FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Created by : Anes Praguntur Aryani Lestari Bunga Fitriana R Steffi Indah P Zinat Tamami

ASSALAMU ALAIKUM WR.WB

YUK SAMA SAMA...

KonsentrasiUbah pola fikir kalian kalau

matematika itu susah menjadi MATEMATIKA ITU MUDAH

Tarik nafas, lalu hembuskan seiring dengan senyum

Lalu katakan BISMILLAH

DEFINISI FUNGSI

Fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan sebuah anggota himpunan B.

F : A BA merupakan daerah domain (daerah asal) dinotasikan Df

B disebut kodomain (daerah kawan ) dinotasikan Rf

{y € B l (x,y) € R , x € A} di sebut range ( daerah hasil), di notasikan dengan Rf

SIFAT SIFAT FUNGSI

Fungsi Surjektif

Fungsi Injektif

Fungsi Bijektif

FUNGSI KOMPOSISI DAN NILAI FUNGSI KOMPOSISI

Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi yang berurutan yang akan menghasilkan fungsi baru

Pada diagram di samping fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g Jadi g(y) = g(f(x))h(x) =  g(f(x)) atau h (x) = (g o f) (x) = g(f(x))

Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikutJika f(x) = 2x2 + 1 dan g(x) = x+2tentukana. (g o f ) (x)b. (f o g) (3)

a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x2+1) = 2x2+1 + 2 = 2x2+3b. (f o g) (3) = 2(3)2 + 8(3) + 9 = 51

contoh

Diketahui A = 1,3,5 dengan f:A A dengan g : A A didefinisikan sebagai f= (1,1), (3,1), (5,3) dan

g= (1,3),(3,1)(5,5) , Tentukan :

a. f ° g b. g ° f

Jawab

a. (f °g) (1)= f (g (1))= f(3)=1

(f ° g) (3)= f(g (3))=f(1)=1

(f ° g) (5)= f(g(5))=f(5)=3

Jadi, f g = (1,1),(3,1),(5,3)

b. (g ° f) (1)=g (f (1)) = g (1) =3

(g ° f) (3)=g (f (3)) = g (1) =3

(g ° f) (5)=g (f (5)) = g (3) =1

ContohFungsi f :R R dan g:R R ditentukan dengan aturan f(x) = 5x +6 dan g(x)=2x. Tentukan :

a. Aturan untuk g ° f

b. Aturan untuk f ° g

Jawab:

a. (g ° f) = g( f (x))= g (5x+6)= 2(5x+6) =10x+12

b. (f ° g) = f(g(x)) =f (2x)= 5 (2x) +6= 10x +6

ContohFungsi f: R R dan g: R R ditentukan oleh f(x) =3x+6 g(x)= 5x². Tentukan nilai dari :

a. (g ° f ) (-2)

b. (f ° g) (1)

Jawab:

c. (g ° f ) (-2) = g (f(-2))

= g (3(-2)+6)

= g (0)

= 5· 0²

= 0

b. (f ° g) (1) = f(g(1))

=f(5.1²)

= f(5)

= 3· 5+6

= 21

SIFAT SIFAT FUNGSI KOMPOSISI

Merupakan fungsi identitas

Bersifat asosiatif

Bersifat tidak kumutatif

MENENTUKAN KOMPONEN PEMBENTUK FUNGSI KOMPOSISI BILA ATURAN KOMPOSISI DAN KOMPONEN LAINNYA DI KETAHUIDiketahui g(x)= 5x+3 dan (f g) (x)= 10x +7.

Tentukan f(x).

Jawab:

(f g) (x)= 10x+7

f(5x+3) = 10x+7

f(5x+3) = 2 (5x+3) +1

f(x)= 2x +1

Jadi, f(x) =2x+1

Pengertian Fungsi invers

AB

DEFINISI :suatu fungsi f : A -> B mempunyai fungsi invers f-1 : B -> A jika f merupakan fungsi bijektif atau himpunan A dan B berkorespondensi satu-satu

F x

y

1258

3478

Fungsi f : A -> B tampak pada gambar di samping tentukan f-1 . Apakah f-1 merupakan fungsi invers ?Jawab : fungsi f adalah fungsi bijektif . Jadi , invers f adalah f-1 = {(3,1),(4,2),(7,5),(10,8)} merupakan fungsi invers

Contoh 6.10

Aturan fungsi invers

Jika f : A -> B merupakan fungsi bijektif dengan f {(x,y) I y = f (x), x € A dan y € B } maka invers dari f adalah fungsi f-1 : B ->A dengan f-1 = {(y, x) I x = f-1 (y), x € A dan y € B } A B

f

f-1

yx

Contoh

Fungsi f : R -> R ditentukan oleh

f (x) = 4x-5. Tentukan aturan untuk f-1

Jawab: f (x) = 4x-5

y = 4x-5

x = ¼ (y + 5 )

f-1 = ¼ (x + 5 )

Jadi, aturan f-1 adalah f-1 (x) = ¼ ( x + 5 )

Untuk tiap fungsi bijektif berikut tentukan rumus f-1 , kemudian tentukan domain f(Df ) dan range f (Rf).

a. f(x) = 3x-4

b. f(x) =2x-3 x+5

Jawaban

a. f(x) =3x-4 <=> f-1(x) =1/3 (x + 4 ) jadi , Df = {x I x € R } dan Rf = Df

-1= {y I y € R}

b. f(x) =2x-3 <=> f-1 5x + 3

x + 5 -x + 2

Fungsi f terdiri bila x + 5 ≠ 0 <=> x ≠ -5 dan fungsi f-1 terdefinisi bila –x + 2 ≠ 0 <=> x ≠ 2.

Menggambar grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya

Jika grafik fungsi y = f(x) dan grafik fungsi y = f-1 (x) digambar dalam satu sistem koordinat,hal apa yang dapat kamu simpulkan ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut , marilah kita simak contoh – contoh soal berikut ini .

ContohFungsi f : R -> R ditentukan oleh f(x) =

2x-6.tentukan f-1(x), kemudian gambarlah grafik fungsi y = f (x) dan y = f-1 (x) dalam satu sistem koordinasi.

Jawab :

f(x) = 2x-6

y = 2x-6

2x = y + 6

x = ½ y + 3

f-1 = ½ y + 3

f-1 = ½ x + 3

Tampak pada gambar tersebut bahwa grafik y = f(x) = 2x-6 dan garfik y = f-1 (x) = ½ x + 3 simetris terhadap garis y = x

Jadi, grafik fungsi invers f-1 (x) dapat digambar dengan mencerminkan grafik fungsi f (x) terhadap garis y = x

Fungsi invers dari fungsi komposisi

Perhatikan gambar 6.9! Hubungan antara himpunan A, B, dan c dapat dinyatakan sebagai f : x y , g : g , y z dan h : x g°f adalah fungsi komposisi,maka h-1 = (g°f)-1 Adalah fungsi invers dari fungsi komposisi.

Terlihat pada gambar 6.9 bahwa :f-1 : y x atau x = f-1 (y)g-1 : z y atau y = g-1 (z)h-1 : z x atau x = h-1 (Z)

Contoh gambar 6.9

a b c

x y z

Dari (1) dan (2) dapat diperoleh : (f-1 °g-1 ) (z) (g°f)-1 (z)Karena z sembarang maka dapat disimpulkan bahwa :

(g°f)-1 (x) = (f-1 °g-1 )(x) atau ( f °g )-1 (x) = (g-1 ° f-1 ) (x)

Contoh

Diketahui fungsi –fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan g(x) = 2x -1 tentukan :

a. ( f °g )-1 (x)

b. ( f °g )-1 (3)

Jawab :

a. Menurut ( f °g )-1 (X) dapat dilakukan dengan 2 cara.

f(x) = x + 3 f-1 (x) = x – 3

g(x) =2x-1 g-1 (x) = x + 1

2

( f °g )-1 (x) = (f-1 °g-1 )(x)

= f-1 x + 1

2

= x + 1 -3

2

= ½ x -5/2

Jadi ( f °g )-1 (x) = ½ x -5/2

Cara 1 Cara 2

( f °g ) (x) = g(f(x))

= g(x + 3)

= 2 (x + 3)-1

= 2 x + 5

( f °g )-1 (x) = x – 5 = ½ x-5/2

2

Lanjutan

(g°f)-1(x) = ½ x – 5/2

(g°f)-1 (3) = ½ (3) – 5/2

= 3/2 – 5/2

= - 2/2

= -1

Jadi diperoleh (g°f)-1 (3) = -1

THANKS FOR YOUR ATTENTION

WELL BYE

ASSALAMU ALAIKUM WR.WB

Kuiss yuuukkk

1. Tentukan fungsi (f°g) (x)dan (g°f)(x) dari fungsi f dan g yang ditentukan berikut ini .

a. f(x) = 3x+5 dan g (x) = 2-x

Kuiss lagi nihh

2. Tentukan fungsi f dan rumus (f°g) untuk tiap kondisi berikut ini .

a. (g°f) (x) = 3x + 1 dan g(x) = 2x

Kuisss lagi

3. tentukan rumus fungsi g dan rumus (g°f) untuk tiap kondisi beikut ini.

A. (g°f) (x) = 3x2 -2 dan f(x) = x-1

kuissssssss

4. Tentukan rumus fungsi invers untuk tiap fungsi berikut ini, kemudia tentukan nilai dari f-1 (3).

A. f(x)= x + 5

Dan terakhirrr ini kuisnyya :D

5. jika f(x) = 5x dan g(x) = X2 + 3, tentukanlah f-1 [ g( X2 – 3]