Modul Kalkulus

download Modul Kalkulus

If you can't read please download the document

  • date post

    09-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    18
  • download

    0

Embed Size (px)

description

modul mata kuliah kalkulus

Transcript of Modul Kalkulus

MODULKalkulus 2Dosen : Diah Aryani M.Kom

Disusun Oleh :Maylan Asmarani1021464601

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKASEKOLAH TINGGI MANAJEMEN DAN ILMU KOMPUTERSTMIK RAHARJATANGERANG(2013/2014)MODUL 1INTEGRAL TAK TENTU

1. TujuanMahasiswa diharapkan mampu memahami integral tak tentu dan dapat mengimplementasikannya dengan baik.

2. Dasar TeoriIntegral itu sendiri adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi dimana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.Lambang dari integral yaitu

Macam-macam integral terbagi dua, yaitu Integral tak tentu dan tentu.Bedanya adalah integral tak tentu tidak memiliki batas bawah dan batas atas sedangkan integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah

Rumus-rumus integral tak tentu :Jika f dan g dapat di integralkan atau memiliki anti turunan dan k dan c adalah konstanta, maka:

3. Alat Dan Bahan Alat Tulis Grafik

4. Langkah KegiatanContoh Soal : Penyelesaian : (Untuk fungsi pangkat gunakan rumus No.3,)

Soal No 4 Penyelesaian : (Ubah kedalam bentuk pangkat,)

Soal No 5Penyelesaian : (Ubah dahulu bentuk akar kedalam bentuk pangkat!)

Soal no 6 Penyelesaian : Untuk integral dan selisih gunakan rumus No. 4

Soal no 7 : Penyelesaian : Ubah dulu bentuk akar ke dalam bentuk pangkat

Soal no 8 : Penyelesaian : buka dahulu tanda kurung menggunakan rumus jumlah kuadrat

5. Tugas

MODUL 2INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

1. TujuanMahasiswa diharapkan mampu memahami integral tak tentu fungsi trigonometri dan dapat mengimplementasikannya dengan baik.

2. Dasar TeoriIntegral trigonometri atau lebih dikenal dengan Integral fungsi trigonometri adalah integral yang memuat fungsi trigonometri. Dimana integral merupakan invers atau kebalikan dari turunan fungsi.Rumus Integral Trigonometri

3. Alat Dan Bahan Alat Tulis Grafik4. Langkah KegiatanContoh Soal dan Penyelesaiana. Penyelesaian := ==

b. Penyelesaian :

====c. Penyelesaian :

====d. Penyelesaian

====

e. Penyelesaian

=====5. Tugas =.. = . = =.. =

MODUL 3INTEGRAL DALAM SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. TujuanMahasiswa diharapkan mampu memahami integral dalam substitusi trigonometri dan dapat mengimplementasikannya dengan baik.

2. Dasar TeoriIntegral subtitusimerupakan salah satu teknik penyelesaian integral khusus termasuk juga teknik integral parsial. Oleh karena itu prasyarat mempelajari materiintegral subtitusiini yaituintegral tak tentu fungsi aljabar,integral tak tentu fungsi trigonometriserta integral tertentu.Rumus substitusi trigonometriTeknik pengintegralan berikutnya adalah integral subtitusi trigonometri yaitu integral yang memuat bentuk-bentuk seperti dibawah ini,

Hasil subtitusinya seperti tabel 1 dibawah ini:

3. Alat Dan Bahan

Alat TulisGrafik

4. Langkah KegiatanContoh Soal :

a. Penyelesaian :

b. Penyelesaian :

c. Penyelesaian :

d. Penyelesaian :

e. Penyelesaian (gunakan cara subsitusi jadi lakukan permisalan dahulu)

lakukan substitusi ,

f. Penyelesaianmisalkan

lakukan substitusi

g. Penyelesaianingat rumus penjumlahan sudut

h. Penyelesaianingat rumus trigonometri dan

i. Penyelesaianubah dulu kebentuk yang untuk permisalan dan substitusi

misalkan

substitusi dan selesaikan integralnya

5. Tugas = =. = ..

MODUL 4INTEGRAL PARSIAL

1. Tujuan Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral parsial dan dapat meng-implementasikannya dengan baik.

2. Dasar TeoriIntegral parsialmerupakan salah satu teknik pengintegralan jika teknik integral yang lain tidak dapat diselesaikan seperti teknik integral subtitusiatauintegral tak tentusecara umum. Metode integral parsialdidasarkan pada integrasi untukturunan hasil kali dua fungsi.Jika u = u(x) dan v = v(x), maka rumus integral parsial adalah:

Ada dua hal yang sangat penting dalam integral parsial dan akan menentukan berhasil atau tidaknya pengintegralan, yaitu:1. Pemilihan u dan dv yang tepat, memilih dv sehingga v dapat ditentukan melalui v = dv2. v du harus lebih mudah diselesaikan dibandingkan u dv 3. Alat dan Bahan Alat Tulis Grafik

4. Langkah Kegiatana. Penyelesaian :

b. Penyelesaian :

c. Penyelesaian :Melihat soal diatas, ada 2 fungsi yang bisa dijadikan u. Lalu dengan mempertimbangkan prioritas permisalan, kita dan

lalu

lakukan substitusi integral parsial

bentuk menyebabkan kita harus sekali lagi melakukan metode integral parsial. Jadi lakukan permisalan :

dan sama seperti sebelumnya

Lakukan substitusi sekali lagi melanjutkan yang tadi

d. Penyelesaian berdasarkan pedoman permisalan, lakukan permisalan dan

lalu

lakukan substitusi dengan menggunakan integral parsial

lakukan proses integral parsial sekali lagi pada persamaan kali ini dengan memilih lagi, dengan . Karena persamaan u sama, langsung saja ke persamaan dv,

substitusi untuk

tulis lagi persamaan semula, dan lakukan substitusi

e. Penyelesaian :lakukan permisalan dan

substitusikan ke rumus integral parsial

untuk menyelesaikan bentuk diatas, kita perlu melakukan substitusi biasa. Kita misalkan

lanjutkan substitusi

f. Penyelesaian :sesuai dengan prioritas permisalan, maka kita pilih permisalan dan .

dan

masukan ke dalam rumus integral parsial

5. Tugas

MODUL 5INTEGRASI FUNGSI RASIONAL

1. TujuanMahasiswa mampu memahami integrasi fungsi rasional dan dapat mengimplementaskannya dengan baik di mata kuliah kalkulus 2

2. Dasar TeoriFungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi-fungsi berbentuk , dengan p(x) dan q(x) masing-masing suatu polinom derajat m dan n, (m < n). disebut polynomial derajat m. Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari polinomial . Bentuk inilah yang lalu diintegralkan.3. Alat dan Bahan Alat Tulis Grafik

4. Langkah KegiatanContoh :dx = dx= dx + dxA dan B dapat dicari melaui hubungan := = 2x + 1 = A(x 2) + B(x -1)2x + 1 = (A + B)x 2A B(A + B) = 2 dan -2A B = 1A = -3 dan B = 5= dx + dxmisal : u = x 1 du = dxv = x 2 dv = dx= du + dv= -3 ln(u) + 5 ln(v) + C= -3 ln(x-1) + 5 ln(x-2) + C= ln + CAturan yang dapat dipedomani untuk penguraian bentuk sebagai berikut :1. Untuk setiap factor dari q(x) berbentuk , maka penguraian factor tersebut berbentuk :

2. Untuk setiap factor dari q(x) berbentuk , maka penguraian factor tersbut berbentuk :

Agar lebih jelas tentang aturan tersebut, diberikan contoh-contoh berikut :Contoh :1. = = dengan A = B = D = 1 dan C = 02. dengan A = 4, B = -1, dan C = 23. dengan A = 1, B = -1, C = 3 D = -5 dan E = 0.Untuk kasus nbm yaitu derajat polinomial p(x) tidak kurang dari derajat polinomial , maka sebelum diterapkan aturan penguraian di atas, perlu dilakukan penyederhanaan lebih dulu.Contoh :dx = Dalam hal ini = x3 - 1 berderajat 3 dan = x3 + x juga berderajat 3.dx = (1 + + ) dx= 1 dx + dx + dx= 1 dx dx + d = 1 dx dx + d(x2 + 1) = x ln x + ln(x2 + 1) tan-1 x + CContoh :Penyelesaian dibawah ini

Contoh :

Gunakan rumus di atas

5. Tugasa.

b.

c.

d. =e. =

MODUL 6INTEGRASI TERTENTU( DEFINITE INTEGRAL)

1. TujuanMahasiswa mampu memahami integrasi tertentu ( definite integral ) dengan baik dan mampu mengimplementasikannya di mata kuliah kalkulus 2

2. Dasar TeoriIntegral tertentu adalah nilai dari jumlah luas dibawah suatu kurva tertentu dalam interval a x b, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integral tertentu. Sebelum pembahasan lebih jauh saya yakin anda sudah menguasai materi integral tak tentu, tapi kalau lupa silahkan direview lagi halaman lain blog ini, klik tulisan berwarna. Integral tertentu dituliskan dalam notasi disebut integral tertentu karena hasilnya berupa nilai tertentu dan tidak lagi mengandung konstanta.

Rumus dan Bentuk umum integral tertentu

3. Alat dan Bahan Alat Tulis Grafik

4. Langkah KegiatanContoh soal :Penyelesaian :Perhatikan bentuk harga mutlaknya. Dengan menggunakan definisi harga mutlak, bentuk integral bisa dibagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk inverval dan

Contoh Soal : Penyelesaian :

= 4

= 4 = 12

5. Tugasa. =........b. =.......c. =......

MODUL 7APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

1. Tujuan Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda dengan menggunakan integral tertentu. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur dengan menggunakan integral tertentu.

2. Teori DasarA. Luas Suatu Luasan a) Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini

R adalah bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :a) Gambar daerah yang bersangkutan b) Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentuc) Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan lua