Disusun Oleh :Rita Purnamasari(1213021064)

BAHAN AJARAR

MATEMATIKAMateri Teorema Pythagoras

TEOREMA PYTHAGORAS

Pendahuluan

Teorema Pythagoras meruapakan salah satu teorema yang telah

dikenal manusia sejak peradapan kuno. Nama teorema ini

diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama

Pythagoras.

Pada bab ini kita akan membahas mengenai menentukan,

menghitung dan memecahkan masalah yang berkaita dengan

Teorema Pythagoras.

Tujuan Pembelajaran

Siswa mampu memahami dan menemukan teorema Pythagoras.

Siswa mampu menemukan hubungan antar sisi pada segitiga

siku-siku khusus.

Siswa mampu menyelesaikan permasalahan nyata dengan

teorema pythagoras.

A. Memahami dan Menemukan Teorema Pythagoras

Apakah kalian tahu apakah kegunaan dari kita mempelajari

teorema pythagoras? Suatu ilmu akan lebih terasa menarik

2

bila ada keterkaitan dengan kegiatan dan kebermanfaatan

dalam kehidupan sehari-hari . Misal, seorang pekerja

bangunan sedang memeriksa kesikuan sebelum membuat desain

pondasi suatu bangunan. Dalam memeriksa kesikuan ini mereka

menggunakan Tripel Pythagoras, meski secara ilmiah Pak

Tukang tidak mengerti alasan mengapa menggunakan itu. Nah,

inilah salah satu penerapan Teorema Pythagoras dalam

kehiduapan sehari-hari.

Terdapat beberapa cara dalam membuktikan teorema, yaitudengan pendekatan luas persegi, luas segitiga sama sisi,luas trapesium, dan luas bentuk bangun datar lainnya. Salahsatu pembuktikan teorema adalah pembuktian yang diemukanoleh James A. Garfield, Presiden ke-20 Amerika Serikat.Beliau membuktikan teorema ini dengan menggunakan luasteorema pytagoras.

Diberikan : Segitiga ABC

D a E

b

c

B

a c

C b A

Buktikan : a2+b2=c2

Kontruksi : Perpanjangan sisi AB sampai titik D sedemikian

sehingga BD CA. Kontruksi ruas garis DE sehingga

3

DE CD dan DE BC. Lukislah ruas garis BE dan

AB.

Bukti : Segiempat ABCD adalah trapesium.

Mengapa? Luas trapesium ABCD adalah,

L = 12 h(p + p’) =

12 (a + b)(a + b) =

12(a2 + 2ab + b2) ..........(i)

Luas trapesium dapat dicari dengan menjumlahkan luas

segitiga ACB, BDE, dan EBA. Setelah membuktikan ABC

BDE dan 1 2, dapat ditunjukkan bahwa ABE adalah

siku-siku. Mengapa? Karena ketiga segitiga tersebut

memiliki sudut siku-siku, maka luasnya adalah

L(ACB) = 12 ab

L(BDE) = 12 ab

L(BEA) = 12 c2

Sehingga, diperoleh luas dari trapesium adalah

L = 12 ab +

12 ab +

12 c2 = ab +

12 c2 ..........(ii)

Dengan mensubstitusikan persamaan (i) dan (ii), maka diperoleh

12(a2 + 2ab + b2) = ab +

12 c2

4

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2 (Terbukti)

Dari analisis di atas, dapat disimpulkan bahwa hubungan

panjang sisi-sisi segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b

dan c tersebut dianamakan Teorema Pythagoras.

Segitiga siku-siku yang ketiga sisinya adalah bilangan aslidisebut Tripel Pythagoras.

Lakukan pembuktian Teorema Pythagoras menggunakanpendekatan luas persegi pada LKPD(Lembar Kerja PesertaDidik) yang telah guru anda berikan.

B. Menentukan Hubungan Antar Sisi Pada Segitiga Siku-Siku

Khusus

Teorema pythagoras dapat digunakan untuk meakukan

penyelidikan terhadap sifat menarik dari segitiga khusus

atau istimewa seperti segitiga siku-siku sama kaki dan

segitiga siku-siku yang besar sudutnya 30o – 60o – 90o.

Dalam sub bab ini kita akan menemukan hubungan antar

panjang sisi pada segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga

siku-siku yang besar sudutnya 30o – 60o – 90o.

Apotema Teorema Pythagoras :

“Pada segitiga siku-siku, jumlah kuadrat sisi siku-

sikunya sama dengan kuadrat sisi miringnya”.

5

Pada pembelajaran kelas VII Semester 1 yang lalu, anda

telah mempelajari bagaimana melukis sudut-sudut istimewa

dengan menggunakan jangka dan penggaris bukan? Berapakah

besar sudut-sudut istimewa itu?

Pada segitiga siku-siku khusus dengan salah satu sudutnya

istimewa terdapat perbandingan perbandingan diantara sisi-

sisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal

berikut!

Contoh 1 :

Perhatikan gambar di samping ini! E

Segitiga DEF siku-siku di E dan 5 cm

D = 45o. Jika panjang EF = 5 cm

dan FD = 5 √2 cm ,maka: F 5 √2 cmD

a. Tentukan besar F !

b. Tentukan panjang ED dengan menggunakan teorema

Pythagoras !

c. Bandingkan panjang kedua sisi siku-sikunya, kesimpulan

apa yang kamu peroleh?

d. Berdasarkan panjang sisi-sisinya dan besar sudut-

sudutnya, disebut segitiga apakah segitiga DEF?

Penyelesaian :

a. Besar F = 180o - D - E

= 180o - 90o - 45o

= 45o

6

b. panjang ED

ED2 = DF2 - EF2

= (5√2)2 - 52

= 50 – 25

ED2 = 25

ED = 5 cmc. perbandingan kedua sisi siku-siku adalah 1 : 1

Kesimpulanya :

Berdasarkan poin a) dan b) maka dapat disimpulkan bahwa

perbandingan panjang sisi siku-sikunya yaitu 1 : 1 dan

besar sudut DEF adalah 45o – 90o – 45o .

d. Berdasarkan panjang siku-siku dan besar sudut pada

segitiga EFD maka segitiga DEF disebut segitiga siku-siku

khusus sama kaki.

Contoh 2 :

Perhatikan gambar di samping ini! P

Segitiga PQR siku-siku di Q dan R = 30o 10 cm

Panjang sisi-sisi QR = 5 √3 cm, RP = 10 cm maka QR

a. Tentukan besar P! 5 √3 cmb. Tentukan panjang sisi PQ !

c. Bandingkan panjang sisi di depan sudut 300 dengan

hipotenusa PQR

d. Kesimpulan apa yang dapat Anda peroleh ?

Penyelesaian:

a. Besar P = 180o - Q - R

= 180o - 90o - 30o

7

= 60o

b. Panjang PQ

PQ2 = PR2 - QR2

= 102 - (5√3)2

= 100 – 75

PQ2 = 25

PQ = 5 cmc. Perbandingan panjang sisi di depan sudut 300 dengan

hipotenusa PQR adalah 1 : 2

d. Kesimpulannya :

Berdasarkan perbandingan panjang sisi di depan sudut 300

dengan hipotenusa PQR nya 1 : 2 maka segitiga PQR

disebut segitiga siku-siku khusus yang besar sudutnya

30o – 60o – 90o.

C. Menyelesaikan Permasalahan Nyata dengan Teorema

Pythagoras

Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan-

permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan

teorema Pythagoras. Contoh permasalahan-permasalahan

tersebut antara lain adalah sebagai berikut :

Contoh 1 :

Rumah pak Widodo berlantai dua seperti gambar di bawah ini.

8

Jika alas tangga terletak 2 m dari tembok dan tinggi tembok

4,5 m, maka berapakah panjang tangga yang 4,5 m yang harus

dibuat?

Penyelesaian :

Panjang tangga = √4,52+22

= √24,25 ≈ 4, 92 m

Jadi, panjang tangga rumah pak Widodo yang 4,5 m yang harusdibuat adalah √24,25m ≈ 4, 92 m

Contoh 2:

Pak Budi mempunyai kebun berbentuk segitiga dengan panjang

sisi–sisinya adalah 8 m,

15 m, dan 17 m, maka

a) berbentuk segitiga apakah kebun pak Budi ?

b) dapatkah kamu menentukan luas kebun pak Budi ?

Penyelesaian :

a) 172 = 289 152 = 225 82 = 64

Karena 172 = 152 + 82 , maka ketiga bilangan tersebut

memenuhi tripel pythagoras. Segitiga tersebut adalah

segitiga siku-siku.

b. Dapat, yaitu

9

luas kebun pak Budi = 12( 8 x 15 )

= 60 m2

Jadi, segitiga tersebut luasnya adalah 60 cm2.

Contoh 3 :

Seorang anak mempunyai tinggi badan 150 cm. Ia berdiri 12 m

dari tiang bendera. Jika jarak antara kepala anak tersebut

dengan puncak tiang bendera adalah 13 m, maka hitunglah

tinggi tiang bendera tersebut!

Penyelesaian :

Pada contoh soal di atas jika kita gambarkan adalah sebagai

berikut

12 mGambar 1 Gambar 2

Untuk menghitung tinggi tiang bendera, langkah yang pertama

harus dihitung dulu nilai x. Nilai x dapat dicari dengan

memperhatikan Gambar 2, maka

10

x = √132−122

= √169−144 = √25 = 5 m

Jadi, tinggi tiang bendera dapat diperoleh

5 m + 1,5 m = 6,5 m

LATIHAN:1. Diketahui KLM siku-siku di L, jika panjang hipotenusa

KLM adalah 20 cm dan MKL = 300 , tentukan luas segitiga

KLM !

2. Perhatikan segitiga siku-siku di samping.

Q

Jika panjang PQ = 7cm dan panjang 7 cm 7√3 cmQR = 7√3 cm, maka: P R

a. Tentukan panjang PR!

b. Tentukan besar P dan R !

3. Pada segitiga ABC, diketahui panjang AB = 6 cm, AC = 8

cm dan BC = 10 cm. Berbentuk apakah segitiga ABC

tersebut? Mengapa?

4. Pesawat tim SAR berhasil menemukan lokasi kecelakaan

helikopter yang jatuh di daerah A. Lokasi tersebut

ditemukan setelah terbang 25 km ke arah Barat Laut dari

11

bandara, kemudian membelok ke Selatan sejauh 18 km.

Berapa kilometerkah jarak lokasi kecelakaan dari bandara?

5. Sebuah kuda-kuda atap rumah berbentuk segitiga sama

kaki dengan panjang kaki – kakinya 10 meter dan panjang

alasnya 16 meter seperti tampak pada gambar di bawah

ini !

10 m 10 m

16 m

Bila seluruh rangka kuda-kuda tersebut terbuat dari kayu

dan harga kayu Rp. 45.000,00 untuk tiap 4 meter,

berapakah biaya untuk membuat kuda-kuda atap tersebut?

RANGKUMAN

Pada segitiga siku-siku, sisi dihadapan sudut siku-siku

disebut sisi miring atau juga disebut hipotenusa.

Teorema Pythagoras: “Pada segitiga siku-siku, jumlah

kuadrat sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat sisi

miringnya”.

Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku

dengan a, b dan c bilangan asli, maka a, b, c disebut

bilangan Tripel Pythagoras.

12

Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga yang

memenuhi persamaan a2 + b2 = c2 dengan c adalah sisi

terpanjang, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-

siku.

Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan c

sisi terpanjang tetapi a, b dan c tidak memenuhi bilangan

Tripel Pythagoras, terdapat dua kemungkinan bentuk

segitiga :

− Jika a2 + b2 < c2, maka ΔABC segitiga tumpul

− Jika a2 + b2 > c2, maka ΔABC segitiga lancip.

Daftar Pustaka- Wisnu Siwi Satiti. 2012. Web Based Lesson: Pythagorean Theorem

- Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia,

Buku Guru Matematika SMP Kelas VIII Kurikulum 2013, Teorema

Pythagoras, Cetakan ke-1, 2014 Pusat Kurikulum dan

Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

- Sukino, Wilson Simangunsong: 1994, Matematika SLTP, jilid

2A, Erlangga, Jakarta.

13

Kunci Jawaban Latihan 1. Diketahui : KLM siku-siku di L

panjang hipotenusa 20 cm

MKL = 300

Ditanya : Tentukan luas segitiga KLM !

Penyelesaian :

LMK = 1800 - KLM - MKL

M = 1800 - 900 - 300

20 cm = 600

KLM merupakan segitiga siku-

siku

L K khusus yang memiliki

sudut 30o–60o–90o, sehingga perbandingan panjang sisi di

depan sudut 300 dengan hipotenusa KLM adalah 1 : 2. Jadi

diperoleh panjang ML adalah 10 cm.

14

Selanjutnya, dicari panjang KL = √202−102

= √400−100

= √300 = 10 √3 cm

Maka, luas KLM = 12x10√3x10

= 50√3 cm2

2. Diketahui :

Panjang PQ = 7cm

panjang QR = 7√3 cmDitanya : a. Panjang PR ?

b. Besar

P dan R ?

Penyelesaian :

a. Panjang PR = √72+(7√3)2

= √49+147

= √169= 14 cmb. Karena telah didapat panjang PR = 14 cm(poin a) dan

perbandingan panjang sisi di depan sudut R dengan

hipotenusa PQR adalah 1 : 2, maka besar R = 30o.

Jadi, besar P = 180o - Q - R

= 180o - 90o - 30o

= 60o

15

3. Diketahui : Segitiga ABC dengan panjang AB = 6 cm, AC

= 8 cm dan BC = 10 cm. Ditanya : Berbentuk apakah

segitiga ABC tersebut? Mengapa?

Penyelesaian :

AB2 = 36, AC2 = 64, BC2 = 100

Segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku

sembarang, karena ketiga bilangan tersebut memenuhi

tripel pythagoras, yaitu BC2= AB2+AC2.

4. Diketahui : Letak pesawat terjatuh, yang sebelumnya

terbang 25 km ke arah Barat

laut dari bandara kemudian membelok ke Selatan

sejauh 16 km

Ditanya : Berapa km jarak lokasi kecelakaan dari bandara?

Penyelesaian :

Jarak lokasi kecelakaan =√252−162

= √625−256

= √369 = 3√41 km ≈ 19,21 km

5. Diketahui : Sebuah kuda-kuda atap rumah berbentuk

segitiga sama kaki dengan

panjang kaki–kakinya 10 meter dan panjang

alasnya 16 meter

Ditanya : Bila seluruh rangka kuda-kuda tersebut terbuat

dari kayu dan harga

kayu Rp. 45.000,00 untuk tiap 4 meter, berapakah

biaya untuk membuat kuda-kuda atap tersebut?

16

Penyelesaian : C C

10 m 10 m 10 m

A D B D 8 m B16 m

Panjang CD =√102−82

= √100−64

= √36 = 6 m

Karena sisi CD dari ADC dan sisi CD dari BDC berimpit,

maka panjang CD hanya dihitunng sekali.

Sehingga panjang kuda-kuda atap rumah berbentuk segitiga

sama kaki tersebut panjang AB + panjang BC + panjang

CA + panjang CD = 10 + 16 + 10 + 6

= 42 m

Harga kayu Rp. 45.000,00 untuk tiap 4 meter, maka harga

per-meter adalah Rp. 11.250. Jadi, biaya untuk membuat

kuda-kuda atap tersebut adalah

42 x Rp. 11.250 = Rp. 472.500

17