5. aplikasi fungsi komposisi dan invers

MODUL AJAR MATEMATIKA

Kode Modul : MA35KI

Pokok Bahasan : Aplikasi Fungsi Komposisi & Invers

Penyusun : Nur Muchamad

Website : matematika.mdl2.com

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2014

http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “APLIKASI FUNGSI KOMPOSISI & INVERS” 1

APLIKASI FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

A. Aplikasi Fungsi Komposisi

Contoh Soal 1 (Masalah Gaji dan Tunjangan):

PT Hinomaru menerapkan sistem yang unik dalam memberikan tunjangan kepada

karyawannya. Di perusahan ini, setiap bulannya seorang karyawan akan mendapatkan

dua macam tunjangan yaitu tunjangan keluarga dan tunjangan kesehatan. Besarnya

tunjangan keluarga ditentukan dari 1/5 gaji pokok ditambah Rp 50.000,00. Sementara

besarnya tunjangan kesehatan adalah setengah dari tunjangan keluarga.

Berdasarkan situasi tersebut, buatlah sebuah model matematika yang menyatakan

hubungan besarnya tunjangan kesehatan dan gaji karyawan tersebut!

Berapakah besarnya tunjangan kesehatan seorang karyawan yang memiliki gaji pokok

Rp 2.000.000,00?

(Petunjuk: Nyatakan besarnya tunjangan keluarga dan kesehatan sebagai fungsi dalam

variabel tertentu)

Penyelesaian:

Diketahui:

Tunjangan keluarga = 1/5 gaji pokok + 50.000

Tunjangan kesehatan = ½ tunjangan keluarga

Ditanya:

a. Model matematika terkait besarnya tunjangan kesehatan dan gaji pokok karyawan?

b. Besarnya tunjangan kesehatan jika gaji pokok = 2.000.000?

Jawab:

a. Misalkan besarnya gaji pokok = 𝑥

Tunjangan keluarga = 𝑦

Tunjangan kesehatan = 𝑧

𝑦 𝑥 =1

5𝑥 + 50000

𝑧 𝑦 =1

2𝑦

Besarnya tunjangan kesehatan terhadap gaji pokok dapat dituliskan sebagai

komposisi dari 𝑧 ∘ 𝑦 𝑥 = 𝑧 𝑦 𝑥

𝑧 ∘ 𝑦 𝑥 =1

2 1

5𝑥 + 50000

𝑧 ∘ 𝑦 𝑥 =1

10𝑥 + 10000

b. Besarnya tunjangan kesehatan untuk seorang karyawan dengan gaji pokok 2.000.000

adalah

𝑧 ∘ 𝑦 2000000 =1

10. 2000000+ 10000

𝑧 ∘ 𝑦 2000000 = 200000 + 10000

𝑧 ∘ 𝑦 2000000 = 210000

Jadi, karyawan tersebut mendaptkan tunjangan kesehatan sebesar Rp 210.000,00.


Contoh Soal 2 (Masalah Bakteri, Suhu, dan Waktu Pembelahan):

Menurut suatu penelitian, pertumbuhan suatu populasi monera (𝑃) bergantung pada suhu

ruangan (𝑇) dalam derajat Celcius yang dirumuskan dengan fungsi 𝑃 𝑇 = 2.𝐴𝑇 dengan

𝐴 adalah populasi monera mula-mula dan 𝑇 adalah suhu ruangan dalam derajat Celcius.

Jika ternyata, besarnya suhu juga bergantung pada waktu (𝑡) yang dirumuskan dengan

𝑇 𝑡 = 2𝑡 − 1 dengan 𝑡 adalah waktu pembelahan monera (dalam detik), maka tentukan

rumus hubungan jumlah populasi monera terhadap waktu pembelahan!

Berapa banyak populasi monera yang semula hanya 2 ekor ketika membelah selama 5

detik?

Penyelesaian:

Diketahui:

Fungsi pertmubuhan monera 𝑃 𝑇 = 2.𝐴𝑇

Fungsi perubahan suhu 𝑇 𝑡 = 2𝑡 − 1

Ditanya:

a. Rumus hubungan jumlah populasi monera terhadap waktu pembelahan?

b. Populasi monera setelah 5 detik membelah (populasi awal = 2 ekor)?

Jawab:

a. 𝑃 𝑇 = 2.𝐴𝑇

𝑇 𝑡 = 2𝑡 − 1

Untuk menentukan rumus hubungan jumlah populasi monera terhadap waktu

pembelahan adalah sama saja dengan mengkomposisikan fungsi 𝑃 dengan fungsi 𝑇.

𝑃 ∘ 𝑇 = 2.𝐴𝑇 ∘ 2𝑡 − 1

𝑃 ∘ 𝑇 = 2.𝐴2𝑡−1

Jadi, rumus hubungan jumlah populasi monera dengan waktu pembelahan adalah

𝑃 𝑡 = 2.𝐴2𝑡−1.

b. Untuk mengetahui populasi monera setelah 5 detik membelah jika populasi awalnya

2 ekor, kita hanya perlu memasukkan nilai 𝑡 dan 𝐴 ke dalam rumus 𝑃(𝑡).

𝑃 𝑡 = 2.𝐴2𝑡−1

𝑃 5 = 2.22.5−1

𝑃 5 = 2.29 = 210

Jadi, banyaknya bakteri setelah 5 detik membelah adalah 210 ekor.

Contoh Soal 3 (Masalah Nilai Tukar Mata Uang):

Suatu bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke Ringgit

Malaysia (MYR), yaitu 1 USD = 3,28 MYR, dengan biaya penukaran sebesar 2 USD

untuk setiap transaksi penukaran. Kemudian salah satu bank di Malaysia menawarkan

harga tukar Ringgit Malaysia (MYR) ke Rupiah Indonesia (IDR), yaitu 1 MYR = Rp.

3.169,54, dengan biaya penukaran sebesar 3 MYR untuk setiap transaksi penukaran

Seorang Turis asal Amerika ingin bertamasya ke Malaysia kemudian melanjutkannya ke

Indonesia dengan membawa uang sebesar 2.000 USD. Berapa IDR akan diterima turis

tersebut jika pertama dia menukarkan semua uangnya ke mata uang Ringgit Malaysia di

Amerika dan kemudian menukarnya ke Rupiah Indonesia di Malaysia?


Penyelesaian:

Diketahui:

1 USD = 3,28 MYR dengan biaya satu kali transaksi = 2 USD

1 MYR = 3169,54 IDR dengan biaya satu kali transaksi = 3 MYR

Uang yang dibawa turis mula-mula = 2000 USD

Ditanya:

Uang yang diterima turis setelah melakukan pertukaran uangnya dengan Rupiah?

Jawab:

Dari yang diketahui, kita misalkan 𝑈𝑆𝐷 = 𝑢, 𝑀𝑌𝑅 = 𝑚, dan 𝐼𝐷𝑅 = 𝑖.

Sehingga didapat persamaan:

𝑚(𝑢) = 3,28𝑢 dan 𝑖(𝑚) = 3169,54𝑚

1. Pertukaran di Bank Amerika (USD ke MYR)

Sisa uang yang ditukar (setelah dikurangi biaya transaksi) adalah 1998 USD.

𝑚(𝑢) = 3,28𝑢

𝑚 1998 = 3,28 × 1998

𝑚 1998 = 6553,44

Jadi, uang yang dimiliki turis setelah ditukarkan dengan Ringgit (sudah dikurangi

biaya transaksi) adalah 6553,44 MYR.

2. Pertukaran di Bank Malaysia (MYR ke IDR)

Sisa uang yang ditukar (setelah dikurangi biaya transaksi) adalah 6550,44 MYR.

𝑖(𝑚) = 3169,54𝑚

𝑖(6550,44) = 3169,54 × 6550,44

𝑖(6550,44) = 20761881,6

Jadi, uang yang dimiliki turis setelah ditukarkan dengan Ringgit (sudah dikurangi

biaya transaksi) adalah 20.761.881,6 IDR.

B. Aplikasi Fungsi Invers

Contoh Soal 1 (Masalah Gaji dan Bonus):

Di CV. Sinkotan seorang pekerja mendapatkan bonus bulanan yang besarnya

dirumuskan sebagai fungsi dari gaji pokok di mana besarnya bonus tersebut adalah

setengah gaji pokok ditambah Rp 30.000,00.

Berdasarkan situasi tersebut buatlah sebuah model matematika yang menyatakan

besarnya gaji pokok seorang pekerja jika diketahui besar bonus yang diterimanya!

Berapakah gaji pokok seorang pekerja yang menerima bonus bulanan sebesar Rp

530.000,00?

Penyelesaian:

Diketahui:

Bonus = ½ gaji pokok + 30.000

Ditanya:

a. Model matematika untuk besarnya gaji pokok?

b. Besarnya gaji pokok jika diketahui bonus yang diterima sebesar 530.000?

Jawab:


a. Misalkan besarnya gaji pokok = 𝑦 dan besarnya bonus = 𝑥, maka

𝑦 =1

2𝑥 + 30000

Mencari fungsi bonus dalam gaji pokok sama saj dengan mencari invers untuk

variabel 𝑦.

Gunakan cara aljabar untuk menentukan 𝑦−1.

𝑦 =1

2𝑥 + 30000

𝑦 − 30000 =1

2𝑥

2𝑦 − 60000 = 𝑥

𝑦−1 = 𝑥 = 2𝑦 − 60000

b. Besarnya gaji pokok seseorang dengan bonus bulanan 530000 adalah

𝑥 = 2. 530000 − 60000

𝑥 = 1060000− 60000

𝑥 = 1000000

Jadi, gaji pokok karyawan tersebut adalah Rp 1.000.000,00.


DAFTAR PUSTAKA

Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas

XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk

Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI

Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1.

Jakarta: Erlangga.

5. aplikasi fungsi komposisi dan invers

Education

Transcript of 5. aplikasi fungsi komposisi dan invers