Aluno: Nicolás Zumelzu C.

“Seminário”

A construção da integral de Riemann que estudamos baseia-se em retângulos como domíniodas funções integráveis, pela comodidade de subdividi-los utilizando partições. É evidente que oprocedimento de integração deve ser mais amplio e abarcar domínios mais gerais.

A possibilidade de utilizar uma classe mais amplia de conjuntos, passar pela possibilidade deutilizar famílias de retângulos para descompor o conjunto. Esta ideia da lugar a definição doschamados Conjuntos Mensuráveis a Jordan, que são conjuntos cuja área pode ser aproximada pormeio da construção de polígonos formados pela união de retângulos, contidos neles, ou que oscontenham, seguindo os métodos de cálculo de áreas do antigos matemáticos gregos. A definiçãoque damos aqui não e exatamente essa, se não que aproveita a definição que já temos das funçõesintegráveis para dar uma descrição mais rápida da classe dos conjuntos mensuráveis.

1. Conjuntos J-mensuráveis

Definição 1.1 (Função Característica) Dado o conjunto limitado X ⊂ Rn, seja A um blocon-dimensional contendo X. A função característica de X é a função

ξX : A ⊆ Rn −→ R

x −→ ξX(x) =

{1 , se x ∈ X0 , se x /∈ X

.

Teorema 1.1 (Propriedades) Se X e Y são subconjuntos do bloco A, as seguintes propriedadessão da função característica:

a) ξRn−X(x) = 1− ξX(x)

b) (ξX(x))2

= ξX(x)

c) ξX∪Y (x) = ξX + ξY − ξX∩Y ;

d) ξX∩Y (x) = ξX(x) · ξY (x);

e) ξX−Y (x) = ξX(x)− ξX∩Y (x)

e) Se X ∩ Y 6= φ, então ξX∪Y (x) = ξX(x) +ξY (x).

f) Se X ⊂◦A, então ∂X é o conjunto dos pontos de descontinuidade da função ξx : A −→ R.

g) Tem-se X ⊂ Y se, e somente se, ξX ≤ ξY ; neste caso, vale ξY−X(x) = ξY (x)− ξX(x).

Definição 1.2 (Volume) O volume interno e o volume externo do conjunto limitado X ⊂ Rnsão definidos, respectivamente, pondo:

vol.int.X =

∫A

ξX(x)dx e vol.ext.X =

∫A

ξX(x)dx

Tarefa Feito em LATEX Página 1

Figura 1: X ⊆ A e ∀B, tal que X ⊆ B.

Definição 1.3 (J-mensurável) Quando a função característica ξX : A −→ R é integrável, dize-mos que X é J-mensurável (mensurável segundo Jordan) e que seu volume n-dimensional é

vol X =

∫X

ξX(x)dx.

Exemplo 1.1 Os conjuntos de medida nula poden não ser J-mensuráveis, mesmo se eles foremlimitados: por exemplo, o conjunto Q ∩ [0, 1] em R, tem medida nula, uma vez que é numerável,mas não é J-mensuráveis, visto que sua fronteira é todo o intervalo [0, 1], que não tem medidanula.

Exemplo 1.2 Se E é um conjunto J-mensurável com◦E = φ, então E tem medida nula, pois, veja

que: E =◦E ∪ ∂E pela hipótese

◦E = φ, assim E = ∂E, logo como E é J-mensurável, tem med. ∂E

é nula. Portanto, E tem medida nula.

Observação 1.1 Na verdade, se existe um retângulo A que contém X em que ξX(x) é integrável,então é também integrável em qualquer outro retângulo que contenha X, e o valor da integral é omesmo, veja a Figura (1). Se consideramos as partições de A e de B definidas pelos vértices deA ∩B, PA y PB , e aplicamos as propiedades da integral de Riemann, que temos demostrado,∫

A

ξX(x) =∑

R∈RPA

∫R

ξX(x)

=

∫A∩B

ξX(x) +∑

R∈RPAR 6=A∩B

∫R

ξX(x)

=

∫A∩B

ξX(x) +∑

R∈RPBR 6=A∩B

∫R

ξX(x), pois pela def. (1.1).

=∑

R∈RPB

∫R

ξX(x)

=

∫B

ξX(x)

Definição 1.4 (Somas Inferior e Superior) Se X ⊂ A e P é uma partição do bloco A, assomas inferior e superior da função ξX : A −→ R relativas á partição P são

i) s(ξX ;P ) = soma dos volumes dos blocos de P contidos em X;

ii) S(ξX ;P ) = soma dos volumes dos blocos de P que intersectam X.

Observação 1.2 Portanto, se escrevermos v = vol.int.X e V = vol.ext.X, veremos que, para todoε > 0 dado, existe uma partição P do bloco A (o qual contém X) tal que a soma dos volumes dosblocos de P contidos em X é superior a v−ε e a soma dos volumes dos blocos de P que intersectamX é inferior a V + ε.

Página 2 Feito em LATEX Tarefa

Teorema 1.2 i) O conjunto limitado X ⊂ Rn é J-mensurável se, e somente se, sua fronteiratem medida nula.

ii) Se X,Y ⊂ Rn são J-mensuráveis então X ∪ Y , X ∩ Y e X − Y também o são, com

vol (X ∪ Y ) = vol X + vol Y − vol (X ∩ Y )

e

vol (X − Y ) = vol X − vol Y , quando Y ⊂ X.

Demonstração: (1) Tomando um bloco n-dimensional A que contenha X em seu interior econsiderando a função característica ξX : A −→ R, temos as equivalências:

X é J-mensurável ⇔ ξX é integrável ⇔ med. DξX = 0 ⇔ med. ∂X = 0,

pois o conjunto DξX das descontinuidades de ξX coincide com a fronteira de X.(2) Basta observar que ξX∪Y = ξX +ξY −ξX∩Y e que, quando Y ⊂ X, vale ainda ξX−Y = ξX−ξY .

�

Exemplo 1.3 Todo conjunto limitado X ⊂ Rn, cuja fronteira é uma superfície, ou a reuniãode um número finito (ou mesmo enumerável) de superfícies classe C1, de dimensão n − 1 é J-mensurável. Isto inclui uma bola fechada e a região compreendida entre duas bolas fechadas con-cêntricas. Resulta ainda do item (1) acima que um bloco n-dimensional é J-mensurável.

Lembremos:

Teorema 1.3 Uma reunião enumerável de conjuntos de medida nula é ainda um conjunto demedida nula.

Corolario 1.1 Todo conjunto enumerável tem medida nula.

Corolario 1.2 Seja M ⊂ Rn uma superfície m-dimensional de classe C1. Se m < n então M temmedida n-dimensional nula.

Exemplo 1.4 Se X ⊂ Rn é J-mensurável e◦X = φ então vol X = 0 pois s(ξX ;P ) = 0 para toda

partição P de um bloco que contenha X. Resulta daí que se X e Y são conjuntos J-mensuráveissem pontos interiores em comum então vol (X ∪ Y ) = vol X + vol Y , pois vol (X ∩ Y ) = 0.

Definiremos agora a integral∫Xf(x)dx de uma função limitada f : X −→ R, cujo domínio é

um conjunto J-mensurável X ⊂ Rn. Para isto, consideramos um bloco n-dimensional A tal que

X ⊂◦A e a função

f : A −→ R

x −→ f(x) =

{f(x) , se x ∈ X0 , se x ∈ A−X

Pomos então, por definição∫X

f(x)dx =

∫A

f(x)dx e

∫X

f(x)dx =

∫A

f(x)dx.

Definição 1.5 Diremos que f : X −→ R é integrável quando tivermos∫X

f(x)dx =

∫X

f(x)dx

ou seja, quando f : A −→ R for integrável.

Tarefa Feito em LATEX Página 3

Se f : A −→ R é descontínua num ponto x ∈ A, ou f é descontínua no ponto x ou x pertenceà fronteira de X. Noutros termos, Df ⊂ Df ∪ ∂X. Como ∂X tem medida nula, segue-se que f éintegrável (ou seja, f é integrável) se, e somente se o conjuntoDf dos seus pontos de descontinuidadetem medida nula.

Teorema 1.4 (Operações) Sejam f, g : X −→ R funções integráveis no conjunto J mensurávelX ⊆ Rn e c ∈ R. Então:

(1) f + g : X −→ R é integrável e∫X

[f(x) + g(x)]dx =∫Xf(x)dx+

∫Xg(x)dx.

(2) c · f : X −→ R é integrável e∫Xc · f(x)dx = c ·

∫Xf(x)dx.

(3) O produto f · g : X −→ R é uma função integrável.

(4) Se |g(x)| ≥ k > 0 para todo x ∈ X então f/g : X −→ R é integrável.

(5) Se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X então∫Xf(x)dx ≤

∫Xg(x)dx.

(6) |f | : X −→ R é uma função integrável e∣∣∫Xf(x)dx

∣∣ ≤ ∫X|f(x)|dx.

(7) Se X ′ é um conjunto J-mensurável contido em X e f(x) = 0 para todo x ∈ X − X ′ então∫Xf(x)dx =

∫X′ f(x)dx.

(8) Se f é contínua e X é conexo então existe x0 ∈ X tal que∫Xf(x)dx = f(x0) · vol. X

Demonstração: (1), (2) Sejam A ⊂ Rn um bloco contendo X e f, g : A −→ R as extensões def e g, iguais a zero A − X. As extensões de c · f e f + g são respectivamente c · f e f + g. Porhipótese, f e g são integráveis em A, logo o mesmo ocorre c · f e f + g. Portanto c · f e f + g sãointegráveis em X, com∫

X

(c · f)(x)dx =

∫A

c · f(x)dx = c ·∫A

f(x)dx = c ·∫X

f(x)dx

de forma análoga temos∫X

[f(x) + g(x)]dx =∫Xf(x)dx+

∫Xg(x)dx.

(6) Seja g : X −→ R definida por g(x) = |f(x)|. Evidentemente Dg ⊂ Df , logo g é integrável.A extensão g : A −→ R é dada por g = |f(x)|, onde f : A −→ R é a extensão de f . Portanto∣∣∣∣∫

X

f(x)dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫A

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫A

|f(x)|dx =

∫A

g(x)dx =

∫X

g(x)dx =

∫X

|f(x)|dx.

Se for |f(x)| ≤ K para todo x ∈ X então∣∣∣∣∫X

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫X

|f(x)|dx ≤∫X

K · dx = K · vol. X.

(8) Em virtude da conexidade X, a imagem f(X) é um intervalo, cujos extremos são m eM . Como1

Vol. X∫Xf(x)dx pertenece a esse intervalo, é igual f(x0) para algum x0 ∈ X.

�

Observação 1.3 Note que ao considerar integrais sobre conjuntos J-mensuráveis em Rn, não háperda de generalidade em supor que tais conjuntos são abertos. Convém notar, entretanto, que nemtodo aberto limitado de Rn é J-mensurável.

Exemplo 1.5 Seja X ⊂ [0, 1] um conjunto de cantor de medida positiva, com◦X = φ, med. X = 0

e Y = X × [0, 1] não tem medida nula em R2, exibiremos um aberto limitado U ⊂ R2 que não éJ-mensurável. Basta tomar qualquer retângulo aberto V em R2, contendo Y , e pôr U = V − Y .Então Y ⊂ ∂U , logo ∂U não tem medida nula, isto é, U não é J-mensurável.

Página 4 Feito em LATEX Tarefa

Exemplo 1.6 É claro que um conjunto de volume zero tem medida nula. Se o conjunto dado é J-mensurável, vale a recíproca, em virtud do Exemplo (1.4), pois medida nula implica interior vazio.A hipótese de J-mensurarabilidade não pode ser omitida pois o conjunto enumerável Q∩ [0, 1] temmedida nula mas seu “volume” externo é igual a 1 enquanto o interno é igual a zero.

Exemplo 1.7 Seja X ⊂ R o conjunto formado pelo intervalo [0, 1] ∪ P , onde P = {x ∈ Q : 1 ≤x ≤ 2}. O “volume” interno do conjunto X é igual a 1 enquanto seu “volume” externo é 2. PortantoX não é J-mensurável. Tomando o produto cartesiano de n cópias de X, obtém-se um subconjuntode Rn que não é J-mensurável.

Exemplo 1.8 Seja f : A −→ R uma função limitada no bloco A ⊂ Rn, com f(x) ≥ 0 para todox ∈ A. Veja que se f é integrável então o conjunto C(f) = {(x, y) ∈ Rn+1;x ∈ A, 0 ≤ y ≤ f(x)}é J-mensurável e vol C(f) =

∫Af(x)dx, pois, para toda partição P do bloco A, tem-se s(f, P ) =∑

B∈PmB · vol B =

∑B∈P

vol B′, onde B′ = B × [0,mB ], e S(f, P ) =∑B∈P

MB · vol B =∑B∈P

vol B′′,

onde B′′ = B×[0,MB ]. Evidentemente,⋃B∈P

B′ ⊂ UB∈P

B′′, s(f, P ) ≤ vol.int C(f) ≤ vol.ext C(f) ≤

S(f, P ). Portanto f integrável implica C(f) J-mensurável e vol C(f) =∫Af(x)dx.

Observação 1.4 O item (1) do Teorema (1.2) pode ser tornado mais preciso: a fronteira de umconjunto J-mensurável tem volume zero. Com efeito, todo conjunto limitado tem fronteira compactae vale o seguente:

Teorema 1.5 (Complemento o Teorema (1.2)) Se X ⊂ Rn é compacto e med. X = 0 entãovol X = 0.

Demonstração: Seja dado ε > 0. Como são abertos os blocos que ocorrem na definição demed. X = 0, segue-se do Teorema de Borel-Lebesgue que existem blocos abertos B1, ..., Bk tais

que X ⊂ B1∪· · ·∪Bk e∞∑j=1

vol Bj < ε. Para cada i = 1, ..., k, as i-ésimas coordenadas dos vértices

desses blocos formam um conjunto Pi, cuyo menor elemento chamaremos de ai e, o maior, de bi.Cada Pi é, portanto, uma partição do intervalo [ai, bi] e o conjunto Pn = P1 × · · · × Pn é uma

partição do bloco A =n∏i=1

[ai, bi]. Temos X ⊂ A e o fecho Bj de cada um dos blocos iniciais é a

reunião dos blocos B′ ∈ P nele contidos. Segue-se daí se um bloco B′ ∈ P contém algum pontode X então B′ está contido num Bj . Assim, a soma dos volumes do blocos B′ da partição P queintersectam X é menor do que ou igual à soma dos volume dos Bj , logo é menor do que ε. Portantovol X = 0.

�

2. A integral como limite de somas de RiemannMostraremos agora (veja o Teorema 2.3) que a integral

∫Xf(x)dx é o número real cujos valores

aproximados são as “somas de Riemann”∑f(ξi)vol Xi, obtidas quando se faz uma decomposição

do tipo X = X1 ∪ · · · ∪ Xk, onde os Xi são conjuntos J-mensuráveis, dois a dois sem pontosinteriores em comum, tomando-se arbitrariamente ξi ∈ Xi para cada i = i, ..., k. Esta é a formamais comum, e a mais intuitiva, de se pensar na integral. Passemos ás definições precisas.

Definição 2.1 (Decomposição) Seja X ⊂ Rn um conjunto J-mensurável. Diz-se que D =(X1, ..., Xk) é uma decomposição de X quando os conjuntos X1, ..., Xk são J-mensuráveis, sempontos interiores em comum (isto é, Xi ∩Xj ⊂ ∂Xi ∩ ∂Xj quando i 6= j), com X = Xi ∪ · · · ∪Xk.A norma da decomposição D é o número |D| = max{d(Xi);∀i = 1, ..., k}.

Exemplo 2.1 Se X ⊂ Rn é um bloco n-dimensional, toda partição P determina uma decomposiçãoX = B1 ∪ · · · ∪Bk, onde os Bi são os blocos da partição P .

Definição 2.2 (Somas superiores e inferiores) Seja f : X −→ R uma função limitada noconjunto J-mensurável X ⊂ Rn. Dada a decomposição D = (X1, ..., Xk) de X escreveremos:

Tarefa Feito em LATEX Página 5

a) Soma inferior: s(f ;D) =k∑i=1

mi · vol Xi, onde mi = ınf{f(x);x ∈ Xi,∀i = 1, ..., k}.

b) Soma superior: S(f ;D) =k∑i=1

Mi · vol Xi, onde Mi = sup{f(x);x ∈ Xi∀i = 1, ..., k}.

Diz-se que o número real J é o limite de S(f ;D) quando |D| −→ 0, e escreve-se:

J = lım|D|→0

S(f ;D)⇔ ∀ε > 0,∃δ > 0 tal que se |D| < δ ⇒ |J − S(f ;D)| < ε

Diz-se que o número real I é o limite de s(f ;D) quando |D| −→ 0, e escreve-se:

I = lım|D|→0

s(f ;D)⇔ ∀ε > 0,∃δ > 0 tal que se |D| < δ ⇒ |I − s(f ;D)| < ε

Lema 2.1 Sejam Y ⊂ X ⊂ Rn J-mensuráveis, com vol Y = 0. Para todo ε > 0 dado, existe δ > 0tal que, se D é uma decomposição de X com |D| < δ então a soma dos volumes dos conjuntos Xi

e D tais que d(Xi, Y ) < δ é menor do que ε.

Demonstração: Dado ε > 0, podemos cobrir Y com uma coleção finita de blocos B cuja somados volumes é < ε. Tomando arbitrariamente δ > 0, ponhamos cada um desses blocos B =

∏[ai, bi]

dentro do bloco B′ =∏

[ai− 2δ, bi + 2δ]. Como lımδ→0

vol B′ = vol B, existe δ > 0 tal que a soma dos

volumes dos blocos B′ é ainda menor do que ε. Usando a norma do máximo, podemos assegurar quese Z é um conjunto de d(Z) < δ tal que d(Z,B) < δ então Z ⊂ B′. Portanto, se D = (X1, ..., Xk)é uma decomposição de X com |D| < δ, vemos que

d(Xi, Y ) < δ ⇒ d(Xi, B) < δ, para algum B ⇒ Xi ⊂ B′.

Assim, a soma dos volumes dos conjuntos Xi ∈ D tais que d(Xi, Y ) < δ não excede a soma dosvolumes dos blocos B′, logo é menor do que ε.

�

Teorema 2.1 Para toda função f : X −→ R, limitada no conjunto J-mensurável X ⊂ Rn, tem-se∫X

f(x)dx = lım|D|→0

s(f ;D) e

∫X

f(x)dx = lım|D|→0

S(f ;D)

Demonstração: Basta provar a segunda afirmação. Sem perda de generalidade, podemos admitirque 0 ≤ f(x) ≤ K para todo x ∈ X. Com efeito, se somarmos uma constante c à função c, tanto aintegral superior como o limite acima serão aumentados de c · vol X. Seja f : A −→ R a extensãode f a um bloco n-dimensional X ⊂ A, com f(x) = 0 se x ∈ A−X. Dado ε > 0, queremos acharδ > 0 tal que |S(f ;D)−

∫Xf(x)dx| < δ para toda decomposição D de X com |D| < δ. Ora, dado

ε > 0, existe uma partição P0 de A tal que

S(f ;P0) <

∫X

f(x)dx+ε

2

Seja Y a reunião das faces próprias dos blocos de P0. Como vol Y = 0, o Lema assegura aexistência de δ > 0 tal que, para toda decomposição D de X com |D| < δ, a soma dos volumes dosconjuntos Xi ∈ D com d(Xi, Y ) < δ é menor do que

ε

2K.

Seja então D uma decomposição de X com norma |D| < δ. Chamemos de Xα os conjuntos deD tais que d(Xα, Y ) < δ. Os demais conjuntos de D serão chamados de Xβ . Notemos que cada Xβ

deve estar contido em algum bloco da partição P0 pois, do contrário, existiriam x, y ∈ Xβ em blocosdistintos de P0, logo o segmento de reta [x, y] conteria algum ponto de Y . Como |x− y| < δ, isto

Página 6 Feito em LATEX Tarefa

daria d(Xβ , Y ) < δ um absurdo. Escrevendo Mα = sup{f(x);x ∈ Xα} e Mβ = sup{f(x);x ∈ Xβ},vem

S(f ;D) = Mα · vol Xα +Mβ · vol Xβ

< K · vol Xα +∑B∈P0

∑Xβ⊂B

Mβ · vol Xβ

≤ ε

2+∑B∈P0

Mβ · vol B

<ε

2+

∫X

f(x)dx.

Assim, |D| < δ ⇒ S(f ;D) <∫Xf(x)dx+ ε

2 .Mostraremos agora que S(f ;D) ≥

∫Xf(x)dx para toda decomposição D de X. Com efeito,

seja Z a reunião das fronteiras dos conjuntos Xi da decomposição D. Como volZ = 0, o Lema nosdá δ′ > 0 tal que, para toda partição P do bloco A com |P | < δ′, a soma dos volumes dos blocosde P que intersectam Z é menor do que ε

K . Tomando |P | < δ′, temos

S(f ;P ) =∑

Mβ · vol B +∑

Mc · vol C,

onde chamamos de B os blocos de P que intersectam Z e de C os que estão contidos no interiorde algum Xi ∈ D. Ora, temos

∑Mβ · vol B +

∑Mc · vol C ≤ K ·

∑vol B +

∑i

( ∑C⊂Xi

MC · vol C

)

≤ ε+∑i

Mi

( ∑C⊂Xi

vol C

)≤ ε+

∑i

Mi · vol Xi

= S(f ;D) + ε

Logo∫Xf(x)dx < S(f ;P ) < S(f ;D) + ε.

Como ε > 0 é arbitrário, concluímos que∫Xf(x)dx < S(f ;D) para toda decomposição D de

X.

�

Corolario 2.1 Para toda função limitada f : X −→ R no conjunto J-mensurável X ⊂ Rn, tem-se∫X

f(x)dx = supD

s(f ;D) e

∫X

f(x)dx = ınfDS(f ;D).

Definição 2.3 (Decomposição Pontilhada) Uma decomposição pontilhada do conjunto J-mensurávelX ⊂ Rn é um par D∗ = (D, ξi), onde D = (X1, ..., Xk) é uma decomposição de X e ξ = (ξ1, ..., ξk),com ξ1 ∈ X1, ..., ξk ∈ Xk. Em termos menos formais, pontilhar a decomposição D = (Xi, ..., Xk)é escolher um ponto ξ1 em cada conjunto Xi, i = 1, ..., k.

Teorema 2.2 A toda partição pontilhada D∗ fica associada a soma de Riemann∑

(f ;D∗) definidapor ∑

(f ;D∗) =

k∑i=1

f(ξi) · vol Xi

Tarefa Feito em LATEX Página 7

Demonstração: Diz-se que o número I é o limite das somas de Riemann∑

(f ;D∗) quando anorma |D| −→ 0, e escreve-se

I = lım|D|→0

∑(f ;D∗),

quando, para todo ε > 0 dado, pode-se obter δ > 0 tal que, para toda decomposição D do conjuntoX com norma |D| < δ tem-se |

∑(f ;D∗)− I| < δ, seja qual for a maneira D∗ de se pontilhar D.

�

Teorema 2.3 Seja f : X −→ R uma funcão limitada no conjunto J-mensurável X ⊂ Rn. A fimde que f seja integrável, é necessário e suficiente que exista o limite∫

X

f(x)dx = lım|D|→0

∑(f ;D∗).

No caso afirmativo, este limite é igual à integral de f sobre X.

Demonstração: Para toda decomposição D de X tem-se

s(f ;D) ≤∑

(f ;D∗) ≤ S(f ;D),

seja qual for o modo D∗ de pontilhar D. Pelo Teorema 2.1, temos

lım|D|→0

∑(f ;D) =

∫X

f(x)dx.

Segue-se imediatamente que lım|D|→0

∑(f ;D∗) =

∫Xf(x)dx. Reciprocamente, suponhamos que exista

o limite I do enunciado. Para provar que f é integrável podemos, sem perda de generalidade, suporque f ≥ 0. Dado arbitrariamente ε > 0, existe uma descomposição D = {X1, ..., Xk} de X tal que|∑

(f ;D∗)− I| < ε4 seja qual for a maneira de pontilhar D. Fixemos D e a pontilhemos de duas

maneiras. Em primeiro lugar, podemos escolher em cada conjunto Xi ∈ D um ponto εi tal quef(ξi) < mi +

ε

4k · vol Xi. Isto nos dá uma descomposição portilhada D∗ com

∑(f ;D∗) =

k∑i=1

f(ξi) · vol. Xi

<

k∑i=1

(mi +

ε

4k · vol Xi

)· vol. Xi

=

k∑i=1

(mi · vol. Xi +

ε

4k · vol Xi· vol. Xi

)

=

k∑i=1

(mi · vol. Xi) +

k∑i=1

(ε

4k · vol Xi· vol. Xi

)

=

k∑i=1

(mi · vol. Xi) +

k∑i=1

ε

4k

=

k∑i=1

(mi · vol. Xi) +ε

4

= s(f ;D) +ε

4

De modo análogo, obtemos uma descomposição pontilhada D# tal que S(f ;D)− ε

4<∑

(f ;D#).Desta maneira, ∑

(f ;D∗)− ε

4< s(f ;D) ≤ S(f ;D) <

∑(f ;D#) +

ε

4.

Página 8 Feito em LATEX Tarefa

Como os números∑

(f ;D∗) e∑

(f ;D#) pertececem ao intervalo(I − ε

4 , I + ε4

), segue-se que

s(f ;D) e S(f ;D) pertenecem ao intervalo(I − ε

2 , I + ε2

)e portanto S(f ;D) − s(f ;D) < ε. Sendo

ε > 0 arbitrario, temos∫X

f(x)dx = supD.s(f ;D) = ınf

D.S(f ;D) =

∫X

f(x)dx,

em virtude do Corolario (2.1). Logo f é integrável e sua integrável é igual a I.

�

Tarefa Feito em LATEX Página 9

Simbologia

R: conjunto dos números reales, 1–8Rn: espaço n dimensional, R× · · · ×R, 1∫AξX(x)dx: Integral superior no bloco A, 1∫

XξX(x)dx: Integral ξX no conjunto X, 2

◦E: interior do conjunto E., 2∂E: frontera de E., 2φ: vazio., 2⊂: subconjunto., 2

⊂: subconjunto, 1⊂: subconjunto., 1–8⊆: subconjunto., 1∫AξX(x)dx: Integral inferior no bloco A, 1

ξX : funcão característica de um conjunto X,1–3, 5, 7, 8

d(Xi) = sup{d(x, y) : ∀x, y ∈ Xi}: diametrode Xi, 5

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