KALKULUS (1)

download KALKULUS (1)

of 19

  • date post

    13-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    175
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of KALKULUS (1)

KALKULUS 2B

Nama

: Imam Prasetyo

Kelas

: 1IC08

NPM

: 24413311

Mata Kuliah : Kalkulus 2ADosen

: AisyahA. Deret Harmonis

Seperti apa deret harmonik itu? Deret harmonik yaitu deret yang suku-sukunya berupa pecahan, dan suku pertamanya adalah 1/1. Deret tersebut pembilangnya tetap angka 1. Tetapi, penyebutnya berjalan dimulai dari 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Seperti berikut ini

1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) +

Biasanya ditulis sebagai Sigma dari n = 1 menuju tak hingga untuk fungsi 1/n.

Lalu, bagaimana dengan jumlah deret tersebut. Apakah jumlahnya bisa ditentukan, atau jumlahnya sama dengan tak hingga?

Jumlah deret tersebut adalah tak hingga. Karena jumlahnya meningkat tak terbatas. Mengapa? Kita akan menunjukkannya seperti berikut ini

1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) +

Sekarang kita perhatikan beberapa suku pada deret tersebut.

(1/3) + (1/4). Jika kita jumlahkan akan menghasilkan 7/12. Kita tahu bahwa 7/12 > 1/2. Lebih mudah memahaminya, yaitu 1/3 > 1/4. Jika kedua ruas kita tambahkan 1/4 maka akan didapatkan 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4

1/3 + 1/4 > 2/4

Begitu juga untuk

(1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) > 4/8

(1/9) + (1/10) + (1/11) + + (1/16) > 8/16

Sehingga bisa kita tuliskan : 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + > 1 + (1/2) + (2/4) + (4/8) + (8/16) +

= 1 + (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) +

Jelas bahwa jumlahnya akan semakin meningkat. Jumlahnya pun tak bisa ditentukan. Sehingga deret harmonik ini adalah deret yang divergen.

A. Deret TaylorDalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin.

DefinisiDeret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah persekitaran sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

dengan n! melambangkan faktorial n dan f(n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x a)0 dan 0! didefinisikan sebagai1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Teorema Taylor dalam satu variabelDalam kalkulus, teorema Taylor memberikan barisan pendekatan sebuah fungsi yang diferensiabel pada sebuah titik menggunakan suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Teorema ini juga memberikan estimasi besarnya galat dari pendekatan itu. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory.

Teorema Taylor dalam satu variabelTeorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial ex di dekat x = 0:

Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n terhadap ex karena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat n. Hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa:

Lebih umum lagi, teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat diturunkan , dengan hampiran untuk x di dekat titik a, dalam bentuk:

Suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya:

Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk x cukup dekat terhadap a, suku sisa haruslah cukup kecil. Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut.

PernyataanPernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila n 0 adalah bilangan bulat dan f adalah fungsi yang terturunkan kontinu pada selang tertutup [a, x] dan terturunkan n + 1 kali pada selang terbuka (a, x), maka

Di sini n! melambangkan n faktorial dan Rn(x) adalah suku sisa, melambangkan beda antara polinomial Taylor derajat-n terhadap fungsi asli. Suku sisa Rn(x) tergantung pada x, dan kecil bila x cukup dekat terhadap a. Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini.

Bentuk Lagrange[1] dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan antara a dan x sedemikian sehingga

Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata digunakan untuk membuktikan teorema Taylor dengan suku sisa bentuk Lagrange.

Bentuk Cauchy[2] suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan antara a dan x sehingga

Secara umum, bila G(t) adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a,x], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (a,x), maka ada suatu bilangan antara a dan x sehingga

Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai generalisasi teorema nilai rata-rata Cauchy.

Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil. Namun bentuk integral[3] dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:

dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, fn kontinu mutlak dalam [a, x]. Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatan teorema dasar kalkulus.

Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan deret Taylor-nya, karena mungkin saja deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda. Namun, untuk banyak fungsi f(x), kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa Rn mendekati nol saat n mendekati . Fungsi-fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret Taylor pada persekitaran titik a, dan disebut sebagai fungsi analitik.

Estimasi Suku SisaVersi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang (a r, a + r) tempat variabel x mengambil nilainya. Perumusan teorema ini memiliki keuntungan bahwa mungkin mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita dapat menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya.

Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut. Misalkan adalah fungsi yang terturunkan kontinu n kali pada selang tertutup [a - r, a + r] dan terturunkan n + 1 kali pada selang terbuka (a r, a + r). Bila ada konstanta positif riil Mn sedemikian sehingga |(n+1)(x)| Mn untuk semua x (a r, a + r), maka

di mana fungsi sisa Rn memenuhi ketidaksamaan (dikenal sebagai estimasi Cauchy)

untuk semua x (a r, a + r). Ini disebut sebagai estimasi seragam galat pada polinomial Taylor yang terpusat pada a, karena ini berlaku seragam untuk setiap x dalam selang.

Bila adalah fungsi mulus pada [a r, a + r], maka konstanta positif Mn ada untuk tiapn = 1, 2, 3, sedemikian sehingga | (n+1)(x)| Mn untuk semua x (a r, a + r). Tambahan lagi, jika mungkin memilih konstanta ini, sehingga

as maka adalah fungsi analitik pada (a r, a + r). Secara khusus, suku sisa pada hampiran Taylor, Rn(x) cenderung menuju nol secara seragam saat n. Dengan kata lain, fungsi analitik adalah limit seragam dari polinomial Taylornya pada sebuah selang.

Pembuktian : satu variabelBerikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral[4]Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa

yang dapat disusun ulang menjadi:

Sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan integrasi parsial menghasilkan

dandv = dt; persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa ; yang ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama.

Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:

Dengan mengulangi proses ini, kita dapat menurunkan teorema Taylor untuk nilai n yang lebih tinggi.

Proses ini dapat diformalkan dengan menerapkan teknik induksi matematika. Jadi misalkan teorema Taylor berlaku unutk n tertentu, yaitu, misalkan

Mensubstitusikan ini dalam (*) membuktikan teorema Taylor untuk n + 1, dan karenanya untuk semua n bilangan bulat non-negatif.

Suku sisa dalam bentuk Lagrange dapat diturunkan dengan teorema nilai rata-rata untuk integral dengan cara berikut:

di mana adalah suatu bilangan dari selang [a, x]. Integral terakhir dapat dievaluasi langsung, yang menghasilkan

Secara lebih umum, untuk tiap fungsi G(t), teorema nilai rata-rata menjamin eksistensi dalam selang [a,x] yang memenuhi

Deret PangkatDalam matematika, deret pangkat (satu variabel) adalah deret takhingga dalam bentuk

dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).B. Deret Alternatinglternating series dikatakan konvergen apabila nilai absolut dari istilah terus menurun ke nol, yang jika |an-1| |an| dan limn-> an = 0

Pada dasarnya, dalam pengerjaan alternating series ini sama seperti dengan deret biasanya, dapat digunakan berbagai macam cara untuk menguji jenis dari deret tak hingga ini. Hal ini bertujuan untuk menentukan apakah deret tersebut merupakan deret yang konvergen ataupun divergen.

Untuk lebih mempermudahnya dapat digunakan contoh, sebagai berikut:

dengan menggunakan rasio test, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

Itu jika dikerjakan dengan menggunakan rasio test, yang cara detailnya dapat dilihat dalam video tutorial sebelum postingan ini.

Selain dengan menggunakan rasio test, dapat juga digunakan uji perbandingan seperti contoh berikut ini:

, dengan menggunakan uji perbandingan, diambil dengan membuat suku (semua) bernilai positif

:. Deret tersebut merupakan suatu deret yang konvergen bersyaratC. Deret GeometriBARISAN DAN DERET GIOMETRI I. BARISAN GEOMETRI A. BARISAN 1. Pengertian Barisan

Definisi Barisan

Barisan adalah himpunan buangan yang diurutkan menurut suatu aturan tertentu, dan barisan merupakan nilai dari suatu fungsi yang domainnya buangan asli. Dan tiap-tiap buangan itu disebut suku-suku barisan, secara umum barisan dapat di tulis dengan:

U1, U2, U3 . . . . Un

Contoh Barisan

a. 1, 3, 5, 7,

b. 2, 4, 6, 8, 10,

c. 3, 6, 9, 12,

d. 4, 8, 12, 16,

2. Cara menentukan suku tertentu dari suatu barisan langkah-langkahnya

Indeks n menyatakan banyaknya suku

Gantikan nilai n dengan bilangan asli

Jika bilangan pertama U3 buangan ke 2 U2, dan bilangan ke 3 U3, dan bilangan ke n adalah Un. maka barisan bilangan tersebut dapat di tulis sebagai berikut:

U1, U2, U3 . . . . Un

Contoh :

Contoh soal:

Tentukan tiga suku pertama pada barisan-barisan berikut ini, jika suku umum ke-n di rumuskan sebagai berikut:

a. Un = 4n+1

b. Un = 2n2 1

c. Un = 1 2n

Penyelesaian

Karena Un merupakan fungsi dari n maka suku pertama U1 suku kedua U2 dan suku ketiga U3 dapat ditentukan dengan cara menghitung nilai fungsi Un untuk nilai-nilai n=1, n=2, n=3, sebagaimana ditunjukkan dalam perhitungan-perhitungan berikut ini.

a. Suku umum ke-n, Un = 4n+1

Untuk n = 1 ( U1 = 4 (1) + 1 = 5

Untuk n = 2 ( U2 = 4 (2) + 1 = 9

Untuk n = 3 ( U3 = 4 (3) + 1 = 13

b. Suku umum ke - n, Un = 2n2 1

Untuk n = 1 ( U1 = 2 (1)2 - 1 = 1

Untuk n = 2 ( U2 = 2 (2)2 - 1 = 7

Untuk n = 3 ( U3 = 2 (3)2 - 1 = 17

c. Suku umum ke - n, Un = 1 2n

Untuk n = 1 ( U1 = 1- 2 (1)2 = - 1

Untuk n = 2 ( U2 = 1- 2 (2)2 = - 7

Untuk n = 3 ( U3 = 1- 2 (3)2 = - 17

Jadi, 3 suku pertama barisan itu adalah U1 = -1, U2 = - 3, U3 = - 5

3. Cara menentukan rumus umum suku ke n dari suatu barisan

Untuk menentukan rumus suku ke n dari suku barisan, yaitu dengan cara mengamati pola aturan tertentu yang terdapat pada 3 suku atau 4 suku dari barisan tersebut.

Contoh:

Tentukan rumus umum ke n dari barisan-barisan berikut ini:

a. 2, 4, 8, 16, 32,

b. 4, 6, 8, 10,

Penyelesaian

a. 2, 4, 8, 16, 32, dapat ditulis dengan (2)1, (2)2, (2)3, (2)4, (2)5, barisan dengan suku-sukunya sama, yaitu 2 dipangkatkan dengan bilangan asli, jadi Un = 2nb. 4, 6, 8, 10, barisan dengan suku pertama U1 = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan yaitu 2. Jadi Un = 2n+2

B. BARISAN GEOMETRI 1. Pengertian Barisan Geometri Definisi Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan dimana bilangan pertamanya sembarang dan bilangan berikutnya di peroleh dengan menggalikan bilangan tetap kepada bilangan sebelumnya dengan syarat bilangan pertama bukan nol serta penggalinya bukan nol dan bukan 1, barisan geometri juga disebut barisan ukur atau barisan kali.

Contoh barisan giometri

a. 2, 4, 6, 8, 16, 32 . . .

b. 2, 6, 18, 54 . . .

c. 3, 12, 48, 102 . . .

2. Rumus Umum Suku ke-n dari Suatu Barisan Geometri

Pembuktian rumus suku ke-n sari barisan geometri

Misalkan suku-suku barisan adalah

Maka :

Jika :

Sifat sifat barisan geometri

a. suku umum ke- n : , merupakan suku eksponen dari n yang tidak

mencadang suku tetapan.

Contoh:

Tentukan n jika a=1, r=3, dan Un=243

Penyeselaian:

Jadi, nilai n = 6

b. Barisan geometri naik,jika r > 1 dan jika r < 0 disenut barisan giometri turun.

Barisan giometri naik. r > 1

Contoh:

Tentukan rasio (r) dari barisan giometri berikut: 2, 4, 8, 16

Penyelesaian:

Jadi,dari sifat si atas menunjukan bahwa r > 1 yaitu 2 > 1 sehingga disebut barisan geometri naik.

Barisan geometri turun, r < 0

Contoh :

Tentukan rasio ( r ) dari bilangan geometri berikut : 1, -2, 4, -8, . . .

Penyelesaian :

Jadi, dari sifat diatas menunjukan bahwa r < 0 yaitu -2 < 0, sehingga disebut barisan giometri turun.

c. Apabila barisan geometri dengan banyak suku adalah ganjul (2k-1) dengan k E (anggota) bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu ditentukan dengan Uk=

contoh :

Di tentukan barisan geometri : banyaknya suku pada barisan geometri ini adalah ganjil. Carilah :

a. Suku tengahnya

b. Suku berapakah suku tengahnya itu

penyelesaian:

a. barisan giometri :

suku pertama

rasio (r) =2

suku terakhir

rumus suku tengah :

b.

jadi suku tengahnya adalah suku ke -6

Menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat ditentukan dengan rumus umum barisan giometri :

Contoh soal:

Diketahui suku pertama barisan geometri adalah s, sedangkan suku ke -3 nya adalah 45. Selain itu diketahui pula bahwa rasio barisan geometritersebut positif.

a. Tentukan rasio dari barisan geometri tersebut

b. Suku berapakah pada barisan geometri itu yang nilainya sama dengan 1.215

Penyelesaian

a. Suku pertama, a = 5 dan suku ke-3, U3=45

Karena didalam soal diketahui rasio bernilai positif, maka diambil r= 3

b. Dimisalkan 1.215 merupakan suku ke-n atau Un = 1.215

C. APLIKASI BARISAN 1. Aplikasi Barisan

Contoh soal :

Tentang pemilik kebun, memetik jeruknya setiap hari, dan mencatatnya. Ternyatanya banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 20n 80. Banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke- 18 adalah:

Penyelesaian :

Jadi, banyak jeruk yang dipetik pada hari ke- 18 adalah 440 buah.

2. Aplikasi Barisan Giometri

Contoh soal :

Sebuah mobil seharga Rp 600.000.000,00,- mengalami penyusutan harga setiap tahun membentuk barisan geometri dengan rasionya adalah ,

Hitunglah harga mobil pada tahun ke- 5

Penyelesaian

Dik : n = 5

a = 600.000.000

r =

Dit : Un = . . . ?

jawab :

jadi, harga mobil pada tahun ke- 5 menyusut menjadi Rp 37.000.000,

D. SOAL SOAL MATERI BARISAN GEOMETRI 1. Suku suku barisan giometri tak hingga adalah positif, jumlah suku U1 + U2 = 45 dan U3 + U4 = 20, maka jumlah suku barisan itu adalah . . .

Pemyelesaian :

Barisan giometri tak hingga suku sukunya positif.

Jika

1 dan 2 dieleminasi sehingga :

2. jika suku pertama dan ke empat barisan giometri berturut dan

Sedangkan suku ke sepuluh sama dengan , maka nilai adalah

Penyelesaian

Barisan giometri Un =

=

=

Untuk suku ke sepuluh, yaitu :

=

=

=

=

=

Jadi,untuk mencari nilai yaitu :

9 =45

= 5

II DERET GOEMETRI A. DERET 1. Pengertian DeretDalam suatu barisan, jika suku-suku dari barisan itu dinyatakan dalam bentuk penjumlahan yang terdiri atas suku-suku barisan itu secara berurutan disebut deret. Jika adalah barisan itu secara berurutan, maka adalah sebuah deret.

Deret dinotasikan oleh , oleh karena merupakanjumlah n barisan maka dapat dituliskan Sn = , selanjutnya, untuk menentukan nilai Sn dengan n=1.

2, 3,.n.dapat ditulis :

(jumlah 1 suku pertama)

(jumlah 2 suku pertama)

(jumlah 3 suku pertama)

(jumlah n suku pertama)

Contoh deret

1. 1+2+3+4+5+ . . . .

2. 1+4+9+16+25+36+ . . . .

3. 1+4+7+10+13+ . . . .

Contoh yang bukan deret :

1. 1, 4, 9, 16, 25, 35 . . .

2. 4, 8, 12, 16 . . .

3. 1, 3, 5, 7 . . .

2. Cara menentukan suku tertentu dari suatu deret dan contoh soal

Suku tertentu dari suatu deret dapat ditentukan dengan cara mensubtitusikan nilai n yang menunjukkan suku ke-n dari dert tersebut ke dalam pola yang kita dapatkan dari bentuk seret tersebut.

Contoh :

Suatu deret2+4+6+8+. . . +2n

Misalkan :

3. Cara menentukan rumus umum suku ke-n dari suatu deret dan contoh soal.Aturan yang dimiliki oleh deretan buangan disebut pola bilangan pada deretan tersebut. Jadi untuk menentukan rumus umum suku ke-n dapat I tentukan melalui aturan pembentukan deret bilangan.

Contoh soal ;

Diketahui deret aritmatika 6 + 8 + 10 + 12 + . . . .

Tentukan rumus umum suku ke-n pada deret aritmatika. . . .?

Penyelesaian :

Karena dilihat dari aturan pembentukan dari suku satu ke suku berikutnya ditambah 2, maka rumus suku ke-n memuat 2n yaitu :

Jadi, Un =2 n + 4

Un =2n + 4.

DERET GEOMETRI 1. Pengertian Deret Geometri

Definisi deret geometri

Ketika suatu deret memiliki rasio yang konstan antara suku-suku yang berurutan, deret itu disebut sebagai deret geometri. Konstanta tersebut disebut rasio,r.

Contoh deret geometri :

1. 1+2+4+8+.(rasionya selalu tetap yaitu 2)

2. 3+9+27+81+.(rasionya selalu tetap yaitu 3)

3. 4+16+64+256+(rasionya selalu tetap yaitu 4)

Contoh yang bukan deret geometri :

1. 1, 2, 4, 8, . . . .

2. 3, 9, 27, 81, . . .

3. 4, 16, 64, 256, . . .

2.

Rumus Umum Jumlah n Suku Pertama dari Sutu Deret Giometri, dengan suku pertama a dan rasio r, maka jumlah n suku pertama dari deret tersebut adalh:

a. Pembuktian rumus jumlah n suku pertama dari suatu deret giometri

Bentuk umum deret geometri adalah :

Jika Sn merupakan hasil penjumlahan deret geometri maka:

Persamaan (1) dikalikan dengan r maka Jika pertama

b. Sifat-sifat pada deret geometri dan contoh soal.

Dengan menggunakan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada deret giometri kita akan memenuhi sifat-sifat lain

Bentuk umum deret giometri adalah :

Misalkan untuk sebuah deret geometri 2+6+18+54+. . .

Jika,

Dari uraian diatas, maka :

Adapun sifat-sifat deret giometri lain adalah :

Misalkan pada suatu dret , suku tengahnya adalah

Dari uraian di atas, maka

Untuk Un = maka hubungan antara Sn dan Un adalah :

C. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri ditulis sebagai

Secara rumus, jumlah n suku pertama adalah : jika banyak suku. Bertambah terus menerus akan mendekati tak hingga, maka deret geometri ini dinamakan deret geometri tak berhingga. Deret geometri tak berhingga dilambangkan dengan S dan S=um.Sn 2

A.Deret Konvergen Dan Divergen

Deret tak hingga adalah suatu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Misalnya

Deret tak hingga terbagi menjadi 2. yaitu, deret tak hingga yang konvergen dan deret tak hingga yang divergen. Konvergen artinya mempunyai jumlah. Sedangkan divergen artinya tidak bisa ditentukan jumlahnya, besarnya yaitu tak hingga.

Misalnya deret yang konvergen yaitu seperti deret berikut ini :

Deret tersebut adalah termasuk deret konvergen. Karena jika dijumlahkan sampai suku yang tak hingga, jumlahnya masih bisa ditentukan (jumlahnya masih berhingga). Kita akan mencari hasil dari deret tak hingga tersebut

Misalnya

Jumlah deret tak hingga tersebut adalah 1.

Deret yang divergen misalnya

Misalnya

Perhatikan bahwa

Jumlah deret ini tidak bisa ditentukan. Dengan kata lain jumlahnya adalah tak hingga