x = a

film

Kawat 1

x = a

film

y= f(x)L

1

X X

BAB 7

Limit Fungsi

Standar Kompetensi: Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi

dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar: Menggunakan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik

dan di takhingga.

Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

Melalui Pengamatan Grafik Fungsi

Pengertian limit fungsi di sebuah titik melalui pengamatan grafik fungsi di sekitar titik itu, dapat dideskripsikan dengan menggunakan alat peraga dua buah potongan kawat dan satu lembaran film tipis.

x = a

film

Kawat 1

x = a

film

y= f(x)L

1

X X

Dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan L1

Catatan

Tanda pada a- dimaksudkan bahwa arah ketika mendekati x = a adalah dari arah kiri. Oleh sebab itu, disebut limit kiri.

Dalam matematika, perkiraan ketinggian titik ujung kawat terhadap sumbu X dikatakan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati dari arah kiri.

Misalkan ketinggian yang diperkirakan itu adalah L1 maka notasi singkat untuk menuliskan pernyataan itu adalah

y = f(x)

x = a x = a

L2

film film

f(x) L untuk x a atau f(x) = L

+lim

x a +

2

2

limx a +

f(x) tidak ada

X X

Catatan

Tanda + pada a+ dimaksudkan bahwa arah ketika mendekati x = a adalah dari arah kanan. Oleh sebab itu, disebut limit kanan.

Dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan sama dengan L2

X

Y

x = a

y = f(x),x a

L2

L1

O

X

Y

x = a

L2L1

y = f(x),x a

O

X

Y

x = a

y = f(x),x a

O

L1

L2

y = f(x),x a

x = a x = aX X

Y Y

O O

y = f(x),x a

No.

Limit Kiri Limit Kanan

1. 2.

3.

4.

5.

ada, nilainya L1

ada, nilainya L1

ada, nilainya L1

tidak ada

tidak ada

ada, nilainya L2 ada, nilainya L2

tidak ada

ada, nilainya L2

tidak ada

L1 = L2 = L L1 L2

ada, nilainya L

tidak ada

tidak ada

tidak ada

tidak ada

lim f(x)x a+

lim f(x)x a

lim f(x)x a

Suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x di sekitar a, maka lim f(x) = L jika dan hanya jika

lim (x) = lim f(x) = L.

Definisi:

x a+ x a-

x a

Pengertian Limit Fungsi melalui Perhitungan Nilai-Nilai Fungsi

x 1,7 1,8 1,99 1,999 2,000 2,001 2,01 2,1 2,2

3,8 3,8 3,99 3,999 . . ? . . . 4,001 4,01 4,1 4,2

Contoh

Diketahui fungsi f(x) = dengan daerah asal Df = {x l x R dan x 2}. Hitunglah nilai lim f(x) dengan cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar x = 2.

x2 4 x 2

x 2

Jawab:

Nilai-nilai fungsi f(x) = di sekitar x = 2

x2 4 x 2

x2 4 x 2

Berdasarkan Tabel di atas, terlihat bahwa f(x) = mendekati nilai L = 4 ketika x mendekati 2 baik dari kiri maupun kanan.

x2 4 x 2

Dengan demikian, lim f(x) = lim = 4 x2 4 x 2x 2 x 2

Beberapa hal yang perlu diperhatikan tentang f(x) = x2 4 x 2

f(2) = x2 4 x 2 = 0

0Bentuk disebut sebagai bentuk tak tentu dan tidak didefinisikan.0

000

Untuk x 2, fungsi f(x) = dapat disederhanakan menjadi

x2 4 x 2

f(x) = = x + 2(x + 4) (x 2)

x 2

Grafik fungsi

Y

X1 2 3 4 5

12345

2 1 o

ºy = f(x)

= x2 4 x 2 , x 2

y = f(x) = x2 4 x 2 untuk x 2 adalah sebuah garis lurus dengan persamaan

yang terputus di titik (2, 4) y = f(x) = x + 2

LIMIT FUNGSI ALJABAR

Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk lim f(x) x a

Metode Substitusi Langsung

Contoh

lim (x2 2x + 1) = (1)2 2(1) + 1= 4x 1

Jadi, lim (x2 2x + 1) = 4 x 1

Metode Pemfaktoran

lim x 2

x2 4 x 2

=22 4 2 2

= 00

00 disebut bentuk tak tentu dan tidak didefinisikan.

Oleh karena itu, diperlukan upaya lain. Salah satunya dengan cara mencari faktor persekutuan yang sama antara bagian pembilang dan bagian penyebut .

lim x 2

x2 4 x 2 = lim

x 2

(x 2) (x + 2)

x 2, sebab x 2 atau x 2 0

= lim x 2

(x + 2) = 4

Secara umum, pengerjaan limit fungsi yang mempunyai bentuk tak tentu dapat dilakukan dengan menggunakan metode pemfaktoran.

f(x)g(x)

=f(a)g(a)

= 00

x a

Misalkan lim . Upayakan f(x) dan g(x) memilki faktor

yang sama dan faktor yang sama itu adalah (x a), sehingga:

p(x)q(x)

=p(a)q(a)

limx a

f(x)g(x)

= limx a

(x a) p(x)

(x a) q(x)

= limx a

, dengan syarat p(a) 0 dan q(a) 0.

x a = 1

x a Perhatikan bahwa , sebab nilai x hanya dekat dengan a sehingga x - a 0.

limx 3

x2 9x2 + 7 4

= limx 3

x2 9x2 + 7 4

x2 + 7 + 4

x2 + 7 + 4

= limx 3

(x2 9)( x2 + 7 + 4)

(x2 + 7) 16

= limx 3

( x2 + 7 + 4) = (32 + 7) + 4 = 8

= limx 3

(x2 9)( x2 + 7 + 4)

(x2 9)

Contoh

Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk lim f(x) x

Pengertian Tak Hingga

Y

X

x = aO

Y

X

x = aO

Y

X

x = aO

y = f(x)y = f(x)

y = f(x)

lim f(x) = x a

lim f(x) = x a +

lim f(x) = x a

Y

X

x = aO

y = f(x)Y

X

x = aO

y = f(x) Y

X

x = aO

y = f(x)

lim f(x) = x a

lim f(x) = x a +

lim f(x) = x a

Limit x Mendekati Tak Hingga

Misalkan fungsi f ditentukan oleh f(x) = dengan daerah asalnya adalah D f = {x l x R dan x 0}.

1x

x 1 2 3 4 . . . 10 . . . 100 . . . 10.000 . . . 100.000 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 0

Y

X1 2 3 4 5

3

11o

2

1

2

3

4

234

f(x) =1x

asimtot datar y = 0

lim f(x) = lim x x

1x = 0

lim f(x) = lim x x

1x = 0

f(x) =1x

12

13

14

110

1100

110.000

1100.000

1

Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika x

1. Membagi dengan Pangkat Tertinggi dari Penyebut

1. Jika derajat f(x) = derajat g(x) maka

limx

f(x)g(x)

=koefesien pangkat tertinggi dari f(x)

koefesien pangkat tertinggi dari g(x)

2. (i) Jika derajat f(x) derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi f(x) bernilai positif, maka

(ii) Jika derajat f(x) derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi f(x) bernilai negatif, maka

limx

f(x)g(x)

=

limx

f(x)g(x)

=

3. Jika derajat f(x) < derajat g(x) maka

limx

f(x)g(x)

= 0

f(x)g(x)x

Berdasarkan derajat dan koefesien pangkat tertinggi, lim dapat ditetapkan sebagai berikut.

2. Mengalikan dengan Faktor Lawan

Contoh

limx

2x 1 3x + 5{ }

=

=

=

limx

2x 1 3x + 5{ } 2x 1 + 3x + 5

2x 1 + 3x + 5

limx

(2x 1) (3x + 5)

2x 1 + 3x + 5

limx

x 6

2x 1 + 3x + 5= (perhatikan ketentuan butir 2 bagian (ii))

f(x) g(x){ }f(x) g(x)+

f(x) g(x)+

x Limit fungsi yang berbentuk lim dapat diselesaikan

dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu .

TEOREMA LIMIT

1. Jika f(x) = k maka lim f(x) = k (untuk setiap k konstan dan a bilangan real). x a

2. Jika f(x) = x maka lim f(x) = a (untuk setiap a bilangan real). x a

3. a) lim {f(x) + g(x)} = lim f(x) + lim g(x)

b) lim {f(x) g(x)} = lim f(x) lim g(x)x a

x ax a

x a

4. Jika k suatu konstanta maka lim k f(x) = k lim f(x).

x a

x a

x a x a

x a

5. a) lim {f(x) g(x)} = lim f(x) lim g(x)

b) limf(x)

g(x)=

lim f(x) x a

x alim g(x) x a

, dengan lim g(x) 0x a

lim f(x) x a

nf(x)n = , dengan lim f(x) 0 untuk n genap.x a

6. a) lim {f(x)}n

b) limx a

x a

lim f(x) x a

{ }n .=

Sifat-sifat limit fungsi dapat dirangkum dalam Teorema Limit sebagai berikut.

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus-Rumus Limit Fungsi Trigonometri

limx 0

limx 0

xsin x

sin xx = = 1

limx 0

limx 0

xtan x

tan xx = = 1

limu 0

limx 0

usin u

sin uu = = 1

limu 0

limx 0

utan u

tan uu = = 1

Contoh

Hitunglah limx 0

sin 6x2x

Jawab:

Misalkan 6x = u, maka x = u. 16

Jika x 0 maka u 0, sehingga:

limx 0

sin 6x2x

= limu 0

sin u

2( ) u1

6

limu 0

sin uu = lim

u 0

sin uu =3 3 3 (1) = 3

Jadi, limx 0

sin 6x2x

= 3