Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu,...

23
Kalkulus Variasi Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 [email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 23

Transcript of Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu,...

Page 1: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Kalkulus VariasiSyarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

Februari 2014

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 23

Page 2: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Outline

Pengantar: syarat perlu, syarat cukup

Variasi pertama, variasi kedua

Syarat cukup1 Teorema Mangasarian2 Konveks, konkaf3 Beberapa uji

Masalah kalkulus variasi dengan horizon waktu takhingga

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 2 / 23

Page 3: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Pengantar

Proposisi p → q dibaca:

1 Jika p maka q.2 p syarat cukup bagi q (p is a suffi cient condition for q).3 q syarat perlu bagi p (q is a necessary condition for p).

Dalam kalkulus variasi, yang sudah dipelajari adalah syarat perluoptimalitas.Diberikan fungsional J(x) =

∫ Tt0f (x , x , t) dt. Teorema dasar kalkulus

variasi menyatakan bahwa persamaan Euler merupakan syarat perluoptimalitas:

x∗ merupakan ekstremum ⇒ δJ = 0

⇒∫ Tt0

(fxh+ fx h

)dt = 0

⇒ fx −ddtfx = 0. (pers. Euler)

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 3 / 23

Page 4: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Pengantar

Dalam kalkulus klasik (pengoptimuman statik),

1 Syarat perlu optimalitas (syarat orde pertama):

x∗ ekstremum bagi f ⇒ f ′(x∗) = 0.

Tetapi jika f ′(x∗) = 0, tidak selalu x∗ merupakan ekstremum.Contoh: f (x) = x3.

2 Syarat cukup optimalitas (syarat orde kedua):

f ′(x∗) = 0 dan f ′′(x∗) > 0⇒ x∗ minimum (lokal).

f ′(x∗) = 0 dan f ′′(x∗) < 0⇒ x∗ maksimum (lokal).

Note:

f ′′(x∗) > 0 ⇔ f cekung ke atas/konveks.

f ′′(x∗) < 0 ⇔ f cekung ke bawah/konkaf.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 4 / 23

Page 5: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Variasi Pertama dan Kedua

Ingat kembali perluasan Taylor 2-peubah:

f (x + h, x + h) ≈ f (x , x) + hfx (x , x) + hfx (x , x)

+h2

2fxx (x , x) + hhfx x (x , x)

+h2

2fx x (x , x).

Variasi total:

∆J = J(x + h, x + h)− J(x , x)=

∫ T0 f (x + h, x + h) dt −

∫ T0 f (x , x) dt

=∫ T0

(hfx + hfx + 1

2h2fxx + hhfx x + 1

2 h2fx x

)dt

=∫ T0 (hfx + hfx ) dt +

12

∫ T0 (h

2fxx + 2hhfx x + h2fx x ) dt.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 5 / 23

Page 6: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Variasi Pertama dan Kedua

Variasi pertama:δJ :=

∫ T0 (hfx + hfx ) dt.

Variasi kedua:

δ2J := 12

∫ T0 (h

2fxx + 2hhfx x + h2fx x ) dt.

Pada kondisi optimum berlaku δJ = 0 sehingga ∆J = δ2J (∆J memilikitanda yang sama dengan δ2J).Jika syarat orde kedua pengoptimuman biasa dinyatakan dalam turunankedua, maka syarat orde kedua dalam masalah kalkulus variasi dinyatakandalam variasi kedua sbb:

x∗ minimum ⇔ δ2J > 0,

x∗ maksimum ⇔ δ2J < 0.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 6 / 23

Page 7: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Syarat Cukup (Suffi cient Condition)

Seperti pada pengoptimuman statik, syarat cukup optimalitas yang serupajuga berlaku pada kalkulus variasi.

Theorem (Mangasarian)Tinjau masalah variasi

J(x) =∫ T

t0f (x , x , t) dt,

x(t0) = x0, x(T ) = xT .

Jika f konkaf dalam peubah (x , x) maka persamaan Euler merupakansyarat cukup bagi maksimum J(x).

Jika f konveks dalam peubah (x , x) maka persamaan Eulermerupakan syarat cukup bagi minimum J(x).

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 7 / 23

Page 8: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Syarat Cukup

Proof.Lihat Seierstad & Sydsæter (1987), hal. 44.

Note:

Teorema di atas tidak menjamin adanya admissible function yangmemenuhi persamaan Euler dan syarat transversalitas.

Teorema di atas hanya mengatakan, jika admissible function dapatditemukan maka ia menjadi penyelesaian masalah variasi.

Jika ditemukan lebih dari satu admissible function maka semuanyaoptimal dan memberikan nilai integral yang sama.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 8 / 23

Page 9: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Memeriksa Kecekungan

DefinitionFungsi f konkaf (cekung ke bawah) jika dan hanya jika

f (θx + (1− θ)y) ≥ θf (x) + (1− θ)f (y)

untuk x dan y dalam daerah asal fungsi dan 0 < θ < 1.

DefinitionFungsi f konveks (cekung ke atas) jika dan hanya jika

f (θx + (1− θ)y) ≤ θf (x) + (1− θ)f (y)

untuk x dan y dalam daerah asal fungsi dan 0 < θ < 1.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 9 / 23

Page 10: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Memeriksa Kecekungan

ExampleFungsi berikut konveks sejati

f (x1, x2) = x21 + x22 .

SolutionDiperoleh

f (u) = f (u1, u2) = u21 + u22 ,

f (v) = f (v1, v2) = v21 + v22 ,

dan

f (θu + (1− θ)v)

= f (θu1 + (1− θ)v1, θu2 + (1− θ)v2)

= [θu1 + (1− θ)v1]2 + [θu2 + (1− θ)v2]

2 .

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 10 / 23

Page 11: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Memeriksa Kecekungan

SolutionDi lain pihak diperoleh

θf (u) + (1− θ)f (v)

= θ(u21 + u22 ) + (1− θ)(v21 + v

22 ),

sehingga

f (θu + (1− θ)v)− [θf (u) + (1− θ)f (v)]

= θ (θ − 1)(u21 − 2u1v1 + u22 − 2u2v2 + v21 + v22

)= θ (θ − 1)

[(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2

]< 0 (konveks sejati)

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 11 / 23

Page 12: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Memeriksa Kecekungan

Theorem (Sydsæter, et al. (2008))

Misalkan f = f (x , y) fungsi yang terturunkan dua kali:

1 f konveks ⇔ fxx ≥ 0, fyy ≥ 0, dan fxx fyy − f 2xy ≥ 0.2 f konkaf ⇔ fxx ≤ 0, fyy ≤ 0, dan fxx fyy − f 2xy ≥ 0.3 fxx > 0 dan fxx fyy − f 2xy > 0⇒ f konveks sejati (strictly convex).4 fxx < 0 dan fxx fyy − f 2xy > 0⇒ f konkaf sejati (strictly concave).

ExamplesDengan teorema di atas dapat diperiksa:

1 f (x , y) = 2x − y − x2 + 2xy − y2 konkaf untuk semua (x , y).2 f (x , y) = x2 − y2 − xy − x3 konkaf untuk x ≥ 5

12 .

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 12 / 23

Page 13: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Memeriksa Kecekungan

ExampleMasalah jarak terdekat

f (x , x , t) =√1+ x2 = (1+ x2)1/2.

Diperoleh fx = 0 dan fx = x√1+x 2

sehingga

fxx = 0 ≥ 0,

fx x =1

(1+ x2)3/2 ≥ 0,

fxx fx x − f 2x x = 0 ≥ 0.

Jadi f konveks.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 13 / 23

Page 14: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Uji Determinan

Untuk fungsional f = f (x , x , t) definisikan

P =(fx x fx xfx x fxx

), Q =

(fxx fx xfx x fx x

)dengan minor-minor utama

|P1| = |fx x | = fx x , |Q1| = |fxx | = fxx ,|P2| = |P | , |Q2| = |Q | .

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 14 / 23

Page 15: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Uji Determinan

TheoremUji determinan

1 |P1| ≤ 0, |Q1| ≤ 0, |P2| ≥ 0, |Q2| ≥ 0⇔ f konkaf.2 |P1| ≥ 0, |Q1| ≥ 0, |P2| ≥ 0, |Q2| ≥ 0⇔ f konveks.

Example

Diketahui f (x , x , t) = 4x2 + 4xx + x2.Diperoleh turunan pertamafx = 8x + 4x , fx = 4x + 2x dan turunan keduafxx = 8, fx x = 2, fx x = fx x = 4,sehingga

|P1| = 2 > 0, |Q1| = 8 > 0, |P2| = 8 · 2− 42 = 0 ≥ 0, |Q2| = 0 ≥ 0.

Jadi f konveks sehingga persamaan Euler merupakan syarat perlu dancukup bagi minimum J(x) =

∫ Tt0f (x , x , t)dt.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 15 / 23

Page 16: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Uji Determinan

ExampleMasalah jarak terdekat

f (x , x , t) =√1+ x2 = (1+ x2)1/2.

Diperoleh

fx = fxx = fx x = 0,

fx =x√1+ x2

, fx x = 0,

fx x =1

(1+ x2)3/2 > 0.

Jadi f konveks.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 16 / 23

Page 17: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Horizon Takhingga

Perhatikan fungsional dalam bentuk integral takwajar berikut:

J(x) =∫ ∞0 f (x , x , t) dt.

Apakah integral di atas berhingga (konvergen)? Pada kasus divergen,boleh jadi ada lebih dari satu fungsi x(t) yang menghasilkan nilaitakhingga sehingga sangat sulit untuk menentukan fungsi yang optimum.Oleh karena itu diasumsikan bahwa integral di atas konvergen.

Jika f berhingga untuk 0 ≤ t < a dan f = 0 untuk t ≥ a makaintegral di atas konvergen:

J(x) =∫ ∞0 f (x , x , t) dt =

∫ a0 f (x , x , t) dt.

TIDAK BENAR: jika f → 0 ketika t → ∞ maka integral di ataskonvergen: ∫ ∞

01

(t + 1)2dt = 1,

∫ ∞0

1t + 1

dt = ∞.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 17 / 23

Page 18: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Horizon Takhingga

Jika fungsional berbentuk

J(x) =∫ ∞0 f (x , x , t)e

−rt dt, r > 0,

dan f berbatas atas, yaitu f (x , x , t) ≤ M, maka integral konvergen:

J(x) =∫ ∞0 f (x , x , t)e

−rt dt ≤∫ ∞0 Me

−rt =Mr.

Suku e−rt disebut sebagai faktor diskon dengan r sebagai tingkatsuku bunga.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 18 / 23

Page 19: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Syarat Transversalitas

Tinjau masalah variasi dengan horizon takhingga berikut:

opt J(x) =∫ ∞0 f (x , x , t) dt

x(0) = x0,

limt→∞

x(t) = x∞ (konstanta).

Tidak diperlukan syarat transversalitas.

Konstanta x∞ biasanya merupakan kondisi tunak (steady state), yaitukeadaan di mana x = x = 0.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 19 / 23

Page 20: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

Syarat Transversalitas

Tinjau masalah variasi dengan horizon takhingga berikut:

opt J(x) =∫ ∞

0f (x , x , t) dt

x(0) = x0, limt→∞

x(t) bebas.

Diperlukan syarat batas alamiah:

limt→∞

fx = 0.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 20 / 23

Page 21: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

ExampleDiberikan masalah kalkulus variasi berikut:

min J(x) =∫ ∞0 (x

2 + ax + bx + cx2)e−rt dt

x(0) = x0,

limt→∞

x(t) = x∞,

dengan c > 0 dan r > 0. Persamaan Euler memberikan

(2x + a)e−rt − ddt[(b+ 2cx)e−rt ] = 0

⇔ (2x + a)e−rt − (−bre−rt + 2cxe−rt − 2cr xe−rt ) = 0⇔ 2x + a+ br − 2cx + 2cr x = 0⇔ x − r x − 1

c x =a+br2c .

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 21 / 23

Page 22: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

SolutionDalam kondisi steady state (x = x = 0), diperoleh

x∞ = −a+ br2

,

yang sekaligus sebagai solusi partikular. Dengan demikian diperoleh solusiumum

x(t) = Aem1t + Bem2t + x∞,

dengan m1 dan m2 merupakan akar-akar persamaan karakteristik:

m1,2 =r ±

√r2 + 4

c

2.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 22 / 23

Page 23: Kalkulus Variasitbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2016/02/handout4.pdfOutline Pengantar: syarat perlu, syarat cukup Variasi pertama, variasi kedua Syarat cukup 1 Teorema Mangasarian

SolutionKarena c > 0 jelas m1 > 0 dan m2 < 0, sehingga syarat-syarat batasmemberikan

limt→∞

x(t) = x∞ ⇔ A = 0⇔ x(t) = Bem2t + x∞,

x(0) = x0 ⇔ B = x0 − x∞,

sehinggax∗(t) = (x0 − x∞)em2t + x∞.

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 23 / 23