TUGAS KALKULUS

of 38/38
Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi 1. Fungsi f(x) = 2x – 3, maka f -1 (x) = … Jawab : f(x) = y y = 2x – 3 y + 3 = 2x = x Jadi, f -1 (x) = 2. Fungsi f(x) = , maka f -1 (x) = … Jawab : f(x) = y y = 2xy – 5y = 4x + 3 2xy – 4x = 3 + 5y x(2y – 4) = 3 + 5y x = Jadi, f -1 (x) = 3. Fungsi f(x) = x 2 + 1, maka f -1 (x) = … Jawab : 1
  • date post

    24-Oct-2014
  • Category

    Documents

  • view

    214
  • download

    8

Embed Size (px)

Transcript of TUGAS KALKULUS

Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi1. Fungsi f(x) = 2x 3, maka f -1 (x) = Jawab : f(x) = y y = 2x 3 y + 3 = 2x 23 + y= xJadi, f -1 (x) = 23 + x2. Fungsi f(x) = 5 23 4+xx, maka f -1 (x) = Jawab : f(x) = y y = 5 23 4+xx2xy 5y = 4x + 32xy 4x = 3 + 5yx(2y 4) = 3 + 5y x = 4 25 3+y yJadi, f -1 (x) = 4 25 3+x x3. Fungsi f(x) = x2 + 1, maka f -1 (x) = Jawab : f(x) = y y = x2 + 1 y 1 = x21 1 y = xmaka f -1 (x) = 1 x4. Fungsi f(x) = 51 x, maka f -1 (x)= Jawab : f(x) = 51 x f(x) = y y = 51 x xy 5y = 1 xy = 1 + 5y x = y y 5 1+Jadi, f -1 (x) = x x 5 1+5. Fungsi f(x) = x 2 43, maka f -1 (5) = Jawab : f(x) = x 2 43 f(x) = y y = x 2 434y 2xy = 3 2xy = 3 4y x = yy24 3 f -1 (x) = xxatauxx23 424 3 2Jadi, f -1 (5) = ) 5 ( 23 ) 5 ( 4 = 103 20 = 10176. Fungsi f(x) = 32 2+xx, maka f -1 (3) = Jawab :f(x) = 32 2+xxf(x) = yy = 32 2+xxxy + 3y = 2x 2xy 2x = 2 3yx(y 2) = 2 3yx = 23 2 y yf -1 (x) = 23 2 x xJadi, f -1 (3) = 2 3) 3 ( 3 2 = 19 2 = 117. Sebuah fungsi f(x) = ax + b, jika f(-2) = 11 dan f(3) = -4. maka tentukan nilai a dan b?...Jawab :3f(x) = ax + bf(-2) = a(-2) + b = 11 -2a + b = 11 (1)F(3) = a(3) + b = -4 3a + b = -4 (2)Jadi : -2a + b = 11 (1) 3a + b = -4 (2) -5a = 15 a = -3a = -3, subtitusiak pers. 1-2a + b = 11 -2(-3) + b = 11 6 + b = 11 b = 5Jadi, nilai a = -3 dan b = 58. Jika f(x) = 4x2 + 2x 3, maka f(x 2) sama dengan Jawab :f(x) = 4x2 + 2x 3 = 4(x 2)2 + 2(x 2) 3 = 4(x2 4x + 4) + 2x 4 3 = 4x2 16x + 16 + 2x 4 3 = 4x2 14 x + 9Jadi, f(x) = 4x2 14 x + 99. Jika diketahui f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = 2x + 1, maka tentukan (f o g)(x) Jawab :(f o g)(x) = f(g(x))= f (2x + 1)= 3(2x + 1 )2 + 1= 3(4x2 + 4x + 1) + 1= 12x2 + 12x + 44Jadi, (f o g)(x) = 12x2 + 12x + 410. Jika diketahui f(x) = 3 62 5+xxdan g(x) = 4x2 + 2, maka (f o g)(x) = Jawab :(f o g)(x) = f(g(x))= 3 ) 2 4 ( 62 ) 2 4 ( 522+ + +xx= 3 12 242 10 2022+ + +xx= 15 248 2022++xxJadi, (f o g)(x) = 15 248 2022++xx11. Jika f(x) = 4 25+ xdan g(x) = x2 1, maka (f o g)(2) = Jawab :(f o g)(x) = f(g(x))= 4 ) 1 ( 252+ x= 4 2 252+ x= 2 252+ xJadi, (f o g)(2) = 2 ) 2 ( 252+= 2 85+= 21105512. Jika diketahui f(x) = 4x 1 dan g(x) = x2 + 1, maka (g o f)(x) = Jawab :(g o f)(x) = g(f(x))= g(4x 1)= (4x 1)2 + 1= 16x2 8x + 1 + 1= 16x2 8x + 2Jadi, (g o f)(x) = 16x2 8x + 213. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 2, maka tentukan (f o g o h)(x) = Jawab :(f o g oh)(x) = f o g(h(x))= f o g(x2 2)= f(3(x2 2) + 4)= f(3x2 6 + 4)= f(3x2 2)= 2(3x2 2)= 2(9x4 12x2 + 4)= 18x4 24x2 + 8Jadi, (f o g o h)(x) = 18x4 24x2 + 814. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 2, maka tentukan (g o f o h)(x) = Jawab :(g o f o h)(x) = g o f(h(x))= g o f(x2 2)= g(2(x2 2)2)= g(2(x4 4x2 + 4))= g(2x4 8x2 + 8)= 3(2x4 8x2 + 8) + 46= 6x4 24x2 + 24 + 4= 6x4 24x2 + 28Jadi, (g o f o h)(x) = 6x4 24x2 + 2815. Jika diketahui f(x) = 2x2, g(x) = 3x + 4, h(x) = x2 2, maka tentukan (g o h o f)(-2) = Jawab :(g o h o f)(x) = g o h(f(x))= g o h(2x2)= g((2x2)2 2)= g(4x4 2)= 3(4x4 2) + 4= 12x4 6 + 4= 12x4 2Jadi, (g o h o f)(-2) = 12(-2)4 2 = 12(16) 2 = 192 2 = 190 16. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (g o f)(3) = Jawab :(g o f)(x) = g(f(x))= g(3x2 + 1)= (3x2 + 1) + 2= 3x2 +3Jadi, (g o f)(3) = 3(3)2 + 3= 3 + 9 + 3= 15717. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (f o g)(5) = Jawab :(f o g)(x) = f(g(x))= f(x + 2)= 3(x + 2)2 + 1= 3(x2 + 4x + 4) + 1= 3x2 + 12x + 12 + 1= 3x2 + 12x + 13Jadi, (f o g)(5) = 3(5)2 + 12(5) + 13= 75 + 60 + 13= 14818. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (g0 g)(-3) = Jawab :(g o g)(x) = g(g(x))= g(x + 2)= (x + 2) + 2= x + 4Jadi, (g o g)(-3) = (-3) + 4= 119. Jika diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 1 dan g(x) = x + 2, maka tentukan nilai (f o f)(-5) = Jawab :(f o f)(x) = f(f(x))= f(3x2 + 1)= 3(3x2)2 + 1= 3(6x4) + 1= 18x4 + 18Jadi, (f o f)(-5) = 18(-5)4 + 1= 18(625) + 1= 1125120. Diketahui fungsi (f o g)(x) = -2x + 3, f(x) = 4x 1, maka tentukan g(x) = Jawab :(f o g)(x) = -2x + 3f(g(x)) = -2x + 34(g(x)) 1 = -2x + 34(g(x)) = -2x + 3 + 14(g(x)) = -2x + 4g(x) = 44 2 + xJadi, g(x) = 121+ x21. Diketahui fungsi (g o f)(x) = x2 6x + 3, g(x) = 2x 3, maka tentukan f(x) = Jawab :(g o f)(x) = x2 6x + 3g(f(x)) = x2 6x + 32(f(x)) 3 = x2 6x + 32(f(x)) = x2 6x + 3 + 32(f(x)) = x2 6x + 6f(x) = 26 62+ x xJadi, f(x) = 3 3212+ x x22. Diketahui (f o g)(x) = 4 2x dan g(x) = 6x + 1, maka tentukan f(x) = Jawab :9(f o g)(x) = 4 2xf(g(x)) = 4 2x g(x) = 6x + 1g(x) 1 = 6x61 ) ( x g= xf(g(x)) = 4 2 ,_

61 ) (x g= 4 626) ( 2+x g= 4 31) (31+ x g= ) (31313x g Jadi, f(x) = x3131323. Diketahui (g o f)(x) = 1 12 42+ x x dan f(x) = 2x 3, tentukan g(x) = Jawab :(g o f)(x) = 1 12 42+ x xg(f(x)) = 1 12 42+ x x f(x) = 2x 3f(x) + 3 = 2xxx f+23 ) (g(f(x)) = 4 123 ) (1223 ) (2+

,_

+

,_

+ x f x f= 1236) (21249 ) ( 6 ) (42+

,_

+ +x fx f x f= f(x)2 + 6f(x) + 9 6f(x) 18 + 110= f(x)2 8Jadi, g(x) = x2 824. Diketahui (f o g)(x) = x x +2dan g(x) = 2x + 1, maka tentukan f(x) = Jawab :(f o g)(x) = x x +2f(g(x)) = x x +2 g(x) = 2x + 1g(x) 1 = 2xxx g21 ) (f(g(x)) =

,_

+

,_

21 ) (21 ) (2x g x g= ,_

+

,_

+ 21 ) (41 ) ( 2 ) (2x g x g x g= ,_

+

,_

+ 42 ) ( 241 ) ( 2 ) (2x g x g x g= 41 ) (2 x gJadi, f(x) = 41414122x ataux25. Diketahui (f o g)(x) = 24 x dan g(x) = 12+ x , maka tentukan f(x) = Jawab :(f o g)(x) = 24 xf(g(x)) = 24 x g(x) = 12+ xg(x) 1 = 2xx = 1 ) ( x g11f(g(x)) = ( ) 2 1 ) (4 x g= 2 1 ) ( 2 ) (2 + x g x gJadi, f(x) = 1 22 x x 26. Jika f(x) = 2x 4 dan g(x) = 3x + 1, maka tentukan invers dari (g o f) -1 (x) = Jawab :Caranya, dikomposisikan dahulu kemudian di inverskan.(g o f)(x) = g(f(x))= g(2x 4)= 3(2x 4) + 1= 6x 12 + 1= 6x 11(g o f)(x) = yy = 6x 11y + 11 = 6x611 + y= xJadi, (g o f) -1 (x) = 611 + x27. Jika f(x) = 2x 4 dan g(x) = 3x + 1, maka tentukan invers dari (f o g) -1 (x) = Jawab :Caranya, dikomposisikan dahulu kemudian di inverskan.(f o g)(x) = f(g(x))= f(3x + 1)= 2(3x + 1) 4= 6x + 2 4= 6x 212(f o g)(x) = yy = 6x 2y + 2 = 6x62 + y= xJadi, (f o g) -1 (x) = 62 + x28. Jika f(x) = 3x 4 dan g(x) = 3x + 2, maka tentukan invers dari (f -1 o g -1) (x) = Jawab :Caranya, di inverskan masing-masing fungsi kemudian dikomposisiskan. f(x) = 3x 4f(x) = yy = 3x 4y + 4 = 3x34 + y= xMaka f -1(x) = 34 + x g(x) = 3x + 2g(x) = yy = 3x + 2y 2 = 3x32 y= xMaka g -1(x) = 32 xMaka, (f -1 o g -1) (x) = f -1(g -1(x))= f ,_

32 x13= 3432+ x= 331232+ x= 3310 + x= 910 + xJadi, (f -1 o g -1) (x) = 910 + x29. Jika f(x) = 3x 4 dan g(x) = 3x + 2, maka tentukan invers dari (g -1 o f -1) (x) = Jawab :Caranya, di inverskan masing-masing fungsi kemudian dikomposisiskan. f(x) = 3x 4f(x) = yy = 3x 4y + 4 = 3x34 + y= xMaka f -1(x) = 34 + x g(x) = 3x + 2g(x) = yy = 3x + 2y 2 = 3x32 y= xMaka g -1(x) = 32 xJadi (g -1 o f -1) (x) = g -1(f -1(x))14= g ,_

+34 x= 3234+ x= 33634+ x= 332 x= 92 xJadi, (g -1 o f -1) (x) = 92 xIntegral30. dx x adalah Jawab : x dx = 21x dx= 1212111 ++ x + c= 23231x + c= 2332x + c= 21.321x x + c= x x .321 + cJadi, x dx = x x .321 + c1531. dx x4 3adalah Jawab :dx x4 3= dx x43= c x +++1434311= c x +++444344431= c x +47471= c x +4774= c x x +4 374Jadi, dx x4 3 = c x x +4 37432. dxxx251adalah Jawab : dx x dx x dxxdxxxdxxx2 32 25251 1 = c x x ++ ++ + 1 2 1 31 211 31 = c x x +

,_

1 41141 = c x x + + 1 441= cxx + +1414Jadi, dxxx251 = cxx + +14141633. 21x dx adalah Jawab : 21x dx = 2xdx= 1 21 21 + + x + c= 111 x + c= 1 x + c atau cx + 1Jadi, 21x dx = 1 x + c atau cx + 134. + dx x x ) 2 (3 adalah Jawab : + dx x x ) 2 (3= + xdx dx x32= c x x +++++ + 1 1 1 31 111 32= c x x + +2 42142Jadi, + dx x x ) 2 (3 = c x x + +2 4214235. + dx x x x ) 2 4 (2 3 5 adalah Jawab : + dx x x x ) 2 4 (2 3 5= + dx x dx x dx x2 3 52 4= 1 2 1 3 1 51 221 341 51 + + +++++ x x x + c= c x x x + + 3 4 632446117= c x x x + + 4 4 63261Jadi, + dx x x x ) 2 4 (2 3 5 = c x x x + + 4 4 6326136. + dx x x2 2) 3 ( adalah Jawab : + dx x x2 2) 3 (= [ ] + +2 2 2 2) 3 ( ) 3 )( ( 2 ) ( x x x x dx= + + ) 9 6 (2 3 4x x x dx= c x x x +++++++ + + 1 2 1 3 1 41 291 361 41= c x x x + + +3 4 5392651= c x x x + + +3 4 532351Jadi, + dx x x2 2) 3 ( = c x x x + + +3 4 53235137. 213dx x adalah Jawab :213dx x = 214411]1x= ,_

,_

4 4) 1 (41) 2 (41= ,_

,_

) 1 (41) 16 (41= 41416= 415 atau 43318Jadi, 213dx x = 415 atau 43338. +212) 3 ( dx x x adalah Jawab :+212) 3 ( dx x x = 212 323311]1+ x x= ,_

+

,_

+2 3 2 3) 1 (23) 1 (31) 2 (23) 2 (31= ,_

+

,_

+ ) 1 (23) 1 (31) 4 (23) 8 (31= ,_

+

,_

+233121238= 233121238 + += 232123138 + += 2939+= 214 3 += 217Jadi, +212) 3 ( dx x x = 21739. dx x x ) 3 4 cos( sin 5 ( adalah Jawab : dx x x ) 3 4 cos( sin 5 ( = dx x xdx ) 3 4 cos( sin 519 = c x x + )) 3 4 sin( ( ) sin ( 531 = c x x + + ) 3 4 sin( cos 531Maka dx x x ) 3 4 cos( sin 5 ( = c x x + + ) 3 4 sin( cos 53140. dx x x ) 2 cos (cos21 adalah Jawab : dx x x ) 2 cos (cos21= xdx xdx 2 cos cos21= c x x + 2 sin21sin12121= c x x + 2 sin21sin1221= c x x + 2 sin sin 22121Jadi, dx x x ) 2 cos (cos21 = c x x + 2 sin sin 2212141. + dx x x ) 4 sin (413 adalah Jawab : + dx x x ) 4 sin (413= c x x x + 2244141441cos1= c x x x + 2414412 cos 4Jadi, + dx x x ) 4 sin (413 = c x x x + 2414412 cos 442. dx x ) 4 (tan2 + adalah Jawab :{ } , 3 sec 3 ) 1 (tan ) 4 (tan2 2 2+ + + + x x x ingat x x2 2sec 1 tan +dx x ) 4 (tan2 += + + dx xdx dx x 3 sec ) 3 (sec2 2= c x x + + 3 tanJadi, dx x ) 4 (tan2 + = c x x + + 3 tan2043. dx x x2) cos (sin adalah Jawab :2) cos (sin x x = x x x x2 2cos cos sin 2 sin + = x x x x cos sin 2 ) cos (sin2 2 += x 2 sin 1 , ingat 1 cos sin2 2 + x x dx x x2) cos (sin= xdx dx dx x 2 sin ) 2 sin 1 (= c x x + ) 2 cos (21= c x x + + 2 cos21Jadi, dx x x2) cos (sin= c x x + + 2 cos2144. dx x x x ) sec tan (sec2 adalah Jawab : xdx x xdx dx x x x sec tan sec ) sec tan (sec2 2 = c x x + sec tanJadi, dx x x x ) sec tan (sec2 = c x x + sec tan45. 2sin xdx adalah Jawab :2sin xdx= ]2cos x = ) cos ( ) cos (2 = ) 0 ( )) 1 ( ( = 1Jadi, 2sin xdx = 12146. adx x x23, 36 ) 16 ( maka nilai a adalah Jawab : adx x x2336 ) 16 ( = 361 1161 3121 1 1 3 1]1+++ +ax x= 36 84122 4 1]1ax xMaka,36 ) 2 ( 8 ) 2 (41) ( 8 ) (412 4 2 4 1]1

1]1

a a [ ] 36 32 4 8412 4 1]1

a a 1]1

+ 0 64 8424aa 0 256 322 4 + a ax 4( )( ) 16 162 2 a a4162aaatau 4162aaJadi, nilai dari a = 4Turunan (Diferensial)47.) (x f = 3x , maka ) ( ' x f = Jawab :) (x f= 3x = 31x) ( ' x f= 131 31x= 333131 x22= 3231 xJadi, ) ( ' x f3231 x48.31 1) (x xx f + , maka ) ( ' x fJawab :31 1) (x xx f + = 3121 + x x1 13121311211 ) ( ' + x x x f = 333122213121 x x = 34233121 x x = 33121x x x x Maka ) ( ' x f33121x x x x 49.21) (

,_

xx x f , maka ) ( ' x fJawab :21) (

,_

xx x f = 1 2 22121 2 + + + x x xxxxx1 11) 1 (212 2 ) ( '21 + + x x x x f = 222212 + x x x = 2212 + x x x = 21 12xxx +23Jadi, ) ( ' x f21 12xxx +50. ) ( ) (3x x x x f , maka ) ( ' x fJawab :2327) ( ) (3x x x x x x f 1 12327231271 ) ( ' x x x f = 222322272327 x x = 21252327x x = x x x23272Jadi, ) ( ' x f x x x2327251. f(x) = (3x + 1)(2 3x), maka f(x) = Jawab :f(x) = u . v f(x) = u.v + u .vmisal : u = 3x + 1 u = 3v = 2 3x v = 3f(x) = u.v + u . v = (3)(2 3x) + (3x + 1)(3) = (6 9x) + (9x 3) = 6 9x 9x 3 = 18x + 3 atau 3 18xJadi, f(x) = 18x + 3 atau 3 18x52. f(x) = (3x + 5)(x2 + 2), maka f(x) = Jawab :f(x) = u . v f(x) = u.v + u .v24misal : u = 3x + 5 u = 3v = x2 + 2 v = 2xf(x) = u.v + u .v = (3)(x2 + 2) + (3x + 5)(2x) = (3x2 + 6) + (6x2 + 10x) = 3x2 + 6 + 6x2 + 10x = 8x2 + 10x + 6Jadi, f(x) = 8x2 + 10x + 653. Turunan pertama dari f(x) = (4x 7)(x2 5) adalah Jawab :f(x) = u . v f(x) = u.v + u .vmisal : u = 4x 7 u = 4v = x2 5 v = 2xf(x) = u.v + u .v = (4)( x2 5) + (4x 7)(2x) = (4x2 20) + (8x2 14x) = 4x2 20 + 8x2 14x = 12x2 14x 20Jadi, f(x) = 12x2 14x 2054. Turunan pertama dari x x x f 5) ( adalah Jawab :x x x f 5) ( = 2151x x 1 121512151) ( ' x x x f = 222155512151 x x = 21542151 x x25 = xx21515 4 Jadi, ) ( ' x fxx21515 4 55. Turunan pertama dari f(x) = (3 4x)(5x2 1) adalah Jawab : f(x) = u . v f(x) = u.v + u .vmisal : u = 3 4x u = 4 v = 5x2 1 v = 10xf(x) = u.v + u .v = (4)( 5x2 1) + (3 4x)(10x) = (20x2 + 4) + (30x 40x2) = 20x2 + 4 + 30x 40x2 = 60x2 + 30x + 4Jadi, f(x) = 60x2 + 30x + 456. Turunan pertama dari f(x) = 42 3+xx adalah Jawab :f(x) = 2' . '.v v u v uvu misal : u = 3x 2 u = 3 v = x + 4 v = 1f(x) = 2' . '.v v u v u = 2) 4 () 1 )( 2 3 ( ) 4 )( 3 (+ +x x x = 2) 4 () 2 3 ( ) 12 3 (+ +x x x26 = 2) 4 (2 3 12 3++ +x x x = 2) 4 (14+ xJadi, f(x) = 2) 4 (14+ x57. f(x) = 3 24+ x, maka f(x) = Jawab :f(x) = 2' . '.v v u v uvu misal : u = 4 u = 0 v = 2x + 3 v = 2f(x) = 2' . '.v v u v u = 2) 3 2 () 2 )( 4 ( ) 3 2 )( 0 (+ +xx = 2) 3 2 (8+xJadi, f(x) = 2) 3 2 (8+x58. y = (3x2 + x)(2x 5), maka y = Jawab :f(x) = u . v f(x) = u.v + u .vmisal : u = 3x2 + x u = 6x + 1 v = 2x 5 v = 2f(x) = u.v + u .v = (6x + 1)(2x 5) + (3x2 + x)(2) = (12x2 28x 5) + (6x2 + 2x) = 12x2 28x 5 + 6x2 + 2x27 = 18x2 26x 5Jadi, f(x) = 18x2 26x 559. y = (x2 + 1)(x3 1), maka y = Jawab :f(x) = u . v f(x) = u.v + u .vmisal : u = x2 + 1 u = 2x v = x3 1 v = 3x2f(x) = u.v + u .v = (2x)( x3 1) + (x2 + 1)( 3x2) = (2x4 2x) + (3x4 + 3x2) = 2x4 2x + 3x4 + 3x2 = 2x4 + 3x4 + 3x2 2x = 5x4 + 3x2 2xJadi, f(x) = 5x4 + 3x2 2x60. y = x3 sin 5x, maka y = Jawab :f(x) = u . v f(x) = u.v + u .vmisal : u = x3 u = 3x2 v = sin 5x v = 5 cos 5xf(x) = u.v + u .v = (3x2)(sin 5x) + (x3)(5 cos 5x) = 3x2 sin 5x + 5x3 cos 5xJadi, f(x) = 3x2 sin 5x + 5x3 cos 5x28RUMUS Fungsi InversFungsi Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f-1(x). Cara menentukan fungsi invers adalah dengan merubah f(x) = y dan menentukan hasil dari x. Fungsi KomposisiMisal f adalah fungsi dari A ke B dan g fungsi dari B ke C, maka fungsi g o f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu kemudian g (f memetakan x ke y dan g memetakan y ke z)a) Syarat agar dua fungsi dapat dikomposisikan.(f o g)(x), maka x g dan g(x) f(g o f)(x), maka x f dan f(x) gb) Menentukan komposisi dua fungsi atau lebih.1. Komposisi dua fungsiJika f : A B dan g : B C, maka (g o f)(x) = g [f(x)]2. Komposisi tiga fungsiJika f : A B dan g : B C, serta : C D maka fungsi komposisi (h o g o f)(x) = (h o g) (f(x)) = h [g(f(x))]c) Sifat-sifat komposisi1. Tidak komotatif(f o g)(x) (g o f)(x)2. Asosiatif[h o (g o f)](x) = [(h o g) o f](x)3. Identitas(f o )(x) = ( o f)(x) = f(x)d) Menentukan fungsi f jika g dan g o f atau f o g diketahui untuk menetukan fungsi f jika fungsi g dan komposisinya (g o f atau f o g) diketahui, maka prinsip yang digunakan menggunakan definisi fungsi komposisi, yaitu :(f o g)(x) = f(g(x)) dan (g o f)(x) = g(f(x))29 Integrala) Integral tak tentuBU : dt t f dx x f ) ( ) (Rumus : + c x dxa c ax dx + { } + + dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ({ } dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ++ +c xndx x n n 111,dengan n bilangan rasional dan n -1 ++ +c xnadx ax n n 11, dengan n bilangan rasional dan n -1Keterangan : a = koefisienn = pangkatc = konstantab) Integral tertentuBU : baa F b F dx x f ) ( ) ( ) (Dengan ) (x F adalah anti-pendeferensialan dari ) (x f yang bersifat ) ( ) ( ' x f x F c) Integral fungsi trigonometri + c x xdx sin cos + c x xdx cos sin + c x xdx tan sec230 + c x xdx ec cot cos2 + c x xdx x sec sec . tan + c ecx ecxdx x cos cos . cot + + + c b axadx b ax ) sin(1) cos( + + + c b axadx b ax ) cos(1) sin( + + + c b axadx b ax ) tan(1) ( sec2 + + + c b axadx b ax ec ) cot(1) ( cos2 + + + + c b axadx b ax b ax ) sec(1) sec( ). tan( + + + + c b ax ecadx b ax ec b ax ) ( cos1) ( cos ). cot(Di mana a dan b masing-masing bilangan real dengan a 0. Turunan (Diferensial)a) Jika k x f ) ( (k = konstanta real), maka turunan ) (x fadalah :0 ) ( ' x fb) Jika ) (x fsebuah fungsi identitas atau x x f ) (, maka:1 ) ( ' x fc) Jika ) (x f a nx (dengan a konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat positif) maka:a x f ) ( ' n 1 nxd) Jika nax x f ) ( (a konstanta real dan n bilangan real), maka:1) ( ' nanx x f31e) Jika ku x f ) (, dengan k konstanta real dan u fungsi dari x yang mempunyai turunan ) ( ' x u maka:' ) ( ' ku x f f) Jika v u x f t ) (dengan u dan v adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan ' u dan ' v ,maka :' ' ) ( ' v u x f t g) Jika v u x f ) ( dengan udan v adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan ' u dan ' v ,maka :' ' ) ( ' v u v u x f + h) Jika w v u x f ) (dengan u, v, dan w adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan ' u , ' v , dan ' w , maka' ' ' ) ( ' w v u w v u w v u x f + + i) Jika vux f ) ( , dengan 0 u serta u dan v adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan ' u dan ' v ,maka :2' ') ( 'v v u v ux f j) Jika { } nu x f ) ( dengan u adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan ' u dan n adalah bilangan real, maka :{ } ' ) (1u u n x f n 32