Representasi graph

dan Isomorfisme graps

Anggia Murni (4131230002)

Anitaria Simanullang (4131230003)

Putri Oka Siahaan (4133230029)

Disusun Oleh:

Representasi Graph

Cara untuk merepresentasikan graph yang tidak mempunyai sisi ganda adalah dengan menggunakan daftar ketetanggaan, yang mengkhususkan simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di graph tersebut.

Contoh 1:gunakan daftar ketetanggaan (adjacency list) untuk mewakilkan graph sederhana berikut.

Daftar ketetanggaan dari graph sederhana di atas :

Simpul Simpul tetanggaa b, c, eb ac a, d ed c, ee a, c, d

Contoh 2:

Representasikan graph berarah berikut dengan mendaftar semua simpul terminal dan simpul inisial dari graph berarah berikut.

Daftar ketetanggaan untuk graph berarah di atas:Simpul inisial Simpul terminal

a b, c, d, eb b, dc a, ede b, c, d

Matriks ketetanggaan (adjacency matrix)Misalkan matriks sederhana dimana , dan v1 ,v2 , . . . , vn adalah simpul G, maka matriks ketetanggaan A=[ ]dari graph G tsb adalah:

Contoh:Gunakan matriks ketetanggaan untuk merepresentasikan graph berikut.

Solusi:

Matriks Insiden (matriks bersisian)Misalkan merupakan graph berarah, dimana v1 ,v2 , . . . , vn adalah simpul-simpulnya dan e1 ,e2 , . . . , em sisi-sisinya, maka matriks insiden berdasarkan pengurutan V dan E ini adalah matriks n x m, M = [mij ], dimana

Contoh 1

Representasikan graph berikut menggunakan matriks insiden

Solusi:

Contoh 2

Representasikan pseudograph berikut menggunakan matriks insiden.

Solusi:

Isomorfisme graph

Defenisi 1:Graph sederhana dan disebut isomorfiks jika terdapat fungsi satu-satu dan fungsi kepada dari ke dengan syarat a dan b tetangga (adjacent) di jika dan hanya jika f(a) dan f(b) juga tetangga di ,untuk semua a dan b di . Fungsi f ini disebut isomorfisme. 

Contoh:Tentukan apakah kedua graph berikut isomorfik atau tidak.

Solusi:Fungsi f dengan f(u1) = v1, f(u2 )= v4, f(u3 )= v3, f(u4 )= v2 merupakan korespondensi satu-satu. Untuk melihat apakah korespondensi ini mempertahankan kedekatan, misalkan simpul yang bertetangga di G adalah u1 dan u2 ,u1 dan u3 ,u2 dan u4 ,u3 dan u4 , dan masing-masing pasangan f(u1) = v1 dan f(u2 )= v4 , f(u1) = v1 dan f(u3 )= v3 , f(u2 )= v4 dan f(u4 )= v2 ,dan f(u3 )= v3 dan f(u4 )= v2 terdiri dari dua simpul bertetangga di H.

Contoh :Tentukanlah graph di bawah ini isomorfik atau tidak.

Solusi:Graph G dan H sama-sama memiliki lima simpul dan enam sisi, namun H memiliki satu simpul yang derajatnya 1, yakni e, sementara G tidak memiliki simpul yang berderajat 1. sehingga dapat disimpulkan G dan H tidak isomorfiks.

a)

b)

Solusi:Graf G dan H sama-sama memiliki delapan simpul dan sepuluh sisi, sama-sama memiliki empat simpul yang berderajat 2 dan empat simpul yang berderajat 3.Namun G dan H tidak isomorfik karena deg(a) = 2 di G, a harus cocok dengan simpul t, u, x, atau y di H, karena simpul-simpul ini sama-sama berderajat 2 di H. Namun, masing-masing simpul ini bertetangga dengan simpul lainnya yang berderajat 2 di H, sedangkan a di G tidak.

Untuk menunjukkan bahwa fungsi f merupakan sebuah isomorfisme, dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa matriks ketetanggaan G sama dengan matriks ketetanggaan H, ketika baris dan kolom dilabeli untuk mencocokkan gambar pada f dari simpul G yang merupakan label baris dan kolom pada matriks ketetanggaan G.

Contoh: tentukan apakah graph G dan H berikut ini isomorfiks

Solusi:Dengan menggunakan ketetanggaan simpul dan derajat , dapat ditentukan bayangan dari masing-masing simpul di G terhadap H. karena deg(u1) = 2 dan u1 tidak bertetangga ke simpul lainnya yang berderajat 2, bayangan u1 pastilah v4 atau v6 , simpul di H yang tidak bertetangga ke simpul berderajat 2. secara sembarang kita pilih f(u1 )= v6. karena u2 bertetangga dengan u1 ,bayangan yang mungkin adalah v3 dan v5. secara sembarang kita pilih f(u2 )= v3 . Dengan meneruskan cara ini, didapat f(u3 )= v4 , f(u4 )= v5 , f(u5 )= v1 , f(u6 )= v2 . Fungsi –fungsi tersebut merupakan fungsi satu-satu antara himpunan simpul di G dan himpunan simpul di H.

Matriks ketetanggaan G

matriks ketetanggaan H dengan baris dan kolom yang dilabeli bayangan simpul yang berhubungan di G.

Karena AG = AH , maka f menjaga sisi. Dapat disimpulkan bahwa f suatu isomorfisme, sehingga G dan H isomorfiks.