rainbow connection number pada amalgamasi graf

RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA AMALGAMASI GRAF

PRISMA 𝑷𝒎,𝟐

SKRIPSI

Rizki Hafri Yandera

11140940000032

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2018 M / 1439 H

i

RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA AMALGAMASI GRAF

PRISMA 𝑷𝒎,𝟐

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

Fakultas Sains dan Teknologi

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S. Mat)

Oleh :

Rizki Hafri Yandera

NIM 11140940000032

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2019 M / 1440 H

ii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-

BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN

SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI

ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, 28 Januari 2019

Rizki Hafri Yandera

NIM. 11140940000032

iii

LEMBAR PENGESAHAN

Skripsi ini berjudul “Rainbow Connection Number Pada Amalgamasi Graf

Prisma 𝑷𝒎,𝟐” yang ditulis oleh Rizki Hafri Yandera NIM. 11140940000032 telah

diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Senin, 28 Januari

2019. Skripsi ini telah diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam

memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Studi Matematika.

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Yanne Irene, M. Si Wisnu Aribowo, M. Si

NIP. 19741231 200501 2 018

Penguji I Penguji II

Dr. Nur Inayah, M. Si Muhaza Liebenlito,M.Si

NIP. 19740125 200312 2 001 NIDN. 2003098802

Mengetahui,

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ketua Program Studi Matematika

Dr. Agus Salim, M. Si Dr. Nina Fitriyati, M. Kom

NIP. 19720816 199903 1 003 NIP. 19760414 200604 2 001

iv

PERSEMBAHAN DAN MOTTO

“Sebaik-baiknya manusia adalah yang bermanfaat bagi orang lain”

Untuk Ayahanda dan Ibunda Tercinta

Indera Wahyu dan Sohar Dahmiyanti

dan

Kedua kakak terhebat

Annisa Eka Yandera & Teldy Dwi Yandera

v

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala

limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

penyusunan skripsi ini dengan judul “Rainbow Connection Number Pada

Amalgamasi Graf Prisma 𝑷𝒎,𝟐” dapat terselesaikan dengan baik. Penyusunan

skripsi ini adalah salah satu tugas wajib bagi penulis sebagai persyaratan untuk

memperoleh gelar sarjana matematika (S. Mat). Harapan peneliti semoga skripsi

ini membantu menambah wawasan bagi para pembaca.

Peneliti menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena

dukungan dan bantuan dari beberapa pihak. Untuk itu, pada kesempatan ini

penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada :

1. Dr. Agus Salim, M. Si., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Dr. Nina Fitriyati, M. Kom., selaku Ketua Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif

Hidayatullah Jakarta. Serta telah membantu penulis sehingga penulisan

skripsi ini bias selesai.

3. Muhaza Liebenlito, M. Si., selaku Sekretaris Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif

Hidayatullah Jakarta, dan juga sebagai penguji II yang telah memberikan

kritikan yang membuat penulis menjadi semakin semangat dalam

mengerjakan skripsi ini.

4. Yanne Irene, M. Si., selaku Pembimbing I yang selalu mengarahkan dan

memotivasi penulis dalam mengerjakan skripsi ini sehingga skripsi ini

dapat terselesaikan.

vi

5. Wisnu Aribowo, M. Si., selaku pembimbing II yang sangat banyak

membantu penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.

Semoga Bapak diberikan kesehatan dan kemudahan dalam segala hal.

6. Nur Inayah, M. Si., selaku Penguji I, terima kasih atas pembelajaran,

pengarahan dan sarannya kepada penulis selama melakukan penyusunan

skripsi ini.

7. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah

memberikan ilmu-ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat.

8. Ayah dan Bunda Tercinta yang selalu mengharapkan dan mendoakan

penulis untuk selalu lebih baik. Semoga Ayah dan Bunda diberikan pahala

yang berlipat ganda oleh Tuhan

9. Kedua kakak penulis, Anisa Yandera dan Teldy Yandera yang sangat hebat

dalam hal nya masing-masing dan selalu memberikan nasihat kepada

penulis sampai dengan saat ini.

10. Seluruh teman-teman matematika 2014 (finex family), terutama

temanteman yang berjuang bersama-sama di semester 9

11. Keluarga besar HIMATIKA UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang

memberikan banyak pengalaman kepada penulis.

12. Keluarga besar DEMA FST UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang juga

menjadi keluarga baru bgi penulis.

13. Teman-teman skripsinisasi, Ical, Dhika, Redno, Titik, dan Ajiz yang

merelakan waktu luangnya dengan organisasi.

14. Ika dan Aisyah yang selalu membantu penulis dalam segala hal dalam

kehidupan penulis sebagai mahasiswa.

15. Abang-abang Futsal Himatika, terutama Bang Ipeng yang selalu menjadi

mentor bagi penulis.

16. Fauziah Larasati yang selalu menemani penulis.

17. Kak Cynthia yang membuat penulis mendapatkan ide skripsi ini.

18. Seluruh pihak yang sudah membantu penulis dalam mengerjakan

penyusunan skripsi ini yang tanpa mengurangi rasa hormat penulis tidak

dapat sebutkan satu-persatu.

vii

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak

kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang. Terakhir, penulis

berharap semoga penyusunan skripsi ini dapat bermanfaat.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Jakarta, 28 Januari 2019

Penulis

viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Rizki Hafri Yandera

NIM : 11140940000032

Program Studi : Matematika

Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya menyetujui untuk memberikan

Hak Bebas Royalti Non – Eksklusif (Non-Exclusive – Free Right) kepada

Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif

Hidayatullah Jakarta atas karya ilmiah saya yang berjudul :

“Rainbow Connection Number Pada Amalgamasi Graf Prisma 𝑷𝒎,𝟐”

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan Hak Bebas Royalti Non -

Eksklusif ini, Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN

Syarif Hidayatullah Jakarta berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data (database), mendistribusikannya, dan

menampilkan/mempublikasikannya di internet dan media lain untuk kepentingan

akademis tanpa perlu meminta izin dari saya selama tetap mencantumkan nama

saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Segala bentuk

tuntutan hukum yang timbul atas pelanggaran Hak Cipta karya ilmiah ini menjadi

tanggungjawab saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Tangerang Selatan

Pada tanggal : 28 Januari 2019

Yang membuat pernyataan,

Rizki Hafri Yandera

ix

ABSTRAK

Rizki Hafri Yandera, Rainbow Connection Number Pada Amalgamasi Graf

Prisma 𝑃𝑚,2, di bawah bimbingan Yanne Irene, M.Si dan Wisnu Aribowo, M.Si.

Misal 𝐺 adalah graf terhubung non trivial. Bilangan asli terkecil 𝑘

sedemikian sehingga 𝐺 memiliki rainbow-𝑘-coloring merupakan rainbow

connection number bagi 𝐺, dinotasikan dengan 𝑟𝑐(𝐺). Untuk t ∈ N and t ≥ 2,

maka {𝑃(𝑚,2)𝑖|𝑖∈ (1,2,.....,t} , m ≥ 3} adalah kumpulan graf prisma yang memiliki

titik tertentu yg disebut terminal. Amalgamasi graf prisma biasa di notasikan

dengan 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2 ) dengan m ≥ 3 maka 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚 ,2 )) akan membentuk

suatu pola dan penelitian ini bertujuan untuk menemukan pola dari graf tersebut.

Hasil dari penelitian ini adalah (𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉ , 𝑡 ≥ 2 𝑑𝑎𝑛 𝑚 ≥ 3 .

Kata Kunci : Pewarnaan pelangi. Amalgamasi graf, Graf Prisma

x

ABSTRACT

Rizki Hafri Yandera, Rainbow Connection Number On Amalgamation of Prism

Graph 𝑃𝑚,2, under the guidance of Yanne Irene, M.Si and Wisnu Aribowo,

M.Si

Let 𝐺 is a nontrivial connected graf. The minimum natural number 𝑘 of 𝑘-

edge coloring graph 𝐺 is rainbow connection number of 𝐺, denoted by 𝑟𝑐(𝐺). For t

∈ N and t ≥ 2, let (𝑃(𝑚,2)𝑖|𝑖∈ (1,2,.....,t) , m ≥ 3} is a collection of prism graph that

has a fixed vertex v called a terminal. The Amalgamation prism graph denoted by

𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚 ,2) ) with m ≥ 3. We figured that 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)) forms a particular

pattern and this research aims to find the formula of such pattern. The result of

this research is (𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉ , 𝑡 ≥ 2 𝑑𝑎𝑛 𝑚 ≥ 3 .

.

Keywords : Rainbow Coloring, Amalgamation of Graph, Prism Graph

xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

PERNYATAAN ................................................................................................. ii

LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iii

PERSEMBAHAN DAN MOTTO .................................................................... iv

KATA PENGANTAR ........................................................................................ v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN................................................ viii

ABSTRAK ......................................................................................................... ix

ABSTRACT ....................................................................................................... x

DAFTAR ISI ..................................................................................................... xi

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

1.1. Latar Belakang ................................................................................................1

1.2. Perumusan Masalah .........................................................................................2

1.3. Tujuan Penelitian ............................................................................................2

1.4. Batasan Masalah..............................................................................................2

1.5. Manfaat Penelitian ...........................................................................................2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................ 4

2.1. Terminologi Graf.............................................................................................4

2.2. Operasi Biner pada Graf ..................................................................................6

2.3. Graf Prisma .....................................................................................................8

2.4. Rainbow Connection .......................................................................................9

BAB III Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma 𝑷𝒎,𝟐

.......................................................................................................................... 11

3.1. Diameter Amalgamasi Graf Prisma 𝑃𝑚,2 ....................................................... 11

3.2. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma 𝑃3,2 ................. 14

3.3. Rainbow Connection Number 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2) ................................................... 14

3.4. Ilustrasi Hasil untuk m = 4,5,6,7 ................................................................... 17

3.4.1. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma 𝑃4,2.................. 17

3.4.2. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma 𝑃5,2 ................. 18

xii



BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 20

4.1. Kesimpulan ................................................................................................... 20

4.2. Saran ............................................................................................................. 20

REFERENSI .................................................................................................... 21

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Graf dengan order 4 dan size 4 ....................................................... 4

Gambar 2.2. Graf Lengkap ................................................................................. 5

Gambar 2.3. Graf Lingkaran ............................................................................... 5

Gambar 2.4. Graf Teratur berderajat 3 ................................................................ 7

Gambar 2.5. Contoh graf hasil operasi cartesian ................................................. 7

Gambar 2.6. Contoh Amalgamasi Graf ............................................................... 8

Gambar 2.7. Graf Prisma 𝑃3,2 ............................................................................. 9

Gambar 2.8. Pewarnaan rainbow dari graf 𝐶4 ..................................................... 9

Gambar 3.1. Gambar 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐶m) ...................................................................... 11

Gambar 3.2. Diameter graf prisma .................................................................... 12

Gambar 3.3. Diameter graf 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)), untuk 𝑡 = 2 ................................... 13

Gambar 3.4. 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃3,2)), untuk 𝑡 = 3 ...................................................... 14

Gambar 3.5. Perubahan sisi ganjil ke sisi genap ................................................ 16

Gambar 3.6. Perubahan sisi genap ke sisi ganjil ................................................ 15




Gambar 3. 10. 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃7,2)), untuk 𝑡 = 3 ................................................... 19

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Teori Graf yang merupakan cabang ilmu matematika yang cukup popular.

Leonhard Euler [2], menemukan solusi untuk permasalahan jembatan Konigsberg

merupakan asal mula munculnya teori graf. Dari permasalahan jembatan

konigsberg dapat dilihat seberapa besar manfaat dari teori graf untuk orang

banyak sesuai dengan hadist yang berbunyi “sebaik-baiknya manusia adalah yang

bermanfaat bagi orang lain (H.R. Ahmad)”. Teori graf pun mempunyai banyak

cabang di dalamnya dari seperti pelabelan dan pewarnaan dan masih banyak lagi.

Rainbow connection number adalah salah satu jenis pewarnaan graf yang cukup

menarik untuk dibahas, rainbow connection number merupakan jenis pewarnaan

yang cukup unik karena membutuhkan warna yang berbeda-beda untuk mewarnai

sisi graf. Rainbow connection number juga bisa dibilang adalah hal yang sudah

sangat banyak dibahas, terlihat dari banyaknya jurnal yang sudah banyak

membahas tentang topik ini. Charttrand dkk [1] pertama kali mengenalkan

rainbow connection number di tahun 2008.

Misal G adalah graf terhubung tak trivial yang terdefinisi pada sebuah

pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸(𝐺) → {1,2, … , 𝑘}, 𝑘 ∈ 𝑁 dimana sisi pada 𝐺 yang bertetangga

bisa diwarnai sama. Pewarnaan 𝑐: 𝐸(𝐺) → {1,2, … , 𝑘}, 𝑘 ∈ 𝑁 disebut rainbow

coloring di graf 𝐺 jika graf 𝐺 merupakan rainbow connected, yaitu untuk setiap

dua titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺 mengandung lintasan 𝑢𝑣 rainbow. Jika telah digunakan 𝑘

warna, maka 𝑐: 𝐸(𝐺) → {1,2, … , 𝑘}, 𝑘 ∈ 𝑁 adalah rainbow-k-coloring graf

𝐺 merupakan rainbow connection number pada graf G dan dinotasikan dengan

𝑟𝑐(𝐺) [10].

Charttrand, dkk [1] untuk pertama kali memperkenalkan Rainbow

connection pada tahun 2008, mereka menentukan rainbow connection number

pada beberapa jenis graf khusus seperti graf roda, graf komplit k-partite graf

pohon dan graf cycle. Salman dan Irvania [7] pada tahun 2015 juga membahas

2

rainbow connection number untuk graf bunga (𝐶𝑚 , 𝐾𝑛). Setelah itu Darmawan [3]

dalam penelitiannya membahas rainbow connection number pada beberapa graf

khusus. Kemudian Palupi dkk [10] dalam penelitiannya menentukan Rainbow

connection number pada amalgamasi graf prisma 𝑃3,2 yang hasilnya adalah

𝑟𝑐(𝐺) = 4. Kemudian penulis tertarik untuk meneliti tentang rainbow connection

number pada amalgamasi graf prisma 𝑃𝑚,2 untuk memperoleh teorema yang lebih

umum.

1.2. Perumusan Masalah

Dari latar belakang di atas permasalahan yang akan diteliti dalam penelitian

ini adalah bagaimana menentukan rainbow connection number pada amalgamasi

graf prisma 𝑃𝑚,2.

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penelitian ini adalah mendapatkan

rumus umum untuk jumlah rainbow connection number pada amalgamasi graf

prisma 𝑃𝑚,2 dan menunjukan bahwa jumlah tersebut akan sama dengan jumlah

diameternya.

1.4. Batasan Masalah

Penulis membatasi permasalahan yang akan di bahas dalam penelitian ini

sebagai berikut.

1. Graf yang digunakan adalah graf prisma 𝑃𝑚,2.

2. Operasi antar graf yang digunakan adalah amalgamasi pada graf.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat dalam melakukan penelitian ini adalah

1. Dapat menentukan rainbow connection number pada amalgamasi graf

prisma 𝑃𝑚,2.

3

2. Menambah wawasan penulis tentang teori graf terutama rainbow connection

number.

3. Sebagai acuan untuk dijadikan bahan penelitian lain.

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Terminologi Graf

Pada bab ini akan dibahas tentang terminologi graf dan teori-teori tentang

graf yang menjadi landasan penulis dalam melakukan penelitian ini. Rosen [5]

mengatakan sebuah graf 𝐺 terdiri dari 𝑉 suatu himpunan tak kosong yang terdiri

dari titik-titik pada graf 𝐺 dan 𝐸 merupakan sebuah himpunan yang terdiri dari

sisi-sisi pada graf 𝐺. Setiap sisi memiliki satu atau dua titik yang berhubungan,

yang disebut titik ujung. Himpunan 𝑉(𝐺) disebut himpunan titik di 𝐺 dan

himpunan 𝐸(𝐺) adalah sisi di 𝐺. Suatu graf disebut Graf trivial jika terdapat

sebuah graf yang minimal memiliki satu buah titik dan tidak memiliki sisi.

Banyaknya titik di sebuah graf disebut order dinyatakan atau dituliskan dengan

|𝑉(𝐺)| dan banyaknya sisi di sebuah graf disebut size dinyatakan atau dituliskan

dengan |𝐸(𝐺)|. Setiap graf akan memiliki sisi yang menghubungkan titik-titik

atau biasa di sebut lintasan artinya lintasan akan terdiri dari barisan dar sisi dan

titik yang saling bergantian, dinotasikan dengan 𝑣𝑖𝑣𝑗 dimana 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗𝜖 𝑉(𝐺) Graf 𝐺

disebut terhubung jika semua pasang titik-titik 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) membuat sebuah

lintasan. Jika terdapat 2 titik 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑣 dimana tidak terdapat lintasan 𝑢𝑣 pada graf

𝐺 maka disebut graf 𝐺 yang tidak terhubung atau disconnected.

Gambar 2.1. Graf dengan order 4 dan size 4

Misal 𝐺 sebuah graf dan 𝑢𝑣 sebuah sisi di 𝐺. Karena 𝑢𝑣 terdiri dari 2

anggota himpunan titik, maka dapat ditulis 𝑢𝑣 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑣𝑢. Jika 𝑒1 = 𝑢𝑣 termuat di

𝑢 𝑣

𝑥 𝑤

𝑒1

𝑒2

𝑒3

𝑒4

5

graf 𝐺, maka dapat dikatakan bahwa 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑣 adalah bertetangga di 𝐺, 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑣

juga bertetangga dengan lainnya.

Sugeng dkk mengelompokkan graf menjadi beberapa bagian [8]. Dan

berdasarkan ada tidaknya sisi pada graf terbagi 2, yaitu

1. Graf sederhana

Graf Sederhana adalah graf yang tidak memiliki sisi ganda maupun

loop. Graf sederhana juga terbagi dalam beberapa jenis, yaitu

a. Graf Lengkap

Graf Lengkap adalah graf yang setiap titiknya bertetangga. Jadi setiap

titik di graf tersebut saling terhubung.

Gambar 2.2. Graf Lengkap

b. Graf Lingkaran

Graf Lingkaran adalah graf yang setiap titiknya berderajat 2, dan

dinotasikan dengan 𝐶𝑚.

Gambar 2.3. Graf Lingkaran

c. Graf Teratur

Graf Teratur adalah graf yang semua titiknya memiliki derajat yang

sama atau biasa di sebut graf berderajat 𝑟.

6

Gambar 2.5. Graf Teratur berderajat 3

2. Graf tidak sederhana

Graf tidak sederhana adalah graf yang minimal satu dari sisinya

memiliki sisi ganda atau sisi gelang (loop). Graf yang memiliki sisi ganda

biasa disebut multigraph dan sisi gelang (loop) biasa di sebut graf semu

atau pseudograph.

Jarak pada graf dinotasikan dengan 𝑑( 𝑣1, 𝑣2 ) adalah jumlah lintasan yang

dilewati dari satu titik ke titik lainya dengan syarat jalur yang dilewati adalah jalur

terpendek. Misal pada Gambar 2.1.

𝑑(𝑢, 𝑣) = 1, 𝑑(𝑢, 𝑥) = 1, 𝑑(𝑢, 𝑤) = 2, 𝑑(𝑣, 𝑥) = 2, 𝑑(𝑣, 𝑤) = 1, 𝑑(𝑤, 𝑥) = 1 .

Diameter pada graf dinotasikan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺), adalah jarak maksimum dari

seluruh pasang titik di suatu graf. Berdasarkan gambar 2.1 diatas kita peroleh

jarak antar titik sebagai berikut 𝑑(𝑢, 𝑣) = 1, 𝑑(𝑢, 𝑥) = 1, 𝑑(𝑢, 𝑤) = 2, 𝑑(𝑣, 𝑥) =

2, 𝑑(𝑣, 𝑤) = 1,𝑑(𝑤, 𝑥) = 1 ,maka dapat kita simpulkan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) = 2.

2.2. Operasi Biner pada Graf

Kita dapat memperoleh graf baru dengan cara melakukan operasi pada dua

graf atau lebih. Berikut contoh dari operasi pada graf :

Definisi 2.5.1 Cartesian Product [9] dari dua graf sederhana G(V,E) dan H(W,F)

adalah graf sederhana G × H dengan himpunan titik V × W yang dua titik 𝑢 =

(𝑢1 , 𝑢2) dan 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2) bertetangga jika dan hanya jika 𝑢1 = 𝑣1 dan 𝑢2𝑣2 𝜖 𝐹

ataupun 𝑢2 = 𝑣2 dan 𝑢1𝑣1 𝜖 E.

7

Berikut diberikan ilustrasi operasi cartesian dari graf P3 dan P2. Misal G

adalah graf P3 dan H adalah graf P2. Operasi cartesian dari G dan H dinotasikan

dengan G × H.

G × H = {V(G) × V(H)}

= {(𝑢1, 𝑣1), (𝑢1, 𝑣2), (𝑢2, 𝑣1), (𝑢2, 𝑣2), (𝑢3, 𝑣1), (𝑢3, 𝑣2)}

Misalkan,

X1 = (𝑢1, 𝑣1) X2 = (𝑢1, 𝑣2)

X3 = (𝑢2, 𝑣1) X4 = (𝑢2, 𝑣2)

X5 = (𝑢3, 𝑣1) X6 = (𝑢3, 𝑣2)

Maka X1 , X2 bertetangga jika dan hanya jika 𝑢1 = 𝑢1 sedemikian sehingga

𝑣1𝑣2 𝜖 𝐹,

X3 , X4 bertetangga jika dan hanya jika 𝑢2 = 𝑢2 sedemikian sehingga 𝑣1𝑣2𝜖 𝐹,

X5 , X6 bertetangga jika dan hanya jika 𝑢3 = 𝑢3 sedemikian sehingga 𝑣1𝑣2 𝜖 𝐹,

X1 , X3 bertetangga jika dan hanya jika 𝑣1 = 𝑣1 sedemikian sehingga 𝑢1𝑢2 𝜖 𝐸,


X4 , X6 bertetangga jika dan hanya jika 𝑣2 = 𝑣2 sedemikian sehingga 𝑢2𝑣3 𝜖 𝐸 ,


Gambar 2.4. Contoh graf hasil operasi cartesian

Definisi 2.5.3 Amalgamasi [11] Misalkan {𝐺𝑖} sebagai sebuah kumpulan graf

berhingga dan setiap 𝐺𝑖 mempunyai sebuah titik tertentu 𝑣𝑜𝑖 yang disebut

8

terminal. Amal{𝐺𝑖,𝑣𝑜𝑖} dibentuk oleh semua 𝐺𝑖′𝑠 dengan seluruh titik terminalnya

direkatkan menjadi satu titik

Selanjutnya penulis akan mencoba mengilustrasikan definisi di atas.

Misalkan terdapat kumpulan graf 𝐺𝑖 sebarang 𝐺1, dan 𝐺2 pada gambar dibawah

ini. Misalkan 𝐻 ≅ 𝐴𝑚𝑎𝑙(𝐺𝑖 , 𝑣) degan menetapkan titik tetap 𝑣, maka hasil

amalgamasi dari dua buah graf sebagai berikut.

Gambar 2.5. Contoh Amalgamasi Graf

2.3. Graf Prisma

Graf prisma merupakan graf hasil produk cartesian 𝐶𝑚 × 𝑃𝑛 dari sebuah

cycle dengan 𝑚 titik dan sebuah lintasan dengan 𝑛 titik. Dinotasikan dengan 𝑃𝑚,𝑛.

𝑉 (𝑃𝑚,𝑛) = {𝑣𝑖 ,𝑗 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} adalah himpunan titiknya dan

himpunan sisinya 𝐸 (𝑃𝑚,𝑛) = {𝑣𝑖 ,𝑗 𝑣𝑖+1,𝑗 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1,1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} ∪

{𝑣𝑚 ,𝑗 𝑣1,𝑗 : 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} ∪ {𝑣𝑖,𝑗 𝑣𝑖 ,𝑗+1 ∶ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1}.

9

Gambar 2.6. Graf Prisma 𝑃3,2

2.4. Rainbow Connection

Pada subbab ini penulis akan membahas rainbow connection number yang

dibahas oleh Chartrand, dkk. [1]. Misal 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial.

Definisikan perwarnaan 𝑐 ∶ 𝐸 (𝐺) → {1,2, … . , 𝑘}, 𝑘 𝜖 𝑁 , dimana sisi pada 𝐺 yang

bertetangga dapat diwarnai sama. Sebuah lintasan 𝑃 di 𝐺 merupakan lintasan

rainbow jika tidak ada pengulangan warna. Lintasan 𝑢𝑣 disebut 𝑟𝑎𝑖𝑛𝑏𝑜𝑤 jika

terjadi lintasan pelangi yang menghubungkan 2 titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺. Jika sebuah

graf yang semua pasang titiknya terdapat lintasan 𝑢𝑣 𝑟𝑎𝑖𝑛𝑏𝑜𝑤 disebut rainbow

connected.

Penulis akan mengilustrasikan konsep diatas. Akan diberikan contoh

𝑟𝑎𝑖𝑛𝑏𝑜𝑤 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 pada graf 𝐶4, akan ditunjukan 𝑟𝑐(𝐶4) = 2.

Gambar 2.7. Pewarnaan rainbow dari graf 𝐶4

10

Teorema 2.6.2 [6] Untuk t ∈ N, t ≥ 2,misal {Gi, i∈ 1,2,….,t} adalah kumpulan

graf berhingga dan tiap Gi memiliki titik tetap v0i yang di sebut terminal. Jika G

adalah amalgamasi dari G1, G2, .... Gt, Amal (Gi, v01), maka

𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) ≤ 𝑟𝑐(𝐺) ≤ ∑ 𝑟𝑐(𝐺𝑖)𝑡𝑖=1

Bukti. Kita peroleh batas bawahnya adalah 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) ≤ 𝑟𝑐. Misal 𝑐𝑖 adalah

pelangi 𝑟𝑐(𝐺𝑖) − 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑜𝑓 𝐺𝑖. Maka sebuah pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸(𝐺) →

{ 1,2,3, … , ∑ 𝑟𝑐(𝐺𝑖)𝑡𝑖=1 } akan mengikuti

𝑐(𝐸) = {

𝑐1′ (𝑒), 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺1);

𝑐𝑞′ (𝑒) + ∑ 𝑟𝑐(𝐺𝑝)

𝑡

𝑖=1

, 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺𝑞), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑞 ∈ {2, 3, … 𝑡}

Kasus 1. 𝑢, 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺𝑗) untuk 𝑗 ∈ (1, 2, … , 𝑡)

Akan ada sebuah pewarnaan lintasan pelangi 𝑢𝑣 dengan pewarnaan 𝑐 sesuai

untuk pewarnaan 𝑐𝑗′.

Kasus 2. 𝑢 ∈ 𝑉(𝐺) dan 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺𝑘) untuk sebuah 𝑗 dan 𝑘 di {1,2,...,t} dengan 𝑗 ≠

𝑘.

Akan ada sebuah pewarnaan lintasan pelangi 𝑢𝑣 dan pewarnaan lintasan pelangi

𝑣𝑤 dengan pewarnaan 𝑐 sesuai dengan pewarnaan 𝑐𝑗′ dan 𝑐𝑘

′ , masing-masing,

dimana 𝑣 di identifikasi jembatan di 𝐺 sesuai dengan terminal 𝑣𝑜𝑖 di setiap

𝐺𝑖. Kita dapat temukan bahwa sebuah pewarnaan lintasan pelangi 𝑢𝑤

denganmengidentifikasi vertex 𝑣 di sebuah lintasan pelangi 𝑢𝑣 dan lintasan

pelangi 𝑣𝑤 karena kita menggunakan warna berbeda di 𝑉(𝐺𝑗)𝑑𝑎𝑛 𝑉(𝐺𝑘) dengan

pewarnaan 𝑐.

Jadi, 𝑐 adalah sebuah pewarnan pelangi, maka haruslah 𝑟𝑐(𝐺) ≤ ∑ 𝑟𝑐(𝐺𝑖)𝑡𝑖=1 .∎

11

BAB III

Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma 𝑷𝒎,𝟐

Dalam bab ini penulis akan menjabarkan percobaan yang telah dilakukan

untuk menentukan rainbow connection number pada amalgamasi Graf Prisma

𝑃(𝑚,2) dengan 𝑚 ≥ 3 sesuai dengan rumusan masalah yang sudah penulis tulis di

bab sebelumnya. Dengan mencantumkan hasil penelitian sebelumnya yaitu

rainbow connection number pada amalgamasi graf Prisma (𝑃(3,2)) kemudian

dilanjutkan dengan m yang terus bertambah untuk mendapatkan tujuan yang

sudah penulis sebutkan.

3.1. Diameter Amalgamasi Graf Prisma 𝑷𝒎,𝟐

Lemma 3.1.1 Misal graf 𝐶𝑚 adalah graf lingkaran dengan 𝑚 ≥ 3 maka

𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐶𝑚) = ⌈𝑚−1

2⌉

Bukti. Perhatikan

Gambar 3.1. Gambar 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐶𝑚)

Kasih eterangan warna

Pada graf 𝐶 nilai diameter tidak akan pernah melebihi separuh dari nilai

keliling ( 1

2𝑚 ) sehingga dapat ditulis

𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐶𝑚) = ⌈𝑚 − 1

2⌉ . ∎

12

Lemma 3.1.2 misal graf 𝑃𝑚,2 adalah graf Prisma dengan 𝑚 ≥ 3 maka

𝑑𝑖𝑎𝑚(𝑃𝑚,2) = ⌈𝑚+1

2⌉

Bukti. Graf 𝑃𝑚,2 adalah perkalian dari graf 𝐶𝑚 𝑥 𝑃2 sehingga jika

digambarkan hasil perkalian dari graf tersebut akan membentuk graf 𝐶 yang

berlapis 2 dan saling terhubung.

Perhatikan

Gambar 3.2. Diameter graf prisma

Dari gambar di atas dapat diketahui diameter graf Prisma adalah jarak dari 1

titik graf 𝐶 luar ke graf 𝐶 dalam sehingga membutuhkan tambahan 1 sisi dari

𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐶𝑚) yang kita peroleh dari Lemma 3.1.1 sehingga dapat di tulis

𝑑𝑖𝑎𝑚(𝑃𝑚,2) = ⌈𝑑𝑖𝑎𝑚 (𝐶𝑚) + 1⌉

= ⌈𝑚 − 1

2 + 1⌉

= ⌈𝑚 + 1

2⌉ . ∎

13

Lemma 3.1.3 misal graf 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2) adalah amalgamasi graf Prisma

dengan 𝑚 ≥ 3 maka 𝑑𝑖𝑎𝑚 (𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2 )) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉.

Bukti. Karena 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2) adalah kumpulan dari minimal dari 2 graf

prisma maka diameter dari graf ini adalah 2 × 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝑃𝑚,2).

Gambar 3.3. Diameter graf 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)), untuk 𝑡 = 2

Perhatikan

Diameter dari graf ini adalah 1 titik graf 𝐶 dalam pada A ke titik graf 𝐶

dalam pada B sehingga akan sama dengan 2 × 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝑃𝑚,2) yang telah

didapat dari Lemma 3.1.2 sehingga

𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚 ,2 ) = 2 × 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝑃𝑚 ,2 )

= 2 × ⌈𝑚 + 1

2⌉

= 2 ⌈𝑚 + 1

2⌉ . ∎

(𝑎)

(𝑏)

(𝑐)

14

3.2. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma 𝑷(𝟑,𝟐)

Gambar 3. 4. 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃3,2)), untuk 𝑡 = 3

Dari gambar di atas diperoleh 𝑟𝑐 (𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃(3,2))) = 4

Perhatikan bahwa besarnya nilait tidak akan mempengaruhi jumlah dari

rainbow connection number karena semua lintasan akan melewati titik terminal.

3.3. Rainbow Connection Number (𝑨𝒎𝒂𝒍𝒕(𝑷𝒎, 𝟐))

Berikut adalah hasil pewarnaan rainbow connection number pada

amalgamasi Graf prisma 𝑷𝒎,𝟐.

Teorema 3.3.1 Misalkan 𝑡 ≥ 2 dan G ≅ Amal(𝐺𝑖, 𝑣) untuk setiap i 𝜖 {1,2,3,...t},

dengan 𝐺𝑖 adalah graf prisma 𝑃𝑚,2 dengan 𝑚 ≥ 3.

Maka rc(G) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉.

Bukti. Akan ditunjukkan bahwa ada rainbow connection number dengan jumlah

2 ⌈𝑚+1

2⌉, karena 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2) = 2 ⌈

𝑚+1

2⌉ maka berdasarkan Teorema 2.6.2

maka haruslah 𝑟𝑐 (𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃(𝑚,2))) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉.

Definisikan fungsi proposisi

15

P(m) : rc(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉, m,t 𝜖 N , 𝑚 ≥ 3

Akan ditunjukkan bahwa P(m) benar untuk semua semua m 𝜖 𝑁 dengan m ≥ 3

melalui induksi matematika.

(i) Akan ditunjukkan P(3) benar

Berdasarkan Subbab 3.2 diketahui 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃3,2)) = 4

Perhatikan

𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃3,2)) = 2 ⌈3 + 1

2⌉

= 2 ⌈4

2⌉

= 2 ⌈2⌉

= 4

Jadi, P(3) benar

(ii) Anggap P(m) benar

(iii) Akan ditunjukkan P(m+1) benar

Karena m benar maka diketahui rc(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉

Kasus 1. m = 2p untuk sebarang p 𝜖 𝑁, 𝑝 ≥ 2

Diketahui 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃2𝑝,2)) = 2 ⌈2𝑝+1

2⌉ = 2𝑝 + 2 maka akan ditunjukan

bahwa 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃2𝑝+1,2)) = 2 ⌈2𝑝+1+1

2⌉ = 2𝑝 + 2

misalkan gambar berikut adalah pasangan sisi terjauh dari 𝑣.

Gambar 3.5. Perubahan sisi genap ke sisi ganjil

16

kemudian dari ilustrasi tersebut jelas bahwa tidak akan dibutuhkan warna

tambahan dan bila diperhatikan dari titik-titik yang baru dibentuk di

𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃2𝑝,2 ) bisa ditemukan lintasan ke titik-titik yang sudah ada tanpa

mengalami pengulangan warna, maka haruslah

𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃2𝑝+1,2)) = 2 ⌈2𝑝 + 1 + 1

2⌉ = 2𝑝 + 2

Kasus 2. m = (2p-1) untuk sebarang p 𝜖 𝑁, 𝑝 ≥ 3

maka diketahui rc(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃(2𝑝−1),2 )) = 2 ⌈(2𝑝−1)+1

2⌉ = 2p

Akan ditunjukkan bahwa rc(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃2𝑝,2 )) = 2 ⌈2𝑝+1

2⌉= 2p+2

misalkan gambar berikut adalah pasangan sisi terjauh dari 𝑣.

Gambar 3. 6. Perubahan sisi ganjil ke sisi genap

kemudian dari ilustrasi tersebut jelas bahwa akan dibutuhkan 2 warna

tambahan dan bila diperhatikan dari titik-titik yang baru dibentuk di

𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃2𝑝 ,2 ) bisa ditemukan lintasan ke titik-titik yang sudah ada tanpa

mengalami pengulangan warna, maka haruslah

𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃2𝑝,2)) = 2 ⌈2𝑝 + 1

2⌉ = 2𝑝 + 2

Berdasarkan (i),(ii), dan (iii) serta prinsip induksi matematika maka

rc(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉, m,t 𝜖 N , 𝑚 ≥ 3. ∎

17

Dari hasil Lemma 3.1.3 diperoleh 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉, m,t 𝜖 N ,

𝑚 ≥ 3 , dan dari Teorema 3.3.1 diperoleh rc(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2)) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉, m,t 𝜖 N ,

𝑚 ≥ 3.

3.4. Ilustrasi Hasil untuk 𝒎 = 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕

3.4.1. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma

𝑷(𝟒,𝟐)

Gambar 3.7. 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃4,2)), untuk 𝑡 = 3


18


𝑷(𝟓,𝟐)




𝑷(𝟔,𝟐)



19


𝑷(𝟕,𝟐)

Gambar 3. 10. 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃7,2)), untuk 𝑡 = 3


Sehingga dari sub bab 3.4. diperoleh:

𝑟𝑐 (𝐺(𝑃(3,2))) = 4

𝑟𝑐 (𝐺(𝑃(4,2))) = 6

𝑟𝑐 (𝐺(𝑃(5,2))) = 6

𝑟𝑐 (𝐺(𝑃(6,2))) = 8

𝑟𝑐 (𝐺(𝑃(7,2))) = 8

20

BAB IV

PENUTUP

4.1. Kesimpulan

Dari pembahasan yang sudah penulis lakukan maka diperoleh rumusan

umum dengan menggunakan teorema yang didapat untuk untuk mendapatkan

rainbow connection number pada amalgamasi graf prisma

𝑃𝑚,2 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑟𝑐(𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2 )) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉ , 𝑚 ≥ 3, 𝑚 ∈ 𝑁 dan diameter pada

𝐴𝑚𝑎𝑙𝑡(𝑃𝑚,2 ) = 2 ⌈𝑚+1

2⌉ , 𝑚 ≥ 3, 𝑚 ∈ 𝑁.

4.2. Saran

Beberapa masalah yang terbuka terkait dengan penelitian ini agar dapat lebih

berkembang, yaitu menentukan

1. Strong Rainbow Connection Number pada amalgamasi graf 𝑃𝑚,2

2. Rainbow connection dan Strong rainbow connection number pada

amalgamasi graf 𝑃3,𝑛

3. Rainbow connection dan Strong rainbow connection number pada

amalgamasi graf 𝑃𝑚,𝑛

21

REFERENSI

[1] Chartrand, dkk.(2008). Rainbow Connection in Graphs. Math Bohem

133(1):h.85-98

[2] Chartrand, dkk.(1993). Applied and Algoritmic Graph Theory. New York:

Mac Graw-Hill,inc.

[3] Darmawan, R. N. (2015), Analisis Rainbow Connection Number pada Graf

Khusus dan Hasil Operasinya. Thesis. Pascasarjana Universitas Jember

[4] Hardsfields, N., Rigel, G. (1994). Pearls in Graph Theory. London:

Accademic Press Limeted

[5] Rosen, K. H.(2012). Discrete Mathematics and Its Applications. New York:

Mac Graw-Hill, inc

[6] Salman, A. N. M. dan D.Fitriani. (2016). Rainbow Connection Number of

Amalgamation of Some Graphs. AKCE International J.Graph and

Combinatorics 13: h.90-99.

[7] Salman, A.N N. M. dan Kumala, I. (2015). The Rainbow Connection Number

of a Flower (𝐶𝑚 , 𝐾𝑛) Graph and a Flower (𝐶3, 𝐹𝑛) graph. Procedia Computer

Science h.74: h.168-172

[8] Sugeng, K. A., Slamet, S., Silaban, D. R.(2014). Teori Graf dan Aplikasinya.

Indonesia: Departemen Matematika Universitas Indonesia.

[9] Vilfred, V (2013). A theory of Cartesian Product and Factorization of

Circulant Graph. Hindawi Publishing Corporation 2013: h.1-10

[10] Palupi, C. D. R., dkk.(2018) On Rainbow Connection and Strong Rainbow

Connection Number from Amalgamation of Prism Graph 𝑃3,2. Journal Of

Physics: Conference Series, vol. 1008, no. 1..

[11] Inayah, N. ,dkk(2011), On (𝑎, 𝑑)-𝐻-antimagic coverings of graphs. The

Journal of Combinatorial Mathematics dan Combinatorial Computing 71,

273-281.

rainbow connection number pada amalgamasi graf

Documents

Transcript of rainbow connection number pada amalgamasi graf