Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi

1. Fungsi f(x) = 2x – 3, maka f -1 (x) = …

Jawab :

f(x) = y

y = 2x – 3

y + 3 = 2x

= x

Jadi, f -1 (x) =

2. Fungsi f(x) = , maka f -1 (x) = …

Jawab :

f(x) = y

y =

2xy – 5y = 4x + 3

2xy – 4x = 3 + 5y

x(2y – 4) = 3 + 5y

x =

Jadi, f -1 (x) =

3. Fungsi f(x) = x2 + 1, maka f -1 (x) = …

Jawab :

f(x) = y

y = x2 + 1

y – 1 = x2

= x

maka f -1 (x) =

1

4. Fungsi f(x) = , maka f -1 (x)= …

Jawab :

f(x) =

f(x) = y

y =

xy – 5y = 1

xy = 1 + 5y

x =

Jadi, f -1 (x) =

5. Fungsi f(x) = , maka f -1 (5) = …

Jawab :

f(x) =

f(x) = y

y =

4y – 2xy = 3

– 2xy = 3 – 4y

x =

f -1 (x) =

Jadi, f -1 (5) =

=

2

=

6. Fungsi f(x) = , maka f -1 (3) = …

Jawab :

f(x) =

f(x) = y

y =

xy + 3y = 2x – 2

xy – 2x = – 2 – 3y

x(y – 2) = – 2 – 3y

x =

f -1 (x) =

Jadi, f -1 (3) =

=

= – 11

7. Sebuah fungsi f(x) = ax + b, jika f(-2) = 11 dan f(3) = -4. maka tentukan nilai

a dan b?...

Jawab :

f(x) = ax + b

f(-2) = a(-2) + b = 11

-2a + b = 11 …(1)

F(3) = a(3) + b = -4

3a + b = -4 …(2)

3

Jadi : -2a + b = 11 …(1)

3a + b = -4 …(2)

-5a = 15

a = -3

a = -3, subtitusiak pers. 1

-2a + b = 11 → -2(-3) + b = 11

6 + b = 11

b = 5

Jadi, nilai a = -3 dan b = 5

8. Jika f(x) = 4x2 + 2x – 3, maka f(x – 2) sama dengan …

Jawab :

f(x) = 4x2 + 2x – 3

= 4(x – 2)2 + 2(x – 2) – 3

= 4(x2 – 4x + 4) + 2x – 4 – 3

= 4x2 – 16x + 16 + 2x – 4 – 3

= 4x2 – 14 x + 9

Jadi, f(x) = 4x2 – 14 x + 9

9. Jika diketahui f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = 2x + 1, maka tentukan (f o g)(x) …

Jawab :

(f o g)(x) = f(g(x))

= f (2x + 1)

= 3(2x + 1 )2 + 1

= 3(4x2 + 4x + 1) + 1

= 12x2 + 12x + 4

Jadi, (f o g)(x) = 12x2 + 12x + 4

10. Jika diketahui f(x) = dan g(x) = 4x2 + 2, maka (f o g)(x) = …

Jawab :

4

(f o g)(x) = f(g(x))

=

=

=

Jadi, (f o g)(x) =

11. Jika f(x) = dan g(x) = x2 – 1, maka (f o g)(2) = …

Jawab :

(f o g)(x) = f(g(x))

=

=

=

Jadi, (f o g)(2) =

=

=

12. Jika diketahui f(x) = 4x – 1 dan g(x) = x2 + 1, maka (g o f)(x) = …

Jawab :

(g o f)(x) = g(f(x))

= g(4x – 1)

= (4x – 1)2 + 1

= 16x2 – 8x + 1 + 1

5

= 16x2 – 8x + 2

Jadi, (g o f)(x) = 16x2 – 8x + 2

13. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 – 2, maka tentukan (f o g o

h)(x) = …

Jawab :

(f o g oh)(x) = f o g(h(x))

= f o g(x2 – 2)

= f(3(x2 – 2) + 4)

= f(3x2 – 6 + 4)

= f(3x2 – 2)

= 2(3x2 – 2)

= 2(9x4 – 12x2 + 4)

= 18x4 – 24x2 + 8

Jadi, (f o g o h)(x) = 18x4 – 24x2 + 8

14. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 – 2, maka tentukan (g o f o

h)(x) = …

Jawab :

(g o f o h)(x) = g o f(h(x))

= g o f(x2 – 2)

= g(2(x2 – 2)2)

= g(2(x4 – 4x2 + 4))

= g(2x4 – 8x2 + 8)

= 3(2x4 – 8x2 + 8) + 4

= 6x4 – 24x2 + 24 + 4

= 6x4 – 24x2 + 28

Jadi, (g o f o h)(x) = 6x4 – 24x2 + 28

15. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 – 2, maka tentukan (g o h o

f)(-2) = …

6

Jawab :

(g o h o f)(x) = g o h(f(x))

= g o h(2x2)

= g((2x2)2 – 2)

= g(4x4 – 2)

= 3(4x4 – 2) + 4

= 12x4 – 6 + 4

= 12x4 – 2

Jadi, (g o h o f)(-2) = 12(-2)4 – 2

= 12(16) – 2

= 192 – 2

= 190

16. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (g o

f)(3) = …

Jawab :

(g o f)(x) = g(f(x))

= g(3x2 + 1)

= (3x2 + 1) + 2

= 3x2 +3

Jadi, (g o f)(3) = 3(3)2 + 3

= 3 + 9 + 3

= 15

17. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (f o

g)(5) = …

Jawab :

(f o g)(x) = f(g(x))

= f(x + 2)

= 3(x + 2)2 + 1

= 3(x2 + 4x + 4) + 1

7

= 3x2 + 12x + 12 + 1

= 3x2 + 12x + 13

Jadi, (f o g)(5) = 3(5)2 + 12(5) + 13

= 75 + 60 + 13

= 148

18. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (g0

g)(-3) = …

Jawab :

(g o g)(x) = g(g(x))

= g(x + 2)

= (x + 2) + 2

= x + 4

Jadi, (g o g)(-3) = (-3) + 4

= 1

19. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (f o

f)(-5) = …

Jawab :

(f o f)(x) = f(f(x))

= f(3x2 + 1)

= 3(3x2)2 + 1

= 3(6x4) + 1

= 18x4 + 1

Jadi, (f o f)(-5) = 18(-5)4 + 1

= 18(625) + 1

= 11251

20. Diketahui fungsi (f o g)(x) = -2x + 3, f(x) = 4x – 1, maka tentukan g(x) = …

Jawab :

(f o g)(x) = -2x + 3

8

f(g(x)) = -2x + 3

4(g(x)) – 1 = -2x + 3

4(g(x)) = -2x + 3 + 1

4(g(x)) = -2x + 4

g(x) =

Jadi, g(x) =

21. Diketahui fungsi (g o f)(x) = x2 – 6x + 3, g(x) = 2x – 3, maka tentukan f(x) =

…

Jawab :

(g o f)(x) = x2 – 6x + 3

g(f(x)) = x2 – 6x + 3

2(f(x)) – 3 = x2 – 6x + 3

2(f(x)) = x2 – 6x + 3 + 3

2(f(x)) = x2 – 6x + 6

f(x) =

Jadi, f(x) =

22. Diketahui (f o g)(x) = 4 – 2x dan g(x) = 6x + 1, maka tentukan f(x) = …

Jawab :

(f o g)(x) = 4 – 2x

f(g(x)) = 4 – 2x

g(x) = 6x + 1

g(x) – 1 = 6x

= x

9

f(g(x)) = 4 – 2

= 4 –

= 4 –

=

Jadi, f(x) =

23. Diketahui (g o f)(x) = dan f(x) = 2x – 3, tentukan g(x) = …

Jawab :

(g o f)(x) =

g(f(x)) =

f(x) = 2x – 3

f(x) + 3 = 2x

g(f(x)) = 4

=

= f(x)2 + 6f(x) + 9 – 6f(x) – 18 + 1

= f(x)2 – 8

Jadi, g(x) = x2 – 8

24. Diketahui (f o g)(x) = dan g(x) = 2x + 1, maka tentukan f(x) = …

Jawab :

(f o g)(x) =

f(g(x)) =

g(x) = 2x + 1

10

g(x) – 1 = 2x

f(g(x)) =

=

=

=

Jadi, f(x) =

25. Diketahui (f o g)(x) = dan g(x) = , maka tentukan f(x) = …

Jawab :

(f o g)(x) =

f(g(x)) =

g(x) =

g(x) – 1 =

x =

f(g(x)) =

=

Jadi, f(x) =

26. Jika f(x) = 2x – 4 dan g(x) = 3x + 1, maka tentukan invers dari (g o f) -1 (x) =

…

Jawab :

Caranya, dikomposisikan dahulu kemudian di inverskan.

(g o f)(x) = g(f(x))

= g(2x – 4)

11

= 3(2x – 4) + 1

= 6x – 12 + 1

= 6x – 11

(g o f)(x) = y

y = 6x – 11

y + 11 = 6x

= x

Jadi, (g o f) -1 (x) =

27. Jika f(x) = 2x – 4 dan g(x) = 3x + 1, maka tentukan invers dari (f o g) -1 (x) =

…

Jawab :

Caranya, dikomposisikan dahulu kemudian di inverskan.

(f o g)(x) = f(g(x))

= f(3x + 1)

= 2(3x + 1) – 4

= 6x + 2 – 4

= 6x – 2

(f o g)(x) = y

y = 6x – 2

y + 2 = 6x

= x

Jadi, (f o g) -1  (x) =

28. Jika f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 3x + 2, maka tentukan invers dari (f -1 o g -1) (x)

= …

12

Jawab :

Caranya, di inverskan masing-masing fungsi kemudian dikomposisiskan.

f(x) = 3x – 4

f(x) = y

y = 3x – 4

y + 4 = 3x

= x

Maka f -1(x) =

g(x) = 3x + 2

g(x) = y

y = 3x + 2

y – 2 = 3x

= x

Maka g -1(x) =

Maka, (f -1 o g -1) (x) = f -1(g -1(x))

= f

=

=

=

=

Jadi, (f -1 o g -1) (x) =

13

29. Jika f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 3x + 2, maka tentukan invers dari (g -1 o f -1) (x)

= …

Jawab :

Caranya, di inverskan masing-masing fungsi kemudian dikomposisiskan.

f(x) = 3x – 4

f(x) = y

y = 3x – 4

y + 4 = 3x

= x

Maka f -1(x) =

g(x) = 3x + 2

g(x) = y

y = 3x + 2

y – 2 = 3x

= x

Maka g -1(x) =

Jadi (g -1 o f -1) (x) = g -1(f -1(x))

= g

=

=

=

=

Jadi, (g -1 o f -1) (x) =

14

Integral

30. adalah …

Jawab :

dx = dx

= + c

= + c

= + c

= + c

= + c

Jadi, dx = + c

31. adalah …

Jawab :

=

=

=

=

=

15

=

Jadi, =

32. adalah …

Jawab :

=

=

=

=

Jadi, =

33. dx adalah …

Jawab :

dx = dx

= + c

= + c

= + c atau

Jadi, dx = + c atau

16

34. adalah …

Jawab :

=

=

=

Jadi, =

35. adalah …

Jawab :

=

= + c

=

=

Jadi, =

36. adalah …

Jawab :

= dx

= dx

=

=

=

17

Jadi, =

37. adalah …

Jawab :

=

=

=

=

= atau

Jadi, = atau

38. adalah …

Jawab :

=

=

=

=

=

18

=

=

=

=

Jadi, =

39. adalah …

Jawab :

=

=

=

Maka =

40. adalah …

Jawab :

=

=

=

=

Jadi, =

41. adalah …

Jawab :

19

=

=

Jadi, =

42. adalah …

Jawab :

ingat

=

=

Jadi, =

43. adalah …

Jawab :

=

=

= , ingat

=

=

=

Jadi, =

44. adalah …

Jawab :

=

Jadi, =

20

45. adalah …

Jawab :

=

=

=

= 1

Jadi, = 1

46. maka nilai a adalah …

Jawab :

=

=

Maka,

x 4

atau

21

Jadi, nilai dari a = 4

Turunan (Diferensial)

47. = , maka = …

Jawab :

= =

=

=

=

Jadi,

48. , maka …

Jawab :

=

=

=

=

Maka

49. , maka …

22

Jawab :

=

=

=

=

Jadi,

50. , maka …

Jawab :

=

=

=

Jadi,

51. f(x) = (3x + 1)(2 – 3x), maka f’(x) = …

Jawab :

f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’

misal : u = 3x + 1 → u’ = 3

v = 2 – 3x → v’ = –3

f’(x) = u’.v + u . v’

23

= (3)(2 – 3x) + (3x + 1)(–3)

= (6 – 9x) + (–9x – 3)

= 6 – 9x – 9x – 3

= –18x + 3 atau 3 – 18x

Jadi, f’(x) = –18x + 3 atau 3 – 18x

52. f(x) = (3x + 5)(x2 + 2), maka f’(x) = …

Jawab :

f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’

misal : u = 3x + 5 → u’ = 3

v = x2 + 2 → v’ = 2x

f’(x) = u’.v + u .v’

= (3)(x2 + 2) + (3x + 5)(2x)

= (3x2 + 6) + (6x2 + 10x)

= 3x2 + 6 + 6x2 + 10x

= 8x2 + 10x + 6

Jadi, f’(x) = 8x2 + 10x + 6

53. Turunan pertama dari f(x) = (4x – 7)(x2 – 5) adalah …

Jawab :

f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’

misal : u = 4x – 7 → u’ = 4

v = x2 – 5 → v’ = 2x

f’(x) = u’.v + u .v’

= (4)( x2 – 5) + (4x – 7)(2x)

= (4x2 – 20) + (8x2 – 14x)

= 4x2 – 20 + 8x2 – 14x

= 12x2 – 14x – 20

Jadi, f’(x) = 12x2 – 14x – 20

54. Turunan pertama dari adalah …

Jawab :

24

=

=

=

=

Jadi,

55. Turunan pertama dari f(x) = (3 – 4x)(5x2 – 1) adalah …

Jawab :

f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’

misal : u = 3 – 4x → u’ = –4

v = 5x2 – 1 → v’ = 10x

f’(x) = u’.v + u .v’

= (–4)( 5x2 – 1) + (3 – 4x)(10x)

= (–20x2 + 4) + (30x – 40x2)

= –20x2 + 4 + 30x – 40x2

= –60x2 + 30x + 4

Jadi, f’(x) = –60x2 + 30x + 4

56. Turunan pertama dari f(x) = adalah …

Jawab :

f(x) =

misal : u = 3x – 2 → u’ = 3

v = x + 4 → v’ = 1

25

f’(x) =

=

=

=

=

Jadi, f’(x) =

57. f(x) = , maka f’(x) = …

Jawab :

f(x) =

misal : u = 4 → u’ = 0

v = 2x + 3 → v’ = 2

f’(x) =

=

=

Jadi, f’(x) =

58. y = (3x2 + x)(2x – 5), maka y’ = …

Jawab :

f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’

misal : u = 3x2 + x → u’ = 6x + 1

26

v = 2x – 5 → v’ = 2

f’(x) = u’.v + u .v’

= (6x + 1)(2x – 5) + (3x2 + x)(2)

= (12x2 – 28x – 5) + (6x2 + 2x)

= 12x2 – 28x – 5 + 6x2 + 2x

= 18x2 – 26x – 5

Jadi, f’(x) = 18x2 – 26x – 5

59. y = (x2 + 1)(x3 – 1), maka y’ = …

Jawab :

f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’

misal : u = x2 + 1 → u’ = 2x

v = x3 – 1 → v’ = 3x2

f’(x) = u’.v + u .v’

= (2x)( x3 – 1) + (x2 + 1)( 3x2)

= (2x4 – 2x) + (3x4 + 3x2)

= 2x4 – 2x + 3x4 + 3x2

= 2x4 + 3x4 + 3x2 – 2x

= 5x4 + 3x2 – 2x

Jadi, f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2x

60. y = x3 sin 5x, maka y’ = …

Jawab :

f(x) = u . v → f’(x) = u’.v + u .v’

misal : u = x3 → u’ = 3x2

v = sin 5x → v’ = 5 cos 5x

f’(x) = u’.v + u .v’

= (3x2)(sin 5x) + (x3)(5 cos 5x)

= 3x2 sin 5x + 5x3 cos 5x

Jadi, f’(x) = 3x2 sin 5x + 5x3 cos 5x

27

RUMUS

Fungsi Invers

Fungsi Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f-1(x). Cara

menentukan fungsi invers adalah dengan merubah f(x) = y dan menentukan

hasil dari x.

Fungsi Komposisi

Misal f adalah fungsi dari A ke B dan g fungsi dari B ke C, maka fungsi g

o f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu kemudian g (f

memetakan x ke y dan g memetakan y ke z)

a) Syarat agar dua fungsi dapat dikomposisikan.

(f o g)(x), maka x g dan g(x) f

(g o f)(x), maka x f dan f(x) g

b) Menentukan komposisi dua fungsi atau lebih.

1. Komposisi dua fungsi

Jika f : A → B dan g : B → C, maka (g o f)(x) = g [f(x)]

2. Komposisi tiga fungsi

Jika f : A → B dan g : B → C, serta : C → D maka fungsi komposisi

(h o g o f)(x) = (h o g) (f(x)) = h [g(f(x))]

c) Sifat-sifat komposisi

1. Tidak komotatif

(f o g)(x) (g o f)(x)

2. Asosiatif

[h o (g o f)](x) = [(h o g) o f](x)

3. Identitas

(f o )(x) = ( o f)(x) = f(x)

d) Menentukan fungsi f jika g dan g o f atau f o g diketahui untuk menetukan

fungsi f jika fungsi g dan komposisinya (g o f atau f o g) diketahui, maka

prinsip yang digunakan menggunakan definisi fungsi komposisi, yaitu :

(f o g)(x) = f(g(x)) dan (g o f)(x) = g(f(x))

28

Integral

a) Integral tak tentu

BU :

Rumus :

,dengan n bilangan rasional dan n -1

, dengan n bilangan rasional dan

n -1

Keterangan : a = koefisien

n = pangkat

c = konstanta

b) Integral tertentu

BU :

Dengan adalah anti-pendeferensialan dari yang bersifat

c) Integral fungsi trigonometri

29

Di mana a dan b masing-masing bilangan real dengan a 0.

Turunan (Diferensial)

a) Jika (k = konstanta real), maka turunan adalah :

b) Jika sebuah fungsi identitas atau , maka:

c) Jika a (dengan a konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat

positif) maka:

n

d) Jika (a konstanta real dan n bilangan real), maka:

e) Jika , dengan k konstanta real dan u fungsi dari yang

mempunyai turunan maka:

f) Jika dengan u dan v adalah fungsi-fungsi yang mempunyai

turunan dan ,maka :

g) Jika dengan dan v adalah fungsi-fungsi yang mempunyai

turunan dan ,maka :

30

h) Jika dengan u, v, dan w adalah fungsi-fungsi yang

mempunyai turunan , , dan , maka

i) Jika , dengan serta u dan v adalah fungsi-fungsi yang

mempunyai turunan dan ,maka :

j) Jika dengan u adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan

dan n adalah bilangan real, maka :

31