos vectores es usar el vector resultante de una suma de vectores.

Definicion

Dada una muestra de vectores unitarios x1, . . . , xn cuyos angulosasociados son θ1, . . . , θn, correspondientemente. La direccionmedia θ de θ1, . . . , θn es la direccion del vector resultante de lasuma x1 + . . .+ xn.



Forma de obtener la media direccional

Sea θ1, θ2, . . . , θn un conjunto de observaciones, consideremos laforma rectangular de cada uno

(cosθi , senθi ), i = 1, . . . , n.

Entonces

Vector resultante R =

(n∑

i=1

cos θi ,n∑

i=1

sen θi

)= (C , S)

Lomgitud del vector resultante R = R =‖ R ‖=√

C 2 + S2



La direccion de este vector R, el cual se propone como la direccionmedia circular, es denota por θ es definida como

θ = arg

n∑

j=1

cos θj + in∑

j=1

sen θj

o por las ecuaciones

cos θ =C

R, sen θ =

S

R.



Mas explıcitamente, podemos decir que la direccion mediaesta dada

θ = arctan∗(S/C ),

donde

θ = arctan∗(S/C ) =

arctan(S/C ), si C > 0, S ≥ 0,π/2, si C = 0, S > 0,

arctan(S/C ) + π si C < 0,arctan(S/C ) + 2π si C > 0, S < 0,

3π/2 si C = 0, S < 0,indefinida si C = 0, S = 0

(2.1)La identidad arctan∗ nos ofrece una solucion de las ecuacionespasadas, tomando en cuenta las signos de C y S .Se puede demostrar que θ refleja el centro del conjunto de datos yno depende de la eleccion del origen y el sentido de rotacion.



Varianza circular V

La cantidad R =‖ R ‖ es la longitud resultante del vectorresultante x1 + . . .+ xn, donde xi es un vector unitario.Ahora, 0 ≤ R < n, y ası 0 ≤ R

n < 1.

Definicion

La longitud mediana resultante R asociada a la direccion mediaθ esta definida por

R =R

n

y pertenece al intervalo [0, 1].

.



Si las direcciones θ1, . . . , θn estan agrupadas estrechamente,entonces R estara muy proximo a 1.Por otro lado, si θ1, . . . , θn estan dispersas ampliamente, entoncesR estara cercano a cero.Por tanto, R es una medida de concentracion de un conjunto dedatos.

Definicion

La varianza circular muestral esta definida como

V = 1− R

y se sigue que 0 ≤ V ≤ 1


Momentos trigonometricos muestrales








Momentos trigonometricos

Consideramos una muestra de observaciones circulares θ1, . . . , θncon vectores unitarios asociados x1, . . . , xn y numeros complejosasociados z1, . . . , zn.Nuestra definicion de C y S eran las sumas de cosenos y senos,respectivamente. De hecho, podıamos haber considerados suspromedios dados por

C =1

n

n∑j=1

cos θj , y S =1

n

n∑j=1

sin θj . (3.1)



Ya que zj = e iθj = cos θj + i sin θj , entonces notamos que

C + i S =1

n

n∑j=1

e iθj =1

n

n∑j=1

zj = m1 (3.2)

Similarmente, podemos definir los momentos muestrales de ordensuperior.



Definicion

Para p = 0,±1,±2, el p−esimo momento trigonometricomuestral alrededor de la direccion cero se define mediante

mp =1

n

n∑j=1

zpj (3.3)

=1

n

n∑j=1

(e iθj )p (3.4)

=1

n

n∑j=1

e ipθj (3.5)

=1

n

n∑j=1

(cos pθj + i sin pθj) (3.6)

=ap + ibp (3.7)



donde

ap =1

n

n∑i=1

cos pθj , bp =1

n

n∑i=1

sin pθj , (3.8)

Estos momentos son, de hecho, los analogos empıricos omuestrales de los coeficientes de la expansion de Fourier de ladensidad circular, los cuales se veran mas adelante.


Funciones de distribucion









Supongamos que una direccion inicial y una orientacion sonelegidas.La funcion de distribucion de una variable angular θ puede serdefinida en toda la recta real mediante

F (x) = P(0 < θ ≤ x), 0 ≤ x ≤ 2π, (1.1)

y

F (x + 2π)− F (x) = 1, −∞ < x <∞ . (1.2)

La ecuacion 1.2 establece precisamente que cualquier arco delongitud 2π en el cırculo tiene probabilidad 1 (ya que un arco deese tipo es la totalidad de la circunferencia del cırculo).



Para α ≤ β ≤ α + 2π,

P(α < θ ≤ β) = F (β)− F (α) =

∫ β

αdF (x), (1.3)

donde la ultima es una integral de Lebesgue-Stieltjes. La funcionde distribucion F es una funcion continua por la derecha.



En contraste con la funciones de distribucion en la recta real,

lımx→∞

F (x) =∞, lımx→−∞

F (x) = −∞.

Por definicionF (0) = 0, F (2π) = 1.



Si la funcion de distribucion F es absolutamente continua entoncestiene una funcion de densidad f tal que∫ β

αf (θ)dθ = F (β)− F (α), −∞ < α ≤ β <∞.

Una funcion f es una funcion de densidad de probabilidad de unadistribucion absolutamente continua si y solo si

1 f (θ) ≥ 0 casi dondequiera en (−∞,∞),

2 f (θ + 2π) = f (θ) casi dondequiera en (−∞,∞)

3∫ 2π

0 f (θ)dθ = 1.


Definicion







Definicion

Definiendo la funcion caracterıstica

Una herramienta util para manejar la distribucion del anguloaleatorio θ podrıa ser la funcion

t 7→ E [e itθ].

Sin embargo, ya que θ es una variable aleatoria periodica, tiene lamisma distribucion que (θ + 2π), por lo tanto,

E (e itθ) = E (e it(θ+2π)) = e it2π · E (e itθ)

Para que esta ultima ecuacion se cumpla, tiene que pasar queE (e itθ) = 0 o e it2π = 1. Asumimos que lo ultimo se sostiene, locual significa que t tiene ser un entero.Por lo tanto, para variables aleatorias circulares, la funcioncaracterıstica necesita definirse solamente para valores enteros.


Definicion

Definicion

La funcion caracterıstica de una angulo aleatorio θ es la sucesiondoblemente infinita de numeros complejos

{φp : p = 0,±1,±2, . . .}

dada por

φθ(p) = φp = E [e ipθ] =

∫ 2π

0e ipθdF (θ), p = 0,±1,±2, . . .

(1.1)

Entonces

φ0 = 1, ϕp = φ−p, |ϕp| ≤ 1, (1.2)

donde ϕp denota el numero complejo conjugado de φp.


Definicion

Los φp son los coeficientes de Fourier de F. El numero complejo φpes llamado el p−esimo momento trigonometrico de θalrededor de la direccion cero y pueden ser representados como

αp + iβp, (1.3)

donde

αp = E [cos pθ] =

∫ 2π

0cos pθ dF (θ) (1.4)

y

βp = E [sin pθ] =

∫ 2π

0sin pθ dF (θ) (1.5)

Entonces

α−p = αp, β−p = −βp, |αp| ≤ 1, |βp| ≤ 1, (1.6)

Notar que φp, αp y βp son las versiones poblacionales demp, ap y bp.


Series de Fourier







Series de Fourier

Series de Fourier

Los numeros complejos {φp : p = 0,±1, . . .} son los coeficientesde Fourier de F . Cuando φp esta relacionada a F mediante laformula 1.1, es usual escribir

dF (θ) ∼ 1

2π

∞∑p=−∞

φpe−ipθ (2.1)

La relacion (2.1) no implica que la serie sea convergente, y menosaun que converge a F . Sin embargo, si

∑∞p=1(α2

p + β2p) es

convergente entonces la variable aleatoria θ tiene una densidad f lacual es definida casi dondequiera por

f (θ) =1

2π

∞∑−∞

φpe−ipθ (2.2)

(donde la convergencia de la suma es en el sentido de L2).


Series de Fourier

Este resultado en el circulo unitario es analogo al teorema deinversion para variables aleatorias continuas en la recta real. Laecuacion (2.2) puede ser escrita como

f (θ) =1

2π

1 + 2∞∑p=1

(αp cos pθ + βp sin pθ)

(2.3)


Independencia







Independencia

Independencia

Sean θ1 y θ2 son variables aleatorias angulares. La funcioncaracterıstica de (θ1, θ2) esta definida como la doble sucesion{φp,q : p, q = 0,±1,±2, . . .} dada mediante por

φp,q = E [e ipθ1+iqθ2 ] (3.1)

Las variables θ1 y θ2 son independientes si y solo si

φp,q = φpφ′q (3.2)

donde φ y φ′ denotan las funciones caracterısticas marginales de θ1

y θ2


Independencia

Sea θ1, . . . , θn variables aleatorias circulares.La suma

Sn = θ1 + . . .+ θn

es el analogo a la suma de variables en la recta. Si θ1, . . . , θn estandistribuidas independientemente entonces la funcion caracterısticade Sn es el productos de las funciones caracterısticas de θ1, . . . , θn.Ademas, si θ1, . . . , θn son identicamente distribuidas con funcioncaracterıstica comun {φp}p∈{0}∪N, entonces la funcioncaracterıstica de Sn es

p 7→ φnp.

Si la serie∑∞

p=−∞ |φp|2 es convergente entonces Sn tiene funcionde densidad de probabilidad

1

2π

∞∑−∞

φnpe−ipθ



——————————————-



Recordemos que

αp = E [cos pθ] βp = E [sin pθ]

Notar que la sucesion {(αp, βp) : p = 0,±1, . . . , . . .} de momentostrigonometricos de una variable angular θ es precisamente lafuncion caracterıstica de θ. Se sigue por la propiedad de unicidad(propiedad clave (i)) que, en contraste con las distribucioneslineales, cualquier distribucion en el circulo esta determinado porsus momentos.Ya que

φp = αp + iβp

la forma polar de este numero complejo serıa

φp = ρpe iµp ρp ≥ 0 (4.1)

donde ρp = |φp| =√α2p + β2

p , y µp = arctan∗(βpαp

)


Propiedades de la funcion caracterıstica







Propiedades de la funcion caracterıstica

Propiedades clave

Las propiedades clave de las funciones caracterısticas dedistribuciones en el cırculo son las siguiente;

1) Un distribucion de probabilidad en el cırculo esta determinadapor su funcion caracterıstica;

2) La convergencia debil de distribuciones es equivalente a laconvergencia puntual de distribuciones caracterısticas, es decir,una sucesion F1,F2, . . . , de funciones de distribucion converge

debilmente a F si y solo si φ(n)p → φp para p ∈ {0} ∪Z, donde

φ(n) y φ denotan la funcion caracterıstica de Fn y F

Notar que que la propiedad (2) es un marcado contraste conrespecto a las funciones caracterısticas lineales. Una explicacionintuitiva para esto es que en el cırculo no es posible que la masa deprobabilidad de “se escape a infinito”.


Distribuciones circulares








Distribucion lattice

Definicion (Distribucion laticce)

Una distribucion discreta es llamada distribucion lattice si suspuntos de discontinuidad forman un subconjunto de una sucesionde puntos equidistantes.Algunas veces nos referiremos a los puntos de discontinuidad detales distribuciones como puntos lattice. Estos tienen la formaa + jd (a, b contantes, d > 0, j entero). A la constante dse lellama “span” de la distribucion laticce.

Las distribuciones discretas conocidas: Binomial, Hipergeompetrica,Geometrica, Pascal, Binomial Negativa y la Poisson, son ejemplosde distribuciones lattice que tienen al origen como punto lattice.



Distribucion laticce circular

Considerar la distribucion con

P(θ = v +2πr

m) = pr , r = 0, 1, . . . ,m − 1, (1.1)

y

pr ≤ 0,m−1∑r=0

pr = 1.

Los puntos v + 2πrm son los vertices de un polıgono regular de m

lados inscrito en el cırculo unitario. Si los pesos son iguales,entonces

pr =1

m(1.2)

Esta distribucion es la distribucion uniforme discreta en mpuntosEl caso m = 37, da la distribucion de la posicion de parada de unapelota en la rueda de una ruleta honesta.



Si v = 0, entonces la funcion caracterıstica de (1.1) esta dada por

φp =m−1∑r=0

pre2πrip/m (1.3)

y entoncesφp = 1 cuando p ≡ 0 (mod m) (1.4)

Para la distribucion discreta uniforme, (1.3) se reduce a

φ(n) =

{1 p ≡ 0 (mod m)0 otro caso

(1.5)



Se puede probar que

{φp}p∈{0}∪Z es la funcion caracterıstica de una distribucion latticesi y solo si |φp| = 1 para algun p 6= 0.



Distribucion uniforme

La mas basica de las distribuciones circulares es la distribucionuniforme. La funcion de densidad es

f (θ) =1

2π(1.6)

Por lo tanto para α ≤ β ≤ α + 2π

P(α < θ ≤) =β − α

2π,

es decir, la probabilidad es proporcional a la longitud del arco. Laintegracion de exp(ipθ) muestra que

φp =

{1 p = 00 p 6= 0

(1.7)



Sea θ1, . . . , θn son n variables aleatorias uniformes independientescon funcion caracterıstica comun {φp}0∪Z. La funcioncaracterıstica de la suma Sn = θ1 + . . . , θn es {φnp}0∪Z

φnp =

{1 p = 00 p 6= 0

(1.8)

la cual es la funcion caracterıstica de una distribucion uniforme. Sesigue por la propiedad de unicidad (por la propiedad 1) clave) queSn esta uniformemente distribuida en el cırculo.



Distribucion Circular Normal (CN) o von Mises

Una variable aleatoria circular θ se dice que tiene distribucion vonMises o Circular Normal (CN) si tiene la funcion de distribucion

f (θ;µ, κ) =1

2πI0(κ)eκcos(θ−µ), 0 ≤ θ < 2π,

donde 0 ≤ µ < 2π y κ ≥ 0 son parametros. Aquı I0(κ) es lafuncion de Bessel modificada de primer tipo y de orden cero yesta dado por

I0 =1

2

∫ 2π

0exp(κcosθ)dθdθ =

∞∑r=0

(κ2

)2r(

1

r !

)2

.

La distribucion de von Mises es unimodal y simetrica alrededor dela direccion media µ.Los parametros de esta distribucion son la media µ y el parametrode concentracion κ.



A mayor κ, mayor es el agrupamiento de las direcciones alrededorde la media µ.Si κ = 0 la distribucion se convierte en una uniforme.El la siguiente proposicion dice que para una κ, la distribucion CNpuede ser aproximada a una distribucion lineal.

Proposicion

Cuando κ→∞,

β =√κ(θ − µ)

d−→ N(0, 1)



Distribucion Normal Envolvente (WN)

Es obtenida al ”envolver” una distribucion N(µ, σ2) alrededor delcırculo. Su densidad esta dada por

g(θ) =∞∑

m=−∞f (α + 2mπ)

=1

σ√

2π

∞∑m=−∞

exp

[−(θ − µ− 2πm)2

2σ2

]Una representacion alternativa y mas util de esta densidad puedeser demostrada y es:

g(θ) =1

2π

1 + 2∞∑p=1

ρp2

cos p(θ − µ)

. (1.9)

donde ρ = exp−σ2

2 .



Es unimodal y simetrica alrededor del valor θ = µ.La normalenvolvente tiene la propiedad aditiva, es decir, la convolucion dedos WN tambien es una WN, igual que las distribuciones vonMises.



Especıficamente, si θ1 ∼WN(µ1, ρ1), θ2 ∼WN(µ2, ρ2) sonindependientes, entonces θ1 + θ2 ∼WN(µ1 + µ2, ρ1ρ2). Esto sesigue del hecho de que

θi = Xi (mod2π)

dondeXi ∼ N(µi , σ

2i ), i = 1, 2,

son independientes. Ahora,

θ1 + θ2 = X1(mod2π) + X2(mod2π) = (X1 + X2)(mod2π).

Sin embargo, debido a la independencia,

X1 + X2 ∼ N(µ1 + µ2, σ21 + σ2

2)

con correspondiente parametro de concentracion

e−σ2

1+σ22

2 = e−σ2 e−

σ21

2 = ρ1ρ2


Resultados de tipo lımite central

La suma converge a una uniforme

Supongamos (θ1, θ2, . . . , θn) es una muestra iid de una distribucioncircular comun (no lattice) con fd Gθ.Entonces la distribucion de la suma

Sn = (α1 + . . .+ αn)(mod2π)

converge a la distribucion uniforme cuando n→∞.Si {φp} es la funcion caracterıstica correspondiente a G (θ),tenemos entonces que

φ(0) = 1

y|ϕ(p)| < 1, p 6= 0



Entonnes para la suma Sn

φSn(0) = 1

mientrasφSn(p) = φn(p)→ 0, p 6= 0

La cual es la funcion caracterıstica de una distribucion uniforme en(0, 2π).



Otro resultado

Si tenemos θ′i s en el intervalo (−π, π) con E (θi ) = 0 y

E (θ2i ) = σ2, digamos. Entonces

∑θi√n

converge a la distribucion

N(0, σ2) por el Teorema del Lımite Central y entonces

S∗n =

∑ni=1 θi√

n(mod 2π)

convergera a la distribucion WN(0, σ2).

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