LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar Pengertian Limit Pandang fungsi f(x)=2x + 1 yang terdefinisi untuk semua x bilangan nyata. Selanjutnya kita akan lihat nilai-nilai fungsi f(x) untuk x yang mendekati 3, hasilnya seperti pada tabel berikut. x f(x) = 2x + 1 . . 2,96 6,92 2,98 6,96 2,99 6,98 3 .. 3,01 7,02 3,02 7,04 3,04 7,08 .. .

Dari tabel di atas terlihat bahwa jika x semakin dekat ke 3, nilai f(x) semakin bergerak dekat ke 7. Dalam matematika hal ini dapat dibaca Jika x mendekati 3 maka 2x + 1 nilainya mendekati 7 atau limit dari f(x) = 2x + 1, jika x mendekati 3 adalah 7 Dalam notasi ditulis : lim it f ( x) = lim it (2 x + 1) = 7x 3 x 3

Pandang fungsi yang didefinisikan sebagai : x2 9 f ( x) = x3 f(x) terdefinisi untuk semua x kecuali x = 3 Fungsi f(x) dapat ditulis sebagai : f ( x) = Selanjutnya Kita lihat nilai-nilai f(x) untuk x yang mendekati 3. Hasilnya tampak pada tabel berikut : x . 2,96 2,98 2,99 3 3,01 3,02 3,04 .. f(x) . 5,92 5,96 5,98 .. 6,01 6,02 6,04 . x 2 9 ( x 3)( x + 3) = = x+3 x3 ( x 3) untuk x = 3

Dari tabel di atas terlihat bahwa jika x semakin dekat ke 3, nilai f(x) semakin dekat ke 6. Jadi limit f(x) jika x mendekati 3 adalah sama dengan 6 atau ditulis dengan notasi. x2 9 =6 x 3 x 3 x3 Sebagai kesimpulan dari dua contoh di atas kita katakana bahwa : lim it f ( x) = lim it lim it f ( x) = Lx a

yang berarti nilai limit fungsi f(x) jika x mendekati a akan sama dengan L. Limit Fungsi Aljabar a. Jika variabelnya mendekati bilangan real maka cara penyelesaiannya sebagai berikut: 1. Langsung disubstitusikan asalkan hasilnya tidak bilangan tak tentu. 0 ~ , , ~~ ~ Contoh bilangan tak tentu : 0 2. Jika disubstitusikan menghasilkan bilangan tak tentu maka langkah-langkahnya : a). Difaktorkan

b). Disederhanakan c). Disubstitusikan Contoh Soal 2x 2 + 4x + 4 lim it 3x 2 1. x 2 Penyelesaian: 2 x 2 + 4 x + 4 2(2) 2 + 4( 2) + 4 20 lim it = = =5 x 2 3x 2 3(2) 2 4 Karena hasilnya bukan bilangan tak tentu maka : x 2 x 2 + 4x 5 lim it x 1 2. x 1 Penyelesaian x 2 + 4 x 5 12 + 4(1) 5 0 0 lim it = = x 1 x 1 1 1 0 Karena 0 (bentuk tak tentu) maka harus disederhanakan, difaktorkan sehingga diperoleh: x 2 + 4x 5 ( x + 5)( x 1) lim it = lim it = lim it ( x + 5) = 1 + 5 = 6 x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) 2 x + 4x 5 lim it =6 x 1 x 1 Jadi lim it 3.x 2

lim it

2x 2 + 4x + 4 =5 3x 2

4 x2

3 x2 + 5 Penyelesaian : 4 x2 4 22 0 lim it = = x 2 3 x 2 + 5 3 22 + 5 0 Ternyata hasilnya bentuk tak tentu, maka langkah yang kita tempuh adalah menyederhanakan terlebih dahulu. 4 x2 4 x2 3 + x2 + 5 lim it = lim it . x 2 x2 3 x2 + 5 3 x2 + 5 3 + x2 + 5 ( 4 x 2 )(3 + x 2 + 5 ) x 2 9 x2 5 ( 4 x 2 )(3 + x 2 + 5 ) = lim it x 2 (4 x 2 ) = lim it = lim it 3 + x 2 + 5 = 3 + 2 2 + 5 = 3 + 3 = 6x 2

b. Jika variabelnya mendekati ~ (tak hingga) Untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati ~ maka caranya yaitu pembilang dan penyebut dibagi dengan variable pangkat tertinggi. Untuk setiap n bulat positif, maka : lim itx~

k =0 xn , k adalah konstanta

Contoh soal 2x 2 + 6x + 3 lim it 2 1. x ~ 4 x 5 x 7 Penyelesaian : 2x 2 6x 3 6 + 2 + 2 2+ + 2 x x = lim it lim it x 2 x x~ 4 x x~ 5 5x 7 4 2 2 2 x x x x 4x3 x 2 2 2. x ~ 5 x + 6 Penyelesaian : lim it

3 x2 = 2 + 0 + 0 = 2 = 1 7 400 4 2 2 x

4x 3 x 2 1 3 4 3 x = 4 =~ lim it x 2 x = lim it x~ 5 x x~ 5 6 0 6 + 3 + 3 3 x x x x (tidak ada limitnya) lim itx~

3.

10 x 2 + 4 x 5 5x 4 5

Penyelesaian : 10 x 2 4 x 5 + 4 4 x4 x x = 0+00 = 0 = 0 lim it 4 x~ 50 5 5x 5 4 4 x x Jadi secara umum apabila ada bentuk ax n + bx m + ..... + D x~ px r + qx s + .... + T maka ada tiga kemungkinan nilainya yaitu : a Jika n = r maka limit f(x) = p lim it n > r maka limit f(x) = ~ n < r maka limit f(x) = 0 SOAL SOAL 1.x 1

lim ( x 3 2 x 2 + 3 x 4) = ....

x 3 27 = .... 2. x 3 x 3 2x + 1 lim it 2 = ..... 3. x 3 x 3x + 4 lim it

4.

limx 0

x 2 2x = .... x x 1 x 1 = ....

lim 5.x 1

2x 2 4x + 7 = .... 2 6. x 4 x 5 2x 5 + 6x 7 lim = .... 2 7. x 10 x + 3 lim B. Limit Fungsi Trigonometri a. Limit Fungsi Trigonometri untuk x Mendekati Sudut Tertentu Pada limit fungsi trigonometri untuk x mendekati sudut tertentu, maka cara penyelesaiannya dengan disubstitusikan. Apabila hasilnya bilangan tak tentu, harus disederhanakan, difaktorkan terlibih dahulu. Contoh : sin x lim0 x 90 3 cos ( 4 x + ) 1. Penyelesaian : sin x sin 90 0 lim0 = x 90 3 cos ( 4 x + ) 3 cos (4(90 0 ) + 180 0 ) 1 1 1 = = = 0 3(1) 3 3 cos 180 sin x cos x lim x 4 1 tgx 2. Penyelesaian :

1 1 cos 2 2 0 4 4 = 2 2 = 11 0 1 tg 4 0 Karena hasilnya bentuk tak tentu yaitu 0 maka kita sederhanakan terlebih dahulu. sin x cos x sin x cos x sin x cos x lim = lim = lim x 4 x 4 x 4 cos x sin x sin x 1 tgx 1 cos x cos x cos xsin x cos x lim = x 1 tgx 4 sin sin x cos x sin x cos x = lim x 4 cos x sin x x 4 (sin x cos x ) cos x cos x cos x 1 = lim(sin x cos x). = lim( cos x) = cos = 2 x 4 sin x cos x x 4 4 2 = lim b. Limit Fungsi Trigonometri untuk x Mendekati 0 Rumus-rumusnya adalah sebagai berikut : x sin x lim = lim =1 x 0 sin x x 0 x a.

lim b. c.x 0

x tg x = lim =1 x 0 tg x x ax sin ax = lim =1 x 0 sin ax ax

limx 0

bx tg bx = lim =1 x 0 tg bx x 0 bx d. lim Contoh : x lim x 0 tg 3 x 1. Penyelesaian: x x 3 lim = lim . x 0 tg 3 x x 0 tg 3 x 3 3x 1 1 = lim = .1 = x 0 3 tg 3 x 3 3 lim 2.x 0

sin 7 x 3x

Penyelesaian: sin 7 x sin 7 x 7 lim = lim . x 0 x 0 3x 3x 7 7 sin 7 x 7 7 = lim . = .1 = x 0 3 7x 3 3 1 cos 2 x lim x 0 x2 3. Penyelesaian: 1 cos 2 x 1 (1 2 sin 2 x) lim = lim x 0 x 0 x2 x2 2 sin 2 x = lim x0 x2 sin x sin x = 2 lim . x 0 x x sin x sin x = 2 lim . lim = 2.1.1 = 2 x 0 x x 0 x Soal-soal latihan: lim 1. 2. 3.x 0

sin 5 x sin x 1 cos 2 x x sin x 2 tg 3 x sin 5 x

limx 0

limx 0

1 cos 2 x x2 4. x 0 sin x cos x lim x 450 1 sin 2 x 5. lim

6. 7. 8.

x 450

lim

cos 2 x cos x sin x

limx 0

x tg x 1 cos 2 x 1 + cos 2 x cos x

x 90

lim0

TURUNAN FUNGSI 1. Pengertian Turunan Fungsi dy Misalkan y adalah fungsi dari x atau y= f(x). Turunan fungsi y terhadap x dinotasikan dengan dx atau y atau f(x) didefinisikan sebagai: f ( x + h) f ( x ) h f(x) = lim 0 x Contoh: Carilah f(x) dari fungsi f(x) = x2-5x+6 Jawab: f ( x + h) f ( x ) h f(x) = lim 0 x {( x + h) 2 5( x + h) + 6} {x 2 5 x + 6} h = lim 0 x h 2 + 2 xh 5h h = lim 0 x h 2 + 2 xh 5h h = lim = lim (h+2x-5) x0 =2x-5 2. Rumus-rumus Turunan Fungsi a. y = k y = 0 b. y = x y = 1 (k= konstanta bilangan real)

c. y = a Xn y = anXn-1 d. y = u(x) v(x) y = u(x) v(x) e. y = u(x) . v(x) y = u(x).v(x) u(x).v(x) u ( x) u ' ( x).v( x) u ( x).v' ( x) v 2 ( x) f. y = v( x) y =

g. y = { u(x) }n y = n {u(x)}n-1.u(x) Contoh-contoh soal: Carialah turunan dari setiap fungsi dibawah ini 1. 3. Turunan fungsi Trigonometri a. y = sin x y = cos x b. y = cos x y = - sin x c. y = tan x y = sec2x 8. Persamaan Garis Singgung Kurva a. Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1,y1) y y1= m ( x x1) dengan m = f(x1) b. Persamaan garis melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) y y1 = m (x x1) y2 y1 dengan m = x2 x1 Contoh: Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x2- 5x + 6 di x = 2 Jawab: f(x) = x2- 5x + 6 f(x) = 2x 5 jadi gradiennya m = f(x1) = f(2) = 2.2 5 = -1 9. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Suatu fungsi f(x): a. Naik jika f(x) > 0 b. Turun jika f(x) < 0

Contoh: Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f(x) = x2-5x +6 Tentukan interval-interval agar f(x): a. Naik b. Turun Jawab: f (x) = x2- 5x + 6 f(x) = 2x -5 a. Fungsi naik jika f(x) > 0 2x 5 > 0 2x >5 x > 2,5 b. Fungsi turun jika f(x) < 0 2x 5 < 0 2x < 5 x < 2,5 10. Nilai-nilai Stasioner a. Pengertian nilai Stasioner Jika fungsi y = f(x) stationer jika f(x) = 0 Contoh:

Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = 2x3-15x2+36x-10 Jawab: f(x) = 2x3-15x2+36x-10 f(x) = 6x2-30x +36 stasioner jika f(x) = 0 6x2-30x + 36 = 0 x2 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 x1=2 atau x2=3 untuk x1=2 maka f(2) = 18 untuk x2=3 maka f(3) = 17 b. Jenis-jenis nilai Stasioner Jenis-jenis grafiknya: Maximum jika f(x) < 0 Minimum jika f(x) > 0 Titik belok jika F = 0 Contoh: Tentukan nilai stasioner dan jenisnya f(x) = x3- 6x2+9x+1 Jawab: f(x) = x3- 6x2+9x+1 f(x) = 3x2 -12x + 9 Stasioner jika f(x) = 0 3x2 -12x + 9 = 0 x2- 4x + 3 = 0 (x 1)(x 3) = 0 x1 = 1 atau x2 = 3 Untuk x1 = 1 maka f(1) = 5 Untuk x2 = 3 maka f(3) = 1 Jenisnya: f(1) = -6 < 0 maximum f(3) = 6 > 0 minimum Nilai maksimum atau nilai minimum didapat dari nilai stasioner (nilai balik maksimum atau nilai balik minimum). Apabila y adalah fungsi x dan akan dicari nilai maksimum atau nilai minimum dari y tersebut, maka syarat cukupnya adalah: dy =0 y = 0 atau dx Contoh: Diketahui jumlah dua buah bilangan sama dengan 150. Jika perkalian salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan yang lainnya mencapai nilai maksimum, tentukanlah: a. bilangan-bilangan itu. b. nilai maksimum bilangan itu Jawab: a. Misalkan salah satu bilangan itu x, maka bilangan yang lainnya adalah (150 x).Perkalian salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan yang lainnya dapat dirumuskan dengan: K = (150 x) x2 = 150x2 x3 dK =0 Nilai stasioner dari K diperoleh jika dx , didapat: 300x 3x2 = 0 3x2 300x = 0 3x ( x 100) = 0 x = 0 atau x = 100 1 2 Nilai x yang menyebabkan K maksimum adalah x = 100 Jadi bilangan-bilangan itu adalah 100 dan (150 100) = 50 b. Nilai K yang maksimum diperoleh dengan subtitusi x = 100, didapat:

Kmaks= (150 100)(100)2 = 500.000 Jadi nilai maksimum itu sama dengan 500.000