Fungsi ke adalah suatu ATURAN yang MEMADANKAN SETIAP … · Komposisi Fungsi: ... Fungsi invers...
Transcript of Fungsi ke adalah suatu ATURAN yang MEMADANKAN SETIAP … · Komposisi Fungsi: ... Fungsi invers...
KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya
Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong.
Fungsi f dari A ke B adalah suatu ATURAN
yang MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di
A dengan tepat satu dan hanya satu elemen di B
Dalam definisi tersebut,
A disebut DOMAIN / DAERAH ASAL/ DAERAH
DEFINISI untuk fungsi f, dinotasikan dengan 𝒟𝑓
B disebut KODOMAIN / DAERAH KAWAN fungsi f
DAERAH HASIL / DAERAH JELAJAH / RANGE
adalah semua elemen di B yang berpasangan dengan
elemen di A, dinotasikan dengan ℛ𝑓
• Pada Kalkulus I hanya dipelajari fungsi REAL,
yaitu fungsi dengan domain dan kodomain
subhimpunan bilangan real. Dengan demikian
𝐴 ⊆ ℝ dan B ⊆ ℝ
• Bila daerah asal tidak disebutkan, ambillah daerah
asal ALAMI / NATURAL sebagai daerah asal,
yaitu 𝒟𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑓(𝑥) ∈ ℝ
• Grafik fungsi f(x) adalah kumpulan titik-titik di
bidang koordinat Cartesius yang memenuhi
𝑦 = 𝑓 𝑥 . Grafik fungsi f(x) berupa kurva di
bidang koordinat yang TIDAK SALING
MENGATAPI
1. Fungsi Identitas, yaitu f(x) = x
2. Fungsi Ganjil, yaitu f(-x) = - f(x)
3. Fungsi Genap, yaitu f(-x) = f(x)
4. Fungsi harga mutlak 𝑓 𝑥 = 𝑥
5. Fungsi yang memiliki asimtot. Asimtot
fungsi f adalah garis di bidang koordinat
yang DIDEKATI oleh grafik y = f(x).
6. Fungsi bilangan bulat terbesar 𝑦 = 𝑥 =
bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x.
Operasi Aljabar Fungsi
𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ,𝒟𝑓±𝑔 = 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔
𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ,𝒟𝑓𝑔 = 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔
𝑓
𝑔𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥), 𝒟𝑓
𝑔
= 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0.
Komposisi Fungsi:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥 ), 𝒟𝑓∘𝑔 =?
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥
Fungsi invers dari f(x), dinotasikan dengan 𝑓−1 𝑥 adalah fungsi yang bersifat:(𝑓 ∘ 𝑓−1) 𝑥 = 𝑓−1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥
Grafik 𝑦 = 𝑓−1 𝑥 simetris dengan grafik y = f(x) terhadap garis y = x.
Operasi Grafis Fungsi: pergeseran dan pencerminan
Operasi grafis terhadap suatu fungsi
Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik
fungsi baru yang diperoleh dari fungsi f(x) dengan melakukan
beberapa operasi secara grafis (geometris)
NO. FUNGSI BARU OPERASI
1. f(x) + k, k > 0 Geser ke atas k satuan.
2. f(x+k), k > 0 Geser ke kiri k satuan.
3. - f(x) Cerminkan terhadap sumbu x.
4. f(-x) Cerminkan terhadap sumbu y.
5. | f(x) | Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian
grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.
6. f( | x | ) Abadikan bagian grafik f(x) yang di sebelah kanan sumbu y,
bagian grafik yang di sebelah kiri sumbu y dihapus, diganti
dengan hasil pencerminan bagian sebelah kanan terhadap
sumbu y.
.sumbu terhadap
ndicerminka sumbu bawah di yanggrafik bagian aSelanjutny
.satuan 1bawah ke
digeser lalu satuan, 3 kiri kedigeser grafik :langkahLangkah
.1)3(86 sebab
, fungsigrafik dari diperoleh dapat 86 fungsigrafik Sketsa
:Contoh
2
22
22
x
x
xy
xxxy
xyxxy
2xy
1)3( 2 xy
2)3( xy1)3( 2 xy
ALJABAR Fungsi yang diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi indentitas melalui operasi-operasi aljabar
+,−,∗, , 1. Fungsi Polinom 2. Fungsi Rasional
TRANSENDEN
1. Fungsi Trigonometri
2. Fungsi Eksponensial
3. Fungsi Logaritma
4. Fungsi Hiperbolik
Limit fungsi di suatu titik
Limit-limit sepihak
Eksistensi Limit
Limit yang nilainya tak berhingga
Limit di ketakhinggaan
10
LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK
Misalkan f(x) fungsi dengan daerah asal 𝒟𝑓 ⊆ ℝ dan a ∈ ℝ, dengan a
tidak harus termuat di 𝒟𝑓
Notasi
dibaca
“limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L”
atau
“f(x) mendekati L bila x mendekati a “
berarti bahwa
nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat
dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.
Lxfax
)(lim
Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu
f(a), tidak harus terdefinisi karena kita hanya memandang x di sekitar a.
11
Situasi yang mungkin terjadi:
a x 0
L
y
f(x)
a x 0
L
y
f(x)
a x 0
L
y f(x)
f(a)
12
Contoh: 2 ,4
2)(
2
x
x
xxf ?
4
2lim
22
x
x
x
2 x 0
y
f(x) 0,25 )2(
4
1
)2(
1lim
)2)(2(
2lim
4
2lim
2
2
22
fx
xx
x
x
x
x
x
x
Karena 2x maka
13
2 , 1
2 ,4
2
)( 2
x
xx
x
xfJika didefinisikan
1)2(4
1
4
2lim
22
f
x
x
x
2 x 0
y
f(x) 0,25
1
14
2 , 4
1
2 ,4
2
)(2
x
xx
x
xfJika didefinisikan
2 x 0
y
f(x) 0,25
)2(4
1
4
2lim
22f
x
x
x
15
LIMIT SEPIHAK
Notasi
Dibaca
“limit f(x) bila x mendekati a dari kiri (kanan) sama dengan L”
atau
“f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri (kanan)“
berarti bahwa
Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat
dengan a dan x < a (x > a).
Lxfax
)(lim
Lxf
ax)(lim
Lxfax
)(lim jika dan hanya jika Lxfxfaxax
)(lim)(lim
Contoh 1. Fungsi bilangan bulat terbesar
1
x
0
y
f(x)
2 3 -1 -2 -3
1
2
3
-1
-2
-3
3x2 2,
2x1 ,1)(xf
xxf )( ?)(lim2
xfx
2)(limsedangkan ,1)(lim22
xfxfxx
)(lim)(limsebab ADA,TIDAK )(lim222
xfxfxfxxx
Contoh 2. ?sinlim0
xx
Bila
nxmaka nolbulat tak bilangan ,
1n
nx
sehingga 0sinsin
nx
,22
nx
Namun bila bulatbilangan ,14
2n
nx
122
sinsin
nx
maka
sehingga
Perhatikan bahwa bila 𝑛 → ∞ maka 𝑥 → 0, sehingga nilai 𝑠𝑖𝑛𝜋
𝑥
berubah-ubah semakin cepat di antara -1, 0, dan 1 bila 𝑥 → 0
1 x 0
y
f(x)
1
-1
-1
xxfy
sin)(
Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 dapat disimpulkan bahwa nilai limit
fungsi di suatu titik tidak selalu ada. Hal ini disebabkan oleh
1. Nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan atau
2. Nilai fungsi berfluktuasi sangat cepat
EKSISTENSI NILAI LIMIT
19
1
1lim
1 xx
Contoh :
LIMIT YANG NILAINYA TAK BERHINGGA
DEFINISI
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali
pada x = a sendiri. Maka
berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif (negatif) sebesar mungkin,
dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan
a.
)(lim
xfax
)(lim xf
ax
20
1 x 0
y
2
1
1)(
xxf
1
Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif
maupun negatif) dapat berlaku pula pada limit sepihak
21
Situasi yang mungkin terjadi:
)(lim xfax
y
x 0 a
f(x)
)(lim xfax
x 0
y
a
f(x)
)(lim xfax
0
y
a
f(x)
)(lim xfax
x 0
a
f(x)
x 0
y
a
f(x)
)(lim xfax
x 0
y
a
f(x)
x
)(lim xfax
Jika sekurang-kurangnya satu di antara keenam
situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi f(x)
maka garis x = a disebut asimtot tegak dari
grafik y = f(x).
1
1lim
1
1lim sebab ADA,TIDAK
1
1lim
1
1lim
1
1lim
111
1
1
xxx
x
x
xxx
x
x
Contoh :
Garis x = 1 adalah asimtot tegak dari grafik 𝑦 =1
𝑥−1 .
23
LIMIT DI KETAKHINGGAAN
)(lim xfx
)(lim xf
xNotasi
disebut limit f(x) di ketakhinggaan, mengkaji bagaimana perilaku nilai
f(x) manakala x membesar positif (negatif).
adatidak
)(lim Lxfx
Contoh:
1lim .1 2xx
21
2lim 12
lim .2
xx
x
xx
adatidak coslim .3
xx
Kemungkinan yang dapat terjadi:
24
Situasi yang mungkin terjadi:
x 0
f(x) y
)(lim xfx
y
x 0
f(x) y
)(lim xfx
x 0
f(x)
)(lim xfx
x
0
L f(x)
y
Lxfx
)(lim
x 0
L f(x)
y
Lxfx
)(lim
x 0
f(x)
adatidak )(lim
xfx
25
Contoh:
65
1)(
2
xx
xxf
)2)(3(lim
3
)2)(3(
1lim
65
1lim)(lim.1
22222 xxxx
x
xx
xxf
xxxx
)2)(3(lim
3
)2)(3(
1lim
65
1lim)(lim.2
22222 xxxx
x
xx
xxf
xxxx
Maka garis x = 2 adalah asimtot tegak dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan
garis x = 3.
0001
00
651
11
lim651
11
lim65
1lim.3
2
2
22
22
2
xx
xx
xxx
xxx
xx
x
xxx
Garis y = 0 adalah asimtot datar dari grafik y = f(x).
Jika maka garis y = L disebut asimtot datar
dari grafik y = f(x).
LxfLxfxx
)(limatau )(lim
26
65
1
2
xx
xy
Asimtot datar
Asimtot tegak
27
Teorema-teorema tentang limit
)(lim)(lim d.
0)(limasalkan ,)(lim
)(lim
)(
)(lim c.
)(lim).(lim)()(lim b.
)(lim)(lim)()(lim a.
makaada, )(limdan )(limnilaidan konstantasuatu Jika 1.
xfkxkf
xgxg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
xgxfk
axax
axax
ax
ax
axaxax
axaxax
axax
LxgLxhf(x)
a
axxhxgxf
axaxax
)(limmaka ,)(limlim jika
dan
) dimungkin kecuali(
sekitar di nilaiuntuk )()()( Jika:Apit Prinsip .2
28
Trik menentukan limit di suatu titik
1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a)
2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan
nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa
limit-limit sepihak.
)(lim xfax
Contoh 0444lim .1
4
x
x
2
1
)1(
1lim
)1)(1(
1lim
1
21lim
1
2
1
1lim .2
11
2121
xxx
x
x
x
xx
xx
xx
29
?sinlim .3 2
0
xx
x
1sin1
x
Jawab: karena
maka .sin 222 xx
xx
0lim)(lim 2
0
2
0
xx
xx
Diketahui bahwa
maka
0sinlim
0sinlim0
limsinlimlim
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
xx
xx
xx
xx
x
x
xxx
30
4. f(x) = [ x ] + [-x] ?)(lim2
xfx
1 x 0
y
2 3 -1 -2 -3
1
2
3
-1
-2
-3
3x2 1,(-3)2
2 ,0 22
2x1 ,1)2(1
)( xxf)(lim
1
)(lim)(lim
2
22
xf
xfxf
x
xx
31
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
adatidak tanlim ,0coslim ,1sinlim
,0tanlim ,1coslim ,0sinlim
222
000
xxx
xxx
xxx
xxx
y = tan x
32
0sin
lim , 0sin
lim ,1sin
lim0
x
x
x
x
x
x
xxx
2.5 KEKONTINUAN
Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a
dikatakan kontinu di x = a jika
)()(lim afxfax
Dengan perkataan lain:
f(x) kontinu di x = a jika
f(a) terdefinisi
Nilai limitnya di x = a ada
Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu
)()(lim)(lim afxfxfaxax
2 x 0
y
f(x) 0,25
Contoh
2 , 4
1
2 ,4
2
)(2
x
xx
x
xf
)2(4
1
4
2lim
22f
x
x
x
Jadi f(x) kontinu di x = 2.
Akibat: jika f kontinu di x = a maka ada )(lim xfax
Teorema fungsi kontinu:
1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka fungsi-
fungsi f + g, f – g, kf, fg, dan f/g ( jika ) juga kontinu di x = a.
2. fungsi polinom kontinu di ℝ, sedangkan fungsi rasional kontinu di
daerah definisinya.
3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di x = a.
0)( ag
))(( xgf
riil.bilangan setiap dikontinu )(agar dan tentukan
,3 ,2
30 ,
0 ,1
)( Jika 2
xfba
xx
xbax
x
xf
Contoh:
36
Jawab:
karena f(x) berupa polinom untuk x < 0, 0 < x < 3, dan x > 3, maka
f(x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup
diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3
Agar f(x) kontinu di x = 0:
• f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1
• Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0
sama dengan f(0), yaitu
1 0. 1
yaitu ),0()(lim)(lim
2
00
ba
fxfxfxx b = 1
Agar f(x) kontinu di x = 3:
• f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5
• Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3
sama dengan f(3), yaitu
4951959
5 5 3.
yaitu ),3()(lim)(lim
2
33
aaba
ba
fxfxfxx
9
4a
Jadi f(x) kontinu di mana-mana bila b = 1 dan a = 4/9.
Teorema Nilai Antara (TNA):
misalkan f(x) kontinu pada selang tutup [a,b] dan f(a) < M < f(b).
Maka terdapat c, a < c < b sedemikian sehingga f(c) = M.
a x 0
M
f(x)
c b
f(b)
f(a)
y