TUGAS KALKULUS
-
Upload
barendyano -
Category
Documents
-
view
292 -
download
8
Transcript of TUGAS KALKULUS
Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi
1. Fungsi f(x) = 2x – 3, maka f -1 (x) = …
Jawab :
f(x) = y
y = 2x – 3
y + 3 = 2x
= x
Jadi, f -1 (x) =
2. Fungsi f(x) = , maka f -1 (x) = …
Jawab :
f(x) = y
y =
2xy – 5y = 4x + 3
2xy – 4x = 3 + 5y
x(2y – 4) = 3 + 5y
x =
Jadi, f -1 (x) =
3. Fungsi f(x) = x2 + 1, maka f -1 (x) = …
Jawab :
f(x) = y
y = x2 + 1
y – 1 = x2
= x
maka f -1 (x) =
1
4. Fungsi f(x) = , maka f -1 (x)= …
Jawab :
f(x) =
f(x) = y
y =
xy – 5y = 1
xy = 1 + 5y
x =
Jadi, f -1 (x) =
5. Fungsi f(x) = , maka f -1 (5) = …
Jawab :
f(x) =
f(x) = y
y =
4y – 2xy = 3
– 2xy = 3 – 4y
x =
f -1 (x) =
Jadi, f -1 (5) =
=
2
=
6. Fungsi f(x) = , maka f -1 (3) = …
Jawab :
f(x) =
f(x) = y
y =
xy + 3y = 2x – 2
xy – 2x = – 2 – 3y
x(y – 2) = – 2 – 3y
x =
f -1 (x) =
Jadi, f -1 (3) =
=
= – 11
7. Sebuah fungsi f(x) = ax + b, jika f(-2) = 11 dan f(3) = -4. maka tentukan nilai
a dan b?...
Jawab :
f(x) = ax + b
f(-2) = a(-2) + b = 11
-2a + b = 11 …(1)
F(3) = a(3) + b = -4
3a + b = -4 …(2)
3
Jadi : -2a + b = 11 …(1)
3a + b = -4 …(2)
-5a = 15
a = -3
a = -3, subtitusiak pers. 1
-2a + b = 11 → -2(-3) + b = 11
6 + b = 11
b = 5
Jadi, nilai a = -3 dan b = 5
8. Jika f(x) = 4x2 + 2x – 3, maka f(x – 2) sama dengan …
Jawab :
f(x) = 4x2 + 2x – 3
= 4(x – 2)2 + 2(x – 2) – 3
= 4(x2 – 4x + 4) + 2x – 4 – 3
= 4x2 – 16x + 16 + 2x – 4 – 3
= 4x2 – 14 x + 9
Jadi, f(x) = 4x2 – 14 x + 9
9. Jika diketahui f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = 2x + 1, maka tentukan (f o g)(x) …
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x))
= f (2x + 1)
= 3(2x + 1 )2 + 1
= 3(4x2 + 4x + 1) + 1
= 12x2 + 12x + 4
Jadi, (f o g)(x) = 12x2 + 12x + 4
10. Jika diketahui f(x) = dan g(x) = 4x2 + 2, maka (f o g)(x) = …
Jawab :
4
(f o g)(x) = f(g(x))
=
=
=
Jadi, (f o g)(x) =
11. Jika f(x) = dan g(x) = x2 – 1, maka (f o g)(2) = …
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x))
=
=
=
Jadi, (f o g)(2) =
=
=
12. Jika diketahui f(x) = 4x – 1 dan g(x) = x2 + 1, maka (g o f)(x) = …
Jawab :
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(4x – 1)
= (4x – 1)2 + 1
= 16x2 – 8x + 1 + 1
5
= 16x2 – 8x + 2
Jadi, (g o f)(x) = 16x2 – 8x + 2
13. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 – 2, maka tentukan (f o g o
h)(x) = …
Jawab :
(f o g oh)(x) = f o g(h(x))
= f o g(x2 – 2)
= f(3(x2 – 2) + 4)
= f(3x2 – 6 + 4)
= f(3x2 – 2)
= 2(3x2 – 2)
= 2(9x4 – 12x2 + 4)
= 18x4 – 24x2 + 8
Jadi, (f o g o h)(x) = 18x4 – 24x2 + 8
14. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 – 2, maka tentukan (g o f o
h)(x) = …
Jawab :
(g o f o h)(x) = g o f(h(x))
= g o f(x2 – 2)
= g(2(x2 – 2)2)
= g(2(x4 – 4x2 + 4))
= g(2x4 – 8x2 + 8)
= 3(2x4 – 8x2 + 8) + 4
= 6x4 – 24x2 + 24 + 4
= 6x4 – 24x2 + 28
Jadi, (g o f o h)(x) = 6x4 – 24x2 + 28
15. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 – 2, maka tentukan (g o h o
f)(-2) = …
6
Jawab :
(g o h o f)(x) = g o h(f(x))
= g o h(2x2)
= g((2x2)2 – 2)
= g(4x4 – 2)
= 3(4x4 – 2) + 4
= 12x4 – 6 + 4
= 12x4 – 2
Jadi, (g o h o f)(-2) = 12(-2)4 – 2
= 12(16) – 2
= 192 – 2
= 190
16. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (g o
f)(3) = …
Jawab :
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(3x2 + 1)
= (3x2 + 1) + 2
= 3x2 +3
Jadi, (g o f)(3) = 3(3)2 + 3
= 3 + 9 + 3
= 15
17. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (f o
g)(5) = …
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x + 2)
= 3(x + 2)2 + 1
= 3(x2 + 4x + 4) + 1
7
= 3x2 + 12x + 12 + 1
= 3x2 + 12x + 13
Jadi, (f o g)(5) = 3(5)2 + 12(5) + 13
= 75 + 60 + 13
= 148
18. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (g0
g)(-3) = …
Jawab :
(g o g)(x) = g(g(x))
= g(x + 2)
= (x + 2) + 2
= x + 4
Jadi, (g o g)(-3) = (-3) + 4
= 1
19. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (f o
f)(-5) = …
Jawab :
(f o f)(x) = f(f(x))
= f(3x2 + 1)
= 3(3x2)2 + 1
= 3(6x4) + 1
= 18x4 + 1
Jadi, (f o f)(-5) = 18(-5)4 + 1
= 18(625) + 1
= 11251
20. Diketahui fungsi (f o g)(x) = -2x + 3, f(x) = 4x – 1, maka tentukan g(x) = …
Jawab :
(f o g)(x) = -2x + 3
8
f(g(x)) = -2x + 3
4(g(x)) – 1 = -2x + 3
4(g(x)) = -2x + 3 + 1
4(g(x)) = -2x + 4
g(x) =
Jadi, g(x) =
21. Diketahui fungsi (g o f)(x) = x2 – 6x + 3, g(x) = 2x – 3, maka tentukan f(x) =
…
Jawab :
(g o f)(x) = x2 – 6x + 3
g(f(x)) = x2 – 6x + 3
2(f(x)) – 3 = x2 – 6x + 3
2(f(x)) = x2 – 6x + 3 + 3
2(f(x)) = x2 – 6x + 6
f(x) =
Jadi, f(x) =
22. Diketahui (f o g)(x) = 4 – 2x dan g(x) = 6x + 1, maka tentukan f(x) = …
Jawab :
(f o g)(x) = 4 – 2x
f(g(x)) = 4 – 2x
g(x) = 6x + 1
g(x) – 1 = 6x
= x
9
f(g(x)) = 4 – 2
= 4 –
= 4 –
=
Jadi, f(x) =
23. Diketahui (g o f)(x) = dan f(x) = 2x – 3, tentukan g(x) = …
Jawab :
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
f(x) = 2x – 3
f(x) + 3 = 2x
g(f(x)) = 4
=
= f(x)2 + 6f(x) + 9 – 6f(x) – 18 + 1
= f(x)2 – 8
Jadi, g(x) = x2 – 8
24. Diketahui (f o g)(x) = dan g(x) = 2x + 1, maka tentukan f(x) = …
Jawab :
(f o g)(x) =
f(g(x)) =
g(x) = 2x + 1
10
g(x) – 1 = 2x
f(g(x)) =
=
=
=
Jadi, f(x) =
25. Diketahui (f o g)(x) = dan g(x) = , maka tentukan f(x) = …
Jawab :
(f o g)(x) =
f(g(x)) =
g(x) =
g(x) – 1 =
x =
f(g(x)) =
=
Jadi, f(x) =
26. Jika f(x) = 2x – 4 dan g(x) = 3x + 1, maka tentukan invers dari (g o f) -1 (x) =
…
Jawab :
Caranya, dikomposisikan dahulu kemudian di inverskan.
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(2x – 4)
11
= 3(2x – 4) + 1
= 6x – 12 + 1
= 6x – 11
(g o f)(x) = y
y = 6x – 11
y + 11 = 6x
= x
Jadi, (g o f) -1 (x) =
27. Jika f(x) = 2x – 4 dan g(x) = 3x + 1, maka tentukan invers dari (f o g) -1 (x) =
…
Jawab :
Caranya, dikomposisikan dahulu kemudian di inverskan.
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(3x + 1)
= 2(3x + 1) – 4
= 6x + 2 – 4
= 6x – 2
(f o g)(x) = y
y = 6x – 2
y + 2 = 6x
= x
Jadi, (f o g) -1 (x) =
28. Jika f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 3x + 2, maka tentukan invers dari (f -1 o g -1) (x)
= …
12
Jawab :
Caranya, di inverskan masing-masing fungsi kemudian dikomposisiskan.
f(x) = 3x – 4
f(x) = y
y = 3x – 4
y + 4 = 3x
= x
Maka f -1(x) =
g(x) = 3x + 2
g(x) = y
y = 3x + 2
y – 2 = 3x
= x
Maka g -1(x) =
Maka, (f -1 o g -1) (x) = f -1(g -1(x))
= f
=
=
=
=
Jadi, (f -1 o g -1) (x) =
13
29. Jika f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 3x + 2, maka tentukan invers dari (g -1 o f -1) (x)
= …
Jawab :
Caranya, di inverskan masing-masing fungsi kemudian dikomposisiskan.
f(x) = 3x – 4
f(x) = y
y = 3x – 4
y + 4 = 3x
= x
Maka f -1(x) =
g(x) = 3x + 2
g(x) = y
y = 3x + 2
y – 2 = 3x
= x
Maka g -1(x) =
Jadi (g -1 o f -1) (x) = g -1(f -1(x))
= g
=
=
=
=
Jadi, (g -1 o f -1) (x) =
14
Integral
30. adalah …
Jawab :
dx = dx
= + c
= + c
= + c
= + c
= + c
Jadi, dx = + c
31. adalah …
Jawab :
=
=
=
=
=
15
=
Jadi, =
32. adalah …
Jawab :
=
=
=
=
Jadi, =
33. dx adalah …
Jawab :
dx = dx
= + c
= + c
= + c atau
Jadi, dx = + c atau
16
34. adalah …
Jawab :
=
=
=
Jadi, =
35. adalah …
Jawab :
=
= + c
=
=
Jadi, =
36. adalah …
Jawab :
= dx
= dx
=
=
=
17
Jadi, =
37. adalah …
Jawab :
=
=
=
=
= atau
Jadi, = atau
38. adalah …
Jawab :
=
=
=
=
=
18
=
=
=
=
Jadi, =
39. adalah …
Jawab :
=
=
=
Maka =
40. adalah …
Jawab :
=
=
=
=
Jadi, =
41. adalah …
Jawab :
19
=
=
Jadi, =
42. adalah …
Jawab :
ingat
=
=
Jadi, =
43. adalah …
Jawab :
=
=
= , ingat
=
=
=
Jadi, =
44. adalah …
Jawab :
=
Jadi, =
20
45. adalah …
Jawab :
=
=
=
= 1
Jadi, = 1
46. maka nilai a adalah …
Jawab :
=
=
Maka,
x 4
atau
21
Jadi, nilai dari a = 4
Turunan (Diferensial)
47. = , maka = …
Jawab :
= =
=
=
=
Jadi,
48. , maka …
Jawab :
=
=
=
=
Maka
49. , maka …
22
Jawab :
=
=
=
=
Jadi,
50. , maka …
Jawab :
=
=
=
Jadi,
51. f(x) = (3x + 1)(2 – 3x), maka f’(x) = …
Jawab :
f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’
misal : u = 3x + 1 → u’ = 3
v = 2 – 3x → v’ = –3
f’(x) = u’.v + u . v’
23
= (3)(2 – 3x) + (3x + 1)(–3)
= (6 – 9x) + (–9x – 3)
= 6 – 9x – 9x – 3
= –18x + 3 atau 3 – 18x
Jadi, f’(x) = –18x + 3 atau 3 – 18x
52. f(x) = (3x + 5)(x2 + 2), maka f’(x) = …
Jawab :
f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’
misal : u = 3x + 5 → u’ = 3
v = x2 + 2 → v’ = 2x
f’(x) = u’.v + u .v’
= (3)(x2 + 2) + (3x + 5)(2x)
= (3x2 + 6) + (6x2 + 10x)
= 3x2 + 6 + 6x2 + 10x
= 8x2 + 10x + 6
Jadi, f’(x) = 8x2 + 10x + 6
53. Turunan pertama dari f(x) = (4x – 7)(x2 – 5) adalah …
Jawab :
f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’
misal : u = 4x – 7 → u’ = 4
v = x2 – 5 → v’ = 2x
f’(x) = u’.v + u .v’
= (4)( x2 – 5) + (4x – 7)(2x)
= (4x2 – 20) + (8x2 – 14x)
= 4x2 – 20 + 8x2 – 14x
= 12x2 – 14x – 20
Jadi, f’(x) = 12x2 – 14x – 20
54. Turunan pertama dari adalah …
Jawab :
24
=
=
=
=
Jadi,
55. Turunan pertama dari f(x) = (3 – 4x)(5x2 – 1) adalah …
Jawab :
f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’
misal : u = 3 – 4x → u’ = –4
v = 5x2 – 1 → v’ = 10x
f’(x) = u’.v + u .v’
= (–4)( 5x2 – 1) + (3 – 4x)(10x)
= (–20x2 + 4) + (30x – 40x2)
= –20x2 + 4 + 30x – 40x2
= –60x2 + 30x + 4
Jadi, f’(x) = –60x2 + 30x + 4
56. Turunan pertama dari f(x) = adalah …
Jawab :
f(x) =
misal : u = 3x – 2 → u’ = 3
v = x + 4 → v’ = 1
25
f’(x) =
=
=
=
=
Jadi, f’(x) =
57. f(x) = , maka f’(x) = …
Jawab :
f(x) =
misal : u = 4 → u’ = 0
v = 2x + 3 → v’ = 2
f’(x) =
=
=
Jadi, f’(x) =
58. y = (3x2 + x)(2x – 5), maka y’ = …
Jawab :
f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’
misal : u = 3x2 + x → u’ = 6x + 1
26
v = 2x – 5 → v’ = 2
f’(x) = u’.v + u .v’
= (6x + 1)(2x – 5) + (3x2 + x)(2)
= (12x2 – 28x – 5) + (6x2 + 2x)
= 12x2 – 28x – 5 + 6x2 + 2x
= 18x2 – 26x – 5
Jadi, f’(x) = 18x2 – 26x – 5
59. y = (x2 + 1)(x3 – 1), maka y’ = …
Jawab :
f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’
misal : u = x2 + 1 → u’ = 2x
v = x3 – 1 → v’ = 3x2
f’(x) = u’.v + u .v’
= (2x)( x3 – 1) + (x2 + 1)( 3x2)
= (2x4 – 2x) + (3x4 + 3x2)
= 2x4 – 2x + 3x4 + 3x2
= 2x4 + 3x4 + 3x2 – 2x
= 5x4 + 3x2 – 2x
Jadi, f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2x
60. y = x3 sin 5x, maka y’ = …
Jawab :
f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’
misal : u = x3 → u’ = 3x2
v = sin 5x → v’ = 5 cos 5x
f’(x) = u’.v + u .v’
= (3x2)(sin 5x) + (x3)(5 cos 5x)
= 3x2 sin 5x + 5x3 cos 5x
Jadi, f’(x) = 3x2 sin 5x + 5x3 cos 5x
27
RUMUS
Fungsi Invers
Fungsi Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f-1(x). Cara
menentukan fungsi invers adalah dengan merubah f(x) = y dan menentukan
hasil dari x.
Fungsi Komposisi
Misal f adalah fungsi dari A ke B dan g fungsi dari B ke C, maka fungsi g
o f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu kemudian g (f
memetakan x ke y dan g memetakan y ke z)
a) Syarat agar dua fungsi dapat dikomposisikan.
(f o g)(x), maka x g dan g(x) f
(g o f)(x), maka x f dan f(x) g
b) Menentukan komposisi dua fungsi atau lebih.
1. Komposisi dua fungsi
Jika f : A → B dan g : B → C, maka (g o f)(x) = g [f(x)]
2. Komposisi tiga fungsi
Jika f : A → B dan g : B → C, serta : C → D maka fungsi komposisi
(h o g o f)(x) = (h o g) (f(x)) = h [g(f(x))]
c) Sifat-sifat komposisi
1. Tidak komotatif
(f o g)(x) (g o f)(x)
2. Asosiatif
[h o (g o f)](x) = [(h o g) o f](x)
3. Identitas
(f o )(x) = ( o f)(x) = f(x)
d) Menentukan fungsi f jika g dan g o f atau f o g diketahui untuk menetukan
fungsi f jika fungsi g dan komposisinya (g o f atau f o g) diketahui, maka
prinsip yang digunakan menggunakan definisi fungsi komposisi, yaitu :
(f o g)(x) = f(g(x)) dan (g o f)(x) = g(f(x))
28
Integral
a) Integral tak tentu
BU :
Rumus :
,dengan n bilangan rasional dan n -1
, dengan n bilangan rasional dan
n -1
Keterangan : a = koefisien
n = pangkat
c = konstanta
b) Integral tertentu
BU :
Dengan adalah anti-pendeferensialan dari yang bersifat
c) Integral fungsi trigonometri
29
Di mana a dan b masing-masing bilangan real dengan a 0.
Turunan (Diferensial)
a) Jika (k = konstanta real), maka turunan adalah :
b) Jika sebuah fungsi identitas atau , maka:
c) Jika a (dengan a konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat
positif) maka:
n
d) Jika (a konstanta real dan n bilangan real), maka:
e) Jika , dengan k konstanta real dan u fungsi dari yang
mempunyai turunan maka:
f) Jika dengan u dan v adalah fungsi-fungsi yang mempunyai
turunan dan ,maka :
g) Jika dengan dan v adalah fungsi-fungsi yang mempunyai
turunan dan ,maka :
30
h) Jika dengan u, v, dan w adalah fungsi-fungsi yang
mempunyai turunan , , dan , maka
i) Jika , dengan serta u dan v adalah fungsi-fungsi yang
mempunyai turunan dan ,maka :
j) Jika dengan u adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan
dan n adalah bilangan real, maka :
31