Komposisi Fungsi Dan Fungsi Invers

Dibuat Oleh: Ivan Bonardo Pradipta SiahaanWiedya Kristianti Angeline

a

b

c

d

1

2

3

4

5

f

AB

Fungsi Komposisi

Fungsi Invers

Komposisi Fungsi

Pengertian

Metode

Contoh Soal

Metode I

Awal

Penggabungan operasi

dua fungsisecara

berurutan akan

menghasilkan sebuah

fungsi baru.

Penggabungan tersebut

disebut komposisi fungsi

dan hasilnya disebut

fungsi komposisi.

Apa sih Komposisi Fungsi itu ?Sifat Komposisi adalah:

1. Tidak komutatif:

f o g ≠ g o f

2. Bersifat assosiatif:

f o (g o h) = (f o g) o h = f o

g o h

3. Memiliki fungsi identitas:

I(x) = x f o I = I o f = f

x A dipetakan oleh f ke y B ditulis f : x

→ y atau y = f(x)

y B dipetakan oleh g ke z C ditulis g : y

→ z atau z = g(y) / z = g(f(x))

A

x

C

z

B

yf g

g o f

maka fungsi yang memetakanx A ke z C

adalah komposisi fungsi f dan g

ditulis (g o f)(x) = g(f(x))

f : A → B dan g: B → C didefinisikan seperti pada gambar

Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b) !

A B Ca

b

p

q

123

f g

Contoh Soal

Jawab:

A B Ca

b

p

q

123

f g

f(a) = 1 dan g(1) = q

Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q

(g o f)(a) = ?

A B Ca

b

p

q

123

f g

f(b) = 3 dan g(3) = p

Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p

(g o f)(b) = ?

contoh 1

f : R → R dan g : R → R

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

Tentukan: a. (g o f)(x)

b. (f o g)(x)

Jawab:f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g( ) = 2(3x – 1)2 + 5 = 2(9x2 – 6x + 1) + 5 = 18x2 – 12x + 2 + 5 = 18x2 – 12x + 7

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f( ) = 3(2x2 + 5) – 1 = 6x2 + 15 – 1 (f o g)(x) = 6x2 + 14 (g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7 (g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif s

3x – 1

3x – 1

2x2 + 5

2x2 + 5

B. Fungsi Invers/Invers Fungsi

DALAM INVERS FUNGSI INI, AKAN DIBAHAS MENGENAI:

1. Pengertian

3. Contoh Soal

Menentukan Rumus Fungsi Invers

Metode Alternatif menentukan fungsi invers

2. Metode2. Metode

Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi Awal

1. PengertianJika ada f sebagai fungsi dari A B, maka f

mempunyai fungsi invers f -1 :B A , jika dan hanya jika f adalah korespondensi 1-1

TEOREMA:f : A B dan f -1 : B A

ket :f : y = f(x)

cara mencari fungsi invers

f -1 : x = f(y) => nyatakan x dalam y

a

b

c

d54

3

2

1ff -1

f : A → B

A = {a, b, c, d}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

f = {(a,1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}

f -1 : B → A

A = {a, b, c, d}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

f -1 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}

INVERS

Daerah asal f = daerah hasil dari f -1 dan daerah hasil f = daerah hasil f -1

Fungsi f dan g saling invers jika dipenuhi:

( f o g )(x) = x dan ( g o f )(x) = x

a

b

c

d

1

2

3

4

5

f

A

B

a

b

c

d

1

2

3

4

5

f -1

A

B

Ket : Daerah asal f = daerah hasil dari f -1 dan daerah hasil f = daerah hasil f -1

Kembali ke menu

MENENTUKAN RUMUS FUNGSI INVERS:

Menentukan Rumus Fungsi Invers:1. Bentuk y = f(x) diubah menjadi bentuk

x = g(y).2. x menampilkan f -1(y) sehingga

diperoleh f -1(y) = g(y).3. Ganti y dengan x, diperoleh rumus

fungsi invers f -1(x) dalam variable x.

Kembali ke menu

Untuk fungsi yang sederhana, terdapat metode alternatif yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah, yaitu dengan cukup menentukan kebalikan dari tiap operasi aljabar, kemudian membacanya dari belakang.

Metode Alternatif menentukan fungsi invers

FUNGSI ASAL FUNGSI INVERS

f(x) = ax+b ; a ¹ 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0

f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c

f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c

f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0f-1(x) = (-b+ 4ax+D )/2a; D= b2-4ac

f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0

f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0

f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1 f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0

BENTUK-BENTUK PERMASALAHAN DALAM FUNGSI INVERS:

Ö

Kembali ke menu

Tentukan rumus fungsi invers untuk fungsi f(x)= 3x+2 !

Contoh 1:

1. Bentuk y = f(x) diubah menjadi bentuk x = g(y)

+

y = f(x)

yf(x) 3x 2-3 = - yx

x= 13

y− 23

2. x menunjukkan f -1(y) sehingga diperoleh:

13

y− 23

f -1(y) =x

3. Ganti y dengan x, untuk memperoleh rumus fungsi invers f -1(x) dalam variable x.

13

−23

f -1(y) = y(x) x

y= f (x) = 3x + 4f (x)-1 ...?

Cara menggunakan metode alternatif: f(x) f(x)-1

x 3x kali 3 bagi 3 3x + 4 tambah 4 kurang 4 x

Contoh:

(x -4)3

(x -4)

Contoh 2:Tentukan fungsi invers dari:

ax + bcx + d

f(x) =

Anda dapat menggunakan rumus cepat dalammenyelesaikan bentuk soal seperti ini, yaitu:

Pola: menjadi

a

-a

b

c d

-d b

c

x + bcx

f(x)=f -1(x)d

-da

+- a

Jadi, fungsi invers dari contoh 2 adalah:

x + bcx

=f -1(x)-d

- a

Contoh 3:

Tuliskan fungsi invers dari:

f(x)2log x3=

Jawab:

f(x)2log x3=

Rumus cepat untuk bentuk soal ini adalah:

f-1(x) =

ax

c

Sehingga penyelesaian soal ini adalah:

f -

1(x)f(x)

2log x= 3= 2x

3

f(x) = a log cx

f-1(x) =

ax

c

Contoh 4:

Tentukan fungsi invers dari f(x)= x2-2x+1!

Jawab: b=-2;a=1;

f -1(x) = (-b+ 4ax+D ) = (-(-2) + 4(1)x + 0) 2a 2(1) = 2+ 4x = 2+ 2 x 2 2 = 1 + x

Ö Ö

Ö Ö

Ö

Kembali ke menu

Sifat Fungsi Invers Berkaitan dengan Fungsi Komposisi

•Fungsi komposisi f o g dan go f dapat diubah menjadi fungsi invers. Terdapat 2 sifat yaitu:

( f o g )-1 (x) = (g -1 o f -1 )(x) (g o f ) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x)

Contoh soal :

Tentukanlah ( f o g )-1 (x) dan dari fungsi f(x)= 4x-2 dan g(x)=x + 7.

Jawab: gunakan sifat ( f o g )-1 (x) = (g -1 o f -

1 )(x)

I. Tentukan f-1 dan g-1 terlebih dahulu

f(x)= 4x-2

g(x)=x + 7

f(x)-1= x+2 4

g(x) -1=x - 7

II. Gunakan sifat sifat ( f o g )-1 (x) = (g -1 o f -

1 )(x) (f o g) -1 (x) = (g-1 o f-1)(x) = g-1{f-1(x)}

= g-1

* f(x)-1= x+2 4

*g(x) -1=x - 7x+2 4

x+2 4

= 7 x+2 4 - 28

4

= x + 2 – 28 = x - 26 4 4= (f o g)-1(x)=

14

x− 264

Kembali ke menu

Kesimpulan:

Sifat Komposisi adalah:

1. Tidak komutatif:

f o g ≠ g o f

2. Bersifat assosiatif:

f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h

3. Memiliki fungsi identitas:

I(x) = x f o I = I o f = f

Jika ada f sebagai fungsi dari A B, maka f mempunyai fungsi invers f -1 :B A , jika dan hanya jika f adalah korespondensi 1-1

Daerah asal f = daerah hasil dari f -1 dan daerah hasil f = daerah hasil f -1

Menentukan Rumus Fungsi Invers:1. Bentuk y = f(x) diubah menjadi bentuk

x = g(y).2. x menampilkan f -1(y) sehingga

diperoleh f -1(y) = g(y).3. Ganti y dengan x, diperoleh rumus

fungsi invers f -1(x) dalam variable x.

Metode Alternatif menentukan fungsi invers

yaitu dengan cukup menentukan kebalikan dari tiap operasi aljabar, kemudian membacanya dari belakangFUNGSI ASAL FUNGSI INVERS

f(x) = ax+b ; a ¹ 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0

f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c

f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c

f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0f-1(x) = (-b+ 4ax+D )/2a; D= b2-4ac

f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0

f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0

f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0

keluar