LIMIT FUNGSI DAN CARA PENGAJARANNYA · BEBERAPA FAKTA DI LAPANGAN • Limit fungsi merupakan topik...
Transcript of LIMIT FUNGSI DAN CARA PENGAJARANNYA · BEBERAPA FAKTA DI LAPANGAN • Limit fungsi merupakan topik...
LIMIT FUNGSI DAN CARA
PENGAJARANNYA
Oleh :Supama
Departemen MatematikaFMIPA UGM
Disampaikan dalam:Workshop Pembelajaran Analisis
Matematika dan SNAMA 2019Universitas Pelita Harapan, Jakarta
BEBERAPA FAKTA DI LAPANGAN
• Limit fungsi merupakan topik kunci bidang
analisis matematika.
• Pada umumnya, peserta didik tidak/kurang
memahami konsep limit.
• Limit fungsi merupakan salah topik bahasan
yang oleh sebagian besar pengajar dianggap
paling sulit dalam mengajarkannya.
• … dst.
PENTING UNTUK DIPAHAMI DAN
DIHAYATI
• Latar Belakang dan Motivasi,
• Pengertian limit fungsi,
• Sifat-sifat limit dan implementasinya.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
1. Menghitung luas lingkaran.
……. dst.
Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (n
polygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebut
berada pada lingkaran. Tentu dapat
dibayangkan bahwa apabila n “sangat besar”,
maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
2. Masalah penjumlahan:
4
3
4
1
2
1
8
7
8
1
4
1
2
1
16
15
16
1
8
1
4
1
2
1
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
………………..
………………….dst.
32
31
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
211
211
2
1
2
1...
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
n
n
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Apabila jumlahan dilakukan untuk n “sangat
besar”, maka hasil jumlahan akan “mendekati” 1.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
3. Masalah mekanika:
Seseorang berangkat ke tempat kerja menggunakan
sepeda motor, dari rumah pukul 07.00 sampai ke
tempat kerja pukul 07.30. Jarak rumah ke tempat
kerja 15 km. Orang tersebut mengendarai sepeda
motor dengan kecepatan rata-rata
km/jam3000.0730.07
15
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Secara umum, apabila pada pukul 07 lebih t menit,
orang tersebut telah menempuh jarak x km, maka
kecepatan rata-rata orang tersebut berkendaraan
adalah
km/jam.60
km/menitt
x
t
x
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
t
x
FUNGSI
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekalidijumpai adanya keterkaitan atau hubungan antarasatu obyek dengan obyek yang lain. Misalnya antarapedagang dan pembeli suatu barang, antara majikandan pelayan, antara bank dan nasabah, dst.
Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebutrelasi.
Secara sistemik, suatu relasi menggambarkanhubungan antara anggota dari suatu kumpulanobyek dengan anggota dari kumpulan obyek yang lain.
Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabilasetiap unsur dalam suatu kumpulan obyekmempunyai hubungan dengan tepat satu obyek darikumpulan yang lain, disebut fungsi.
FUNGSI
Secara matematis, pengertian fungsi diberikan
sebagai berikut:
Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasi
dari A ke B adalah suatu himpunan .
Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggota
A berelasi dengan tepat satu anggota B disebut
fungsi dari A ke B.
BAR
FUNGSI
Jika sebarang anggota A diwakili dengan
variabel x dan anggota B yang oleh fungsi f
berelasi dengan x adalah y, maka fungsi f biasa
diberikan dengan rumus
)(xfy
LIMIT FUNGSI
Dari beberapa gambaran sebagaimana
disampaikan pada Latar Belakang dan Motivasi
di atas, kiranya secara matematis dapat dibuat
rumusan umumnya:
“Apabila diberikan suatu fungsi f dengan rumus
y=f(x), maka berapa nilai y apabila x “sangat
dekat” dengan c?”
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa
contoh berikut.
LIMIT FUNGSI
Contoh 1. Diberikan . Berapa nilai
pada saat x “sangat dekat” dengan 0?
Jawab:
Nilai eksak yang menjadi jawaban pertanyaan di
atas tentu sulit ditentukan, bahkan tidak
mungkin. Mengapa demikian? Karena kita tidak
dapat memberikan kepastian nilai x yang
dimaksud.
Meskipun demikian, nilai pendekatan untuk
yang dimaksud bisa ditentukan. Perhatikan
tabel berikut.
1)( xxf )(xf
)(xf
LIMIT FUNGSI
x f(x) x f(x)
–1 0 1,24 2,24
–0,55 0,45 0.997 1,997
–0,125 0,875 0,00195 1,00195
–0,001 0,999 0,0000015 1,0000015
–0,000001 0,999999 0,000000001 1,000000001
… … … …
LIMIT FUNGSI
Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai x
semakin “dekat” dengan 0, maka akan
semakin “dekat” dengan 1.
CATATAN:
Adalah suatu kebetulan bahwa .
Dengan grafik, dapat digambarkan sebagai
berikut.
)(xf
1)0( f
LIMIT FUNGSI
Dari grafik dapat dilihat, apabila x “sangat
dekat” dengan 0, baik untuk x<0 maupun untuk
x>0, maka “sangat dekat” dengan 1.
1
)(xf
LIMIT FUNGSI
Contoh 2. Diberikan
Berapa nilai pada saat x “sangat dekat”
dengan 1?
Jawab:
Untuk kasus ini, jelas bahwa tidak ada
atau tak terdefinisi.
Yang menjadi pertanyaan, apakah hal itu
berakibat juga tidak ada untuk x “sangat
dekat” dengan 1?
1
1)(
2
x
xxg
)(xg
)1(g
)(xg
LIMIT FUNGSI
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu
menganalisanya dengan cermat.
Perhatikan bahwa untuk ,
(Dalam hal ini, kita definisikan ).
Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilai
g(x) dapat dilihat pada tabel berikut.
)(11
)1)(1(
1
1)(
2
xfxx
xx
x
xxg
1x
1)( xxf
1x
LIMIT FUNGSI
x g(x) x g(x)
0 1 1,24 2,24
0,557 1,557 1,0997 2,0997
0,799999 1,799999 1,00195 2,00195
0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015
0,999999999 1,999999999 1,000000001 2,000000001
… … … …
LIMIT FUNGSI
Dengan grafik, nilai g(x) untuk berbagai nilai x
yang “sangat dekat” dengan 1 dapat dilihat pada
gambar berikut.
1
2
LIMIT FUNGSI
Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik,
diperoleh bahwa semakin “dekat” nilai x dengan
1, maka nilai g(x) semakin “dekat” dengan 2.
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.
LIMIT FUNGSI
Contoh 3. Diberikan
Berapa nilai pada saat x “sangat dekat”
dengan 1?
1,1
1,1
1
)(
2
x
xx
x
xh
)(xh
LIMIT FUNGSI
Jawab:
Jelas bahwa . Muncul pertanyaan serupa
dengan pertanyaan pada Contoh 2, yaitu:
Apakah keadaan akan mengakibatkan
juga bernilai 1 ketika x “sangat dekat” dengan 1?
)(xh1)1( h
1)1( h
LIMIT FUNGSI
Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh 2,
untuk ,
(Dalam hal ini, kita definisikan ).
Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilai
h(x) dapat dilihat pada tabel berikut.
)(11
)1)(1(
1
1)(
2
xfxx
xx
x
xxh
1x
1)( xxf
1x
LIMIT FUNGSI
x h(x) x h(x)
0 1 1,24 2,24
0,557 1,557 1,0997 2,0997
0,799999 1,799999 1,00195 2,00195
0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015
0,999999999 1,999999999 1,000000001 2,000000001
… … … …
LIMIT FUNGSI
Dengan grafik, nilai h(x) untuk berbagai nilai x
yang “sangat dekat” dengan 1 dapat dilihat pada
gambar berikut.
1
2
LIMIT FUNGSI
LIMIT FUNGSI
Apabila nilai fungsi di 0 untuk Contoh 1 dan
nilai fungsi di 1 untuk Contoh 2 dan Contoh 3
tidak diperhatikan, maka ada kesamaan situasi
pada ke tiga contoh tersebut. Berturut-turut kita
katakan:
Limit f(x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1,
Limit g(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,
Limit h(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,
dan masing-masing ditulis dengan
2)(limdan,2)(lim,1)(lim110
xhxgxfxxx
LIMIT FUNGSI
Dengan demikian, dapat diturunkan definisi
limit fungsi secara formal, yaitu sebagai berikut.
Definisi 4. Fungsi f dikatakan mempunyai limit
L untuk x mendekati c, ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,
tetapi , berakibat f(x) “sangat dekat”
dengan L.
Lxfcx
)(lim
cx
LIMIT FUNGSI
Dalam bahasa matematika:
jika untuk setiap bilangan
terdapat bilangan sehingga untuk setiap
dengan berlaku:
lim ( )x c
f x L
0
0
( )x D f 0 x c
( )f x L
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(i)
(ii)
(iii) Jika dan ada, dan
maka:
(a)
(b)
)(lim xfcx
)(lim xgcx
kkcx
lim
cxcx
lim
Rk
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx
)(lim)(lim xfkxkfcxcx
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(c)
(d)
)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfcxcxcx
0)(limasalkan,)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
cx
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(e) untuk sebarang ,
.0)(limgenap,untukasalkan
,)(lim)(lim)3(
0)(limasalkan
,)(lim)(lim)2(
)(lim)(lim)1(
/1/1
xfn
xfxf
xf
xfxf
xfxf
cx
n
cx
n
cx
cx
n
cx
n
cx
n
cx
n
cx
Nn
CONTOH-CONTOH
1. Hitung .
Penyelesaian:
63lim 2
1
xx
x
261)1(3
61lim3
6)1(lim3
6limlim3lim63lim
2
2
1
2
1
11
2
1
2
1
x
x
xxxx
x
x
xxxx
CONTOH-CONTOH
2a. Hitung .
Penyelesaian:
3
152lim
2
2
x
xx
x
3
32
152.22
3limlim
15limlim2lim
3lim
152lim
3
152lim
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
xx
xxx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
CONTOH-CONTOH
Lxfcx
)(lim
cx
CONTOH-CONTOH
3. Hitung .
Penyelesaian:
Karena ,
maka penyelesaian sejalan dengan Contoh 2b.
1
23lim
2
2
1
x
xx
x
023limdan01lim 2
1
2
1
xxx
xx
Untuk ,
Oleh karena itu,
1
2
)1)(1(
)2)(1(
1
232
2
x
x
xx
xx
x
xx
2
1
11
21
)1(lim
)2(lim
1
2lim
1
23lim
1
1
12
2
1
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
1x
CONTOH-CONTOH
4. Hitung .
Penyelesaian:
15
1lim
2 xx
3
1
12.5
1
1limlim5
1
)15(lim
1
15
1lim
15
1lim
15
1lim
2/1
2/1
22
2/1
2
2/1
2
2/1
22
xxx
xxx
xx
xxx
CONTOH-CONTOH
5. Hitung .
Penyelesaian: (Sejalan dengan Contoh 2b)
2
35lim
2
2
x
x
x
3
2
39
22
35
2lim
352
22lim
352
95lim
35
35.
2
35lim
2
35lim
22
222
2
2
2
22
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
LIMIT SEARAH
Perkataan: (x mendekati c) mempunyai 2
kemungkinan pendekatan, yaitu
atau
Hal itu mendasari munculnya konsep limit searah,
yaitu: Limit Kiri dan Limit Kanan.
x c
,x c x c ,x c x c
LIMIT KIRI
Notasi:
Definisi:
jika untuk nilai x yang sangat “dekat”
dengan c, tetapi , berakibat f(x) “mendekati” L.
lim ( ) lim ( ) lim ( )x c x cx c
x c
f x L atau f x L atau f x L
lim ( )x c
f x L
x c
LIMIT KIRI
Dengan bahasa matematika:
jika untuk setiap bilangan
terdapat bilangan sehingga untuk setiap
dengan berlaku:
lim ( )x c
f x L
0
0 ( )x D f
c x c
( )f x L
LIMIT KANAN
Notasi:
Definisi:
jika untuk nilai x yang sangat “dekat”
dengan c, tetapi , berakibat f(x) “mendekati” L.
lim ( ) lim ( ) lim ( )x c x cx c
x c
f x L atau f x L atau f x L
lim ( )x c
f x L
x c
LIMIT KANAN
Dengan bahasa matematika:
jika untuk setiap bilangan
terdapat bilangan sehingga untuk setiap
dengan berlaku:
lim ( )x c
f x L
0
0 ( )x D f
c x c
( )f x L
SIFAT
ada jika dan hanya jika dan
keduanya ada dan = lim ( )x c
f x
lim ( )x c
f x
lim ( )x c
f x
lim ( )x c
f x
lim ( )x c
f x
LIMIT TAK HINGGA
Untuk , definisi limit dapat dituliskan
sebagai berikut.
Definisi 5. Fungsi f dikatakan mempunyai limit
L untuk x mendekati ∞ , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat besar tak
terbatas” arah positif berakibat f(x) “mendekati”
L.
Lxfx
)(lim
c
LIMIT TAK HINGGA
Untuk , definisi limit dapat dituliskan
sebagai berikut.
Definisi 6. Fungsi f dikatakan mempunyai limit
L untuk x mendekati ─∞ , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat besar tak
terbatas” arah negatif berakibat f(x) “mendekati”
L.
Lxfx
)(lim
c
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 7. Fungsi f dikatakan mempunyai limit
tak hingga untuk x mendekati c , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,
tetapi berakibat nilai f(x) menjadi “besar
tak terbatas” arah positif.
)(lim xfcx
cx
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 8. Fungsi f dikatakan mempunyai limit
negatif tak hingga untuk x mendekati c , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,
tetapi berakibat nilai f(x) menjadi “besar
tak terbatas” arah negatif.
)(lim xfcx
cx
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 9. Fungsi f dikatakan mempunyai limit
tak hingga untuk x mendekati tak hingga ,
ditulis
jika untuk nilai x yang “cukup besar” arah
positif, berakibat nilai f(x) menjadi “besar tak
terbatas” arah positif.
)(lim xfx
LIMIT TAK HINGGA
Untuk limit-limit
didefinisikan secara sama.
)(limdan,)(lim,)(lim xfxfxfxxx
LIMIT TAK HINGGA
Dari definisi-definisi di atas, mudah dipahami:
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
lim.601
lim.4
lim.501
lim.3
0untuk,1
lim.2
0untuk,1
lim.1
0
0
CONTOH-CONTOH
7lim)3(lim73lim.3
0
)1(,1
lim1
1lim.2
.11
lim)1(lim1
lim.1
2
2
0020
xxx
yx
xxx
xxxx
xyyx
xx
x
x
CONTOH-CONTOH
1. Hitunglah
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa
Hal ini berakibat nilai limit yang ditanyakan
menjadi susah dikatakan. Apakah limit
tersebut tak ada?
52
13lim
2
2
xx
x
x
)52(limdan)13(lim 22 xxxxx
CONTOH-CONTOH
Perhatikan bahwa
Oleh karena itu, menggunakan sifat limit
diperoleh
31
3
521
13lim
52
13lim
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xx
2
2
22
22
2
2
521
13
)521(
)13(
52
13
xx
x
xxx
xx
xx
x
CONTOH-CONTOH
CONTOH-CONTOH
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
CONTOH-CONTOH
CONTOH-CONTOH
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Contoh 6. Tunjukkan bahwa keliling lingkaran
dengan jari-jari R sama dengan .
Penyelesaian: Dibuat segi n beraturan di dalam
lingkaran sehingga setiap titik sudutnya berada
pada lingkaran.
R2
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Keliling segi n tersebut adalah
Untuk n cukup besar, maka nilai akan
mendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu,
keliling lingkaran adalah
2. sin
.2. sin1
n
RnL n R
n n
nL
RLL nn
2lim
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Contoh 7. Suatu partikel bergerak mengikuti
persamaan
dengan t menyatakan waktu (dalam jam) dan
S(t) menyatakan jarak tempuh. Berapa
kecepatan partikel pada jam 2?
0,4)( 2 ttttS
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Penyelesaian:
Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampai
dengan jam 2+h, dengan adalah
Apabila diambil h sangat kecil mendekati 0,
maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2,
yaitu
hh
ShSvh
8
)2()2(
0h
8lim)2(0
hh
vv
TERIMAKASIH