Kalkulus by Mohammad Faizun

Cara Mudah Belajar

K A L K U L U SFungsi, Differensial dan Integral

EDUMACS Publisher

Paham kalkulus berarti mengerti arti geometri dari:- bilangan- fungsi- differensial- integral

“..itulah yang akan dijabarkan dalam buku inisecara gamblang sehingga mudah dimengerti”

Mohammad Faizun, S.T., M. Eng

+MATLAB

EduMacs Publisher _____________________________________________________

i

Cara Mudah Belajar Kalkulus Fungsi, Differensial, dan

Integral

Oleh: Mohammad Faizun

Edisi pertama

Cetakan Pertama, 2012

Hak Cipta © 2012 pada penulis,

Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak

atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk

apapun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk

memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya,

tanpa izin tertulis dari penerbit.

EduMacs Publisher


i

KATA PENGANTAR

Mata kuliah Kalkulus atau beberapa perguruan tinggi

menyebutnya Matematika 1 merupakan mata kuliah wajib pada

fakultas teknik dan MIPA. Kalkulus adalah cabang matematika

yang fokus pada fungsi, limit, derivative, integral, dan deret

takhingga seperti deret Taylor dan Mc Laurin.

Kalkulus menjadi basis banyak mata kuliah lain seperti Fisika

Dasar, Matematika Teknik, Termodinamika, Kinematika dan

Dinamika, Mekanika, Mekanika Fluida, Teknik Kendali, Robotika,

dan masih banyak lagi. Untuk itu pemahaman penuh akan materi

kalkulus sangat diperlukan untuk dapat memahami dengan baik

materi kuliah yang ditopangnya.

Banyak mahasiswa yang kesulitan belajar Kalkulus sehingga tidak

bisa memahami sepenuhnya. Hal ini akan menjadi efek domino

buruk yang berimbas pada mata kuliah yang ditopangnya. Buku ini

ditulis untuk menjelaskan materi Kalkulus dengan apa adanya

dengan tujuan untuk membantu mahasiswa memahami Kalkulus

dengan mudah. Semoga demikian adanya.

Buku ini awalnya disusun sebagai bahan ajar mata kuliah Kalkulus

(4 sks) pada Jurusan Teknik Mesin Universitas Islam Indonesia.

Buku ini disusun selengkap, sesederhana, dan sejelas mungkin

dengan dukungan gambar dan grafik ilustrasi serta contoh dan

latihan soal.


ii

Kami ucapkan terima kasih kepada berbagai pihak atas peran,

bantuan, dan dukungan dalam penyusunan buku ini.

1. Bapak Machmudin dan Ibu Siti Solikhatun atas cintanya,

2. Bapak Narsito dan Ibu Mintarsih atas kasih sayangnya,

3. Istriku dr. Yolanda Dyah Kartika untuk doa, semangat, dan

dukungannya,

4. Semua guru di sekolah dan universitas atas ilmu yang telah

diberikan,

5. Semua rekan kerja di Prodi Teknik Mesin UII atas

semangat kebersamaannya,

6. Seluruh Mahasiswa Prodi Teknik Mesin UII,

7. Dan pihak lain yang tidak bisa kami sebutkan satu persatu

yang telah banyak membantu dalam penyusunan buku ini.

Meskipun telah diusahakan agar menjadi sebaik mungkin, namun

penulis menyadari pastilah ada kekurangan dalam buku ini. Untuk

itu penulis membuka saran dan kritik membangun dari pembaca

untuk dapat menyempurnakan edisi berikutnya bisa via email atau

facebook ([email protected]).

Semoga buku ini bermanfaat.

Jalan Kemuning 2/419

Mohammad Faizun

mailto:[email protected]

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 1

BAB 1

FUNGSI DAN GRAFIK

1.1 Titik, Garis, dan Kurva

Subbab ini membahas tentang hubungan antara titik dengan

garis, garis dengan garis, garis dengan kurva, dan titik dengan

kurva. Ide dari pembahasan tersebut akan berguna pada

pembahasan fungsi dan grafik.

a. Satu titik

Dapat dibuat tak hingga banyaknya garis lurus yang

melalui sebuah titik. Arah semua garis adalah radial

terhadap titik A.

Gambar 1.1 Satu Titik dan Garis

X

Y

A

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 2

Kita bisa membuat banyak sekali garis dengan sebarang

arah seperti terlihat pada gambar di atas.

KUIS: Sebutkan berapa banyak garis lurus yang bisa

dibuat yang hanya memotong sumbu X!

b. Dua titik

Hanya satu buah garis yang dapat dibuat melalui dua buah

titik sekaligus. Pada gambar 1.2: melalui titik A dan titik B

hanya dapat dibuat sebuah garis (yakni garis 1). Garis 2

hanya melalui A saja dan garis 3 hanya melalui B saja.

Gambar 1.2 Dua Titik dan Garis

X

Y

A

B

1

2

3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 3

Akan tetapi melalui dua buah titik dapat dibuat tak hingga

banyaknya kurva yang melaluinya.

.

Gambar 1.3 Dua Titik dan Kurva

Melalui titik A dan titik B dapat dibuat kurva (1), parabola

(2), lingkaran (3), dan seterusnya.

c. Banyak titik

Kondisi tiga buah atau lebih dapat berada pada dua

kemungkinan.

c.1. Tiga titik atau lebih yang semuanya segaris

Melalui tiga titik atau lebih yang segaris hanya ada satu

garis lurus yang dapat dibuat dan juga tak hingga

X

Y

A

B

1

2 3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 4

banyaknya kurva yang dapat dibuat melalui tiga titik

tersebut.

Gambar 1.4 Banyak Titik Segaris

c.2. tiga titik atau lebih yang tidak segaris

Melalui tiga titik yang segaris tidak ada satu pun garis

lurus yang dapat dibuat akan tetapi tak hingga

banyaknya kurva yang dapat dibuat melalui tiga titik

tersebut.

Gambar 1.5 Banyak Titik Segaris

A

B C

1

2

3

1

2

3

A

C

B C

A

B

1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 5

-23

IXX 24,999

1.2 Garis Bilangan

1.2.1 Jenis Bilangan

Mendengar bahasan bilangan biasanya yang terlintas di

pikiran kita adalah angka-angka. Satu lagi yang berhubungan

dengan angka-angka, yakni nomor. Apakah mereka memiliki

pengertian yang sama?

Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan

untuk melambangkan bilangan. Nomor biasanya menunjuk

pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah

bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat

yang berurutan. Bilangan adalah suatu konsep matematika

yang digunakan untuk pencacahan, pengukuran, dan

perhitungan.

Coba perhatikan gambar di bawah!

Gambar 1.6 Bilangan, Angka, dan Nomor

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://id.wikipedia.org/wiki/Pencacahan

http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 6

Coba tunjukkan manakah yang angka, nomor, dan

bilangan pada gambar di atas! Berikan alasannya!

Gambar 1.7 Kategori Bilangan

Perhatikan gambar 1.7 di atas! Pada dasarnya semua

bilangan adalah bilangan kompleks, yakni memiliki bagian

real dan bagian imajiner. Bilangan kompleks dapat dinyatakan

dengan:

Gambar 1.8 Bilangan Kompleks

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 7

Bilangan imajiner adalah bilangan yang merupakan akar

dari bilangan negatif. Contoh:

, , , , dst.

Untuk memudahkan penulisan dalam buku-buku

digunakan simbol i dan j untuk menggantikan . Sehingga:

dengan cara yang sama,

Bilangan imajiner hanya ada dalam perhitungan matematis.

Mereka tidak bisa digunakan untuk pencacahan.

Selain bilangan imajiner adalah bilangan real, yakni

bilangan yang biasa digunakan sehari-hari untuk pencacahan

dan perhitungan. Mereka tidak memiliki faktor i (imajiner).

Bilangan real bisa dibedakan menjadi dua jenis, yakni

bilangan rasional dan irrasional. Yang dimaksud rasional

adalah bilangan yang bisa diungkapkan dalam bentuk rasio

atau perbandingan (ratio).

Contoh: -5; 1 ; 0,123; 1/3; 1,01010…; 0,666666….. dsb.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 8

Semua bilangan bulat pasti bisa diungkapkan dengan

bentuk perbandingan (cukup jelas bukan?). Bilangan pecahan

juga sudah jelas. Bilangan decimal yang termasuk bilangan

rasional ciri-cirinya adalah memiliki susunan angka-angka

yang berulang (lihat contoh di atas), karena sesungguhnya

bilangan tersebut adalah bilangan pecahan yang diungkapkan

dalam bentuk desimal.

Dan tentunya bilangan irrasional adalah bilangan yang

tidak bisa diungkapkan dalam bentuk rasio.

Contoh:

π = 3,14159265…..

Bilangan rasional masih bisa dibedakan menjadi beberapa

kategori lagi. Untuk lebih jelasnya bisa dilihat pada gambar

1.9 berikut!.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 9

Gambar 1.9 Diagram Jenis-jenis Bilangan

LATIHAN 1.1 _____

Benarkah pernyataan-pernyataan berikut? Berikan alasan yang

tepat!

1. Bilangan imajiner dikurangi dengan bilangan imajiner

menghasilkan bilangan real!

2. Bilangan imajiner dikali dengan bilangan imajiner

menghasilkan bilangan imajiner!

Bilangan Kompleks

Bilangan Real (nyata) Bilangan Imajiner

Bilangan Rasional Bilangan Irasional

Bilangan Pecahan Bilangan Bulat (Integers)

Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Asli Bilangan Nol

Bilangan Genap Bilangan Ganjil

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 10

3. Bilangan real adalah bilangan kompleks yang bagian

imajinernya bernilai nol!

4. Bilangan imajiner adalah bilangan kompleks yang bagian

realnya bernilai nol!

5. adalah bilangan irrasional!

6. adalah bilangan rasional!

7. adalah bilangan irrasional!

8. Bilangan kompleks dikali bilangan kompleks hasilnya

adalah bilangan real!

9. Diantara 0 dan 1 terdapat takhingga banyaknya bilangan

irrasional!

10.

__________________________________________________

1.2.2 Garis Bilangan

Coba sebutkan semua bilangan real diantara angka -5 dan

4! Benarkah hanya: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, dan 3?

Tentu saja tidak hanya itu kan? Yang disebutkan tadi

hanyalah bilangan bulat antara -5 dan 5, padahal bilangan

pecahan dan bilangan irrasional termasuk juga bilangan real.

Jadi, antara -5 dan 5 bisa dibuat banyak sekali bilangan real,

bahkan tak hingga banyaknya. Jangankan dengan batasan

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 11

tersebut, dari 0 hingga 0,001 saja sudah tidak memungkinkan

ditulis satu per satu.

Untuk memudahkan memperoleh gambaran himpunan

bilangan yang ada dalam batas tertentu dipakailah dua cara:

1. menggunakan notasi himpunan

Contoh: H adalah himpunan (kumpulan) semua bilangan

real yang nilainya lebih dari -5 dan kurang dari 4, dapat

ditulis dalam bentuk notasi:

H={ Rxxxx ,45:/ }

2. menggunakan garis bilangan.

Garis bilangan berfungsi untuk menggambarkan posisi

relatif dari nilai suatu bilangan. Garis bilangan diberi ruas-

ruas angka yang berskala.

Contoh:

Tentukan posisi nilai dari -2,2222; 0,001; 5; 15; 25,75; ¾;

π; -2i dan pada garis bilangan berikut!

Sebagai latihan silahkan coba dijawab sendiri dengan

menunjuk perkiraan posisi pada garis bilangan di atas!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 12

Himpunan seperti di atas berisi interval (rentang) bilangan

real. Batas interval sendiri bisa masuk dalam himpunan bisa

juga tidak tergantung dari ungkapan pernyataannya. Sehingga

ada tiga jenis interval:

a. interval terbuka

b. interval tertutup

c. interval semi terbuka

Berikut penjelasannya dalam beberapa contoh:

a. Interval Terbuka

Contoh:

H terdiri dari bilangan real antara -5 dan 4. Atau dapat

dinyatakan dengan:

H={ Rxxxx ,45:/ }.

Himpunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan ruas

garis bilangan seperti berikut:

Skala yang dipakai disini adalah 1 meskipun sebenarnya

bebas saja asalkan cukup jelas untuk dibaca dan sederhana.

Lingkaran berlubang pada angka -5 dan 5 sebagai batas

ruas garis artinya adalah angka -5 dan 5 tersebut tidak

termasuk dalam himpunan. Ada tak hingga banyaknya

-5 4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 13

bilangan pada ruas garis bilangan tersebut. Misalkan angka

1,000000012; 1,5; 1,75, dan 1,9999901 terletak diantara 1

dan 2 pada ruas garis tersebut, dan sebagainya.

b. Interval Tertutup

Contoh:

P adalah kumpulan bilangan real yang nilainya dari 0

hingga 1. Atau dapat dinyatakan dengan:

P={ Rxxxx ,10:/ }.

Sekali lagi bahwa sebenarnya bebas menentukan skala pada

ruas garis. Sebagai contoh disini akan dipakai skala 0,1

pada garis bilangan himpunan P.

Batas ruas garis adalah lingkaran hitam penuh di atas angka

0 dan angka 1, artinya angka 0, dan angka 1 termasuk

anggota himpunan.

c. Interval Semi Terbuka

Contoh:

A adalah kumpulan bilangan real dari 2 hingga kurang dari

5. Atau dapat dinyatakan dengan:

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 14

A={ Rxxxx ,52:/ }.

Perhatikan bulatan di atas angka 2 dan 5. Masing-masing

artinya adalah angka 2 termasuk dalam himpunan A

tersebut, sedangkan 5 tidak termasuk. Jadi untuk batas ≤

atau ≥ selalu memakai bulatan hitam penuh di atas angka

yang bersesuaian pada ruas garis bilangan.

Beberapa interval memiliki batas di titik takhingga,

contohnya:

d. T adalah kumpulan semua bilangan real kurang dari -5.

Atau dapat dinyatakan dengan: T={ Rxxxx ,5:/ }.

e. S adalah kumpulan semua bilangan real.

Atau dapat dinyatakan dengan: S={

Rxxxx ,:/ }.

2 5 4 3

5 4 2 3

4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 15

Garis bilangan jenis inilah yang dipakai pada sistem

koordinat kartesius.

f. B adalah himpunan bilangan bulat dari -2 hingga 5.

Atau dapat dinyatakan dengan:

B={ Bxxxx ,52:/ }.

Garis bilangan yang menunjukkan himpunan B tersebut

adalah sebagai berikut:

Himpunan bilangan yang masuk semuanya ditulis dan

ditunjukkan dengan titik-titik hitam pada garis. Tidak ada

ruas garis tebal yang mengubungkan titik-titik angka

tersebut karena memang tidak ada angka diantaranya yang

termasuk anggota himpunan bilangan tersebut. Sebagai

contoh angka -1,0203; -1,25; -1,50 yang terletak di antara

angka -2 dan -1 bukanlah bilangan bulat, maka tidak

termasuk ke dalam himpunan B.

5 4 0 1 2 3 -2 -1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 16

1.3 Koordinat Kartesius

Koordinat kartesius dibentuk oleh garis bilangan yang saling

tegak lurus. Koordinat kartesius bidang terdiri dari garis bilangan

X dan Y, dan koordinat ruang terdiri dari garis bilangan X, Y, dan

Z. Masing-masing garis saling berpotongan di titik nol.

1.3.1 Koordinat kartesius bidang.

Sumbu horizontal X dan sumbu vertikal Y keduanya

merupakan garis bilangan dari himpunan seluruh bilangan real.

X=Y={ Rxxxx ,:/ }.Kedua sumbu terletak pada

sebuah bidang yakni bidang X-Y.

Gambar 1.10 Koordinat Kartesius Bidang

4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1

4

1

2

3

-4

-3

-2

-1

X

Y

X-Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 17

1.3.2 Koordinat kartesius ruang.

Sumbu X, Y, dan Z ditentukan dengan aturan tangan kanan.

Arah sumbu X positif searah dengan lengan, arah sumbu Y positif

sama dengan arah jari yang ditekuk, dan arah sumbu Z positif

searah dengan arah ibu jari. Lihat gambar berikut!.

Gambar 1.11 Koordinat Kartesius Ruang

Sumbu X dan sumbu Y terletak pada bidang X-Y, sumbu X dan

sumbu Z terletak pada bidang X-Z, serta sumbu Y dan sumbu Z

terletak pada bidang Y-Z.

Z

Y

X

X

Y

Z

0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

-2

-1

-1

-2 -3

1

2 3

-3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 18

Sebarang bilangan yang terletak sepanjang sumbu X biasa di beri

lambang x, dan sembarang bilangan yang terletak sepanjang

sumbu Y biasa di beri lambang y, begitu juga untuk sumbu Z diberi

lambang z.

Contoh:

a. Tunjukkan nilai x = 2, y = -1,5 pada koordinat kartesius X-

Y!

Kedua nilai tersebut ditunjukkan pada titik tebal sebagai

berikut:

b. Tunjukkan semua nilai x dengan batasan: 32 x dan

semua nilai y dengan batasan: 23 y pada koordinat

kartesius X-Y!

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

-2

-1

-3

X=2

y=1,5

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 19

Kedua himpunan tersebut ditunjukkan pada garis tebal

sebagai berikut:

LATIHAN 1.2_____________________________________

Manakah diantara pernyataan berikut yang benar?

1. A adalah himpunan/kumpulan bilangan real dari-1 sampai

4, maka A={-1, 0, 1, 2, 3, 4}.

2. B adalah himpunan/kumpulan bilangan bulat dari -3

hingga 1, maka A={-3, -2, -1, 0, 1}.

3. C adalah himpunan bilangan real dari -2 hingga 100, maka

-1,999999999 adalah anggota himpunan C.

4. Bilangan real antara -1 dan 1 adalah hanya 0.

5. 0 adalah bilangan real antara -1 dan 1.

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

-2

-1

-3

32:/ xxx

23:/ yyy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 20

6. Ada tak hingga banyaknya bilangan bulat antara 0 dan 1.

7. Phi (π) adalah bilangan pecahan diantara 3 dan 4.

8. 7 adalah bilangan pecahan antara 2 dan 3.

9. Titik-titik berhimpitan tak hingga banyaknya sehingga

membentuk garis bilangan sebenarnya menunjukkan

angka-angka.

10. Banyaknya bilangan real diantara -100 hingga 2 sebanyak

titik-titik yang membentuk garis bilangan himpunan angka

tersebut.

__________________________________________________

1.4 Pola Aturan dan Variabel

Fungsi bisa diartikan sebagai pola aturan. Yang diatur disebut

variabel, yakni variabel dependen (terikat) dan variabel

independen (bebas). Contoh:

a. A adalah kumpulan bilangan bulat dari -5 hingga -2. Peraturan

F menyatakan bahwa: himpunan B adalah himpunan bilangan

hasil perkalian masing-masing anggota himpunan A dengan

angka 2.

Aturan F : masing-masing anggota A dikali 2,

Variabel dependennya : anggota himpunan B

Variabel independennya : anggota himpunan A

Jadi,

A={-5, -4, -3, -2} : variabel independen,

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 21

B={-10, -8, -6, -4} : variabel dependen, karena

bergantung dari nilai A, sekaligus sebagai

hasil dari aturan F. Himpunan A dan B dapat

dibedakan dengan jelas dengan melihat

anggotanya.

b. X adalah himpunan semua bilangan real. Aturan R

menyatakan bahwa Y adalah himpunan semua bilangan hasil

perkalian semua nggota X.

X dapat dinyatakan dengan garis bilangan sebagai berikut:

Setiap titik-titik angka pada garis bilangan tersebut dikalikan

dua dan akan menghasilkan himpunan Y.

Y dapat dinyatakan dengan garis bilangan sebagai berikut:

Setelah diperhatikan ternyata garis bilangan X dan Y tersebut

hakikatnya adalah persis sama, yakni jika garis bilangan X

diperpanjang akan menjadi:

0 1 2 -2 -1

4 0 2 -4 -2

4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 22

Jika garis bilangan Y skalanya diubah, yakni dari 2 menjadi 1

akan menjadi:

Hal ini menjadi mustahil untuk menentukan aturan yang

mengatur himpunan X dan himpunan Y jika hanya dengan melihat

garis bilangan himpunan masing-masing.

Untuk mengatasi hal tersebut dibuatlah pasangan angka-

angka. Yakni setiap anggota himpunan X ditulis berpasangan

dengan anggota himpunan Y yang bersesuaian menurut aturan R.

Misalkan diambil titik-titik perwakilan (anggota X ditulis di

depan): (-1, -2), (0, 0), (10, 20), dan (1000, 2000). Sekarang tentu

memberikan gambaran fungsi R yang lebih jelas.

Pasangan titik-titik yang banyaknya tak hingga tersebut hanya

dapat digambarkan pada koordinat kartesius dan membentuk garis

fungsi R seperti terlihat pada gambar berikut.

Semua anggota himpunan bilangan real X di gambarkan

sebagai sumbu X dan semua anggota himpunan bilangan real Y di

gambarkan sebagai sumbu Y. Jika ditarik garis vertikal dari

sembarang titik di sumbu X kemudian setelah memotong garis

fungsi ditarik garis horizontal memotong sumbu Y didapatkan

bilangan pasangan X tersebut. Pada gambar diberi contoh pasangan

4 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 23

(1,2). Dengan garis tersebut dapat dicari pasangan nilai X= -

3,00202 dan sebagainya.

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

-2

-1

-3

Y=2.X

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 24

1.4.1 Pemetaan

Sebuah aturan F memasangkan setiap anggota himpunan X

tepat satu dengan anggotaY, maka aturan F disebut pemetaan.

Hubungan dalam pemetaan disebut fungsi.

Gambar 1.12 Pemetaan dan Bukan Pemetaan

1.4.2 Fungsi f(x)

Jika f adalah fungsi yang memetakan X ke Y, maka ditulis:

YXf :

-1

0 1

4 1

2

-2

0

X Y

Y= ?

BUKAN PEMETAAN Angka 2 berpasangan dengan 0 &4

-1

0 1

4 1

2

-2

0

X Y

Y= X2

PEMETAAN

X Y

f

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 25

Fungsi yang sangat sering ditulis selalu menunjukkan

domainnya. Alih-alih menuliskan YXf : lebih sering ditulis

sebagai )(xf dengan x adalah anggota himpunan X.

Fungsi tersebut bisa digambarkan sebagai mesin yang

mengolah isi karung X agar menjadi isi karung Y.

Gambar 1.13 Mesin (Fungsi)

Contoh:

a. Jika karung X isinya adalah -2; -1; 0; 1; 2; 3,001; 4,002.

Dan fungsi atau mesin yang dipakai adalah 2)( xxf ,

tentukan isi karung Y!

f

x

x

x

y y

y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 26

Jawab:

Karung X Mesin f(x)= x2 Karung Y

-2 (-2)2 4

-1 (-1)2 1

0 (0)2 0

1 (1)2 1

2 (2)2 4

3,001 (3,001)2 9,006001

4,002 (4,002)2 16,016004

b. Tentukan semua anggota himpunan Y yang dihasilkan dari

fungsi YXf : , dengan 23)( 2 xxxf dan

},31:/{ BxxxxX ! Gambarkan himpunan X

dan Y dalam garis bilangan!

Jawab:

X f(x)= x2 - 3x + 2 Y

-1 (-1)2 – 3(-1) + 2 6

0 (0)2

– 3(0) + 2 2

1 (1)2

– 3(1) + 2 0

2 (2)2

– 3(2) + 2 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 27

Garis bilangan untuk X adalah sebagai berikut (perhatikan

soal di atas, Bx artinya, x haruslah bilangan bulat):

Garis bilangan untuk Y adalah sebagai berikut:

Jika pasangan anggota himpunan masing-masing dibuat

pada koordinat kartesius menjadi seperti berikut:

c. Tentukan semua anggota himpunan Y yang dihasilkan dari

fungsi YXf : , dengan 12)( 2 xxxf dan

Y

1

2

3

5

6

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

4

-1,6

0,2

1,0 2,0

0 1 2 -1 x

5 4 0 1 2 3 6 y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 28

},31:/{ RxxxxX ! Gambarkan himpunan X

dan Y dalam garis bilangan!

Jawab:

Tidak mungkin bisa menuliskan semua anggota himpunan

X tersebut, ingat kenapa? Garis bilangan X adalah sebagai

berikut:

Untuk mendapatkan anggota himpunan Y diambil beberapa

bilangan bulat dari himpunan X sebagai perwakilan agar

bisa mengambarkan garis bilangannya.

X f(x)= x2 - 2x + 1 Y

-1 (-1)2 – 2(-1) + 1 4

0 (0)2

– 2(0) + 1 1

1 (1)2

– 2(1) + 1 0

2 (2)2

– 2(2) + 1 1

3 (3)2

– 2(3) + 1 4

Terlihat bahwa bilangan anggota himpunan Y terbesar

adalah 4 dan terkecil 0. Nilai 0 dan 4 kedua-duanya adalah

anggota Y. Garis bilangannya adalah:

-1 2 1 0 3 X

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 29

Sekali lagi bahwa untuk mengetahui fungsi yang

menghubungkan nilai-nilai x dan y akan mustahil jika

hanya dengan melihat garis bilangan X dan Y. Fungsi

tersebut akan dapat diamati dengan mempelajari pasangan-

pasangan nilai x dengan y yang bersesuaian seperti:

(-0,99999….; 3,99999….), (0,1), (1,0), (2,1), dan (3,4).

Jika semua pasangan-pasangan nilai x dan y yang takhingga

banyaknya digambarkan dengan titik-titik pada koordinat

kartesius akan membentuk kurva sebagai berikut:

4 2 1 0 3 Y

Y

1

2

3

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

4 -1,4 3,4

4 2 1 0 3 y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 30

LATIHAN 1.3_____________________________________

1. Apa perbedaan penggunaan notasi X dengan x atau Y

dengan y?

2. X adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -3 dan kurang

dari 3. Fungsi f menyatakan bahwa himpunan Y

beranggotakan bilangan-bilangan hasil kuadrat dari

masing-masing anggota himpunan X. Berapa jumlah

anggota Y? Tunjukkan semua anggota himpunan Y dalam

garis bilangan!

3. X={ Bxxxx ,2:/ }dan YXf : dengan

52)( xxf . Maka himpunan Y={ Byayyy ,:/ }.

Tentukan nilai a dan gambarkan pasangan nilai x dan y

yang bersesuaian pada koordinat kartesius!

4. X adalah himpunan bilangan real lebih dari -3 dan kurang

dari 3. Fungsi f menyatakan bahwa himpunan Y

beranggotakan bilangan-bilangan hasil kuadrat dari

masing-masing anggota himpunan X. Berapa jumlah

anggota Y? Tunjukkan semua anggota himpunan Y dalam

garis bilangan!

5. X={ Rxxxx ,2:/ }dan YXf : dengan

52)( xxf . Maka himpunan Y={ Ryayyy ,:/ }.

Tentukan nilai a dan gambarkan pasangan nilai x dan y

yang bersesuaian pada koordinat kartesius!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 31

6. X={ Rxxxx ,2:/ }dan YXf : dengan

1

1)(

xxf . Gambarkan pasangan nilai x dan y yang

bersesuaian pada koordinat kartesius!

7. Y={ Rxxyy ,90:/ }dan XYf : dengan

yyf )( . Gambarkan pasangan nilai x dan y yang


8. Benarkah { xa }={ ax }?

9. Benarkah { bx }={ bx }?

10. Benarkah jika 2xy akan selalu xy ? Berikan

alasannya!

11. Untuk 0x berapa nilai xy ? Berikan penjelasan!

12. Sebuah fungsi YXf : dengan 52)( xxf . Apakah

fungsi f ini memetakan himpunan X terhadap Y? Apakah

fungsi f ini memetakan himpunan Y terhadap X ? Apakah

hubungan himpunan X dan Y merupakan korespondensi

satu-satu?

13. Sebuah fungsi YXf : dengan 52)( 2xxf .

Apakah fungsi f ini memetakan himpunan X terhadap Y?

Apakah fungsi f ini memetakan himpunan Y terhadap X ?

Apakah hubungan himpunan X dan Y merupakan

korespondensi satu-satu?

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 32

14. Dari kurva berikut apakah fungsi f ini memetakan

himpunan X terhadap Y? Apakah fungsi f ini memetakan

himpunan Y terhadap X ? Berikan kesimpulan!

15. Dari kurva berikut apakah fungsi f ini memetakan

himpunan X terhadap Y? Apakah fungsi f ini memetakan

himpunan Y terhadap X ? Berikan kesimpulan!

16. Sebuah fungsi YXf : dengan cxaxf )( . Apakah

boleh ditulis cxay ? Berikan alasannya!

X

Y

F(x)

X

Y

F(x)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 33

17. Bisakah Anda tunjukkan fungsi YXf : yang mengatur

Y dan X sehingga didapat },240:/{ RxxyyY

dari },51:/{ RxxxxX ?

18. Apakah hanya fungsi dengan domain bilangan real saja

yang bisa membentuk kurva atau garis?

19. Apakah fungsi mempunyai pengertian yang sama dengan

persamaan?

20. Apakah fungsi dan persamaan memiliki hubungan?

Berikan alasan yang tepat!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 34

BAB 2

FUNGSI LINIER

Garis adalah kumpulan titik-titik yang saling berhimpitan.

Pada koordinat kartesius titik-titik garis lurus menunjukkan

pasangan angka-angka sebuah fungsi linier. Sebuah fungsi

YXf : sehingga untuk setiap anggota himpunan Y berlaku

persamaan nxmy , dan },:/{ RxxxxX selalu

menghasilkan titik-titik pasangan bilangan (x,y) yang membentuk

garis lurus pada koordinat kartesius. Persamaan nxmy

tersebut disebut dengan fungsi linier.

2.1 Diketahui titik potong pada kedua sumbu.

Sebuah garis memotong sumbu X di titik (a, 0) dan memotong

sumbu Y di titik (0, b) seperti gambar di bawah. Jadi, (a, 0) dan (0,

b) merupakan bagian dari titik-titik pasangan bilangan yang tak

hingga banyaknya dari persamaan nxmy . Sehingga:

nxmy

(a, 0) nam0

a

nm

(0, b) nmb 0 a

bm

bn

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 35

Jadi, fungsi tersebut menjadi:

bxa

by ………… (1.1)

Atau untuk lebih mudahnya persamaan tersebut bisa ditulis

sebagai:

…………(1.2)

Nilai m disebut dengan gradien (grade, gradual = bertingkat) atau

tingkat kemiringan garis.

Gambar 2.1 Persamaan Garis Jika 2 Titik Potong Diketahui

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-5,0) dan (0,-2)!

a

Y

X

b

0

bxa

by

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 36

Jawab:

Cara pertama:

nxmy

(-5, 0) nm 50

5

nm

(0, -2) nm 02 5/2m

2n

25

2xy

Cara kedua:

bayaxb , 5a ,

)2()5()5()2( yx

1052 yx 25

2xy

Cara kedua lebih pendek sehingga persamaan garisnya didapat

dengan lebih cepat.

2.2 Diketahui gradien dan sebuah titik yang melaluinya.

Ada dua cara untuk membuat garis yang melalui titik (c, d)

dengan kemiringan p.

a. cara pertama

Buat garis pada titik (c, d) tersebut dengan arah bebas,

kemudian putar hingga kemiringannya sebesar p.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 37

Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 1 Titik dan Gradien

Diketahui, Cara Pertama

Persamaan garis dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

nxmy

1. m = p nxpy

2. (c, d) ncpd pcdxpy

pcdn

Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah

pcdxpy …………(1.3)

b. cara kedua

Buat garis dengan kemiringan m, kemudian geser agar melalui

titik (c, d).

Y

(c, d)

Y

X 0

(c, d)

X 0

p

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 38

Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 1 Titik dan Gradien

Diketahui, Cara Kedua

Persamaan garis dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

nxmy

1. (c, d) ncpd

pcdn pcdxpy

2. m = p nxpy

Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah pcdxpy .

Contoh:

Sebuah garis dibuat pada titik (3, 2) dengan kemiringan -2.

Tentukan persamaannya!

Jawab:

Y

X 0

m

Y

(c, d)

X 0

p

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 39

nxmy

1. m = -2 nxy 2

2. (3, 2) n322 82 xy

8n

2.3 Diketahui dua buah titik sebarang yang dilaluinya.

2.3.1 Cara pertama : menghitung gradien

Sebuah garis lurus melalui titik (a, b) dan (c, d). Maka nilai m

dan n dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut (perhatikan

gambar!).

Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 2 Titik Diketahui

x

ym

Y

X 0

(c, d)

(a, b)

d

b

a c

d - b

c - a

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 40

12

12

xx

yym (dimanapun titiknya hasil ini akan

selalu sama, mengapa?)

ac

bdm

nxac

bdy

Untuk mendapatkan nilai n salah satu titik dimasukkan dalam

persamaan tersebut, misal titik (a, b).

nxac

bdy

naac

bdb

ac

bdabn

ac

baad

ac

babcn

ac

adbcn

Jadi, persamaan garisnya menjadi:

ac

adbcx

ac

bdy

…………(1.4)

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (-2,2)!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 41

Jawab:

12

12

xx

yym

22

)3(2m

4

5m

nxmy

nxy4

5

(2,-3) n24

53

n2

53

2

1n

Jadi, persamaan garis tersebut adalah: 2

1

4

5xy

2.3.2 Cara kedua : substitusi

Sebuah garis dengan persamaan nxmy melalui titik (a, b)

dan (c, d). Maka nilai m dan n dapat ditentukan dengan cara

sebagai berikut:

nxmy

1. (a, b) namb ambn

2. (a, b) ncmd

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 42

ambcmd

)( acmbd

ac

bdm

3. ambn

aac

bdbn

aac

bd

ac

acbn

ac

bada

ac

babcn

ac

adbcn

ac

adbcx

ac

bdy

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (-2,2)!

Jawab:

nxmy

1. (2, -3) nm 23 mn 23

2. (-2, 2) nm 22

)23(22 mm

m45

4

5m

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 43

3. mn 23

4

523n

2/1n

2

1

4

5xy

LATIHAN 2.1_____________________________________

1. Buktikan bahwa jika sebuah titik (a, b) dilalui oleh dua

garis dengan gradien yang sama kedua garis pasti saling

berhimpitan!

2. Buktikan bahwa dua buah garis atau lebih dengan gradien

yang sama pasti sejajar!

3. Buktikan bahwa dua buah garis yang saling tegak lurus

hasil perkalian gradiennya adalah -1!

4. Buktikan bahwa dua buah garis dengan gradien yang

berbeda pasti berpotongan di satu buah titik!

5. Fungsi 111 : YXf dengan 72)(1 xxf dan fungsi

222 : YXf dengan 3)(2 xxf , serta

},:/{21 RxxxxXX akan membuat

himpunan Y1 dan Y2 mempunyai satu buah anggota yang

sama. Tentukan bilangan tersebut dan pasangan nilai (x,

y)-nya yang sama!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 44

6. Ruas garis 1 memiliki persamaan 721 xy dengan

domain = { Rxxxx ,55:/ } dan ruas garis 2

dengan persamaan 32 xy dengan domain = {

Rxxxx ,37:/ }. Gambarkan kedua ruas garis

tersebut pada satu bidang koordinat kartesius! Apakah

ruas garis tersebut saling berpotongan?

7. Garis 1 melalui titik ( -3, 1) dan (1, -3). Garis 2

memotong tegak lurus garis 1 dan melalui titik (2, 2).

Tentukan persamaan kedua garis tersebut!

8. Sebuah garis melalui titik (1, 3) dan (-1,-3). Garis tersebut

kemudian di geser sehingga melalui titik (4, 3). Tentukan

persamaan garis sebelum dan sesudah digeser!

9. Sebuah garis memotong sumbu X di (2, 0) dan

membentuk sudut 300 dengan sumbu X. Tentukan

persamaannya!

10. Tentukan persamaan sebuah garis mendatar yang melalui

titik dengan ordinat (nilai y) 3!

11. Tentukan persamaan sebuah garis vertikal yang melalui

titik dengan absis (nilai x) 3!

12. Sebuah ruas garis dibentuk dari persamaan 32xy dan

dengan domain ={ Rxxxx ,40:/ }dipotong oleh

garis l yang saling tegak lurus tepat di tengah-tengah.

Tentukan titik potong garis l pada sumbu X dan sumbu Y!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 45

13. Tentukan persamaan ruas garis berikut dengan lengkap!

14. Sebuah garis dengan gradien ¾ memotong sumbu X dan Y

sedemikian sehingga terbentuk bidang segitiga yang

dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y ,dan garis. Luas bidang

adalah 24 satuan. Tentukan persamaan garis tersebut!

15. Buktikan bahwa jika arah garis adalah dari kiri bawah ke

kanan atas gradiennya selalu positif dan jika arah garis

adalah dari kanan bawah ke kiri atas gradiennya selalu

negatif!

16. Buktikan bahwa superposisi garis tegak dengan garis

horizontal hasilnya adalah garis yang selalu membentuk

sudut 450 dengan sumbu koordinat!

17. Tentukan persamaan sebuah garis yang semua titiknya

memiliki jarak terdekat 4 satuan terhadap garis

0632 xy

Y

X 0

2

4

6

-2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 46

18. Buktikan bahwa superposisi dua buah garis yang saling

tegak lurus memiliki gradien 1

2

1 1

m

mm dengan m1

adalah gradien salah satu garis yang disuperposisi!

MATLAB:

a. Cara memulai menggunakan Matlab:

a.1. Bukalah software Matlab

Maka akan muncul jendela:

Gambar 2.3 Jendela Matlab, Command Window

Command Window

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 47

a.2. Klik File New M-File (lihat gambar di atas!)

Maka akan muncul jendela seperti berikut:

Gambar 2.4 Jendela M-File Editor

a.3. Ketikkan perintah berikut pada jendela Editor tersebut.

x=linspace(0,5);

y=[2 -5];

p=polyval(y,x);

plot(x,p), title('y=2x-5'), xlabel('x'),ylabel('y')

a.4. Simpan file tersebut pada folder yang Anda inginkan.

Anda bisa buat folder sendiri.

Perhatikan contoh berikut!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 48

Gambar 2.5 Menyimpan M-File

a.5. Setelah tersimpan. Klik FileSet Path…

Maka, akan muncul jendela:

Gambar 2.6 Jendela Set Path

Folder Tempat

menyimpan M-File

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 49

a.6. Klik Add Folder, dan browse folder tempat menyimpan

M-File! Setelah folder tersebut ditampilkan pada area

MatlabSearchPath, klik tombol Save Close.

a.7. Kembalilah ke jendela utama Matlab. Ketik perintah: run

garisLurus pada Command Window! Lalu tekan tombol

Enter! Perhatikan gambar grafik yang muncul!

b. Membuat plot dari fungsi diskrit.

b.1. Pada kesempatan ini kita akan membuat plot dari fungsi

Dengan batas nilai x adalah

Yakni, nilai x adalah bilangan bulat.

b.2. Lakukan langkah seperti pada a.1 sampai a.2 di atas!

b.2. Ketikkan perintah:

x= 0:1:4;

p=[2 0];

v=polyval(p,x);

stem(x,v), title('y=2x'), xlabel('x'), ylabel('y')

b.3.Lanjutkan instruksi berikutnya seperti pada poin a di atas!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 50

BAB 3

FUNGSI KUADRAT

Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota

himpunan Y berlaku persamaan cxbxay 2, 0a dengan

},:/{ RxxxxX selalu menghasilkan titik-titik

pasangan bilangan (x, y) yang membentuk grafik parabola pada

koordinat kartesius. Persamaan cxbxay 2 tersebut

disebut dengan fungsi kuadrat.

Contoh:

Sebuah fungsi memetakan himpunan

},22:/{ RxxxxX terhadap himpunan Y yang semua

anggotanya dihasilkan dari kuadrat masing-masing anggota

himpunan X. Tunjukkan semua titik pasangan bilangan (x,y) yang


Jawab:

Y

1

2

3

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

4 -2,4 2,4

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 51

3.1 Nilai a pada cxbxay 2

Nilai a pada menentukan arah cekungan, telungkup atau

terbuka. Nilai 0a , kalau nol jadi bukan persamaan kuadrat

a. a bernilai positif (a>0)

Gambar 3.1 Nilai a>0

Artinya x2 akan selalu menghasilkan nilai positif. Sehingga

untuk x mendekati nilai y akan menuju ekstrem positif, dan

untuk nilai x mendekati nilai y juga selalu ekstrem positif.

Dengan kata lain, di dalam },:/{ RxxxxX

ada x = m yang membuat nilai y paling kecil dari nilai y yang lain.

Nilai tersebut disebut nilai ekstrem minimum. Sehingga

persamaan cxbxay 2 dengan a > 0 menghasilkan grafik

parabola cekung terbuka.

Contoh:

+

Y

X + - - - - -

+ + + +

+

Y

X

+

- - - -

-

+

+ +

+

-

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 52

Buktikan bahwa sebuah fungsi YXf : sehingga untuk

setiap anggota himpunan Y berlaku persamaan

xxy 42 2, dengan },:/{ RxxxxX akan

membentuk grafik parabola cekung terbuka! Carilah anggota

himpunan X yang membuat nilai y positif dan yang membuat

nilai y yang negatif!

Jawab:

Bukti bahwa xxy 42 2menghasilkan grafik parabola

cekung terbuka:

Jika xxy 42 2 menghasilkan parabola cekung

terbuka pastilah berlaku:

Saat x mendekati nilai y akan menuju ekstrem positif:

Diambil nilai x = -100, )100(4)100(2 2y

400.20y

Saat x mendekati nilai y akan menuju ekstrem positif:

Diambil nilai x = +100, 10041002 2y

600.19y

diantara -100 dan +100 haruslah didapat nilai y yang lebih

kecil:

Diambil nilai x = 0 50402 2y

0y

jadi, ada tiga titik seperti berikut:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 53

Dari tiga buah titik tersebut menunjukkan bahwa

xxy 42 2 pastilah membentuk grafik parabola

cekung terbuka.

Himpunan X yang membuat nilai y posistif (y>0) dan

himpunan X yang membuat nilai y negatif (y<0):

langkah pertama cari nilai x yang membuat y = 0.

xxy 42 2= 0

042 2 xx

0)2(2 xx

02 x 01x

0)2(x 22x

buat garis bilangan X.

Grafik sudah diketahui cekung terbuka, maka pastilah kira-kira

seperti berikut:

(-100, +20.400)

(+100, +19.600)

(0, 0)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 54

himpunan X yang membuat nilai y positif

Dari grafik di atas terlihat bahwa untuk x<0 nilai y selalu di

atas sumbu x (y>0). Jadi, himpunan X yang membuat nilai

y positif adalah:

0:/{ xxxX positif atau },2 Rxx

Jadi, himpunan X yang membuat nilai y negatif adalah:

},20:/{ RxxxxX negatif

b. a bernilai negatif (a<0)

Artinya x2 akan selalu dikalikan dengan bilangan negatif.

Sehingga untuk x mendekati nilai y akan menuju ekstrem

X 0 1 2 3 -1

+ + + + + +

- - - - - -

X 0 1 2 3 -1

- - - - - - Y<0

X 0 1 2 3 -1

Y>0

+ + + + + + + +

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 55

negatif, dan untuk nilai x mendekati nilai y juga selalu

ekstrem negatif.

Dengan kata lain, di dalam },:/{ RxxxxX

ada x = n yang membuat nilai y paling besar dari nilai y yang lain.

Nilai tersebut disebut nilai ekstrem maksimum. Sehingga

persamaan cxbxay 2 dengan a < 0 menghasilkan grafik

parabola cekung telungkup.

Gambar 3.2 Nilai a<0

3.2 Akar-akar persamaan kuadrat

Gunanya untuk mencari titik potong pada sumbu X yakni (x1,

0) dan (x2, 0) dan titik potong pada garis horizontal yang lain

(yakni garis dengan persamaan my ).

Cara pertama: dengan rumus kuadrat.

Y

X 0

c

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 56

02 cxbxay

02 cxbxa

21 , xx a

cabbx

2

42

1

…………(3.1)

a

cabbx

2

42

2

…………(3.2)

Gambar 3.4 Akar-akar Persamaan

Cara kedua: dengan memfaktorkan.

02 cxbxa

02

a

cx

a

bx

Y

X (x1, 0) 0 (x2, 0)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 57

0)( 2121

2 xxxxxx

a

bxx 21 dan

a

cxx 21

0)()( 21 xxxx

Contoh:

a. Carilah titik potong kurva 722 xxy pada garis

2y !

Jawab:

Titik potong tersebut adalah (x1, 2) dan (x2, 2).

Persamaan grafik 722 xxy

2722 xx

Persamaan garis 2y

2722 xx

0522 xx

Y

X

(x1, 2)

0

(x2, 2) 2

7

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 58

12

51422 2

1x = 61

12

51422 2

2x = 61

Jadi, titik potongnya adalah: ( 61 , 2) dan ( 61 ,2).

b. Carilah akar-akar persamaan 0652 xx

Jawab:

0652 xx dikalikan

dengan -1

0652 xx

0)3()2( xx

0)2(x , 21x

0)32()22(

0)3(x , 31x

0)33()23(

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah: 21x dan

31x .

3.3 Determinan

Seperti sudah dibahas sebelumnya salah satu cara mencari

akar-akar persamaan 02 cxbxa adalah memakai rumus

akar kuadrat seperti berikut.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 59

a

cabbx

2

42

2,1

…………(3.3)

Angka di dalam akar disebut dengan determinan D (determinate:

menentukan). Akan terlihat nanti bahwa determinan akan

menentukan karakteristik persamaan kuadrat. Jadi, rumus akar

kuadrat tersebut menjadi:

cabD 42

…………(3.4)

a

Dbx

21 …………(3.5)

a

Dbx

22

…………(3.6)

Bentuk tentunya menimbulkan tiga buah kemungkinan:

a. untuk nilai D positif (D>0) akan ada dua bilangan dari D

contoh: 9 = +3 dan -3.

b. untuk nilai D sama dengan nol (D=0) tentunya D =0

c. untuk nilai D negatif (D<0), D tidak ada bilangan real

yang memenuhi.

Nilai –nilai D tersebut menentukan karakteristik persamaan

02 cxbxa sebagai berikut:

a. D >0

3 2 0 1

D

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 60

Persamaan 02 cxbxa dengan D > 0 selalu

mempunyai dua akar real yaitu:

a

Dbx

21

a

Dbx

22

Artinya fungsi kuadrat rxqxpy 2 yang

berpotongan dengan garis my sehingga membentuk

persamaan 02 cxbxa dengan D > 0 selalu

memiliki dua titik potong pada garis yang dimaksud.

Perhatikan contoh a pada subbab 1.6.1 di atas.

b. D = 0

Akar nol adalah nol sehingga akar D = 0 adalah D = 0 =

0.

a

Dbx

21 =

a

b

2

0 =

a

b

2, dan

a

bx

2

02 =

a

b

2

0 =

a

b

2

Terlihat bahwa x1 = x2 artinya adalah persamaan

02 cxbxa dengan D = 0 selalu mempunyai satu

akar real yaitu:

0

D

1 -1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 61

a

bx

2 …………(3.7)

Sehingga fungsi kuadrat rxqxpy 2 yang


persamaan 02 cxbxa dengan D = 0 selalu

memiliki satu titik potong pada garis yang dimaksud.

Perhatikan contoh berikut!

Contoh:

Carilah titik potong kurva 242 xxy pada garis 2y !

Jawab:


2242 xx

Persamaan garis 2y

2242 xx

0442 xx

12

41442 2

1x

12

021x = 1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 62

12

022x = 1

Jadi, grafik 242 xxy hanya menyinggung saja

pada garis 2y di titik singgung (1, 2).

c. D <0

Akar negatif tidaklah ada bilangan yang memenuhinya*.

Sehingga akar D < 0 adalah D = .... = { }.

Kalau D -nya saja tidak ada maka a

Dbx

21 tidak

ada juga. Sehingga, persamaan 02 cxbxa dengan

-1 0

D

-2 -3

Y

X

y = 2

0

2

242 xxy

1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 63

D < 0 tidak mempunyai akar. Sebagai konsekwensinya

adalah fungsi kuadrat rxqxpy 2 yang


persamaan 02 cxbxa dengan D < 0 tidak

memiliki satu pun titik singgung pada garis yang

dimaksud. Perhatikan contoh berikut!

Contoh:

Carilah titik potong kurva 242 xxy pada garis 3y !

Jawab:


3242 xx

Persamaan garis 3y

3242 xx

0542 xx

12

51442 2

1x

12

421x = …… (tidak ada)

Jadi, grafik 242 xxy tidak memotong maupun

menyinggung garis 3y seperti ditunjukkan pada grafik

berikut.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 64

* Catatan: persamaan 02 cxbxa dengan D < 0

hanya mempunyai akar-akar imajiner. Akar-akar ini

berguna nanti pada pembahasan persamaan diffierensial.

Jadi pada pembahasan disini untuk sementara akar imajiner

tidak diperhitungkan (dianggap tidak ada).

3.4 Nilai ekstrem

Nilai ekstrem ada dua yakni:

a. nilai ekstrem minimum

adalah bilangan terkecil anggota himpunan Y.

b. nilai ekstrem maksimum

adalah bilangan terbesar anggota himpunan Y.


himpunan Y berlaku persamaan cxbxay 2, 0a dengan

},:/{ RxxxxX akan selalu memiliki titik ekstrem

saat nilai absis:

Y

X

y = 2

0

2

242 xxy

1

3 y = 3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 65

a

bx

2.

Grafik parabola cxbxay 2 selalu simetris terhadap garis

vertikal a

bx

2 yang disebut sumbu simetri. Dan setiap garis

horizontal yang memotong grafik akan selalu menghasilkan ruas

garis yang terpotong persis sama oleh sumbu simetri tersebut.

Berikut gambarannya.

Gambar 3.5 Sumbu Simetri

Grafik parabola di atas memiliki persamaan xxy 22

dipotong oleh beberapa garis horizontal. Akan terlihat nanti bahwa

Y

1

2

3

X 0 1 2 3 -2 -1 Y = 0

Y = 1

Y = 1

Y = 3 Y = r

a

bx

2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 66

semua persamaan kuadrat 02 cxbxa yang dihasilkan

memiliki nilai a

bx

2 yang sama.

a. dipotong oleh sumbu X (garis y = 0)

grafik xxy 22

022 xx 1a dan 2b

garis y = 0

maka a

bx

2

12

)2(x = 1

Sudah terlihat disini bahwa persamaan garis my tidak

merubah nilai a maupun b fungsi kuadrat cxbxay 2.

Yang berubah hanya nilai c saja. Perhatikan sekali lagi contoh

berikut.

b. dipotong oleh garis y = 1

grafik xxy 22

0122 xx 1a

dan 2b

garis y = 1

maka a

bx

2

12

)2(x = 1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 67

Sumbu simetri (garis a

bx

2

) memotong grafik

cxbxay 2 tepat pada titik ekstremnya (pada contoh yaitu

xxy 22, titik ekstremnya adalah titik balik minimum).

Sehingga nilai y pada titik itu adalah:

cxbxay 2

ca

bb

a

bay

22

2

ca

b

a

by

24

22

a

ca

a

b

a

by

4

4

4

2

4

22

a

caby

4

42

Jadi, nilai ekstrem adalah

a

caby

4

42

…………(3.8)

Bentuk di atas sering diringkas menjadi a

Dy

4. Jika

diperhatikan bentuk ringkas ini tidaklah tepat. D adalah

determinan untuk persamaan 02 cxbxa bukan untuk

persmaan kuadrat cxbxay 2. Persamaan yang terakhir ini

nilai determinannya tentu berbeda, coba tentukan!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 68

3.5 Titik balik

Titik balik untuk fungsi kuadrat cxbxay 2 berada

pada titik ekstremnya yaitu (a

b

2,

a

cab

4

42

). Pembahasan

titik balik, nilai ekstrem dan grafik fungsi kuadrat akan berlanjut

pada pembahasan tentang kalkulus differensial dan integral.

3.6 Cara melukis kurva cxbxay 2

a. Tentukan kurva terbuka (a>0) atau telungkup (a<0).

b. Tentukan titik potong dengan sumbu Y,

c. Tentukan titik potong dengan sumbu X kalau ada,

d. Tentukan sumbu simetrinya yakni garis a

bx

2,

e. Tentukan titik baliknya (a

b

2,

a

cab

4

42

),dan

f. Gambar!

Contoh:

Gambarkan grafik 32 xxy pada koordinat kartesius!

Jawab:

a. Kurva terbuka (a =1).

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 69

b. Titik potong dengan sumbu Y (0, y):

(0, y) 3002y

3y

Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 3).

c. Titik potong dengan sumbu X (p, 0) dan (q, 0) kalau ada:

X (p, 0) dan (q, 0) 30 2 xx

D 31412D

11D

Jadi, grafik 32 xxy tidak memotong sumbu X.

d. Sumbu simetri

a

bx

2

12

1x =1/2

e. Tentukan titik baliknya

14

31412

y

4/11y

f. Gambar:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 70

3.7 Menentukan persamaan cxbxay 2

a. memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) serta melalui titik

(m, n).

cxbxay 2

a

cx

a

bx

a

y 2

)()( 21 xxxxa

y

Contoh:

Persamaan cxbxay 2 memotong sumbu X di (-2,

0) dan (3, 0) serta memotong sumbu Y pada ordinat 6.

tentukan nilai a, b, dan c!

Y

X

(0, 3)

0

(1/2, 11/4)

x = 1/2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 71

Jawab:

)()( 21 xxxxa

y

(-2, 0) dan (3, 0) )3()2( xxa

y

(0, 6) )30()20(6

a

1a

Persamaannya: )3()2(1

xxy

62 xxy

Jadi, a = -1, b = 1, dan c = 6.

b. menyinggung sumbu X di (x1, 0) serta melalui titik (m, n).

2

1)( xxa

y

c. memiliki titik ekstrem (xp, yp)

2)()(

p

pxx

a

yy

d. melalui tiga titik sembarang.

Substitusikan titik-titk tersebut pada persamaan

cxbxay 2 sehingga dihasilkan persamaan tiga

variabel dan pecahkanlah!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 72

LATIHAN 3.1_____________________________________

a. Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota

himpunan Y berlaku persamaan 322 xxy , dengan

},31:/{ RxxxxX menghasilkan titik-titik

pasangan bilangan (x, y) yang membentuk kurva parabola

pada koordinat kartesius. Gambarkan kurva tersebut!

Berapa nilai y maksimum dan minimumnya?

b. Sebutkan syarat-syaratnya agar persamaan

cxbxay 2 memiliki sifat sebagai berikut:

1. Sumbu simetrinya berada di sebelah kiri sumbu Y,

2. tidak menyinggung sumbu X, dan

3. kurvanya telungkup.

c. Dari persamaan cxbxay 2 dengan

},:/{ RxxxxX manakah pernyataan

berikut yang benar:

1. jika a>0 persamaan tersebut tidak memiliki nilai

maksimum.

2. jika a<0 persamaan tersebut memiliki nilai

minimumnya di .

3. jika b<0 sumbu simetrinya berada di sebelah kanan

sumbu Y.

4. pasti memotong sumbu Y di (0, c).

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 73

5. jika nilai 042 cab akan memotong sumbu X.

6. tidak memotong garis cy 2 .

7. tidak memotong garis cxby 2

8. jika a>0 nilai minimumnya terjadi pada saat nilai x

terletak di antara –b/a dan +b/a.

d. Persamaan 322 xxy dicerminkan terhadap garis

4y . Tentukan persamaan bayangannya!

e. Jika persamaan cxxy 42 digeser horizontal

ternyata saling bersentuhan di titik baliknya dengan

persamaan 322 xxy . Nilai c adalah…

f. Jarak kedua titik potong parabola 242 xpxy pada

sumbu X adalah 5 satuan, tentukan nilai p tersebut!

g. Sebutkan himpunan nilai x yang membuat nilai y dari

persamaan 732 xxy lebih dari 5!

h. Agar ungkapan )4(2)1( 2 txtxt bernilai negatif

untuk semua x, maka nilai t adalah….

i. Apabila grafik fungsi 2/1)4(2 xkxky

seluruhnya di atas sumbu X maka nilai k tidak mungkin

sama dengan ....

j. Tentukan persamaan dari kurva parabola berikut!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 74

MATLAB:

a. Menggambar kurva parabola

Lakukan langkah-langkah seperti pada contoh di BAB 2.

Berikut adalah kode untuk membuat plot fungsi:

Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:

x=linspace(-5,5);

y=[1 -2 -3];

p=polyval(y,x);

plot(x,p,x,0), title('y=x^2-2x-3'), xlabel('x'),ylabel('y')

b. Mencari akar-akar persamaan

Berikut adalah kode untuk mencari akar dari

Y

X

3

0 -1 3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 75

Buatlah M-File:

y=[1 -2 -3];

p=roots(y)

c. Mencari nilai y jika x diketahui.

Contoh kode berikut untuk mencari nilai y dari fungsi:

Jika nilai x = 1;


y=[1 -2 -3];

p=polyval(y, 1);

__________________________________________________

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 76

BAB 4

FUNGSI MODULUS


himpunan Y berlaku persamaan )(xfy , dengan

},:/{ RxxxxX maka x telah dipetakan terhadap y

oleh fungsi modulus.

x 0

x

-x <0

Contoh:

Sebuah fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota himpunan

Y berlaku persamaan xy dengan },23:/{ RxxxxX .

Buatlah grafiknya!

Jawab:

untuk 20 x maka xy = xy . Grafiknya adalah

sebelah kanan sumbu Y.

Titik-titiknya diantaranya: (0, 0), (1, 1), (1,9999; 1,9999),

dsb.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 77

untuk 03 x maka xy = xy . Grafiknya

adalah sebelah kiri sumbu Y.

Titik-titiknya diantaranya: (-0,00009; 0,00009), (-1, 1),

(2,2), (-3, 3), dsb.

4.1 Menggeser Fungsi Modulus dalam Arah Horizontal

Dengan mentransformasi x menjadi x’–a maka tidak hanya

fungsi modulus semua fungsi akan tergeser:

a. ke kanan sejauh a satuan untuk a>0

b. ke kiri sejauh a satuan untuk a<0

Contoh:

Gambarlah grafik xy 2 dan grafik y tersebut yang sudah

digeser 1 satuan ke kiri!

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

-1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 78

Jawab:

grafik xy 2 (yang sebelah kiri):

grafik xy 2 (yang sebelah kanan): digeser ke kiri sejauh

1 satuan, maka a = -1, dan x = x’ + 1.

)1'(2 xy

2'2 xy

Contoh titik yang bergeser: (1, 2) (0, 2), dan (-1, 2) (-

2, 2).

Dengan semua nilai x ditambah satu satuan menjadikan seolah-

olah sumbu X digeser satu satuan ke kanan relatif terhadap sumbu

Y awal.

Y

X 0 1 2 -2 -1

1

2

3

-1

Y

X 0 1 -3 -2 -1

1

2

3

-1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 79

4.2 Menggeser Fungsi Modulus dalam Arah Vertikal

Dengan mentransformasi y menjadi y’–b maka tidak hanya

fungsi modulus yang akan tergeser, tapi semua fungsi.

a. ke atas sejauh b satuan untuk b>0

b. ke bawah sejauh b satuan untuk b<0

xy xby

LATIHAN 4.1_____________________________________

a. Gambarkan fungsi grafik xy 2 !

b. Gambarkan fungsi grafik 2)1(2 xy !

c. Gambarkan fungsi grafik 122 2 xxy !

Y

X 0 1 2 -2 -1

1

2

3

-1

Y

X 0 1 2 -2 -1

1

2

3

-1

b>0

b<0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 80

MATLAB:

a. Membuat plot fungsi mutlak


Dalam rentang


x=linspace(-2,2);

y=abs(x.^2-3*x)+5;

plot(x,y,'g'), xlabel('x')

b. Memasukkan nilai x ke dalam fungsi mutlak.

Berikut adalah kode untuk mengganti nilai x dengan 3 pada:


a=2;

y=abs(a^2-3*a)+5

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 81

BAB 5

FUNGSI POLINOM

5.1 Bentuk umum


himpunan Y berlaku persamaan:

01

2

2

1

1 .....)( axaxaxaxaxF n

n

n

n

disebut fungsi polinom berderajat n, dengan ciri:

a. Derajat (pangkat) tertinggi adalah n,

b. Koefisien suku (variabel) dari an sampai a0,

c. koefisien suku tetap adalah a0.

Contoh:

Dari fungsi polinom )14()2()( 23 xxxxxF Tentukan:

derajat, koefisien suku x4, dan suku tetap polinom tersebut!

Jawab:

)14()2()( 23 xxxxxF

02834)( 2345 xxxxxxF

derajat: 5

koefisien suku x4 : -4

suku tetap (a0) : 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 82

5.2 Nilai polinom

a. cara substitusi

Nilai )(hF dengan h adalah suatu bilangan diperoleh dengan

mensubstitusikan h ke dalam fungsi:

01

2

2

1

1 .....)( axaxaxaxaxF n

n

n

n .

Contoh:

Tentukan nilai )14()2()( 23 xxxxxF dengan x = 2!

Jawab:

)14()2()( 23 xxxxxF

)1242()222()2( 23F

)3()12()2(F

36)2(F

b. cara skema/bagan

Metode/cara lain mendapatkan nilai )(hF adalah metode

skema/bagan seperti pada contoh berikut:

Contoh:

Tentukan nilai )14()2()( 23 xxxxxF dengan x = -1!

Jawab:

Pertama, ubah fungsi tersebut ke dalam bentuk standard:

)14()2()( 23 xxxxxF

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 83

x

02834)( 2345 xxxxxxF

0)2)8)3)4)1((((()( xxxxxxF

Kedua, dari bentuk terakhir tersebut buat skema dan

selesaikan:

)1(F

-1 1 -4 3 -8 2 0

-1 5 -8 16 -18

1 -5 8 -16 18 -18

Jadi, 18)1(F

5.3 Operasi pembagian pada polinom

a. Cara susun

Contoh:

?....)2(:)6752( 23 xxxx

Jawab:

52

67522

2

23

xx

xxxx

23 42 xx

xx 72

xx 22

65x

105x

4

koefisien suku-suku

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 84

Jadi,

)2(:)6752( 23 xxxx 4)}2()52{( 2 xxx

Hasil : )52( 2 xx ,

Sisa : 4

b. Dengan skema

Hasil dari : )2(:)6752( 23 xxxx adalah

2

4)52( 2

xxx . Hasil ini juga bisa dirubah menjadi bentuk:

)2(2

4)52( 2 x

xxx

)52( 2 xx )2(x 4

Bentuk terakhir ini terlihat bahwa bagian yang bergaris bawah

memiliki faktor )2(x .Jika faktor tersebut disetting sama dengan

nol 0)2(x haruslah bagian yang bergaris bawah sama dengan

nol juga. Sehingga didapat angka sisa yakni 4.

0)2(x

2x

)5222( 2)2(x 4

)11( )0( 4

0 4

F(x) P(x) P(x) S H(x)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 85

Nilai sisa ini sama persis dengan yang didapat dengan cara

susun. Prinsip inilah yang dipakai pada metode skema seperti

berikut:

2x

2 2 -5 7 -6 koefisien

suku

4 -2 10

2 -1 5 4

Bagian yang bergaris bawah menjadi koefisien hasil:

)52( 2 xx dan angka 4 menjadi sisa. Jadi, cara skema

mensubstitusi x dengan angka yang didapatkan ketika pembagi

disetting nol.

Jadi, secara umum fungsi polinom dan pembaginya dapat

diekspresikan dalam bentuk:

SisaPembagiHasilFungsi

SxPxHxF )()()(

Jika ada bilangan n sehingga pembagi )(nP menjadi nol,

perkalian hasil dan pembagi )()( nPnH menjadi nol juga sehingga

fungsi akan sama dengan sisa SnF )( .

SnPnHnF )()()(

SnHnF 0)()(

SnF )(

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 86

5.3.1 Pembagi ( bax )

SxPxHxF )()()(

SbaxxHxF )()()(

baxxP )(

0)( bnanP

a

bn b

a

banP )( = 0bb

Sa

bF )(

Contoh:

....)32(:)102( 23 xxxx

Jawab:

SxxHxxx )32()(102 23

0)32( x , a = 2, b = 3

2

3x

-3/2 2 1 1 10

-3 3 -6

2 -2 4 4

)422(1

)( 2 xxa

xH , Jelaskan mengapa harus

dibagi dengan a!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 87

2)( 2 xxxH

Jadi,

4)32()2(102 223 xxxxxx

5.3.2 Pembagi ( cbxax2 )

SxPxHxF )()()(

ScbxaxxHxF )()()( 2

Bentuk pembagi cbxaxxP 2)( memiliki dua

kemungkinan:

d. Tidak mudah atau tidak bisa difaktorkan

Pakailah cara susun biasa.

e. Bisa dan mudah difaktorkan

Bisa memakai cara susun dan skema.

Contoh:

....)32(:)1510852( 2234 xxxxxx

Jawab:

SxxxHxxxx )32()()1510852( 2234

SxxxHxxxx )3)(1()()1510852( 234

3x

3 2 -5 8 -10 15

6 3 33 69

1x 2 1 11 23 84

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 88

-1 -2 1 -12

2 -1 12 11

Jika yang dipakai adalah akar x = -1 terlebih dulu

hasilnya juga sama:

-1 2 -5 8 -10 15

-2 7 -15 25

3 2 -7 15 -25 40

6 -3 36

2 -1 12 11

Hasil : 122 2 xx

Sisa : qpx

3x : 843 qp

1x : 401 qp

11p

51q

Jadi, sisa: 5111x

)5111()32()122(

)1510852(

22

234

xxxxx

xxxx

5.4 Teorema sisa

a. )(xF dibagi dengan ( hx ) sisanya adalah )(hF .

b. )(xF dibagi dengan ( bax ) sisanya adalah )/( abF .

Kedua dalil sudah dibuktikan pada pembahasan di atas.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 89

5.5 Pembagi berderajat dua atau lebih

a. )()()()(:)( 22 qpxcbxaxxHcbxaxxF

Sisa : qpx

b. )()()(

)(:)(

223

23

rqxpxdcxbxaxxH

dcxbxaxxF

Sisa : rqxpx2

Contoh:

1. Tentukan sisa dari )1(:)7542( 22810 xxxx !

Jawab:

)()()()( xSxPxHxF

1)( 2xxP

0)(xP 012x , x = 1 dan x = -1

)1(F =

10)7151412( 2810

)1(F =

10)7)1(5)1(4)1(2( 2810

)()1()()( 2 qxpxxHxF

)1()11()1()1( 2 qpHF =10

10qp

)1()1)1(()1()1( 2 qpHF =10

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 90

10qp

Maka p = 0, dan q = 10.

Jadi, sisanya adalah 10.

2. Diketahui: )(xF dibagi dengan )2(x sisa 7.

)(xF dibagi dengan )3(x sisa -8.

)(xF dibagi dengan )6( 2 xx sisa ….

Jawab:

)()()()( xSxPxHxF

7)2()()( xxHxF

7)22()2()2( HF =7

8)3()()( xxHxF

8)33()3()3( HF = -8

)()6()()( 2 xSxxxHxF

)()3)(2()()( qpxxxxHxF

)2()32)(22()2()2( qpHF =7

72 qp

)3()33)(23()3()3( qpHF = -8

83 qp

maka p = 3 dan q = 1

Jadi, sisanya adalah: 13x .

)13()6()()( 2 xxxxHxF

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 91

5.6 Teorema faktor

Ada )( hx yang merupakan faktor dari )(xF , maka

0)(hF . Artinya adalah bahwa )( hx merupakan salah satu

faktor pembentuk persamaan )(xF .

Contoh:

Buktikan bahwa )2(x merupakan salah satu faktor dari

persamaan 68)( 23 xxxxF !

Jawab:

6823 xxx adalah sama dengan )2(x.

)6( 2 xx , jadi )2(x pastilah faktor dari

68)( 23 xxxxF .

)2(F )22(. )622( 2

= 0

Beberapa kesimpulan berikut didapat dari pembahasan di atas.

a. Jika pada suku banyak berlaku 0)(aF , 0)(bF ,

dan 0)(cF maka )(xF pasti habis dibagi dengan

)( ax.

)( bx.

)( cx .

b. Jika )( ax adalah faktor dari )(xF maka a adalah

akar dari )(xF .

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 92

c. )(xF jika dibagi dengan )( ax.

)( bx didapatkan

sisa:

)()( aFba

bxbF

ab

axS

d. )(xF jika dibagi dengan )( ax.

)( bx.

)( cx

didapatkan sisa:

)()()(

)()(

)()()(

)()()(

)()(

)()(

aFcaba

cxbx

bFcbab

cxaxcF

bcac

bxaxS

Contoh:

Tentukan sisa dari )32(:)1510852( 2234 xxxxxx !

Jawab:

322 xx = )( ax.

)( bx

= )1(x.

)3(x

)()( aFba

bxbF

ab

axS

4031

384

13

1 xxS (lihat contoh pada

subbab pembagi!)

30102121 xxS

5111xS

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 93

5.7 Jumlah dan hasil kali akar-akar

a. 02 cbxax

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan tersebut maka:

)( 1xx.

0)( 2xx

a

bxx 21

a

cxx 21

b. 023 dcxbxax

Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan tersebut

maka:

)( 1xx.

)( 2xx. 0)( 3xx

a

bxxx 321

a

cxxxxxx 323121

a

dxxx 321

5.8 Contoh-contoh Grafik Polinom :

1. )2)(1( xxxy 23 x

Akar –akar persamaan persamaan 0)2)(1( xxx

adalah: -2, 0, 1.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 94

Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (0,0), (1,0) .

Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus turun.

Saat nilai x terus bertambah dari 1 grafik akan naik terus.

Jika diperhatikan seolah-olah bisa ditarik garis lurus dari

kiri bawah ke kanan atas. Sifat itu hanya dimiliki oleh

fungsi polinom derajad ganjil. Fungsi tersebut berderajad

tiga.

2. )2)(1()2( 2 xxxy 33 x

-3 -2 -1 1 2

X

-4

-2

2

4

6

8

Y

-3 -2 -1 1 2 3

X

5

10

15

20

25

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 95

Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (-1,0).

Menyinggung sumbu X di (2,0)

Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik

(nilai y selalu positif).

Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan naik terus


Jika diperhatikan seolah-olah bisa dibuat grafik parabola

dari kiri atas, ke bawah kemudian ke kanan atas (ingat

fungsi kuadrat!). Sifat itu hanya dimiliki oleh fungsi

polinom derajad genap. Fungsi tersebut berderajad empat.

Perhatikan pengaruh nyata dari faktor )2)(1( xx yang

seolah-olah membentuk cekungan parabola di 02 x .

Juga pengaruh nyata faktor 2)2(x di sekitar x = 2.

3. )2()12()2( 32 xxxy 33 x

Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (-1,0).

-3 -2 -1 1 2 3X

-50

50

100

150

200

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 96

Menyinggung sumbu X di (2,0)

Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik


Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan naik terus


Jika diperhatikan seolah-olah bisa dibuat grafik parabola

dari kiri atas, ke bawah kemudian ke kanan atas (ingat

fungsi kuadrat!). Perhatikan pengaruh nyata dari faktor

)2)(1( xx yang seolah-olah membentuk cekungan

parabola di 02 x . Pengaruh nyata faktor 2)2(x di

sekitar x = 2. Pengaruh nyata faktor 3)12( x ada di

15,1 x

4. )1)(2)(1)(2( xxxxxy 33 x

Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik.

Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan terus turun.

-3 -2 -1 1 2 3

X

-10

-5

5

10

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 97

Jika diperhatikan seolah-olah bisa ditarik garis lurus

bergradien negatif dari kiri atas ke kanan bawah. Ini adalah

pengaruh nyata dari faktor )1( x .

5. 24 2346 xxxxy 33 x

Coba buat perkiraan letak akar-akar persamaan fungsi

tersebut dan simpulkan!

LATIHAN 5.1_____________________________________

c. Dari fungsi polinom )14()2()( 223 xxxxxF

Tentukan: derajat, koefisien suku x4, dan a0 polinom

tersebut!

d. Tentukan nilai A dan B jika,

6

21

23 2 xx

x

x

B

x

A!

-3 -2 -1 1 2 3

X

-10

10

20

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 98

e. Nilai sebuah polinom )0(F = 0, maka a0 =…..

f. Tentukan nilai )2(F dari fungsi

0232)( 345 xxxxxF !

g. Tentukan nilai )0(F dari fungsi

)54()()( 223 xxxxxF !

h. Tentukan nilai )1(F dari fungsi

)32(:)102()( 23 xxxxxF !

i. Tentukan jarak terdekat garis x = 5 dengan titik (2, y)

grafik fungsi: )51082()( 234 xxxxxf !

j. Tentukan hasil dan sisa dari )2(:)62( 23 xxxx !

k. Hasil dan sisa dari )4(:)51082( 2234 xxxxx

adalah….

l. Hasil dan sisa dari:

....)12(:)1510852( 2234 xxxxxx

m. Diketahui: )(xF dibagi dengan )2(x sisa 2.

)(xF dibagi dengan )3(x sisa -3.

)(xF dibagi dengan )6( 2 xx sisa ….

n. )(xF dibagi dengan )32( 2 xx sisa )75( x tentukan

sisanya jika )(xF dibagi dengan )3(x !

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 99

o. Sebuah fungsi )(xF berderajat 3 memotong sumbu X di

titik (-2, 0), (1, 0), dan (3, 0). Tentukan sisanya jika )(xF

dibagi dengan )1(x !

p. Mana di antara pernyataan berikut yang paling tepat:

a. fungsi polinom )(xF selalu memotong sumbu Y,

b. fungsi polinom )(xF selalu memotong sumbu X,

c. titik potong pada sumbu Y selalu di (0, a0).

d. Jumlah hasil dan sisa adalah )(xF itu sendiri.

q. Gambarkan kurva 62 23 xxxy dengan

Rxx ,22 !

MATLAB:

a. Membuat plot fungsi polinom



x = linspace(-3,3);

y=[1 -2 -3 5];

n=polyval(y,x);

plot(x,n,x,0), xlabel('x')

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 100

b. Mencari akar-akar polinom

Berikut adalah kode untuk mencari akar dari

Buatlah M-File:

y=[1 -2 -3 5];

n=roots(y)

c. Memasukkan nilai x pada fungsi polinom

Contoh kode berikut untuk mencari nilai y dari fungsi:

Jika nilai x = -2;


y=[1 -2 -3 5];

n= polyval(y, -2);

d. Pembagian Polinom, Hasil, dan Sisa

Contoh kode berikut untuk mencari hasil H(x) dan sisa S(x)

dari pembagian polinom dibagi

dengan


P=[1 -2 -3 5];

Q=[1 -2 1];

[H,S]=deconv(P,Q)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 101

Jika Anda run program tersebut pada Command Window,

hasilnya adalah:

H =

1 0

S =

0 0 -4 5

Artinya adalah: , dan

e. Perkalian Polinom

Contoh kode berikut untuk mencari hasil perkalian polinom

dengan


P=[1 -2 -3 5];

Q=[1 -2 1];

H=conv(P,Q)

Hasilnya:

H =

1 -4 2 9 -13 5

Artinya:

__________________________________________________

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 102

BAB6

FUNGSI EKSPONENSIAL

6.1 Persamaan Eksponen

Sebelum membahas tentang fungsi eksponen terlebih dahulu

dilakukan pembahasan tentang persamaan eksponen seperti

berikut.

1) aaaaan ..... sebanyak n. 7)

nmnm aaa

2) aa1 8)

nm

n

m

aa

a

3) 10a 9)

nmnm aa )(

4) n

n

aa

1 10)

nnn baba )(

5) nn aa

1

11)

n

nn

b

a

b

a)(

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 103

6) n mn

m

aa 12)

2...6931,0e

Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen.

1. Bentuk I

1)(xfa 0)(xf

Contoh:

Carilah himpunan X yang membuat 13 232 xx !

Jawab:

0232 xx

0)2()1( xx 1x , 2x

Jadi, X={1, 2}

2. Bentuk II

pxf aa )( pxf )(

Contoh:

Carilah x yang membuat 81/127 12x !

Jawab:

81/127 12x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 104

42

)12(3

33

x

42

)12(3 x

836x 6/5x

3. Bentuk III

)()( xgxf aa )()( xgxf

Contoh:

Carilah x yang membuat 27

39

821

xx !

Jawab:

27

39

821

xx

2/138222 )33(3 xx

2

82

22 33

x

x

2

8222

xx

8244 xx 6x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 105

4. Bentuk IV

)()( xfxf ba 0)(xf

Carilah x yang membuat 4343 22

53 xxxx !

Jawab:

0432 xx

0)4()1( xx 1x , 4x

5. Bentuk V

pxf ba )(

)log()log( )( pxf ba

)log()log()( bpaxf

)log(

)log()(

a

bpxf

)log()( bpxf a

Materi logaritma dibahas setelah subbab ini.

Contoh:

Carilah x yang membuat 105 2x !

Jawab:

)10log()5log( 1525 x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 106

10log1)2( 5x

10log2 5x

6. Bentuk VI

)()( xgxf ba

)log()log( )()( xgxf ba

)log()()log()( bxgaxf

Contoh:

Carilah x yang membuat xx 105 2 !

Jawab:

)10log()5log( 525 xx

10log1)2( 5xx

2)10log1( 5x

2)10log5log( 55x

2)105log(5x

50log

25

x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 107

7. Bentuk VII

0)()( )(2)( caBaA xfxf

0)( 2 cByyA )( xfay

Contoh:

Carilah x yang membuat xx 32833 22 !

Jawab:

033283 22 xx

0332833 22 xx

03)3(28)3(9 2 xx

03289 2 yy xy 3

0)3()19( yy

9

1y x3

9

1 , 2x

3y x33 , 1x

8. Bentuk VIII

)()( )()( xgxf xHxH

Maka penyelesaiannya adalah:

a. )()( xgxf

b. 1)(xH

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 108

c. 0)(xH dengan syarat nilai x haruslah membuat 0)(xf

dan 0)(xg kenapa? Jelaskan! (petunjuk 0

1).

d. 1)(xH ; dengan syarat )(xf dan )(xg sama-sama

genap atau sama-sama ganjil. Kenapa?

Contoh:

Carilah x yang membuat 122532 )86()86( xx xxxx !

Jawab:

Solusinya adalah:

)()( xgxf

1253 xx

6x masukkan dalam persamaan 1313 88 ,

terbukti.

1)(xH

1862 xx

0762 xx

12

714)6()6( 2

2,1x

23x satu pangkat berpapun sama dengan satu.

0)(xH

0862 xx

0)4()2( xx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 109

2x , 4x nilai ini di uji apakah membuat 0)(xf dan

0)(xg .

2x 0)(xf 0)(xg

0523 0122

Jadi, 2x adalah salah satu penyelesaian (solusi).

4x 0)(xf 0)(xg

0543 0142

Jadi, 4x adalah juga salah satu penyelesaian (solusi).

1)(xH

1862 xx

0962 xx

0)3( 2x

3x nilai ini harus diuji apakah membuat )(xf dan )(xg

sama-sama genap atau sama-sama ganjil

3x 533)(xf (genap)

132)(xg (ganjil)

Jadi, 3x bukan solusi.

Jadi solusinya adalah { 23 , 2, 4, 6}

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 110

6.2 Pertidaksamaan eksponen

)()( xgxf aa

Nilai x untuk pertidaksamaan adalah:

a. Jika a>1, )()( xgxf

b. Jika 0<a<1, )()( xgxf

Contoh:

Carilah x yang membuat 152 82 xx !

Jawab:

Solusinya adalah:

152 82 xx

)1(352 22 xx

(a =2) >1

)()( xgxf

3352 xx

x8

Jadi, himpunan nilai x untuk persamaan tersebut adalah X ={

8:/ xxx }.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 111

6.3 Fungsi Eksponensial

Fungsi YXf : sehingga untuk setiap anggota himpunan Y

berlaku persamaan xay , 0a dan 1a disebut fungsi

eksponen.

Contoh:

Gambarlah grafik xy 2 dengan batas nilai x: 22 x

pada koordinat kartesius!

Jawab:

2x 22y = 0,25

1x 12y = 0,5

0x 02y = 1

1x 12y = 2

2x 22y = 4

Gambar:

Y

1

2

3

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

4

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 112

6.4 Contoh Grafik Eksponensial :

1. xy 2 22 x

Fungsi ini tidak pernah memotong sumbu X. Tetapi memotong

sumbu Y di (0, 1). Satu-satunya cara agar fungsi ini memotong

sumbu Y selain di (0, 1) adalah dengan menambah konstanta

misal 32 xy , maka fungsi ini akan memotong sumbu Y di

(0,4). Fungsi ini selalu menghasilkan nilai y selalu positif

sehingga fungsi berada di atas sumbu X. Untuk mempertajam

grafik dilakukan dengan cara mengalikan x dengan konstanta

atau memberinya pangkat misal: xy 32 atau

2

2 xy .

-2 -1 1 2X

1

2

3

4

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 113

2. 212 xy 33 x

Fungsi ini tidak pernah memotong sumbu X. Tetapi memotong

sumbu Y di (0, 2). Titik ini sekaligus puncakgrafik. Grafik

membentuk genta simetris. Mengapa?

Bagaimana caranya untuk menggeser grafik ke kanan atau ke

kiri?

Bagaimana caranya agar grafik memotong sumbu X?

Apa pengaruhnya jika di depan variabel x ditambah faktor

pengali kontan misal 5? Apa pengaruhnya jika konstanta itu:

bulat positif, pecahan positif, bulat negatif, dan pecahan

negatif?

-3 -2 -1 1 2 3X

0.5

1

1.5

2

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 114

3. 212 xxy 33 x

Dengan adanya faktor pengali x di depan angka pokok

menjadikan fungsi ini memotong kedua sumbu di (0,0). Faktor

pengali itu juga memangkas grafik 212 xy sehingga di

daerah 11 x bertransformasi seolah-olah membentuk

garis lurus dengan gradien 1. perhatikan lagi kedua grafik di

atas. Sebutkan pengaruh faktor pengali x yang lain dengan

memperhatikan grafik!

-3 -2 -1 1 2 3

X

-1

-0.5

0.5

1

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 115

4. 212 2 xxy 33 x

Grafik ini menyinggung sumbu X di (0,0). Selain titik itu

semua titik berada di atas sumbu X. Pengaruh nyata dari faktor

pengali 2x adalah mentransformasi daerah 11 x menjadi

seolah-olah adalah kurva parabola. Sebutkan pengaruh faktor

pengali 2x yang lain!

5. xey 20 x

-3 -2 -1 1 2 3X

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Y

0.5 1 1.5 2X

1

2

3

4

5

6

7

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 116

Grafik fungsi xey selalu naik ke kanan atas dan tidak

pernah berpotongan dengan sumbu X. Grafik fungsi ini akan

memiliki banyak sekali penerapan, misal dalam persamaan

differensial untuk getaran. Fungsi ini akan menunjukkan

apakah suatu sistem stabil atau tidak.

Pemberian konstanta di depan variabel x akan mempertajam

grafik dengan cepat, begitu juga dengan pemberian pangkat.

Apa pengaruhnya jika konstanta yang diberikan bernilai:

positif, dan negatif? Apa pengaruhnya terhadap grafik jika

pangkat yang diberikan pada variabel x: genap, dan ganjil?

6. xey 3

20 x

Grafik fungsi ini memiliki nilai maksimum 1, kenapa? Nilai

maksimum atau minimum tersebut tentunya bergantung pada

konstanta di depan nilai pokok e.

0.5 1 1.5 2X

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 117

LATIHAN 6.1_____________________________________

1. Akar persamaan 315 273 xx adalah…

2. Bila , maka nilai x =….

3. Nilai x yang memenuhi persamaan 0122 222 xx

adalah….

4. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 05)5(65 xx ,

maka x1+ x2 =….

5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2323 22

35 xxxx

adalah….

6. Jika 419 xx maka 23 xx ….

7. Jika 744 xx , maka xx 88 ….

8. Diketahui xxxf 232 33)( dan 12)()( bfaf , maka

ba ….

9. Gambarlah fungsi xy 2 dan xy 2 pada koordinat

kartesius!

10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 13 432 xx

adalah…

11. Batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

02535 1 xx adalah…

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 118

MATLAB:

a. Membuat Plot Fungsi Eksponensial

Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi

pada rentang nilai x: :

x=linspace(-2,2);

y=(2.^x).*(exp(-x.^2));

plot(x,y), xlabel('x')

b. Membuat Plot Dua Buah Fungsi Eksponensial


dan


x=linspace(-2,2);

y=(2.^x).*(exp(-x.^2));

y1=1-(2.^(1-x.^2);

plot(x,y,,’r’,x,y1,’g’), xlabel('x')

Grafik fungsi y berwarna merah (r=red), dan grafik fungsi y1

berwarna hijau (g=green)

__________________________________________________

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 119

BAB 7

FUNGSI LOGARITMIK

7.1 Persamaan logaritma

Sifat-sifat logaritma:

1) nba log maka ban dengan 0a dan 1a ,

0b

a disebut bilangan pokok, dan b disebut numerus.

2) yxyx aaa logloglog

contoh: 1000log100log1000100log 101010= 5

3) yxy

x aaa logloglog

contoh: 100log1000log100

1000log 101010 =3-2=1

4) xnx ana loglog

contoh: 100log210000log100log 1010210= 4

5) xm

nx anam

loglog

contoh:

210log2

410000log10log 101004102

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 120

6) a

xx

a

log

1log , 0x dan 1x

contoh: 210log

1100log

100

10 (memakai sifat 4)

7) a

xx

p

pa

log

loglog , 0p dan 1p

contoh: 22

4

100log

10000log10000log

10

10100 , dan

seterusnya.

8) yyx axa logloglog

9) n

m

bm bana log)(

10) b

c

c

b aa loglog

11) be log ditulis bln , e : bilangan alam (2,71828…)

12) ...6931,02ln

13) xlog10 biasa ditulis xlog saja.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 121

7.2 Bentuk-bentuk Persamaan Logaritmik:

1. Bentuk I

pxf aa log)(log pxf )( dan 0)(xf

Contoh:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan

1)6log()4log( 33 xx !

Jawab:

1)6log()4log( 33 xx (sifat 2)

3log)6()4log( 33 xx

3)6()4( xx

324102 xx

021102 xx

0)7()3( xx

3x 7x cek dengan mensubstitusikan ke persamaan!

1)63log()43log( 33 terlihat bahwa untuk 3x sifat 1

tidak dipenuhi.

Hanya 7x yang memenuhi persamaan tersebut.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 122

2. Bentuk II

)(log)(log xgxf aa )()( xgxf dan

0)(xf , 0)(xg

Contoh:


0)53log()105log( 2 xxx !

Jawab:

)53()105( 2 xxx

0)152( 2 xx

0)5()3( xx

Hanya 3x yang memenuhi persamaan.

3. Bentuk III

)(log)(log xfxf ba 1)(xf menjadi solusi.

Contoh:


)55log()55log( 2423 xxxx !

Jawab:

1552 xx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 123

0452 xx

0)4()1( xx

1x dan 4x

4. Bentuk IV

)(log)(log )()( xgxf xhxh

Solusi: 0)(xf , 0)(xg , 0)(xh , dan 1)(xh

Contoh:


xx

x

xx

x log

14log)3log(

log

182

!

Jawab:

xx

x

xx

x log

14log)3log(

log

182

8log4log)3log()2log( xxxx xx

8log4)3()2log( xx xx

84)3()2( xx

2)3()2( xx

2652 xx

0452 xx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 124

0)4()1( xx

1x dan 4x

Hanya 4x solusinya, silahkan cek!

7.3 Pertidaksamaan logaritma

)(log)(log xfxf ba

Solusi untuk pertidaksamaan logaritma tersebut adalah:

1. jika 1a maka )()( xgxf serta 0)(xf ,

0)(xg

2. jika 1a maka )()( xgxf serta 0)(xf ,

0)(xg

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan:

1)32log(5 x !

Jawab:

Solusinya adalah:

1)32log(5 x

5log)32log( 55 x

(a =5) >1

)()( xgxf

1 4 2 3

1 4 2 3

4 2 3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 125

532x

4x

0)(xf , 0)(xg

032x

2/3x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

},42/3:/{ RxxxxX .

7.4 Fungsi Logaritmik


berlaku persamaan )(log xgy a , 0a , dan 1a , serta 0)(xg

disebut fungsi logaritma.

Contoh:

Tentukan himpunan bilangan bulat y dengan xy log3 dengan

batas nilai x: 823 x !

Jawab:

xy log3 : 823 x

(3, _ ) 3log3y = 1

(9, _ ) 9log3y = 2

(27, _ ) 27log3y = 3

(81, _ ) 81log3y = 4

Himpunan bilangan bulat y adalah Y={1, 2, 3, 4}

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 126

7.5 Contoh Grafik Logaritmik:

1. xy log2 201 x

Grafik berada selalu di sebelah kanan sumbu Y. memotong

sumbu X di (1,0). Grafik yang selalu berada di sebelah kiri

sumbu Y adalah: )log(2 xy , 120 x . Coba

jelaskan agar grafik memotong sumbu X tidak di (0, 1)! Apa

pengaruhnya jika angka bilangan pokok 2 diganti dengan

angka: bulat positif lainnya, pecahan positif?

5 10 15 20X

1

2

3

4

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 127

2. 22 log xy 201 x

Pemberian pangkat pada variabel x memperbesar nilai y. Coba

Jelaskan bagaimana bentuk grafiknya jika batas nilai x:

10 x !

LATIHAN 7.1_____________________________________

1. Bila x>1, maka xx nm log

1

log

1….

2. 2log5log6log 532

92 a

dengan a = 1/5, sama dengan….

3. 6log12log4log 222 ….

4. Jika a = 0,1666…. Maka 36loga ….

5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:

2)log2

13log(loglog xx dengan bilangan pokok

logaritma 2!

5 10 15 20X

2

4

6

8

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 128

6. Nilai f(1/9) dengan xxf log)( 3 adalah…

7. Tentukan domain fungsi :

a. )52log()( 3 xxf

b. 2

1log)( 3

x

xxf

c. 2

9log)(

2

2

4

1

xx

xxf

8. Manakah pernyataan berikut yang benar:

a. grafik fungsi xxf log2)( 3 berada di sebelah

kiri sumbu Y.

b. grafik fungsi logaritma selalu di sebelah kanan

sumbu Y.

c. grafik fungsi logaritma selalu memotong sumbu X.

d. grafik fungsi logaritma memotong sumbu X di titik

(1, 0).

9. Fungsi )342log()( 22 pxxxf mempunyai nilai

maksimum 3, maka nilai p adalah….

10. Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan

)12log(log 222 xx !

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 129

MATLAB:

a. Membuat Plot Fungsi Logaritmik



Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:

x=linspace(-2,5);

y=log10(x.^2-3*x+5);

plot(x,y,'g'), xlabel('x')

b. Menghitung nilai fungsi logaritma

Kode berikut digunakan untuk memasukkan nilai x = 2 fungsi


x=2;

y=log10(x.^2-3*x+5)

c. Untuk natural logaritma kodenya adalah log(x) dan 2log(x)

pakailah kode log2(x).


x=2;

y=log2 (x)

y1=log(x)

__________________________________________________

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 130

BAB 8

FUNGSI TRIGONOMETRI

8.1 Dasar-dasar trigonometri

Berikut adalah beberapa istilah dalam trigonometri (lihat

gambar di bawah!):

Gambar 8.1 Segitiga Siku-siku

r disebut garis miring (hipotenusa)

22 yxr (nilainya selalu positif)

r

ysin

y

reccos

r

xcos

x

rsec

x

ytan

y

xcot

cos

sintan

y

x

r

α

β

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 131

α 00

300

450

600

900

sin α 02

1 1

2

1 2

2

1 3

2

1 4

2

1

cos α 1 32

1 2

2

1

2

1 0

tan α 0 3

1 1 3

1cossin2

2

2

2222

22

r

r

r

xy

r

x

r

y

1cossin 22

22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos

sin

22 sec1tan

8.2 Nilai Sudut α dari 00 hingga 360

0

Nilai sinus, cosinus, dan tangent untuk sudut α dari 00 hingga

3600 ditentukan dengan cara sebagi berikut:

a. Kuadran I ( 00 900 )

Dengan 22 yxr maka r akan selalu bernilai positif.

Perhatikan bahwa di kuadran I ( 00 900 ) nilai x dan y akan

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 132

selalu positif, sehingga nilai sinus, cosinus, dan tangent akan

selalu positif:

r

y)sin( positif

r

x)cos( positif

x

y)tan( positif

Gambar 8.2 Kuadran I

b. Kuadran II ( 00 18090 )

Perhatikan bahwa di kuadran II ( 00 18090 ) nilai x selalu

negatif, sedangkan nilai y selalu positif, sehingga:

Gambar 8.3 Kuadran II

Y

X

Kuadran I

α

x

y

y

0

r

x0

Kuadran II

α

-x

+y

r

Y

X

β

0

r

y0

β

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 133

r

y)sin( positif

r

x)cos( negatif

x

y)tan( negatif

Perhatikan gambar! Sudut α haruslah selalu dibentuk oleh sisi

x (sisi dekat ) dan sisi r (sisi miring) segitiga siku-siku. Sisi y

selalu menjadi sisi hadap. Jadi,

sin)180sin(sin

cos)180cos(cos

tan)180tan(tan

c. Kuadran III ( 00 270180 )

Tentu sudah jelas bahwa di kuadran III ( 00 270180 ) nilai

x dan nilai y selalu negatif, sehingga:

r

y)sin( negatif

r

x)cos( negatif

x

y)tan( positif

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 134

Gambar 8.4 Kuadran III

sin)180sin(sin

cos)180cos(cos

tan)180tan(tan

d. Kuadran IV( 00 360270 )

Sudah jelas pula bahwa di kuadran IV ( 00 360270 ) nilai

x selalu positif sedangkan nilai y selalu negatif, sehingga:

r

y)sin( negatif

r

x)cos( positif

x0

Kuadran III

α

-x

-y

r

Y

X

β

0

r

y0

β

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 135

x

y)tan( negatif

Berikut rangkumannya:

Gambar 8.5 Kuadran IV

8.3 Sudut Negatif (-α)

Dengan adanya kenyataan seperti di atas yaitu bahwa:

d. sudut α terbentuk oleh sisi x dan sisi r .

e. sudut α nol tebentuk saat sisi x dan sisi r saling

berhimpitan di sumbu X.

Y

X

Kuadran I Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV

00 900 00 18090

00 270180 00 360270

:)sin(

:)cos( :)tan(

Semua: +

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 136

f. untuk membuat nilai-nilai besaran trigonometri

positif maka sisi r harus berputar dengan pusat (0,

0) ke kiri berlawanan arah jarum jam, sehingga

sudut α makin membesar.

Sehingga arah sudut positif ditentukan berlawanan arah jarum jam,

dan sebaliknya.

Gambar 8.6 Sudut Negatif

Dari gambar terlihat bahwa:

GAMBAR KIRI GAMBAR KANAN KESIMPULAN

1. r

y)sin(

r

y)sin( sin)sin(

2. r

x)cos(

r

x)cos( cos)cos(

3. x

y)tan(

x

y)tan( tan)tan(

α

Y

X 0

r

(x, y)

y

x

+y

-α

Y

X 0

r

(x, -y)

-y

x

-y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 137

Contoh:

Bagaimana cara membentuk sudut 300 dan -60

0?

Jawab:

> Sudut 300 dibentuk dengan memutar sisi r dari sumbu X

berlawanan arah jarum jam sehingga perbandingan nilai y

dengan x titik ujung sisi r adalah 3/1 .

> Sudut 600 dibentuk dengan memutar sisi r dari sumbu X searah

jarum jam sehingga perbandingan nilai y dengan x titik ujung

sisi r adalah 3 .

8.4 Sudut Radian

Besaran sudut bidang dinyatakan dalam derajat ( 0) dan radian.

Hubungan keduanya adalah sebagai berikut. Perhatikan lingkaran

di bawah!

300

Y

X 0

2

(1, 3 ) -600

Y

X 0

1

(- 3 ,1)

2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 138

r α

S

Panjang busur s berbanding lurus dengan sudut α dan r.

Semakin besar sudut α semakin panjang pula busur S.

Gambar 8.7 Sudut Radian

rs …………(8.1)

dengan α dalam satuan radian.

Ketika α mencapai 3600 berarti panjang s360 sama dengan keliling

lingkaran k.

ks360

rr 2

π rad 0180 ,

1 rad0180

1 rad 03,57

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 139

Sudut istimewa dalam bentuk radian:

α0

00

300

450

600

900

α rad 0 rad 6

rad 4

rad 3

rad 2

rad

8.5 Sudut Berrelasi

a. sudut (900 -α)

Gambar 8.8 Sudut 900- α

Dari gambar di atas terlihat bahwa:

(α) (900-α) KESIMPULAN

1. r

y)sin(

)90cos( 0

r

y

)sin()90cos( 0

2. r

x)cos( )90sin( 0

r

x )cos()90sin( 0

3. x

y)tan(

)90tan(

10x

y

)(cot)90tan( 0 an

α

r

X 0

y

x

Y

900-α

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 140

b. Sudut (1800 -α)

Gambar 8.9 Sudut 1800- α



1. r

y)sin( )180sin( 0

r

y )sin()180sin( 0

2. r

x)cos( )180cos( 0

r

x )cos()180cos( 0

3. x

y)tan( )180tan( 0

y

x )tan()180tan( 0

α

r

0

y

x

r

X 0

y

-x

Y

1800-α

α

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 141

c. Sudut (1800 + α)

Gambar 8.10 Sudut 1800+ α



1. r

y)sin( )180sin( 0

r

y

)sin()180sin( 0

2. r

x)cos( )180cos( 0

r

x )cos()180cos( 0

3. x

y)tan( )180tan( 0

y

x )tan()180tan( 0

α

r

0

y

x

r

X -y

-x

Y

1800+α

α

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 142

d. Sudut (3600 -α)

Dari gambar di bawah terlihat bahwa:

1. )sin()360sin( 0

2. )cos()360cos( 0

3. )tan()360tan( 0


e. Sudut (k . 360

0 +α)

Dengan cara yang sama dengan di atas didapat:

1. )sin()360sin( 0k , k : bilangan bulat.

2. )cos()360cos( 0k

3. )tan()180tan( 0k

α

r

0

y

x

r

X -y

Y

3600-α

α

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 143

8.6 Sifat- sifat Trigonometri

a. Penjumlahan dan pengurangan sudut

Perhatikan busur setengah lingkaran dengan jari-jari r = 1

tersebut!


r = 1

A (1, 0)

B ( cos1 , sin1 )

C ( )cos(1 , )sin(1 )

D ( )cos(1 , )sin(1 )

A

β

Y

X

α

0

r

y0

-β

O

B

C

D

r

r

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 144

Untuk P (x1,y1) dan Q (x2,y2) maka jarak

2

12

2

12 )()( yyxxPQ .

Sehingga:

> 22 )0)(sin()1)(cos(AC

)(sin1)cos(2)(cos 222

AC

)cos(222

AC

> 22 ))sin((sin))cos((cosDB

)cos()cos(

)sin()sin(

222

)sin(sin)cos(cosDB

sinsinsin2sincoscoscos2cos 2222

DB

sincossinsin2coscos2sincos 2222

DB

1cossin2coscos212

DB

> 22

DBAC

sinsin2coscos22)cos(22

1) sinsincoscos)cos(

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 145

2) )sin(sin)cos(cos)cos(

sinsincoscos)cos(

3) ))(90cos()sin( 0

))90cos(()sin( 0

sin)90sin(cos)90cos()sin( 00

sincoscossin)sin(

4) )sin(cos)cos(sin))(sin(

sincoscossin)sin(

Rumus penjumlahan sudut:

Coba cek seperti berikut:

sinsincoscos)cos( 1)00cos( 00

sinsincoscos)cos( 1)3030cos( 00

sincoscossin)sin( 1)00sin( 00

sincoscossin)sin( 1)3030sin( 00

Dengan rumus-rumus di atas buktikan bahwa:

tantan1

tantan)tan( , dan

tantan1

tantan)tan( !

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 146

b. Sudut Rangkap

sinsincoscos)cos()2cos(

22 sincos)2cos(

1sincos 22

1cos2)2cos( 2

Lanjutkan seperti contoh untuk yang lain!

cossin2)2sin(

1cos2)2cos( 2

2tan1

tan2)2tan(

c. Sudut Persetengahan

22 sincos)2cos(

1sincos 22

1cos2)2cos( 2

1cossin 22

2

)2cos(1cos

22 sincos)2cos(

1sincos 22

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 147

2sin21)2cos(

22 sin1cos

2

)2cos(1sin

Dengan cara di atas diperoleh rumus untuk mendapatkan nilai

sinus, cosinus, dan tangent sudut ½ α jika diketahui nilai sinus,

cosinus, dan tangent sudut α:

2

cos1

2

1sin

2

cos1

2

1cos

cos1

cos1

2

1tan

d. Perkalian sinus dan cosinus

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

cossin2)sin()sin(

)}sin(){sin(2

1cossin

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

+

-

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 148

sincos2)sin()sin(

)}sin(){sin(2

1sincos

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

coscos2)cos()cos(

)}cos(){cos(2

1coscos

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

sinsin2)cos()cos(

)}cos(){cos(2

1sinsin

Rumus perkalian sinus cosinus:

)}sin(){sin(2

1cossin

)}sin(){sin(2

1sincos

)}cos(){cos(2

1coscos

)}cos(){cos(2

1sinsin

+

-

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 149

e. Jumlah dan selisih sinus dan cosinus

x x

y y

yx2 yx2

)(2

1yx )(

2

1yx

)}sin(){sin(2

1cossin

}sin{sin2

1)(

2

1cos)(

2

1sin yxyxyx

)}(2

1cos)(

2

1{sin2sinsin yxyxyx

(pindah ruas)

Jika substitusi nilai x dan y ini dilanjutkan pada rumus perkalian di

atas didapat:

)}(2

1cos)(

2

1{sin2sinsin yxyxyx

)}(2

1sin)(

2

1{cos2sinsin yxyxyx

)}(2

1cos)(

2

1{cos2coscos yxyxyx

)}(2

1sin)(

2

1{sin2coscos yxyxyx

+ _

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 150

8.7 Rumus-rumus segitiga

a. Aturan sinus

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Dari mana aturan ini muncul?

Perhatikan garis CC’!

AbCC sin'

BaCC sin'

BaAbCC sinsin'

B

b

A

a

sinsin

Perhatikan garis AA’!

BcAA sin'

CbAA sin'

CbBcAA sinsin'

C

c

B

b

sinsin, jadi:

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

B A

C

a b

c

B A

C

a b

c

C’

A’

Gambar 8.13 Aturan Sinus

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 151

b. Aturan cosinus

Acbcba cos2222

Bcacab cos2222

Cbabac cos2222


Perhatikan garis B’C!

AbCB sin'

Perhatikan garis B’B!

AbcBB cos'

Perhatikan segitiga CB’B!

222

'' CBBBBC

222 )sin()cos( AbAbca

)sin()coscos2( 222222 AbAbAcbca

AcbAbAbca cos2sincos 222222

AcbAAbca cos2)sin(cos 22222

Acbcba cos2222

Dan seterusnya.

B A

C

a b

c B’

Gambar 8.14 Aturan Cosinus

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 152

c. Panjang garis yang membagi sisi

Panjang A’C sama dengan A’B.

Panjang garis AA’ adalah:

AcbcbAA cos22

1' 22


Perhatikan garis BB’!

AbAABB cos"'

Perhatikan garis B’C’!

AbCACB sin"''

Perhatikan segitiga AB’C’!

222

'''' CBABAC

222

)sin()cos(' AbAbcAC

AbAbAbccAC 222222

sincoscos2'

B A

C

A’ b

c

==

==

B A

C

A’ b

c A”

==

==

B’

C’

Gambar 8.15

Garis Bagi Sisi

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 153

AbcAAbcAC cos2)sin(cos' 22222

AcbcbAC cos2' 222

AcbbcAC cos2' 22

'2

1' ACAA

AcbcbAA cos22

1' 22

8.8 Koordinat polar (kutub)

Gambar 8.16 Koordinat Polar

Koordinat sebuah titik juga dapat dinyatakan dalam sistem

koordinat polar (r, α). Antara kooordinat polar dan koordinat

kartesius dapat saling ditransformasikan dengan cara berikut:

a. Dari koordinat polar menjadi koordinat kartesius.

Y

X

α

x

y

y

0

r

(x, y)

α

0

r

(r, α)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 154

),(r ),( yx

cosrx , dan sinry

Contoh:

Koordinat kutub titik P adalah (8, 1500), maka koordinat

kartesiusnya adalah…

Jawab:

),(r ),( yx

(8, 1500) ),( yx

cosrx sinry

0150cos8x 0150sin8y

32

18x

2

18y

34x 4y

(8, 1500) )4,34(

b. Dari koordinat kartesius menjadi koordinat polar.

),( yx ),(r

Dengan: 22 yxr , x

yarctan

Jadi, angka depan koordinat polar tidak pernah negatif. Untuk

menentukan α perhatikan kuadaran titik ),( yx tersebut.

Contoh:

Koordinat titik P adalah (3, -4), maka koordinat kutubnya

adalah…

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 155

Jawab:

),( yx ),(r

(3, -4) ),(r

22 yxr x

yarctan

22 )4(3r 3

4arctan (kuadran IV)

5r )53360( 00 =3070

(3, -4) )307,5( 0

8.9 Persamaan Trigonometri

1) Persamaan dasar

Gunakan sifat-sifat dasar trigonometri!

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

02)3cos(2 x dengan batas 0x !

Jawab:

02)3cos(2 x

2

2)3cos( x

)24

3cos()3cos( kx (lihat pada bahasan

sudut berrelasi!)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 156

4

33x 2

4

33 kx

0x

12

8

12

7kx

12

82

12

7x =

4

3

12

81

12

7x =

12

1

12

80

12

7x =

12

7>0

12

7x (ingat: cos(-α) =

cosα)

Jadi, HP={4

3,

12

7,

12

1}.

2) Persamaan bentuk penjumlahan

Gunakan rumus jumlah dan selisih!

Contoh:


0cos3cos xx dengan batas x0 !

Jawab:

0cos3cos xx

0)2(2

1cos)4(

2

1cos2 xx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 157

0cos2cos xx

02cos x 0cosx

22

2cos kx 22

cos kx

22

2 kx 22

kx

kx4

2

x

4x ,

4

3x (ingat cos(180-90)= -cos 90)?

Jadi, HP={4

, 2

, 4

3}.

3) Persamaan bentuk kuadrat

Identitas: xxx 22 sincos)2cos(

1sincos 22 xx

1cos2)2cos( 2 xx

xx 2sin21)2cos(

Contoh:

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

03tan32tan3 2 xx dengan batas 03600 x !

Jawab:

03tan32tan3 2 xx

0)3(tan)3tan3( xx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 158

33

1tan x 3tan x

18030 kx 180120 kx

30x , 210x 120x , 300x

Jadi, HP={300, 120

0, 210

0, 300

0}.

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

011sin122cos xx dengan batas 03600 x !

Jawab:

011sin122cos xx

011sin12sin21 2 xx

05sin6sin 2 xx

0)5(sin)1(sin xx

sin x =1 sin x = 5 (tidak ada solusi, nilai (sin

x) harus 1).

36090 kx

90x

Jadi, HP={900}.

4) Persamaan (a. cos x + b

.sin x)

a. Bentuk (a. cos x + b

.sin x)

Dirubah dahulu menjadi seperti berikut:

)cos(sincos xkxbxa

dengan 22 bak

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 159

a

btan (lihat bahasan

sudut berrelasi!)

Asal-usul rumus:

)cos(sincos xkxbxa

sinsincoscossincos xkxkxbxa

xkxa coscoscos

coska

sinsinsin xkxb

sinkb

222222 sincos kkba

)sin(cos 22222 kba

22 bak

sin

cos

k

k

b

a

a

btan

Contoh:

Tentukan nilai k dan α dari persamaan

)cos(cos3sin3 xkxx !

Jawab:

)cos(cos3sin3 xkxx

)cos(sin3cos3 xkxx (bentuk baku)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 160

a = -3 , b : 3 ( sudut berada di kuadran II)

22 3)3(k

32k

3

3tan

)30180tan(tan 00 (kuadran II)

0150 (kuadran II)

b. Penyelesaian persamaan (a. cos x + b

.sin x)=c

cxbxa sincos

cxk )cos( (lihat bahasan

persamaan bentuk dasar)

k

cx )cos(

Mengingat nilai cosinus tidak boleh kurang dari -1 dan

lebih dari 1, maka:

1))(cos(1k

cx

11k

c, atau

kc , sehingga: 22 kc

Contoh:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 161


1cos3sin3 xx dengan batas 03600 x !

Jawab:

1)30cos(2cos3sin3 0xxx

1)30cos(2 0x

2

1)30cos( 0x

)36060cos()30cos( 000 kx (ingat cos(-α) bernilai

positif juga)

000 3606030 kx

090x

000 3606030 kx

000 3606030x

0330x

Jadi, HP = {900, 330

0}.

5) Persamaan trigonometri dengan dua variabel

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

060yx dan 1sinsin yx dengan batas

00 720360 x !

Jawab

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 162

1sinsin yx

1)(2

1cos)(

2

1sin2 yxyx

1)(2

1cos30sin2 0 yx

1)(2

1cos yx

00 3600)(2

1kyx

030)(2

1yx

00 36030 kx = 3900

00 36030 ky = -3300 disini k tidak boleh sama

dengan nol, kenapa?

6) Pertidaksamaan trigonometri

Pertidaksamaan dibuat dari bentuk-bentuk persamaan di

atas. Jadi, tahap-tahap penyelesaiannya pun dipakai lagi

dan ditambah satu langkah lagi untuk menyelesaikan

pertidaksamaannya.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan

12sin2 x dengan batas 00 1800 x !

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 163

12sin2 x

2

12sin x

00 360302 kx

00 3601502 kx

00 18015 kx 00 18075 kx

Kenapa tidak k nya saja yang dibagi menjadi k’=k/2?

Jelaskan dengan aljabar!

015x 075x

Buat garis bilangan:

Pengecekan sudut-sudut antar batas:

2

12sin x , 00 1800 x

x = 00

2

10sin 0 , 0

0 =

HP.

x = 450

2

190sin 0 , 45

0= bukan HP

x = 900

2

1180sin 0 , 90

0 = HP.

Jadi, HP: }18075150:/{ 0000 xatauxxx

0 180 75 15

0 180 75 15

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 164

Dengan menggambarkan grafiknya akan terlihat lebih jelas.

8.10 Fungsi dan grafik

8.10.1 Fungsi trigonometri


berlaku persamaan cxbxay sincos , disebut fungsi

trigonometri. Bentuk ini dibakukan menjadi: )cos(xky

dengan batasan: 1)cos(1 x . Konsekwensinya:

a. nilai y maksimum adalah = k +c, yakni saat

1)cos(x

b. nilai y minimum adalah = -k +c, yakni saat

1)cos(x

Contoh:

Tentukan nilai maksimum dan minimum y dengan

5sin32cos2 xxy dengan batas nilai x:

00 3600 x !

Jawab:

5sin32cos2 xxy

5)60cos(4 0xy

nilai y maksimum adalah = 4+5 = 9

nilai y minimum adalah = -4+5 = 1.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 165

8.10.2 Grafik Fungsi Trigonometri

cxbxay sincos

)cos(xky

Sebelum menggambar grafik terlebih dahulu tentukan:

1. x=00 dan x=360

0 nilai y sama,

2. titik potong sumbu X kalau ada, y = 0

3. titik maksimum dan minimum.

GRAFIK SINUS

a. xy sin , 00 360180 x

Memotong sumbu X di: (-1800, 0), (0

0, 0), (180

0, 0), (360

0, 0)

Titik maksimum (900, 1).

Titik miminum(-900,-1), (-270

0, -1).

Setelah 00 grafik naik (arah panah).

Y

X 0 90

1

2

-2

-1

180 270 360 -90 -180

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 166

b. xy sin2 , 00 360180 x

Memotong sumbu X di: (-1800, 0), (0

0, 0), (180

0, 0), (360

0, 0)


Titik miminum(-900,-2), (-270

0, -2).


Jadi,

Fungsi xAy sin hanya akan memperbesar amplitudo

gelombang fungsi xy sin sebesar A. Coba jelaskan

bagaimana kalau A bernilai negatif!

c. xy 2sin , 00 360180 x

Memotong sumbu X di:

(-1800, 0), (-90

0, 0), (0

0, 0),

Y

X 0 90

1

2

-2

-1

180 270 360 -90 -180

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 167

(900, 0), (180

0, 0), (270

0, 0), (360

0, 0)

Titik maksimum ada 3 buah.

Titik miminum ada 3 buah.


Jadi,

Fungsi axy sin hanya akan memperbesar frekwensi

gelombang fungsi xy sin sebesar a. Coba jelaskan

bagaimana kalau a bernilai negatif!

d. )90sin( 0xy , 00 360180 x


(-900, 0), (90

0, 0), (270

0, 0)

Titik maksimum ada 2 buah.

Titik miminum ada 2 buah.


Y

X 0 90

1

2

-2

-1

180 270 360 -90 -180

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 168

Seolah-olah grafik xy sin bergeser ke kanan.

Jadi,

Fungsi )sin(xy hanya akan menggeser gelombang

fungsi xy sin ke kanan sejauh α. Coba jelaskan bagaimana

kalau α bernilai negatif!

e. xy sin1 , 00 360180 x

Y

X 0 90

1

2

-2

-1

180 270 360 -90 -180

Y

X 0 90

1

2

-2

-1

180 270 360 -90 -180

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 169

Menyinggung sumbu X di:

(-900, 0), (270

0, 0)


Titik miminum (-900, 0), 270

0, 0).


Seolah-olah grafik xy sin bergeser ke atas.

Jadi,

Fungsi xby sin hanya akan menggeser gelombang fungsi

xy sin ke atas sejauh b. Coba jelaskan bagaimana kalau b

bernilai negatif!

GRAFIK COSINUS

xy cos , 00 360180 x


Y

X 0 90

1

2

-2

-1

180 270 360 -90 -180

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 170

(-900, 0), (90

0, 0), (270

0, 0)


Titik miminum (-1800,-1), 180

0,-1).

Setelah 00 grafik turun (arah panah).

Perlakuan terhadap fungsi xy cos ,

mempunyai akibat/ pengaruh yang sama dengan fungsi

xy sin . Silahkan buktikan!

GRAFIK TANGEN

xy tan , 00 360180 x


(-1800, 0), (0

0, 0), (180

0, 0)

(3600, 0).

Nilai maksimum .

Y

X 0 90

1

2

-2

-1

180 270 360 -90 -180

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 171

Nilai miminum .

Perlakuan terhadap fungsi xy tan ,

mempunyai akibat/ pengaruh yang sama dengan fungsi

xy sin . Silahkan buktikan!

Contoh:

Gambarkan grafik 1sin3cos2 xxy dengan batas

nilai x: 00 3600 x !

Jawab:

1sin3cos2 xxy

1)60cos(2 0xy

00x , 1)60cos(2 0y = 2 0360x , 1)300cos(2 0y = 2

0y

01)60cos(2 0x

2

1)60cos( 0x

0180x dan 0300x

Titik maksimum:

3y

1)60cos( 0x , 060x (cos 00 =1)

(600, 3)

Titik minimum:

Sama, OK!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 172

1)60cos( 0x , 0240x (cos 1800 = -1)

(2400, 3)

8.11 Contoh Grafik Fungsi trigonometri

Silahkan pelajari grafik-grafik berikut dan berikan komentar!

Di bawah juga ditunjukkan grafik 3D sebagai pengantar kalkulus

multivariabel. Perhatikan inkrimental (perubahan sedikit-sedikit)

nilai x dan y terhadap grafik.

1. xxy cossin x

-3 -2 -1 1 2 3

X

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Y

Y

X 0 90

1

2

3

-1

Y=1

180 270 360

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 173

2. xxy 2cossin x

3. xxy cos2sin x

-3 -2 -1 1 2 3X

-1

-0.5

0.5

1

Y

-3 -2 -1 1 2 3

X

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 174

4. )sin( yxy x

5. )sin( 22 yxy 5,05,0 x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 175

6. yxy 22 cossin x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 176

LATIHAN 8.1_____________________________________

1. Perhatikan gambar, bila AC = 324 , maka DE = ….

2. Koordinat kutub titik Q adalah (6, 1330). Koordinat

kartesius Q adalah….

3. Titik A (-8, 6) memiliki koordinat kutub…

4. Jika tan x = 3 dan x adalah sudut tumpul, maka cos x =

….

5. Sebuah garis melalui titik (0, 0) dan membentuk sudut -300

dengan sumbu X. gradien garis tersebut adalah….

6. Sebuah garis melalui titik (-2, 3) dan titik (4,-5). Tentukan

sudut yang terbentuk antara garis tersebut dengan sumbu Y!

7. Jika px 2tan 2 , untuk 2/0 x , dan p>2. maka sin

x =….

8. Jika x0 dan x memenuhi persamaan

06tantan2 xx maka himpunan nilai sin x adalah….

9. 00

000

225cos150sin

135tan135cos270sin….

A B

C

D E

300

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 177

10. Jika 6,0)2/sin(x maka )cos()sin( xx ….

11. Jika 2/1tan x maka )cos()2/sin(sin2 xxx

….

12. Dua ekor semut berjalan dari titik A dan B pada saat yang

sama. Keduanya sampai di titik C bersamaan.. Tentukan

perbandingan kecepatannya!

13. Diketahui sin A = 3/5, cos B = 12/13, A dan B sudut

lancip. Sin (A-B) = ….

14. Bila x + y = π/4 maka tan x = …

15. Jika tan x = 1/t, maka cos 2x = ….

16. Diketahui 2 cos (π/6 + α) = cos (π/6 - α). Maka tan α = ….

17. Jika 02 0cos3sin2 xx dan 01800 x , maka x = ….

18. Persamaan: 2/1sin2cos2sincos xxxx dipenuhi

oleh x = ….

A B

C

300 45

0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 178

MATLAB:

a. Membuat Plot Fungsi Trigonometri




x=linspace(-pi,pi);

y=x.*sin(x.^2-2.*x)-x;

plot(x,y,'g',x,0,'r'), xlabel('x')

Bayangkan jika kita menggambarkan fungsi di atas secara

manual! Selain sin(x), fungsi trigonometri yang lain juga

bisa dibuat dengan matlab. Perhatikan tabel berikut!

Tabel 8.1 Kode Trigonometri pada Matlab

KODE FUNGSI TRIGONOMETRI

sin sinus

cos cosinus

tan tangen

cot cotangen

csc cosecant

sec secant

asin invers sinus

acos invers cosinus

atan invers tangen

acot invers cotangen

acsc invers cosecant

asec invers secant

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 179

b. Memasukkan Nilai x pada Fungsi Trigonometri

Kode berikut digunakan untuk mencari nilai fungsi

pada rentang nilai x:


x=pi/2;

y=x*sin(x.^2-2*x)-x

c. Membuat Plot Tiga Dimensi Fungsi Trigonometri




x=linspace(-pi,pi);

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Z=sin(sqrt(X.^2+Y.^2));

mesh(X,Y,Z)

__________________________________________________

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 180

BAB 9

BILANGAN KOMPLEKS

9.1 Notasi

Bentuk dari bilangan kompleks (z) adalah:

yjxz j = 1 , j2

= -1

dengan: x adalah bagian real (Rez), dan yj adalah bagian imajiner

(Imz). Bilangan kompleks juga bisa ditulis dengan ),( yxz .

Contoh:

1. jz 34 x = 4, y = -3

2. jz x = 0, y = -1

9.2 Operasi pada Bilangan Kompleks

9.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan

)()( 221121 jyxjyxzz

jyyxxzz )()( 212121

jyyxxzz )()( 212121

Contoh:

Tentukan penjumlahan dari 341z j dengan 2z j !

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 181

jzz )13()04(21 = j44

9.2.2 Perkalian dan pembagian

Perkalian dengan konstanta:

)( 111 jcycxzc

Perkalian dua bilangan kompleks:


2

2112212121 ( jyyjyxjyxxxzz

jyxyxyyxxzz )()( 1221212121

Contoh:

Tentukan hasil dari 341z j dikali dengan 2z j !

Jawab:

Pembagian dua bilangan kompleks:

)(

)(

22

11

2

1

jyx

jyx

z

z

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 182

)(

)(

22

11

2

1

jyx

jyx

z

z .

)(

)(

22

22

jyx

jyx

)(

(2

22222222

2

21122121

2

1

jyyjyxjyxxx

jyyjyxjyxxx

z

z

)(

)()(2

2

2

2

21122121

2

1

yx

jyxyxyyxx

z

z

jyx

yxyx

yx

yyxx

z

z2

2

2

2

2112

2

2

2

2

2121

2

1

Contoh:

Tentukan hasil dari 341z j dibagi dengan 2z j !

Jawab:

j

j

z

z 34

2

1

j

j

j

j

z

z 34

2

1

2

2

2

1 34

j

jj

z

z

1

43

2

1 j

z

z

jz

z43

2

1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 183

9.3 Koordinat Bidang Kompleks (Diagram Argand)

Bilangan kompleks dapat digambarkan pada koordinat bidang

kompleks. Sumbu 183ertical adalah sumbu imajiner dan sumbu

horizontal adalah sumbu real. Bilangan kompleks yjxz dapat

digambarkan dalam bidang konpleks sebagai berikut:

Gambar 9.1 Koordinat Bidang Kompleks

Modulus bilangan kompleks z didefinisikan sebagai:

22 yxz

Modulus bisa diasumsikan sebagai besarnya nilai z relatif terhadap

nilai z lainnya.

Contoh:

1. 32z j 22 )3(4z = 5

2. z j 22 )1(0z = 1

Im

Re

),( yx

x

y

0

z

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 184

Konjugasi bilangan kompleks z didefinisikan sebagai:

yjxz

yjxz

)()( yjxyjxzz

)( 2jyyyjxyjxxxzz

)( 22 yxzz

2

zzz

Contoh:

Buktikan bahwa 2121 zzzz !

Jawab:

jyyxxzz )(( 212121


Im

Re

),( yx

x

y

0

z

-y

z

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 185

2121 zzzz (terbukti)

9.4 Koordinat Polar Bidang Kompleks

Transformasi ke koordinat polar.

yjxz ),(rz

22 yxr

x

yarctan

Sudut θ disebut juga dengan argument z.

Transformasi dari koordinat polar.

),(rz yjxz

cosrx

sinry

)sin(cos jrz

Im

Re

),(r

0

r

θ

Im

Re

),( yx

x

y

0

r

θ

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 186

LATIHAN 9.1_____________________________________

1. z

z ….

2. …

3. ….

4. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi !

5. Buktikan bahwa wzwz !

MATLAB:

d. Membuat Plot Fungsi Kompleks


dengan nilai , nilai y , serta nilai .


t = linspace(-2,2);

x = 2*t;

y = t;

z = x+i*y;

plot(z), ylabel('yi'), xlabel('x')

e. Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks

Kode berikut digunakan untuk menghitung nilai:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 187


z=(2+3*i)/(5-3*i)

f. Operasi Pangkat Bilangan Kompleks

Kode berikut digunakan untuk menghitung nilai:


z=(2-3*i)^3

Selain contoh operasi di atas, operasi pada bilangan dan fungsi

kompleks yang lain juga bisa dibuat dengan matlab.

Perhatikan tabel berikut!

Tabel 8.1 Kode Trigonometri pada Matlab

KODE OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

abs nilai dari (modulus) bilangan kompleks

angle sudut fase (dalam radian)*

conj conjugate bilangan kompleks

imag bagian imajiner bilangan kompleks

real bagian real bilangan kompleks

*Supaya didapat nilai derajat maka pakailah perintah:

sudut = angle(2-2*i)*180/pi %hanya contoh

_________________________________________________

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 188

BAB 10

LIMIT FUNGSI, ARTI GEOMETRI

10.1 Pengertian Limit

Misalkan akan dicari xx

1lim (dibaca limit satu per x dengan x

mendekati takhingga) maka diambillah beberapa nilai x seperti

berikut:

x 1 2 1.000 1.000.000 ….

1/x 1 1/2 0,001 0,000.001 …. 0

Gambar 10.1 Grafik Fungsi 1/x

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

-2

-1

-3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 189

Terlihat bahwa pada jika nilai x membesar sebaliknya nilai 1/x

justru mengecil. Saat x besarnya tak hingga maka nilai adalah 1/x

nol.Terlihat bahwa semakin besar nilai x (yakni semakin ke kanan)

menuju tak hingga nilai y pun makin kecil menuju nol.

10.2 Limit Kiri dan Limit Kanan

Contoh:

1

2lim

2

1 x

xx

x

Limit kiri:

x -1,2 -1,1 -1,01 -1,0001 …

1

22

x

xx -3,2 -3,1 3,01 -3,001 …

31

2lim

2

1 x

xx

x

Limit kanan:

x -0,8 -0,9 -0,99 -0,9999 …

1

22

x

xx -2,8 -2,9 -2,99 -2,9999 …

31

2lim

2

1 x

xx

x

Jika nilai x sama dengan -1, maka 1

22

x

xx hasilnya 0/0.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 190

Gambaran dari limit kanan dan kiri tersebut dapat dilihat pada

grafik y = x2- 2x + 2 di bawah.

Gambar 10.2 Limit Kiri dan Limit Kanan

Limit kiri adalah mencari nilai f(x) dengan mendekati nilai x

dari arah kiri (x<a) pada contoh ini nilai x di ambil mulai dari -,05

hingga 0,999.

Limit kanan adalah mencari nilai f(x) dengan mendekati nilai x

dari arah kanan (x>a) pada contoh ini nilai x di ambil mulai dari 2

hingga 1,001.

Nilai f(1) = 12- 2

.1 + 2 = 1.

Y

X

-2

1 2 3 -3 -2 -1

-1

0

1

2

3

-3

1

22

x

xxy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 191

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

-1

10.3 Kontinuitas Fungsi

Terlihat bahwa hasil dari limit kiri dan kanan fungsi

222 xxy hasilnya sama yakni mengerucut menuju 1.

22lim 2

1xx

x= 22lim 2

1xx

x= 22lim 2

1xx

x=1

Jadi, fungsi 222 xxy kontinyu pada nilai x = 1. Syarat agar

sebuah fungsi kontinyu pada x = c adalah:

1. hasil )(lim cfcx

ada dan merupakan bilangan real,

2. hasil )(lim cfcx

ada,

3. hasil )(lim cfcx

ada ,

4. )(lim cfcx

= )(lim cfcx

= )(lim cfcx

Fungsi kontinyu adalah fungsi yang mempunyai nilai y di

semua nilai x dalam suatu batas. Misalnya fungsi y = x + 1 dengan

domain ( 22 x ) kontinyu pada interval tersebut sebagai

buktinya perhatikan grafiknya berikut ini!

Gambar 10.3 Grafik

Fungsi Kontinyu

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 192

Fungsi tidak kontinyu adalah fungsi dengan satu atau lebih

nilai y yang tak terdefinisi pada nilai x tertentu. Misalnya fungsi

2

42

x

xy tidak kontinyu pada x = 2, terlihat dalam grafik di

bawah yaitu garis mempunyai celah satu titik pada (2, 4) karena

nilai y-nya saat x =0 adalah:

2

42

x

xy =

0

0

22

422

(tidak tentu).

Gambar 10.4 Grafik Fungsi Diskontinyu

Dengan adanya celah itulah garis terpotong, itulah mengapa fungsi

2

42

x

xy menjadi tidak kontinyu pada x = 2. Hal ini tidak

terlihat pada fungsi y = x + 1 di atas.

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-1

2

42

x

xy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 193

Untuk membuat fungsi di atas menjadi kontinyu harus diberi

definisi tambahan pada x = 2 dengan fungsi baru, misalnya sebagai

berikut:

2

42

x

x 2x

y(x) =

4 2x

Maka fungsi tersebut menjadi kontinyu di x berapapun karena

kekosongan hanya terjadi di titik (2, 4) dan sudah terisi dengan

definisi fungsi tambahan yakni y = 2x pada x = 2.

Gambar 10.5 Diskontinyu ke Kontinyu

Fungsi yang nilai limit kanan dan nilai limit kirinya pada x = a

tidak sama tidak bisa dibuat kontinyu. Fungsi yang seperti terjadi

lompatan pada x = a. Deskripsinya adalah seperti berikut:

2

42

x

xy

xy 2

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 194

Gambar 10.6 Titik-titik Diskontinyu

Fungsi y1 lompat di x = a sedang fungsi y2 asimptotis di x = b.

Tidak ada fungsi tambahan yang bisa diberikan agar fungsi ini

kontinyu.

Contoh: x

y1

, tidak kontinyu dan asimptotis di x = 0.

Y

X a

y1

y2

b

Y

X 0 1 2 3 -3 -2 -1

1

2

3

-2

-1

-3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 195

10.4 Limit Fungsi Aljabar

10.4.1 mxfax

)(lim

Nilai m didapat dengan cara menggantikan nilai x dengan a

pada f(x) dan dihindari hasil (m) sebagai berikut:

1. 0

ctak hingga, dan

2. 0

0tak tentu.

Bukan berarti nilai limit suatu fungsi tidak boleh tak hingga. Lihat

contoh di bawah!

Contoh:

1. Tentukan nilai 1lim 2

3x

x !

Jawab:

1)3(1lim 22

3xfx

x

10131lim 22

3x

x

2. Tentukan nilai x

x

x

1lim

2

!

Jawab:

111

lim2

0 xx

x

x

x

3. Tentukan nilai 1

1lim

2

1 x

x

x !

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 196

Untuk mendapatkan nilai limit suatu fungsi dapat dilakukan

dengan beberapa metode berikut ini.

a. Memfaktorkan

)()(22 axaxax

)()( 2233 aaxxaxax

)()( 2233 aaxxaxax

Contoh:

Tentukan nilai xx

x

x 2

4lim

2

2

2 !

Jawab:

xx

x

x 2

4lim

2

2

2 )2(

)2()2()2(

xx

xxf

xx

x

x 2

4lim

2

2

2 x

xf

)2()2(

xx

x

x 2

4lim

2

2

2 2

)22(

xx

x

x 2

4lim

2

2

22

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 197

b. Mengalikan sekawannya

Cara mengalikan sekawannya ini dipakai untuk mendapatkan

limit dari bentuk akar.

Contoh:

Tentukan nilai 47

9lim

2

2

3 x

x

x !

Jawab:

47

9lim

2

2

3 x

x

x =

47

47

47

9lim

2

2

2

2

3 x

x

x

x

x

= 167

)47()9(lim

2

22

3 x

xx

x

= 9

)47()9(lim

2

22

3 x

xx

x

= )47(lim 2

3x

x

= )473(lim 2

3x

= 8

10.4.2 nxfx

)(lim

Dasar: 01

limxx

,

Hindari hasil-hasil: , 0

, 0

, dan ,

xxlim .

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 198

Contoh:

1. Tentukan nilai 8lim 2xx

!

Jawab:

8lim 2xx

= 82

=

2. Tentukan nilai xx

32lim !

Jawab:

xx

32lim =

32

= 02

= 2

3. Tentukan nilaixx

x

x 2

9lim

3

2

!

Jawab:

xx

x

x 2

9lim

3

2

= 2

93

2

….?

Nilai limit contoh 3 tersebut tidak dapat diperoleh secara

langsung. Nilai limit untuk fungsi-fungsi yang serupa dengan

contoh 3 tersebut didapat dengan dua cara seperti berikut:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 199

a. Membagi dengan x pangkat tertinggi

Contoh:

Tentukan nilai xx

x

x 2

9lim

3

2

!

Jawab:

xx

x

x 2

9lim

3

2

=

33

3

33

2

2

9

lim

x

x

x

x

xx

x

x

=

2

3

21

91

lim

x

xxx

=

2

3

21

91

= 01

0

= 0

b. Mengalikan dengan sekawannya

Contoh:

1. Tentukan nilai 3252lim xxx

!

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 200

3252lim xxx

=

)3252(

)3252()3252(lim

xx

xxxx

x

= )3252(

)32()52(lim

xx

xx

x

= )3252(

8lim

xxx

=

xx

xx 3

25

2

8

lim

= 0

2. Tentukan nilai 3452lim 2xxx

!

Jawab:

3452lim 2xxx

=

3452

3452)3452(lim

2

22

xx

xxxx

x

= 3452

)34(25204lim

2

22

xx

xxx

x

= 3452

2820lim

2xx

x

x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 201

=

2

34

52

2820

lim

xx

xx

= 5

Jadi, a

pbqpxaxcbxax

x 2lim 22

10.5 Teorema limit

1. cxf )( cxfax

)(lim

2. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax

3. )(lim)(lim xfkxfkaxax

4. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax

5. )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax, 0)(lim xg

ax

6.

Contoh:

1. Tentukan nilai 5lim2x

!

Jawab:

5lim2x

=5 (teorema 1)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 202

Dapat dibuktikan dengan menggambarnya pada grafik.

Fungsi f(x) = 5 adalah garis lurus horizontal. Seberapapun

nilai x nilai y tetap 5.

2. Tentukan nilai )sin2(lim 2 xxx

!

Jawab:

)sin2(lim 2 xxx

= )(sinlim2lim 2 xxxx

= sin22

= 2

10.6 Bilangan Alam (e = 2,7182818…)

1. ex

x

x

11lim

2. ex

x

x

11lim

3. ex x

x

1

0)1(lim

4. ex x

x

1

0)1(lim

Contoh:

1. Tentukan nilai51

1lim

n

n n!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 203

Jawab:

51

1lim

n

n n =

5/1

11lim

n

n n

=

5/1

11lim

n

n n

= 5/1e .

2. Tentukan nilai

x

x x

x

1

3lim !

Jawab:

x

x x

x

1

3lim =

x

x x

x

1

4)1(lim

=

44

1

4

1

1lim

x

x xx

x

=

4

4

1

41lim

x

x x

= 4e

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 204

10.7 Limit Fungsi Trigonometri

10.7.1 Limit x mendekati nol

Perhatikan gambar berikut!

Gambar 10.7 Limit Trigonometri

x dalam radian.

1OAr

Perhatikan juring AOB!

Luas juring AOB =

lingkaranluaslingkarankelilingsudut

sudutAOB_

__

= 2

2r

x,

O C

D

A

x

r

B

O C

D

A

x

r

B

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 205

= 2

x

Perhatikan segitiga OCB!

xxrOC coscos

xxrCB sinsin

Luas segitiga OCB = CBOC2

1

= xx sincos2

1

Perhatikan juring COD!

Luas juring AOB = 2)(2

OCx

= xx 2cos2

Saat garis OB berotasi dengan pusat O mendekati garis OA

maka luas segitiga OCB akan mendekati luas juring AOB begitu

juga luas juring COD mendekati luas keduanya. Saat garis OB

hampir berhimpitan dengan garis OC, sudut x mendekati nol.

Dari gambar terlihat bahwa:

Luas juring COD luas segitiga COB luas juring AOB

xx 2cos2

xx sincos2

1

2

x

xcosx

xsin

xcos

1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 206

0x 1 x

xsin1

Jadi, 1sin

lim0 x

x

x

x

x

x

tanlim

0 =

xx

x

x cos

1sinlim

0

= xx

x

xx cos

1lim

sinlim

00 (teorema limit)

= 1 x 1

= 1

Rangkuman untuk limit trigonometri dengan x mendekati nol:

1sin

lim0 x

x

x

x

x

x

coslim

0 (mengapa?)

1sin

lim0 x

x

x

x

x

x coslim

0 (mengapa?)

1tan

lim0 x

x

x Perhatikan gambar di atas lagi!

1tan

lim0 x

x

x

Contoh:

1. Tentukan nilaix

x

x 4

3sinlim

0!

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 207

x

x

x 4

3sinlim

0 =

4

3

3

3sinlim

0 x

x

x

= 4

3lim

3

3sinlim

00 xx x

x

= ¾.

2. Tentukan nilaixx

x

xx tan

2sin2lim

220!

Jawab:

xx

x

xx tan

2sin2lim

220 =

xx

xx

x tan

2sintan2lim

20

=

x

xx

xxx

x

x

cos

sin

cossin2cos

sin2

lim2

0

= xx

xxx

x sin

cossin2sin2lim

2

2

0

= xx

xx

x sin

)cos1(sin2lim

2

2

0

= xx

xx

x sin

sinsinlim2

2

2

0

= x

x

x

x

x

x

x sin

sinsinlim2

2

2

0

= 2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 208

10.7.2 Limit x mendekati bukan nol

1sin

limx

x

ax 1

)(

)sin(lim

0 at

at

t

atx

Contoh:

1. Tentukan nilai 4

3sinlim

4 x

x

x!

Jawab:

4

123sinlim

4 x

x

x =

t

t

t

3sinlim

0, 4tx

= 3.

LATIHAN 10.1____________________________________

1. Carilah nilai dari:

a. 1

2lim

2

1 x

xx

x

b. xx

11lim

0

c. 12

1lim

1 xx

x

x

d. t

t

x

sinlim

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 209

e. x

x

x 1

2lim

1

f. 322lim xxx

g.

x

n x

x

1

2lim

2. )2sin(lim xe x

x

3. 3

3sinlim

3 x

x

n

4. x

xxx

x

22

0

)()(lim

5. Lengkapilah fungsi berikut agar kontinyu di

!

a. 1

22

x

xxy

b. 1

)1sin(

x

xy

c. x

xy

2

83

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 210

MATLAB:

Berikut adalah kode perintah untuk mengoperasikan limit fungsi.

Tabel 10.1 Kode Operasi Limit Fungsi pada Matlab

g. Menghitung Nilai Limit Sebuah Fungsi


xx

x

xx tan

2sin2lim

220


syms x; %untuk member tahu bahwa x: variable

y=(2/(x.^2))-(sin(2*x))/((x.^2)*tan(x));

a=limit(y,x,0)

Jika di-run hasilnya akan sama dengan hasil contoh di atas:

a =

2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 211

h. Operasi Limit Tak-Hingga

Kode berikut digunakan untuk mengevaluasi

511lim

n

n n


syms x;

y=(1+1/x)^(x/5);

limit(y,x,Inf)

i. Operasi Limit Lainnya


x

xxx

x

22

0

)()(lim


syms x h;

y=((x+h)^2-x^2)/h;

limit(y,h,0)

__________________________________________________

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 212

BAB 11

DIFFERENSIAL (TURUNAN)

11.1 Prinsip Dasar

Kasus: Carilah persamaan garis singgung kurva

722 xxy pada titik dengan absis 2! Dengan hanya

diketahui fungsi dan sebuah titik yang diketahui nilai x -nya saja

harus ditemukan persamaan garis singgung pada titik itu. Kasus ini

dapat diselesaikan dengan teori differensial berikut.

Sebuah garis singgung fungsi f(x) dibuat pada titik (x, y)

seperti pada gambar di bawah.

Gambar 11.1 Pendekatan Garis Singgung

Y

X x1 x2 x

y y1

y2 L

L2

L1 f(x)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 213

Hendak di cari persamaan nxmy untuk garis L. Yang

harus dicari pertama kali adalah gradien garis singgung pada titik

(x, y) tersebut karena sudah tertentu (khas) dan hanya bergantung

pada fungsi f(x).

Untuk mencari gradien garis singgung tersebut dilakukan

pendekatan sebagai berikut:

Pendekatan pertama dengan garis L2:

2

22

x

ym

xx

yym

2

22 (gradien garis L2)

Pendekatan kedua dengan garis L1:

1

11

x

ym

xx

yym

1

12 (gradien garis L2)

Perhatikan bahwa 21 xx dan gradien 1 lebih mendekati

garis singgung yang dimaksud yaitu garis L. Jika x dibuat

mendekati nol maka akan didapat garis yang berhimpitan dengan

garis L, dan tentunya gradiennya akan identik.

xx

yym

x1

1

0lim

x

ym

x 0lim

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 214

yyy 1 = )( xxf - )(xf

xxx 1

x

xfxxfm

x

)()(lim

0

Turunan dari f(x) ditulis f ’(x) didefinisikan sebagai:

dx

xdfxf

)()('

x

xfxxf

x

)()(lim

0

Jadi, turunan dari f(x) ditulis f ’(x) merupakan gradien garis

singgung pada titik (x, y). Gradien garis singgung selalu khas di

setiap titik pada fungsi.

Perhatikan langkah-langkah pembahasan berikut:

1. Fungsi yang akan disinggung 72)( 2 xxxf (parabola

telungkup),

2. Titik A dengan absis 2 di singgung garis L. Koordinat titik A

yaitu:

2

Y

X 0

L

72)( 2 xxxf

A

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 215

72)( 2 xxxf

77222)2( 2f

Jadi, A (2, 7).

3. gradien garis L adalah:

x

xfxxfm

x

)()(lim

0

x

xxxxxxm

x

}72{}7)(2)({lim

22

0

x

xxxxxxxxm

x

}72{}7)22)2({lim

222

0

x

xxxxxxxxm

x

}727222lim

222

0

x

xxxxm

x

22lim

2

0

)22(lim0

xxmx

22 xm (apa konsekuensi dari adanya variabel x ini?)

Gradien di titik A (2, 7) adalah

222)2(m

2)2(m

4. Persamaan garis L (gradien -2 melalui titik singgungnya

sendiri (2, 7) adalah

nxmy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 216

nxy 2

Melalui titik singgung itu sendiri

n227

11n

Jadi, persamaan garis singgung fungsi

77222)2( 2f pada titik dengan absis 2 adalah

112xy .

Gambar 11.2 Garis Singgung

Perhatikan gambar di atas! Gradien garis kurva

72)( 2 xxxf mengecil dari garis L1 - L2 kemudian garis L3

gradiennya nol dan gradien L4 dan L5 negatif. Gradien garis L1

didapatkan dengan memasukkan absis titik A ke 22)(' xxf .

Begitu juga semua garis singgung yang lain:

72)( 2 xxxf

a

Y

X 0 L1

A

B D

E L2

L3

L4

22)(' xxf

L5

b c d e

C

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 217

a. gradien (m) garis singgung L1 22)(' aaf ,

b. gradien (m) garis singgung L2 22)(' bbf ,

c. gradien (m) garis singgung L3 022)(' ccf ,

d. gradien (m) garis singgung L4 22)(' ddf ,

e. gradien (m) garis singgung L5 22)(' eef ,

Besarnya penurunan besarnya gradien garis singgung tersebut

dapat digambarkan menjadi sebuah garis lurus seperti berikut:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 218

Gambar 11.3 Gradien Garis Singgung

72)( 2 xxxf

Y

X

L1 A

22)(' xxfm

m

X

7

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 219

11.2 Rumus Turunan

Untuk mendapatkan turunan )(' xf sebuah fungsi )(xf dipakai

rumus dasar sebagai berikut:

dx

xdfxf

)()('

x

xfxxf

x

)()(lim

0

Dan ide dasarnya tidak pernah berubah yakni turunan dari

sebuah fungsi adalah nilai gradien garis singgung grafik fungsi

tersebut pada titik-titik sepanjang grafik/kurva.

a. cxf )(

)(' xf =x

xfxxf

x

)()(lim

0

= x

cc

x 0lim

= 0

cxf )( , )(' xf = 0

Jadi, gradien garis singgung pada garis y = c adalah nol.

Karena garis y = c adalah garis horizontal (m = 0).

Contoh:

1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi 3)(xf pada

titik dengan absis 5!

Jawab:

0)5('fm

Titik singgung adalah (5, 3).

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 220

Maka persamaan garis singgung tersebut adalah 3y

berhimpit dengan grafik fungsi.

2. 100)(xf , )100('f = 0.

b. axxf )(

)(' xf =x

xfxxf

x

)()(lim

0

= x

axxaax

x 0lim

= ax 0

lim

= a

axxf )( , )(' xf = a

Fungsi axxf )( adalah persamaan garis lurus dengan

gradien = a. maka garis singgungnya selalu berhimpit dengan

gradien = a juga.

Contoh:

1. xxf 3)( , 3)3(' xf

2. xxf )( , 1)(' xf

c. 2)( axxf

)(' xf =x

xfxxf

x

)()(lim

0

= x

axxxxxa

x

222

0

)2(lim

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 221

= x

axxaxxaax

x

222

0

2lim

= )2(lim0

xaxax

= xa2

2)( axxf , )(' xf = xa2

d. naxxf )(

)(' xf = x

xfxxf

x

)()(lim

0

= .....)(lim 1

0

nn

xxanxan

= 1nxna

naxxf )( , )(' xf = 1nxna

Dengan: n

nx

x

1

n

m

n m xx

Contoh:

1. 53)( xxf , 45 35)3(' xxf = 415x

2. 35

1)(

xxf 3

1

5

1)( xxf , 3

4

3

1

5

1)(' xxf =

3 415

1

x

3. x

axf )(

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 222

)(' xf =x

xfxxf

x

)()(lim

0

= x

x

a

xx

a

x 0lim

= x

xxx

xaxa

xxx

xa

x

22

0lim

= x

xxx

xa

x

2

0lim

= xxx

a

x 20lim

= 2x

a

11.3 Aturan dalam Turunan

1. )()'( xgf = )(' xf )(' xg atau

)'')'( vuvu

Bukti:

)()'( xgf =

x

xgxfxxgxxf

x

)}()({)}()({lim

0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 223

=

x

xgxxgxfxxf

x

)}()({)}()({lim

0

=

x

xgxxg

x

xfxxf

xx

)()(lim

)()(lim

00

= )(' xf + )(' xg

Contoh:

a. 342 xxy

23 324' xxy

23 38' xxy

b. )15()2( 34 xxxy

345 710 xxxy

234 32850' xxxy

c. 3

34 )12(

x

xxy

32 12 xxy

4304' xxy

4

34'

xxy

2. )()'( xfk = )(' xfk atau ')'( ukuk

Bukti:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 224

)()'( xfk =x

xfkxxfk

x

)()(lim

0

= x

xfxxfk

x

)()(lim

0

= )(' xfk

Contoh:

a. )2(3

1 34 xxy

)38(3

1' 23 xxy

b. )7(4 2 xxxy

)7(4 23 xxy

)143(4' 2 xxy

xxy 5612' 2

3. )()'( xgf = )()(' xgxf + )(')( xgxf atau

'')'( vuvuvu

Bukti:

)()'( xgf =x

xgxfxxgxxf

x

)()()()(lim

0

= x

xgxxgxfxxgxfxxf

x

)}()({)()()}()({lim

0

= x

xgxxgxfxxg

x

xfxxf

xxx

)()(lim)()(lim

)()(lim

000

= )()(' xgxf + )(')( xgxf

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 225

Contoh:

a. )2(2 346 xxxy

'y = )()'( xgf

62)( xxf )2()( 34 xxxg

512)(' xxf )38()(' 23 xxxg

'y = )()(' xgxf + )(')( xgxf

'y )2(12 345 xxx + 236 382 xxx

'y8989 6161224 xxxx

'y89 1840 xx

b. )2(2 346 xxxy

910 24 xxy

'y89 1840 xx

4. )(

'

xg

f=

2))((

)(')()()('

xg

xgxfxgxf atau

2

'''

v

vuvu

v

u

Bukti:

)(

'

xg

f=

x

xg

xf

xxg

xxf

x

)(

)(

)(

)(

lim0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 226

= x

xgxxg

xxgxfxgxxf

x

)()(

)()()()(

lim0

= x

xxgxfxgxxf

xgxxg xx

)()()()(lim

)()(

1lim

00

= x

xgxxgxfxgxfxxf

xg x

)}()({)()()}()({lim

))((

1

02

= x

xgxxgxfxg

x

xfxxf

xg x

)()()()(

)()(lim

))((

1

02

= )](')()()('[))((

12

xgxfxgxfxg

= 2))((

)(')()()('

xg

xgxfxgxf

Contoh:

a. 34

6

2

2

xx

xy

62)( xxf )2()( 34 xxxg

512)(' xxf )38()(' 23 xxxg

'y = 2))((

)(')()()('

xg

xgxfxgxf

= 234

236345

)2(

)38(2)2(12

xx

xxxxxx

b. 6

34

2

2

x

xxy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 227

32

2

1xxy

43

2

32' xxy

43 2

32'

xxy

11.4 Aturan Rantai (Chain Rule)

Notasi Leibnitz

Turunan fungsi )(xfy yaitu )(' xf dapat ditulis dalam

notasi Leibnitz menjadi:

dx

dyy'

dx

xdfxf

)()('

dt

dSS

Jadi notasi Leibnitz ditulis dalam bentuk dx

dy,

dx

xdf )(,

dt

dS dan

seterusnya untuk menunjukkan turunan fungsi.

Contoh:

a. 3xy

dx

dy= 23x

b. xxxf 2)( 3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 228

dx

xdf )( =

dx

xxd )2( 3

= 23 2x

c. 3

12)(

xxxf

dx

xdf )( =

dx

xxd

3

12

= dx

xxd 3

1

2

= 3

4

3

12 x

= 3 43

12

x

Aturan Rantai

Jika )(xfy bisa dibentuk sedemikian rupa menjadi

)(ufy dengan )(xgu , maka: dx

dy=

dx

du

du

dy

Contoh:

5

6

34

2

2

x

xxy

5uy ,

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 229

du

du

du

dy 5

= 45u

6

34

2

2

x

xxu

32

2

1xxu

dx

du =

dx

xxd 32

2

1

= 43

2

32 xx

= 43 2

32

xx

dx

dy=

dx

du

du

dy

dx

dy = )5( 4u

43 2

32

xx

= 43

4

6

34

2

32

2

25

xxx

xx

Jika diperhatikan aturan rantai tersebut seolah-olah didapat

dengan cara berikut:

dx

dy=

du

du

dx

dy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 230

Yang mana ini tentunya tidak merubah nilai dx

dy karena

du

du

tentunya bernilai satu. Sepuluh dikalikan satu kan tetap sepuluh

juga. Dengan menyusun ulang didapat:

dx

dy=

dx

du

du

dy

Tentunya dengan cara yang sama juga bisa didapatkan:

dx

dy=

dw

dw

du

du

dx

dy

dx

dy=

dx

dw

du

dw

du

dy

11.5 Turunan Fungsi Trigonometri

a. xxf sin)(

)(' xf =x

xgxfxxgxxf

x

)()()()(lim

0

= x

xxx

x

sin)sin(lim

0

= x

xxxxx

x

sin)sin(cos)cos(sinlim

0

= x

xxxx

x

)sin(cos)1)(cos(sinlim

0

= x

xx

x

xx

xx

)sin(coslim

)1)(cos(sinlim

00

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 231

= 1cos0sin xx

= xcos

xxf sin)( , xxf cos)('

x

x

x

1)cos(lim

0= 0…?

x

x

x

1)cos(lim

0 =

x

x

x

)2

1(sin2

lim

2

0

= )2

1sin(lim

)2

1sin(

lim200

xx

x

xx

= 02

12

= 0

b. xxf cos)(

)(' xf =x

xgxfxxgxxf

x

)()()()(lim

0

= x

xxx

x

cos)cos(lim

0

= x

xxxxx

x

cos)sin(sin)cos(coslim

0

= x

xxxx

x

)1)(cos(cos)sin(sinlim

0

= x

xx

x

xx

xx

)1)(cos(coslim

)sin(sinlim1

00

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 232

= xsin

xxf cos)( , xxf sin)('

c. xxf tan)(

)(xf = x

x

cos

sin

)(' xf = 2)(cos

)'(cossincos)'(sin

x

xxxx (aturan bagi)

= x

xxxx2cos

sinsincoscos

= x2cos

1

= x2sec

xxf tan)( , )(' xf = x2sec

Dengan cara yang sama (memakai aturan pembagian)

didapatkan turunan fungsi:

d. xxf cot)( , )(' xf = xec2cos

e. xxf sec)( , )(' xf = xx tansec

f. ecxxf cos)( , )(' xf = xecx cotcos

Contoh:

1. xxy cossin

)'(cossincos)'(sin' xxxxy (aturan kali)

'sinsincoscos' xxxxy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 233

xxy 22 sincos'

xy 2cos'

2. xxy cossin

xy 2sin2

1

uy sin2

1, xu 2

udu

dycos

2

1, 2

dx

du

'y = dx

du

du

dy

= ucos2

12

= x2cos

3. )5sin( 22 xxy

)}'5{sin()5sin()'(' 2222 xxxxy

)5sin()( 2xxg

uug sin)( , 52xu

udu

dgcos , x

dx

du2

xudx

dg2cos

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 234

xxdx

dg2)5cos( 2

)}5cos(2{)5sin(2' 222 xxxxxy

)5cos(2)5sin(2' 232 xxxxy

11.6 Turunan Fungsi Implisit

Contoh fungsi implisit:

a. 03 23 yyxy

b. 13sin)( 2 yxyyx

c. 0sin2sin yx

d. 0)sin()( yxyx

Dasar-dasar yang dipakai:

dx

dyy' dxydy '

1)(

'dx

xdx

0)(

'dx

ada , a = konstan

Contoh:

1. 122 yx

)1()( 22 dyxd

022 dyydxx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 235

022dx

dyyx

0'22 yyx

xyy 2'2

y

xy'

2. xyxxy sin

][)]()sin[( xdyxxyd

dxdyxydxdxxyxdy 1)11()cossin(

dxdxxyyxxdy )cos()(sin

1)cos1()sin( xyxxdx

dy

)cos1(1)sin(' xyxxy

xx

xyy

sin

)cos1(1'

11.7 Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen

a. ax

a x

xln

1lim

0

b. xaxf )(

)(' xf = x

xfxxf

x

)()(lim

0

= x

aa xxx

x 0lim

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 236

= x

aa xx

x

)1(lim

0

= aa x ln

)(' xf = aa x ln

c. xexf )(

)(' xf = ee x ln

xexf )('

xexf )( , )(' xf = xea

d. xxf a log)(

xy a log

xy a

aa log (lihat sifat-sifat logaritma)

xa y

)()( xdad y

dxdyaa y ln

1ln aadx

dy y

aay

y ln

1'

axy

ln

1'

xxf a log)( , )(' xf = ax ln

1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 237

11.8 Turunan Fungsi Invers Trigonometri

a. xy arcsin

Misal: uxarcsin , maka: xusin

1

1cos

22 xu

dxud )(sin

dxduucos

u

dxdu

cos

21 x

dxdu

xy arcsin

uy

dudy

21 x

dxdy

21

1

xdx

dy

xy arcsin , 21

1

xdx

dy

b. xy arccos

Misal: uxarccos , maka: xucos

u

x 1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 238

1

1sin

22 xu

dxud )(cos

dxduusin

u

dxdu

sin,

21 x

dxdu

xy arccos

uy

dudy

21 x

dxdy

21

1

xdx

dy

xy arccos , 21

1

xdx

dy

c. xy arctan

Misal: uxarctan , maka: xutan

1

1sec

22 xu

dxud )(tan

dxduu2sec

u

x

1

u

x

1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 239

u

dxdu

2sec

21 x

dxdu

xy arctan

uy

dudy

21 x

dxdy

21

1

xdx

dy

xy arctan , 21

1

xdx

dy

d. xarcy sec

Misal: uxarc sec , maka: xusec

x

xu

1tan

2

dxud )(sec

dxduuu tansec

uu

dxdu

tansec

12xx

dxdu

u

x

1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 240

xarcy sec

uy

dudy

12xx

dxdy

1

1

2xxdx

dy

xarcy sec , 1

1

2xxdx

dy

Dengan cara yang sama buktikan rumus-rumus berikut:

e. ecxy arccos , 1

1

2xxdx

dy

f. xarcy cot , 21

1

xdx

dy

11.9 Turunan Fungsi Hiperbolik

a. xy sinh

Grafik xy sinh , 33 x :

dx

xd )(sinh )(

2

1 xx eedx

d

= ])1([2

1 xx ee

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 241

= )(2

1 xx ee

= xcosh

xy sinh , xy cosh'

b. xy cosh

dx

xd )(cosh = )(

2

1 xx eedx

d

= ])1([2

1 xx ee

= ][2

1 xx ee

= xsinh

xy cosh , xy sinh'

Grafik xy cosh , 33 x :

-3 -2 -1 1 2 3X

-10

-5

5

10

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 242

c. xy tanh

Grafik xy tanh , 33 x :

dx

xd )(tanh =

xx

xx

ee

ee

dx

d

-3 -2 -1 1 2 3X

2

4

6

8

10

Y

-2 -1 1 2

X

-1

-0.5

0.5

1

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 243

=

2)(

))1(()()())1((xx

xxxxxxxx

ee

eeeeeeee

=

2)(

)()()()(xx

xxxxxxxx

ee

eeeeeeee

= 2

22

)(

)()(xx

xxxx

ee

eeee

= 2

2222

)(

)2()2(xx

xxxxxxxx

ee

eeeeee

= 2)(

4xx ee

=

2

)(

2xx ee

= xh2sec

xy tanh , xhy 2sec'

Dengan cara yang sama tentukan rumus turunan fungsi

hiperbolik berikut:

d. xy coth , xechy 2cos'

e. hxy sec , xhxy tanhsec'

f. echxy cos , xechxy cothcos'

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 244

11.10 Turunan Fungsi Invers Hiperbolik

Dasar-dasar yang dipakai:

1. 1sinhcosh 22 xx (bisa dibuktikan sebagai latihan)

2. xexx sinhcosh

3. )1ln(sinharg 2xxx

Bukti:

Misal: uxsinharg , maka: xusinh

xee uu )(2

1

1sinhcosh 22 uu

1sinhcosh 2 uu

1cosh 2xu

1)(2

1 2xee uu

1sinhcosh 2xxuu

1)(2

1)(

2

1 2xxeeee uuuu

12

2xxeeee uuuu

12xxeu

)1ln(ln 2xxeu

)1ln( 2xxu

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 245

uxsinharg

)1ln(sinharg 2xxx

Berikut ini silahkan buktikan sebagai latihan!

4. )1ln(cosharg 2xxx 1x

5. x

xx

1

1ln

2

1tanharg 11 x

6. 1

1ln

2

1cotharg

x

xx 1x atau 1x

7. x

xhx

)11lnsecarg

2

10 x

8. x

xechx

)11lncosarg

2

0x

9. x

xechx

)11lncosarg

2

0x

Turunan fungsi invers hiperbolik adalah sebagai berikut:

a. xy sinharg

Misal: uxsinharg , maka: xusinh

dxud )(sinh

dxduucosh

u

dxdu

cosh,

1sinhcosh 22 uu

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 246

1sinhcosh 2 uu

1cosh 2xu

12x

dxdu

uxsinharg

uy

dudy

12x

dxdy

1

1

2xdx

dy

xy sinharg , 1

1

2xdx

dy

Dengan cara yang sama atau dengan aturan rantai silahkan

buktikan rumus berikut sebagai latihan:

b. xy cosharg , 1

1

2xdx

dy 1x

c. xy tanharg , 21

1

xdx

dy 1x

d. xy cotharg , 21

1

xdx

dy 1x atau

1x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 247

e. hxy secarg , 21

1

xxdx

dy 10 x

f. echxy cosarg , 21

1

xxdx

dy 1x

g. echxy cosarg , 21

1

xxdx

dy 1x

11.11 Penerapan Turunan

11.11.1 Garis singgung dan garis normal kurva

Pada awal bab telah dibahasa bahwa turunan pertama suatu

fungsi (yakni yang telah dibahas sejauh ini) menunjukkan

besarnya gradien garis singgung (tangent line) sebuah kurva atau

fungsi. Apapun fungsinya baik itu polinomial, trigonometri,

eksponensial, dan sebagainya. Garis normal adalah garis yang

tegak lurus dengan garis singgung kurva.

Contoh:

1. Diketahui fungsi 13)( 2 xxxf . Tentukan:

a. besarnya gradien garis singgung sepanjang kurva,

b. besarnya gradien garis singgung di titik dengan absis -1,

c. besarnya gradien garis singgung di titik dengan oordinat 5,

d. besarnya gradien garis singgung di titik puncak,

e. Persamaan garis singgung di titik puncak,

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 248

f. persamaan garis singgung di titik A dengan oordinat -2,

g. persamaan garis normal di titik dengan absis 3.

Jawab:

a. besanya gradien garis singgung sepanjang kurva:

13)( 2 xxxf

32)(' xxfm

Jadi besanya gradien garis singgung: 32x

b. besarnya gradien garis singgung di titik dengan absis -1.

32xm

312)1(m

1m

c. besarnya gradien garis singgung di titik dengan oordinat 5.

Dicari nilai x (absisnya) terlebih dahulu:

Y

X 0

L 13)( 2 xxxf

1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 249

513)( 2 xxxf

0432 xx

0)4()1( xx

1x , 4x

Jadi, ada dua titik dengan ordinat yang sama yaitu (-1, 5)

dan (4, 5). Hal ini pasti sudah Anda prekdisikan. Untuk

grafik persamaan kuadrat, satu-satunya titik yang

oordinatnya berbeda hanya titik balik, mengapa?

Perhatikan grafik di atas!

Garis singgungnya pun ada dua (sebelah kiri dan kanan)

dan pasti nilainya berlawanan.

Gradien garis singgung kiri, menyinggung di (-1, 5):

32xm 3)1(2)1(m

5)1(m

Y

X 0

1

5

-1 4

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 250

Gradien garis singgung kanan, menyinggung di (4, 5):

32xm 3)4(2)4(m

5)4(m

d. besarnya gradien garis singgung di titik puncak

Besarnya pasti nol karena garis singgungnya mendatar.

Misalkan sebuah mistar kaku diletakkan di atas kaleng

seperti di bawah.

Gambar 11.3 Gradien Garis Singgung di Titik Puncak

Saat mistar masih miring maka titik singgungnya masih di

B atau C. Dan saat mistar lurus mendatar (kemiringannya

nol) terlihat bahwa garis singgung menyentuh titik A dan

titik A adalah titik tertinggi relatif terhadap lantai.

Begitu juga lantai akan selalu menyinggung di titik

terrendah. Konsep ini akan berguna pada pembahasan

selanjutnya.

e. Persamaan garis singgung di titik puncak

A B

C

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 251

Pertama: cari dulu absis titik puncak dengan persamaan

gradien:

32xm

032x , gradien garis singgung di

titik puncak nol.

2

3x

Kedua: ordinat titik puncak (3/2, …):

13)( 2 xxxf

1)2/3(3)2/3()2/3( 2f

4/9)2/3(f

Jadi titik puncaknya ( 3/2, -9,4)

Ketiga: cari persamaan garis singgung di titik puncak

tersebut:

Pastilah persamaan garis singgungnya adalah xy4

9,

mengapa?

f. persamaan garis singgung di titik A dengan oordinat -2.

Coba dikerjakan sebagai latihan. Pakailah point c di atas

sebagai contoh.

g. persamaan garis normal di titik dengan absis 3.

Gradien garis singgung : 32)3( xm = 3.

Gradien garis normal : -1/3 , mengapa?

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 252

Ordinat titik dengan absis 3 adalah: 13)( 2 xxxf

1333)3( 2f = 1

Jadi, titiknya : (3, 1).

Persamaan garis normal : nmxy

: nxy3

1

Melalui (3, 1) : n33

11 , n = 2

Jadi, persamaan garis normal tersebut: 23

1xy .

Perhatikan grafiknya di bawah ini!

2. Diketahui fungsi xexf x cos)( . Tentukan persamaan garis

singgung dan garis normal di titik dengan absis 6/ !

Jawab:

Y

X 0

1

3

23

1xy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 253

a. titik dengan absis 6/ adalah:

xexf x cos)(

)6/cos()6/( 6/ef

)6/(f )5,0()688,1(

)6/(f 0,844

Jadi titik tersebut adalah ( 6/ ; 0,844).

b. Gradien garis singgung di titik ( 6/ ; 0,844).

xexf x cos)(

)sin()cos()(' xexexf xx

)sin(cos)(' xxexf x

)6/sin6/(cos)6/(' 6/ef

)6/('f )366,0()688,1(

)6/('f 62,0

c. Persamaan garis singgung

nmxy

nxy 62,0

Melalui titik ( 6/ ; 0,844).

n)6/(62,0844,0

52,0n

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:

52,062,0 xy .

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 254

d. Persamaan garis normal

Gradien garis normal: 62,0

1m = -1,61

nxy 61,1

Melalui titik ( 6/ ; 0,844).

n)6/(61,1844,0

68,1n

Jadi, persamaan garis normal tersebut adalah:

68,161,1 xy .

11.11.2 Fungsi naik dan fungsi turun

Dasar-dasar:

a. garis lurus dengan gradien positif arahnya selalu naik dari

kiri bawah ke kanan atas.

b. garis lurus dengan gradien negatif arahnya selalu naik dari

kanan bawah ke kiri atas.

c. garis lurus dengan gradien nol arahnya selalu horizontal.

d. Turunan suatu fungsi merupakan gradien garis singgung

di titik-titik fungsi tersebut

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 255

Gambar 11.4 Gradien Garis Lurus

Mari kita bahas sebuah grafik fungsi berikut:

Gambar 11.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Y

X 0

Gradien positif

Gradien negatif

Gradien nol

Y

X 0

1

2

3

4

f(x)

I II III IV V

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 256

Seperti biasa grafik akan selalu dilihat dari kiri ke kanan (dari

nilai x yang kecil ke yang besar). Sumbu X dibagi menjadi 5

bagian sesuai dengan bentuk grafik.

1. daerah I

Di daerah ini grafik naik (melihatnya dari kiri ke kanan),

gradien garis singgung kurva di daerah ini positif.

2. daerah II

Di daerah ini grafik turun (lihat tanda panah), gradien garis

singgung kurva di daerah ini negatif.

3. daerah III

Di daerah III ini grafik mendatar (lihat tanda panah),

gradien garis singgung kurva di daerah ini nol.

4. daerah IV

Di daerah ini grafik turun lagi (lihat tanda panah), gradien

garis singgung kurva di daerah ini negatif.

5. daerah V

Di daerah ini grafik naik lagi (lihat tanda panah), gradien

garis singgung kurva di daerah ini positif.

Jadi, kesimpulannya:

a) kuva naik, maka gradien garis singgungnya positif

0)(' xf

b) kurva turun, maka gradien garis singgungnya negatif.

0)(' xf

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 257

Contoh:

1. Diketahui fungsi 22)( 23 xxxxf . Tentukan batas-

batas nilai x dimana fungsi tersebut:

a. naik

b. turun

Jawab:

22)( 23 xxxxf

143)(' 2 xxxf

a. naik

0)(' xf

0143 2 xx a>0 kurva terbuka

0143 2 xx

a

acbbx

2

42

2,1

32

)1(34)4()4( 2

2,1x

6

2842,1x

3

7

3

21x ,

3

7

3

22x

X

3

7

3

2

Y>0

+ + + + + + + +

3

7

3

2

X

- - - - - - Y<0

3

7

3

2

3

7

3

2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 258

Jadi, fungsi naik pada batas nilai x: 3

7

3

2x atau

3

7

3

2x .

b. Turun 0)(' xf

Jadi, fungsi naik pada batas nilai x: x3

7

3

2

3

7

3

2

.

22)( 23 xxxxf

-2 -1 1 2 3

X

-4

-2

2

4

6

8

Y

22)( 23 xxxxf

-2 -1 1 2 3X

5

10

15

m

143)(' 2 xxxfm

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 259

2. Diketahui fungsi 103)( 2 xxxf . Tentukan batas-batas

nilai x dimana fungsi tersebut naik dan nilainya positif!

Jawab:

103)( 2 xxxf

32)(' xxf

Fungsi naik haruslah 0)(' xf :

032x

2

3x

Jadi, kurva akan naik pada nilai x>3/2.

Dimana nilai fungsi (y) selalu positif?

0)(xf

01032 xx (a>0 kurva terbuka)

0)2)(5( xx

5x , 2x

Jadi, fungsi 103)( 2 xxxf naik dan selalu positif saat

nilai x>5. Lihat gambar!

X

Y>0

+ + + + + + + +

-2 5

X

+ + + +

3/2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 260

11.11.3 Kecekungan Kurva

a. Turunan kedua

Turunan pertama sebuah fungsi merupakan gradien garis

singgung fungsi tersebut. Sedangkan perubahan besarnya

gradien garis singgung sebuah fungsi adalah sama dengan

turunan kedua fungsi tersebut.

)(' xf = x

xfxxf

x

)()(lim

0

)('' xf = x

xfxxf

x

)(')('lim

0

1. Perubahan gradien garis singgung positif.

Perhatikan grafik fungsi f(x) berikut!

-4 -2 2 4 6

X

-10

-5

5

10

15

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 261

Gradien garis singgung 1 lebih kecil daripada gradien

garis singgung 2. Gradien garis singgung 2 lebih kecil

dari gradien garis singgung 3. Gradien garis singgung 3

lebih kecil daripada Gradien garis singgung 4 dan

seterusnya. Perubahan gradien garis singgung kurva

tersebut adalah positif. Jadi, perubahan garis singgung

kurva dengan nilai positif menunjukkan bahwa kurva

terbuka ke atas. Nilai perubahan gradien garis singgung (

''y ) grafik fungsi 22xy di atas adalah:

22xy

xy 2'

2''y (positif).

Dengan kata lain jika turunan kedua suatu fungsi bernilai

positif kurvanya cekung terbuka.

0)('' xf kurva terbuka ke atas

Y

X 0

22xy

1

2

3 4

5

Y

6

7

8 9

1

0

22xy

X

0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 262

2. Perubahan gradien negatif

Perhatikan kurva fungsi 22xy di atas. Perubahan

garis singgung kurva dengan nilai negatif menunjukkan

bahwa kurva telungkup ke bawah. Nilai perubahan

gradien garis singgung ( ''y ) grafik fungsi 22xy di

atas adalah:

22xy

xy 2'

2''y (negatif).

0)('' xf kurva telungkup ke bawah

3. Perubahan gradien nol

Jika gradien garis singgung kurva tidak berubah pada

rentang 21 xxx maka kurva pada rentang nilai x

tersebut pastilah garis lurus. Kenapa?

0)('' xf kurva berupa garis lurus.

Tetapi sebuah titik dimana 0)('' xf dan titik-titik di

sampingnya nilai 0)('' xf maka titik tersebut disebut

titik belok.

Contoh:

1. Diketahui fungsi 2)( 23 xxxxf . Tentukan batas-batas

nilai x dimana fungsi tersebut:

a. Terbuka ke atas

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 263

b. Telungkup

c. Garis lurus

Jawab:

2)( 23 xxxxf

123)(' 2 xxxf

26)('' xxf

a) kurva terbuka ke atas 0)('' xf

26)('' xxf

026x 3/2x

Jadi saat nilai 3/2x kurva terbuka ke atas.

b) kurva telungkup 0)('' xf

026x 3/2x

Jadi saat nilai 3/2x kurva telungkup.

c) garis lurus 0)('' xf

026x 3/2x ,

2)3/2()3/2()3/2( 23y

27/32y

Titik-titik di sekitar 3/2x nilai )('' xf -nya tidak sama

dengan nol, maka titik (2/3, 32/27) ini adalah titik belok.

Perhatikan kurvanya berikut ini!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 264

-3 -2 -1 1 2 3X

1

2

3

4

Y

223 xxxy

2. Diketahui fungsi xxxxxf 22

3

3

1

12

1)( 234 . Tentukan

batas-batas nilai x dimana fungsi tersebut:

d. Terbuka ke atas

e. Telungkup

f. Garis lurus

Jawab:

xxxxxf 22

3

3

1

12

1)( 234

233

1)(' 23 xxxxf

32)('' 2 xxxf

a) kurva terbuka ke atas 0)('' xf

32)('' 2 xxxf

0322 xx a>0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 265

-4 -2 2 4 6X

-5

5

10

Y

0)1)(3( xx

3x , 1x

Jadi saat nilai x :{ 1x atau 3x } kurva terbuka ke atas.

b) kurva telungkup 0)('' xf

Jadi saat nilai 31 x kurva telungkup.

c) garis lurus 0)('' xf

kurva tidak mempunyai garis lurus tetapi mempunyai dua

titik belok dengan absis -1 dan 3. Cocokkan titik-titik

tersebut dengan kurva berikut!

X

Y>0

+ + + + + + + +

-1 3

X

- - - - - - Y<0

-1 3

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 266

b. Kecekungan relatif

Perhatikan grafik fungsi berikut.

22 2xy

xy 4'

4''y

22xy

xy 2'

2''y

22

1 2xy

xy'

1''y

Y

X 0

2xy 22xy

2

2

1xy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 267

Terlihat bahwa semakin besar nilai mutlak turunan kedua suatu

fungsi semakin cekung kurva yang terbentuk. Kurva

22 2xy lebih cekung daripada kurva 22xy .

11.11.4 Nilai maksimum dan minimum relatif

Perhatikan grafik fungsi f(x) berikut.

Gambar 11.5 Titik Maksimum dan Minimum

Fungsi f(x) tersebut memiliki domain 1xx . Dari grafik

tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

a) titik minimum absolut adalah nilai minimum mutlak

dari sebuah fungsi. Pada contoh titik 1 adalah titik

minimum absolut dan (y1) disebut nilai minimum

absolut.

Y

X 0

1

2

3

4

f(x)

y1

y2

y3

1xx

x1

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 268

b) Titik minimum relatif adalah titik terrendah relatif

terhadap titik-titik di sebelah kanan dan kirinya (titik 4.

Dan (y4) disebut nilai minimum relatif.

c) Titik maksimum relatif adalah titik tertinggi relatif

terhadap titik-titik di sebelah kanan dan kirinya (titik2).

Dan (y2) disebut nilai maksimum relatif.

d) Titik maksimum absolut adalah titik tertinggi pada

sebuah fungsi. Titik maskimum absolut f(x) tersebut

ada di takhingga, sehingga nilai maksimum relatifnya

adalah .

1. Nilai maksimum relatif ( 0)('' xf , 0)(' xf ).

Perhatikan grafik di atas! Terlihat bahwa nilai maksimum

relatif terjadi pada puncak kurva telungkup ( 0)('' xf ) dengan

gradien garis singgung nol ( 0)(' xf ).

2. Nilai minimum relatif ( 0)('' xf , 0)(' xf ).

Titik minimum relatif terjadi di puncak kurva terbuka dengan

gradien garis singgung di titik tersebut nol.

Contoh:

1. Diketahui fungsi 222

1

3

1)( 23 xxxxf . Tentukan:

a. Titik maksimum relatif

b. Titik minimum relatif

c. Titik belok.

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 269

222

1

3

1)( 23 xxxxf

2)(' 2 xxxf

12)('' xxf

a) titik maksimum relatif

kurva telungkup ( 0)('' xf ) dan gradien garis singgung di

titik tersebut nol ( 0)(' xf ).

0)(' xf

022 xx

0)1)(2( xx

2x , 1x

Titik-titik puncak:

222

1

3

1 23 xxxy

2x 22222

12

3

1 23y = -4/3

(2, -4/3)

1x 2)1(2)1(2

1)1(

3

1 23y = 3 1/6

(-1, 3 1/6)

0)('' xf

12)('' xxf

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 270

-3 -2 -1 1 2 3 4

X

-4

-2

2

4

6

Y

2x 122)2(''f = 3 (jadi, (2, -4/3) adalah titik minimum

relatif)

1x 1)1(2)2(''f = -3 ( jadi, titik (-1, 3 1/6) adalah titik

maksimum relatif).

b) titik minimum relatif

(-1, 3 1/6)

c) titik belok ( 0)('' xf )

012x

2/1x

2)2/1(2)2/1(2

1)2/1(

3

1 23y =11/12

Jadi, titik beloknya adalah (1/2, 11/12).

2. Pagar setinggi h meter berdiri sejajar sebuah gedung tinggi dan

sejauh w meter darinya (lihat gambar berikut). Cari panjang

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 271

tangga terpendek yang dapat menjangkau tanah di seberang

puncak pagar ke dinding gedung!

Jawab:

Misal panjang tangga L.

echwL cossec w dan h konstan.

cotcostansec' echwL

cotcostansec' echwL

Nilai maksimum relatif ditemukan pada saat 0'L

0cotcostansec echw

cotcostansec echw

w

h

ec cotcos

tansec

w

h3tan

3tanw

h

h

w θ

θ

3

w

h

1

3

2

1w

h

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 272

3

2

1secw

h

3

3

2

1

cos

w

h

w

h

ec

echwL cossec

3

3

2

3

21

1

w

h

w

h

hw

hwL .

11.11.5 Kinematika gerak

Kecepatan

Kecepatan adalah perbandingan antara jarak yang ditempuh

dengan waktu yang diperlukan. Ditulis:

dt

dSv

v : kecepatan (m/s)

dS : pertambahan jarak (m)

dt : waktu yang diperlukan (s).

Contoh:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 273

Sebuah benda jatuh dari ketinggian 100 meter. Jika g=10 m/s2

tentukan kecepatan benda setelah jatuh selama 2 detik.

Jawab:

2

2

1100 tgS (g = 10 m/s

2)

25100 tS (m)

dt

dSv

dt

tdv

)5100( 2

ttv 10)( (m/s)

210)2(v

20)2(v m/s.

Jadi kecepatan benda setelah 2 detik adalah -20 m/s (arah ke

bawah).

Percepatan

Percepatan adalah perbandingan antara perubahan kecepatan

dengan waktu yang diperlukan.Ditulis:

dt

dva

a : kecepatan (m/s)

dv : perubahan kecepatan (m)

dt : waktu yang diperlukan (s).

100 m

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 274

Contoh:

Sebuah elektron bergerak dipercepat dengan persamaan

22tS (106m) dari sebuah katode menuju anode. Tentukan

percepatan elektron setelah bergerak selama 1 detik.

Jawab:

dt

dSv

22tS (106m)

dt

dva

dt

tdv

)2( 2

dt

tda

)4(

ttv 4)( (106m/s) 4)(ta (10

6m/s

2).

Ternyata percepatan konstan. Jadi, percepatan elektron setelah

1 detik tetap 4.10

6 m/s

2.

11.11.6 Deret Taylor dan Maclaurin

Deret Taylor dan Maclaurin berfungsi untuk mengubah

bentuk-bentuk fungsi menjadi bentuk fungsi polonomial. Inilah

mengapa kalkulator bias menghitung nilai sinus, logaritma,

akar dan sebagainya.

3

3

2

210 )()()()( axcaxcaxccxf ….

2

321 )(3)(20)(' axcaxccxf …..

2

432 )(34)(23200)('' axcaxccxf …

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 275

2

54 )(345)(234000)(''' axcaxcxf ….

Apabila variabel x disubstitusi dengan nilai a, akan didapat:

3

3

2

210 )()()()( aacaacaaccaf ….

)(0 afc

2

321 )(3)(20)(' aacaaccaf …..

)('1 afc

2

432 )(34)(23200)('' aacaaccaf …

)(''22 afc

2

54 )(345)(234000)(''' aacaacaf

….

)(''233 afc

…..

!

)(

n

afc

n

n

Jadi sebuah fungsi f(x) dapat diungkapkan dalam bentuk fungsi

polinomial seperti berikut.

)(xf =!3

))(('''

!2

))((''))((')(

32 axafaxafaxafaf

….!

))((

n

axaf nn

.

Bentuk tersebut dinamakan deret Taylor.

Jika a = 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 276

)(xf =!3

)0('''

!2

)0('')0(')0(

32 xfxfxff ….

!

)0(

n

xf nn

.

Bentuk ini disebut deret Maclaurin.

Contoh:

)sin()( xxf

xxf cos)(' 1)0cos(

xxf sin)('' 0)0sin(

xxf cos)(''' 1)0cos(

……….

)(xf =!3

)0('''

!2

)0('')0(')0(

32 xfxfxff ….

!

)0(

n

xf nn

.

xsin =!3

1

!2

0)0(')0(

32 xxxff ….

xsin = !7!5!3

753 xxxx ….

Sebagai latihan buktikan bahwa:

a. xcos = !6!4!2

1642 xxx

….

b. xsinh = !7!5!3

753 xxxx ….

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 277

c. xcosh = !6!4!2

1642 xxx

….

d. xe = !5!4!3!2

15432 xxxx

….

11.11.7 Mean Value Theorem (teorema nilai tengah)

Sebuah fungsi )(xf yang kontinyu dan terdifferensialkan

dalam selang bxa akan ada nilai c ( bca ) sehingga:

ab

afbfcf

)()()('

Untuk mendapatkan gambaran secara geometris perhatikan

grafik pada gambar 11.6 dan 11.7 berikut!

Gambar 11.6 Mean Value Theorem Grafik 1

Y

X 0

f(x) yb

ya

a c b

l

l’

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 278

Artinya selalu ada garis singgung (l’) yang sejajar dengan garis

yang menghubungkan titik (a,ya) dan titik (a,yb) yakni garis l pada

titik dengan selang antara a dan b.

'lm = lm

)(' cf = ab

yy ab

Gambar 11.7 Mean Value Theorem Grafik 2

Contoh:

Diketahui sebuah fungsi 43)( 2 xxxf . Garis l

menghubungkan titik A dengan absis -2 dan titik B dengan

absis 1. Garis k sejajar garis l dan menyinggung kurva pada

Y

X 0

f(x) yb

ya

a c b

l

l’

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 279

titik C. Jika absis titik C adalah c dan a<c<b, tentukan titik C

tersebut!

Jawab:

432 xxy by = 41312 = -6

ay = 4)2(3)2( 2 = 6

32' xy

)(' cy = 32c

lm = km

)(' cy = ab

yy ab

32c = )2(1

66

32c = -4

12c

2/1c cy = 4)2/1(3)2/1( 2 = -1/4

Jadi titik C adalah (-1/2, -1/4). Sebagai latihan silahkan

gambar kurva tersebut!

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 280

11.11.8 L’Hospital rule

Fungsi f(x) nilainya mendekati nol saat ax atau dapat

ditulis:

)(lim xfax

= 0 berarti juga bahwa:

)()( afxf = 0 dan ax = 0.

Mengingat ax

afxf

ax

)()(lim adalah )(' af , maka untuk

)(

)()(

xh

xgxf

)(lim xfax

= )(

)(lim

xh

xg

ax dengan syarat 0)(ag dan

0)(ah .

= )(lim

)(lim

xh

xg

ax

ax

= )]()([lim

)]()([lim

ahxh

agxg

ax

ax

=

ax

ahxhax

agxg

ax

ax

)()(lim

)()(lim

= )('

)('

ah

ag

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 281

Jadi, )(

)(lim

xh

xg

ax=

)('

)('

ah

ag dengan syarat 0)(ag , dan 0)(ah .

Inilah yang disebut aturan L’Hospital.

Contoh:

1. 1

lim2

1 x

xx

x=…

Jawab:

1lim

2

1 x

xx

x=

1

12x=

1

11

2. x

x

x

cos1lim

0=…

Jawab:

x

x

x

cos1lim

0=

1

sin x=

1

0= 0

Jika 0)(' ag , dan 0)(' ah sehingga )('

)('

ah

ag=

0

0 maka boleh

dilanjutkan menjadi:

)(

)(lim

xh

xg

ax=

)('

)('

ah

ag=

)(''

)(''

ah

ag dan seterusnya.

Contoh:

3. x

xx

x cos1

sinlim

0=…

Jawab:

x

xx

x cos1

sinlim

0=

x

x

sin

cos1=

x

x

cos

sin=

1

0= 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 282

4. 20

1coslim

x

x

x=….

Jawab:

Karena 2)(ag atau bukan nol maka limit tersebut tidak

bisa diselesaikan dengan aturan L’Hospital.

20

1coslim

x

x

x=

2

2

0

2

1sin2

limx

x

x=

2

1

LATIHAN 11.1____________________________________

1. Tentukan gradient garis singgung kurva pada gambar

berikut!

4 2 2 4x

5

10

15

20

25

30

35

Yx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 283

2. Carilah dari fungsi berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

o.

3. Tentukan hasil dari:

a. x

x

x

39lim

0

b. 1

1lim

30 x

x

x

c. x

a x

x

1lim

0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 284

4. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi

dalam selang !

5. Hitung panjang ruas garis AB pada gambar berikut!

6. Sebuah benda bergerak dengan persamaan:

smttttv /222

1

3

1)( 23

Tentukan:

a. Kecepatan maksimum benda!

b. Kecepatan minimum benda!

c. Kapan benda bergerak ke arah x positif?

d. Kapan benda bergerak ke arah x negatif?

e. Kapan benda bergerak dipercepat?

f. Kapan benda bergerak diperlambat?

Y

X 0

1

3

232 xxy

B

A

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 285

MATLAB:

j. Differensial Sebuah Fungsi

Kode berikut digunakan untuk mencari turunan dari


syms x;

y=x^3-2*x^2+5;

diff(y,x)

pretty(diff(y,x))

k. Turunan ke-n Sebuah Fungsi

Kode berikut digunakan untuk mendapat nilai turunan kedua


syms x;

y=sin(x^3)-exp(sin(x));

diff(y,x,2)

pretty(diff(y,x,2))

__________________________________________________

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 286

BAB 12

INTEGRAL

12.1 Antiderivatif

Telah kita ketahui bahwa notasi )(' xf adalah turunan pertama

dari )(xf . Jika diketahui )(' xf dan ingin mendapatkan )(xf

prosesnya disebut integrasi.

)(' xf )(xf

dxxf )(' = cxf )(

dxxf )( = cxF )(

Jika )(xf diturunkan kembali hasilnya adalah )(' xf . Sebagai

contoh:

dx

n

xd

n

1

1

= nx , maka dxxn = cn

x n

1

1

xdx

xdcos

)(sin, maka xdxcos = cxsin

xdx

xdsin

)(cos, maka xdxsin = cxcos

Mengapa ada harus c di belakang?

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 287

Contoh:

1. Tentukan fungsi )(xf yang turunan pertamanya adalah

xxf )(' !

Jawab:

)(xf = dxxf )('

= dxx)(

= cx2

2

1

2. Tentukan fungsi )(xf yang melewati titik (0,2) dan turunan

pertamanya adalah 223)(' 2 xxxf !

Jawab:

)(xf = dxxf )('

= dxxx )223( 2

= cxxx 223

y = cxxx 223

(0, 2) 2 = c0200 23

c = 2

y = 2223 xxx

Jadi, fungsi tersebut adalah )(xf = 2223 xxx .

Antiderivatif berarti operasi balikan dari turunan.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 288

Berikut adalah daftar integrasi berbagai fungsi:

Tabel 12.1 Integral dari Fungsi Dasar

1. , jika

2.

3.

4.

5.

6.

7. +C

8.

9.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 289

12.2 Integral

Jumlah Riemann (Riemann Sum)

Selain memiliki arti antiderivatif integral juga berarti jumlah.

Jumlah Riemann adalah sebuah metode pendekatan untuk mencari

luas area di bawah kurva. Ini yang dimaksud dengan integral.

Perhatikan pembahasan berikut!

Gambar 12.1 Integral sebagai Jumlah

Misalkan hendak dihitung luas bidang yang dibatasi oleh

fungsi f(x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu X seperti

ditunjukkan pada gambar di atas.

a. Bidang dibuat dari bilah-bilah dengan lebar sama (dx)

sebanyak n buah.

Y

X xi a

c

d

f (x)

yi

b

yi

dx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 290

Lebar n

abdx .

b. Luas bidang adalah jumlah seluruh bilah-bilah tersebut.

bilahLL

n

i

i dxyL1

c. Jika lebar bilah dibuat mendekati nol maka penjumlahan

bidang-bidang tersebut akan sama dengan luas bidang yang

dimaksud.

10

limi

idx

dxyL =

b

a

dxy .

Contoh:

1. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh garis xy , garis

x = a, garis x = b, dan sumbu X !

Jawab:

Y

X xi a

xy

yi

b

yi

dx

….

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 291

n

r

n

abdx

2

dxdxiaxi

n

r

n

riaxi

2

xy

ii xy

n

r

n

riayi

2

n

i

idx

dxyL1

0lim

n

in n

r

n

r

n

riaL

1 2lim

2

1

2

11 2

1limlimlim

n

in

n

in

n

in n

r

n

ri

n

raL

2

1

2

2limlimlim

n

rni

n

r

n

rnaL

n

n

inn

22

2

1lim

2

)1(limlim

n

rnn

n

r

n

rnaL

nnn

2

)1(

1

nni

n

i

2

2

2

22

2lim

2

)(limlim

n

r

n

nnrraL

nnn

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 292

02

2rraL Perhatikan bentuk ini! abr

2

)()(

2ababaL

2

2 222 abab

aabL

2

222 222 abababaL

2

22 abL

)()(2

1ababL ini adalah luas trapesium.

2. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh garis xy , garis

x = 0, garis x = 4, dan sumbu X !

Jawab:

n

b

n

bdx

0

20

dxdxixi

n

b

n

bixi

2

xy

ii xy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 293

n

b

n

biyi

2

n

i

idx

dxyL1

0lim

n

in n

b

n

b

n

biL

1 2lim

2

1

2

1 2

1limlim

n

in

n

in n

b

n

biL

2

1

2

2limlim

n

bni

n

bL

n

n

in

22

2

1lim

2

)1(lim

n

bnn

n

bL

nn

2

)1(

1

nni

n

i

2

2

2

22

2lim

2

)(lim

n

b

n

nnbL

nn

02

2bL Perhatikan bentuk ini! 3b

Jadi luas bidang tersebut: 5,42

32

L .

Dengan cara integral, Luas =

3

0

dxy =

3

0

dxx =

3

0

2

2

x=

2

03 22

= 4,5.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 294

Bentuk 2

2b sama dengan bentuk

2

2x.

Kedua contoh tersebut menunjukkan bahwa integral berarti

jumlah. Dengan kenyataan ini integral berguna dalam banyak

bidang.

Sifat-sifat integral.

1. b

a

dxc = )( abc

2. b

a

dxxgxf )]()([ =

b

a

dxxf )(

b

a

dxxg )(

3. b

a

dxxfc )( =

b

a

dxxfc )(

4. b

a

dxxf )( = b

axF )( = )()( aFbF ,

)()(' xfxF

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 295

12.3 Menghitung Luas

Filosofi penting bahwa integral adalah jumlah membawa

implikasi yang sangat besar. Dengan pemahaman dan kemampuan

teknik mempartisi (membuat bilah-bilah) yang tepat sesungguhnya

telah diperoleh 100% manfaat integral.

a. Partisi horizontal


Gambar 12.2 Luas dengan Partisi Horizontal

Sebuah bidang dibatasi oleh kurva f(x), garis x = a, garis x

= b, dan sumbu X. luas bidang tersebut dapat dihitung

dengan cara menjumlahkan bilah-bilah tersebut. Bilah

dibuat dengan membagi-bagi bidang dengan lebar yang

sama dx. Luas masing-masing bidang (y.dx).

Y

X xi a

f (x)

yi

b

yi

dx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 296

Luas bidang =

b

a

dxy

Contoh:

Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva 2xy , garis

x = 0, garis x = 4, dan sumbu X !

Jawab:

Pertama, buat partisinya seperti berikut.

Kedua, tentukan luas bilah

Luas bilah = dxy

Ketiga, beri notasi integral dan batas integrasi (yakni a, b).

bilah dibuat berjajar dari kiri angka 0 ke kanan hingga

angka 4 sehingga batasnya yang dipakai adalah 0 dan 4.

Y

X xi

yi

4

yi

dx

2)( xxf

0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 297

Luas bidang =

4

0

dxy

=

4

0

2 dxx

=

4

0

3

3

x =

3

0

3

4 33

= 3

121 .

Jadi, luas bidang tersebut adalah 3

121 satuan.

b. Partisi vertikal


Gambar 12.3 Luas dengan Partisi Vertikal

Y

X xi

c

f (x)

yi

d

xi

dy

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 298

Sebuah bidang dibatasi oleh kurva f(x), garis y = c, garis y

= d, dan sumbu Y. luas bidang tersebut dapat dihitung

dengan cara menjumlahkan bilah-bilah tersebut. Bilah

dibuat dengan membagi-bagi bidang dengan lebar yang

sama dy. Luas masing-masing bidang (x.dy).

Karena bilah sejajar dari bawah ke atas maka batas yang

dipakai

d

c

dyx .

Contoh:

Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva 2xy , garis

y = 0, garis y = 4, dan sumbu Y !

Jawab:

Y

X xi

yi

2)( xxf

0

xi

dy

4

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 299

12.4 Menghitung Volume Benda Putar

Sebuah area di bawah kurva jika diputar terhadap sumbu X

satu putaran penuh akan membentuk sebuah volume. Berdasarkan

pilihan partisi dan sumbu putar yang digunakan, ada tiga metode

yang dapat digunakan: metode keeping (disc), metode cincin, dan

metode kulit tabung.

Gambar 12.4 Metode Integral Volume

12.4.1 Metode Disc (Cakram)

Perhatikan gambar di bawah. Jika luasan yang dibatasi oleh

kurva f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputar satu

putaran penuh akan menghasilkan volume. Untuk menghitung

volume benda putar tersebut dapat dilakukan dengan cara

pendekatan, yakni dibuat partisi kepingan-kepingan cakram.

Volume satu keping (lihat gambar 12.5 di bawah!):

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 300

Gambar 12.5 Metode Cakram

atau

Contoh:

Hitunglah volume yang terjadi jika bidang yang dibatasi

oleh kurva 2xy , garis x = 0, garis x = 4, dan sumbu X

diputar terhadap sumbu X satu putaran!

Y

X xi a

f (x)

y

Δx

b

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 301

Jawab:


Kedua, tentukan volume yang terjadi jika bilah (partisi)

diputar terhadap sumbu X satu putaran.

Volume keeping partisi di atas adalah:

Y

X xi

yi

4

yi

dx

2)( xxf

0

y

dx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 302

12.4.2 Metode Cincin

Perhatikan gambar berikut. Jika luasan dibatasi oleh kurva

f(x), dan g(x), garis x = a, dan garis x = b diputar satu putaran

terhadap sumbu X penuh akan menghasilkan volume.

Gambar 12.6 Metode Cincin

Y

X xi a

f (x)

Δx

b

g(x)

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 303

Untuk menghitung volume benda putar tersebut dapat

dilakukan dengan partisi cincin. Volume satu cincin:

Contoh:


oleh kurva 2xy , garis x = 0, garis x = 1, dan garis y = x

diputar terhadap sumbu X satu putaran!

Jawab:


Y

X xi

yi

1

yi

dx

2)( xxf

0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 304

Kedua, tentukan volume yang terjadi jika bilah (partisi)

diputar terhadap sumbu X satu putaran.

Terihat bahwa pada area tersebut, garis x berada di atas

kurva, maka kita pakai:

sebagai y

sebagai g

12.4.3 Metode Kulit Tabung

Perhatikan gambar berikut. Jika luasan dibatasi oleh kurva

f(x), garis y = a, dan garis y = b diputar satu putaran penuh

terhadap sumbu Y akan menghasilkan volume seperti pada gambar

berikut.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 305

Gambar 12.7 Metode Kulit Tabung

Luasan partisi yang dibuat pada titik xi diputar dengan jari-jari

xi terhadap sumbu Y hasilnya adalah kulit tabung seperti pada

gambar berikut.

Gambar 12.8 Kulit Tabung

Jika kulit tabung tersebut dipotong, maka akan terbentuk

balok seperti pada gambar berikut.

Y

X

xi a

f (x)

b

xi

yi

dx

xi

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 306

Gambar 12.9 Balok dari Kulit Tabung

Volume balok dari kulit tabung = luas partisi x keliling

putaran.

Sehingga,

Contoh:


oleh kurva 2xy , garis x = 0, dan garis x = 2 diputar

terhadap sumbu Y satu putaran!

Jawab:

Pertama, buat partisinya seperti berikut gambar di bawah.

yi

dx 2πx

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 307

12.5 Teknik Integrasi

Tidak semua fungsi bisa diintegralkan secara langsung seperti

pada table 12.1 di awal bab ini. Ada yang bisa diselesaikan dengan

metode substitusi ada juga yang bias diintegralkan dengan metode

integral parsial.

Y

X xi

yi

2

yi

dx

2)( xxf

0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 308

Metode langsung sudah dijelaskan di awal bab. Metode

substitusi dan integral parsial akan dijelaskan di subbab ini.

Metode lain dijelaskan pada metode matematika lanjut.

Coba perhatikan integral dari fungsi berikut!

a.

b.

c.

Yang poin a bisa diintegralkan langsung. Yang b dan c tidak

bisa diintegralkan secara langsung. Akan ditunjukkan di bawah ini

bahwa yang b dapat diintegralkan dengan metode integral parsial

dan yang c dengan metode substitusi.

12.5.1 Metode Substitusi/Mengganti Variabel

Caranya dengan menggantikan bentuk dasar fungsi dari x

menjadi u, dimana u adalah fungsi dari x.

Teknik Itegrasi

Secara Langsung

Substitusi

Integral Parsial

Metode Lain

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 309

Tabel 12.2 Substitusi Integral dari Fungsi Dasar

1. , jika

2.

3.

4.

5.

6.

7. +C

8.

9.

Contoh 1:

Jawab:

Berdasar nomor delapan dari tabel di atas, maka:

Jadi,

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 310

Contoh 2:

Jawab:

Berdasar nomor satu dari tabel di atas, maka:

Sehingga,

Contoh 3:

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 311

Jadi,

Kunci dari metode substitusi adalah dengan melihat apakah

sebuah bentuk integral fungsi tersebut dapat diubah total menjadi

.

12.5.2 Metode Integral Parsial

Metode ini digunakan untuk mencari hasil integral seperti

pada kasus poin b di atas dan kasus lain semacamnya.

Mengingat,

Jika dihilangkan dx –nya menjadi:

Sehingga,

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 312

Contoh 1:

Jawab:

Jadi,

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 313

Contoh 2:

Jawab:

Lagi,

Jadi,

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 314

Contoh di atas adalah integral parsial berulang. Untuk lebih

mudahnya dalam mengerjakan integrasi seperti itu digunakan

tabel.

Contoh:

Jawab:

u (u du) Tanda pada

perkalian

v (dv v)

+

-

+

6 -

0

Jadi, hasil dari:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 315

12.5.3 Metode Substitusi Lanjut

Mengingat (lihat di bab 11!):

a. ,

b. ,

c. ,

d. ,

e. ,

f. ,

Dan,

a. )1ln(sinharg 2xxx

b. )1ln(cosharg 2xxx

c. x

xx

1

1ln

2

1tanharg

d. 1

1ln

2

1cotharg

x

xx

e. x

xhx

)11lnsecarg

2

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 316

f. x

xechx

)11lncosarg

2

g. x

xechx

)11lncosarg

2

h. ,

g. ,

h. ,

i. ,

j. ,

k. ,

Contoh 1:

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 317

Contoh 2:

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 318

Contoh 3:

Jawab:

Mengingat,

Jadi,

u

1

x

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 319

Contoh 4:

Jawab:

12.6 Integrasi Fungsi Rational

Fungsi rasional berbentuk pembagian fungsi polynomial.

12.5.1 Jika A(x) memiliki pangkat x yang lebih tinggi dari B(x)

Contoh:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 320

Jawab:

Jadi,

12.5.2 Jika A(x) memiliki pangkat x yang lebih rendah dari B(x)

a. Akar-akar B(x) tidak ada yang kembar

Contoh:

Jawab:

Maka, a = ¾ dan b = ¼, jadi:

b. Akar-akar B(x) ada yang kembar

Contoh:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 321

Jawab:

Maka,

Didapat: c = -2, a = 4, b = -9.

12.7 Aplikasi dan Kegunaan Integral

Di antara kegunaan integral adalah untuk mencari fungsi yang

diketahui turunannya (dijelaskan pada subbab 1) dan menghitung

luas serta volume benda putar yang telah dijelaskan pada subbab

12.3 dan 12.4. Pada subbab ini akan dijelaskan beberapa aplikasi

integral.

12.7.1 Menghitung volume (bukan benda putar)

Perhatikan gambar balok di bawah! Untuk menghitung

volume balok, balok tersebut kita potong melintang untuk

mendapatkan volume partisi. Terlihat bahwa volume partisi :

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 322

Gambar 12.10 Balok

Maka volume balok adalah jumlah dari semua volume partisi

tersebut:

Contoh1:

Hitung volume kerucut di bawah ini!

a b

dx

A(x)

0 6

3,5 A(x)

x X

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 323

Jawab:

Luas alas =

Contoh2:

Hitung volume dari potongan kayu berikut! Tebal maksimum

(tmaks) potongan kayu adalah 1.

0 r A(x) x

-4

4

t

X Y

b

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 324

Jawab:

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 325

12.7.2 Menghitung Panjang Kurva

Panjang ruas AB dari kurva f(x) bisa dicari dengan rumus:

Gambar 12.11 Panjang Kurva

Contoh:

Hitung panjang ruas kurva yang dibatasi oleh sumbu y

dan garis x = 4!

Jawab:

Y

X a

f (x)

b

Δx Δy

Δs

A

B

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 326

Batas x = 0, u = 0.

Batas x = 4, u = arctan(8) = 82,875.

Jadi, panjang ruas kurva tersebut adalah 16,818.

Y

X

f (x)= x2

4 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 327

12.7.3 Menghitung Luas Selimut Benda Putar.

Jika ruas kurva AB diputar dengan sumbu putar adalah sumbu

X akan didapat selimut seperti pada gambar berikut.

Gambar 12.12 Panjang Kurva

Luas permukaan partisi adalah:

Jadi, luas selimut menjadi:

Contoh:

Hitung luas selimut yang terbentuk jika ruas kurva

yang dibatasi oleh sumbu y dan garis x = 4 diputar dengan

sumbu X menjadi sumbu putar!

Jawab:

Y

X a

f (x)

b

Δs

A

B

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 328

= 817,3

Y

X

f (x)= x2

4 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 329

12.8 Mencari Pusat Massa (Center of Mass, Center of Gravity)

Pusat massa sebuah benda adalah sebuah titik yang menjadi

pusat gravitasi ataupun percepatan yang lain. Perhatikan gambar

berikut!

Gambar 12.13 Pusat Massa Elips

Titik A adalah pusat massa elips. Jika elips tersebut diputar

dengan sumbu titik A, elips bisa berhenti pada posisi apapun (pada

gambar adalah miring ke kiri). Sedangkan titik B bukan pusat

massa elips. Jika elips diputar ia akan berhenti pasti pada posisi

seperti pada gambar, yakni tegak lurus dengan titik B berada di

atas pusat massa.

Pada sub bab ini akan dijabarkan dua jenis pendekatan untuk

mencari pusat massa sebuah benda berdasarkan bentuk benda

tersebut, yaitu:

a. pendekatan panjang (untuk benda yang berbentuk kurva), dan

b. pendekatan luas,

A B

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 330

12.8.1 Pendekatan Panjang Kurva

Sebuah ruas kurva AB dapat dibagi menjadi partisi-

partisi sepanjang Δs. Terlihat pada gambar di bawah bahwa

pusat massa dari ruas Δs tersebut adalah (x, y).

Gambar 12.14 Pusat Massa Sebuah Partisi Busur

Jadi, pusat massa total ruas sepanjang busur AB adalah:

Contoh.

Hitung pusat massa ruas kurva yang dibatasi oleh

sumbu y dan garis x = 4!

Jawab:

Y

X a

f (x)

b

Δx Δy

Δs

A

B

yi

xi

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 331

Gambar kurva:

Bagian penyebut adalah integral untuk mendapatkan panjang

ruas kurva. Dari contoh pada sub-bab 12.5.2 didapat panjang

kurva sebesar 16,818. Integral pada bagian pembilang dpat

dicari dengan cara substitusi:

,

,

Sehingga,

Y

X

f (x)= x2

4 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 332

Kedua nilai tersebut menghasilkan:

Selanjutnya,

Nilai hasil integrasi penyebut adalah sama dengan di atas,

yakni 16,818. Nilai pembilang adalah:

Kedua nilai tersebut menghasilkan:

Jadi, pusat massa dari busur AB di atas adalah (2.6, 5.3).

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 333

12.8.2 Pendekatan Luas

Bisa dipakai untuk benda yang berbentuk bidang

(luasan) maupun yang berbentuk prisma. Perhatikan gambar

berikut!

Gambar 12.15 Prisma dan Elips

Prisma didapatkan dari luasan A yang ditarik setebal h,

sehingga untuk mencari pusat massa prisma cukup dicari

pusat massa pada bidang alas A. Pusat massa dari benda

seperti ini direpresentasikan oleh titik , dan .

Gambar 12.16 Pusat Massa Luasan Partisi

A h A

Y

X a

f (x)

yi

b

yi

dx

xi

½ yi

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 334

Pada gambar 12.16 di atas terlihat bahwa pusat massa

sebuah luasan partisi adalah . Jadi pusat massa dari

total luasan adalah:

Contoh:

Cari pusat massa dari luasan yang dibatasi oleh kurva

, sumbu y dan garis x = 4!

Jawab:

Luasan tersebut adalah seperti berikut.

Y

X

f (x)= x2

4 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 335

Dan,

Jadi, pusat massa dari luasan tersebut adalah (3, 4.8).

12.8.3 Teorema Pappus

“Jika sebuah luasan bidang diputar terhadap sebuah

sumbu yang melalui bidang tersebut akan tetapi tidak

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 336

memotongnya, volume dari benda putar yang dihasilkan

adalah perkalian antara luas bidang dan panjang lintasan dari

pusat massanya.

Perhatikan gambar berikut! Jika luas bidang yang

dibatasi oleh kurva f(x), sumbu X, dan garis x = b diputar

terhadap sumbu X, volume yang terbentuk dapa dihitung

dengan rumus:

Sehingga,

Gambar 12.17 Teorema Pappus

Contoh:

Cari pusat massa dari luasan yang dibatasi oleh kurva

, sumbu y dan garis x = 4!

Y

X

y = f (x)

b 0

Area A

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 337

Jawab:

Luasan tersebut adalah seperti berikut.

Luas bidang tersebut

Volume jika luasan tersebut diputar pada sumbu X

berdasar teorema Pappus:

Y

X

f (x)= x2

4 0

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 338

Hasilnya adalah sama dengan contoh pada sub bab

12.8.2. Sebagai latihan, silahkan cari nilai dengan

menggunakan teorema Pappus.

12.9 Mean Value Theorem untuk Integral

Jika f(x) kontinyu dalam selang tertutup [a,b] ada sebuah titik

c di antara a dan b dimana f(c) adalah nilai rata-rata integral f(x)

dalam selang [a,b] tersebut (lihat gambar di bawah!).

Gambar 12.18 Mean Value Theorem

Y

X a

f (x)

b

A

B

c

frata-rata

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 339

Contoh.

Tentukan tegangan rata-rata setengah siklus dari sumber

tegangan sinusoidal !

Jawab:

Jadi, tegangan rata-rata setengah siklus-nya adalah 140 volt.

LATIHAN 12.1____________________________________

1. Evaluasi integral berikut:

a.

b.

c.

d.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 340

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

2. Evaluasi integral berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 341

3. Hitunglah luas yang dibatasi oleh sumbu X, garis x=0,

garis x = 4, dan kurva !

4. Hitunglah luas yang dibatasi oleh sumbu Y, garis y = -2,

garis y = 2, dan kurva !

5. Hitunglah volume yang terjadi jika area yang dibatasi oleh

kurva , kurva , garis y = -2, garis y = 2

diputar terhadap sumbu Y!

6. Hitung pusat massa dari area di bawah kurva

, dengan !

7. Rumus impuls (I) adalah gaya (F) dikalikan waktu (t).

Hitung impuls yang diberikan oleh gaya

yang mengenai sebuah partikel!

0 6

3,5 A(x)

x X

Y

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 342

8. Dalam Fisika, momen inersia dari sebuah partikel

bermassa m yang berjarak r dari sumbu putar adalah mr2.

Tentukan momen inersia dari kerucut pada gambar di atas

(massa 0,5 kg) dengan sumbu putar sumbu Y!

9. Dalam kinematika, jarak yang ditempuh sebuah partikel

yang bergerak dengan kecepatan v selama waktu t adalah

. Tentukan jarak yang ditempuh partikel yang

bergerak dengan kecepatan :

a. dari saat , hingga !

b. dari saat , hingga !

c. selama 2 detik!

10. Hitung volume dari benda pada gambar berikut!

2

2 y

x

z

5

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 343

MATLAB:

a. Anti-Turunan Sebuah Fungsi



syms x;

int(x^3-2*x^2+5)

pretty(int(x^3-2*x^2+5)) %mengubah bentuk

b. Nilai dari Integral Tentu



syms x;

double(int(sqrt(1+4*(x^2)),0,4))

Arti:

Perintah double supaya yang hasilnya berupa angka. Perintah

int artinya adalah integral dari, dan perintah sqrt maksudnya

adalah akar dari (square root).

EduMacs Publisher

_____________________________________________________

Page | 344

c. Nilai dari Integral Tak-Hingga



syms x;

double(int(exp(-x^2),-Inf, Inf))

__________________________________________________


Page | 318

DAFTAR PUSTAKA

Bittinger L.M., Ellenbogen D.J., Surgent S.A., Calculus and Its

Application, Addison Wisley, 2012.

Keisler J.H., Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach,

Second Edition, Creative Common, 2007.

Boas M.L., Mathematical Methods in the Physical Sciences,

Second Edition, John Wiley & Sons, 1983.

Cox B., Understanding Engineering Mathematics, Newnes, 2001.

Wolfram S., The Mathematica® Book 5th

Edition, Wolfram

Media, 2003.

Mohammad Faizun lahir di Kebumen,

meraih sarjana teknik mesin dari

Universitas Gadjah Mada tahun 2007.

Sempat bekerja dua tahun di Karawang

pada sebuah perusahaan multinasional

dari Belgia. Kemudian melanjutkan S2 di

Engineering Design and Manufacture Department, University

of Malaya, Malaysia dan lulus tahun 2011. Sekarang aktif

sebagai staf pengajar di Program Studi Teknik Mesin

Universitas Islam Indonesia. Memiliki minat di computation,

robotics, dan automation.

Kalkulus by Mohammad Faizun

Education

Transcript of Kalkulus by Mohammad Faizun