teori graf

BAB 5 TEORI GRAF

Secara umum,…. Graf adalah suatu diagram yang

memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan

secara tepat.

Tujuannya adalah : sebagai visualisasi objek-objek

agar lebih mudah dimengerti.

Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk

menggambarkan berbagai macam struktur yang ada.

Contoh : struktur organisasi, bagan alir , peta,

rangkaian listrik, dan lain-lain.

Contoh :

KETUA

BENDAHARA

WAKIL 1 WAKIL 2

SEKRETARIS

WAKIL SEKRETARI

S

BANDUNG

JAKARTAMEDAN

5.1 DASAR - DASAR GRAF

DEFINISI :

Suatu graf G terdiri dari 2 himpunan yang berhingga,

yaitu himpunan titik-titik tidak kosong

(simbolV(G)) dan himpunan garis-garis (symbol

E(G)).

Setiap garis berhubungan dengan satu atau duatitik. Titik tsb dinamakan Titik Ujung.

Garis yang hanya berhubungan dengan satu titikdisebut Loop.

Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yangsama disebut Garis Paralel.

Dua titik dikatakan berhubungan (adjacent) jikaada garis yang menghubungkan keduanya.

Titik yang tidak memiliki garis yang berhubungandengannya disebut Titik Terasing (Isolating Point)

Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak

memiliki garis) disebut Graf Kosong.

Graf Berarah / Directed Graph / Digraph

jika semua garisnya berarah.

Graf Tak Berarah / Undirected Graph jika

semua garisnya tidak berarah.

Kadang-kadang suatu Graf dinyatakan dengan

gambarnya. Panjang garis, kelengkungan garis serta

letak titik tidak berpengaruh dalam suatu graf.

Contoh 1:

Ada 7 kota (A,B,C,D,E,F dan G) yang beberapa diantaranya dapat dihubungkan secara langsung denganjalan darat. Hubungan-hubungan langsung yang dapatdilakukan adalah sebagai berikut :

A dengan B dan D

B dengan D

C dengan B

E dengan F

Buatlah graf yang menunjukkan keadaan transportasidi 7 kota tersebut !

Pembahasan :

Asumsi : Misalkan kota-kota tersebut dianggapsebagai titik-titik.

Dua titik atau dua kota dihubungkan dengan garis jikadan hanya jika ada jalan yang menghubungkan langDuatitik atau dua kota dihubungkan dengan garis jika danhanya jika ada jalan yang menghubungkan langsungkedua kota tersebut. Maka, keadaan transportasi di 7kota dapat dinyatakan sbb :

•B •E

A• C •

• G

•D •F

Contoh 2:

Dalam graf G sebagai berikut :

e1

e2

e3

e4

e5

e5

V1 V4•

v5 • e6

e1 •v6

• •

Tentukanlah :

a.Himpunan titik-titik, himpunan garis-garis,

titik-titik ujung masing-masing garis, dan garis

parallel.

b.Loop dan titik terasing.

Pembahasan :

a.V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}

E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

Titik-titik ujung masing-masing garis adalah sebagai

berikut :

Garis Titik

Ujung

Garis Titik

Ujunge1 {v1, v2} e5 {v4, v5} e2 {v1, v2} e6 {v5}e3 {v1, v3} e7 {v3}

V2 V3

e3

e4

e2

e1

e7

e4 {v2, v3}

Garis paralel adalah e1 dan e2 yang keduanya

menghubungkan titik v1 dengan v2.

b. Loop adalah e6 dan e7, sedangkan titik terasing

adalah titik v6.

5.2GRAF TAK BERARAH ( Undirected Graph )

Definisi :

Graf Tak Berarah / Undirected Graph jika

semua garisnya tidak berarah.

5.2.1. Graf Bipartite

Definisi :

1)Graf Sederhana adalah graf yang tidak memiliki

loop atau pun garis paralel. Sebuah garis dalam

graf sederhana selalu berhubungan dengan 2 buah

titik.

2)Graf Lengkap adalah graf sederhana dengan n

titik(symbol Kn), dimana setiap 2 titik berbeda

dihubungkan dengan suatu garis.

Teorema :

Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan

n titik adalah n(n−1)2 buah.

Suatu graf G disebut Graf Bipartite apabila V(G)

merupakan gabungan dari 2 himpunan tak kosong V1

dan V2 dan setiap garis dalam G menghubungkan

suatu titik dalam V1 dengan titik dalam V2.

Suatu Graf disebut Graf Bipartite Lengkap apabila

dalam Graf Bipartite setiap titik dalam V1

berhubungan dengan setiaptitik dalam V2.

Jika V1 terdiri dari m titik dan V2 terdiri dari n

titik, maka Graf Bipartite Lengkapnya sering

diberi simbol : Km,n

Contoh : Lihat di papan tulis!!

5.2.2. Komplemen Graf

Definisi :

Komplemen suatu graf G (symbol Ḡ) dengan n titik

adalah suatu graf sederhana dengan kondisi sbb:

1.Titik-titik Ḡ sama dengan titik-titik G. Jadi,

V(Ḡ) = V(G)

2.Garis-garis Ḡ adalah komplemen garis-garis G

terhadap Graf Lengkapnya (Kn).

E (Ḡ) = E(Kn) - E(G)

Titik-titik yang dihubungkan dengan garis dalam G

tidak terhubung dalam Ḡ. Sebaliknya, titik-titik

yang terhubung dalam G menjadi tidak terhubung dalam

Ḡ.


5.2.3. Sub-Graf

Konsep subgraf sama dengan konsep himpunan

bagian. Dalam teori himpunan, himpunan A

dikatakan merupakan himpunan bagian B bila dan

hanya bila setiap anggota A merupakan anggota B.

Oleh karena graf merupakan himpunan yang terdiri

dari titik dan garis, maka H dikatakan subgraf G

jika semua titik dan garis H juga merupakan titik

dan garis dalam G.

Definisi :

Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan

subgraf G bila dan hanya bila:

a. V(H) ⫃ V(G)

b. E(H) ⫃ E(G)

c. Setiap garis dalam H memiliki titik ujung yang

sama dengan garis

tersebut dalam G.

Dari Definisi di atas dapat diturunkan sbb:

1) Sebuah titik dalam G merupakan subgraf G.

2)Sebuah garis dalam G bersama-sama dengan titik-

titik ujungnya merupakan subgraf G.

3)Setiap graf merupakan subgraf dari dirinya

sendiri.

4)Dalam subgraf berlaku sifat transitif : Jika H

adalah subgraf G dan G adalah subgraf K, maka H

adalah subgraf K.


5.2.4. Derajat (Degree)

Definisi :

Misalkan v adalah titik dalam suatu Graf G.

Derajat titk v ( simbolnya : d(v) ) adalah jumlah

garis yang berhubungan dengan titik v dan garis

suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G

adalah jumlah derajat semua titik dalam G.

Teorema 1: Derajat Total suatu graf selalu genap

Teorema 2: Dalam sembarang graf, jumlah titik yang

berderajat ganjil adalah genap.


5.2.5. Path dan Sirkuit

Definisi :

Misalkan G adalah suatu graf. Misalkan pula v dan w

adalah 2 titik dalam G.

Suatu Walk dari v ke w adalah barisan titik-titik

berhubungan dan garis secara berselang-seling,

diawali dari titik v dan diakhiri pada titik w.

Walk dengan panjang n dari v ke w dituliskan sebagai

: v0 e1 v1 e2 v2 . . . vn-1 en vn dengan v0=v ; vn = w ;

vi-1 ; dan v1 adalah titik-titi ujung garis e1.

Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v

ke w yang semua garisnya berbeda. Path dari v ke w

dituliskan sebagai : v = v0 e1 v1 e2 v2 …vn-1 en vn=w

dengan ei ≠ ej untuk i ≠ j.

Path sederhana dengan panjang n dari v ke w adalah

Path dari v ke w yang semua titiknya berbeda. Path

sederhana dari v ke w dituliskan sebagai : v = v0 e1

v1 e2 v2 …vn-1 en vn=w dengan ei ≠ ej untuk i ≠ j dan vk ≠

vm untuk k ≠ m.

Sirkuit dengan panjang n adalah Path yang dimulai

dan diakhiri pada titik yang sama. Sirkuit adalah

Path yang berbentuk : v0 e1 v1 e2 v2 . . . vn-1 en vn

dengan v0 = vn .

Sirkuit sederhana dengan panjang n adalah sirkuit

yang semua titiknya berbeda. Bentuknya : v0 e1 v1 e2

v2 … vn-1 en vn dengan ei ≠ ej untuk i ≠ j dan vk ≠ vm

untuk k ≠ m, kecuali v0 = vn.


5.2.6. Sirkuit Euler

Definisi :

Misalkan G adalah suatu graf. Sirkuit Euler G adalah

sirkuit dimana setiap titik dalam G muncul paling

sedikit sekali dan setiap garis dalam G muncul tepat

satu kali.

5.2.7. Graf Terhubung dan Tidak Terhubung

Definisi :

Misalkan G adalah suatu graf.

Dua titik v dan w dalam G dikatakan terhubung jika

dan hanya jika ada walk dari v ke w.

Graf G dikatakan terhubung setiap 2

titik dalam G terhubung.

Graf G dikatakan tidak terhubung ada 2

titik dalam G yg tidak terhubung.

5.2.8. Sirkuit Hamilton

Definisi :

Suatu graf terhubung G disebut Sirkuit Hamilton bila

ada sirkuit yang mengunjungi setiap titiknya tepat

satu kali (kecuali titik awal = titik akhirnya).

5.2.9. Isomorfisma

Definisi :

Dua graf disebut isomorfis jika keduanya menunjukkan

”bentuk” yang sama.

Misalkan G adalah suatu graf dengan himpunan titik

V(G’) dan himpunan garis E(G’).

G’ adalah graf dengan himpunan titik V(G’) dan

himpunan garis e(G’).

G isomorfis dengan G’ ada korespondensi

satu-satu

g : V(G) → V(G’) dan

h : E(G) → E(G’)

sedemikian hingga :

( ∀ v,w ∈ V(G) dan e ∈ E(G))

v dan w adalah titik-titik ujung e g(v) dan

g(w) adalah titik-titik ujung h(e).

5.3 GRAF BERARAH ( Directed Graph / Digraph )

Graf Berarah / Directed Graph jika

semua garisnya berarah atau memiliki arah.

Definisi :

Suatu Graf Berarah G terdiri dari :

Himpunan titik-titik V(G) : {v1, v2,…},

Himpunan garis-garis E(G) : {e1, e2, …}, dan

Suatu fungsi ψ yang mengawankan setiap garis

dalam E(G) ke suatu pasangan berurutan titik

(vi,vj).

Jika ek = (vi,vj) adalah suatu garis dalam G, maka v1

disebut titik awal ek dan vj disebut titik akhir ek.

Arah garis adalah dari vi ke vj.

Jumlah garis yang keluar dari titik vi disebut derajat

keluar (out degree) titik vi dan disimbolkan dengan d+

(vi).

Jumlah garis yang menuju ke titik vi disebut derajat

masuk (in degree) titik vi dan disimbolkan dengan d-(vi).

Titik terasing adalah titik dalam G di mana derajat

keluar dan derajat masuknya adalah 0.

Titik pendan adalah titik dalam G di mana jumlah

derajat masuk dan derajat keluarnya = 1.

Dua garis berarah dikatakan paralel jika keduanya

memiliki titik awal dan titik akhir yang sama.


5.3.1. Path Berarah dan Sirkuit Berarah

Definisi :

Pengertian walk, path, sirkuit dalam graf berarah

sama dengan walk, path dan sirkuit dalam graf tak

berarah. Hanya saja dalam graf berarah, perjalanan

yag dilakukan harus mengikuti arah garis.

Untuk membedakannya dengan graf tak berarah maka pada

graf berarah menjadi walk berarah, path berarah, dan

sirkuit berarah.

Suatu graf berarah yang tidak memuat sirkuit

berarah disebut Asiklik.


5.3.2. Graf Berarah Terhubung

Suatu Graf tak berarah disebut terhubung jika ada

walk yang menghubungkan setiap 2 titiknya. Pengertian

itu juga berlaku bagi graf berarah.

Berdasarkan arah garisnya, graf berarah dikenal 2

jenis keterhubungan,yaitu:

1)Tehubung kuat, dan

2)Terhubung lemah

Definisi :

Misalkan G adalah suatu graf berarah dan v,w

adalah sembarang 2 titik dalam G.

G disebut terhubung kuat jika ada path berarah

dari v ke w.

G disebut terhubung lemah, jika G tidak

terhubung kuat, tetapi graf tak berarah yang

bersesuaian dengan G terhubung.


5.3.3. Isomorfisma dalam Graf Berarah

Definisi :

Pengertian isomorfisma dalam graf berarah sama

dengan isomorfisma pada graf tak berarah. Hanya saja

pada isomorfisma graf berarah, korespondensi dibuat

dengan memerhatikan arah garis.


LATIHAN / SOAL / TUGAS

teori graf

Documents

Transcript of teori graf