Kalkulus -...

Click here to load reader

  • date post

    05-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    350
  • download

    17

Embed Size (px)

Transcript of Kalkulus -...

  • Kalkulus 1

    Kalkulus

    Topik dalam kalkulus

    Teorema dasarLimit fungsiKekontinuan

    Kalkulus vektorKalkulus matriks

    Teorema nilai purata

    Turunan

    Kaidah darabKaidah hasil-bagi

    Kaidah rantaiTurunan implisitTeorema Taylor

    Laju berhubunganTabel turunan

    Integral

    Tabel integralIntegral takwajar

    Pengintegralan dengan:bagian per bagian, cakram, silinder,

    substitusi,substitusi trigonometri,

    pecahan parsial

    Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yangmencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimanageometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaanserta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapatmemecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melaluiteorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebihtinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit_fungsihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_kontinuhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_vektorhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_matrikshttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_nilai_puratahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Turunan_fungsihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah_darabhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah_hasil-bagihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah_rantaihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_implisithttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_Taylorhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Laju_berhubunganhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabel_turunanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integralhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabel_integralhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_takwajarhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integrasi_parsialhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengintegralan_cakramhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengintegralan_silinderhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengintegralan_dengan_substitusihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Substitusi_trigonometrihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pecahan_parsial_di_pengintegralanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limithttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Turunanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integralhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=0%2C999...%23Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometrihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabarhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ilmuhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekonomihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teknikhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integralhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_%28matematika%29http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limithttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_matematika

  • Kalkulus 2

    Sejarah

    Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dankontributor kalkulus yang terkenal.

    Perkembangan

    Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periodezaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulusintegral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dansistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsiutama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada PapirusMoskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesirtelah mampu menghitung volume piramida terpancung.[1]

    Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh danmenciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2]

    Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata,menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 danmengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaandiferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar BhskaraII pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunanyang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga danmenjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadiorang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksimatematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yangsangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusimenemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [6] Pada abad ke-14,Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskankasus khusus dari deret Taylor[7] , yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[8] [9] [10]

    Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti SekiKowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalamkalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Abad_Kunohttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Abad_Pertengahanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Zaman_modernhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Volumehttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Papirus_Matematika_Moskwahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Papirus_Matematika_Moskwahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mesirhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Piramidhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Archimedeshttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Heuristikhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integralhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Indiahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aryabhatahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=499http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensialhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensialhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bh%C4%81skara_IIhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bh%C4%81skara_IIhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Turunanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_Rollehttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=1000http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Irakhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ibnu_Haithamhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi_matematikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi_matematikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persiahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sharaf_al-Din_al-Tusihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Turunanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_kubikhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Madhava_dari_Sangamagramahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mazhab_astronomi_dan_matematika_Keralahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret_Taylorhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Yuktibhasahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Seki_K%C5%8Dwahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Seki_K%C5%8Dwahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=John_Wallishttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Isaac_Barrowhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=James_Gregoryhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_dasar_kalkulus

  • Kalkulus 3

    Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduhmenjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak

    dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagaikontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan

    secara terpisah.

    Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersamasebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebutdianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktuyang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secaraumum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkannotasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

    Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untukpertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentangmana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadapkerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu,tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newtonmenuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yangtidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepadabeberapa anggota dari Royal Society.

    Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanyabekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral danNewton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibnizdiberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secaraterpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmucabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton

    menamakannya "The science of fluxions".Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh duniaterus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.[11]

    Pengaruh pentingWalau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq,Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton danGottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikanpengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, danoptimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja,dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak.Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagianbilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapacontoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga,yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gottfried_Leibnizhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gottfried_Leibnizhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fisikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Royal_Societyhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Eropahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gottfried_Leibnizhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fisikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kecepatanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Percepatanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kemiringanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Luashttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Volumehttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Panjang_busurhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pusat_massahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kerjahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tekananhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret_pangkathttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret_Fourierhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoks_Zeno

  • Kalkulus 4

    Prinsip-prinsip dasar

    Limit dan kecil tak terhingga

    Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah Lapabila untuk setiap bilangan > 0 apapun, terdapat bilangan > 0, sedemikian

    rupanya:

    Kalkulus pada umumnya dikembangkandengan memanipulasi sejumlah kuantitasyang sangat kecil. Objek ini, yang dapatdiperlakukan sebagai angka, adalah sangatkecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya takterhingga dapat lebih besar daripada 0,namun lebih kecil daripada bilangan apapunpada deret 1, , , ... dan bilangan realpositif apapun. Setiap perkalian dengankecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplahkecil tak terhingga, dengan kata lain keciltak terhingga tidak memenuhi propertiArchimedes. Dari sudut pandang ini,kalkulus adalah sekumpulan teknik untukmemanipulasi kecil tak terhingga.

    Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhinggaini ditinggalkan karena tidak cukup cermat,sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit.Limit menjelaskan nilai suatu fungsi padanilai input tertentu dengan hasil dari nilaiinput terdekat. Dari sudut pandang ini,kalkulus adalah sekumpulan teknikmemanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

    Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itusendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

    jika, untuk setiap bilangan > 0, terdapat bilangan > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikianrupanya untuk setiap x:

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Lmite_01.svghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Properti_Archimedeshttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Properti_Archimedeshttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit

  • Kalkulus 5

    Turunan

    Grafik fungsi turunan.

    Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yangsangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya.Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebutsebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.Secara matematis, turunan fungsi (x) terhadap variabelx adalah yang nilainya pada titik x adalah:

    ,

    dengan syarat limit tersebut eksis. Jika eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa terdiferensialkan (memilikiturunan) pada x, dan jika eksis di setiap titik pada domain , kita sebut terdiferensialkan.Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapatpula kita tulis sebagai:

    Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva padasebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang

    menyinggung kurva pada titik tersebut.

    Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan

    yang melewati titik (x,(x)) dan (x+h,(x)) pada kurva (x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva (x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi (x)

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Derivative.pnghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Tangent_derivative_calculusdia.jpeg

  • Kalkulus 6

    merupakan gradien dari fungsi tersebut.

    Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi pada titik (3,9):

    Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebutkalkulus diferensial

    Notasi pendiferensialan

    Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputinotasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan.Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = (x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabelbebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

    ataupun

    Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan.Dalam notasi ini, turunan fungsi (x) ditulis sebagai (x) ataupun hanya .Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan.Apabila y = (t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untukmelambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yangberhubungan dengan fisika.Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi untuk memberikan turunanpertamanya Df. Apabila y = (x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untukmengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

    atau .Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

    Notasi Leibniz Notasi Lagrange Notasi Newton Notasi Euler

    Turunan (x) terhadap x (x)dengan y = (x)

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Turunanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kemiringanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi_Leibnizhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi_Newtonhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gottfried_Leibnizhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Joseph-Louis_de_Lagrangehttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fisikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonhard_Eulerhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_linear

  • Kalkulus 7

    Integral

    Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawahkurva (x), antara dua titik a dan b.

    Integral merupakan suatu objek matematika yang dapatdiinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupungeneralisasi suatu wilayah. Proses menemukan integralsuatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupunintegrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integraltertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yangdigunakan untuk menyatakan integral adalah ,

    seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari"Sum" yang berarti penjumlahan).

    Integral tertentu

    Diberikan suatu fungsi bervariabel real x dan intervalantara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

    secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik , sumbu-x, dangaris vertikal x = a dan x = b.Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

    Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakinsempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan

    akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

    Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integraltertentu, namun yang paling umumnya digunakanadalah definisi integral Riemann. Integral Riemandidefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann.Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yangdibatasi oleh fungsi pada interval tertutup [a,b].Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b]dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yanglebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlahn-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan bsehingga memenuhi hubungan:

    Himpunan tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b]menjadi sejumlah n subinterval . Lebar subinterval pertama [x0,x1] kitanyatakan sebagai x1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai xi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiapsubinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti.Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar x dan tingginyaberawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, (ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangantersebut dengan mengalikan (ti) xi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akandapatkan:

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Integral_as_region_under_curve.svghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Riemann.gifhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_Riemannhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Penjumlahan_Riemann

  • Kalkulus 8

    Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakinkecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerahyang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol, maka kita akanmendapatkan luas daerah tersebut.Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

    Diberikan (x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwabilangan I adalah integral tertentu di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan

    Riemann apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan > 0 apapun terdapat

    sebuah bilangan > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisidi sepanjang [a,b] dengan dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti],

    kita dapatkan

    Secara matematis dapat kita tuliskan:

    Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar x = (b-a)/n, sehingga persamaandi atas dapat pula kita tulis sebagai:

    Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhinggabanyaknya.Contoh

    Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas daerah A

    dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit dari

    penjumlahan Riemannnya adalah

    Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisitersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yangberlebar sama x = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kitadapatkan adalah:

    dan , sehingga:

  • Kalkulus 9

    Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0, maka didapatkan:

    Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekalidigunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktisdalam mencari nilai integral tertentu.

    Integral tak tentu

    Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahanRiemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasarkalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung denganmudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

    Apabila

    Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi adalah integral tak tentu ataupun primitifdari terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

    Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum dan C adalah konstanta sembarang.

    Misalkan terdapat sebuah fungsi , maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebutadalah:

    Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk

    adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan

    konstanta sembarang C.

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus%23Teorema_dasarhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus%23Teorema_dasarhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus%23teorema_dasar_kalkulus

  • Kalkulus 10

    Teorema dasarTeorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebihtepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudahmenghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikancara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.Teorema dasar kalkulus menyatakan:

    Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah fpada interval (a,b), maka

    Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

    Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada menggunakan definisi

    integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teoremadasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.

    Anti derivatif dari fungsi adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema

    dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu adalah:

    Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akandapatkan:

    Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah samadengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karenalebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_kontinuhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus%23integral_tertentuhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus%23integral_tertentu

  • Kalkulus 11

    Aplikasi

    Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalahcontoh klasik untuk menggambarkan

    perkembangan dan perubahan yang berkaitandengan kalkulus.

    Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer,statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan dibidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik salingberhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massajenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan totalenergi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakankalkulus.

    Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakanuntuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contohhistoris lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton,dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Lajuperubahan momentum dari sebuah benda adalah sama denganresultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yangsama.

    Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya=MassaPercepatan, menggunakan perumusan kalkulusdiferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell danteori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.

    Referensi

    Sumber[1] Helmer Aslaksen. Why Calculus? (http:/ / www. math. nus. edu. sg/ aslaksen/ teaching/ calculus. html) National University of Singapore.[2] Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7[3] Aryabhata the Elder (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Aryabhata_I. html)[4] Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II. (http:/ / turnbull. mcs. st-and. ac. uk/ ~history/ Projects/ Pearce/ Chapters/ Ch8_5. html)[5] Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), pp. 163-174.[6] J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp.

    304-309.[7] "Madhava" (http:/ / www-gap. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ Biographies/ Madhava. html). Biography of Madhava. School of Mathematics

    and Statistics University of St Andrews, Scotland. . Diakses pada 13 September 2006.[8] "An overview of Indian mathematics" (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ HistTopics/ Indian_mathematics. html). Indian Maths.

    School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. . Diakses pada 7 July 2006.[9] "Science and technology in free India" (http:/ / www. kerala. gov. in/ keralcallsep04/ p22-24. pdf). Government of Kerala Kerala Call,

    September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair. . Diakses pada 9 July 2006.[10] Charles Whish (1835). Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland.[11] UNESCO-World Data on Education isapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL frame (http:/ / nt5. scbbs. com/

    cgi-bin/ om)

    http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Statistikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teknikhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekonomihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bisnishttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kedokteranhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Demografihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mekanika_klasikhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Massahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Massa_jenishttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Massa_jenishttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Momen_inersiahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Listrikhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Magnetismehttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Flukshttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Medan_elektromagnetikhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum_gerak_Newtonhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_Maxwellhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Albert_Einsteinhttp://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.htmlhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Universitas_Nasional_Singapurahttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.htmlhttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.htmlhttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.htmlhttp://www.kerala.gov.in/keralcallsep04/p22-24.pdfhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Organisasi_Pendidikan%2C_Ilmu_Pengetahuan%2C_dan_Kebudayaan_Perserikatan_Bangsa-Bangsahttp://nt5.scbbs.com/cgi-bin/omhttp://nt5.scbbs.com/cgi-bin/om

  • Kalkulus 12

    Daftar Pustaka Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books.

    ISBN 978-1-891389-24-5 James Stewart (2002). Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2

    Sumber lain

    Bacaan lebih lanjut Robert A. Adams. (1999) ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course. Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the

    Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7, John L. Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5. Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep.,

    1923), pp. 1-46. Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World

    of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004 Cliff Pickover. (2003) ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind. Michael Spivak. (Sept 1994) ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing. Silvanus P. Thompson dan Martin Gardner. (1998) ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy. Mathematical Association of America. (1988) Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The

    Association, Stony Brook, NY. ED 300 252. Thomas/Finney. (1996) ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley. Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." (http:/ / mathworld. wolfram. com/

    SecondFundamentalTheoremofCalculus. html) dari MathWorld--A Wolfram Web Resource.

    Pustaka daring Crowell, B., (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6th May 2007 from http:/ / www.

    lightandmatter. com/ calc/ calc. pdf (http:/ / www. lightandmatter. com/ calc/ calc. pdf) Garrett, P., (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota. Retrieved 6th May 2007 from

    http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf (http:/ / www. math. umn. edu/ ~garrett/ calculus/first_year/ notes. pdf)

    Faraz, H., (2006). "Understanding Calculus" Retrieved Retrieved 6th May 2007 from Understanding Calculus,URL http:/ / www. understandingcalculus. com/ (http:/ / www. understandingcalculus. com/ ) (HTML only)

    Keisler, H. J., (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals" Retrieved 6th May 2007 fromhttp://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdf (http:/ / www. math. wisc. edu/ ~keisler/ keislercalc1. pdf)

    Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology. Retrieved 6th May 2007 fromhttp://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf (http:/ / www. cacr. caltech. edu/ ~sean/ applied_math. pdf)

    Sloughter, Dan., (2000) "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus". Retrieved6th May 2007 from http:/ / math. furman. edu/ ~dcs/ book/ (http:/ / math. furman. edu/ ~dcs/ book/ )

    Stroyan, K.D., (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa. Retrieved 6th May 2007from http:/ / www. math. uiowa. edu/ ~stroyan/ InfsmlCalculus/ InfsmlCalc. htm (http:/ / www. math. uiowa. edu/~stroyan/ InfsmlCalculus/ InfsmlCalc. htm) (HTML only)

    Strang, G. (1991) "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 6th May 2007 from http:/ / ocw.mit. edu/ ans7870/ resources/ Strang/ strangtext. htm (http:/ / ocw. mit. edu/ ans7870/ resources/ Strang/strangtext. htm).

    http://mathworld.wolfram.com/SecondFundamentalTheoremofCalculus.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/SecondFundamentalTheoremofCalculus.htmlhttp://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdfhttp://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdfhttp://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdfhttp://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdfhttp://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdfhttp://www.understandingcalculus.com/http://www.understandingcalculus.com/http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdfhttp://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdfhttp://math.furman.edu/~dcs/book/http://math.furman.edu/~dcs/book/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htmhttp://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htmhttp://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htmhttp://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htmhttp://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htmhttp://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htmhttp://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm

  • Kalkulus 13

    Halaman web Calculus.org: The Calculus page (http:/ / www. calculus. org) di Universitas California, Davis COW: Calculus on the Web (http:/ / www. math. temple. edu/ ~cow/ ) di Universitas Temple Online Integrator (WebMathematica) (http:/ / integrals. wolfram. com/ ) dari Wolfram Research The Role of Calculus in College Mathematics (http:/ / www. ericdigests. org/ pre-9217/ calculus. htm) dari

    ERICDigests.org OpenCourseWare Calculus (http:/ / ocw. mit. edu/ OcwWeb/ Mathematics/ index. htm) dari Institut Teknologi

    Massachusetts Infinitesimal Calculus (http:/ / eom. springer. de/ I/ i050950. htm) Encyclopaedia of Mathematics, Michiel

    Hazewinkel ed. .

    http://www.calculus.orghttp://www.math.temple.edu/~cow/http://integrals.wolfram.com/http://www.ericdigests.org/pre-9217/calculus.htmhttp://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htmhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Institut_Teknologi_Massachusettshttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Institut_Teknologi_Massachusettshttp://eom.springer.de/I/i050950.htm

  • Sumber dan Kontributor Artikel 14

    Sumber dan Kontributor ArtikelKalkulus Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?oldid=3999948 Kontributor: Aurora, AutoHumanTranslation, Bennylin, Borgx, Chevalie, Ciko, Gombang, Hand15, Hayabusa future,Kembangraps, Meursault2004, Mimihitam, Naval Scene, Nikai, Priatna, Relly Komaruzaman, Renato Caniatti, Tjmoel, Veracious, Willy2000, 16 suntingan anonim

    Sumber Gambar, Lisensi dan KontributorBerkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Lisensi: Public Domain Kontributor:Algorithme, Beyond My Ken, Bjankuloski06en, Grenavitar, Infrogmation, Kelson, Kilom691, Porao, Saperaud, Semnoz, Siebrand, Sparkit, Thomas Gun, Wknight94, Wst, Zaphod, 4 suntingananonimBerkas:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg Lisensi: Public Domain Kontributor: Beyond MyKen, Davidlud, Ecummenic, Eusebius, Factumquintus, Gabor, Luestling, Mattes, Schaengel89, Shakko, Svencb, Tomisti, 4 suntingan anonimBerkas:Lmite 01.svg Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Lmite_01.svg Lisensi: Public Domain Kontributor: User:HiTeBerkas:Derivative.png Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Derivative.png Lisensi: GNU Free Documentation License Kontributor: Berland, Darapti, Grafite, MaksimBerkas:Tangent derivative calculusdia.jpeg Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Tangent_derivative_calculusdia.jpeg Lisensi: GNU Free Documentation LicenseKontributor: MimihitamBerkas:Integral as region under curve.svg Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Integral_as_region_under_curve.svg Lisensi: Creative Commons Attribution-Sharealike2.5 Kontributor: 4CBerkas:Riemann.gif Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:Riemann.gif Lisensi: GNU Free Documentation License Kontributor: Bdamokos, Juiced lemon, Maksim,Nandhp, 1 suntingan anonimBerkas:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg Sumber: http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg Lisensi: Attribution Kontributor:User:Chris 73

    LisensiCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unportedhttp:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/

    http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

    KalkulusSejarah Perkembangan Pengaruh penting

    Prinsip-prinsip dasar Limit dan kecil tak terhingga Turunan Notasi pendiferensialan

    Integral Integral tertentu Integral tak tentu

    Teorema dasar

    Aplikasi Referensi Sumber Daftar Pustaka

    Sumber lain Bacaan lebih lanjut Pustaka daring Halaman web

    Lisensi